DEMONSTRAÇÃO MATEMÁTICA DE POSSÍVEIS DIFERENÇAS ENTRE A CORRELAÇÃO DE DUAS VARIÁVEIS SIMPLES E A CORRELAÇÃO DE DUAS VARIÁVEIS DERIVADAS Daiel Pires Bitecourt 1 e Prakki Satyamurty Cetro de Previsão de Tempo e Estudos Climáticos - CPTEC/INPE email: (1) daiel@cptec.ipe.br ; () saty@cptec.ipe.br Abstract Possible differeces i the aomaly correlatio coefficiets betwee forecast ad verificatio fields obtaied with the primitive variables ad derived variables are demostrated trhough form simple hypothetical cases. It is show that errors i the predictio of the shortwaves phase is more problematic for the model's skill. Palavras chave: Previsão / Avaliação / Erro Numérico Itrodução: Nos dias de hoje a simulação da atmosfera através de modelos uméricos é uma ferrameta essecial para a prática de previsão de tempo. A partir dos resultados desses modelos é possível se fazer previsões mais precisas e com maior atecedêcia. Segudo Boatti (1996), a previsão umérica viabiliza progósticos de até cico dias para a região extratropical do Hemisfério Sul. No etato, é ecessário certo cuidado quado utiliza-se de campos meteorológicos progosticados por modelos uméricos. Para se fazer uma previsão de tempo é importate ser crítico, cosiderado basicamete três ites. Em primeiro lugar cosidera-se a climatologia da região e a época do ao. A previsão ão pode apresetar situações atmosféricas muito diferetes do que ormalmete é observado em cada região e em cada época do ao. Em segudo lugar cosidera-se o prazo de atecedêcia e a latitude. Segudo Moura (1984), o prazo de atecedêcia para previsão de tempo os trópicos é meor do que os extratrópicos. Por último, chama-se a ateção para a variável que está sedo prevista. Segudo Bitecourt (1996), em geral, as variáveis derivadas apresetam meor desempeho do que as variáveis simples. Cosidera-se variável derivada aquela que requer cálculo para sua obteção, como divergêcia, vorticidade, advecção térmica, etc. As variáveis simples são altura geopotecial, temperatura virtual, vetos zoal e meridioal e umidade específica. Esse trabalho sitetiza o desevolvimeto matemático feito por Bitecourt (1996) para demostrar possíveis difereças etre a correlação de duas variáveis simples e a correlação de duas variáveis derivadas. Utilizado-se de casos simples e hipotéticos, verifica-se que muitas vezes a correlação etre a previsão de uma variável simples e sua aálise é diferete da correlação etre a previsão de uma variável derivada e sua aálise.
Demostração Matemática: Faz-se uma demostração matemática, para três casos simples e hipotéticos, a fim de aalisar os resultados obtidos da correlação etre duas variáveis simples e da correlação etre duas variáveis derivadas. i) Caso 1 - Seja a variável aalisada V A e a variável prevista V P e cosidere que V A e V P são compostas de uma úica oda seoidal, com V A 0 e V P 0, ou seja, V A V A e V P V P. Assim V A a se e V P b se ( + ε), ode a e b são as amplitudes das odas V A e V P, respectivamete, é o úmero de oda, é a logitude e ε é a defasagem da oda prevista em ralação a oda aalisada (ver Figura 1). Fig. 1 - Esboço das odas aalisada e prevista, com 1. A covariâcia etre V A e V P é dada por CV 1 a b cos ε. (equação 10) Tomado as derivadas de V A e V P, obtém-se V A a cos e V dva dvp P b cos ( + ε), sedo V A e V P d d. Calculado agora a covariâcia das variáveis derivadas V A e V P obtém-se CV 1 a b cos ε. (equação 11) O desvio padrão das variáveis aalisada e prevista e de suas derivadas são σ VA a b ; σ VP (equação 1) σ VA a ; σ VP b (equação 13) Usado os resultados das equações 10 e 1 obtém-se a correlação etre as
variáveis simples aalisada e prevista, dada por cos ε (equação 14) Com os resultados das equações 11 e 13 obtém-se a correlação etre as variáveis derivadas aalisada e prevista, dada por CC cos ε (equação 15) Assim, verifica-se que quado as variáveis correlacioadas são compostas de uma úica oda, a correlação etre as variáveis aalisada e prevista (CC) e a correlação etre as variáveis derivadas aalisada e prevista ( CC ) são iguais. É importate lembrar que, para ε 180 O CC - cos ε - 1 (correlação iversa) ε 90 O ou 70 O CC 0 (correlação ula) ε 0, π CC 1 (correlação perfeita) Os resultados obtidos acima são válidos tato para odas de amplitudes iguais (a b) como para odas de amplitudes diferetes (a b). ii) Caso - Quado as variáveis aalisada e prevista são compostas de odas com úmero de oda diferetes ( m) da seguite forma: V A a se e V P b se m, sedo suas derivadas dadas por V A a cos e V P bm cos m, as correlações são ulas, com CC 0. Isso demostra que o campo previsto deve, pelo meos, idicar o mesmo úmero de oda que o campo aalisado para que estes teham alguma correlação. iii) Caso 3 - Supodo-se agora que as variáveis a serem correlacioadas sejam compostas de duas odas diferetes, tem-se: V A a m se m + a se e V P b m se m ( + ε m ) + b se ( + ε ), suas derivadas são V A ma m cos m + a cos e V P mb m cos m ( + ε m ) + b cos ( + ε ). As covariâcias de V A e V P e de suas derivadas são, respectivamete 1 CV ( a mb mcosmεm + a b cosε ) (equação 16) ( m m εm ε) 1 CV m a b cos m + a b cos (equação 17) O desvio padrão de V A, V P, V A e V P são, respectivamete
am + a σ V A 1 bm + b ; σ V P 1 (equação 18) σv A ma + a m 1 ; σ VP mb + b m 1 (equação 19) Usado os resultados das equações 16 e 18 obtém-se a correlação etre as variáveis aalisada e prevista, dada por CC a b cos m ε + a b cos ε m m m ( am + a) ( bm + b) 1 1 (equação 0) Com os resultados das equações 17 e 19 obtém-se a correlação etre as variáveis derivadas aalisada e prevista, dada por ma b cos mε + ab cos ε m m m 1 1 ( mam + a) ( mbm + b) (equação 1) Portato, quado as variáveis correlacioadas são compostas de duas (ou mais) odas com úmeros de oda m e distitas, a correlação etre as variáveis aalisada e prevista é diferete da correlação etre as suas derivadas, ou seja, CC CC. Para o caso de m ou m, volta-se ao Caso 1 ode as variáveis são compostas de uma úica oda, fazedo com que as correlações sejam iguais ou próximas ( CC ou CC CC ). Com o objetivo de facilitar a iterpretação dos resultados obtidos as equações 0 e 1, cosidera-se que as amplitudes das odas são todas iguais e uitárias, am a bm b 1. Nesse caso obtém-se cosmε m + cosε (equação ) m cos mεm + cos ε m + (equação 3) Para apreciar a difereça etre as equações e 3 assuma o exemplo de 4m. Tem-se
cosmε m + cos4mε (equação 4) cos mεm + 16 cos 4mε 17 (equação 5) É fácil otar, através dos resultados expressos pelas equações 4 e 5, que a CC o que domia é a oda curta (isto é, oda úmero 4m), etretato a CC as duas odas cotribuem com pesos iguais. Assim, qualquer erro que ocorra as previsões de odas curtas (cos 4mε ) será mais sesível aos resultados de correlação etre variáveis derivadas do que etre variáveis simples. O erro ocorrido as odas curtas é mais prejudicial às previsões de variáveis derivadas. Discussões Fiais: Quado as variáveis prevista e aalisada são compostas de uma úica oda úmero, a correlação etre variáveis simples tem o mesmo valor da correlação etre variáveis derivadas, sedo que este resultado ão tora-se diferete até quado as odas previstas e aalisadas possuem amplitudes diferetes. No etato, quado a oda prevista possui úmero de oda diferete da oda aalisada, tato as correlações etre variáveis simples como as correlações etre variáveis derivadas são ulas. Assim, o campo previsto deve pelo meos ter o mesmo úmero de oda do campo aalisado para que esses possuam alguma correlação. Na hipótese das variáveis aalisadas e previstas serem compostas de duas (ou mais) odas diferetes, com úmeros de oda m e, a correlação etre variáveis simples e a correlação etre variáveis derivadas são diferetes. Cosiderado que as amplitudes de todas as odas possuem valores iguais e uitários e que estas odas possuem um úmero de oda quatro vezes maior que o outro ( 4m), ota-se que o valor da correlação etre duas variáveis derivadas é 16 vezes mais iflueciado pela oda curta (oda úmero 4m) e que o valor da correlação etre duas variáveis simples é iflueciado igualmete pelas duas odas. Assim, um erro ocorrido as odas curtas é mais prejudicial às previsões de variáveis derivadas. Referêcias Bibliográficas: Bitecourt, D. P. Desempeho das previsões de variáveis simples e derivadas obtidas pelo modelo global do CPTEC/COLA para algus casos sigificativos ocorridos sobre o Cetro-Sul do Brasil. (INPE - 6467 - TDI/617). SJC, 1996. 138 p. Boatti, J. P. Verificação Estatística do Modelo Global do CPTEC. Comuicação Pessoal, 1996. Moura, A. D. The ocea ad the dyamics of the tropical atmosphere; its possible predictability. São José dos Campos, INPE, 1984. 8 p. (INPE - 998 - PRE/450).