Funções Hiperbólicas: Estas funções são parecidas as funções trigonométricas e possuem muitas aplicações como veremos ao longo da disciplina. Definiremos primeiro as funções seno hiperbólico e cosseno hiperbólico:
Propriedades das Funções Hiperbólicas: Usando a definição, verifique cada uma das propriedades anteriores.
Aplicação: Posição de Equlibrio Uma das aplicações importantes das equações diferenciais ordinárias é para encontrar posição de equilibrio dos corpos. No seguinte exemplo consideraremos o caso de uma corda que se encontra entre dois postes. Problema 1.- Encontrar a posição de equilíbrio de um cabo preso no seus extremos que pasa pelos pontos (0,0) e (0,2). Assuma que a componente horizontal da tensão do cabo é igual a h=1 Newton e o peso específico é de ρ =1 N/m. Suporemos que o extremo inicial do cabo está configurado no origen de coordenadas e que o eixo das abscissas coincide com a posição inicial do cabo
Fazendo um diagrama de forças e lembrando que a tensão horizontal é constante e igual a h, temos as seguintes equações A primeira equação corresponde ao equilíbrio das componentes horizontais e a segunda o equilíbrio das forças verticais. Note que T segue a direção da reta tangente, portanto teremos que Onde s é o cumprimento de arco da corda. Note que si derivamos uma vez mais obtemos
Lembrando que o comprimento de arco verifica De onde finalmente obtemos y verifica a equação. Que é uma equação diferencial de segunda ordem não linear. Para resolver esta equação fazemos y'=p. Assim obtemos
Integrando e fazendo a substituição Encontramos Assim temos que
Para voltar a variavel original, construímos nosso triângulo retângulo Assim temos Resolvendo esta equação segue
Lembrando que y'=p Encontramos que Lembrando as condições de contorno do problema y(0)=y(2)=0 obtemos que a solução y do problema é dada por:
Problema de Valor Inicial e de Contorno. Quando resolvemos uma equação diferencial de primeira ordem obtemos como solução uma função com uma constante arbitraria que aparece pelo processo de integração que elaboramos ao calcular a solução. De forma análoga quando resolvemos uma equação deferencial de segunda ordem, aparecem duas constantes de integração. Isto significa que teremos infinitas soluções. Pois as constantes são arbitrárias. Assim podemos resolver uma equação diferencial de primeira ordem inserindo uma condição extra. Por exemplo que a solução no ponto t=0, tenha um determinado valor. Na primeira equação estamos exigindo que a solução no ponto zero seja igual a três. As equações acima são exemplos de problemas de valor inicial.
Exercício: Encontrar a solução dos seguintes problemas de valor inicial Na primeira equação temos que a solução geral é dada por Aplicando a condição inicial temos Logo a solução é dada por
Para o segundo problema, consideramos o polinômio caraterístico: Portanto a solução geral é dada por Aplicando as condições iniciais obtemos De onde a solução é dada por
Exercício: Encontrar a solução do seguinte problema de contorno Como vimos no exercício anterior a solução geral é dada por Nosso próximo passo é encontrar A e B que verifique a condição de contorno. Portanto a solução é dada por