INSTITUTO POLITÉCNICO DE BRAGANÇA ESCOLA SUPERIOR DE TECNOLOGIA E DE GESTÃO ONDAS 2004 / 05. Exercícios teórico-práticos FILIPE SANTOS MOREIRA

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1 INSTITUTO POLITÉCNICO DE BRAGANÇA ESCOLA SUPERIOR DE TECNOLOGIA E DE GESTÃO ONDAS 004 / 05 Eercícios teórico-práticos FILIPE SANTOS MOREIRA

2 Ondas (EE) Eercícios TP Índice ÍNDICE I DERIVADAS E INTEGRAIS MOVIMENTOS HARMÓNICOS E ONDAS4 CAMPOS VECTORIAIS E ESCALARES 7 ONDAS ELECTROMAGNÉTICAS TRANSMISSÃO DE ONDAS ELECTROMAGNÉTICAS EM MEIOS COM PERDAS E EM MEIOS CONDUTORES3 FIBRAS ÓPTICAS Filipe Santos Moreira i

3 Ondas (EE) Eercícios TP Derivadas e integrais Calcule as derivadas parciais, e, das funções: a) = b) ( ) = sen c) 3 = 3e e + d) = + sen + cos e) = e f) = sen( ) Calcule as derivadas parciais de segunda ordem, 3 a) = 3 + sin e, das funções: b) = e 3 Calcule as derivadas parciais, v, v e v, do vector: v iˆ ˆ 4 = 3 + j 3 kˆ 4 Considere o seguinte paralelepípedo: b a c a) Calcule o volume do paralelepípedo usando o integral triplo (Sugestão: partir do volume elementar) b) Calcular a massa sabendo que a massa específica é: 3 ρ = 005 Filipe Santos Moreira

4 Ondas (EE) Eercícios TP 5 Considere o triângulo da figura seguinte: b a Calcule a área do triângulo usando um integral duplo 6 Calcule os seguintes integrais: 4 a) + 0 ( ) d d b) (4 + 5) d d 0 0 c) ( + + ) d d d Calcule os seguintes integrais para as curvas representadas: a) 5 d + d C (,) C b) 5 d + d C 005 Filipe Santos Moreira

5 Ondas (EE) Eercícios TP (,) C (,0) 8 Considere o campo F = (3 + ) iˆ + (5 ) ˆj e a curva definida pela equação = Calcule F d s para o arco da curva entre os pontos A (,8) e B (3,8) C 005 Filipe Santos Moreira 3

6 Ondas (EE) Eercícios TP Movimentos harmónicos e Ondas 9 Um bloco, com massa 680 g, está preso a uma determinada mola, cuja constante de elasticidade é 65 N m - O bloco é puado à distância = cm da sua posição de equilíbrio (em = 0), numa superfície sem atrito e libertado a partir do repouso no instante t = 0s a) Qual a força que a mola eerce sobre o bloco, imediatamente antes de este ser libertado? b) Qual a frequência angular, a frequência e o período da oscilação resultante? c) Qual a amplitude da oscilação? d) Qual o módulo da velocidade máima do bloco? e) Qual o módulo da aceleração máima do bloco? f) Qual a fase inicial do movimento? g) Qual a energia mecânica do sistema? h) Qual a energia potencial e a energia cinética deste oscilador, quando a partícula está a meio do caminho do etremo de oscilação? 0 No instante inicial (t = 0), o deslocamento de um bloco preso a uma mola presa na outra etremidade é de -8,5 cm, a sua velocidade é de -0,9 ms - e a sua aceleração vale 4 ms - a) Qual a frequência angular e a frequência do sistema? b) Qual a fase inicial e a amplitude do movimento? Um condensador de,5 µf é carregado a 57 V No instante inicial remove-se a bateria e liga-se aos terminais do condensador uma bobina de mh a) Qual é a corrente máima que percorre a bobina? b) Determinar a epressão da tensão aos terminais da bobina, em função do tempo c) Qual a taa de variação máima da corrente? Uma onda sinusoidal propaga-se ao longo de uma corda em vibração presa nas suas etremidades, sendo descrita pela equação: (,t) = 0,0037 sen (7,,7 t) (m) a) Qual a amplitude desta onda? b) Qual o comprimento de onda, o período e a velocidade escalar desta onda? c) Qual o deslocamento, a velocidade e a aceleração da onda no instante t = 8,9 s e na posição =,5 cm? 005 Filipe Santos Moreira 4

7 Ondas (EE) Eercícios TP 3 Uma onda sinusoidal propaga-se ao longo de uma corda em vibração presa nas suas etremidades, sendo descrita pela equação: t =,0 sen π +, 0,4 80 em que e se encontram epressos em cm e t em segundos a) Trace o gráfico de em função de no instante inicial, para 0 60 (cm) b) Repita a alínea anterior para t = 0,05 s e para t = 0,0 s c) Dos gráficos obtidos anteriormente, qual é a velocidade de propagação da onda e em que sentido a onda se propaga? 4 Qual é a velocidade escalar de uma onda transversal numa corda de comprimento,0 m e massa de 60,0 g, sob uma tensão de 500N? 5 A velocidade escalar de uma onda numa corda é 70 m s - quando a tensão é 0 N para que valor se deve aumentar a tensão, para subir a velocidade da onda para 80 m s -? 6 Considere a função f = F cos( ω t β ) Demonstre que esta função satisfa a equação de onda e determine a sua velocidade de propagação v 7 Considere as seguintes funções: a) 3 = ( vt) f + b) f jk ( v t) = A e c) f = ln( vt) d) f = A sen( k ) cos( ω t) Verifique que todas estas funções satisfaem a equação de onda 8 Verifique se as seguintes equações satisfaem a equação de onda e, em caso afirmativo, determine as respectivas velocidades de propagação: a) f 4 = ( k γ t ) 4 b) f = cos( ω t + ω ϕ) sen( k kθ ) 9 Verifique se as seguintes equações satisfaem a equação de onda e, em caso afirmativo, determine as respectivas velocidades de propagação: 005 Filipe Santos Moreira 5

8 Ondas (EE) Eercícios TP a) f γ 3 = ( k t) b) f = cos( ω t + φ) sen( k θ ) 0 Considere a função f β t (, t) = Ae a) Mostre que esta função satisfa a equação de onda b) Qual é a velocidade de propagação? 005 Filipe Santos Moreira 6

9 Ondas (EE) Eercícios TP Campos vectoriais e escalares Considere o campo vectorial definido do seguinte modo: V = ( )ˆ i + ˆj + kˆ a) Calcule o fluo que atravessa o quadrado da figura seguinte: b) Calcule o fluo que atravessa o triângulo, paralelo ao plano, da figura seguinte: - - Considere o campo vectorial V definido no problema anterior a) Calcule a divergência (div V ) desse campo b) Considere agora um cubo como se mostra na figura seguinte Mostre que o fluo dentro desse cubo é igual ao integral da divergência em todo o volume (por outras palavras, aplique o teorema de Green-Ostrogradsk) 005 Filipe Santos Moreira 7

10 Ondas (EE) Eercícios TP 3 Calcule o rotacional de cada um dos seguintes vectores a) v = ( sen ; / ; cos ) b) v = ( cos ; ; sen ) c) v = ( ;sen ; cos ) 4 Considere o campo vectorial v = iˆ + ˆj + kˆ a) Determine o fluo do campo através de um quadrado de lado assente no plano paralelo ao plano com = O quadrado, como mostra a figura, tem um vértice no eio dos e dois dos lados assentes nos planos coordenados, respectivamente e b) Calcule o rotacional e a divergência do campo 5 Considere o campo vectorial v = sen iˆ + cos ˆj + kˆ a) Calcule a circulação do campo ao longo do segmento de recta que vai do ponto S (0, 0, 0) até ao ponto T (π/, 0, 0) b) Calcule a circulação ao longo do percurso fechado da figura 005 Filipe Santos Moreira 8

11 Ondas (EE) Eercícios TP S(0,0,0) W(0,π/,0) T(π/,0,0) U(π/,π/,0) Sugestão: utilie o teorema de Stokes 6 Considere o campo escalar f = a) Calcule o gradiente do campo escalar f b) Calcule o fluo do gradiente do campo escalar f, no sentido positivo do eio dos, que atravessa o triângulo de vértices O (0,0,0), P (0,,0) e Q (0,,) representado na figura O P Q 7 Considere o seguinte campo: V iˆ ˆ = + j + kˆ a) Calcule o fluo deste campo que atravessa o paralelepípedo da figura de lados a=, b=3 e c= Sugestão: utilie o teorema de Green-Ostrogradsk c a b 005 Filipe Santos Moreira 9

12 Ondas (EE) Eercícios TP b) Calcule o rotacional e a divergência do campo 8 Considere o seguinte campo: V = iˆ + 6 ˆ j kˆ a) Calcule o rotacional e a divergência do campo b) Calcule o fluo deste campo que atravessa o paralelepípedo da figura de lados a=, b=3 e c= Sugestão: utilie o teorema de Green-Ostrogradsk c a b 9 Considere o seguinte campo: v = i + j + k a) Determine o fluo do campo através de um rectângulo de lados e assente no plano paralelo ao plano com =3, como mostra a figura O quadrado, como mostra a figura, tem um vértice no eio dos e dois dos lados assentes nos planos coordenados, respectivamente e 3 b) Calcule o rotacional e a divergência do campo 005 Filipe Santos Moreira 0

13 Ondas (EE) Eercícios TP Ondas Electromagnéticas 30 As equações de onda dos campos eléctrico e magnético, na direcção segundo o eio dos, são, como se sabe: E E = µε t B B = µε t Uma solução destas equações é a onda plana monocromática E = E cos 0 B = B cos 0 ( k ω t) ( k ω t) a) Determine a velocidade de propagação das ondas em função de µ e de ε b) Mostre que a velocidade é ω v = k 3 Sabe-se que uma onda electromagnética se propaga no vaio e está definida pela seguinte equação: E = E sen( ω t k + ) 0 φ a) Sabendo que a frequência da onda é 50 H, determine o comprimento de onda da mesma b) Sabendo que a onda é inicialiada para t=0, =0 com o valor E nulo e com a E primeira derivada = 00 Vm - s -, determine qual o valor de E 0 e qual o valor t da fase inicial φ 3 Calcule o comprimento de onda para uma onda AM com 000 kh e para uma onda FM com 00MH 33 A parte visível do espectro electromagnético está compreendida entre os comprimentos de onda m (violeta) e m (vermelho) Determine as frequências limite dessa parte do espectro 34 Calcule a frequência para: 005 Filipe Santos Moreira

14 Ondas (EE) Eercícios TP a) Uma onda com comprimento de onda de 3 cm b) Uma onda tipo raio X com comprimento de onda de 0, nm 35 A frequência da lu emitida por uma lâmpada incandescente é de 0,5 0 5 H Sabendo que a potência, isto é, a energia emitida por segundo, da lâmpada é de 00 W, qual é o número de fotões emitidos por unidade de tempo? 005 Filipe Santos Moreira

15 Ondas (EE) Eercícios TP Transmissão de ondas Electromagnéticas em meios com perdas e em meios condutores 36 Qual é a perda, por quilómetro, de uma onda plana propagando-se em terra seca? A onda tem uma frequência de MH e, a esta frequência, a condutividade da terra seca é de σ=0-5 S/m e a constante dieléctrica é 3 37 Calcular a perda por quilómetro de uma onda plana propagando-se em água destilada com uma frequência de 5 GH, sabendo que o factor de dissipação e a constante dieléctrica ε r a esta frequência são, respectivamente, 0,3 e Qual é a velocidade de uma onda EM com frequência f=0 4 H, após penetrar no mar? (ε r =8; σ=4 S/m) 39 Qual é a velocidade de uma onda EM com frequência f=60 H, após penetrar em cobre? (σ=5,8 0 7 S/m) 005 Filipe Santos Moreira 3

16 Ondas (EE) Eercícios TP Fibras ópticas 40 Uma fibra óptica tem um factor de atenuação, α(λ), de 0,5 db/km na 3ª janela centrada nos 550 nm Dispõe-se de um emissor com uma potência óptica de 0mW a) Calcular a distância para a qual a potência óptica se redu a mw b) Se agora se operar na ª janela, centrada nos 330 nm, determinar a potência recebida à mesma distância, sabendo que, neste comprimento de onda, o factor de atenuação, α(λ), vale 0,75 db/km 4 Dispõe-se de uma fibra óptica com largura de banda 5 Gbps km e um factor de atenuação de 0,5 db/km A potência óptica na emissão vale P e = 0 mw e pretendese uma potência óptica na recepção de valor P r = mw Todavia, o link deve ter comprimento de 00 km e deve operar a um débito binário de 00 Mbps a) Determinar o número mínimo de repetidores a introduir no link b) Se não se impusesse como condição uma potência óptica de mw na recepção, qual seria, então, a potência óptica recebida, sem a intercalação dos repetidores no link? 4 Dispõe-se de uma fibra óptica com uma largura de banda de 0 Gbps km Qual a distância máima de uma ligação ponto a ponto, sem ser necessário introduir qualquer amplificador óptico, sabendo que nessa ligação o débito binário deve ser 00 Mbps? 43 Uma fibra óptica apresenta um factor de atenuação de 0,5 db/km e uma largura de banda de 5 Gbps km Dispõe-se de um emissor óptico em que no acoplamento entre o emissor e a fibra há uma perda de 6 db Determinar a distância para a qual a potência óptica se redu a /6 da potência óptica emitida pelo emissor, sabendo que a um terço e a dois terços da distância total se tem um conector que introdu perdas de,5 db 44 Uma fibra óptica apresenta um factor de atenuação de 0, db/km e uma largura de banda de 30 Gbps km Tem-se um emissor óptico com mw de potência nominal e que no acoplamento entre o emissor e a fibra óptica há uma perda de 3 db Determinar a distância para a qual a potência óptica se redu a /4 da potência óptica emitida pelo emissor, bem como o débito máimo, sabendo que o receptor óptico se introdu no ponto determinado anteriormente 45 Uma fibra óptica apresenta um factor de atenuação de 05 db/km e uma largura de banda de 5 Gbps km Tem-se um emissor óptico em que, no acoplamento entre o emissor e a fibra óptica, há uma perda de 3 db Determinar a distância para a qual a potência óptica se redu a /8 da potência óptica emitida pelo emissor, sabendo que a meia distância tem-se um Splice que introdu perdas no valor de 3 db 005 Filipe Santos Moreira 4