Sistema Real Determinístico Probabilístico Causas Efeito X Causas Efeito Eperiência para o qual o modelo probabilístico é adequado. ❶ Não é possível prever um resultado particular, mas pode-se enumerar todos os possíveis; ❷ Podem ser repetidos inúmeras vezes sob as mesmas condições; ❸ Quando repetidos um grande número de vezes apresentam regularidade em termos de freqüências.
E : Joga-se uma moeda quatro vezes e observa-se o número de caras e coroas; E : Joga-se uma moeda quatro vezes e observa-se a seqüência de caras e coroas ; E : Uma lâmpada nova é ligada e contase o tempo gasto até queimar; E 4 : Joga-se uma moeda até que uma cara seja obtida. Conta-se o número de lançamentos necessários; E 5 : Jogam-se dois dados e observase o par de valores obtido; S {,,,, 4} É o conjunto de resultados de uma eperiência aleatória. S {cccc, ccck, cckc, ckcc, kccc, cckk, kkcc, ckkc, kcck, ckck, kckc, kkkc, kkck, kckk, ckkk, kkkk} S { t R / t } S 4 {,,,...} S 5 { (, ), (, ),(,), (, 4), (, 5), (, 6) (, ), (, ), (, ), (, 4), (, 5), (, 6) (, ), (, ), (, ), (, 4), (, 5), (, 6) (4, ), (4, ), (4, ), (4, 4), (4, 5), (4, 6) (5, ), (5, ), (5, ), (5, 4), (5, 5), (5, 6) Um evento é um subconjunto de um espaço amostra. (6, ), (6, ), (6, ), (6, 4), (6, 5), (6, 6) }
Seja S {,,, 4, 5, 6 } o espaço amostra, obtido no lançamento de um dado. Então são eventos: A {,, 5} B { 6 } C { 4, 5, 6} D E S Seja E um eperimento com espaço amostra associado S. Diremos que o evento A ocorre se realizado E o resultado é um elemento de A. Sejam A e B eventos de um espaço S. Diremos que ocorre o evento: A união B, A soma B ou A mais B, se e só se A ocorre ou B ocorre. A B Sejam A e B eventos de um espaço S. Diremos que ocorre o evento: A produto B, A vezes B ou A interseção B, se e só se A ocorre e B ocorre. A B Sejam A e B eventos de um espaço S. Diremos que ocorre o evento: A menos B, A diferença B, se e só se A ocorre e B não ocorre. A - B Sejam A e B eventos de um espaço S. Diremos que ocorre o evento: Complementar de A (não A) se e só se A não ocorre. A A C A
Dois eventos A e B são mutuamente ecludentes se não puderem ocorrer juntos. CLÁSSICO FREQÜENCIAL AXIOMÁTICO (número de casos favoráveis) P(A) ------------------------------------_ (número de casos possíveis) Qual a probabilidade de você ganhar na Mega Sena, apostando um Único cartão com 6 dezenas. Casos favoráveis 6 Casos possíveis: 5 6 86 6 P(Mega Sena) Número de favoráveis Número de possíveis 6 6,% 5 6 86 4
(número de vezes que A ocorre) fr A --------------------------------------------- (número de vezes que E é repetido) Um dado é lançado vezes e apresenta FACE SEIS 8 vezes. Então, a freqüência relativa de FACE SEIS é: fr 6 número de vezes que"f_seis" ocorre número de vezes que o dado é jogado 8,5 5% P(A) lim fr A n P(A) é um número real que deve satisfazer as seguintes propriedades: () P(A) () P(S) () P(AUB) P(A) + P(B) se A B () P( ) () P( A) - P(A) () P(A - B) P(A) - P(A B) (4) P(AUB) P(A) + P(B) - P(A B) 5
Motivação Considere uma urna com 5 fichas, onde 4 são pretas e são brancas. Suponha que desta urna são retiradas duas fichas, ao acaso e sem reposição: Sejam os eventos: A { a primeira ficha é branca} B { a segunda ficha é branca} Então: P(A) /5, % P(B)?/49 Neste caso, não se pode avaliar P(B), pois para isto é necessário saber se A ocorreu ou não, isto é, se saiu ficha branca na primeira retirada. Dois eventos A e B são independentes se a probabilidade de um ocorrer não altera a probabilidade do outro ocorrer, isto é: () P(A/B) P(A) () P(B/A) P(B) () P(A B) P(A).P(B) 6
s KKK CKK KKC KCK CCK CKC KCC CCC S X R X(s) X(S) Uma função X que associa a cada elemento de S (s S) um número real X(s) é denominada variável aleatória. O conjunto formado por todos os valores, isto é, a imagem da variável aleatória X, é denominado de conjunto de valores de X. X(S) { R / X(s) } Conforme o conjunto de valores X(S) uma variável aleatória poderá ser discreta ou contínua. Se o conjunto de valores for finito ou então infinito enumerável a variável é dita discreta. Se o conjunto de valores for infinito não enumerável então a variável é dita contínua. 7
A função de probabilidade (fp) de uma VAD é a função que associa a cada i X(S) o número f( i ) P(X i ) que satisfaz as seguintes propriedades: f( i ), para todo i f( i ) A coleção dos pares [ i, f( i )] para i,,,... é denominada de distribuição de probabilidade da VAD X. Suponha que uma moeda equilibrada é lançada três vezes. Seja X número de caras. Então a distribuição de probabilidade de X é: KKK CKK KKC KCK CCK CKC KCC CCC S X R f [;] f () KKK CKK KKC KCK CCK CKC KCC CCC S X R f /8 /8 /8 /8 [;] f () 8
Suponha que um par de dados é lançado. Então X soma do par é uma variável aleatória discreta com o seguinte conjunto de valores: Como X((a, b)) a + b, o conjunto de valores de X é dado por: X(S) {,, 4, 5, 6, 7, 8, 9,,, } Desta forma: A distribuição de probabilidade de f() P(X ) P{(,)} / f() P(X ) P{(,), (, )} /... X será então: 4 5 6 7 8 9 Σ f() P(X) P{(6, 5), (5, 6)} / f() P(X ) P{(6, 6)} / f() 4 5 6 5 4 A distribuição de probabilidade será: A representação de uma distribuição de probabilidade pode ser feita por meio de: uma tabela uma epressão analítica (fórmula) um diagrama Seja X número de caras, obtidas no lançamento de 4 moedas honestas. Então a distribuição de X é a dada ao lado. 4 Σ f() /6 4/6 6/6 4/6 /6 9
Considere X soma do par, no lançamento de dois dados equilibrados, então: f : X(S) R ( - )/ se 7 ( - + )/ se > 7,8,6,4,,,8,6,4,, 4 5 6 7 8 9 (a) Epectância, valor esperado µ E(X).f().P(X ) (b) Desvio padrão Calcular o valor esperado e a variabilidade da variável X número de caras no lançamento de quatro moedas honestas. σ f()( µ ) f() µ f() /6.f() f() 4/6 6/6 4/6 4/6 /6 /6 4/6 4/6 /6 4 Σ /6 4/6 /6 6/6 8/6
EXPERIMENTO Considere n repetições de um eperimento onde eistem apenas duas situações: A ocorre ou A não ocorre. A probabilidade de A ocorrer é representada por p e a de não ocorrer por q p. A VAD definida por X número de vezes que A ocorreu nas n repetições de E é denominada BINOMIAL. Conjunto de Valores X(S) {,,,,..., n} A Função de Probabilidade (fp) n f() P(X ) p q n Características Epectância ou Valor Esperado Variância E(X).f() V (X) npq np O percentual de Porto Alegrenses que já visitaram Gramado é de %. Se uma amostra de moradores da capital é selecionada ao acaso, qual é a probabilidade de que: (a) apenas um tenha visitado Gramado; (b) três tenham visitado Gramado; (c) Nenhum tenha visitado Gramado; (d) O número esperado de visitantes de Gramado; (e) A variabilidade do número de visitantes de Gramado. p %, q,,8 n n n f() p q n n (a) f() p q,, 6,84% 9 8
( b) f( ) P(X ) 7,, 8,% ( c) f( ) P(X ),, 8,74% (d) E(X) np., pessoas (e) V(X) npq.,.,8,6 pessoas σx npq, 6, 6 pessoas Uma variável aleatória X é dita normal de puder assumir todos os valores reais e tiver um formato semelhante aos seguintes diagramas:,8,6,4, N(; ) N(;,5) N(; ) N(; ), -6-5 -4 - - - 4 5 6 Para calcular as probabilidades em uma normal é preciso utilizar uma tabela, pois não eiste uma fórmula que forneça Como não é possível tabelar todas as normais (são infinitas), escolheu-se uma para ser tabelada. estes valores.
A curva escolhida é a N(, ), isto é, com µ e σ. Se X é uma N(µ, σ), então: Z X µ σ Será uma N(; ),4,,,, -4, -, -, -,,,,, 4, O que é tabelado é a área á esquerda da curva, isto é: P(Z z) Φ(z) Leia: valor tabelado Área à esquerda (abaio) de z P(Z z) Φ(z) Leitura direta Área à direita (acima) de z P(Z > z) - P(Z z) - Φ(z) Φ( z) Área entre dois valores de z P( z < Z < z) Φ(z) Φ(z) A tabela é construída como uma matriz. As linhas fornecem a unidade ou unidade mais décimo e as colunas fornecem os centésimos. Assim para ler, por eemplo, -,5 deve-se procurar na linha do, + coluna do 5 (seta coluna). A primeira é a do (zero). A aproimação é centesimal ( casas após a vírgula) eceto na linha do e do +, que estão destacadas, onde a aproimação é, em virtude da pouca área, decimal. Observe que está escrito e não,!
Aproimação centesimal, isto é, fatias de,. Depois do -, segue,99 o,98 até +,99 e daí,.,4,,,, Aproimação decimal, isto é, fatias de,. Depois do ±, segue ±, o ±, até ±,9. -4, -, -, -,,,,, 4, z -,,,7,5 P(Z < -,) -,9,9,8 Φ(-,),8,7 -,8,6,5,4, -,7,5,4,, P(Z < -,5) -,6,47,45,44 Φ(-,5),4 -,5,6,6,59,57 -,4,8,8,78,75 -,,7,4,,99 P(Z < -,) -,,9,,,9 Φ(-,) -,,79,74,7,66 -,,8,,7, Uma VAC tem distribuição normal de média 5 e desvio padrão 8. Determinar: (a) P(X 4) (b) P(X > 65) (a) P(X 4) X µ 4 5 P(X 4) P( ) σ 8 P(Z 5, ), 56% (c) P(45 < X < 6) (b) P(X > 65) X µ 65 5 P(X > 65) P( > ) σ 8 P(Z > 88, ) P(Z < 88, ) Φ( 88, ) Φ( 88, ), % (c) P(45 < X < 6) P( 45 < X < 6) 45 5 X µ 6 5 P( < < ) 8 σ 8 P( 6, < Z < 5, ) Φ( 5, ) Φ( 6, ) 9, % 676, % 6656, % 4
Uma VAC tem distribuição normal de média 5 e desvio padrão 8. Determinar: (a) P(X ) 5% (b) P(X > ) % Para resolver este tipo de eercício é preciso utilizar a função inversa, isto pode ser feito direto na tabela. Só que agora devemos procurar uma probabilidade (corpo da tabela) e obter um valor de z (lateral da tabela).,5,4,, 5%, P(X ) 5%, 6 4 4 5 58 66 74 Em (a) temos P(X ) 5% X µ 5 P(X ) P( ) σ 8 P(Z z) Φ(z) 5% onde 5 z 8 Se Φ(z) 5%, então Φ z Φ [ Φ(z)] Φ (, 5 ) ( 5%) Procurando na tabela, o valor (z) mais próimo de 5%,5, tem-se: 5
z 4 5 -,,,7,5,, -,9,9,8,8,7,6,6 -,8,6,5,4,,, -,7,5,4,,,, -,6,47,45,44,4,4,4 -,5,6,6,59,57,55,54 z -,64 z -,65 -,4,8,8,78,75,7,7 -,,7,4,,99,96,94 -,,9,,,9,5, -,,79,74,7,66,6,58 -,,8,,7,,7, -,9,87,8,74,68,6,56 -,8,59,5,44,,9, -,7,446,4,47,48,49,4 -,6,548,57,56,56,55,495 -,5,668,655,64,6,68,66 Como os dois valores estão a mesma distância, isto é, apresentam o mesmo erro (,5), pega-se a média entre eles. Assim, 64 +, 65 z, 645 5 Como z, tem se 8 5 645, z 8 5 645,. 8, 84 : Em (b) temos P(X > ) % X µ 5 P(X > ) P( > ) σ 8 P(Z > z) Φ(z) %, Mas Φ(z) Φ( z) Logo z Φ (, ),5,5,4,4,,,,, % P(X > ) %, 6 4 4 5 58 66 74 Procurando na tabela, o valor (z) mais próimo de %,, tem-se: z -, Conforme pode ser visto na próima lâmina! 6
z -,,,7,5 -,9,9,8,8,7 -,8,6,5,4, -,7,5,4 z -,,, -,6,47,45,44,4 -,5,6,6,59,57 -,4,8,8,78,75 -,,7,4,,99 -,,9,,,9 -,,79,74,7,66 -,,8 Prof. Lorí Viali, Dr. PUCRS Prof., Titular da FAMAT - Departamento,7 de Estatística, Como z Φ (, ), tem se : 5 (, ) 8,. 8 + 5 68, 64 7