Matemática Licenciatura - Semestre 200. Curso: Cálculo Diferencial e Integral I Professor: Robson Sousa Limite e Continuidade Neste caítulo aresentaremos as idéias básicas sobre ites e continuidade de uma função real. Limites Seja f : R! R uma função de nida or 2 +, isto é, f) = 2 +. O grá co de f é uma reta que interceta o eio dos y no onto 0; ) e interceta o eio dos no onto ; 0) con ra Figura ). 2 Figura : Grá co da função f) = 2 +. Vamos considerar as tabelas 0; 5 0; 9 0; 99 0; 999 0; 9999 f) 2 2; 8 2; 98 2; 998 2; 9998 e ; 5 ; ; 0 ; 00 ; 000 f) 4 3; 2 3; 02 3; 002 3; 0002 :
2 Pelas tabelas, notamos que, quando se aroima de, notação!, tanto ela esquerda quanto ela direita temos que f) se aroima de 3. Neste caso, dizemos que f) tende ao ite 3 quando se aroima de, neste caso usamos a seguinte simbologia: f) = 3: Mais geralmente, temos a seguinte de nição. De nição 0. Seja f uma função qualquer. Se f aroima-se de uma constante L, quando se aroima de um número 0 tanto ela esquerda quanto ela direita, dizemos que f tende ao ite L. Neste caso, escreveremos f) = L:! 0 O número real L é chamado de ite de f no onto 0 con ra Figura abaio). A notação! 0 signi ca que está muito róimo de 0 mas 6= 0. Figura 2: Reresentação grá ca de!0 f) = L. Eemlo 0.2 Se f) = c é a função constante, então f) = c:! 0 Solução. Pelo grá co de f con ra Figura 3 abaio), temos que o ite de f é igual a c, em qualquer onto 0, ois a medida que nos aroimamos tanto ela esquerda, quanto ela direita de qualquer onto 0, f) se aroima de c.
3 Figura 3: Grá co da função f) = c. Eemlo 0.3 Se f) = é a função identidade, então f) = 0 :! 0 Solução. Pelo grá co de f con ra Figura 4), Figura 4: Grá co função f) =. temos que o ite de f é igual a 0, em qualquer onto 0, ois a medida que nos aroimamos tanto ela esquerda, quanto ela direita de qualquer onto 0, f) se aroima de c. Eemlo 0.4 Se f é a função de nida or + se ; f) = se > ; então f) não eiste.
4 Figura 5: Grá co da função f) = + se ; se > : Solução. Pelo grá co de f con ra Figura 5), temos que o ite de f é igual a quando se aroima de ela direita e é igual a 2 quando se aroima de ela esquerda. Assim, o ite de f não eiste no onto 0 =, ois ele deende de como se aroima de 0 =. Proriedade 0.5 Proriedades do ite de uma função) Sejam f, g funções quaisquer e c uma constante. Se!0 f) = L e!0 g) = M, então:.!0 f + g)) = L + M; 2.!0 f g)) = L M; 3.!0 cf)) = cl; 4.!0 fg)) = LM; 5.!0 f )) = L, com M 6= 0; g M 6.!0 jf)j = jlj ; 7.!0 [f)] n = L n, 8 n 2 Z e L 6= 0; Eemlo 0.6 Calcular o ite!0 a + b). Solução. Pelos Eemlos acima e as Proriedades e 3, temos que a + b) = a) + b = a + b = a 0 + b:! 0!0!0!0 Mais geralmente, a n n + + a + a 0 ) = a n n 0 + + a 0 + a 0 :! 0
5 Eemlo 0.7 Calcular o ite 2 2 + + : 3 + 2 Solução. Pelas Proriedades e o Eemlo anterior, temos que 2 2 + + 3 + 2 = 2 2 + + ) 3 + 2) = 4 5 : Mais geralmente, se b m m 0 + + b 0 + b 0 6= 0. Eemlo 0.8 Calcular o ite a n n + + a + a 0 = a n n 0 + + a 0 + a 0! 0 b m m + + b + b 0 b m m 0 + + b 0 + b 0!2 2 4 2 3 + 2 : Solução. Note que não odemos alicar diretamente as roriedades, ois!2 2 4 2 3 + 2 =!2 2 4)!2 2 3 + 2) = 0 0 ; o que é uma forma indeterminada. Neste caso, devemos rimeiro maniular algebricamente a eressão Como temos que!2 2 2 4 2 3 + 2 : 2 4 = 2) + 2) e 2 3 + 2 = 2) ) 2 4 3 + 2 = 2) + 2)!2 2) ) = + 2)!2 ) =!2 + 2)!2 ) = 4 = 4; ois! 2 signi ca que 2) 6= 0. Note que, esse eemlo mostra que, ara uma função ter ite L quando tende 0, não é necessário que seja de nida em 0. Eemlo 0.9 Calcular o ite 3 : Solução. Note que não odemos alicar diretamente as roriedades, ois 3 = 3 ) ) = 3 = 0 0 ;
6 o que é uma indeterminação. Neste caso, devemos rimeiro maniular algebricamente a eressão Como temos que 3 : 3 = ) 2 + + ) 3 = ) 2 + + ) ) = 2 + + ) = + + = 3; ois! signi ca que ) 6= 0. Mais geralmente, Eemlo 0.0 Calcular o ite n = n: 3 : Solução. Note que não odemos alicar diretamente as roriedades, ois 3 = 3 ) ) = 3 = 0 0 ; o que é uma indeterminação. Neste caso, devemos rimeiro maniular algebricamente a eressão Como fazendo a = 3 e b =, que 3 : a 3 b 3 = a b)a 2 + ab + b 2 ) 3 3 3 = = 3 ) 3 2 + 3 + ); ou ainda; 3 = 3 2 + 3 + : Portanto, 3 = ) 3 2 + 3 + ) = = 3 2 + 3 + 3 2 + 3 + ) = 3 2 + 3 + = 3 ; ois! signi ca que ) 6= 0. Mais geralmente, n = n :
Observação 0. Se!0 f) = L, L 6= 0 e!0 g) = 0, então!0 f) g) não eiste. 7 Eemlo 0.2 Mostrar que não eiste. 2 + + 2 Solução. Como temos, ela Observação anterior, que 2 + + ) = 3 6= 0 e 2 ) = 0 não eiste. Eemlo 0.3 Mostrar que não eiste. 2 + + 2 s 4 + 3 ) 2 Solução. Como temos, elo Observação, que não eiste. + 3) = 4 6= 0 e )2 = 0 s 4 + 3 ) 2
8 De nição Formal de Limite Formalmente, dizemos que f) = L;! 0 se dado um número real " > 0, arbitrariamente equeno, eiste em corresondência um > 0 tal que 8 2 R; 0 < j 0 j < ) jf) Lj < ": Figura 6: Reresentação grá ca de!0 f) = L. Uma vez que j 0 j é a distância de a 0 e jf) Lj é a distância de f) a L, e como " ode ser arbitrariamente equeno, a de nição de ite ode ser escrita em alavras da seguinte forma:!0 f) = L signi ca que a distância entre f) e L ca arbitrariamente equena tomando-se a distância de a a su cientemente equena mais não 0). Ou ainda,!0 f) = L signi ca que os valores de f) odem ser tornados tão róimos de L quanto desejarmos, tomando-se su cientemente róimo de a mas não igual a a). Eemlo 0.4 Mostrar, usando a de nição formal de ite, que 2 3) =!2 Solução. Devemos mostrar que, ara todo " > 0, dado arbitrariamente, odemos encontrar um > 0 tal que 2 R; 0 < j 2j < ) j2 3) j < ": Na resolução deste tio de desigualdade odemos, em geral, obter > 0 desenvolvendo a a rmação envolvendo ". De fato, j2 3) j = j2 4j = 2 j 2j < " ) j 2j < " 2 :
9 Assim, dado " > 0, eiste " 2 tal que 0 < j 2j < ) j2 3) j < "; ois j 2j < ) j 2j < " 2 ) 2 j 2j < " ) j2 3) j = 2 j 2j < ": Limites Laterais Seja f : R f0g! R a função de nida or se > 0; f) = + se < 0: O grá co de f é mostrado na Figura 7. Figura 7: Grá co da função f) = se > 0; + se < 0: e Vamos considerar as tabelas 0; 5 0; 0; 0 0; 00 0; 000 f) 0; 5 0; 9 0; 99 0; 999 0; 9999 0; 5 0; 0; 0 0; 00 0; 000 f) 0; 5 0; 9 0; 99 0; 999 0; 9999 : Pelas tabelas, notamos que, quando se aroima de 0 ela esquerda, notação! 0, f) se aroima de e quando se aroima de 0 ela direita, notação! 0 +, f) se aroima de. Logo,!0 f) = e f) = :!0 +
0 As notações f) = L e f) = L! 0! + 0 signi ca que: f aroima-se do ite L, quando se aroima ela esquerda e ela direita de 0 resectivamente. O número real L é chamado de ite lateral à esquerda ou a direita) de f con ra Figura 8). Figura 8: Grá co da função f. Observação 0.5!0 f) = L se, e somente se,! 0 f) = f) = L;! + 0 ou seja, o ite de uma função em um onto só eiste, se os ites laterais eistirem e forem iguais. Essa observação garante que todas as roriedades de ite continuam válidas ara ites laterais. Eemlo 0.6 Seja f a função de nida or 5 + 5 se ; f) = 2 se > : 2 +4+3 Determinar! f) e! + f). Solução. Como! signi ca que <, logo f) = 5 + 5 e, elas roriedades de ites que, ela Observação anterior, continuam válidas ara ites laterais), obtemos! 5 + 5) = 5 ) + 5 = 0: Como! + signi ca que >, temos que f) = 2 2 + 4 + 3 :
Note que não odemos alicar diretamente as roriedades, ois 2! + 2 + 4 + 3 =! + 2 )! + 2 + 4 + 3) = 0 0 ; o que é uma indeterminação. Neste caso, devemos rimeiro maniular algebricamente a eressão Como temos que Note que 2 2 + 4 + 3 : 2 = ) + ) e 2 + 4 + 3 = + ) + 3) 2! + 2 + 4 + 3 = ) + )! + + ) + 3) =! + + 3 = :! f) 6= f):! + Portanto,! f) não eiste. Eemlo 0.7 Seja f uma função de nida or Determine se ossível,!0 f) = jj : f), f) e f):!0 +!0 Solução. A função f não é de nida em = 0, ois f) = j0j = 0 o que é uma 0 0 indeterminação. Observe que! 0 +, então > 0, logo jj = e assim, f) = =. Portanto, f) = :!0 + Por outro lado,! 0, então < 0, logo jj = e assim f) = modo,!0 f) = : =. Deste Como f) 6= f), temos que f) não eiste.!0 +!0!0 Eemlo 0.8 Seja f uma função de nida or 8 >< 3 se < f) = 4 se = >: 2 + se > Determine se ossível, Solução. Se! f), f) e f): + então <, assim f) = + f) = : 3 ) = 2. Por outro lado, se! + então >, assim 2 + ) = 2. Como f) = f), + + temos que f) = 2:
2 Limites In nitos e no In nito Seja f : R f2g! R a função de nida or O grá co de f é mostrado na Figura 9. f) = 3 2) 2 : Figura 9: Grá co da função f) = 3 2) 2. Vamos considerar as tabelas 3 5 7 9 5 2 3 4 0 f) 3 2 27 48 300 e 3 2 7 3 9 4 2 0 f) 3 2 27 48 300 : Pelas tabelas, notamos que, quando se aroima de 2 tanto ela esquerda quanto ela direita temos que f) cresce sem ite. Neste caso, dizemos que f) tende ao in nito +) quando se aroima de 2, em símbolos A notação f) = +:!2 f) = + ou f) =! 0!0 signi ca que: f cresce sem ite ou decresce sem ite resectivamente quando se aroima de 0. Neste caso, dizemos que f tem ite in nito ou, equivalentemente, o ite de f quando se aroima de 0 não eiste. Eemlo 0.9 Mostrar que ) 4 = +: Solução. Pelo grá co de f) = ) 4 con ra Figura 0), temos que o ite de f tende ao in nito no onto 0 =. Pois a medida que se aroima de tanto ela esquerda quanto ela direita f) cresce sem ite.
3 Figura 0: Grá co da função f) = ) 4. Eemlo 0.20 Encontre 3 e! 3 : Solução. Quando torna-se muito grande 3 também ca muito grande. Por eemlo: 0 3 = 000 00 3 = 000000 000 3 = 000000000: Na realidade, odemos fazer 3 tão grande quanto quisermos tomando grande o su - ciente. Portanto odemos escrever 3 = : Analogamente, quando é muito grande em módulo), orém negativo, 3 também o é. Assim,! 3 = : De nição 0.2 A reta = 0 é uma assíntota vertical do grá co de f se elo menos uma das seguintes condições for satisfeita:.!0 f) = ou!0 f) = +. 2.! + 0 f) = ou! + 0 f) = +. Observação 0.22 Se!0 f) = L, L 6= 0 e!0 g) = 0, então!0 f) + ou!0 f) g) = Geralmente,, isto é, o ite não eiste. n n + + a + a 0 )!+ =!+ n a n + a n + + a n + a 0 n ) n = ; g) =
4 ois, n + a n!+ + + a n + a 0 n ) = a n n e!+ n = onde a n > 0 ou a n < 0. Se n 2 N é ímar, então Eemlo 0.23 Encontre a n n + + a + a 0 ) =!! 2 ) : Solução. Seria errado escrever! 2 ) =! 2 =. As! roriedades de ite não odem ser alicadas ara ites in nitos, ois não é um número não odemos de nir! 2 = ) =! ois, como e! com seu roduto.! Agora, seja f : R! R a função de nida or O grá co de f) é mostrado na Figura. ). Contudo, odemos escrever! )! = ; ) tornam-se arbitrariamente grandes, o mesmo acontece f) = 2 : Figura : Grá co da função f) = 2. Vamos considerar as tabelas 0 00 :000 0:000 00:000 f) 0 2 0 4 0 9 0 6 0 25 e 0 00 :000 0:000 00:000 f) 0 2 0 4 0 9 0 6 0 25
Pelas tabelas, notamos que, quando cresce sem ite tanto ela esquerda quanto ela direita temos que f) se aroima de 0. Neste caso, dizemos que f) tende ao ite 0 quando cresce decresce) sem ite, em símbolos A notação!+ 2 = 0 ou f) = L ou!+! 2 = 0: f) = L! signi ca que: f) tem ite L quando cresce sem ite ou decresce sem ite resectivamente. Neste caso, dizemos que f tem ite no in nito. De nição 0.24 A reta y = L é uma assíntota horizontal do grá co de f se elo menos uma das seguintes condições for satisfeita:.! f) = L; 2.!+ f) = L. Observação 0.25 Sejam K 2 R e r 2 Q, r > 0. Então K!+ = 0 e r K! = 0: r Podemos, também, considerar o caso em que tanto como f) cresça ou decresça sem ite. Neste caso, denotaremos or f)!+ = + ou f) =!+ ; f) = :! f) = + ou! Além disso, se g) = L, L 6= 0 e f) =, então f) g) =. n =. Eemlo 0.26 Calcule 3 2 2 5 2 + 4 + Solução. Para calcular o ite no in nito de uma função racional, rimeiro dividimos o numerador e o denominador ela maior otência de que ocorre no denominador. Nesse caso a maior otência de no denominador e 2. Logo, 3 2 2 5 2 + 4 + = De modo similar, temos que Geralmente, 3 2 2 2 5 2 +4+ 2 = 3 2 2 5 2 2 2 2 2 + 4 2 + 2 3 = 2 2 5 + 4 + 2 = 2 3 2 4 5 + + = 3 0 0 5 0 0 = 3 5 2! 3 2 2 = 3. 5 2 +4+ 5 a n n + + a + a 0 ) = a n + a n!+!+ + + a n + a 0 n ) = a n n onde a n > 0 ou a n < 0. 5
6 Eemlo 0.27 Calcular, se eistir, o ite!+ 2 2 + 2 2 + 5 3 : Solução. Note que não odemos alicar diretamente as roriedades, ois!+ 2 2 + 2 2 + 5 3 =!+ 2 2 + )!+ 2 2 + 5 3) = ; o que é uma indeterminação. Pela observação anterior, temos que!+ 2 2 + 2 2 + 5 3 =!+ 2 2+ 2 2 = + ) 2 2 2 +5 3!+ 2 + 5 3 ) 2 2 = 2!+ + ) 2!+ 2 + 5 3 ) = 0 + 0 2 + 0 0 = 2 : 2 Eemlo 0.28 Calcular, se eistir, o ite!+ 2 4 + 3 : Solução. Como a maior otência de no denominador é o rorio, temos:!+ 2 4 + 3 =!+ 2 4+3 =!+ 4 + 3 = 0: De modo similar, temos que! 2 4 + 3 = 0: Eemlo 0.29 Calcular, se eistir, o ite!+ 2 + + : Solução.!+ 2 + + =!+ = 2 + + =!+ q 2 + 2 + q!+ +!+ 2!+ +!+ =!+ = + 0 + 0 = q + 2 ) +
Teorema 0.30 Teorema do Confronto, do sanduíche ou do imrensamento) Suonhamos que f) h) g) ara todo em um intervalo aberto contendo a, eceto ossivelmente ara o rorio a. Se!a f) = L =!a g) então!a = L: Prova. A demonstração desse teorema ode ser encontrada em tetos mais avançados. 7 Eemlo 0.3 Sabendo que!0 sen não eiste, mostre que!0 2 sen = 0. Solução. Observe inicialmente que não odemos usar 2 sen =!0 or que sen não eiste:no entanto, sabemos que!0 sen ; assim, multilicando a última desigualdade or 2, obtemos 2 2 sen 2 :!0 2 sen!0 Por outro lado, como 2 =!0!0 2 ) = 0, concluimos elo teorema do confronto que!0 2 sen = 0: Continuidade Vamos considerar a função f : R! R de nida or 2 4 se 6= 2; 2 f) = 4 se = 2: Note que:. f2) = 4, isto é, f é de nida no onto 0 = 2; 2.!2 f) =!2 2 4 2 =!2 + 2) = 4, isto é,!2 f) eiste; 3.!2 f) = 4 = f2). De nição 0.32 Sejam f uma função e 0 2 R ado. Dizemos que f é contínua em 0 se as seguintes condições são satisfeitas:. f 0 ) eiste, isto é, f está de nida no onto 0 ;
8 2.!0 f) eiste, isto é,!0 f) é um número real; 3.!0 f) = f 0 ). Observação 0.33 Sejam f uma função e 0 2 X = Dom f um intervalo aberto:. Se f é contínua em 0, então f) = f ):! 0!0 2. Dizemos que f é contínua em X se f é continua em todos os ontos de X. Intuitivamente, f é contínua em X se o grá co de f ode ser traçado, comletamente, sem tirarmos o láis do ael. Se elo menos uma das condições da de nição de função contínua f em 0 não for satisfeita, dizemos que f é descontínua em 0. Neste caso, temos os seguintes tios descontinuidade:. O onto 0 é uma descontinuidade removível de f se f 0 ) não está de nido e!0 f) eistir ou! 0 f) 6= f 0 ): Porque odemos removê-la de nindo adequadamente o valor f 0 ). 2. O onto 0 é uma descontinuidade tio salto de f se os ites laterais eistirem e são diferentes, isto é,! 0 f) 6= f):! + 0 3. O onto 0 é uma descontinuidade essencial de f se f) = ou f) = :! 0! + 0 Eemlo 0.34 Determinar se a função f) = 4 é contínua em 0 = 2. Caso contrário, dizer o tio de descontinuidade. Solução. Neste tio de roblema, devemos rimeiro encontrar o domínio da função f. É fácil veri car que Dom f = R fg. Como 0 = 2 2 Dom f, odemos falar da continuidade ou não de f em 0 = 2. f2) = 24 2 = 5;
9 isto é, f está de nida no onto 0 = 2; isto é,!2 f) eiste; 4 f) =!2!2 = 24 2 = 5; f) = 5 = f2):!2 Portanto, f é contínua em 0 = 2. Eemlo 0.35 Determinar se a função f) = 2 2 2 é contínua em 0 = 2. Caso contrário, dizer o tio de descontinuidade. Solução. É claro que Dom f = R f2g. Como 0 = 2 =2 Dom f temos que f é descontínua em 0 = 2, isto é, f não está de nida no onto 0 = 2 con ra Figura 2). Figura 2: Grá co da função f) = 2 2 2. Neste caso, devemos dizer o tio de descontinuidade de f. 2 2!2 2 =!2 2) + ) 2 =!2 + ) = 3: Assim, 0 = 2 é uma descontinuidade removível de f, ois f não está de nida no onto 0 = 2, no entanto,!2 f) eiste. Note que, a função g : R! R de nida or f) se 6= 2; g) = 3 se = 2; é contínua em 0 = 2. Eemlo 0.36 Determinar se a função 2 + 2 se 6= ; f) = 2 se = é contínua em 0 =. Caso contrário, dizer o tio de descontinuidade.
20 Solução. É claro que Dom f = R. Como 0 = 2 Dom f temos que f está de nida no onto 0 =, isto é, f) = 2. 2 + 2 = + 2) ) = + 2) = 3: Como f) 6= f) temos que f é descontínua em 0 = con ra Figura 3). Figura 3: Grá co da função f) = 2 + 2 se 6= ; 2 se = : Assim, 0 = é uma descontinuidade removível de f, ois, aesar de f estar de nida no onto 0 =, f) 6= f). Note que, função g : R! R de nida or f) se 6= ; g) = 3 se = ; é contínua em 0 =. Eemlo 0.37 Determinar se a função f) = + 3 se < ; + 2 se é contínua em 0 =. Caso contrário, dizer o tio de descontinuidade. Solução. É claro que Dom f = R. Como 0 = 2 Dom f temos que f está de nida no onto 0 =, isto é, f) =. Por outro lado, e f) = + 3) = 2 f) = + + + 2) = Como f) = 2 6= = + f) temos que f) não eiste e, assim, f é descontínua em 0 = con ra Figura ). Portanto, 0 = é uma descontinuidade tio salto de f, ois, f) 6= + f):
2 Eemlo 0.38 Determinar se a função f) = é contínua em 0 = 0. Caso contrário, dizer o tio de descontinuidade. Solução. É claro que Dom f = R f0g. Como 0 = 0 =2 Dom f temos que f é descontínua em 0 = 0, isto é, f não está de nida no onto 0 = 0. Note que,!0 f) =!0 = e f) =!0 +!0 + = +: Portanto, 0 = 0 é uma descontinuidade essencial de f. Proriedade 0.39 Sejam f; g : X R! R duas funções. Se f e g são contínuas em 0 2 X, então:. f + g é contínua em 0 2 X; 2. f g é contínua em 0 2 X; 3. cf, onde c é uma constante, é contínua em 0 2 X; 4. fg é contínua em 0 2 X; 5. f, com g g 0) 6= 0, é contínua em 0 2 X; 6. jfj é contínua em 0 2 X.
22 Prova. Vamos rovar aenas o item. Como f e g são contínuas em 0 2 X temos que f) = f 0 ) e! 0 Logo, ela Proriedade de ites, obtemos g) = g 0 ):!0 f + g)) = [f) + g)] = f) + g)! 0!0!0!0 = f 0 ) + g 0 ) = f + g) 0 ): Portanto, f + g é contínua em 0 2 X. Teorema 0.40 Sejam f : X! R e g : Y! R duas funções, com Im f Y. Se f é contínua em 0 2 X e g é contínua em y 0 = f 0 ) 2 Y, então gf é contínua em 0 2 X. Prova. Como f e g são contínuas em 0 e y 0, resectivamente, temos que Assim, f) = f 0 ) e! 0 gy) = gy 0 ) = gf 0 )): y!y0! 0 g f)) =!0 gf)) = g!0 f)) = gf 0 )) = g f) 0 ): Portanto, g f é contínua em 0 2 X. Note que, se f) = a n n + + a + a 0, então f é contínua em todo R. Também, se então f é contínua em todo R, onde ]a; b[ e f) = a n n + + a + a 0 b m m + + b + b 0 ; b m m + + b + b 0 6= 0: Seja f : [a; b]! R uma função. Dizemos que f é contínua em [a; b] se f é contínua em f) = fa) e!a +!b f) = fb): Eemlo 0.4 Mostrar que a função f : [ 3; 3]! R de nida ela regra f) = 9 2 é contínua. Solução. Observe que ara todo 3 < a < 3 ou seja, a 2 ]a; b[) temos que f) = 9 2 = 9 a 2 = fa);!a!a logo ara todo a 2 ]a; b[ a função f é contínua. Além disso, f) =! 3 + 9 2 ) = 0 = f 3) e! 3 +!3 f) =!3 9 2 ) = 0 = f3): Assim, f é contínua em [ 3; 3].
Matemática Licenciatura - Semestre 200. Curso: Cálculo Diferencial e Integral I Professor: Robson Sousa a Lista de Eercícios. Determinar, se eistir, os ites abaio: a ) 25 g) 3 00!2 a 2 )! 5 a 3 ) a) b) c) d) e) f) h)! 2 2 + 3 i)!3 2 ) 3 +8 q) 4 6 2 r)!2 3 8 5 2 9 t 9 8) j)!4 t!9 3 s) t 4 2 6+3 k) +2 2 t)! 6 3 +8 7!0 2 +2 3! 2 2 +5+6 l) 2 m) 2 +6!2 2 +4+3! 3 +3 t!0 n)!7!2 2 7+0 6 64 o) h!0 4 6+h h!0 t 2 +9 3 6 6 4 2+h) 3 8 h!0 h 2 8!9 3 e e 2!0 3 jj!0 4 +4 2 +7 u) + 3 ) 2 6 2 + 3 ) h t!8 v) t + ) 3 t + 3) 5 t 2 t! +2 3 ) 7 t!0 t t 2 +t )3 +h 3+h) z) 3 h h!0 h 2. Sabendo que f) = 4, g) = 2 e h) = 0, determine os seguintes!2!2!2 ites: a) b) c) [f) + 5g)] d)!2 g) [g)] 3 g)h) e)!2!2 f) f) f) [h) + f)]!2!2!2 3f) 3. Determinar, se eistir, os seguintes ites laterias: a) b) c) d)!5 + 2 25 + 3) e) 9 2 f)!3!3 +! 0 3) 2 + 2 0!5 +!4 i) +3!2 4 2 6 j) +4 8 3 3 3 g) 6 3 6 + 4 k) 2 3! 8 +0 h) 7 l) 5 + j6 3j): +0) 2!7! + 2 4. Em cada alternativa determine os seguintes ites, caso eistam: f); f); f) +
2 2 se < ; a) f) = 4 se : 8 >< 2 se < ; b) f) = 2 se = ; >: 2 se > : 5. Seja f : R! R de nida or f) = 2 + 2 se ; + c 2 se < : Determinar o valor c de modo que! f) eista. 6. Seja f : R! R de nida or 8 >< 2 + se < ; f) = c se = ; >: 2 3 + 2 se > : Determinar o valor c de modo que f) eista. 7. Seja f : R! R de nida or f) = c se 2; 2 + c 5 se < 2: Determinar o valor c de modo que!2 f) eista. 8. Seja f : R! R de nida or 8 >< d 2 se 2; f) = c >: 2 + d se 2 < < 2; c se 2: Determinar os valores c e d de modo que o ite de f) eista em todo R. 9. Determinar, se eistir, os seguintes ites no in nito: a) b) c) d) e) 2 2 5 3 4 ++2 f) 2+ 2 2 2 +3 4+2 k) 2 3+2 2 3 3 3 + g) 3 ) l)! +3 3 2 4 2 + 3+4) ) h) 2 + m)! 2+7)+2) 5+3 2 + ) 3 3 + 6 i) 2 6 3 +2 2 7 3 5 2 2 0) : j)!!+ 33 + 4 2 ) n) 2 + +! : o) 2 + 2 )
3 0. Determinar, se eistir, os seguintes ites in nitos: a) b) c) d) 6!5 +!5 5 f)!4 + 5 4 k)! 6 5 g) l) 5!4 4! 6 h)!5 5!4 +) 2 2 2 2 2 m)! +) 2 5 2 i) n) 4! + +) 2 ) 2. Mostrar que as seguintes funções são contínuas no onto indicado: a) f) = 2 5 + 3; 0 = 4 c) f) = 3 2 + 7 ; 0 = 2 b) f) = 3 2 + 2; 0 = 5 d) f) = 3 2+ ; 0 = 8 2. Determinar se a função f) = 2 se < 4 se é contínua em 0 =. Caso contrário, dizer o tio de descontinuidade. 3. Determinar se a função 8 >< 2 + se < f) = se = >: + se > é contínua em 0 =. Caso contrário, dizer o tio de descontinuidade. 4. Determinar se a função f) = f) = 3 se 3 se > é contínua em 0 =. Caso contrário, dizer o tio de descontinuidade. 5. Determinar se a função f) = f) = j + 3j se 6= 2 2 se = 2 é contínua em 0 = 2. Caso contrário, dizer o tio de descontinuidade. 6. Determinar se a função 8 >< se f) = f) = 2 se < < 2 >: + se 2 é contínua em 0 = 2. Caso contrário, dizer o tio de descontinuidade.
4 7. Determinar se cada função é contínua ou descontínua em cada intervalo: a) f) = 4, em [4; 8]; b) f) =, em ]; 4[; c) f) = 2, em [ ; ]; 8. Seja f : R! R de nida or f) = 3 se 6= ; c se = : Determinar o valor c ara que f seja contínua em todo R. 9. Seja f : R! R de nida or f) = 2 + 2 se ; + c 2 se < : Determinar o valor c ara que f seja contínua em todo R.