A EQUAÇÃO DO MOVIMENTO EM OCEANOGRAFIA

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1 A EQUAÇÃO DO MOVIMENTO EM OCEANOGRAFIA Escrever a equação do movimento corresponde a escrever a 2ª Lei de Newton (F = ma) numa forma que possa ser aplicada à oceanografia. Esta Lei diz-nos que como resultado de várias forças a actuar num corpo de massa m, este corpo adquire uma aceleração, ou seja uma variação na sua velocidade, que é proporcional à resultante das forças actuantes. A c te de proporcionalidade é a massa do corpo. A aceleração tem a direcção da resultante das forças actuantes. Se F resultante = 0, logo a = 0 e não vai haver modificação do movimento, ou seja, o movimento persiste tal como está mas não deixa de haver movimento. Também se observarmos que a = 0, podemos concluir que F resultante = 0. A conclusão de que não há forças a actuar é impossível à superfície da Terra, onde pelo menos a força gravítica está a actuar. Assim, se tivermos um movimento com v = c te, temos que concluir que é a resultante de forças que é nula. Lembra que v = c te (a = 0) implica que o movimento seja rectilíneo ( se não há aceleração normal a actuar aceleração centrífuga). Em oceanografia é conveniente escrever a equação F = ma na forma: a = F / m, e escrevela em termos da unidade de movimento. Descriminando algumas forças que são já conhecidas, a 2ª Lei para o oceano será: Aceleração = f. qravidade + f. pressão + f. Coriolis + outras forças unidade de massa ou, na forma analítica: dv = g 1 P 2 Ω ^ v + F ρ Escrevendo esta equação nas suas 3 componentes, x, y e z, com x positivo para Este, y para Norte e z para cima e a origem das coordenadas na superfície do mar: tudo isto por unidade de massa. du = - 1 P + 2 Ω senφ v 2 Ω cosφ w + F x ρ x dv = - 1 P - 2 Ω senφ u + F y ρ y dw = -g - 1 P + 2 Ω cosφ u + F z ρ z Veremos em breve como chegamos a estas equações. Estas equações, na forma vectorial, ou nas suas componentes, são chamadas as equações do movimento em Oceanografia. Estão escritas para um referencial não inercial, fixo à Terra.

2 Nestas equações, u, v e w são as componentes da velocidade da água e elas descrevem o movimento do oceano e são elas que interessam ao oceanografo físico. E em conjunto com a pressão P, constituem, em princípio, as 4 incógnitas na equação do movimento. Como dispomos da equação da continuidade, temos 4 equações para 4 incógnitas. Todas as outras grandezas são conhecidas (em princípio). φ - latitude; Ω - velocidade angular da Terra, etc... as outras forças (F x, F y e F z ) representam as forças de atrito e forças de maré. Podemos também considerar a salinidade S, e a temperatura T e consequentemente ρ, como incógnitas (apesar de poderem ser observadas) e aí temos que introduzir mais equações no sistema: são as equações Termodinâmicas. Obter soluções, resolver, as equações do movimento, corresponde e encontrar valores de u, v e w em função de quantidades conhecidas. O facto de assumirmos a equação da continuidade para um fluído incompressível (div v = 0) elimina de imediato os efeitos acústicos da solução destas equações, uma vez que as ondas acústicas baseiam-se no facto do meio ser compressível (compressão e expansões do meio são a forma destas ondas se propagarem). As equações do movimento têm que satisfazer determinadas condições para se verificam (ou que supomos verificar-se), como por exemplo, a componente u ter que ser zero junto a uma costa Norte Sul, ou a componente tangencial da velocidade também tem que ser nula ao longo de uma fronteira, etc... As expressões da equação do movimento tornam-se complicadas quando começamos a introduzir expressões para as forças de fricção, incluídas no termo F. Ainda mais difícil se torna encontrar soluções para elas quando são incluídas aparecem combinadas entre si (por exemplo u v / x ou v u / y), e muitas vezes estas equações não têm solução. Ou melhor, têm solução, mas não uma receita geral para a encontrar. Muitas vezes recorre-se a c tes empíricas, aproximações ou resolvem-se por métodos numéricos. Termos da Equação do Movimento: O Gradiente de Pressão 1 P ρ imaginemos um volume rectangular de fluído cujos lados são dx, dy e dz relativamente a um sistema de referência fixo à Terra. A força que se exerce neste volume ao longo da direcção x, devido à pressão hidroestática é: z z P P + dp y x y x

3 P dy dz î na face esquerda - (P + dp) dy dz î na face direita A força de pressão resultante será: - dp dy dz î ou : - dp dx dy dz î. dx (dx dy dz) representa a unidade de volume, logo a força por unidade de volume será: - dp î dx e por unidade de massa será: - 1 dp î ρ dx Para as outras direcções: - 1 dp ^j e - 1 dp ^k ρ dy ρ dz Logo, a força de pressão por unidade de massa será: - 1 ( P î + P ^j + P ^k) = - 1 P ( - 1 grad P) ρ x y z ρ ρ O sinal negativo (-) significa que se a pressão P, aumenta para a direita, a força da pressão actua para a esquerda, etc... O Termo de Coriolis: Este termo aparece porque a Terra, e consequentemente um sistema de eixos fixos à Terra, não é um referencial inercial. Ora, as observações que nós fazemos são relativamente à Terra, em rotação. A 1ª e a 2ª Leis de Newton são válidas quando a aceleração é medida relativamente a um referencial inercial. Se fizéssemos observações relativamente a um sistema de inércia (sem aceleração... fixo no espaço... sem rotação... etc) a equação do movimento seria apenas: dv = - 1 grad P + g fixo + F ρ Temos por isso de realizar a transformação do sistema de eixos inercial fixo no espaço, onde é válido o F = ma no nosso sistema de eixos, não inercial, em c te rotação com a Terra (para uma dedução ver Knauss). Então temos que:

4 Relativamente a um referencial de inércia (R), com a origem no centro do Planeta, a equação do movimento será: dv = - 1 grad P + g fixo + F ρ R relativamente a um referencial não inercial, a rodar com a Terra (R ), para um observador neste referencial vão aparecer dois termos e a equação do movimento será: ou: dv + 2 Ω ^ v + Ω ^ (Ω ^ r) = g fixo 1 P + F ρ R dv = g fixo 1 P - 2 Ω ^ v - Ω ^ (Ω ^ r) + F ρ R - 2 Ω ^ v termo de Coriolis - Ω ^ (Ω ^ r) termo da aceleração centrípeta e é esta a aceleração que nós vemos quando fazemos observações à superfície da Terra. Todas estas equações estão por unidade de massa. Chamamos forças aparentes ao termo de Coriolis e ao termo centrifugo. Assim salvamos Newton ao fazer aparecer forças aparentes, pois se assim não fosse a equação de Newton F = ma não se verificava neste referencial. Gravitação e o Termo Centrípeto: a aceleração da gravidade g: Gravitação é o nome dado à força de atracção entre massas, expressa pela Lei de Atracção Universal Newton: F g = G M 1 M 2 r 2 onde M 1 e M 2 são massas e r a distância entre os seus centros. G é c te da gravitação universal. A gravitação está representada pelo termo g f na equação do movimento. Contudo, quando medindo a aceleração da gravidade a que estão sujeitos os corpos à superfície da Terra, estamos também a incluir o Termo Centripeto (- Ω ^ (Ω ^ r)), pois é difícil medi-los separadamente. É pois desejável combinar os 2 termos: g = g f - Ω ^ (Ω ^ r) a que chamamos aceleração gravítica, o familiar g =9,8m/s 2. O valor da aceleração centrípeta representa no máximo 0,3% da aceleração da gravidade. À superfície da Terra, g depende apenas da posição geográfica:

5 - é máxima nos polos, onde a aceleração centrípeta é nula e o raio terrestre é menor; - é mínima no equador, onde a aceleração centrípeta é máxima e o raio terrestre é maior. Contudo, a variação de g entre o polo e o equador é apenas cerca de 5% e por isso consideramos g = c te = 9,8 m/s 2. É a direcção de g que define o eixo dos z s. Ω Ω ^ ( Ω ^r) g f g = g f - Ω ^ (Ω ^ r) φ - Ω ^ ( Ω ^r) Análise do Termo de Coriolis: Podemos escrever o Termo de Coriolis nas suas componentes: Ω = Ω cos φ ^j + Ω sen φ ^k v = u î + v ^j + w ^k - 2 Ω ^ v = 2 î ^j ^k = 0 Ω cosφ Ω senφ u v w = - 2 (w Ω cosφ - v Ω senφ) î 2 u Ω senφ ^j + 2 u Ω senφ ^k São estes os termos que constam da equação de movimento que já escrevemos. Em geral o termo que contém w é desprezado porque este é muito pequeno ( 2wΩcosφ) Também a componente em z da aceleração de Coriolis costuma ser desprezada (2uΩcosφ), porque é muito pequena quando comparada com os outros termos (não esquecer que é na componente z que está g e em que o gradiente de pressão é muito grande quando comparado com o gradiente de pressão segundo x e y). Também os percursos de uma partícula de água ao longo da componente z são muito pequenas quando comparadas com os percursos ao longo de x e de y. Logo, a aceleração de Coriolis segundo z não tem efeito significativo. Assim, apenas 2 termos de Coriolis são importantes, actuando segundo x e y. A combinação destes termos constituem aceleração horizontal de Coriolis:

6 Ou, vectorialmente: A c = 2 Ω v senφ î 2 Ω u senφ ^j A c = f v H ^ k Com v H = u î + v ^j e f = 2 Ω senφ, chamado parâmetro de Coriolis. Notemos que ao fazer o produto externo de v H com k estamos a provocar uma rotação de 90º em v H, para a direita no hemisfério Norte e para a esquerda no hemisfério Sul. Ordens de grandeza: Para uma corrente de 1 m/s (3,6 Km/h) que é um valor típico para as correntes oceânicas: - no polo (φ = 90º) A c = 1,5x10-4 m/s; - a φ = 45º A c = 1x10-4 m/s; - e no equador (φ = 0º) A c = 0. - Como se vê estas acelerações são pequenas o que confirma a validade de as desprezarmos na componente vertical da equação do movimento. Uma aceleração destas faz um corpo demorar 228 horas para variar a velocidade de 1m/s a 10m/s (30km/h) Nota acerca do sistema de coordenadas utilizado: Até aqui temos escrito os nossos vectores num sistema de eixos ortogonal e cartesiano com eixos rectos e perpendiculares entre si (z para cima, y para leste e x para norte). Mas se considerarmos o nosso sistema de eixos fixo no planeta Terra, como um todo, um sistema com os eixos rectos não é apropriado. Temos que usar um sistema de coordenadas esféricos (aproximação do planeta a uma esfera). No entanto, se a região que estamos a considerar não for grande, ou seja, para fenómenos de escala relativamente pequeno (até 100km), podemos utilizar um plano tangente ao geóide sem estar a cometer grandes erros. A estes plano chama-se f-plane e podemos não considerar a variação latitudional do parâmetro f, atribuindo-lhe um valor c te igual ao centro da região considerada (aproximação f-plane). Para regiões grandes, onde φ (latitude) varia algumas dezenas de graus, a aproximação a um plano tangente chama-se β-plane. Aqui, se usarmos a aproximação a um sistema de eixos perpendicular tomemos a variação de f com a latitude como f = (f 0 + β y ) onde f 0 é o valor de f na latitude central da região e β = f, a variação de f com a latitude. y Filtragem das Equações do Movimento: as equações do movimento que escrevemos, ainda não incluem os termos de atrito, que conjuntamente com os termos advectivos constituem os termos não lineares (porque as

7 velocidades aparecem ao quadrado ou como produtos das velocidades por derivadas de velocidades). Com a introdução destes termos, as equações do movimento tornam-se muito complexos, quase impossíveis de resolver (a análise os termos não lineares será feito mais tarde). Contudo, a partir de uma análise grosseira da importância de cada termo da equação, é possível negligenciar inicialmente alguns dos termos, mantendo ainda assim a equação com os termos suficientes para descrever alguns movimentos do oceano, ainda que de forma aproximada. Mais tarde, podemos sempre re-introduzir alguns dos termos, para obter descrições mais exactas, ou para situações mais específicas em que alguns dos termos negligenciados adquirem importância relevante. O que vamos fazer é utilizar o banco de dados da oceanografia descritiva para estimar o valor dos vários termos e assim decidir quais são os mais importantes em situações particulares. Para já, vamos considerar o oceano interior, afastado das regiões de fortes correntes e afastado da superfície onde os efeitos do atrito são importantes. Considerando estas regiões mais tarde. A escala horizontal da distância no oceano (típica das circulações à larga escala): 1000Km = 10 6 m (largura do oceano Pacífico = 12000Km; do Atlântico = 6000Km). Assim, L 10 6 m As velocidades horizontais típicas: 10 cm/s = 0,1 m/s. Assim, U 10-1 m/s. A escala vertical do oceano é dada pela sua profundidade média que é na ordem de 10 3 m (4000m). Assim, H 10 3 m. Tínhamos já obtido através da equação da continuidade, um valor típico para a velocidade vertical no oceano: w ( u + v) em termos de magnitude : W = U z x y H L Logo, Assim, W = U. H m/s L 10 6 W 10 4 m/s Uma escala razoável para o tempo será de 10 dias ( 10 6 s), um tempo razoável para estabelecer regimes ou registar variações consistentes dos parâmetros físicos da água do oceano. Variações de menos escala temporal são a diluição de movimentos turbulentos. Assim, T 10 6 s. A escala do parâmetro de Coriolis pode ser dada pelo seu valor à latitude φ = 45º:

8 Assim, f 10 4 s -1 2 Ω sen 45º = 2 x 7,3x10-5 x 0, s -1 A escala da variação vertical da pressão obtém-se a partir da equação de equilíbrio hidrostático, com: m 3 /kg e P 10 4 kpa = 10 7 Pa para Z = m ρ Assim, P v 10 7 Pa (escala vertical) A escala da variação horizontal da pressão pode ser tratada como 10 4 Pa, se considerarmos que é a variação espacial da pressão atmosférica a causa das variações horizontais da pressão em profundidade. Ou seja, se assumirmos que as variações de pressão na superfície se propagam em profundidade. Sabendo que 1 atm 10 5 Pa 100 mbares numa escala horizontal de 1000 km. Variações de pressão atmosférica de 10 4 Pa (100mbars). Assim, P H 10 4 Pa (escala horizontal) Por fim, a escala da aceleração da gravidade: g 10 m/s 2 Temos então para a equação horizontal do movimento: du = - 1 P + 2 Ω senφ v 2 Ω cosφ w + F x ρ x dv = - 1 P - 2 Ω senφ u + F y ρ y U P H f U f W??? T ρ L E para a equação vertical do movimento: Comentários : dw = -g - 1 P + 2 Ω cosφ u + F z ρ z W P v f U??? T ρ H confirmámos que os termos de Coriolis ( 2 Ω cosφ w) e (2 Ω cosφ u), são realmente desprezáveis;

9 - na equação vertical todos os termos são muito mais pequenos que a aceleração da gravidade e o termo do gradiente de pressão, que representam a equação de equilíbrio hidrostático. Verificámos que ela é correcta com uma precisão de 1 para 1 milhão! Verifiquemos que ela ainda é válida para as correntes mais rápidas do planeta, tal como a corrente do golfo, com uma velocidade de 3 m/s e uma largura de 100km. - Das equações horizontais verificamos que, com uma precisão de 1% os termos de Coriolis e de gradiente de pressão se equilibram: é a aproximação geostrófica. Assim temos que com uma precisão de 1% para o oceano interior (90% do oceano mundial) são válidas as equações: f u = - 1 P ρ y - f v = - 1 P ρ x g = - 1 P ρ z Estas equações descrevem as relações: 1. entre a distribuição horizontal da pressão e a velocidade horizontal no oceano; 2. e entre a distribuição da pressão como função da profundidade e da distribuição de unidades, que por sua vez é uma função da distribuição da salinidade, temperatura e pressão. Então, em princípio, se observarmos a distribuição da salinidade e da temperatura em função da profundidade, podemos calcular a pressão P, a partir de Z (pela equação do equilíbrio hidrostático) e substituir nas equações em x e y para calcular u e v (oceanografia observacional). Alternativamente podemos expressar as distribuições da temperatura e da salinidade matematicamente como funções de x, y e z, introduzindo a equação de estado: ρ = ρ (T, S, P) a partir de estudos laboratoriais das propriedades da água do mar e equações de conservação da energia interna de sal, e resolver as equações simultaneamente. Aparentemente, a região interior do oceano pode ser descrita por um conjunto de equações simples e que podem ser resolvidas, porque os efeitos não lineares foram desprezados. Contudo, este conjunto de equações não nos dá uma descrição completa, porque, esta depende também das camadas superficiais onde o vento actua e do que se passa nas fronteiras laterais, onde a dinâmica pode ser mais complicada (por exemplo a corrente do Golfo). No entanto, mesmo ignorando essas regiões, este conjunto de equações é muito útil para descrever, ainda que de forma aproximada, o movimento do oceano.