APÊNDICE DO CAPÍTULO 12. GRAVITAÇÃO A foça gavitacional é o paadigma de foça em mecˆanica newtoniana. Este esumo visa auxilia o estudo dessa foça no capítulo 12 do livo-texto, cujas figuas e exemplos complementam o esumo; paticulamente impotante é a tabela de dados astonˆomicos do apḙndice F do livo-texto. 1. Lei de Newton da gavitação 1.1 A lei da gavitação univesal, publicada po Newton em 1687, afima que: Cada patícula de matéia do univeso atai qualque outa com uma foça dietamente popocional ao poduto de suas espectivas massas e invesamente popocional ao quadado da distˆancia que as sepaa. A foça a que se efee essa lei é chamada foça gavitacional. As supeposições das foças gavitacionais ente as patículas de copos quaisque também são chamadas foças gavitacionais ente os copos. A lei é dita de gavitação poque detemina a popiedade de um copo te peso, em latim gavis. A gavitação é dita univesal poque sua foça existe ente quaisque copos do univeso que tenham massa. 1.2 As foças gavitacionais ocoem ente galáxias, ente estelas, ente estelas e seus planetas, e ente qualque planeta e copos em sua vizinhança; é a foça mais impotante em escala cósmica. A foça que detemina pepondeantemente o movimento de cada planeta em tono do Sol é a foça gavitacional do Sol sobe o planeta. A foça que chamamos peso de um copo póximo à supefície da Tea é a foça gavitacional da Tea sobe esse copo. Há também foças gavitacionais ente os copos que nos são familiaes como, po exemplo, duas pedas que estejam sobe a supefície da Tea ou foam aemessadas no a. Contudo, elas são despezíveis diante de outas foças pesentes, como os pesos das pedas, ou possívelmente pesentes, como as foças de contato. 1.3 Em pincípio, a massa que apaece na lei da gavitação é uma quantidade que mede a capacidade de uma patícula atai e se ataída po foça gavitacional; é chamada massa gavitacional. Já a massa que apaece na Segunda Lei de Newton é uma quantidade que mede a dificuldade que uma patícula ofeece a se aceleada; é chamada massa inecial. É uma lei física impotante, chamada pincípio de equivalência, que essas duas quantidades são popocionais; elas são iguais, se foem usadas unidades de medida convenientes, como estamos supondo. 2. Fómulação matemática da lei da gavitação 2.1 Foça gavitacional ente patículas de posições abitáias. Sejam duas patículas, que chamamos patículaiej, de massasm i em j e de posições instantâneas i e j. A posição da patícula i elativamente à patícula j é o veto i j. O módulo i j dessa posição elativa é a distância ente as patículas. O veto unitáio dessa posição elativa é( i j )/ i j. Desse modo, a foça gavitacional sobe a patículaiexecida pela patículaj é dada pela fómula F ij = G m im j i j 2 i j i j. (1) 1
na qual G = 6,6742(10) 10 11 Nm 2 /kg 2 ; essa quantidade é chamada constante univesal da gavitação. Notemos que o veto unitáio( i j )/ i j ao final dessa fómula indica que a foça está ao longo da eta que passa pelas patículas i e j, ao passo que o sinal menos que está diante degindica que a foça gavitacional é sempe atativa. O módulo da foça gavitacional sobe a patículaiexecida pela patículaj é F ij = G m im j i j 2. (2) A fómula (1) mosta detalhadamente como a foça gavitacional depende das posições das patículas inteagentes. Em muitas aplicações é vantajoso esceve essa fómula de modo abeviado. Usamos o símbolo ij paa a posição elativa, ij = i j, de modo que seu módulo seja ij e seu unitáio seja dado po ij = ij / ij. Com isso, podemos esceve (1) na foma F ij = G m im j 2 ij ij. (3) 2.2 Foça gavitacional de uma patícula fixa na oigem. A foça gavitacional F sobe uma patícula de massamna posição, execida po uma patícula de massam na oigem, é F = G mm 2. (4) Usando um sistema de eixos com a oigem fixa no Sol, e consideando que Sol e planetas são patículas diante das distâncias que os sepaam, essa fómula dá a foça gavitacional execida pelo Sol sobe um planeta qualque, se tomamos M como a massa do Sol, m como a massa do planeta e como sua posição elativa ao Sol. 2.3 Foça gavitacional de distibuição de massa. De acodo com o pincípio da supeposição, a foça gavitacional de uma distibuição de massa sobe uma patícula é a esultante das foças execidas sobe essa patícula pelas divesas patículas da distibuição. Um exemplo impotante é dado po uma distibuição de massa esfeicamente simética de aio dado. Calculando a foça gavitacional execida pela distibuição sobe uma patícula situada foa da distibuição, enconta-se um esultado notável: A foça de uma distibuição esfeicamente simética sobe uma patícula foa da distibuição é exatamente a foça que essa patícula sofeia se toda a massa da distibuição estivesse concentada em seu cento. Desse modo, se a distibuição tem massa totalm e aior, e a patícula tem massameveto posição elativa ao cento da distibuição, a foça F sobe a patícula é dada po (4), isto é, po F = G mm 2 ( > R). (5) A demonstação dessa popiedade de distibuições esfeicamente siméticas pode se feita esolvendose uma integal; a mesma integal também fonece a foça sobe uma patícula dento da distibuição ( < R). No caso de duas esfeas com distibuições esfeicamente siméticas de massas que não se inteceptam, as foças gavitacionais ente elas são as mesmas que ocoeiam se as massas das esfeas estivessem concentadas em seus espectivos centos. De fato, sejam as duas esfeas de centos O 1 e O 2 e massasm 1 em 2, espectivamente. Seja 12 a posição deo 1 em elação ao 2 ( 12 > R 1 +R 2 ). 2
As foças que a pimeia esfea exece sobe as divesas patículas da segunda e, consequentemente, a foça esultante F 21 sobe a segunda, são as que seiam execidas po uma patícula de massa M 1 em O 1. A eação a essa foça é a foça F 12 que a segunda esfea execeia sobe a patícula de massa M 1 em O 1. Mas essa foça é aquela que uma patícula de massa M 2 em O 2 execeia sobe a patícula de massa M 1 em O 1, isto é, a foça F 12 = (GM 1 M 2 / 2 12 ) 12. Consequentemente, F 21 = (GM 2 M 1 / 2 21) 21, isto é, as duas esfeas inteagem gavitacionalmente como se todas as suas massas estivessem concentadas em seus espectivos centos. Distibuições esfeicamente siméticas são impotantes poque descevem bem divesas estelas, planetas e seus satélites. 3. Peso 3.1 Pode-se defini peso de um copo em um planeta como sendo a foça gavitacional que o planeta exece sobe o copo. É tambem comum estingi o conceito de peso de um copo em um planeta à foça gavitacional que o planeta exece sobe o copo póximo à supefície do planeta; po póximo se entende que a altua do copo na supefície do planeta é muito meno do que o aio do planeta. Pelo contexto podemos sabe em que sentido se toma a palava peso. 3.2 Consideemos a Tea como uma distibuição esfeicamente simética de massa; sua massa total é M T = 5,97 10 24 kg e seu aio é R T = 6,38 10 6 m. Seja um sistema de eixos coodenados com oigem no cento da Tea e uma patícula de massa m e posição ( > R T ). A foça gavitacional sobe uma patícula execida pela Tea é F m = G mm T 2 ˆ ( > R T ). (6) A foça gavitacional sobe a patícula de massampo unidade de massa, F m /m é um veto g dado po M T g = G ˆ. (7) 2 O veto g é chamado campo gavitacional na posição geado pela Tea. Desse modo, a foça gavitacional sobe a patícula é o poduto de sua massa pelo campo gavitacional na posição em que ela se enconta, F m = m g ( > R T ). (8) Se a foça esultante sobe a patícula fo a gavitacional, sua aceleação é a = g ( > RT ), (9) em vitude da Segunda Lei de Newton. Evidentemente, nesse caso a aceleação da patícula não depende de sua massa. 3.3 No caso da patícula mante-se póxima à sua supefície da Tea, de modo que = R T em boa apoximação, epesentando a foça gavitacional sobe a patícula po P, seu peso, obtemos P = m g, (10) onde g = G M T R 2 T ˆ = 9,8(N/kg)ˆ. (11) 3
Potanto, se o peso da patícula fo a única foça sobe ela, sua aceleação é a = 9,8(m/s 2 )ˆ. A eação ao peso da patícula é uma foça aplicada na Tea. A igo essa foça acelea a Tea, mas essa aceleação é despezível na medida em que a massa da Tea é imensamente maio do que a da patícula. 4. Enegia potencial gavitacional 4.1 Seja uma patícula de massa M fixa na oigem de um efeencial inecial. A foça gavitacional que ela exece sobe uma patícula de massamna posição é F m = G mm 2 ˆ. (12) Em um deslocamento infinitesimald da patícula de massamotabalhodw gav dessa foça gavitacional é dado po dw gav = F m d = G mm 2 ˆ d = G mm 2 d, (13) onde usamos queˆ d = d. O tabalho da foça gavitacional se a patícula de massamse desloca de 1 a 2 é W gav ( 1 2 d 2 ) = GmM 1 = GmM GmM. (14) 2 2 1 Esse tabalho depende apenas das posições inicial e final da patícula. Potanto, a foça gavitacional é consevativa e, consequentemente, podemos associa-lhe uma enegia potencial, a enegia potencial gavitacional da patícula, dada po U gav ( ) = GmM p GmM, (15) onde o ponto padão da enegia potencial foi escolhido em p. Escolhendo o ponto padão no infinito obtemos a enegia potencial U gav ( ) = GmM. (16) Natualmente, acescentando qualque constante a essa enegia potencial, o esultado também é uma enegia potencial da patícula. 4.2 Seja uma distibuição de massa esfeicamente simética, de massa total M e aio R, fixa na oigem de um efeencial inecial. A foça gavitacional que essa distibuição de massa exece sobe uma patícula de massamem uma posição foa da distibuição de massa é dada po (12). Podemos associa uma enegia potencial gavitacional à patícula, dada po U gav ( ) = GmM ( > R). (17) Consideando a Tea como uma distibuição esfeicamente simética de massa, obtemos paa a enegia potencial gavitacional de uma patícula de massamfoa da Tea, U gav ( ) = GmM T ( > R T ), (18) 4
onde o ponto padão foi escolhido no infinito. Se escolhemos o ponto padão na supefície da Tea, (15) nos fonece a seguinte enegia potencial paa a patícula U gav ( ) = GmM T R T GmM = GmM T R T R T, (19) Denotando po h a altua da patícula acima da supefície da Tea, h = R T e a expessão anteio se eduz a U gav (h) = mgh/[1+(h/r T )], onde g é o campo gavitacional na supefície da Tea. Potanto, se a altuahédespezível diante do aio da Tea, obtemos paa a patícula a enegia potencial gavitacional U gav (h) = mgh (g = 9,8N/kg). (20) 4.3 Estamos acostumados com o fato de que pojéteis lançados da supefície da Tea voltam a ela após algum tempo, que é função cescente da velocidade de lançamento. A meno velocidade de lançamento com a qual o pojétil não volta à Tea é chamada velocidade de escape da Tea. Vamos calcula essa velocidade supondo que a única foça sobe o pojétil é a gavitacional (em paticula, despezamos a esistência do a atmosféico) e que a Tea é esfeicamente simética. Sendo a foça esultante sobe o pojétil gavitacional, ela é consevativa, possui uma enegia potencial (18) e a enegia mecânica do pojétil se conseva, isto é 1 2 mv2 GmM T = constante ( > R T ), (21) onde v é a velocidade do pojétil a uma distância da Tea. Paa que o pojétil não volte à Tea, sua velocidade v T na supefície da Tea ( = R T ) deve se tal que a distância do pojétil tenda a infinito ( ), quando sua velocidade tende paa algum valov, isto é 1 2 mv2 T GmM T R T [ 1 = lim 2 mv2 GmM ] T = 1 2 mv2. (22) A meno velocidadev T na supefície da Tea, a velocidade de escapev e, ocoe sev = 0, isto é, se (1/2)mve 2 GmM T /R T = 0, donde 2GMT v e =. (23) R T Natualmente, a velocidade de escape de qualque asto esfeicamente simético, de aio R e massa M, é dada po 2GM v e = R. (24) 5. As leis de Keple e o movimento de planetas 5.1 Os pontos bilhantes do céu cujas posições elativas pemanecem imutáveis com o coe dos anos são estelas; os pontos bilhantes que mudam de posição elativa às estelas com o passa dos dias são planetas. Obsevando o movimento dos planetas, Keple descobiu tês leis que descevem com pecisão esse movimento, chamadas leis de Keple. Pimeia lei de Keple. Cada planeta se move em uma óbita elíptica, com o Sol ocupando um dos focos da elipse. Segunda lei de Keple. A linha que liga o Sol a um planeta vae áeas iguais em tempos iguais. 5
Teceia lei de Keple. O quadado do peíodo de evolução de cada planeta é popocional ao cubo do compimento do eixo maio da elipse descita pelo planeta. A distância de cada foco ao cento da elipse é uma fação do compimento do semi-eixo maio da elipse; essa fação é chamada excenticidade da elipse. Se a excenticidade é nula a elipse é um cículo. As óbitas planetáias são elipses cujas excenticidades vaiam de0,007 paa Vênus a0,206 paa Mecúio, ou seja, são apoximadamente ciculaes. O ponto da óbita de um planeta em que ele se enconta mais póximo do Sol é chamado peiélio, e o ponto em que se enconta mais afastado, afélio. 5.2 A pati das leis de Keple e das leis de movimento de Newton, é possível deduzi que a foça esponsável pelo movimento dos planetas é a foça gavitacional do Sol sobe cada um deles (supondo que diante dela as dos planetas ente si são despezíveis). O caminho contáio também é possível, deduzi as leis de Keple a pati das leis de movimento de Newton e da foça gavitacional ente o Sol e cada planeta. Paa isso se supõe que o Sol está fixo em elação às estelas e se usa um efeencial copenicano, com eixos fixos em elação às estelas e a oigem no Sol; notemos que diante das distâncias ente o Sol e os planetas, todos eles podem se consideados em boa apoximação como patículas. Se a posição de um planeta de massam elativa ao Sol é, obtemos M d2 dt 2 = G M M S 2 ˆ, (25) onde M S é a massa do Sol. Obte a leis de Keple a pati dessa equação difeencial está além de nossos objetivos, mas faemos esse tabalho pacialmente a segui. 5.3 Sejam dois vetoes A e B não nulos e não colineaes e seja θ o ângulo ente eles. Poduto vetoial do veto A pelo veto B, denotado po A B, é um veto pependicula ao plano de A e B, com módulo A B senθ e sentido dado pela ega da mão dieita, qual seja: esticando os indicadoes da mão dieita ao longo do pimeio veto A e encuvando-os paa alcança o veto B de modo a vae o ângulo θ, o polega esticado indica o sentido do poduto vetoial. Se um dos vetoes A e B fo nulo ou eles foem paalelos, po definição, o seu poduto vetoial é nulo, A B = 0. Se os vetoes A e B foem deslocamentos, o módulo do seu poduto vetoial é a áea do paalelogamo fomado pelos dois vetoes; de fato, tomando A como compimento da base do paalelogamo B senθ é sua altua. 5.4 Fazendo o poduto vetoial de po ambos os membos da equação (25), o membo dieito se anula, pois é paalelo a. Com isso, obtemos M d v dt = 0. (26) Como d /dt M v é um poduto vetoial de vetoes paalelos, é nulo e, potanto, pode se adicionado ao membo esquedo de (27), paa obtemos d dt M v + M d v dt = 0. (27) Dado que a ega de Leibnitz paa deivada de podutos vale paa o poduto vetoial, essa equação eduz-se a d dt ( M v ) = 0. (28) 6
O veto M v é chamado momento angula elativo à oigem da patícula de massam, posição e velocidade v. Denotando-o po L, escevemos L = M v (29) e (28) eduz-se a d L dt = 0, (30) isto é, o momento angula de cada planeta elativo à oigem no Sol é constante duante o movimento do planeta. Sendo constante a dieção do momento angula L = M v, os vetoes e v se mantêm sempe em um mesmo plano. Potanto as óbitas do movimento planetáio são planas, o que é pate da pimeia lei de Keple, pois óbitas elipticas são planas. Quanto ao módulo constante L do momento angula, podemos esceve M v = L, donde d = Ldt/M. O membo esquedo dessa equação é a áea do paalelogamo fomado no plano da óbita po e d, ou seja, é o dobo da áeada vaida po no intevalo de tempodt, ou seja2da = Ldt/M. Potanto, da = L dt. (31) 2M Como L é constante duante o movimento, essa equação afima que a áea vaida é popocional ao tempo decoido, o que é o enunciado da segunda lei de Keple. 5.5 Paa obte a teceia lei de Keple a pati da lei da gavitação, vamos nos estingi ao caso de óbitas ciculaes, o que é uma boa apoximação paa váios planetas. O cento da óbita cicula está no Sol e, potanto, a foça gavitacional é uma foça esultante centípeta. Com isso, o planeta tem velocidade de módulo v constante e aceleação centípeta v 2 /R, onde R é o aio da óbita cicula. Nesse caso a Segunda Lei de Newton (25) eduz-se a M v2 R = GMM S R 2. (32) Usando nessa equação quev = 2πR/T, na qual T é o peíodo de evolução do planeta, obtemos T 2 = (2π)2 GM S R 3, (33) isto é, o quadado do peíodo de evolução de um planeta em óbita cicula é popocional ao cubo do aio do cículo descito pelo planeta. Essa é a teceia lei de Keple no caso paticula de óbita cicula. No caso de óbita eliptica, a obtenção dessa lei é mais complicada. A Segunda Lei de Newton com esultante gavitacional admite, além dos movimentos com óbitas elípticas e, potanto, fechadas, movimentos com óbitas paabólicas e hipebólicas, que são abetas. Os divesos tipos de movimento sob esultante gavitacional dependem, natualmente, das condições iniciais do movimento. 6. Movimento de satélites 6.1 Paa um estudo simplificado de satélites da Tea, fazemos a hipótese de que a Tea é esfeicamente simética e que um efeencial com oigem em seu cento é inecial na medida da pecisão desejada. A foça gavitacional da Tea sobe um satélite puntifome é a foça execida po uma patícula no cento da Tea e de massam T igual a da Tea. Consideamos satélites com movimentos 7
que são deteminados apenas po essa foça. Assim, a equação de movimento do satélite, de acodo com (5), é m d2 = G mm T ˆ ( > R dt 2 2 T ), (34) onde m é a massa do satélite, M T a da Tea e R T, seu aio. De acodo com essa equação, as óbitas fechadas dos satélites são elípticas, em paticula, ciculaes. 6.2 No caso de um satélite em óbita cicula, a equação (34) eduz-se a m v2 R = GmM T R 2, (35) ondev é a velocidade do satélite er, o aio de sua óbita; essa equação detemina a seguinte elação ente essas duas gandezas GMT v = R. (36) Usando nessa equação a elação v = 2πR/T ente a velocidade e o peíodo T do satélite, obtemos a vesão paa satélites em óbitas ciculaes da teceia lei de Keple, T = 2πR3/2 GMT (37) 6.3 A enegia mecânicae do sistema constituído pelo satélite e a Tea é E = 1 2 mv2 GmM T No caso de o satélite esta em óbita cicula, a enegia cinética do satélite é exatamente a metade do módulo de sua enegia potencial. De fato, se a óbita tem aior, sua enegia potencial é GmM T /R, e a elação (36) ente aio e velocidade do satélite detemina que sua enegia cinética é (1/2)mv 2 = (1/2)GmM T /R. Com isso, a enegia mecânica do satélite é exatamente a metade de sua enegia potencial, E = 1 ( GmM ) T. (39) 2 R (38) Bibliogafia [1] Young H D, Feedman R A 2008 Física II: Temodinˆamica e Ondas 12a ed (São Paulo: Addison Wesley) [2] Nussenzveig H M 2013 Cuso de física básica 1: mecˆanica 5a ed (São Paulo: Bluche) [3] Chaves A, Sampaio J F 2012 Física básica: mecˆanica (Rio de Janeio: LTC) 8