Geoetria Analítica e Álgebra Linear Ale Nogueira Brasil Faculdade de Engenharia Mecânica Universidade de Itaúna http://www.alebrasil.eng.br brasil@uit.br 0 de fevereiro de 00 Geoetria Analítica e Álgebra Linear Copright 00 b Ale Nogueira Brasil Nenhua parte desta publicação poderá ser reproduzida por qualquer eio se a prévia autorização do autor. 0 de fevereiro de 00 Ale N. Brasil
Conteúdo Prefácio. O Plano Coordenado A Reta Real O Plano Coordenado Coeficientes Angulares e Equações de Retas Eercícios Nuéricos. Matrizes Introdução Definição, Conceitos e Operações Básicas Matrizes Especiais Operações Copleentares e Propriedades Notação de Soatório Eercícios Nuéricos Eercícios usando o MatLab. Sisteas Lineares Método de Gauss-Jorda Matrizes Equivalentes por Linhas Sisteas Lineares Hoogêneos Eercícios Nuéricos Eercícios usando o MatLab 4. Inversão de Matrizes e Deterinantes Matriz Inversa Propriedades da Inversa Método para Inversão de Matrizes Sisteas Lineares e Inversas Eercícios Nuéricos Eercícios usando o MatLab Deterinantes Propriedades do Deterinante Desenvolviento e Cofatores e Aplicações Eercícios Nuéricos Eercícios usando o MatLab 5. Vetores Vetores no Plano e no Espaço Soa de Vetores e Multiplicação por Escalar Produto de Vetores Nora Produto Escalar 0 de fevereiro de 00 Ale N. Brasil
Projeção Ortogonal Produto Vetorial Produto Misto Eercícios Nuéricos Eercícios usando o MatLab 6. Retas e Planos Equações de Retas e Planos Equações da Reta Equação do Plano Ângulos, Distâncias e Posições Relativas Ângulo entre Retas Ângulo entre Planos Distância entre Dois Pontos Distância de U Ponto a U Plano Distância de U Ponto a Ua Reta Distância entre Dois Planos Distância entre Duas Retas 7. Autovalores e Autovetores Diagonalização Matrizes Seelhantes Diagonalização de Matrizes Siétricas Aplicação na Identificação de Cônicas Elipse Hipérbole Parábola Apêndice I: Introdução ao MatLab Bibliografia Respostas dos Eercícios Índice Alfabético 0 de fevereiro de 00 Ale N. Brasil
4 Prefácio Ao Estudante. Nos cursos de ateática do grau, a aioria dos estudantes está acostuada a tentar resolver prieiro os eercícios para casa, co ipaciência, para terinar toda a tarefa penosa o ais rapidaente possível. Esses estudantes lêe as eplicações do teto apenas coo últio recurso. Este é o oposto grotesco do procediento razoável e te tanto sentido quanto tentar pôr os sapatos antes das eias. Minha sugestão é que vocês leia prieiro o teto e quando este estiver totalente assiilado então e só então passe para os eercícios de casa. Este teto cobre o aterial para u curso de u seestre de Geoetria Analítica e Álgebra Linear inistrado nos prieiros seestres para estudantes da área de Ciências Eatas. O teto pode, as não é necessário, ser acopanhado do prograa MATLAB*. O conteúdo é dividido e sete capítulos. O Capítulo I faz ua revisão do segundo grau ostrando o plano coordenado. Os Capítulos II e III trata das atrizes e sisteas lineares. Aqui todas as propriedades da álgebra atricial são deonstradas. A resolução de sisteas lineares é feita usando soente o étodo Gauss-Jorda (transforando a atriz até que ela esteja na fora escalonada reduzida). Este étodo requer ais trabalho do que o étodo de Gauss (transforando a atriz, apenas, até que ela esteja na fora escalonada). Ele foi o escolhido, por que tabé é usado no estudo da inversão de atrizes no Capítulo IV. Neste Capítulo é tabé estudado o deterinante, que é definido usando cofatores. O Capítulo V trata de vetores no plano e no espaço. Os vetores são definidos de fora geoétrica, assi coo a soa e a ultiplicação por escalar. São provadas alguas propriedades geoetricaente. Depois são introduzidos sisteas de coordenadas de fora natural se a necessidade da definição de base. Os produtos escalar e vetorial são definidos tabé geoetricaente. O capítulo VI trata de retas e planos no espaço. São estudados ângulos e distâncias entre retas e planos. O Capítulo VII traz u estudo da diagonalização de atrizes e geral e a diagonalização de atrizes siétricas através de ua atriz ortogonal. É feita ua aplicação ao estudo das seções cônicas. O MATLAB é u software destinado a fazer cálculos co atrizes (MATLAB = MATri LABorator). Os coandos do MATLAB são uito próios da fora coo escreveos epressões algébricas, tornando ais siples o seu uso. Pode ser incorporados às rotinas pré-definidas, pacotes para cálculos específicos. Usareos u pacote chaado gaal co funções que são direcionadas para o estudo de Geoetria Analítica e Álgebra Linear. 0 de fevereiro de 00 Ale N. Brasil
5. O Plano Coordenado A Reta Real U núero real é ou u núero positivo, ou u núero negativo ou zero. Qualquer núero real pode ser classificado coo racional ou irracional. U núero racional é qualquer núero que pode ser epresso coo a razão de dois inteiros. Isto é, u núero racional é u núero da fora p q, onde p e q são inteiros e q 0. Sistea de núeros reais Inteiros Racionais Irracionais,,,, 0,,,, 7,, 4, 0, 5,, 87, 4 4,7,,,459 Obs.: u núero real que não é racional é denoinado irracional, sendo estes, os deciais infinitos não periódicos. Quadro. Obs.: Para todo núero positivo a, o síbolo a significa sepre a raiz quadrada positiva. Assi, 4 é igual a e não a, ebora ( ) 4. Se desejaos designar abas as raízes quadradas de 4, deveos escrever 4. O adjetivo real foi originalente utilizado para distinguir esses núeros de núeros tais coo, que fora no passado encarados coo irreais ou iaginários. Descreveos núeros copleos coo todas as epressões forais a bi, onde a e b são núeros reais e i é a unidade iaginária para a qual i então, 0 i i. Fig.. 0 de fevereiro de 00 Ale N. Brasil
6 Desigualdades Regras:. Se a 0 e b c, então ab ac ;. Se a 0 e b c, então ab ac ;. Se a b, então a c b c para qualquer núero c. Valores Absolutos O valor absoluto de ou ódulo de, denotado por, é definido por se se 0 0 Fig.. Não precisa preocupar co a orde da subtração d( A, B) b a E.:. 5 ( 5) 5 É claro que a operação de forar o valor absoluto anté inalterados os núeros positivos e troca cada núero negativo pelo núero positivo correspondente. E teros geoétricos, o valor absoluto de u núero é siplesente a distância do ponto à orige. Intervalos U intervalo é siplesente u segento da reta real. Se suas etreidades são os núeros a e b, então o intervalo consiste e todos os núeros que estão entre a e b. No entanto, podeos querer incluir ou não as próprias etreidades coo parte do intervalo. a b ou a,b a b ou a,b a, a, ou ou Do ponto de vista estrito, as notações a b a, b tê significados diferentes a prieira representa ua restrição iposta sobre, enquanto que a segunda denota u conjunto, as abas designa o eso intervalo. e intervalo aberto intervalo fechado 0 de fevereiro de 00 Ale N. Brasil
7 E.:. Resolver a desigualdade 0 0 ( ) 0 ( )( ) 0 para para 0 + para 0 para + R.:,0 ou, E.:. Encontre todos os núeros reais que satisfaze a desigualdade 5 8 5 6 6 R.:, E.:.4 Encontre todos os núeros reais que satisfaze a desigualdade 4 0 4 0 soar e todos os ebros 6 4 R.:,4 E.:.5 Resolva para : 5 5 5 7 7 R.: 7 E.:.6 4 4 (4 ) 4 6 R.: E.:.7 5 4 R.: Desde que o valor absoluto de u núero nunca pode ser negativo, esta equação não te solução. 0 de fevereiro de 00 Ale N. Brasil
8 O Plano Coordenado Assi coo os núeros reais são utilizados coo coordenadas para pontos de ua reta, pares de núeros reais pode ser utilizados coo coordenadas para pontos de u plano. Cada par ordenado, chaa-se u ponto no plano nuérico. quadrante Eio (ordenada) quadrante Eio (abscissa) Orige quadrante 4 quadrante Plano ou Plano Coordenado Fig.. Os eios divide o plano e quatro regiões denoinadas quadrantes, cuja identificação é feita no sentido anti-horário. Esses quadrantes são caracterizados pelos sinais de e. A Fórula da Distância quadrante, 0 e 0 quadrante, 0 e 0 quadrante, 0 e 0 4 quadrante, 0 e 0 Utilizareos o teorea de Pitágoras para deonstrar a fórula da distância. Teorea de Pitágoras: E todo triângulo retângulo, a soa dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa. Fig..4 0 de fevereiro de 00 Ale N. Brasil
9 Então, a área do quadrado aior é igual a quatro vezes a área do triângulo ais a área do quadrado enor; isto é, ab b ab c a b 4 a b c a a b c Pelo Teorea de Pitágoras podeos deduzir a fórula da distância entre dois pontos quaisquer do plano coordenado. Toaos coo referência os pontos P e, P., d = hipotenusa = cateto = cateto Fig..5 d d d P, P P, P P P, d P P, E.:.8 A distância d entre os pontos 4, e, ( 4) ( ) é: d d 74 0 de fevereiro de 00 Ale N. Brasil
0 E.:.9 Sabe-se que o ponto Pa, é eqüidistante dos pontos A, e B,4 abscissa do ponto P. P, A dp B a 4 d, 9 6a a a a a 4 4a a 4. Calcular a E.:.0 Se o ponto P, é tal que sua distância do ponto A, distância de B 4, de P. é sepre duas vezes a sua, encontre ua equação que deve ser satisfeita pelas coordenadas P, A dp B 4 d, 4 6 9 4 4 4 8 4 55 0 8 6 E.:. Deonstre que o triângulo co vértices P,, P 5, e P isósceles.,0 é d d d P, P 5 40 P, P 0 70 P, P 5 0 70 Portanto, P, P dp P d Conseqüenteente, o triângulo é isósceles., E.:. Deonstre analiticaente que os coprientos das diagonais de u retângulo são iguais. a 0 b 0 a OB b a 0 0 b a AC b Portanto, OB AC 0 de fevereiro de 00 Ale N. Brasil
As Fórulas do Ponto Médio Fig..6 Sendo P, o ponto édio, então, é o ponto édio da projeção do segento sobre o eio. E.:. Ua das etreidades de u segento é o ponto A,9. Sendo M 9,0 o ponto édio do segento, calcular as coordenadas do ponto B, que é a outra etreidade do segento. M A B 9 B M A 9 0 4 B B B B E.:.4 E todo triângulo, o segento que une os pontos édios de dois lados é paralelo ao terceiro lado e te a etade de seu copriento. 0 de fevereiro de 00 Ale N. Brasil
a b b a O copriento do segento é siplesente a diferença ente as coordenadas de suas etreidades. Coeficientes Angulares e Equações de Retas Inclinação Seja o ângulo que a reta fora co o eio, edido no sentido antihorário. A edida do ângulo é chaada inclinação da reta r. Coeficiente Angular ou Declividade Fig..7 A toda reta não-vertical está associado u núero que especifica sua direção, denoinado coeficiente angular ou declividade; que epressa a tangente trigonoétrica de sua inclinação. Coeficiente angular tg 0 90 90 80 tg 0 ; 0 tg 0 ; 0 90 tg não é definida 0 Fig..8 0 tg ; 0 0 de fevereiro de 00 Ale N. Brasil
Cálculo do Coeficiente Angular tg cat. tg cat. op. adj. Fig..9 Escolheos dois pontos distintos da reta, digaos P (, ) e P (, ). Então, o coeficiente angular é denotado por e definido coo sendo a razão peranece inalterado se inverteros a orde de subtração no nuerador e no denoinador. Desta fora, torna-se evidente que ua reta vertical não te coeficiente angular pois, não podeos dividir por zero. De acordo co a figura.9 notaos que: se a declividade de ua reta é positiva, então quando a abscissa de u ponto da reta cresce, a ordenada cresce. Para esta reta, se a declividade é negativa, quando a abscissa de u ponto da reta cresce, a ordenada decresce. Equações de ua Reta Ua reta vertical caracteriza-se pelo fato de que todos os seus pontos tê a esa coordenada. a (.) Sendo P(, ) u ponto qualquer da reta eceto, ), a declividade tabé é dada por: ( Fig..0 Fig.. (.) 0 de fevereiro de 00 Ale N. Brasil
4 O ponto P está sobre a reta que passa por P e P se e soente se o valor de da Eq. (.) for o eso que o valor de da Eq. (.). sendo (.) (.4) Equação da reta Equação Reduzida da Reta Se escolheos o ponto particular ( 0, b ) (isto é, o ponto onde a reta intercepta o eio dos ) para o ponto, ), teos: ( b 0 b fora denoinada (.5) equação reduzida da reta. b coeficiente linear coeficiente angular Equação Geral da Reta Toda reta possui ua equação da fora A B C 0, onde A e B não são abos nulos, que é chaada equação geral da reta. A B C 0 A e B não são abos nulos. (.6) Se B 0, então A 0 C A Por outro lado, se B 0, então: b, onde:, e a equação pode ser escrita coo que é, equivalente, a equação de ua reta vertical. A B A B e C B C b B e essa equação te a fora E.:.5 Dada a reta que te a equação 4 7, encontre a declividade da reta. Resolvendo para teos: 4 7 4 7 4 4 b 7 4 0 de fevereiro de 00 Ale N. Brasil
5 E.:.6 O ponto (,) divide ao eio aquela porção de ua reta que é deliitada pelos eios coordenados. Encontre a equação da reta. Pelas fórulas do ponto édio teos: 0 a 0 ; b a 4 b 4 6 ( ) E.:.7 Dadas as retas r co a equação, e r co a equação 4 6, trace u esboço de cada ua das retas. Encontre as coordenadas do ponto de intersecção de r e r. - Encontraos os interceptos a e b, ou seja, substituíos por 0 e obteos b. substituíos por 0 e obteos a. 6 4 4 4 Para encontraros as coordenadas do ponto de intersecção de r e r, resolveos as duas equações siultaneaente. Suas coordenadas deve satisfazer abas as equações, pois, o ponto pertence às duas retas. 4 6 4 Então, o ponto de intersecção é:, 6 4 6 4 6 0 0 0 de fevereiro de 00 Ale N. Brasil
6 E.:.8 Deonstre por eio de declividades que os quatro pontos A 6,, B 8,6, C4,8 D,4 são os vértices de u retângulo. e = declividade de = declividade de = declividade de 4 = declividade de 6 AB 8 6 8 6 BC 4 8 8 4 DC 4 4 AD 6 4 Ua vez que: 4 AB // DC BC // AD AB BC E.:.9 Dada a reta r co a equação 5 0, encontre a equação da reta perpendicular a r e que passa pelo ponto A,. 5 5 b Perpendicularidade: 6 9 0 0 de fevereiro de 00 Ale N. Brasil
7 Eercícios Nuéricos.. Encontre todos os núeros reais que satisfaze a desigualdade. Dê o intervalosolução e ilustre a solução sobre a reta nuérica. R.:, e, R.:, 4 R.:, (a) 4 (b) 0 (c).. Resolva para : 7 4 R.:,.. Encontre todos os valores de para os quais o núero é real: 5 4 R.:, e 4,.4. Deonstre que o triângulo co vértices A(,-6), B(8,-) e C(-,-) é u triângulo retângulo. Encontre a área do triângulo. (Sugestão: Use a recíproca do Teorea de Pitágoras)..5. Os pontos (,-) e (-6,5) são as etreidades do diâetro de u círculo. Ache o c,, r centro e o raio do círculo. R.:.6. Prove que o triângulo cujos vértices são os pontos A(0,5), B(,) e C(-,) é isósceles e calcule o seu períetro..7. Assinale cada u dos seguintes pares de pontos, desenhe a reta que eles deterina e calcule seu coeficiente angular: (a) (-,), (4,-); R.: 7 (b) (-5,), (7,); R.: 0 (c) (,7), (-,-). R.: 8.8. Assinale cada u dos seguintes conjuntos de três pontos e utilize os coeficientes angulares para deterinar, e cada caso, se os pontos fora u triângulo retângulo: (a) (,-), (5,), (0,5); (b) (8,), (-,-), (,-7)..9. Ache a equação da reta: R.: si R.: não (a) Que passa por (,-) e te coeficiente angular 4; (b) Que passa por (-4,) e (,-); (c) Que te coeficiente angular / e coeficiente linear 4; (d) Que passa por (,-4) e é paralela ao eio ; (e) Que passa por (,6) e é paralela ao eio ; (f) Que passa por (4,-) e é paralela a 7 ; (g) Que passa por (-4,) e é paralela à reta deterinada por (-,-) e (,0); (h) Que passa por (-,) e te inclinação 5º. 0 de fevereiro de 00 Ale N. Brasil