AULA - GEOMETRIA PLANA Triângulos isósceles CONCEITOS BÁSICOS Rets prlels cortds por um trnsversl São queles que possuem dois ldos iguis. Ligndo o vértice A o ponto médio d bse BC, germos dois triângulos congruentes. Logo, os ângulos B e C são congruentes. AB AC Bˆ Cˆ Som dos ângulos internos de um triângulo 80 SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS Dois triângulos são ditos semelhntes se: - seus ângulos são congruentes. - seus ldos correspondentes são proporcionis. Som dos ângulos internos de um polígono convexo AB AC BC k PQ PR QR Um pentágono convexo pode ser dividido em três triângulos cujos ângulos internos são os mesmos do pentágono. Logo, som dos ângulos internos do pentágono vle 80º = 540º. De mesmo modo, um heptágono convexo pode ser dividido em cinco triângulos, e som dos seus ângulos internos vlerá 5 80º = 900º. Entender ess lógic é mis importnte do que memorizr fórmul em si. Generlizndo, um polígono convexo de n ldos pode ser divido em n - triângulos, já que os triângulos são formdos prtir de digonis do polígono. Dess form, os dois vértices djcentes o vértice de prtid são ignordos. Logo, som dos ângulos internos é dd por S ( n) 80. n IMPORTANTE: Os ldos opostos ângulos congruentes são correspondentes. Em dois triângulos semelhntes, rzão de dois elementos lineres correspondentes quisquer é igul à rzão de semelhnç. PRINCIPAL CASO DE SEMELHANÇA Se dois triângulos têm dois ângulos congruentes, então esses triângulos são semelhntes. Ou sej, bst obtermos congruênci entre dois ângulos dos dois triângulos pr que os ldos correspondentes sejm proporcionis. 0
TRIÂNGULO RETÂNGULO Ângulos notáveis ² = b² + c² sen cos tg 0º 45º 60º Logo, A áre do qudrdo de ldo b + c é dd por b² + bc + c². Porém, pode ser clculd somndo o qudrdo de áre ² com os triângulos de áre bc. bc 4 b bc c. Assim, ² = b² + c² Ess tbel deve ser memorizd. POLÍGONOS REGULARES Um polígono convexo é regulr se, e somente se, tem todos os ldos congruentes e todos os ângulos congruentes. Aind no triângulo retângulo, podemos definir s rzões trigonométrics: ) Seno de um ângulo gudo α é rzão d medid do cteto oposto o ângulo α pr medid d hipotenus. ) Cosseno de um ângulo gudo α é rzão d medid do cteto djcente o ângulo α pr medid d hipotenus. ) Tngente de um ângulo gudo α é rzão d medid do cteto oposto pr medid do cteto djcente o ângulo α. CENTRO de um polígono regulr é o centro ds circunferêncis inscrit e circunscrit esse polígono. PARA LEMBRAR! APÓTEMA de um polígono regulr é o segmento que une o centro do polígono o ponto médio de um de seus ldos. É o rio d circunferênci inscrit.
Triângulo Equilátero EXERCÍCIOS DE AULA A ltur do triângulo eqüilátero pode ser obtid prtir do triângulo destcdo: h sen60 L h L h L O pótem do triângulo eqüilátero pode ser obtido prtir do triângulo destcdo: tg0 L L L 6 É importnte destcr que em um triângulo eqüilátero o pótem corresponde um terço d ltur. 0) (UFRGS) O perímetro do triângulo equilátero circunscrito um círculo de rio é: ) 8 b) 0 c) 6 d) 5 6 e) 8 0) (UFF) Sej MNPQ um qudrdo de ldo igul cm. Considere C o círculo que contém os vértices P e Q do qudrdo e o ponto médio do ldo MN (ponto T). Determine o rio do círculo C. Qudrdo Hexágono Regulr d d d Todo hexágono regulr pode ser dividido em seis triângulos eqüiláteros. Seu pótem corresponde à ltur de um dos triângulos eqüiláteros que o formm. 0) (UFRGS) N figur, AB, CD e EF são prlelos. AB e CD medem, respectivmente, 0 cm e 5 cm. O comprimento EF é: ) 5 b) c) d) 0 e) 4
EXERCÍCIOS 0) (UFRGS) N fig., BC é prlelo DE e, n fig., GH é prlelo IJ. Então, x e y vlem, respectivmente, ) b e b b) b b e c) e b b d) b e b e) e b b 0) (UFRGS) Se os retângulos ABCD e BCEF são semelhntes, e AD =, AF = e FB = x, então x vle: ) b) c) d) e) 0) (PUCRJ) A mior distânci entre dois pontos de um retângulo de bse 8 cm e ltur 6 cm é, em cm: ) 4 b) 0 c) 7 d) e) 04) (UFPE) N figur, ABD e BCD são triângulos retângulos isósceles. Se AD = 4, qul é o comprimento de DC? 05) (MACK) n figur o ldo, MNPQ é um losngo. Se MT = e MS = 6, qunto mede cd ldo do losngo?
06) (UNESP) Em um residênci, há um áre de lzer com um piscin redond de 0 m de diâmetro. Ness áre há um coqueiro, representdo n figur por um ponto Q. Se distânci de Q (coqueiro) o ponto de tngênci T (d piscin) é m, distânci d = QP, do coqueiro à piscin, é, em metros: ) 8 b) 9 c) 0 d) e) 0) (FUVEST) No jogo de boch, disputdo num terreno plno, o objetivo é conseguir lnçr um bol de rio 8 o mis próximo possível de um bol menor, de rio 4. Num lnçmento, um jogdor conseguiu fzer com que s dus bols ficssem encostds, conforme ilustr figur bixo. A distânci entre os pontos A e B, em que s bols tocm o chão, é: ) 8 b) 6 c) 8 d) 4 e) 6 07) (UFRGS) N figur, os três círculos têm o mesmo rio r, s rets são prlels, os círculos são tngentes entre si e cd um deles é tngente um ds dus rets. Dentre s lterntivs bixo, melhor proximção pr distânci entre s rets é ) r b),5r c),5r d),75r e) 4r 08) (UEL) Se um círculo de 5 cm de rio está inscrito em um hexágono regulr, o perímetro do hexágono, em centímetros, é igul : ) 0 b) 8 c) 5 d) e) 9 09) (UNESP) A distânci entre dois ldos prlelos de um hexágono regulr é igul cm. A medid do ldo desse hexágono, em centímetros, é: ) b) c),5 d) e) 4 GABARITO 0 A 0 A 0 B 04 8 05 4 06 A 07 D 08 A 09 B 0 C 4