gradiente, divergência e rotacional (revisitados)

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1 gradiente, divergência e rotacional (revisitados) Prof Carlos R Paiva

2 Prof Carlos R Paiva NOTA PRÉVIA Os apontamentos que se seguem não são um teto matemático: não se procura, aqui, o rigor de uma formulação matemática O que se procura, nestas notas abreviadas sobre os três operadores diferenciais gradiente, divergência e rotacional é, antes de mais, a formação de uma intuição O objectivo é o de, deste modo, faer com que as equações de Mawell que são escritas em termos de rotacional e divergência possam ser mais do que fórmulas com uma pura eistência formal, evitando-se assim que o seu conteúdo físico permaneça vago e nebuloso Apesar de uma interpretação em termos mecânicos poder ser considerada filosoficamente ambígua no sentido em que o campo electromagnético não deve ser interpretado, eg, como um fluido (como, de resto, o próprio Mawell o fe amiúde) não resta qualquer dúvida de que uma tal interpretação física ajuda a construir uma intuição útil desde que esta precisão filosófica fique clara desde o início Assim, no caso da divergência, os conceitos de «fonte» e de «sorvedouro» são fundamentais para se entender, em electrostática, o papel das cargas eléctricas positivas e negativas, respectivamente No caso do rotacional, a ideia de colocar um torniquete (constituído por uma espécie de roda com pás) em que o movimento rotativo depende do momento angular transmitido ao dispositivo parece, também, fundamental para distinguir, eg, o campo eléctrico conservativo em regime estacionário (onde E ) do campo eléctrico em regime não-estacionário (regulado pela equação de Mawell- Farada, E B t ) No caso do gradiente, a ideia de um declive associado a um conjunto de curvas de nível, é também fundamental de forma a entender que este operador diferencial nos informa, eg, sobre qual a encosta de uma montanha que é mais íngreme (e, portanto, menos recomendável para uma subida mais acessível) Página

3 Prof Carlos R Paiva Comecemos por recordar a definição dos operadores diferenciais gradiente, divergência e rotacional num sistema de coordenadas cartesianas rectangulares Para tal consideremos a base ortonormada,, e e e, ie, tem-se, em e n mn, m n m n e, nesta base do espaço vectorial, definamos o operador nabla tal que e e e Sejam,, um campo escalar : e,, F F um campo vectorial F : tal que F, F, F F,, F,, F,, F e e e Definem-se, então, os operadores diferenciais: gradiente e e e, divergência F F F F, rotacional F F F F F F F e e e Como mnemónica usa-se, ainda, a definição alternativa de rotacional em termos do «determinante» formal Página

4 Prof Carlos R Paiva e e e F e e e F F F em que F F, F F, F F Definições Um campo vectorial F di-se conservativo quando eiste um campo escalar tal que F Di-se, neste caso, que é o potencial associado a F Um campo vectorial F di-se solenoidal quando F Um campo vectorial F di-se irrotacional quando F Facilmente se verificam as seguintes identidades: F, Por eemplo, F F F F F F F F F F F F F Página

5 Prof Carlos R Paiva uma ve que F F, F F, F F Assim, se um campo F é solenoidal, eiste um campo vectorial A tal que Por outro lado, se o campo F é irrotacional, então é conservativo Ou seja, F F A, F F F A Também de define o operador laplaciano F F F F e e e Demonstra-se que F F F, Tem-se, Vejamos, agora, a definição de derivada direccional do campo escalar,, ao longo de uma dada direcção Seja, então, u ue ue ue um vector constante que caracteria a direcção em causa O correspondente vector unitário û (em que u ˆ ) é dado por u u e u e u e uˆ e e e, a a a u u u u em que Página 4

6 Prof Carlos R Paiva u u a, a, a u u u u u u u u u u Seja agora dado um ponto P,, e seja,, P um ponto tal que s a s a s a em que s é um parâmetro que mede a distância entre o ponto P e o ponto P, tendo-se (note-se que P P PP ) portanto P P P P e e e s a e a e a e su ˆ Nestas condições, a derivada direccional de ao longo da direcção u é d d d d a a a d s d s d s d s d u ˆ ds Por eemplo: se u e e e, vem uˆ e e e e ainda e e e e, de forma que d 4 ds u ˆ a que corresponde, eg, um valor d ds 5 notando que se tem d cos, ds para o ponto,, Em geral, onde é o ângulo entre o vector e o vector unitário û, infere-se que a derivada direccional d d s é a projecção do gradiente ao longo da direcção u O valor Página 5

7 Prof Carlos R Paiva máimo da derivada direccional obtém-se quando, ie, quando a direcção de u coincide com a direcção de O gradiente dá-nos, portanto, o valor máimo da derivada direccional do campo no ponto em causa Faendo, ainda, dr u ˆ ds vem d dr Quando se considera um deslocamento dr sobre uma superfície de nível,,, é d pelo que dr, donde se tira que dr : a direcção dada por é, assim, ortogonal à superfície de nível No caso específico em que, trajectórias ortogonais das curvas de nível, as linhas de força do campo vectorial são as EXEMPLO Consideremos o campo de temperaturas absolutas (ie, medidas em graus Kelvin) T,, 7 Vejamos, então, qual a direcção em que a temperatura cresce mais rapidamente quando se considera o ponto,, Tem-se T e e e e, no ponto em questão, obtém-se T 4e 7e e, a que corresponde a direcção de máimo crescimento da temperatura Com efeito, d ds dá-nos precisamente a taa desse crescimento máimo Note-se, porém, que a transferência de calor se dá na direcção q T, ie, das temperaturas mais altas para as temperaturas mais baias Em electrostática, por raões análogas, escreve-se E, ie, as linhas de força do campo eléctrico dirigem-se dos potenciais mais altos para os potenciais mais baios Página 6

8 Prof Carlos R Paiva EXEMPLO Consideremos, agora, a superfície Comecemos por determinar o vector unitário n correspondente à respectiva normal no ponto,, P Como a direcção da normal é determinada por (dado que o gradiente é perpendicular às superfícies,, ), tem-se e e e, 6 e e 4 e 9 e e e 9 e e e n A equação da linha recta normal à superfície no ponto r é (com t t, 9 r r v v e e e Logo, faendo v n) r e e e r e e e P,, r a equação da normal será vt vt 9 v t O plano tangente, por sua ve, é o lugar geométrico dos vectores u P P P P e e e que são perpendiculares ao vector v 9 n 9e e e, ie, tais que uv 9 pelo que a respectiva equação será 9 EXEMPLO Consideremos as equações de Mawell Página 7

9 Prof Carlos R Paiva homogéneas não-homogéneas B E t B D H J t D Em regime estacionário é B t D t pelo que o campo eléctrico é conservativo (pois E e, consequentemente, E ) e a densidade de corrente eléctrica J é solenoidal (pois H J e, consequentemente, J ) Notese que apenas em regime estacionário é que, em rigor, se podem definir tensão e corrente eléctricas pois, apenas neste caso, quer a lei das malhas quer a lei dos nós (dos circuitos) são válidas No vácuo, sem fontes do campo (ie, e J ), tem-se D E E B H H de forma que H E E E E E t H E E E H H t t t t E E c t Esta última equação é a equação (de d Alembert) de propagação das ondas electromagnéticas no vácuo Com efeito, a velocidade da lu no vácuo é c ms (valor eacto, por definição) e é dada por c onde 4 Hm 7, de modo que Página 8

10 Prof Carlos R Paiva F m c Analogamente, vem H H H H E H H E t t t H H c t Ou seja, no vácuo verifica-se sempre E t H c Introduindo o operador dalembertiano c t a equação de d Alembert escreve-se, então, nas duas formas alternativas E, H EXEMPLO 4 Consideremos o campo vectorial e e F,,, A intensidade deste campo é constante e dada por F,,, Facilmente se verifica que se trata de um campo solenoidal pois F F F F F Página 9

11 Prof Carlos R Paiva Porém, este campo que não é conservativo: e e e F e F F F e O laplaciano deste campo vectorial é dado por F F e F e de forma que F F F 5 5 F F F 5 5 e e F Note-se que, como F, se tem e e e F F e e o que, naturalmente, confirma o resultado anteriormente obtido Num campo solenoidal as linhas de força são fechadas Isto significa que não eistem pontos que sejam «fontes» ou «sorvedouros» do campo Num campo vectorial, F uma curva di-se uma linha de força se, em cada ponto,, o vector, tangente à curva Assim, num campo vectorial, F, F, F e e, as linhas de força respectivas satisfaem a equação diferencial F é Página

12 Prof Carlos R Paiva d F, d F, No eemplo em análise, vem então d d d d k, onde k é uma constante de integração Logo, faendo c c k, obtém-se Isto mostra que as linhas de força são circunferências centradas na origem EXEMPLO 5 Consideremos, agora, o campo vectorial e e,,, F Trata-se, tal como o eemplo anterior, de um campo vectorial de amplitude constante, com F Notemos, para começar, que se trata de um campo irrotacional: e e e F F F Isto significa que este campo vectorial é conservativo: eiste um potencial, tal que F, ie, F F, d d, Admitindo então que,, infere-se que e, portanto, Página

13 Prof Carlos R Paiva, Este campo não é solenoidal: F F F Note-se que F Logo, como o campo não é solenoidal, as linhas de forças são abertas Com efeito, estas satisfaem a equação diferencial d d d k ln ln k ln k e d em que k é uma constante de integração Mas então, introduindo as linhas de força são as rectas que passam pela origem, ie, k c e, infere-se que c Com efeito, as equipotenciais serão as circunferências a Como o campo é irrotacional, tem-se F F F F F, a, ie, tais que e e F e e A origem,, é o ponto onde se localia a fonte do campo Se, em ve deste campo, se tiver o campo e e,,, G F, a origem corresponderia, então, a um sorvedouro de G pois G Consideremos, agora, um vector constante u, tal que Página

14 Prof Carlos R Paiva u u e u e u u ˆ e ue u u u u A derivada direccional de ao longo do vector u é então dada por d e e u e u e u u ds u u u u uˆ F u ˆ um que s é a coordenada medida ao longo do eio correspondente a u Por eemplo, se u e e é uˆ e e e, consequentemente, d ds Assim, eg, no ponto,, obtém-se d ds, O valor máimo da derivada direccional é precisamente e corresponde a F em qualquer ponto Já a derivada direccional ao longo de u, calculada no ponto,,, assume o valor d ds, EXEMPLO 6 Vamos agora comparar o rotacional dos seguintes campos vectoriais: v, e e, v v a b c Tem-se vep e, b vep e a Página

15 Prof Carlos R Paiva v v a b e,, vc v a a ep e O primeiro campo vectorial, v a, tem um rotacional que é dirigido segundo o eio : podemos imaginar que se trata de um fluido, em movimento, em que cada ponto tem, em função do tempo, as coordenadas t a cos t, t a sin t Assim, o campo vectorial da velocidade é, efectivamente, dado por v d d a, a sin t cos t dt e dt e e e e e Note-se que a intensidade deste campo de velocidades é constante e dada por a,, sin cos v v a t t a a As linhas de força deste campo v a são tais que d d k c c d d k Um torniquete, formado por uma roda hidráulica com pás (ie, um roda de palhetas), colocado em qualquer ponto do fluido irá rodar sempre com a mesma velocidade angular Já no caso do campo de velocidades v b, em nenhum ponto o torniquete irá rodar: em qualquer ponto a velocidade do fluido dirige-se, sempre, segundo, ie, as linhas de força são as rectas d v b d c d Finalmente, no terceiro caso, em que se considera o campo de velocidades torniquete roda com uma velocidade angular que depende da coordenada : apesar de a velocidade linear estar sempre orientada ao longo do eio, o fluido eerce um momento angular que não é nulo e, assim, provoca a rotação de uma roda de palhetas (ecepto quando, caso em que o momento angular se anula) v c, o Página 4

16 Prof Carlos R Paiva EXEMPLO 7 Consideremos o campo vectorial c c c c F e e e 4 Determinemos as constantes c, c, c e c 4 de forma que este campo vectorial seja simultaneamente irrotacional (e, portanto, conservativo) e solenoidal Como, e e e F F F F F F F F F F e e e F F F c c c F F F c e c e c e Logo, se o campo é irrotacional, deverá ter-se c c F e e c e c 4 de modo que o campo será ainda solenoidal desde que F F F F c4 c4 Ou seja, deverá ter-se: F e e e Admitamos, agora, que o respectivo potencial é tal que vem F Nestas condições, F, F d F d Página 5

17 Prof Carlos R Paiva d d Portanto, deve ter-se Admitindo, então, que o potencial é nulo em,,, infere-se por fim que,, EXEMPLO 8 Um campo vectorial,, constante real tal que F F F F di-se um campo de Beltrami se eistir uma Isto significa que um campo de Beltrami é paralelo ao seu próprio rotacional Para um certo valor próprio, um campo de Beltrami é o campo próprio do operador rotacional Uma definição alternativa para um campo F de Beltrami é a seguinte:, F F uma ve que FF Note-se que, em rigor, não é necessário que seja uma constante para que F seja um campo de Beltrami: o que é necessário, apenas, é que F F, ie, que se tenha F F Comecemos por verificar que um campo de Beltrami é necessariamente solenoidal Com efeito, no caso em que é uma constante, vem F F Portanto, as linhas de força de um campo de Beltrami são fechadas Consideremos, a título de eemplo, o campo F F F e e Facilmente se verifica que e e e d df df F e e d d d F F Página 6

18 Prof Carlos R Paiva pelo que, para ser um campo de Beltrami, terá de verificar as condições d F d F F F F cos sin d d df d F F F F cos sin d d cos sin F cos sin e e Note-se que um campo de Beltrami tem um rotacional que também é um campo de Beltrami De facto, seja G F em que F é um campo de Beltrami Então, F F G G F G G G o que prova a afirmação EXEMPLO 9 São eemplos importantes de campos de Beltrami as ondas electromagnéticas com polariações circulares ortogonais Para uma onda (no vácuo) com PCD (polariação circular direita) o campo eléctrico escreve-se, t E ep i t E E E e e i epi k E E de forma que e e e d de d E E E e e k e i e ep i k d d d E E E PCD E k E o que prova que, efectivamente, se trata de um campo de Beltrami Analogamente, para uma onda com PCE (polariação circular esquerda), vem, t E ep i t E E E e e i epi k E E e, consequentemente, Página 7

19 Prof Carlos R Paiva e e e d de d E E E e e k e i e ep i k d d d E E E PCE E k E EXEMPLO Consideremos, agora, o campo de Beltrami e e F Comecemos por notar que e e e d df df e e F e e d d d F F F F Portanto, neste caso, trata-se de um campo de Beltrami F uma constante pois F em que não é A definição geral de um campo de Beltrami F é, portanto, a de que se deve ter F F o que se verifica neste eemplo O campo é, ainda neste caso, solenoidal Com efeito, tem-se F F F F e as linhas de força do campo satisfaem, no plano, a equação diferencial d F d F c No plano as linhas de força correspondem a d, ie, às rectas c Notemos que, em geral, se tem Página 8

20 Prof Carlos R Paiva G G G Assim, no caso geral em que,, e e e, obtém-se No caso concreto deste eemplo, em que d e e d Assim, neste caso, G F F G F, vem simplesmente G G F G F F e e e Este resultado coincide, como não podia deiar de ser, com o facto de se ter F F F F G F G EXEMPLO Consideremos, agora, a questão seguinte: em que condições é que a forma diferencial d Fdr corresponde a uma forma diferencial eacta? Por definição, uma forma diferencial (ou simplesmente uma diferencial) é eacta desde que F, ie, desde que o campo vectorial,, F seja irrotacional ou conservativo: F e e e Logo, em geral, para se ter uma diferencial eacta,,,,,, d Fdr F d F d F d é necessário que Página 9

21 Prof Carlos R Paiva F F F F F F F F F uma ve que se tem,, Isto é equivalente a dier que F Consideremos, a título de eemplo, a forma diferencial d d d d Notando que, neste caso, se tem e e e F e e 6 e, infere-se que F não é conservativo e, consequentemente, a diferencial em causa não é eacta Já a forma diferencial d d d d, em que se tem e e e F e e, é uma forma diferencial eacta Para determinar o potencial,, de verificar-se então neste caso, tem Página

22 Prof Carlos R Paiva,, d d d d Conclui-se, deste modo, que o potencial procurado é dado por,, Por vees, na literatura, uma diferencial eacta é também designada por forma diferencial de Pfaff em memória do matemático Johann Friedrich Pfaff (765-85) Página