Icerteza: o básco Prof: Sabo da Slva Porto Júor Sabo@ppge.ufrgs.br Itrodução Até agora: coseqüêcas das escolhas dos cosumdores são cohecdas com certeza. Nova suposção: cosumdores e produtores tem apeas uma déa aproxmada dos resultados possíves e atrbuem probabldades para dsttos ceáros possíves. DECISÃO SOB INCERTEZA Probabldades (objetva e subjetva): permtem aalsar decsão sob certeza. Aplcações: Mercado de seguros ampla-se o cojuto de commodtes. Lelões, stuações evolvedo terações estratégcas (ação e reação) Perfl do tomador de rsco: A decsão por correr mas rsco e maxmzar gahos (títulos a bolsa de valores) ou correr meos rsco e mmzar os gahos depede do perfl do tomador de rsco e de suas preferêcas pessoas. A teora da Utldade esperada possblta ao tomador de decsão corporar ao processo decsóro suas preferêcas em relação ao rsco: aversão, eutraldade ou propesão ao rsco e outros fatores subjetvos. Para cada tomador de decsão uma fução de utldade Teora da Probabldade Mudo com certeza: Ação resultado certo = ocorre com certeza Agora: Mudo com certeza: Ação resultado certo = dferetes resultados possíves Se for possível atrbur probabldade postva para esses resultados certos é possível aalsar decsão de rsco de forma semelhate a aalse de decsões em jogos de azar. 3 4
Teora da Probabldade Probabldade objetva: observável va expermeto Ex: moeda ão-vcada arremessada mutas vezes (000 a 0000 vezes) Moeda justa: p(ca)=p(co)= 50%. Obtém-se, portato, uma dstrbução de probabldades sobre resultados que é objetva e sso permte fazer prevsões. 5 Teora da Probabldade Moeda Justa: Cara com probabldade ½ Coroa com probabldade ½ Dado justo: poto pr /6 potos pr /6 3 potos pr /6 4 potos pr /6 5 potos pr /6 6 potos pr /6 6 Teora da Probabldade Probabldade subjetva: experêca; formação/pesqus (formações a pror); creça. Ex: decdr etre dos atvos; decdr etre dos empregos; decdr etre tratametos médcos alteratvos. Palpte do Gerete do baco: Um Atvo para R$ 6 por ação com pr /3 e ada com pr zero. Outro Atvo paga R$ 3 com pr ½ e R$ com pr ½ Outro Gerete: tera outro cojuto de palptes. 7 O que devemos saber sobre probabldades?. Somam. Valor esperado 3. Varâca 4. Idepedêca 8
O que devemos saber sobre probabldades?. Probabldades somam : Moeda: ½ + ½ = Dado: /6 + /6 + /6 + /6 + /6 + /6 = Atvos: /3 + /3 = Evetos são mutuamete exclusvos Exaurem todos os resultados possíves Apeas um eveto ocorrerá O que devemos saber sobre probabldades?. Valor esperado: valor médo dos resultados possíves. Num jogo jogado mutas vezes esse resultado é o esperado. Multplca-se cada resultado por sua probabldade e somam-se os produtos Aposta justa: o preço pago para partcpar do jogo (gamble) é gual ao valor esperado do jogo. 9 0 E[A ] = valor esperado do Atvo Se os atvos custam R$, etão, a aposta é justa: E [ A ] = (6) + (0) = 3 3 E [ A ] = (3) + () = Proposção: o valor esperado de um resultado certo (pr = ) é o própro valor do resultado. 3. Varâca: jogos dferetes com o mesmo valor esperado podem dferr a dspersão em relação a meda Varâca = é a soma da dfereça ao quadrado etre os resultados possíves e o valor esperado da lotera, cada uma, multplcada por suas respectvas probabldades. 3
Varâca: dspersão méda dos resultados em relação à méda. Var[ A ] = ( 6 ) + ( 0 ) 3 3 6 8 Var[ A ] = + = 8 3 3 Var[ A ] = (3 ) + ( ) =, 0 4. Idepedêca Cada vez que o jogo é jogado a dstrbução de probabldades dos resultados é a mesma do jogo sedo uma úca vez. Resultados possíves são depedetes: A ocorrêca de um eveto ão tem fluêca sobre a probabldade de ocorrêca de outro eveto. Toda vez que uma moeda justa é arremessada, a probabldade de ocorrer cara cotua sedo de ½ ão mportado quatas coroas teha ocorrdo ate etão. 3 4 Proposção: Se dos evetos são depedetes etão a probabldade de que ambos ocorram jutos é a multplcação de ambas as probabldades. Probabldade de obter cara e cara em dos arremessos sucessvos é: Pr(ca, ca) = (/)(/) = ¼ Pr(ca, co)= ¼ Pr(co, ca)= ¼ Pr(co, co)= ¼ 5 3 Arremessos: há 8 seqüêcas gualmete prováves Pr(ca, ca, ca)= (/)(/)(/)= (/8) -Arremessos: Há seqüêcas gualmete prováves cada uma ocorredo com probabldade (/). Suposção: cada ação -resultados depedetes e dferetes. x = valor do - ésmo resultado p = probabld ade do - ésmo resultado ocorrerá. 6 4
Propredades da probabldade Resumo das propredades:. p =, 0 =. pr ( x, x ) = ( p )( p ); =. j j 3. E [ x ] = = p x = x 4. Var [] x = p ( x x ) = Fução Utldade Esperada ou Fucao Utldade de vo Neuma- Morgester. Lvro: Theory of Games ad Ecoomc Behavour Autores: Joh(y) Vo Neuma e Oskar Morgester (944; 947) 7 8 Escolha o jogo: Você deve pagar R$ 00 para jogar um dos segutes jogos, qual você escolhera? Jogo : Você recebe de volta R$00. Jogo : arremessa-se uma Moeda justa e: Se sar Cara, você gaha R$ 00. Se sar Coroa, você gaha R$ 0. Qual jogo, você escolhera? Jogo 3: Arremesso de um dado Justo que paga os segutes prêmos: Se sar, você gaha R$ 400 Se sar, você gaha R$ 70 Se sar 3, você gaha R$ 55 Se sar 4, você gaha R$ 5 Se sar 5, você gaha R$ 40 Se sar 6, você gaha R$ 0 9 0 5
Usado o crtéro do Valor Esperado: Todos os jogos têm valor esperado dêtco e gual a R$ 00. Nova questão: você escolhera gualmete todos os jogos ou você é dferete aos três jogos? Vamos calcular a varâca dos jogos: Jogo : varâca zero Jogo : Var( jogo) = ( 00 00) + (0 00) = 0. 000 Jogo 3: Var( jogo3) = 6 ( 300 + 30 + 45 + 75 + 60 + 90 ) = 8. 375 Portato, você podera optar pelo jogo que é o que apreseta a meor varâca. Paradoxo de São Petersburgo Dael Beroull (738) Matemátco suíço do século XVIII. Fo Itroduzdo pelo seu prmo Ncolaus Beroull em 73. Hstora do jogo: uma moeda justa é arremessada até que cara aparece pela prmera vez. O payoff do jogador depede do umero de arremessos ates de cara aparecer pela prmera vez. Payoffs do jogo Se cara aparece a a tetatva: R$ (p=/) Se cara aparece a a tetatva: R$ 4 (p=/4) Se cara aparece a 3a tetatva: R$ 8 (p=/8) Se cara aparece a 4a tetatva: R$ 6 (p=/6) ----------------------------------------------------------- Se cara aparece a -ésma tetatva: R$ (p=/ ) 3 4 6
Valor Esperado desse Jogo: VE ( jogo ) = + 4 + 8 +... 4 8 = VE ( jogo ) = VE ( jogo ) = + + + + +... = Paradoxo: guém pagara uma quatdade fta para jogar esse jogo proposto, mesmo esperado gahar uma fortua. Alás, poucos pagaram pouco mas do que algus reas para jogar esse jogo. Motvos: a varâca também é fta. E mutos preferem meos certeza a mas certeza. 5 Motvação para Utldade Esperada: Paradoxo de São Petersburgo: sugere que precsamos de outro coceto além do valor esperado para tomar decsão um ambete evolvedo Icerteza e Rsco. Usamos a Utldade Esperada (EU): que se costtu uma represetação das preferêcas sob certeza em termos de valor esperado de um cojuto de utldades sobre os resultados ou coseqüêcas possíves de uma ação ou escolha. A fução utldade assoca aos prêmos moetáros valores de uma quatdade abstrata chamada utldade de modo a represetar o comportameto do tomador de decsão em relação ao rsco. 6 Utldade Esperada Utldade Esperada- Axomas báscos (suposções) Lear em Probabldades (p ) U vn M = EU = = { } pu ( x ) Passos ecessáros: (opcoal) a. Defr um cojuto de suposções razoáves que o ídce de Utldade Esperada deve satsfazer. b. Costrur um Ídce de Utldade Esperada. 7. Completeza e Trastvdade. Cosequecalsta ou reducosta 3. Cotudade 4. Substtutbldade 5. Mootocdade 6. Idepedêca 8 7
Utldade Esperada- Axomas báscos (suposções). Preferêcas sobre resultados possíves são completas, reflexvas e trastvas. Supor rak de resultados:. X = por resultado Subscrto dca ordem de. X = melhor resultado preferêca. Loteras compostas podem ser reduzdas a loteras smples x~. A lotera composta tem a mesma probabldade fal sobre resultados que a lotera smples. 9 Exemplo de Lotera composta: reducosmo Prmero jogo (gamble): Regras ou hstóra do jogo: Arremesse uma moeda: se CARA aparece, você deve arremessar outra moeda, se CARA aparece ovamete você gaha R$,00. Se aparece COROA você gaha R$ 0,75. Se aparece coroa o prmero arremesso: você deve jogar um dado. Seu prêmo agora é R$ 0,0 por poto o dado, ou seja, você gaha: R$ 0,0 Poto; R$ 0,0 Potos; (...); R$ 0,60 6 Potos. 30 Fgura ou represetação gráfca do jogo Game : Pr (ca)= Pr(co)= 0,5 P(ca,ca)= (/)(/) = (¼) chace de obter R$,00 P(ca,co)=(/)(/) = (/4) chace do obter R$ 0,75 Game : Coroa a prmera rodada: P(co, )= (/)(/6) = (/) chace de obter R$ 0,0 P(co, )= (/)(/6) = (/) chace de obter R$ 0,0 P(co, 3)= (/)(/6) = (/) chace de obter R$ 0,30 P(co, 4)= (/)(/6) = (/) chace de obter R$ 0,40 P(co, 5)= (/)(/6) = (/) chace de obter R$ 0,50 P(co, 6)= (/)(/6) = (/) chace de obter R$ 0,60 Nova Lotera: reduzda Fgura do jogo: Lotera composta 3 3 8
Oferece: R$,00 com pr =/4 R$ 0,75 com pr= ¼ R$ 0,60 com pr= / R$ 0,50 com pr= / R$ 0,40 com pr= / R$ 0,30 com pr= / R$ 0,0 com pr= / R$ 0,0 com pr= / Lotera reduzda lotera reduzda roda da fortua Grar a RODA DA FORTUNA: gaha o prêmo assocado com a quatdade mostrada ode o potero para. Pedaços de pzza Probabldade da Lotera smples. Axoma : dz que o cosumdor é dferete etre jogar o prmero ou segudo jogo. Os dos jogos propcam a mesma utldade. 33 34 Fgura do Segudo jogo: roda da fortua Utldade Esperada: axomas báscos 3. Axoma da cotudade: para cada resultado x etre x ex o cosumdor pode atrbur uma probabldade p, tal que ele é dferete etre obter x com certeza e jogar uma lotera (que evolve obter x com probabldade p e x com probabldade (-p )). Vamos chama-la de lotera x~ Lotera reduzda Notação : x~ = lotera x = ( x, ) = resultados possíves da lotera. x p = probabldade de sar o resultado x (- p ) = probabldade de obter o resultado x 35 36 9
Utldade Esperada: axomas báscos 4. Axoma da Substtutbldade: a lotera x~ sempre pode ser substtuída por seu Equvalete certo (EC) x em qualquer outra lotera, pos o cosumdor é dferete etre eles. 5. Preferêcas sobre loteras são trastvas 6. Axoma da mootocdade: se duas loteras têm alteratvas dêtcas, cada uma dferdo em probabldades, etão a lotera que dá maor probabldade para a alteratva mas preferda é preferda à outra lotera. [ px + p) x ] [ p x + ( p ) x ] sse p p ( Idvíduo racoal: escolhe a alteratva de rsco que maxmza utldade esperada Proposção: se preferêcas sobre loteras satsfazem os axomas () a (6) etão podemos assalar úmeros U(x ) assocados com x, tal que se compararmos loteras L e L que oferecem probabldade (p...p ) e (p...p ) de obter os mesmos resultados, L será preferível a L sse: pu ( x ) > pu ( x ) = = 37 38 Iterpretações: I. A ordem de classfcação o rakg de Utldades Esperadas, reflete a ordem o rakg de classfcação sobre Loteras. O Ídce de Utldade de vn-m II. Idvduo racoal: Maxmza Utldade esperada ao escolher alteratvas que evolvem rsco ou certeza. : 39 40 0
Forma de costrução ) Costrua o Rakg de todos os resultados possíves: x x x3... x x Atrbua, ao resultado meos-preferdo, valor utldade zero: u(x )= 0; Atrbua, ao resultado mas-preferdo, valor utldade um: u(x )= ; Atrbua, a todos os resultados termedáros possíves x um valor utldade p : Resumo: Forma de costrução U ( x ) 0 U ( x ) U ( x ) p Ode: x = é um Equvalete Certo de uma lotera que gera o premo x com probabldade p e x com probabldade p. Equvalete Certo: é a quatdade de dhero pela qual o dvduo é dferete etre a lotera e a quatdade certa. 4 4 Reforçado: x é o Equvalete Certo (EC) de uma lotera evolvedo x com probabldade p e x com probabldade (-p ). Esse ídce de utldade equvale a tomar valores esperados das utldades de x e x usado as probabldades p e (-p ) assocadas com a lotera para a qual x é o EC: U ( x ) = pu ( x) + ( p ) U ( x ) = p + 0 = p () 43 Esse ídce de utldade descrto em () e () é úco em trasformações leares ou afs: Uma trasformação lear preserva o EC. Cosdere U(x ), etão: V ( x ) = c + du ( x ) (3) Substtu do () em (3) : V ( x ) = c + d.0 = c V ( x ) = c + d. = c + d (4) De (4) a Utldade Esperada de x, dad o p : V ( x ) = p ( c + d ) + ( p ) c = c + dp (5) O valor de V(x ) é o mesmo da utldade trasformada de x. Portato, (5) mostra que quado avalamos a utldade esperada de x va trasformação leares das utldades de x e x obtemos de volta a utldade trasformada de x e sso sgfca que trasformações leares preservam o EC. 44
Axoma da Idepedêca: Comportameto em relação ao rsco Axoma da Idepedêca :a relaçãode preferêcas o espaço de loteras smplessatsfaz o axoma da Idepedêca se para três loterasdsttas L, L' e L"pertecete ao espaço de Loteras,e tomado-se a dstrbução de Probabldades sobre resultados p [0,], temos que : se L L', etão, p L + (- p )L" p L' + ( p ) L". Em palavras: Se combarmos cada uma das duas loteras L e L com uma tercera lotera L, etão a ordem das duas msturas resultates ão depede (depedêca) da tercera lotera utlzada L. Ou seja, a ordem de preferêcas etre loteras L e L Comportameto dos dvíduos, que são defdos pela forma da UE:. Rsk averse: para uma rqueza costate um resultado certo é sempre preferível a uma lotera com o mesmo valor esperado, mas com alguma varâca postva. Rsk eutro: o dvduo dferete etre o resultado certo e a lotera de mesmo valor esperado. 3. Rsk lover: dvduo prefere a lotera ao resultado certo. ão se altera. 45 46 Aversão ao rsco 3 resultados possíves ações que podem ser tomadas e que redem os resultados com probabldades dferetes Resultado : R$ 50 U(50) = 30 Resultado : R$ 00 U(00) = 80 Resultado 3: R$ 50 U(50) = 0 (6) Ação A: rede R$ 00 e tem uma EU de 80: E{U(ação A)}= ().U(00)= 80. (7) Ação B: rede R$ 50 com pr. ½ e rede R$ 50 com pr. ½. 47 { ( ação B) } E U = U (50) + U (50) { ( ação B) } = (30 + 0) = 70 { ( ação B) } < E{ U ( ação A) } (8) E U E U Mesmo cada ação rededo um payoff esperado de R$ 00, a Utldade Esperada da ação B é meor que a Utldade Esperada da ação A. Isso ocorre porque a fução Utldade desse dvduo é côcava. Questão: qual a forma R$ 00 U(00) = 80 fucoal da fução Utldade R$ 50 U(50) = 30 de Beroull? Dca: é uma fução Côcava R$ 50 U(50) = 0 48
Idvduo Avesso ao Rsco: Fução Utldade U(x) côcava. $50 $00 $50 A EU do gamble 50/50 em [00+50] e [00-50] está o poto médo da combação lear da utldade de R$ 50 e R$ 50. Essa EU = 70, é meor do que recebe R$ 00 com certeza, EU = 80. Proposção: dvíduos que tem fução utldade côcava são avessos ao rsco. 49 Aversão ao rsco: Este dvduo, que é avesso ao rsco, estara dsposto a pagar a quatdade γ para evtar o rsco: Com um payoff de [00- γ] o dvíduo obtém uma U(00- γ)= 70 e ão tem que tomar qualquer rsco. Defmos: γ = prêmo de rsco: é a quatdade que um dvduo avesso ao rsco está dsposto a pagar para ão correr rscos. [00- γ]= Equvalete certo 50 Attudes em relação ao rsco: Rsk Averse U (x) E{U(x)\ U Utldade margal dmu com aumeto da reda x a x x + a x ã x x 4- a x-a x x + a x Rsk Neutro Rsk Averse Rsk Lover 5 Prefere uma reda certa de 0 a uma lotera que oferece 0 com probabldade ½ e 30 com probabldade de ½. 5 3
Rsk Lover A lotera propca mas utldade que o resultado certo (0). 0,5 53 4