Sinais e Sistemas Unidade 5 Representação em domínio da frequência para sinais contínuos: Transformada de Laplace Prof. Cassiano Rech, Dr. Eng. rech.cassiano@gmail.com Prof. Rafael Concatto Beltrame, Me. Eng. rcbeltrame@gmail.com
Conteúdo da unidade Introdução Definição da Transformada de Laplace Solução de equações diferenciais lineares e invariante no tempo Função de Transferência Conceito de pólos e zeros Estabilidade de sistemas Sistemas com atraso de transporte Análise da resposta transitória Análise da resposta em regime permanente Resposta em frequência e Diagrama de Bode Aulas 01 e 02 Aula 03 Aula 04 Aulas 05 e 06 2
Aula 03 Função de Transferência Definição Procedimento de obtenção Integral de convolução Resposta impulsional Conceito de pólos e zeros Definição Estabilidade de sistemas Estabilidade absoluta Estabilidade relativa Análise no plano complexo Critério de estabilidade de Routh 3
Função de transferência Aplicável Definição Sistemas representados por equações diferenciais LTI Sistemas relaxados Condições iniciais nulas Enunciado Relação entre as Transfomadas de Laplace do sinal de saída (função resposta) e do sinal de entrada (função excitação) 4
Função de transferência Seja o sistema representado pela equação diferencial LTI Função de Transferência G s n n1 a y a y a y a y 0 1 n1 L m m1 b x b x b x b x nm 0 1 m1 LSaída Entrada Condições iniciais 0 n m G s m m1 Y s bs 0 bs 1 bm1sb n n1 X s as as a sa 0 1 n1 m n 5
Função de transferência Comentários Modelo matemático do sistema Método operacional para representar a equação diferencial relacionando a saída à entrada Representa uma propriedade intrínseca do sistema Independe da natureza da excitação (amplitude ou tipo) Não fornece informações sobre a estrutura física (interna) do sistema Pode ser obtida experimentalmente Introduz se sinais de entrada conhecidos e mede se os sinais de saída Faz se a relação entre os sinais de saída e entrada 6
Função de transferência Procedimento de obtenção 1) Escrever a equação diferencial do sistema (LTI) 2) Aplicar a Transformada de Laplace à equação diferencial Considerar todas as condições iniciais nulas 3) Obter a relação entre as Transformadas de Laplace do sinal de saída e do sinal de entrada Exercício Obter a função de transferência sistema representado pela seguinte equação diferencial LTI 1 y 5y 3y y2x 4x 2 7
Função de transferência Integral de convolução Seja a seguinte função de transferência Y s Gs Y s G s X s X s A multiplicação de funções em s equivale à convolução em t Logo a Transformada Inversa de Laplace da equação anterior é t y t x τ gt τ dτ g τ x t τ dτ 0 0 t 8
Função de transferência Resposta impulsional Considerando que a entrada x(t) seja um impulso unitário A Transformada de Laplace de um impulso unitário é igual a 1 YsGsXs YsGs Logo a Transformada Inversa de Laplace da equação anterior fornece a resposta do sistema ao impulso unitário aplicado Resposta impulsional do sistema 1 L G s g t OBS: A função de transferência e a resposta impulsional de um sistema LTI contêm a mesma informação acerca da dinâmica do sistema 9
Conceito de pólos e zeros Definição de pólo Se G(s) tender ao infinito quando s tender a p e se n para 123,,, G s s p n sp possuir valor finito, não nulo, então s = p édito pólo de ordem n Pontos ordinários Pontos no plano s onde G(s) é analítica Atendem as condições de Cauchy Riemann Pontos singulares Pontos no plano s onde G(s) ou suas derivadas tendem ao infinito (pólos) 10
Conceito de pólos e zeros Definição de zero Os pontos nos quais a função G(s) se anula são chamados de zeros da função de transferência Exercício 1) Calcular os pólos e os zeros da seguinte função de transferência G s s 2s 10 1 5 15 2 s s s s 2) Determine G(s) para s tendendo ao infinito Conceito de zeros no infinito 11
Estabilidade de sistemas Estabilidade absoluta Sistema LTI estável A saída retorna àseu ao estado de equilíbrio quando o sistema é submetido a uma condição inicial Sistema LTI criticamente estável A saída apresenta oscilações que se conservam indefinidamente Sistema LTI instável A saída apresenta valores que divergem sem limite do seu estado de equilíbrio quando o sistema é submetido a uma condição inicial 12
Estabilidade de sistemas Análise no plano complexo Localização da parte real dos pólos da função de transferência Pólos sem parte complexa Comportamento monotônico Pólos com parte complexa Comportamento oscilatório amortecido 13
Estabilidade de sistemas Exercício Esboce a localização dos pólos e dos zeros da seguinte função de transferência no plano complexo e diga se o sistema éestável ou instável Símbolos: O zeros X pólos G s s 2 4 2 6s13 s 8s 72s65 14
Estabilidade de sistemas Critério de Routh Informa a localização das raízes de uma equação polinomial sem a necessidade de resolvê la Procedimento 1) Escrever o polinômio do denominador da forma n n 1 0 1 n1 as as a sa 2) Condição necessária à estabilidade: todos os elementos do polinômio com sinal positivo. Esta não éuma condição suficiente! n 15
Estabilidade de sistemas 3) Se todos os coeficientes forem positivos, rearranjá los conforme o seguinte padrão: n s a a a a n1 n2 n3 n4 2 1 0 0 2 4 6 s a a a a 1 3 5 7 s b b b b 1 2 3 4 s c c c c 1 2 3 4 s d d d d s e e s s f g 1 2 3 4 1 2 1 1 b c d aa aa, aa aa, 1 2 0 3 1 4 0 5 1 b2 a1 a1 ba ab, ba ab, 1 3 1 2 1 5 1 3 1 c2 b1 b1 cb bc cb bc,, 1 2 1 2 1 3 1 3 1 d2 c1 c1 Repetir processo até que a n ésima linha tenha sido completada 16
Estabilidade de sistemas 4) Critério de Routh O número de raízes no semiplano direito (instáveis) éigual ao número de mudanças de sinal dos coeficientes da primeira coluna n s a a a a n1 n2 n3 n4 2 1 0 0 2 4 6 s a a a a 1 3 5 7 s b b b b 1 2 3 4 s c c c c 1 2 3 4 s d d d d s e e s s f g 1 2 3 4 1 2 1 1 17
Estabilidade de sistemas Exercício Determinar K para que o sistema representado por G(s) seja estável G s 2 1 2 Primeiramente, verificar o sinal dos coeficientes do polinômio do denominador Se necessário (todos positivos), aplicar o critério de Routh 1 s s s s K Resposta: 14 9 K 0 18
Bibliografia [1] OGATA, K. Engenharia de controle moderno. 3ª ed. Rio de Janeiro: Prentice Hall, 2000. [2] CHAPARRO, L. F. Signals and systems using MATLAB. Oxford: Elsevier, 2011. 19