ALGORITMO ADAPTATIVO IMPLÍCITO/EXPLÍCITO POR ARESTAS PARA SOLUÇÃO DE PROBLEMAS DE TRANSPORTE TRIDIMENSIONAIS Dnis Araujo Filguiras d Soua TESE SUBMETIDA AO CORPO DOCENTE DA COORDENAÇÃO DOS PROGRAMAS DE PÓS-GRADUAÇÃO DE ENGENHARIA DA UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO COMO PARTE DOS REQUISITOS NECESSÁRIOS PARA A OBTENÇÃO DO GRAU DE MESTRE EM CIÊNCIAS EM ENGENHARIA CIVIL. Aprovada por: Prof. Alvaro Lui Gaoso d Ardo Coutinho, D.Sc. Prof. José Luis Drummond Alvs, D.Sc. Prof. Lui Landau, D.Sc. Dr. Ulisss Thibs Mllo, Ph.D. RIO DE JANEIRO, RJ BRASIL AGOSTO DE 00
DE SOUZA, DENIS ARAUJO FILGUEIRAS Algoritmo Adaptativo Implícito/Eplícito por Arstas para Solução d Problmas d Transport Tridimnsionais [Rio d Janiro] 00 XIII, 09 p. 9,7 cm (COPPE/UFRJ, M. Sc., Engnharia Civil, 00) Ts Univrsidad Fdral do Rio d Janiro, COPPE. Elmntos Finitos. Algoritmos Implícito/Eplícitos. Estrutura d Dados por Arstas I. COPPE/UFRJ II. Título (séri) ii
Aos mus quridos Graça, Tadu, Suan Rnan iii
Agradcimntos Ao profssor Alvaro Lui Gaoso d Ardo Coutinho pla orintação amiad adquirida ao longo do dsnvolvimnto dst trabalho. Ao profssor José Luis Drummond Alvs pla amiad prsta m ajudar. Ao profssor Lui Landau pla amiad confiança m mim dpositada. Ao Dr. Marcos André Duart Martins pla amiad por smpr star disposto a dividir comigo um pouco d su prcioso tmpo su vasto conhcimnto. À Agência Nacional do Ptrólo (ANP) pla bolsa d studos, apoio financiro divrsas facilidads concdidas indispnsávis `a raliação dst trabalho. À Luis Flip Popovics da Cra do Brasil pla ajuda na utiliação do CRAY SV. Ao profssor Mark Bhr, da Ric Univrsit (Houston, EUA), pla disponibilidad da malha do submarino class Los Angls. Ao Laboratório d Métodos Computacionais m Engnharia (LAMCE) ao Núclo d Atndimnto m Computação d Alto Dsmpnho (NACAD). iv
Aos Profssors, Funcionários Colgas do PEC/COPPE, LAMCE NACAD qu contribuíram d maniras distintamnt importants para minha formação. Aos mus pais, irmãos, familiars, amigos namoradas pla paciência comprnsão. v
Rsumo da Ts aprsntada à COPPE/UFRJ como part dos rquisitos ncssários para a obtnção do grau d Mstr m Ciências (M. Sc.) ALGORITMO ADAPTATIVO IMPLÍCITO/EXPLÍCITO POR ARESTAS PARA SOLUÇÃO DE PROBLEMAS DE TRANSPORTE TRIDIMENSIONAIS Dnis Araujo Filguiras d Soua Agosto/00 Orintador: Alvaro Lui Gaoso d Ardo Coutinho Programa: Engnharia Civil Est trabalho aprsnta uma implmntação d um algoritmo Adaptativo Implícito/Eplícito itrativo d intgração no tmpo d uma strutura d dados por arstas, para a solução da quação do transport advctivo/difusivo d um scalar plo método dos lmntos finitos. O algoritmo Adaptativo Implícito/Eplícito é uma stratégia qu scolh automaticamnt quais parts da malha (lmntos ou arstas) dvm sr tratadas d manira implícita ou plícita. A solução da part implícita é aclrada pla strutura d dados por arstas mprgada nos produtos matri-vtor do algoritmo GMRES. A stratégia rsultant s mostra muito ficint para solução d problmas d grand port m malhas não struturadas d ttradros, m particular aquls ligados à indústria do ptrólo, tais como procssos d rcupração, disprsão d polunts injção d traçadors m rsrvatórios d ptrólo. vi
Abstract of Thsis prsntd to COPPE/UFRJ as a partial fulfillmnt of th rquirmnts for th dgr of Mastr of Scinc (M. Sc.) EDGE-BASED ADAPTIVE IMPLICIT/EXPLICIT ALGORITHIM FOR TRIDIMENSIONAL TRANSPORT PROBLEMS Dnis Araujo Filguiras d Soua August/00 Advisor: Alvaro Lui Gaoso d Ardo Coutinho Dpartmnt: Civil Enginring This work prsnts an implmntation of an itrativ Adaptiv Implicit/Eplicit tim intgration algorithm with an dg-basd data structur for th solution of th advctiv-diffusiv transport quation b th finit lmnt mthod. Th Adaptiv Implicit/Eplicit algorithm is a stratg in which an automatic dcision is takn on which part of th msh (lmnts or dgs) will b tratd implicitl or plicitl. Th solution of th implicit partition has its spd incrasd and mmor rquirmnt rducd b th dg data structur, which is mplod in th matri-vctor products within th GMRES algorithm. Th rsulting schm is vr fficint for th solution of larg-scal problms using non-structurd ttrahdral mshs, in particular to ptrolum applications such as rcovr procsss, polunt disprsion and tracr injction in ptrolum rsrvoirs. vii
Índic Introdução... O Transport d um Escalar...7. Equaçõs Govrnants...7. Dscrição do Problma Matmático...8. Discrtiação Espacial...0.. Prliminars...0.. Os Métodos d Galrkin Ptrov-Galrkin para a Equação d Transport..... Avaliação dos Parâmtros d Estabiliação SUPG OPC...5. Formulação Matricial d Elmntos Finitos...7.. Dsnvolvimnto das Matris do Ttradro por Elmnto...9.. Avaliação do parâmtro SUPG a partir das Matris d Elmnto..... Dsnvolvimnto das Matris do Ttradro por Arstas...5.5 Blocagm m Grupos Disjuntos plos Nós....5. Blocagm dos Elmntos....5. Blocagm das Arstas... viii
Intgração no Tmpo.... Métodos Eplícitos Implícitos.... Métodos Implícitos/Eplícitos...7. Algoritmo Implícito/Eplícito Prditor-Multicorrtor...0. Algoritmos Adaptativos Implícitos/Eplícitos..... Critério d Slção das Partiçõs....5 O Método do Rsíduo Mínimo Gnraliado (GMRES)...50.6 Dtalhs da implmntação das opraçõs d multiplicação matri-vtor...55.7 Dtalhs da Implmntação da Avaliação dos Rsíduos...57.8 Slção Automática do Passo d Tmpo...6 Emplos Numéricos...6. Emplos d Validação...6.. Emplo Unidimnsional...6.. Emplo Bidimnsional...69. Emplos d Aplicaçõs...7.. Distribuição d Tmpratura ao Rdor d um Submarino...7.. Injção dtraçador m um Rsrvatório d Ptrólo...86 5 Conclusõs...97 Rfrências Bibliográficas...0 Apêndic A...09 Apêndic B...5 i
Índic d Figuras Figura. Função pso linar d Ptrov-Galrkin... Figura. Componnt da vlocidad na dirção paralla ao gradint da solução...7 Figura. Família d stars...8 Figura. Família d chains para o ttradro...8 Figura.5 Agrupamnto d suprdgs...9 Figura.6 Disposição dos agrupamntos suprdgs para um cubo discrtiado por ttradros[0]. (a) malha do cubo; (b) agrupamnto d suprdg6; (c) agrupamnto d suprdg; (d) agrupamnto das arstas simpls... Figura. Um mplo do prfil da matri d massa ftiva M*...0 Figura. Condiçõs para o problma tst d advcção pura...6 Figura. Malha d Elmntos Finitos para o problma tst d advcção pura...6 Figura. Evolução das partiçõs: plícita (aul); implícitos dirtos (vrmlho); implícitos indirtos (vrd), no tmpo, para o problma d advcção pura...7 Figura.5 Influência do parâmtro d control η, na slção da partição implícita (cor vrmlha), para o problma d advcção pura m um tmpo = 0.5...9 Figura. Condiçõs para o problma d transport D...65 Figura. Malha do problma d transport D com 0 nós 7 lmntos...66 Figura. Gráfico da solução do problma m uma sção intrmdiária, ao longo do tmpo...67
Figura. Problma D: (a) solução numérica; (b) volução das partiçõs...68 Figura.5 Dscrição do problma d advcção pura D...69 Figura.6 Malha do problma D d advcção pura com 80 nós 06 lmntos...69 Figura.7 Evolução das partiçõs: (a) SUPG sm OPC; (b) SUPG com OPC...7 Figura.8 Problma D: (a) solução numérica sm OPC; (b) solução numérica com OPC...7 Figura.9 Dtalhs da malha com 956 nós 5097 lmntos...76 Figura.0 Dtalhs do prfil d vlocidads ao rdor submarino...76 Figura. Partição implícita para condição d CFL igual a 5...77 Figura. Partição implícita para condição d CFL igual a 0...78 Figura. Partição implícita para condição d CFL igual a 0...79 Figura. Partição implícita para condição d CFL igual a 50...80 Figura.5 Solução para distribuição d calor ao rdor do submarino...8 Figura.6 Solução para distribuição d calor ao rdor do submarino com uma isosuprfíci d 0.5...8 Figura.7 Zoom da malha com 5,60,000 lmntos,59,66 nós...86 Figura.8 Prmabilidads m md: (a) na dirção ; (b) na dirção ; (c) na dirção ; (d) dtalh spacial...88 Figura.9 Distribuição d prssõs no fundo dos poços do rsrvatório, m p.s.i...89 Figura.0 Campo d vlocidads próimo ao fundo do poço injtor, m pés por dia (ft/da)...90 Figura. Solução nas viinhanças do fundo do poço injtor: (a) volução da partição implícita; (b) solução da concntração...9 Figura. Isosuprfícis d 0.000 para concntração, nos tmpo d 0.5, 50 700 dias...9 i
Índic d Tablas Tabla. Rlação ntr o parâmtro α up, o númro d Pclt soluçõs quivalnts à formulação SUPG... Tabla. Alguns mmbros da família d métodos da rgra trapoidal d acordo com o parâmtro α...6 Tabla. Númro prcntual d agrupamntos d suprdgs grados...8 Tabla. Valors do passo d tmpo t númro d lmntos arstas das partiçõs implícita plícita para condiçõs d CFL...8 Tabla. Tmpo total da anális, m sgundos, por lmntos por arstas, totalmnt implícito implícito/plícito...8 Tabla. Comparação prcntual do tmpo total da anális, por lmntos por arstas, totalmnt implícito implícito/plícito...8 Tabla.5 Avaliação d tmpo nas rotinas mais dispndiosas, por lmntos por arstas...85 Tabla.6 Númro prcntual d agrupamntos d suprdgs grados...9 Tabla.7 Tmpo d CPU, m sgundos, das 5 rotinas mais dispndiosas...9 Tabla.8 Mflops das 5 rotinas com mais opraçõs d ponto flutuant...9 Tabla.9 Comparação ntr as struturas d dados por lmnto por arstas, com algoritmos totalmnt implícitos AIE...95 ii
Tabla.0 Comparação, do númro d /i d opraçõs d ponto flutuant (flops), ntr as struturas d dados por lmnto por arstas...96 iii
Índic d Quadros Quadro. Esquma simplificado do bloco multicorrtor implmntado... Quadro. Esquma simplificado do algoritmo Adaptativo Implícito/Eplícito...50 Quadro. Dados para inicialiação do algoritmo GMRES...5 Quadro. Esquma rsumido do algoritmo GMRES...5 iv
Capítulo Introdução Quando as quaçõs difrnciais qu govrnam o fnômno físico d um problma ral são conhcidas sua gomtria condiçõs d contorno são complas, o qu ocorr principalmnt m problmas tipicamnt tridimnsionais /ou d grand port, uma solução analítica é difícil às vs até impossívl, sndo utiliado um método numérico para s obtr uma solução aproimada. O Método dos Elmntos Finitos (MEF) é uma frramnta numérica muito utiliada na solução d divrsos problmas da Engnharia, tais como, Mcânica dos Sólidos, Mcânica dos Fluidos, Transfrência d Calor, Eltromagntismo, Biomcânica, ntr outros. Contudo, sua utiliação é limitada plos rcursos computacionais disponívis, por isso, o dsnvolvimnto d novas técnicas d computação d alto dsmpnho otimiação do dsmpnho computacional tm sido foco d studo psquisa para cintistas d todo mundo, como m [], [], [], [9] [5]. A motivação dst trabalho, apoiado pla Agncia Nacional do Ptrólo (ANP), é o dsnvolvimnto d frramntas numéricas mais ficints para anális d problmas d grand port rlacionados à indústria do ptrólo, mais spcificamnt na simulação d fnômnos d transport, como por mplo, na rcupração avançada d ptrólo, na
migração d hidrocarbontos m bacias, na disprsão d polunts na injção d traçadors m rsrvatórios d ptrólo ou análiss térmicas. Srão studadas técnicas d otimiação do dsmpnho computacional para a solução por lmntos finitos da quação d transport. Uma v raliados tsts primntos, com rlação à consistência ficiência da formulação abordagm adotadas, srá possívl m trabalhos futuros, rcorrr à sta implmntação otimiada para tratar o problma do scoamnto multifásico m mios porosos, ou sja, o problma da Simulação d Rsrvatórios d Ptrólo, também d forma mais adquada ficint. Na anális d rsrvatórios é tradicionalmnt adotado o método das difrnças finitas dos volums finitos pla maioria dos simuladors comrciais utiliados mundialmnt na indústria. Com ss trabalho não s prtnd comparar métodos, mas sim studar técnicas para s aumntar a ficiência computacional do MEF, a fim d s raliar análiss cada v mais complas m um tmpo d cução cada v mnor. Na formulação clássica do MEF, originada na anális d struturas, s fa uso do método dos rsíduos pondrados d Galrkin para discrtiação spacial do problma, grando uma formulação matricial, associada a uma malha d lmntos finitos, um Sistma d Equaçõs Algébricas (SEA), qu ao sr rsolvido, ncontra uma solução aproimada para o problma matmático modlado. A formulação d Galrkin funciona d manira adquada para problmas puramnt ou prdominantmnt difusivos, porém s o transport modlado for d carátr puramnt ou prdominantmnt advctivo o método d Galrkin não é suficint para rsolvr o problma d forma adquada, lvando a soluçõs incorrtas. Para contornar ss problma, Brooks Hughs[5] dsnvolvram a formulação SUPG (Stramlin Upwind Ptrov-Galrkin), corrigindo as oscilaçõs numéricas spúrias. Ainda assim, distúrbios numéricos podm ocorrr dvido à prsnça d frnts com forts gradints m dirçõs não parallas às linhas d corrnt, fito qu pod sr corrigido por um Oprador d Captura d Choqus/Dscontinuidads (OPC). Ess oprador foi introduido por Hughs[7] studado m divrsos trabalhos[8], [5], [5] [0]. Nst trabalho foi adotada a formulação CAU (Consistnt Approimat Upwind) aprsntada por Galão Do Carmo[0].
S as quaçõs difrnciais qu rgm a física d um problma d intrss não dpndm do tmpo, classifica-s o problma como stático ou prmannt (stad stat), caso contrário, l é dito dinâmico ou transint. É fácil prcbr qu os fnômnos istnts na natura são transints, mas su fito pod sr, dpndndo do caso, bm rprsntado por uma anális prmannt, assim como o fato d tudo na natura sr tridimnsional s adotar hipótss d simplificação para tratar alguns problmas como bi- ou unidimnsionais. Muitos problmas rlacionados à indústria do ptrólo, por dpndrm d divrsas variávis, são tipicamnt não linars transints dvido à complidad da gomtria, tridimnsionais. Em gral, para solução d problmas transints, aplica-s um algoritmo d intgração no tmpo na formulação smidiscrta, ond o spaço já stá discrtiado por lmntos finitos, para s obtr uma solução aproimada m cada passo d tmpo. Para tal, s um squma implícito for adotado, s torna ncssário rsolvr um SEA m cada passo d tmpo ou itração não linar, o qu pod sr dispndioso para problmas d grand port. Pod-s também optar por utiliar um squma plícito, ond a cada passo d tmpo, a solução do SEA é trivial. Contudo squmas plícitos igm um passo d tmpo mnor qu o passo d tmpo ncssário para um squma implícito. D modo qu o númro d vs qu s é ncssário rsolvr um SEA é gralmnt muito grand, justificando a ncssidad da otimiação da ficiência computacional utiliação d mmória para solução ficint d problmas transints não linars. Nss trabalho é studado implmntado um algoritmo Adaptativo Implícito/Eplícito (AIE) para rsolvr a quação do transport tridimnsional m rgim transint. A mtodologia AIE é basada nos métodos Implícitos/Eplícitos introduidos por Bltschko Mulln (976), Hughs Liu (976) Hughs, Pistr Talor (979) qu têm sido foco d studos rcnts como [], [] [57] no passado com aplicaçõs para o ptrólo[], [6]. Esss métodos são basados na partição da malha d lmntos finitos m dois grupos distintos. Os lmntos são divididos m grupos a srm tratados d manira implícita ou plícita, com o objtivo d s plorar as vantagns tanto dos métodos implícitos, quanto dos plícitos. A união da mtodologia AIE com um squma Prditor/Multicorrtor, como sugrido por Hughs m [9] [8], promov o tratamnto d problmas não linars. O critério d slção dos grupos
pod sr fito d divrsas maniras, dpndndo do problma a sr rsolvido. O critério para a scolha adaptativa das partiçõs foi adotado basado nos studos d Coutinho, Alvs, Landau Ebckn[], qu trata implicitamnt lmntos com alto gradint rlativo ou com númro d Courant (condição d CFL) maior qu a unidad. Tntar aclrar a cução dos cálculos mais significativos qu são raliados rptidamnt m uma anális, como é o caso da avaliação dos rsíduos da raliação dos produtos matri-vtor, inrnts ao método itrativo d solução do sistma d quaçõs, são maniras d s rduir custos computacionais. Com a intnção d raliar ssas opraçõs d manira ficint, são utiliados blocos d lmntos disjuntos plos nós, viabiliando qu opraçõs indpndnts a sjam raliadas, m parallo, ao msmo tmpo. A rotina d blocagm dos lmntos foi implmntada d manira smlhant a proposta por Hughs, Frnc Hallquist [6] Frnc[8]. Além disso, uma migração da strutura d dados d lmntos para arstas, rdu o númro d opraçõs d ponto flutuant, diminui os ndrçamntos indirtos o consumo d mmória nas opraçõs matri-vtor inrnts ao método itrativo d solução d quaçõs, apsar dssa não tr sido sua aplicação original. A strutura d dados por arstas surgiu m aplicaçõs da mcânica dos fluidos, m malhas não struturadas d triângulos ttradros, utiliando o método dos volums finitos[], [9], [5] tv sua aplicação com lmntos finitos m [], [], [], [], [0] []. Contudo, a utiliação da strutura d dados por arstas na formulação SUPG é rcnt[6], [7] sta é uma das suas primirsa implmntaçõs m três dimnsõs. Uma otimiação da strutura d dados por arstas pod sr fita utiliando altrnativas d agrupamntos stars (strlas), chains (cadias ncadadas) ou suprdgs (suprarstas)[5]. Dntr os tipos citados, os suprdgs, para triângulos ttradros, são os mais apropriados para utiliação m arquitturas vtoriais/parallas, como vrificado por Martins[], [], [], []. Maiors dtalhs sobr hirarquia d mmória tipos d arquitturas podm sr studados m [7] []. Para a montagm das arstas, sua strutura d dados pod sr intrprtada como uma rprsntação do grafo nodal da malha composta por triângulos ou ttradros [], []. Para blocagm
dos agrupamntos das arstas, tipo suprdgs, também é utiliada abordagm smlhant à blocagm dos lmntos[]. Em suma, divrsas técnicas computacionais são studadas a fim d s obtr o mlhor dsmpnho (vlocidad d procssamnto) ganho computacional (rlação ntr a ralidad a simulação). Para tal, propõ-s nss trabalho um squma AIE itrativo d intgração no tmpo, ond a cada númro intiro pré-dfinido d passos d tmpo é avaliado quais lmntos srão tratados d manira implícita ou plícita. Além disso, uma strutura d dados por arstas sua blocagm m grupos disjuntos, para os lmntos do grupo implícito, torna a raliação das opraçõs matri-vtor mais ficas ao srm cutadas. O algoritmo Prditor/Multicorrtor é adotado para tratar problmas não linars. Apsar do studo m qustão sr tipicamnt linar, a mnos do trmo do OPC, o problma d simulação d rsrvatórios d ptrólo é fortmnt não linar ond as prmabilidads rlativas são dpndnts das soluçõs das saturaçõs, ond ssa gnraliação já é lvada m considração para uma futura atualiação do código. Sobr a notação adotada, cab rssaltar qu são utiliados os formatos m itálico para rprsntar grandas scalars m ngrito para grandas vtoriais matriciais. Além disso, as palavras da língua inglsa loop, solvr assmbling srão frqüntmnt utiliadas ao longo do tto. Portanto, ao s dparar com a palavra loop ntnda como um laço d programação, solvr como método d solução d um SEA assmbling como a construção/montagm das matris globais a partir das matris locais d lmnto ou d arstas. A organiação do tto stá dscrita a sguir. No capítulo são aprsntados: a quação govrnant do problma d transport d um scalar; o modlo matmático adotado suas hipótss básicas. É dscrita a formulação matricial d lmntos finitos, com o cálculo das matris d lmnto a avaliação dos parâmtros d stabiliação SUPG OPC. São discutidas struturas d dados basadas m lmntos arstas, bm como sua blocagm m grupos disjuntos. 5
No capítulo é fita uma brv rvisão dos métodos totalmnt implícitos, dos totalmnt plícitos dos chamados métodos Implícitos/Eplícitos (I/E), basados na partição da malha. A tnsão dos métodos I/E para um squma Prditor/Multicorrtor, finalmnt o algoritmo d intgração no tmpo AIE, suas particularidads dtalhs d sua implmntação são aprsntados. É rsumidamnt discutido o método itrativo do rsíduo mínimo gnraliado (GMRES), dsnvolvido por Saad Schult[7], para rsolvr sistmas d quaçõs não simétricos. São discutidos dtalhs da implmntação das opraçõs matri-vtor inrnts ao GMRES da avaliação dos rsíduos. No capítulo são aprsntados mplos numéricos adotados para validação da mtodologia avaliação do dsmpnho computacional. Primiramnt um mplo unidimnsional com solução analítica conhcida é utiliado para validar o código a mtodologia proposta. Um bnchmark clássico puramnt advctivo m duas dimnsõs é utiliado para raliar tsts da influência do oprador d captura d choqus/dscontinuidads. Um mplo tipicamnt tridimnsional d um scoamnto potncial, distribuição d tmpratura, ao rdor d um submarino é utiliado para avaliar ganho computacional. Finalmnt, uma aplicação ond é fita a injção d um traçador m um rsrvatório d ptrólo com prmabilidads distintas foi analisada para s utiliar a mtodologia frnt a um problma típico da indústria do ptrólo. Finalmnt, no capítulo 5, tm-s as conclusõs dst trabalho, sguidas das rfrências bibliográficas apêndics. No apêndic A, tm-s a obtnção das funçõs d intrpolação do oprador gradint discrto do lmnto ttraédrico linar no apêndic B os tmpos d CPU Mflops totais das rotinas mais significativas, para o programa prmannt, utiliado para o cálculo das prssõs do mplo d injção d traçador no rsrvatório d ptrólo, mostrando uma comparação da strutura d dados com arstas simpls com agrupamntos suprdgs. 6
Capítulo O Transport d um Escalar O prsnt capítulo aprsnta a quação difrncial qu rg o transport advctivodifusivo d um scalar no tmpo, isto é, m rgim transint. Trata sua discrtiação spacial por lmntos finitos, contmplando técnicas d stabiliação para controlar os forts gradints qu podm ocorrr, rsultando m distúrbios numéricos oscilaçõs spúrias. Com fins d otimiação d dsmpnho, uma strutura d dados, mais rcnt, basada nas arstas dos lmntos é discutida, além da blocagm dos lmntos dos agrupamntos d arstas m blocos disjuntos plos nós. Dtalhs da implmntação computacional são aprsntados discutidos ao longo do capítulo.. Equaçõs Govrnants O transport d um scalar, por mplo, a concntração d um solvnt, pod sr causado por difusão, ond as moléculas do soluto com alta concntração s movm para áras d mnor concntração, até alcançar uma configuração d quilíbrio, ou sja, uma distribuição uniform; ou por advcção, ond as substâncias são carradas dvido a um campo d vlocidad. 7
A quação d transport d um scalar é a msma qu govrna o problma d condução d calor, a mnos do trmo advctivo. Portanto uma anális térmica d condução é igual ao transport difusivo d um scalar. A transfrência d calor também s dá por convcção, por mplo, quando um fluido com uma tmpratura vlocidad, scoando dntro d uma tubulação transfr calor por convcção para o tubo, o qu não dv sr confundido com advcção. Entrtanto, m muitos casos, o trmos advcção convcção são vistos como sinônimos.. Dscrição do Problma Matmático A quação difrncial qu govrna o problma advctivo-difusivo dpndnt do tmpo m um domínio Ω R com contorno Γ, m um intrvalo d tmpo [0,T], é u φ + β u D u = f m Ω [0,Τ] (.) t As condiçõs d contorno ssnciais naturais associadas a (.) são u = g m Γ g (.) n D u = h m Γ h (.) ond g h são funçõs conhcidas no tmpo, n é o vtor normal ao contorno Γ g Γ h subconjuntos complmntars d Γ, isto é, Γ g Γ h = Γ (.) Γ g Γ h = (.5) A condição inicial u 0, para u m um tmpo inicial t 0 é 8
u, t ) = u ( ) m Ω (.6) ( 0 0 ond = (,, ) R é o vtor posição. A constant φ é a massa spcífica da concntração sndo transportada. O campo d vlocidads β, considrado indpndnt da concntração, é dfinido plas suas componnts cartsianas como β = β(, t) (.7) Além disso, assum-s qu o campo d vlocidads é solnoidal, isto é, β = 0. O tnsor d sgunda ordm D dfin as propridads d difusão d um matrial anisotrópico htrogêno. k k k D = k k k (.8) k k k D forma simplificada foi adotada aqui a hipóts d matriais ortotrópicos, portanto o tnsor dfinido m (.8) s rsum a k 0 0 k 0 0 D = = 0 k 0 0 k 0 (.9) 0 0 k 0 0 k Tm-s ainda o trmo font f qu é função do tmpo qu m muitas vs é chamado d carrgamnto m uma analogia à mcânica dos sólidos à anális d struturas. O trmo font para o transport tridimnsional d uma concntração é su fluo volumétrico, conhcido ao longo do tmpo, sndo positivo s stivr ntrando (font) ngativo s stivr saindo (sumidouro) do contorno do domínio. Como já mncionado, s o campo d vlocidads β for nulo, ou sja, s o problma for puramnt difusivo, a quação (.) fica idêntica à quação da condução d calor, d modo qu a constant φ fica sndo o produto da dnsidad plo calor spcífico do matrial, o trmo font um 9
fluo térmico conhcido ao longo do tmpo, D o tnsor d condutividad térmica a incógnita u a rsolvr, a tmpratura.. Discrtiação Espacial.. Prliminars Como uma solução analítica para o problma matmático aprsntado pod sr muito difícil d sr obtida, principalmnt para condiçõs d contorno gomtria complas, fa-s uso d métodos numéricos para s obtr uma solução aproimada. Nst trabalho, para a discrtiação spacial, srá adotado o Método dos Elmntos Finitos (MEF), ond as variávis contínuas são substituídas por variávis discrtas, dfinidas nos nós d uma malha d lmntos finitos. Esta pod tr uma gomtria tão complicada quanto a modlagm igir, dvido à facilidad do MEF m tratar malhas não struturadas, tão rfinada quanto a tcnologia computacional prmitir. Entnd-s aqui por malha nãostruturada como aqula qu m cada ponto nodal concorr um númro arbitrário d lmntos. Para s obtr soluçõs aproimadas para o problma d valor d contorno istm duas altrnativas d partida, a forma fort a forma fraca (ou variacional) do problma. O Método das Difrnças Finitas é aplicado dirtamnt à forma fort, já o MEF é basado m sua forma fraca. O problma matmático dscrito no itm. s ncontra na sua forma fort. Para a obtnção da forma variacional quivalnt, é primiramnt ncssário qu s dfinam duas classs ou colçõs d funçõs. A primira composta d funçõs tst ou candidatas u, qu dvm satisfar às condiçõs d contorno do problma tr suas drivadas quadrado intgrávis, ou sja, dω <, ntão é usual s dir qu u H. Portanto o conjunto das funçõs tst é chamado d S, stá dfinido m (.0). A sgunda class d funçõs é um conjunto d funçõs pso w, conhcido por V, qu contém todas funçõs pso qu satisfaçam às condiçõs d srm nulas no contorno também prtncrm a H, como dfinido m (.). Ω ( u) 0
S = { u u H, u = g m Γ } (.0) V = { w w H, w = 0 m Γ } (.) A formulação variacional pod sr obtida multiplicando-s a forma fort por uma função pso w V intgrando-s, rsultando na quação (.). u w( φ + β u D u f ) dω = 0 (.) Ω t É important rssaltar, qu após a intgração por parts do trmo difusivo, as condiçõs d contorno naturais não stão plícitas na forma fraca do problma, isto porqu las são naturalmnt satisfitas. Já as condiçõs d contorno ssnciais dvm sr plicitamnt obrigatoriamnt satisfitas, plas funçõs tst no contorno, para qu o problma sja bm posto. A intgração por parts do trmo difusivo stá aprsntada na quação (.) Ω Γ Ω wd u dω = wd u n dγ wd u dω (.) O método d Galrkin é um dos métodos dos rsíduos pondrados utiliado para obtr soluçõs aproimadas via MEF. A primira tapa ao s utiliar o método d Galrkin é construir aproimaçõs d dimnsõs finitas para S V, dnominadas S h V h. O supr-índic h s rfr à associação d S h V h a uma malha d lmntos finitos d tamanho h, utiliada para discrtiar um crto domínio Ω. É usual s pnsar[9] m S h V h como sndo subconjuntos d S V, rspctivamnt, ou sja, S h S V h V. Pod-s também dfinir funçõs tst u h funçõs pso w h, ambas discrtas, tal qu, s u h S h, ntão u h S (.) s w h V h, ntão w h V (.5)
S a função pso adotada for intrpolada d manira igual aos parâmtros nodais (graus d librdad), ou sja, igual à função tst, pod-s dir qu a quação stá na sua forma fraca d Galrkin. Portanto, dpois d dfinidas as funçõs aproimadas u h w h, pod-s rscrvr a quação (.) como h h w L( u ) dω = 0 Ω (.6) ond h h u h h L( u ) = φ + β u D u f (.7) t.. Os Métodos d Galrkin Ptrov-Galrkin para a Equação d Transport S o trmo advctivo for dsconsidrado, tm-s o problma d um transport difusivo a sr rsolvido pod sr mostrado qu a formulação clássica d Galrkin é ótima já qu o problma torna-s auto-adjunto. Porém, como também s stá tratando do trmo advctivo, oscilaçõs numéricas podm ocorrr m problmas prdominantmnt ou puramnt advctivos, não sndo a formulação d Galrkin suficint. O quão brusca ou aguda é a frnt d concntração, ou o grau d advcção do problma, pod sr avaliado plo númro d Pclt da malha dfinido como β h P = (.8) D sndo h um tamanho médio para a discrtiação spacial da malha, como já mcionado. Para problmas prdominantmnt advctivos, P. Quanto mais a difusão s torna significant, mnor vai s tornando o númro d Pclt, d modo qu para um problma sm advcção, isto é, puramnt difusivo, P = 0. Como o númro d Pclt stá associado ao spaçamnto da malha, quanto mais rfinada for a discrtiação spacial, mnor l s torna.
Para o control corrção das oscilaçõs numéricas dcorrnts do trmo advctivo, pod-s utiliar a formulação SUPG (Stramlin Upwind Ptrov-Galrkin) aprsntada por Brooks Hughs m 98[5]. A formulação SUPG s basia na utiliação d funçõs pso dscontínuas adicionadas às funçõs pso d Galrkin qu atuam na dirção das linhas d corrnt (stramlins), lvando a um fito smlhant à técnica d pondração a montant (upwind). A função linar adotada é a da quação (.8) stá graficamnt rprsntada na Figura.. w ~ β = w + αup p = w + τ w β (.9) Sndo α up um parâmtro qu avalia o quanto d corrção para trás, à montant (upwinding) dv sr adotada, conform squmatiado na Tabla.. τ é conhcido como parâmtro d SUPG, a sr avaliado no próimo itm. É important rssaltar qu w ~ V h, mas vamos assumir qu s consiga construir os spaços S h V h adquados. w GALERKIN p α up CORREÇÃO linar w ~ PETROV- GALERKIN dscontínua linar Figura. Função pso linar d Ptrov-Galrkin. Dv-s notar qu difrntmnt da técnica d pondração a montant[6], a formulação SUPG é variacionalmnt consistnt, pois afta todos os trmos da quação difrncial parcial, conform mostrado a sguir, nas quaçõs (.0) (.).
Parâmtro α up Númro d Pclt Solução Equivalnt m Rgim Prmannt α up = 0 P = 0 Galrkin α up = P = Difrnça Finita pra trás Tabla. Rlação ntr o parâmtro α up, o númro d Pclt soluçõs quivalnts à formulação SUPG m rgim prmannt. Ainda assim, rsolvndo-s o problma com a formulação SUPG, oscilaçõs numéricas indsjávis podm ocorrr m torno d frnts não suavs (choqus ou dscontinuidads). Para suaviação dsss fitos é utiliado um Oprador d Captura d Choqus/Dscontinuidads (OPC) sgundo Galão Do Carmo[0]. O trmo OPC é não linar introdu uma difusão/dissipação artificial transvrsal às linhas d corrnt, sm introduir uma dissipação cruada (crosswind dissipation), mantndo alta ordm d prcisão nas rgiõs suavs. Finalmnt, a formulação variacional é consistnt, no sntido d qu s a solução aproimada tnd à solução analítica ntão os opradors SUPG OPC diam d atuar. A formulação final contmplando os trmos SUPG OPC d manira dscontínua como é usual s scrvr é Ω ~ h w L( u h Ω NEL Ω = h h h h h ) dω = w L( u ) dω + α pl( u ) dω + δ w u dω = 0 (.0) up NEL Ω = ou ainda, Ω ~ h w L( u h NEL NEL h h β h h h h ) dω = w L( u ) dω + τ w L( u ) dω + δ w u dω = 0 β Ω Ω = Ω = (.) ond NEL é o númro d lmntos da malha d Elmntos Finitos, τ o parâmtro SUPG δ o parâmtro d stabiliação OPC, a srm avaliados a sguir.