Cálculo IV: Métodos da Física-Matemática

Uiversidade Federal do Rio de Jaeiro - UFRJ Istituto de Matemática - IM Departameto de Matemática Cálculo IV: Métodos da Física-Matemática Professor Adá J. Corcho Ferádez Rio de Jaeiro-RJ, 22 de ovembro de 205

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Sumário Sequêcias Numéricas 5. Sequêcias Numéricas................................ 5.2 Covergêcia de sequêcias............................. 6.3 Propriedades gerais das sequêcias covergetes.................. 7.4 Estratégias para calcular limites........................... 9.5 Sequêcias moótoas................................ 5 2 Séries Numéricas 9 2. Séries Numéricas................................... 9 2.. Séries Geométricas.............................. 20 2..2 Séries redutíveis (séries de Megoli.................... 2 2.2 Codição ecessária de covergêcia........................ 22 2.3 Séries de termos ão-egativos........................... 23 2.3. A série harmôica.............................. 23 2.3.2 A p-série.................................... 24 2.3.3 Critério de Codesação de Cauchy.................... 25 2.3.4 Testes de Comparação............................ 26 2.3.5 Teste da Itegral............................... 28 3

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Capítulo Sequêcias Numéricas N este capítulo estudaremos o coceito de sequêcia umérica, o qual aparece aturalmete a modelagem de vários processos discretos. Por exemplo, em teoria da computação, o estudo do tempo de execução um algoritmo ou do espaço de memória que ocupam os dados, aparecem aturalmete equações discretas, cohecidas a literatura como equações de recorrêcia. Tais equações têm por icógita uma fução ϕ(, ode é um valor atural e, além disso, ϕ( depede de algus dos seus valores prévios, ou seja, depededo do modelo o valor de ϕ( pode depeder, por exemplo, do valor ϕ(. Estudaremos algumas propriedades topológicas e algébricas das sequêcias, exemplicado em cada mometo o coceito que está sedo abordado.. Sequêcias Numéricas Deotaremos o cojuto dos aturais por N = {, 2, 3, 4,... } o por N 0 os aturais icluido o zero, ou seja, N 0 = { 0,, 2, 3, 4,... }. Dado κ N 0, deotamos por N κ o cojuto de modo que N = N. N κ = { κ, κ +, κ + 2,... } N 0, Deição.. Uma sequêcia é uma fução ϕ : N κ R, a qual deotaremos simplesmete a = ϕ(, N κ. Quado κ = ( N o úmero a é chamado de termo -ésimo da sequêcia. Usaremos também a otação (a κ para represetar a sequêcia deida pela fução ϕ. Exemplo.2. A seguir damos algus exemplos de sequêcias. a a =, N. b b = (, N. c c =, N 2 = {2, 3, 4,... }. d d = se (π/, N. 5

e e = f f = l(, N 3 = {3, 4, 5,... }. 2 +(, N. Observação.3. As seguites observações relativas ao iício da eumeração de uma sequêcia são importates: a Muitas vezes as sequêcias vem deidas a través de fuções cohecidas, cujos domíios são itervalos do tipo (a, ou [a,, o que aturalmete impõe restrições ao iício da eumeração. Esta situação pode ser vista a sequêcia (e 3 do Exemplo.2, a qual é deida através da fução f(x =, que tem como domíio o cojuto l(x (2, + ; logo deverá pertecer a esse cojuto e daí a restrição N 3. b Toda sequêcia pode ser eumerada a partir de κ = ; de fato os termos da sequêcia (a κ são os mesmos que os da sequêcia (ã, ode ã := a +κ. As vezes é coveiete iiciar a eumeração em = 0, o que também ão gera problemas. A modo de exemplicar o descrito ateriormete, ressaltamos que os termos da sequêcia c = /(, 2, dados por 2, 3 2, 4 3, 5 4, 6 5,..., são os mesmos que os forecidos pela sequêcia c := c + = ( + /,..2 Covergêcia de sequêcias A oção de limite para sequêcias é deida de forma similar a como foi feito para o caso de fuções reais. Deição.4. Uma sequêcia (a κ coverge para o úmero real a se para cada ε > 0 existe um úmero real positivo ε κ tal que a a < ε para todo > ε, equivaletemete a ε < a < a + ε para todo > ε. Nesse caso dizemos que a sequêcia é covergete e caso cotrário que é divergete. O úmero a é chamado de limite de (a α e usamos a otação lim a = a para expressar esse fato. ( Exemplo.5. Os primeiros termos da sequêcia, dados por 2 2, 3 2, 4 3, 5 4, 6 5, 7 6,... são maiores que e cada vez estão mais próximos de. Vejamos a seguir que lim Com efeito, seja ε > 0 e cosideremos a desigualdade modular = < ε, =. Págia 6 de 3

a qual é satisfeita se, e somete se, < ε > + ε. Logo, podemos tomar como ε = max { 2, + ε}. Observação.6. O cadidato a limite de uma sequêcia ( a deve ser um úmero real a κ tal que para qualquer ε > 0 xado todos os termos da sequêcia, exceto talvez uma quatidade ita, ecotram-se a uma distâcia de valor ε do úmero a. Exemplo.7. A sequêcia ( +, 2, é divergete pois para todo ímpar assume o valor e para todo par assume o valor, logo uma iidade de termos cam em e outra quatidade iita cam em, o que obviamete cotradiz a observação acima. Deição.8. Diremos que a sequêcia (a κ tede para + quado se para todo α > 0 existe um úmero real positivo α κ tal que a > α para todo > α. Nesse caso, usaremos a otação lim a = +. De maeira similar, se a < α para todo > α dizemos que lim a =. Exercício.9. Seja c um úmero real. Usar a deição de limite para provar as seguites armações: a lim c = 0 para todo c <. b lim c = + para todo c >. c lim c ão existe para todo c d lim = 0 para todo β > 0. β e lim cos(π/2 ão existe. ( f lim + se = +. Observação.0. Da deição de limite podemos cocluir os seguites fatos: a lim a = 0 se, e somete se, lim a = 0. b Se lim a = +, etão lim = 0. a.3 Propriedades gerais das sequêcias covergetes Nesta seção apresetamos propriedades gerais das sequêcias covergetes. A primeira delas arma que uma sequêcia covergete ão pode acumular seus termos em dois potos diferetes. Teorema. (Uicidade do limite. O limite de uma sequêcia covergete (a κ é úico. Págia 7 de 3

Demostração. Supohamos, pelo cotrário, que existem a a 2 tais que a = lim a = a 2. Tomado ε = a a 2 4 temos etão que existe ε κ tal que a a < a a 2 4 a a 2 < a a 2 4 para todo > ε, para todo > ε. Usado as desigualdades acima e a desigualdade triagular obtemos que para todo > ε vale o que é uma cotradição. Portato, a = a 2. a a 2 a a + a a 2 < a a 2 4 = a a 2, 2 + a a 2 4 O próximo resultado os diz que todos os termos de uma sequêcia covergete estão localizados detro de um itervalo fechado [α, β] da reta. Teorema.2. Se (a κ é covergete etão é limitada, isto é, existem costates reais α e β tais que α a β para todo κ. Demostração. Seja a = lim a, etão tomado ε = a deição de limite temos que existe um úmero real κ, tal que a a < para todo >. Da desigualdade aterior segue que a < a < + a para todo. Cosiderado as costates α := mi { a κ, a κ+,..., a, a } e β := max { a κ, a κ+,..., a, a + } obtemos o resultado. Teorema.3 (Propriedades Algébricas. Se c R e as sequêcias (a κ são covergetes, etão e (b κ2 a ( c a κ coverge e vale que lim c a = c lim a, b ( a ± b κ c ( a b κ d ( a /b κ coverge e vale que lim (a ± b = lim a ± lim b, coverge e vale que lim (a b = lim a lim b, coverge se lim b a 0 e vale que lim = b lim a lim b, Págia 8 de 3

ode κ = max{κ, κ 2 }. Exemplo.4. Se desejamos calcular o limite quado o valor de tede para iito da sequêcia a = 23 + 5 7 3 + 2 +,, podemos proceder da seguite forma: primeiro dividimos umerador e deomiador por 3, que por ter o maior expoete cresce mais rápido o iito que os demais moômios. Desse modo obtemos a = 2 + 5/3 7 3 + 2 / 3 + / 3 = 2 + 5/2 7/ 3 + / + / 3. Pelas propriedades algébricas temos 2 + 5 lim lim a = /2 7 lim /3 + lim = 2 + 5 0 7 0 / + lim /3 + 0 + 0 Exemplo.5. Agora estudaremos a covergêcia da sequêcia a = 2 /3,. Mostraremos que lim = +, logo pela Observação.0 temos que lim = 0. Com efeito, 2 a 3 supohamos que 3, etão pela fórmula biomial de Newto tem-se 3 (2 + = 2 2 = > ( 0 2 0 + ( ( 3 2 3 2 = = 2. 2 + ( 2 2 + ( 2 3 + + ( 2 2 2 3 8( ( 2 6 2 = 42 2 + 8. 3 4 2 2 + 8 3 2 Etão, como lim = + temos que lim = +. Portato, lim 3 2 3 = 0. O exemplo aterior pode ser geeralizado, coforme descrito o resultado a seguir. Proposição.6. k Sejam c > e k N, vale que lim c = 0. Nesse caso dizemos que k é muito meor que c o iito, fato que deotamos por k c. Covidamos o leitor a adaptar a prova apresetada o Exemplo.5 ao caso geral apresetado a Proposição.6. Lembramos que a fórmula biomial de Newto é dada por (a + b = j=0 ( a j b j, j ( = j! j!( j!.4 Estratégias para calcular limites A seguir estudaremos algumas ferrametas que ajudarão a decidir se uma sequêcia é ou ão covergete, bem como calcular seu respectivo limite. Muitas vezes a existêcia ou ão do limite de uma sequêcia pode ser reduzido ao estudo do limite de uma fução, coforme é descrito o próximo resultado. Págia 9 de 3

Teorema.7. Seja (a κ tal que a = f(, ode f : [a, + R é uma fução real. Se f(x = a etão lim f( = a. lim x + Demostração. Como o lim f(x = a, dado ε > 0 existe x ε > κ tal que f(x a < ε x + para todo x > x ε. Cosequetemete, f( a < ε para todo > x ε, de ode segue o resultado auciado. Observação.8. É importate otar que o Teorema.7 só pode ser aplicado o caso de existêcia do limite o iito da fução f (em outras palavras, quado ela possuir assítota horizotal a semi-reta positiva. De fato, existem fuções f sem existêcia de limite o iito e, o etato, a sequêcia a = f( tem limite. Por exemplo, o limite o iito da fução f(x = se (πx ão existe, mas lim se (π = 0. Ates de passar a algus exemplos lembramos de dois limites clássicos estudados o curso de Cálculo I. se θ lim θ 0 θ ( = ad lim + x = e x + x O primeiro é cohecido como limite fudametal trigoométrico e o segudo como limite fudametal algébrico. Exemplo.9. Vejamos algus exemplos ode podemos aplicar o Teorema.7. a lim b lim = lim x + se (π/ = lim x + x x =, diculdade do seguite modo: x se (π/x = + 0 (forma idetermiada. Cotoramos a lim x se (π/x = lim se (π/x se θ π = π lim x + x + π/x θ 0 + θ ode foi usado a mudaça de variável θ = π/x. ( π ( π c lim 2 arcta( = lim x x + 2 arcta(x = + 0. Neste caso usamos a regra de l Hôpital para estudar a idetermiação; assim ( ( π π lim x x + 2 arcta(x 2 arcta(x = lim x + (/x /( + x 2 = lim x + /x 2 x 2 = lim x + + x 2 =. = π, Págia 0 de 3

Observação.20 (Ateção!. Lembramos que devemos tomar cuidado ao aplicar a regra de l'hôpital, pois utilizada idevidamete pode coduzirmos a respostas erradas. Por exemplo, ao cosiderarmos a fução 3x + cos x f(x = 2x cos x 3x + cos x temos que lim x + 2x cos x = +, o que os dá uma forma idetermiada. Se tetamos + cotorar a idetermiação usado a regra de l'hôpital teremos lim f(x = lim 3 se x x + x + 2 + se x ( ão existe!, e esse caso a resposta seria que o limite ão existe devido às oscilações do umerador e deomiador (covidamos o leitor a comprovar isso. No etato, essa resposta estaria errada pois esse limite existe e vale 3/2. De fato, lim f(x = lim 3 + (cos x/x x + x + 2 (cos x/x = 3 + 0 2 0 = 3 2, cos x ode sabemos do Cálculo que o Teorema do Cofroto os dá que lim x + x = 0. Pedimos ao leitor vericar as hipóteses da regra de l'hôpital e eteder a razão pela qual ão podemos aplicar a mesma este exemplo. Exercício.2. Usar a regra de l'hôpital para provar a Proposição.6. Exemplo.22. Seja P um polígoo regular de lados iscrito um círculo de raio, coforme gura a seguir. α Se deotamos por p o perímetro de P podemos vericar que lim p = 2π. Ou seja, os perímetros dos polígoos P se aproximam cada vez mais do comprimeto do círculo. Com efeito, sabemos que α = 2π/ e pela lei dos cosseos temos que p = 2 2 cos(2π/ = 2 cos(2π/. Págia de 3

Portato, lim p = lim 2 cos(2π/ = + 0 é uma forma idetermiada que aalisamos do seguite modo: lim p = 2 lim = 2 lim x + x se (2π/ + cos(2π/ se (2π/x. + cos(2π/x (. Ora, fazedo a mudaça θ = 2π/x ( x + θ 0 + tem-se lim x se (2π/x = lim x + + cos(2π/x θ 0 + 2π se θ θ Fialmete, combiado (. e (.2 obtemos que lim p = 2π. = 2π. (.2 + cos θ 2 Exercício.23. Dado N, sejam C o círculo de raio, cetrado a origem de coordeadas O = (0, 0, e E a elipse tagete a esse círculo com focos os potos F = (, 0 e F 2 = (, 0, coforme a seguite gura: F F 2 Calcule os seguites limites: Perímetro(E a lim Perímetro(C. Área(E + Perímetro(C b lim Área(C + Perímetro(E. Teorema.24. Seja (a κ tal que lim a = a e seja f : (a δ, a + δ R uma fução deida uma vizihaça de a. Se g for cotíua o poto x = a etão a sequêcia b = f(a está bem deida a partir de cero = ε e vale a relação lim f(a = f ( lim a = f(a. Demostração. Como f é cotíua o poto a para qualquer ε > 0 existe δ ε tal que 0 < δ ε < δ e, além disso, vericado f(x f(a < ε para todo x a < δ ε. (.3 Págia 2 de 3

Por outro lado, como lim a = a existe ε κ tal que a a < δ ε para todo > ε. (.4 Combiado (.3 e (.4 obtemos que f(a f(a < ε para todo > ε, de ode segue que lim f(a = f(a. 4 Exemplo.25. Para calcular o limite da sequêcia z = 2 + ( 2,, podemos + 6 usar o Teorema.24. Primeiro vemos que a sequêcia coverge para 4. De fato, lim a 4 2 + ( = lim 2 + 6 a = 42 + ( 2 + 6 4 + ( / 2 = lim + 6/ 2 = 4 + 0 + 0 = 4. Por outro lado a fução f(x = x está deida e é cotíua em todos os potos x 0. Portato, lim z 4 = lim 2 + ( 2 = 4 = 2. + 6 Exemplo.26. Usado o mesmo método temos que ( ( lim l = l lim 9 2 + 9 2 + ( = l lim 3 = l ( /3 = l 3. + /9 2 Observação.27. No Teorema.24 é fudametal a cotiuidade de f o poto a. Por exemplo, se f é a fução deida por f(x = 2 para x e f(x = para x <, y 2 a x vemos que ela possui uma descotiuidade de salto ito o poto x =. Cosideremos a sequêcia a = / <, para todo, de modo que f(a = para todo e otemos que lim a =. Nesse caso tem-se lim f(a = lim = f( = 2. Págia 3 de 3

Existem algumas sequêcias que ão se adaptam às hipóteses dos Teoremas.7 e.24. Por exemplo ω = 3 /!. A seguir provaremos a versão aáloga para sequêcias do Teorema do Cofroto, que foi estabelecido como uma ferramete útil para calcular limite de fuções. Teorema.28 (Teorema do Cofroto. Sejam (a κ, (b κ2 e (c κ3 sequêcias tais que a a b c, a partir de um sucietemete grade, b lim a = lim c = L. Etão, a sequêcia (b κ2 coverge e lim b = L. Demostração. Dado ε > 0 existe um úmero real ε max{κ, κ 2 } tal que a L < ε e c L < ε (.5 para todo > ε. Das desigualdades modulares em (.5 obtemos L ε < a b c < L + ε para todo ε, cosequetemete b L < ε para todo > ε, de ode podemos cocluir o resultado. Exemplo.29. Mostraremos a seguir que ω = 3 /!,, coverge para zero. Basta observar que vale a seguite desigualdade: 0 < 3! = 3 3 3 3 3 < 33 3 3 2 3 (4 5 3! 4 }{{} 3 = 9 2 ( 3 termos para todo > 3. De acordo com o Exercício.9 temos que lim do Cofroto, cosiderado a = 0 e c = 9 ( 3 2 4 De forma mais geral, vale o seguite resultado. ( 3 3, 4 3, temos que lim ( 3 3 = 0. Pelo Teorema 4 3! = 0. c Proposição.30. Para todo c R tem-se lim! = 0. Isto os diz que c é muito meor que! quado tede para iito, o que deotaremos por c!. Exercício.3. Usar o Teorema do Cofroto para justicar ou dar resposta a cada uma das situações a seguir.! a lim = 0, ou seja,!. ( arcta( b Calcular o valor de lim. Págia 4 de 3

b Se (a κ é limitada e (b κ2 é tal que lim b = 0, o que podemos dizer sobre lim a b? O próximo teorema resume algus dos resultados obtidos. Teorema.32. Se c > e k N, etão k c!, o que sigica que k lim c = lim c! = lim! = 0. O seguite resultado os forece algus limites importates. Exercício.33. Sejam c > 0 e p κ (x = a k x k + a k x k + + a 0 um poliômio de grau κ com a k > 0. Calcular os seguites limites: a lim b lim c lim c pk (.5 Sequêcias moótoas Deição.34. Uma sequêcia (a κ diz-se moótoa ão-decrescete se a a + para todo κ e caso as desigualdades sejam estritas (a < a + dizemos etão que é moótoa crescete. Aalogamete, se a + a ou a + < a para todo κ dizemos que a sequêcia é é moótoa ão-crescete ou decrescete, respectivamete. Exemplo.35. A sequêcia ( 2 é crescete e sequêcia ( +2 é decrescete, sedo ambos fatos são de fácil vericação. Em algus casos ão é tão simples a vericação do crescimeto ou decrescimeto de uma sequêcia, vejamos o exemplo a seguir. Exemplo.36. Cosideremos a sequêcia a = l(/,, ode claramete o umerador e o deomiador crescem, mas desejamos saber o que acotece com o quociete dessas duas quatidades em termos de mootoia. Nesse caso, um recurso que os ajudará é olhar para a fução f(x = l(x/x e ver como se comporta o sial de sua derivada para x sucietemete grade. De fato, f (x = l(x x 2 < 0 para todo x > e, ode e 2, 78 28 deota o úmero de Euler. Sigica isto que f é uma fução estritamete decrescete para todo x > e, logo para todo 3. l( + + = f( + < f( = l(, Págia 5 de 3

3 5 (2 Exemplo.37. Deseja-se calcular, caso exista, o limite da sequêcia a =,!. Com tal objetivo, estudaremos primeiro sua mootoia. Quado a sequêcia é de termos positivos um outro recurso importate, o qual aplicaremos a este exemplo, é comparar comportameto de a + com. Isto é, a se a + a para todo κ etão (a κ é ão-decrescete a partir de κ; se a + a para todo κ etão (a κ é ão-crescete a partir de κ. Em osso exemplo, a + 3 (2 (2 +! = a ( +! 2 (2 = 2 + + = + + >, logo a + > a para todo, i.e., essa sequêcia é estritamete crescete. Este procedimeto também os ajuda a cocluir que lim a = +. Com efeito, primeiro observamos que a + 2 + lim = lim a + = 2, o que sigica, pela deição de limite que existe κ N tal que a + 2 < /2 a para todo κ. Podemos cocluir etão que a + > 2 a 2 = 3 2 deste poto podemos alizar a aálise de duas formas distitas. para todo κ. A partir Primeira alterativa. Da última desigualdade podemos cocluir que a > 3 ( 3 2a 2 ( 3 κaκ 2 a > > >. 2 2 ( 3 κaκ Como lim = + tem-se etão que lim 2 a = +. Seguda alterativa. Como (a é crescete e de termos positivos etão só existem duas possibilidades: existe 0 < a < + tal que lim a = a ou lim a = +. Supodo que estamos a primeira situação, teríamos o que lim a + = a, de ode cocluímos que a + 2 = lim = a lim a + lim a = a a =, logo chagaríamos a uma armação falsa. Portato, lim a = +. Págia 6 de 3

Observação.38 (Ateção!. Do exemplo aterior podemos assegurar que toda vez que a + uma sequêcia (a κ coverge para um úmero ito a 0 temos que lim =. No a etato, o caso a = 0 isso pode falhar. Por exemplo, a = a + a = 2 2 + = 2. A seguir descrevemos o pricipal resultado desta seção.,, tem limite zero e 2 Teorema.39 (Teorema da Sequêcia Moótoa. Seja (a κ uma sequêcia moótoa ão-decrescete e limitada superiormete, isto é, existe M R tal que a κ a κ+ a a + M, etão (a κ é covergete e lim a = α, ode α é a meor limitate superior possível, cohecida como supremo da sequêcia. Aalogamete, se (a κ é uma sequêcia moótoa ão-crescete e limitada iferiormete, isto é, existe m R tal que a κ a κ+... a a + m, etão (a κ é covergete e lim a = β, ode β é a maior limitate iferior possível, cohecida como ímo da sequêcia. A demostração do Teorema da Sequêcia Moótoa usa essecialmete o Axioma de Completude dos úmeros reais. O leitor iteressado pode ecotrar uma demostração rigorosa em [?]. Exemplo.40. Cosidere a sequêcia deida por a = 2, a 2 = 2 + 2,..., a + = 2 + a, ode os termos são deidos de forma recorrete, isto é, o termo de ordem + depede do valor da sequêcia o mometo aterior. Neste caso especíco ão cotamos com uma lei explícita para o formato dos termos a, mas veremos como o Teorema.39 mostra-se muito útil o estudo da covergêcia dessa sequêcia. Primeiro vericamos que (a é limitada superiormete por 2. Com efeito, iicialmete sabemos que a = 2 < 2 e supohamos que a < 2 para algum N, etão a + = 2 + a < 2 + 2 = 2. Logo, pelo Pricípio de Idução, temos que todos os termos da sequêcia estão limitados superiormete pela costate 2. Por outro lado, podemos vericar que a sequêcia é moótoa decrescete, ou seja, a + = 2 + a > a para todo. De fato, vericar esta desigualdade é equivalete a provar que a 2 < a + 2 a 2 a 2 < 0 Págia 7 de 3

sempre que a for positivo. A última desigualdade é verdadeira pois a fução de segudo grau f(x = x 2 x 2 = (x + (x 2 assume images com valores egativos se, e somete se, < x < 2 (ver o gráco abaixo. f(x f(x = x 2 x 2 a 0 2 x Como 0 < a < 2 temos que f(a = a 2 a 2 < 0. Portato, o Teorema.39 garate que existe 0 < a < + tal que lim 0 a = a. Além disso, também podemos calcular o valor do limite a, pois lim a + = lim a = a. 0 0 Etão, a = lim a + = + lim a = + a, 0 0 de ode obtemos que a 2 = + a, i.e., a = 2. Págia 8 de 3

Capítulo 2 Séries Numéricas N este capítulo estederemos o coceito de soma de um úmero ito de úmeros reais para o caso em que são somados iitos elemetos. Além de estudar vários critérios que ós ajudarão a saber quado a soma de iitos úmeros possui um valor ito veremos, o al do capítulo, que certos tipos de somas iitas perdem a propriedade comutativa, válida o caso de somas itas. 2. Séries Numéricas Dada uma sequêcia (a, cosideramos uma ova sequêcia, deida a partir dela, da forma seguite: s = a, s 2 = a + a 2, Observamos também que vale a relação. s = a + a 2 + + a = a κ. κ= s = (a + a 2 + + a + a = s + a, (2. para todo 2. Deição 2.. O termo s é chamado de soma parcial de ordem da sequêcia (a e a sequêcia de somas parciais (s é chamada de série de (a. Deotaremos simbolicamete a série de (a por a = a + a 2 + + a + = 9

Observação 2.2. No caso de sequêcias que teham iício da eumeração em = α, ou seja, (a α, vale a relação a = a α+. =α Deição 2.3. Diremos que uma série = a é covergete se a sequêcia de suas somas = parciais coverge para algum úmero ito s, ou seja, se lim s = lim a κ = s. κ= Nesse caso dizemos que a soma da série é igual a s. dizemos que ela é divergete. Exemplo 2.4. A série ( diverge. De fato, = Se uma série for covergete etão s =, s 2 = + = 0, s 3 = + =,. s = de ode cocluímos que s diverge. { se = 2κ +, 0 se = 2κ, Exemplo 2.5. Cosidere a dízima periódica 0, 444444..., a qual pode ser represetada como uma série da seguite forma: 0, 444444... = 0, 4 + 0, 04 + 0, 004 + 0, 0004 + = 4 0 + 4 0 2 + 4 0 3 + + 4 0 + = 4 ( + 0 0 + 0 2 + + 0 +. De fato, provaremos a seguir que + resultado algo que já sabemos: 2.. Séries Geométricas 0 + + + + = 0 0 2 0 9, o que os dá como 0, 444444... = 4 9. Sejam r R e N. Cosideremos a soma geométrica ita s = + r + r 2 + r = r κ. (2.2 κ=0 Págia 20 de 3

Quado r =, s = + + + }{{} vezes uma fórmula para calcular s, fazedo o seguite processo: Assim, segue de (2.2 e (2.3 que =, logo lim s =. Se r é possível ecotrar rs = r + r 2 + + r + r +. (2.3 s rs = + r + r 2 + + r (r + r 2 + + r + r + = + (r + r 2 + + r (r + r 2 + + r r + = r +. (2.4 Fialmete, como r podemos cocluir de (2.4 que ( rs = r +, de ode segue que Portato, s = r+ r lim s = = r r+ r = r + r+ r. se r <, r + se r >, (2.5 e quado r < observamos que s toma valores positivos e egativos arbitrariamete grades quado tede para iito. Podemos cocluir etão que a série geométrica: =0 r = r para todo r <, e diverge sempre que r. Exemplo 2.6. =0 2 = /2 = 2. Exercício 2.7. Seja f(a = =, com a >. Usar a mesma ideia para calcular o valor a da soma da série geométrica com razão r = /a para demostrar que a série f(a coverge e, além disso, determiar o valor de f(a. Primeiro faça o caso a = 2 e estude a difereça etre s e s /2, ode s é a soma parcial de ordem. 2..2 Séries redutíveis (séries de Megoli Deição 2.8. Uma série tal que para algum r N. a é redutível ou de Megoli se existe uma sequêcia (b = a = b b +r, Págia 2 de 3

Exemplo 2.9. A série = ( + é redutível com r =. Com efeito, ( + = + = b b +, tomado b = /,. A estrutura adotada pelos termos a os permite provar que esta série é covergete e, mais do que isso, podemos calcular o valor de sua soma. De fato, s = ( 2 + ( 2 3 + + ( logo lim s = lim =. + ( + ( + = + ; Exercício 2.0. Dado r N cosiderar a série = ( + r. a Provar que a séria dada é de Megoli para todo r N. b Provar que = ( + r = ( + r 2 + +. r No item b fazer primeiro os casos r =, 2, 3. Exemplo 2.. A série l( + / é divergete. Com efeito, = ( + l( + / = l = l( + l(; logo a soma parcial s é dada pela soma telescópica s = ( l2 l + ( l3 l2 + ( l3 l4 + + ( l( + l = l( +. De ode cocluímos que lim s = lim l( + = +. 2.2 Codição ecessária de covergêcia Para uma série covergir é ecessário que os termos que estão sedo somados covirjam para zero o iito, em outras palavras vale o seguite resultado: Teorema 2.2 (Codição Necessária de Covergêcia. Seja (a uma sequêcia. Se a série a é covergete etão lim a = 0. = Págia 22 de 3

Demostração. Da covergêcia da série segue que lim s = lim s = s. Por outro lado da relação (2. temos que lim a = lim s lim s = 0, de ode segue o resultado. Exemplo 2.3. A série = ( + diverge pois 2 ( lim + { ( = lim + } 2x /2 { = 2 x + 2x lim x + ( + } 2x /2 = e 0. 2x Observamos efaticamete que a codição dada o Teorema 2.2 é ecessária, mas ão suciete. Por exemplo, como já vimos, a l( + / diverge e, o etato, lim l( + / = l ( lim ( + / = 0. 2.3 Séries de termos ão-egativos Nesta seção estudaremos algus critérios que ajudarão a decidir quado uma série de termos positivos é covergete, ou seja, estamos iteressados em séries do tipo a, a 0. (2.6 = Para toda série do tipo (2.6 que seja covergete a sequêcia de somas parciais (s é limitada, vide o Teorema.2. O primeiro fato importate paar este tipo de séries é que essa codição de limitação passa a ser suciete. De forma mais precisa, vale o seguite resultado. Proposição 2.4. A m de provar a covergêcia da série (2.6 é suciete ecotrar uma costate positiva M tal que s = a + a 2 + + a M. Nesse caso, s lim s M. Se ão existir uma limitate superior M para (s, etão lim s = +. Demostração. As somas parciais satisfazem s + s = a + 0, logo formam uma sequêcia ão-decrescete. Portato, se existir uma costate M limitado superiormete a sequêcia (s o Teorema de Sequêcia Moótoa os garate o resultado. 2.3. A série harmôica / é cohecida como série harmôica, a A série da sequêcia a = /,, isto é, = qual provaremos que diverge. Primeiro separamos as somas parciais de ordem par como segue: h 2 := + 2 + 3 + + 2 = ( + 3 + 5 + + 2 } {{ } u + ( 2 + 4 + + 2 }{{} v, Págia 23 de 3

ode v = ( + 2 2 + + = h 2. Se supomos que a lim h = h < +, etão lim h 2 = s e das igualdades acima obtemos que lim u = lim v = h/2. Por outro lado, podemos escrever as difereças etre u e v do seguite modo: ( u v = ( + 2 3 4 ( + + 2, 2 de ode obtemos que u v = 2 + 2 3 + + (2 2 > 2, para todo. Passado ao limite temos etão que o que é uma cotradição, logo / = +. = 0 = lim u lim v 2, Exercício 2.5. Provar por idução que as somas de ordem 2 das série harmôica satisfazem a estimativa s 2 = + 2 + 3 + 4 + + 2 + 2 > + 2. Usar este fato para vericar, de outra forma, a divergêcia da série harmôica. 2.3.2 A p-série Dado p R, a série quado p =. = recibe o ome de p-série, a qual coicide com a série harmôica p Se p 0 tem-se que lim /p 0, logo a série diverge, pois ão satisfaz a codição ecessária estabelecida o Teorema 2.2. Se 0 < p, temos que / p / para todo, logo s := + 2 p + 3 p + + p > + 2 + 3 + + = h. Assim lim h lim s e como já provamos que lim h = +, etão segue desta desigualdade que lim s = +, i.e, a série diverge este caso. Exercício 2.6. Repetir o procedimeto aálogo ao usado para mostrar que a série harmôica diverge para dar uma prova alterativa de que a p-série diverge sempre que 0 < p <. Mostraremos que há covergêcia o caso p > com o auxílio de um critério de covergêcia que possui uma certa geeralidade. Págia 24 de 3

2.3.3 Critério de Codesação de Cauchy Provaremos agora um primeiro teste de covergêcia/divergêcia para séries de termos ãoegativos, cohecido como Critério Codesação de Cauchy. Teorema 2.7 (Teste da série codesada. Se (a κ é uma sequêcia tal que etão a série a κ a κ+ a a + 0, a coverge se, e somete se, a série codesada =κ =κ 2 a 2 coverge. Demostração. Assumiremos, sem perda de geeralidade, que κ =. Deotemos por (s as somas parciais de a e por ( s 0 as somas parciais de 2 a 2. Os termos de ambas as séries são ão-egativos, logo as somas parciais (s e ( s 0 são ão-decrescetes. Dado m N, lembramos que existe N tal que 2 m < 2 +. Primeiro provaremos que se a série codesada coverge etão a série origial coverge. Usado as propriedades de (a temos que s m = a + a 2 + a 3 + + a m < a + (a 2 + a 3 + (a 4 + a 5 + a 6 + a 7 + + (a 2 + + a 2 + }{{} 2 termos a + (a 2 + a 2 + (a 4 + a 4 + a 4 + a 4 + + (a 2 + + a 2 }{{} 2 termos a + 2a 2 + 4a 4 + + 2 a 2 = s. Como ( s coverge etão é limitada superiormete por uma costate M, etão s m < s M, (2.7 s m < s m+. (2.8 Logo, pelo Teorema da Sequêcia Moótoa (Teorema.39 a série (s m m coverge. Por outro lado, supohamos que (s m m é covergete. Desde que m 2, temos que s = a + 2a 2 + 4a 4 + 8a 8 + + 2 a 2 ( = 2 a /2 + a 2 + 2a 4 + 4a 8 + + 2 a 2 ( 2 a + a 2 + (a 3 + a 4 + (a 5 + a 6 + a 7 + a 8 + + (a 2 + + + a 2 + a 2 }{{} 2 termos 2(s 2 + a 2 + + + m = 2s m. Como (s m m coverge etão é limitada superiormete por uma costate M, etão s < s m 2M, (2.9 s < s +, (2.0 logo a covergêcia de (s m m segue ovamete do Teorema.39. Págia 25 de 3

Corolário 2.8. Dado p > 0, a p-série = coverge se, e somete se, p >. p Demostração. Para p > 0, observamos que p > > 0 para todo, logo são ( + p válidas as hipóteses do Teorema 2.7. A série codesada, dada por = 2 2 p = ( 2 p = é uma série geométrica que coverge se, e somete se, 2 p < p >. 2.3.4 Testes de Comparação A partir deste mometo, quado ão for importate o iício de eumeração de uma série, podemos referirmos a ela simplesmete como a. Algumas das ideias discutidas iicialmete sobre a covergêcia ou divergêcia de séries de termos ão-egativos trazem a sua essêcia um argumeto que chamamos de Teste de Comparação, o qual euciamos a seguir. Teorema 2.9 (Teste de Comparação. Sejam a e b duas séries de termos ãoegativos. Supoha que existem uma costate positiva c e um úmero atural κ tais que Etão, valem as seguites armações: 0 a c b para todo κ. a A covergêcia de b implica a covergêcia de a. Além disso, a c b. b A divergêcia de a implica a divergêcia de b Demostração. Deotamos por u = a j e v = b j, para κ, as somas parciais j=κ j=κ das séries, iiciadas em κ. Primeiro provaremos b, etão supohamos que lim v = b, etão pelas hipóteses temos que =κ =κ 0 u u +, κ, (2. 0 u = a j c b j c v c b. (2.2 j=κ j=κ Portato, o Teorema da Sequêcia Moótoa os dá a covergêcia de (u κ, e cosequetemete a covergêcia de a, idepedetemete de ode teha começado a soma. Passamos agora à prova do item b. Nesse caso temos como hipóteses que lim u = + ; logo, como u v para todo κ tem-se que lim v = +. Págia 26 de 3

Exemplo 2.20. A série = diverge, etão = Exemplo 2.2. A série todo. Comparação. Como = = l = 2 l diverge, pois a := l também diverge. > =: b para todo 3. Como arcta( + 2 coverge. Com efeito, a := arcta( + 2 < π 2 2 para coverge, a covergêcia da série origial decorre do Teste de Em muitas ocasiões as hipóteses do Teste de Comparação podem ser ecotradas através do estudo do comportameto o iito de a /b, coforme o resultado a seguir. Corolário 2.22 (Comparação Assitótica. Sejam a e b duas séries de termos ão-egativos. Supoha que b > 0 para todo κ e que a lim = c, 0 c < +. b Valem as seguites armações: a Se c > 0, as séries a e b covergem ou divergem simultaeamete. b Se c = 0 apeas podemos armar que b a covergêcia de b implica a covergêcia de a, b 2 a divergêcia de a implica a divergêcia de b. Demostração. A demostração decorre diretamete da deição de limite e do uso do Teste de Comparação. Deixamos a mesma como exercício para o leitor. Observação 2.23. No Corolário 2.22, se lim a /b = + etão lim b /a = 0; portato, esse caso podemos armar as coclusões em b e b 2 trocado apeas os papéis da séries a e b. Exemplo 2.24. A série = assim calculamos o limite: lim ( l 3/2 2 ( l 2 coverge. Comparemos, por exemplo, com a série 3/2 ; = = lim = lim = lim x + = lim x + ( l 2 3/2 2 ( l 2 = lim x + 2 l x/x /(2 x 4 l x/x = lim x x + ( l x 2 x 4 l x x = lim x + 8 x = 0, Págia 27 de 3

ode foi aplicada duas vezes a regra de l'hôspital. Etão, como coverge, pela armação b do Corolário 2.22 cocluímos que série origial 3/2 coverge. Exercício 2.25. Determie os valores reais que α pode assumir para que a série seja coverge. =2 ( l α 2.3.5 Teste da Itegral Quado os termos de uma série iita formam um sequêcia decrescete já vimos que o Critério de Codesação de Cauchy é uma ferrameta que pode ajudar a determiar se a série coverge ou diverge. Nesta seção estudaremos séries desse tipo, ode os termos a são dados por médio de uma fução decrescete. Nesse caso veremos que a itegral imprópria dessa fução os ajudará a decidir o caráter da covergêcia da série. Para facilitar a apresetação vamos cosiderar séries cujos termos a estão deidos para todo. Em grade parte dos casos o termo a de uma série é uma fução de dada por uma fórmula a = f(. Supohamos que ao trocarmos por uma variável cotíua x seja obtida uma fução f(x cotíua e decrescete para todo x. Veremos a seguir que o comportameto da itegral imprópria de f deirá o comportameto da série quato a sua covergêcia. Caso I. Supohamos que y f(x dx = lim 0 f(x dx < +. y = f(x R R 2 R R 2 x Figura 2.: O retâgulo R tem como base uma uidade e o valor de sua altura é f(. Apoiado-os o gráco da Figura 2. podemos estimar as somas parciais da série da Págia 28 de 3

seguite forma: s = a + a 2 + + a + a = a + Área(R 2 + + Área(R + Área(R < a + < a + f(x dx f(x dx. (2.3 Como ( s é uma sequêcia crescete, segue do Teorema da Sequêcia Moótoa que a série é covergete este caso. Caso II. Supohamos que f(x dx = lim f(x dx = +. 0 Fazemos um esboço auxiliar, similar ao da Figura 2., só que agora a decomposição dos retâgulos é feita de modo que o lado superior de cada um deles esteja acima do gráco da fução f(x, coforme a Figura 2.2. y y = f(x R R 2 R R 2 3 + x Figura 2.2: O retâgulo R tem como base uma uidade e o vaor de sua altura é f(. Assim, vemos que vale a estimativa s = a + a 2 + + a + a = Área(R + + Área(R + Área(R + (2.4 > f(x dx. + Etão, como lim f(x dx = +, podemos cocluir da desigualdade (2.4 que as somas parciais divergem, ou seja, lim s = +. As ideias discutidas até o mometo são ressumidas, um formato levemete mais geral, o seguite resultado. Págia 29 de 3

Teorema 2.26 (Teste da Itegral. Seja f : [κ, + [0, +, com κ N, uma fução decrescete, e cosidere a série a, ode a = f(. Etão, a itegral imprópria + κ f(x dx e a série =κ f( covergem ou divergem simultaeamete. =κ Observação 2.27. Normalmete, a ampla literatura de livros de cálculo o Teste da Itegral é euciado com a hipótese de f ser uma fução cotíua, o que apeas serve para deixar claro a itegrabilidade de f em cada itervalo [κ, ]. No etato, ressaltamos que essa hipótese ão é ecessária visto que fuções moótoas, deidas em itervalos fechados e limitados, sempre são itegráveis o setido de Riema. Exemplo 2.28. Determiaremos os valores de α 0 para os quais a série (l α =2 coverge. Primeiro otamos que a fução (l x α é positiva e decrescete para todo α 0, x o que é fácil de vericar, uma vez que o deomiador g(x = (l x α x é o produto de duas fuções crescetes. A itegral imprópria pode ser rescrita, após uma mudaça de variável, como + + (l x α x dx = y α dy. 2 Lembramos agora que a última itegral coverge se, e somete se, α >. Etão podemos cocluir que para todo α 0 a covergêcia da série se dá o caso em que α > e a divergêcia quado 0 α. Neste exemplo também poderíamos ter usado o Teste de Codesação de Cauchy. Com efeito, dado o decrescimeto da sequêcia positiva a = (l α, 2, basta olhar o comportameto da série = que coverge se, e somete se, α >. l 2 2 (l 2 α 2 = (l 2 α α = (l 2 α = = α, Exercício 2.29. Fazer um estudo de covergêcia para a A série do Exemplo 2.28 o caso α < 0. b b =2 =2 (l l. (l α com α, β R. β Págia 30 de 3

Exercício 2.30. Cosiderar as hipóteses do Teste da Itegral com κ = e deir F := a + a 2 + + a Usar a Figura 2.2 para justicar as seguites armações: a F > 0 para todo. b F F + > 0 para todo. f(x dx. c Cocluir que existe um úmero ão-egativo γ, que depede da fução f, tal que com lim r = 0. a + a 2 + + a = γ + f(x dx + r, d Cocluir que quado f(x = /x existe o limite ( + 2 + 3 + + l := γ 0. lim A costate γ 0 é cohecida como costate de Euler-Mascheroi e seu valor aproximado é γ 0 0, 5772566490, sedo até hoje descohecido se este úmero é ou ão racioal. Págia 3 de 3