FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS

Notas de aula --- arte II FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS Escritas pelo roessor Wilso Caesi Utilizada a disciplia Matemática C para o curso de Ciêcias Aeroáuticas da Uiversidade Braz Cubas

Matemática C pro. Wilso C. Caesi da Silva - FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS Em muitas situações práticas, o valor de uma certa quatidade, depede dos valores de duas outras ou de três outras. Etão, é usual represetar estas relações como uções de várias variáveis. or eemplo, uma ábrica, uma quatidade chamada de produção, depede do úmero de homes-hora L e do úmero de máquias K, usadas para produzir algum produto. A represetação ucioal dessa relação é L, K O mesmo coceito se estede para qualquer úmero de variáveis.. Fuções de duas variáveis Seja D um subcojuto região do espaço R plao. Chamase ução de D toda relação que associa, a cada par, ε D, um úico úmero real, represetado por,. O cojuto D é o domíio da ução. z Assim, D é o domíio da ução em R,, é a ução, é o valor da ução calculado em,. z, D Eemplos de valores de ução de variáveis: E.- se, +, etão, +. E.-, + /,.+ /, Domíio das uções de duas variáveis O domíio dessas uções segue as mesmas regras do domíio de uções de uma variável, ou seja, o domíio é a região D ε R, tal que os valores calculados da ução,para todo, ε D resultem em valores iitos e reais para,. E.- Achar o domíio da ução, A codição de eistêcia dessa ução é - real, portato o seu domíio é D {, ε R / - }. Uiversidade Braz Cubas Bacharelado em Tecologia em Ciêcias Aeroáutica 8

Matemática C pro. Wilso C. Caesi da Silva E. Ache o domíio da ução,, a ução é iita quado -. Assim, domíio D ε é o cojuto de potos, tais que, z D D {, ε R / }. D z E. - Ache o domíio da ução,, a ução é iita quado - >. O domíio é o cojuto de potos, tais que, D {, ε R / - > }.. - Gráico de uma ução de variáveis Já vimos que para as uções de uma variável, o gráico é o plao, e. ara uções de variáveis o gráico é em R e z,. Uma ução de variáveis sempre gera uma superície o espaço R. X Z Y A superície é obtida para cada par,, iado um valor de e variado, em seguida ia um o valor de e varia, depois ia um o e varia,etc., até variar e em todo o domíio. X Y...... Uiversidade Braz Cubas Bacharelado em Tecologia em Ciêcias Aeroáutica 9

Matemática C pro. Wilso C. Caesi da Silva Eemplos de uções de variáveis: E. A ução é z, 5 5 Z A superície é um plao iiito, paralelo a, e passado por z5 X Y E. - A ução é z, 6 +. Esta ução pode ser escrita a orma + z 6 que é a equação de um plao. ara achar os potos ode este plao itercepta os eios, é so azer : a e z 6 b e z c e z Z,,6 ortato, o gráico de o plao é X,, Y,, E. A ução é z, + E. 4 - A ução é z, Z A superície é um parabolóide de revolução. Z A superície gerada é uma semi-esera de cetro a origem. X Y X Y Uiversidade Braz Cubas Bacharelado em Tecologia em Ciêcias Aeroáutica

Matemática C pro. Wilso C. Caesi da Silva.4 Limite e Cotiuidade de Fuções de Variáveis O limite da ução,, quado, tede para um valor,, é o úmero L se eistir e é represetado por l i m, L,, Se o limite eistir resultar em um valor iito e real o poto,, dizemos que a ução é cotíua este poto. Caso cotrário a ução será descotíua o poto. O mesmo é válido para um itervalo, isto é, a ução é cotíua um itervalo quado o limite eiste em todos seus potos desse itervalo. Em geral é ácil veriicar a cotiuidade das uções, por simples ispeção da mesma. Nas uções abaio o limite eistirá sempre,com eceção as restrições. E., +, é cotíua para todo par, E., + + 6, cotíua, E., + é cotíua. ou / D X E. 4, + é cotíua se D X Uiversidade Braz Cubas Bacharelado em Tecologia em Ciêcias Aeroáutica

Matemática C pro. Wilso C. Caesi da Silva E.5, l- é cotíua, tal que - > ou > > E.6, é cotíua se - -,ou + D O domíio é uma circuerêcia de cetro a origem e de raio r E.7, / a ução é cotíua se /, / Que resulta o gráico: Uiversidade Braz Cubas Bacharelado em Tecologia em Ciêcias Aeroáutica

Matemática C pro. Wilso C. Caesi da Silva.5 Derivadas de Fuções de Variáveis A deiição de derivada parcial de uma ução de variáveis é a mesma que a de uções de uma variável. A úica diereça aqui é que, como se tem duas variáveis, uma delas deve ser matida ia equato se dá acréscimos para a outra. Assim, seja a ução,, sua derivada em relação a é +,, icremeto da ução +,, taa de variação da ução l i m, Derivada parcial em Aalogamete, se mativermos agora o valor de costate a derivada parcial em relação a é l i m, Derivada parcial em.6 Iterpretação geométrica da derivada parcial Nas uções de uma variável, a derivada mede a icliação da reta tagete à curva o poto dado. Nas uções do tipo, de duas variáveis, a derivada em relação a, mede a icliação da reta tagete à superície, o poto dado,,z e uma seção paralela ao eio, com costate, e uma seção paralela a e com costate. z Assim, taα, / α β taβ, / Uiversidade Braz Cubas Bacharelado em Tecologia em Ciêcias Aeroáutica

Matemática C pro. Wilso C. Caesi da Silva TABELA DE DERIVADAS adaptada p/derivadas parciais Número Fução, Derivada s /s, s, k k costate s derivada de cost. ou s s ou u ; u, D s u u - u s, u s u/, 4 u m m u u m s m D s u u 5 l u D s l u u u s 6 lg a u D s lg a u u u s l a 7 a u D s a u a u la u s 8 e u D s e u e u u s 9 u v s v u s + u v s u / v, u s u/, s v u s u v s / v seu s cosu.u s cosu s -seu.u s tau s sec u.u s 4 secu s secu.tau.u s 5 cscu s -cscu.cotu.u s 6 cotu s -cotu.cscu.u s Uiversidade Braz Cubas Bacharelado em Tecologia em Ciêcias Aeroáutica 4

Matemática C pro. Wilso C. Caesi da Silva.6.- A técica de Derivadas arciais A derivada parcial em relação a "", cosidera como costate, equato que a derivada parcial em relação a "" cosidera como costate. / costate / costate E.- Derivar a ução, / 9 / 6 E. - Derivar a ução, + + / + / E. - Derivar a ução, / + u / v, u e v + s [ v u s u v s ]/v [ +.. ]/ + - / + [ +.. ]/ + -/ + E.4 Calcular a icliação da reta tagete à iterseção da superície z 4 -, com o plao o poto,,48. Solução: ara derivar em relação a, matém costate. z 4 8 mas o poto e, tem-se taα, 4 α ta - 4 88,57 E. 6 Calcular a icliação da tagete à iterseção da superície z + +, com plao o poto,,4. Uiversidade Braz Cubas Bacharelado em Tecologia em Ciêcias Aeroáutica 5

Matemática C pro. Wilso C. Caesi da Silva + taα, 5 α ta - 5 78,69 E. 7 Achar as derivadas parciais da ução, +.se u. v u. v u v. v + u..se + +.cos u v. v + u..se + +..se.7 Dierecial total de uma ução de ou mais variáveis A codição para que uma ução seja diereciável é que suas derivadas parciais eistam. Assim, dada a ução z,, sua dierecial total é : d z d + d E. diereciar a ução z + 9 + e assim, a dierecial da ução é 6 6 + d 9 + d + 6 6 + d A ução de várias variáveis é diereciável se suas derivadas parciais orem cotíuas. A dierecial de uma ução F,,... de variáveis é: F df d F + d F F +...+ d i i d i E.-Calcule a dierecial da ução F,,z +-z F + ; F -z ; F z - Uiversidade Braz Cubas Bacharelado em Tecologia em Ciêcias Aeroáutica 6

Matemática C pro. Wilso C. Caesi da Silva df + d +-zd dz.8 Derivada de uções compostas Seja a ução, ode por sua vez t e t. A derivada desta ução em relação a t é d d t d d t + d d t E. Calcular a derivada da ução F, + 5, ode t e t e t t. a A ução pode ser posta em ução de t, Ft e t +t 5 E a derivada df/dt e t + 9t b Calcula-se pelas derivadas parciais ; d ; d t e t ; d d t t Assim d F.e t +.t e t + 9t d t Se a ução tiver mais de variáveis,,,..., ode t, t,... t, são uções de t, etão a sua derivada em relação a t é dada pela regra da cadeia d dt i d d t i d d t + d d t +... + d d t E. Dada a ução,,z +-z, ode set, e t e z t,, -, d/dt cost ; d/dt e t ; dz/dt t d d t t.cost +. e 4t Uiversidade Braz Cubas Bacharelado em Tecologia em Ciêcias Aeroáutica 7

Matemática C pro. Wilso C. Caesi da Silva Eercícios propostos: achar as derivadas d/dt,,z + +z, com set ; cost e z t,,z e ++z, com t ; t e z t-,,z +z, com / t ; / t e z / t.9 Derivada de uma ução implícita de ou mais variáveis Uma ução está a orma implícita, quado ão está resolvida para uma variável especíica. As uções resolvidas para uma variável são chamadas de eplícitas. Eemplo,, z,. Na orma implícita seria,,,,z, etc. A derivada de uma ução implícita do tipo,, em relação a é d d + d d d + d ou, d d E. Derivar a ução, + 5 + usado, diretamete a órmula acima, d d 4 5 E. Derivar a ução, 4 6 d d 6 8 6 ara mais de variáveis, F,,z. Fazedo u,,z e diereciado, e após algumas cosiderações teremos Uiversidade Braz Cubas Bacharelado em Tecologia em Ciêcias Aeroáutica 8

Matemática C pro. Wilso C. Caesi da Silva z z z e z z z E. - Achar as derivadas Solução; z e z, da ução + - z. z z z z Eercícios propostos: Derivar as uções implícitas e achar z, as epressões abaio z e - 4 6 z + + z. Derivadas parciais de seguda ordem Se é uma ução de duas variáveis e, suas derivadas parciais são / e /. Se derivarmos essas derivadas mais uma vez, obteremos as derivadas parciais de seguda ordem, que são represetadas por,,, Quado a ução e suas derivadas são cotíuas, as derivadas cruzadas são iguais, ou seja. E. Calcular as derivadas de, 4 + 6 / 8 6 e / 6 6 Uiversidade Braz Cubas Bacharelado em Tecologia em Ciêcias Aeroáutica 9

Matemática C pro. Wilso C. Caesi da Silva 8 ; ; -6-6 ; -6 EX. - Calcular as derivadas de, e +5 / e +5 / 5e +5 4e +5 ; e +5 e +5 ; 5e +5 Note que EX. - Calcular as derivadas de, l + / + ; / + U V V. U V U. V + ; 4 + V. U U. V 4 V + ; + Uiversidade Braz Cubas Bacharelado em Tecologia em Ciêcias Aeroáutica

Matemática C pro. Wilso C. Caesi da Silva. Derivadas arciais de Fuções de Várias Variáveis As derivadas parciais têm a mesma deiição já vista para variáveis e são represetadas da mesma orma. Eemplos:,,z + +z +z ; ; z z,,z,t l + - z + t ; + z + t + z + t z t z ; t + z + t + z + t Eercícios propostos - Derivar as uções:,,z +5-6z,,z +z+z +,,z z 4,,z z 5,,z +-z 6,,z,t -zt 7,,z,t l +5 -zt. Derivadas de Ordem Superior Seja a ução de variáveis,,z,...r,s,t. As suas derivadas de ordem superior são calculadas a partir de suas primeiras derivadas.,,... r, s, t, ou seja,,... t ;,,..., s, t, etc. E.,,z + 4 z + 4 ; ; 8 ; z 8 6z ; 8 ; 8 6 z ; z -8z z -9 z ; z ; z -8z ; zz -8 z Uiversidade Braz Cubas Bacharelado em Tecologia em Ciêcias Aeroáutica

Matemática C pro. Wilso C. Caesi da Silva E. Calcule as derivadas de ordem superior da ução :,,z l z.lembrado que D s lu u s /u e D s u u - u s z / z / ; -. - -/ ; z z / z / ; ; z z - - - / z z / z / z ; z ; z ; zz - /z EXERCÍCIOS -Derivar as uções a seguir c/respostas,,z+z+4z Resp. +z, +4z, z +4 ; ; z ; ; z 4 z ; z 4 ; zz +,,z ; /-z ; -z+/-z ; z +/-z z ; -/-z ; z /-z ; -/-z ; z+/-z ; z +-z/-z ; z /-z ; z z ; zz +/-z,,z++z ; ++z ; 6++z ; z ++z ; 6++z ; ++z ; z 8++z ++z ; 4++z ; z 6++z ; z 6++z ; z ++z ; zz 8++z. 4,,z z z / ; /.zz -/ ; /.zz -/ z /.z -/ ; -/4z z -/ ; /zz -/ -/4z z -/ ; z /z -/ -/4z z -/ ; /zz -/ -/4z z -/ ; z /z -/ -/4z z -/ ; Uiversidade Braz Cubas Bacharelado em Tecologia em Ciêcias Aeroáutica

Matemática C pro. Wilso C. Caesi da Silva z /z -/ -/4 z -/ ; z /z -/ -/4 z -/ ; zz / z -/. 5,,z,t l + -zt ; 4/ + -zt ; / + -zt z -t / + -zt ; t -zt/ + -zt ; 4 -zt / + -zt ; -8/ + -zt ; z 4t / + -zt ; -8/ + -zt ; 4 - -zt / + -zt ; z t / + -zt ; z 4t / + -zt ; z t / + -zt ; zz -t 4 / + -zt 6,,z se ++z ; -+cos ++z ; -+z cos ++z ; z -zcos ++z ; -.cos ++z ++ se ++z -cos ++z +++z se ++z z z+se ++z ; +z se ++z ; z -zcos ++z +z+z se ++z ; z z ; z z ; zz -cos ++z +z se ++z 7,,z e + + z ; e + + z ; e + + z ; z z + + z e + + z e +4 + + z + + z e ; 4 e ; z 6z + + z e + + z ; e + 4 + + z e ; z 6z + + z e + + z z z ; z z ; zz 6z e +9z 4 + + z e Uiversidade Braz Cubas Bacharelado em Tecologia em Ciêcias Aeroáutica

Matemática C pro. Wilso C. Caesi da Silva. Máimos e míimos para uções de duas variáveis Uma importate aplicação do estudo de derivadas parciais, é a da otimização de uções. Otimizar uma ução, sigiica ecotrar seu desempeho máimo ou míimo. Como para as uções de uma variável, quado as derivadas primeiras orem ulas, teremos potos etremos que podem ser máimos ou míimos. ara saber de que tipo são esses potos, teremos de utilizar o determiate Hessiao calculado o poto,, que é deiido a seguir. Assim, H,, Se as derivadas e orem ulas, o poto, é um etremo, e a H, > e, +, < etão, é um máimo. b H, > e, +, > etão, é um míimo. c H, < etão, é um poto de sela. d H, o teste é icoclusivo. T S Q F, Os potos e Q são potos de máimo, porque qualquer deslocameto em sua vizihaça, irá descer. O poto S é uma sela porque os setidos S e SQ sobe, mas o setido SL ou ST desce. L Uiversidade Braz Cubas Bacharelado em Tecologia em Ciêcias Aeroáutica 4

Matemática C pro. Wilso C. Caesi da Silva E. ara o projeto de uma calha, tem-se uma olha metálica de cm de largura, a qual deseja-se dobrar de orma a se ter uma capacidade máima. seθ cosθ θ - A área da seção da calha é a área do retâgulo, mais a área dos dois triâgulos. A /.cosθ.seθ. + seθ.- a, θ cosθseθ + seθ - seθ Estudar os etremos máimos e míimos da ução. / seθcosθ + seθ - 4seθ cosθ 4 ou cosθ -6/ θ / θ cosθ + cosθ - cosθ cos θ - cosθ-+cosθ seθ seθcosθ cos θ - cosθ cos θ - se θ cos θ - substituido o valor cosθ 6/ a a equação e resolvedo, ecotra-se 4 que resulta cosθ -6/4/ cosθ ½ θ 6 o O resultado é tão razoável, que omitimos o teste das as derivadas, também pó causa do trabalho que estas dariam. Mas para ter certeza podemos calcular a área a para valores de e θ abaio e acima destes e coirmaremos se a capacidade é ou ão máima. Uiversidade Braz Cubas Bacharelado em Tecologia em Ciêcias Aeroáutica 5

Matemática C pro. Wilso C. Caesi da Silva 9 4 6.6 94 4 6.58 95 4 8 9.647 96 4 4.45 97 4 4.98 5 5 XY,, Z 5 5 5 5 75 5 oto de máimo:, 4, 6 5 98 4 6 7. 99 4 XYZ 4 8.66 4 48 9.846 4 54.55 4 6.785 4 66.56 4 4 7 9.99 5 4 78 8.94 6 4 84 7.576 máimo 7 4 9 6 E. Achar os etremos da ução, se[,5 +,45+ + 4,5]. Calculado as primeiras derivadas, tem-se: cos[,5 +,45++4,5].,45,45 cos[,5 +,45++4,5].,45,45 Como o cos... é dierete de zeropara ão dar uma solução ula etão quem deve ser zero são :,45,45, e,45,45, que resulta e. ara veriicar se o poto é de máimo ou de míimo calcula-se as segudas derivadas. - se...,45. -,45 + cos.,45 - se...,45. -,45 + cos.,45 Etão, calculado-se essas derivadas o poto, tem-se: + > que correspode a um poto de míimo da ução. Uiversidade Braz Cubas Bacharelado em Tecologia em Ciêcias Aeroáutica 6

Matemática C pro. Wilso C. Caesi da Silva Substituido os valores a ução, vemos que vai dar zero, e portato a ução tem um míimo esse poto. Isso é coirmado pelo gráico tridimesioal da ução..5 Note que os potos e, a ução tem um de seus míimos..5 5 5 5 5 M Gráico D da ução seo E. Achar os etremos da ução, com os mesmos valores do eemplo, para uma epoecial.,,5 + +,45 + + 4,5 e e, [-,45 +,45]. [-,45 +,45]. e e,5,5 +,45 + + 4,5 +,45 + + 4,5 [-,45 +,45]. e, +,45. e, [-,45 +,45]. e, +,45. e, No poto, tem-se: + < que correspode a um poto de máimo, coorme pode ser veriicado o gráico da ução. Uiversidade Braz Cubas Bacharelado em Tecologia em Ciêcias Aeroáutica 7

Matemática C pro. Wilso C. Caesi da Silva.8.6.4. M Gráico D da ução epoecial E.4 A temperatura T C em cada poto de um paiel plao é dada pela equação T6 +4 +4. Ecotre a temperatura os potos mais quetes e mais rios da região. / +4 ; / 8 Os potos etremos são calculados para e, resultado - / 4 -,75 e. H,, 8 / 4, > H, >, + > é um poto de míimo. O poto de míimo é, -/4,, e em qualquer outro poto a vizihaça dele, a temperatura já será maior, coorme mostra o gráico da superície. Uiversidade Braz Cubas Bacharelado em Tecologia em Ciêcias Aeroáutica 8

Matemática C pro. Wilso C. Caesi da Silva XY,, Z 5 Escala em - 5 5 oto de míimo:, -,75, Escala em - 5 8 -. 49.6 9 -.6 94.4-5 -.8-5.4 -.8 -.6 9.44 -.8 -. 48.64 4 -.8 -.8 6.64 XYZ 5 -.8 -.4 -.56 6 -.8-8.96 7 -.8.4 -.56 8 -.8.8 6.64 9 -.8. 48.64 -.8.6 9.44 -.8 5.4 -.6-5.6 míimo E.5 Achar os potos críticos da ução, +. Os potos críticos de,, são a solução do sistema:, ou, ou, o poto é,, or outro lado,,,,,, e, H, 4 >, +, >, o poto é um míimo de,..4 Máimos e míimos locais de uções de várias variáveis Seja uma ução de variáveis,,..., diz-se que um poto,,... é um poto de máimo local de,,..., quado,,... >,,..., para qualquer poto,,... viziho de,,.... Uiversidade Braz Cubas Bacharelado em Tecologia em Ciêcias Aeroáutica 9

Matemática C pro. Wilso C. Caesi da Silva Uiversidade Braz Cubas Bacharelado em Tecologia em Ciêcias Aeroáutica 4 Da mesma orma,,,... é um poto de míimo local de, se,,... <,,... para qualquer poto,,... viziho de,,.... O poto é ecotrado, pela solução das equações:,,..., tagetes à superície o poto O determiate Hessiao calculado o poto, de máimo ou de míimo, para o caso de variáveis é dado por: H..................... Além disso é ecessário calcular os determiates........................

Matemática C pro. Wilso C. Caesi da Silva Etão, se: a,,,..., orem todos positivos, é um poto de míimo de. b,,,..., são alteradamete positivos e egativos, é um poto de máimo de. E. Achar os potos críticos da ução,,z + + z e veriicar se são de máimos ou de míimos.,,,que é o úico poto crítico z z z,, z,, z z, z, zz H,, 8 ; ; 4 ; 8 todos positivos, logo, o poto,, é um poto de míimo de. E. Estudar a ução,,z - - - z +4+z-5. Os potos críticos da ução são: - -+4,,,que é o úico poto crítico z -z z -,, z, -, z z, z, zz - Uiversidade Braz Cubas Bacharelado em Tecologia em Ciêcias Aeroáutica 4

Matemática C pro. Wilso C. Caesi da Silva H,, - 8 ; - ; 4 ; -8 Os siais dos s são alterados, logo o poto,, é um poto de máimo da ução. E. Estudar os etremos da ução:, / + / + + 8 + 4 + 6 +8 4 e + 4 7 e -6,,, 4 -. eistem potos que podem ser críticos, ou seja 4,7 ; 4, ;,7 e 4, O Hessiao calculado estes potos é H, 6 4 H4,7 8 > e ; ; 4 ; 8 O poto é de míimo. H4, 8 < sela H,7 < sela 8 H, 8 > e ; - ; 6 8 Uiversidade Braz Cubas Bacharelado em Tecologia em Ciêcias Aeroáutica 4

Matemática C pro. Wilso C. Caesi da Silva O poto é de máimo. Eercícios propostos: - Achar os etremos da ução, + - / / + Resp., é míimo e 4 4,6 é máimo e,6 e 4, são selas. - Achar os etremos da ução,se + se+π/ Resp. π/, é máimo. - Achar os etremos da ução, / + 4 /4-5 + 7 + Resp. 5,- é míimo. 4- Achar os etremos da ução, - / - / - - +4+8+ Resp.,4 e, são de máimo. Uiversidade Braz Cubas Bacharelado em Tecologia em Ciêcias Aeroáutica 4

Matemática C pro. Wilso C. Caesi da Silva.5 Operadores especiais da ísica.5. - Gradiete Deie-se o gradiete de uma ução escalar,,z, e represeta-se por grad ou, a epressão: grad i ˆ + ˆj + kˆ z O gradiete é um vetor e i, j, k são os vetores uitários..5. - Divergêcia r Deomia-se divergêcia de um vetor V represeta-se por div V ou. V, a epressão V iˆ + V ˆj + V z kˆ, e div V. V V V + V z + z Uma aplicação de divergêcia é em aerodiâmica, o escoameto de um luido, ode V ρ v, ou seja, o produto da desidade pela velocidade etão div ρ v represeta o escoameto por uidade de volume um poto do luido..5. - Rotacioal O rotacioal do vetor V, represetado por rot V, ou V é deiido por iˆ ˆj kˆ rot V V z V V Vz V V z iˆ V Vz z + ˆ V V j z + kˆ O rotacioal em mecâica dos luidos, mede a velocidade de rotação Ω do luido ou vorticidade do luido um poto dado, da orma Ω /. rot ρ v Uiversidade Braz Cubas Bacharelado em Tecologia em Ciêcias Aeroáutica 44

Matemática C pro. Wilso C. Caesi da Silva.6 Itegrais múltiplas As itegrais múltiplas podem ser deiidas ou ideiidas, ou podem ser mistas. orém, seguem as mesmas regras das itegrais simples e por isso relembremos aqui as pricipais órmulas de itegração simples: u d du u + u + C, ode u e + l u + C csu du l cscu - cotu + C cotu du l seu + C sec u du tau + C eu du e u + C csc u du - cotu + C au du a u / la + C cosu du seu + C secu tau du secu + C cscu cotu du -cscu + C seu du -cosu + C tau du -l cosu + C se u du [u - seu] / 4 + C cos u du [u + seu] / 4 + C secu du l secu + tau + C A itegral múltipla mais simples é a itegral dupla para calcular a área de uma igura plaa. d d da A área iiitesimal da d. d é obtida itegrado de até A. [ ] d d A d d Uiversidade Braz Cubas Bacharelado em Tecologia em Ciêcias Aeroáutica 45

Matemática C pro. Wilso C. Caesi da Silva E. Achar a área sob a ução - + 8, de até. A d. d d + 8 d + 8 [ ] A - 8 + 54 46 uid Outros eemplos de itegrais são: E. Calcular a itegral múltipla mista deiida e ideiida dd Solução: dd. d 4. d 6 4 + c 8 E. Calcular a itegral múltipla mista se + dd se + dd [ + ] d o se + se + c cos - cos ] d o [cos As itegrais múltiplas são muito usadas para calcular itegrais de volume de sólidos, coorme mostra a igura z O volume do sólido pode ser calculado por uma itegral tripla, do tipo: d d dz V abc dddz Uiversidade Braz Cubas Bacharelado em Tecologia em Ciêcias Aeroáutica 46

Matemática C pro. Wilso C. Caesi da Silva.6.- Volume de sólidos de revolução Um sólido de revolução se orma girado uma igura plaa em toro de uma reta ia. Girado o gráico de uma ução em too do eio, tem-se: r dv πr d dv π[] d b V π [ ] d a a b Figura plaa girado em Cálculo do elemeto de volume E: Usado o método do disco circular, calcule o volume do sólido gerado pela revolução da região sob a ução, o itervalo [,].,8,8, r, R 7 6 7 V π [ ] d π [ ] d π d π π 7 7 uid E: Achar o volume gerado pela ução a em [-a, a] Uiversidade Braz Cubas Bacharelado em Tecologia em Ciêcias Aeroáutica 47

Matemática C pro. Wilso C. Caesi da Silva a r -a a Semi-círculo em rotação Sólido esera gerado pela rotação do semi-círculo a a a V π [ ] d π [ a ] d π [a ]d π a a a a π a a a a + π a a a + a π a a πa 4 πa que é o volume da esera gerada. E: Calcule o volume gerado pela parábola girado em toro do eio de, o itervalo [,4]. 4 Seção plaa parábola girado em Sólido gerado pela parábola de revolução b b 4 π 4 V π r d π [g] d π [ ] d π d 8π 5, uid. a a 4 Uiversidade Braz Cubas Bacharelado em Tecologia em Ciêcias Aeroáutica 48

Matemática C pro. Wilso C. Caesi da Silva EXERCÍCIOS ROOSTOS Calcule o gradiete da ução Φ,,z ++z Resp. gradφ +i + j + z k Dada a ução vetorial V i+z j+4 + k, calcule a sua divergêcia. Resp. div V 6 + z Calcule o rotacioal do vetor V i + j + 5z k Resp. rot V 5z i + k 4 Calcular a itegral + dd Resp. / C ab 5 dd Resp. a b / 4 6 Itegrar as epressões do cetróide de uma igura plaa, trasormado itegral dupla em itegral simples. As epressões em itegral dupla são: c /A dd e c /A dd g g Resp. c /A. [ g ]. d e c /A. [ g ] d 7 Calcular o volume gerado pela hipérbole /, girado em e de,5 até Resp. V π [ ] d π [ ] d 8,4 uid,5,5 Uiversidade Braz Cubas Bacharelado em Tecologia em Ciêcias Aeroáutica 49