Sequências e progressões

Sequêcias e progressões 6 Ates de ler o capítulo Os tópicos apresetados esse capítulo evolvem fuções (Seção 3.5), com destaque para a fução liear (Seção 3.7) e a expoecial (Seção 5.). Além disso, maipularemos equações, particularmete as exploradas as Seções.4,.10 e 5.4. O que a disposição das cadeiras em uma sala de cocertos circular e os empréstimos bacários têm em comum? Ambos formam sequêcias, ou listas de úmeros com uma certa ordem. Nesse capítulo, apresetaremos as sequêcias, dado êfase aos dois tipos pricipais: as progressões aritméticas e geométricas. Além disso, itroduziremos a otação de somatório, que facilitará a soma dos termos das sequêcias, bem como a defiição de série. As sequêcias têm muitas aplicações, tato em osso cotidiao como detro da própria matemática. Para cocluir esse capítulo, aalisaremos as aplicações fiaceiras, um assuto de grade impacto em um país como o Brasil, o qual as taxas de juros costumam ser elevadas. 6.1 Sequêcias No Capítulo 5, o exemplo que usamos para itroduzir a fução expoecial evolvia o cálculo de uma dívida bacária. Voltaremos, agora, ao problema para dizer que, de fato, a fução expoecial ão é a melhor alterativa para represetar o aumeto da dívida. Exemplo 1. Dívida bacária Como vimos o Exemplo 1 do Capítulo 5, se uma pessoa cotrai uma empréstimo de R$ 1.000,00 com um baco que cobra uma taxa de juros de 6% ao mês, etão a dívida após x meses pode ser calculada usado-se a fução d(x) = 1000 1,06 x. Etretato, essa fução só forece o valor correto da dívida quado o valor de x é um úmero iteiro ão egativo. Ou seja, ão podemos dizer que, passados quatro meses e meio da data do empréstimo, a dívida seja igual a d(4,5) = 1000 1,06 4,5 = R$ 199,80. A Errado! Na verdade, como o baco só atualiza a dívida uma vez por mês, o valor devido após quatro meses e meio é igual àquele obtido após quatro meses, isto é d(4) = 1000 1,06 4 = R$ 16,48. Já que o argumeto x da fução só pode assumir valores iteiros, podemos apresetálo como um subídice, em lugar de mostrá-lo etre parêteses. Assim, atribuido a x os úmeros aturais 1,, 3,..., essa ordem, o valor da dívida a partir do primeiro mês pode ser descrito pela lista

536 Capítulo 6. Sequêcias e progressões d 1 = 1000 1,06 1 = 1060,00; d = 1000 1,06 = 113,60; d 3 = 1000 1,06 3 = 1191,0; d 4 = 1000 1,06 4 = 16,48; d 5 = 1000 1,06 5 = 1338,3; Essa lista ordeada forma o que chamamos de sequêcia dos valores mesais da dívida. Como vimos o exemplo acima, uma lista de úmeros que possuem uma ordem pode ser represetada por meio de uma sequêcia, que ada mais é que uma fução que só admite úmeros aturais como argumeto. Em algus casos, é coveiete começar a sequêcia pelo termo a 0, de modo que precisamos icluir o zero o domíio. Sequêcia Uma sequêcia é uma fução a cujo domíio é o cojuto de úmeros aturais N = {1,, 3,...}. Se é um úmero atural, o valor da fução em é expresso por a (em lugar de a()). Como os úmeros aturais são ordeados, podemos represetar os valores da fução por meio da lista de termos a 1, a, a 3,..., a,... Assim, a 1 (o valor da fução em 1) é o primeiro termo, a (o valor em ) é o segudo termo, e a é o eésimo termo da sequêcia. Se o domíio da sequêcia é composto apeas pelos primeiros úmeros aturais, ou seja, D = {1,, 3,..., }, dizemos tratar-se de uma sequêcia fiita. Caso cotrário, a sequêcia é dita ifiita. Nesse livro, estamos iteressados apeas as sequêcias que possuem um padrão, ou lei de formação. Um exemplo simples desse tipo de lista é dado o exemplo a seguir. Exemplo. Múltiplos de 3 A lista 3, 6, 9, 1, 15, 18, 1,... é a sequêcia dos múltiplos de 3. As reticêcias ao fial idicam que a lista é ifiita. Observado os quatro primeiros termos da sequêcia, otamos que a 1 = 3 1 = 3 a = 3 = 6 a 3 = 3 3 = 9 a 4 = 3 4 = 1 a 5 = 3 5 = 15 Com base esses termos, podemos ituir facilmete que o eésimo termo é dado por a = 3. Esse eésimo termo, chamado termo geral, é o que defie a lei de formação da sequêcia. Com ele coseguimos calcular, por exemplo, o milésimo e o milioésimo termo, como mostrado abaixo. a 1000 = 3 1000 = 3000 e a 1000000 = 3 1000000 = 3000000.

Seção 6.1. Sequêcias 537 Problema 3. Escrevedo termos da sequêcia a partir do termo geral Ache os cico primeiros termos e o vigésimo termo das sequêcias dadas por a) a i = 5i 100 b) a i = 1 i c) a i = i d) a i = ( 1)i 4i a) Para a i = 5i 100, temos a 1 = 5 1 100 = 95 a 4 = 5 4 100 = 80 a = 5 100 = 90 a 5 = 5 5 100 = 75 a 3 = 5 3 100 = 85 a 0 = 5 0 100 = 0 b) Para a i = 1 i, temos a 1 = 1 1 = 1 a 4 = 1 4 a = 1 a 5 = 1 5 a 3 = 1 3 a 0 = 1 0 c) Para a i = i, temos a 1 = 1 = a 4 = 4 = 16 a = = 4 a 5 = 5 = 3 a 3 = 3 = 8 a 0 = 0 = 1.048.576 d) Para a i = ( 1)i, temos 4i a 1 = ( 1)1 4 1 = 1 4 a = ( 1) 4 = 1 8 a 3 = ( 1)3 4 3 = 1 1 a 4 = ( 1)4 4 4 = 1 16 a 5 = ( 1)5 4 5 = 1 0 a 0 = ( 1)0 4 0 = 1 80 Note que, esse problema, os termos da sequêcia têm siais alterados, já que, ( 1) i = { 1, se i é ímpar; 1, se i é par. O termo ( 1) i aparece, explícita ou implicitamete, em todas a sequêcias com siais alterados. Agora, tete o Exercício 1.

538 Capítulo 6. Sequêcias e progressões Os pares ordeados associados à sequêcia do Problema 3(d) são (1, 1 4 ), (, 1 8 ), (3, 1 1 ),... Por serem fuções, as sequêcias podem ser facilmete represetadas o plao Cartesiao, bastado para isso que associemos ao i-ésimo termo o par ordeado (i, a i ). A Figura 6.1a mostra o gráfico da sequêcia com siais alterados do Problema 3(d). Note que, como o domíio da fução só iclui úmeros aturais, os valores da sequêcia são represetados por potos isolados o plao, ão sedo adequado ligá-los. Outra opção para a represetação gráfica de sequêcias particularmete aquelas as quais todos os termos são positivos é o emprego de gráficos de barras, como mostrado a Figura 6.1b, que retrata a sequêcia do Problema 3(b). (a) a i = ( 1) i /(4i) (b) a i = 1/i Figura 6.1: Gráficos de sequêcias. Sequêcias defiidas recursivamete Ateção Cuidado para ão cofudir a i 1 com a i 1. Você cosegue explicar a difereça que há etre essas duas expressões? Já vimos como defiir uma sequêcia apresetado o termo geral a como uma fução de. Como alterativa, também é possível defiir uma sequêcia forecedo o termo geral com relação a um ou mais termos ateriores. Como exemplo, a sequêcia apresetada o Problema 3(a) também pode ser defiida por a i = a i 1 + 5, em que a i 1 é o termo da sequecia imediatamete aterior a a i. Nesse caso, dizemos que a sequêcia é defiida recursivamete. Observe, etretato, que as sequêcias recursivas ão podem ser defiidas apeas pelo termo geral, já que a lei de formação acima gera tato 95, 90, 85, 80, 75,... como 5, 10, 15, 0, 5,... Para que a defiição de uma sequêcia recursiva seja úica, também é preciso defiir um ou mais termos iiciais. Assim, a primeira sequêcia acima tem a 1 = 95, equato a seguda tem a 1 = 5. Problema 4. Sequêcia defiida recursivamete Calcule o décimo segudo termo da sequêcia defiida por a i = a i 1 e a 1 =.

Seção 6.1. Sequêcias 539 Se a i = a i 1 e a 1 =, etão temos a 1 = a 5 = 3 a 9 = 51 a = 4 a 6 = 64 a 10 = 104 a 3 = 8 a 7 = 18 a 11 = 048 a 4 = 16 a 8 = 56 a 1 = 4096 Agora, tete o Exercício 3. Como vimos o exemplo acima, as sequêcias recursivas têm a grade desvatagem de ão permitirem que calculemos um termo sem cohecer os ateriores. Aida assim, há sequêcias importates que só são defiidas recursivamete, como mostram os exemplos abaixo. Exemplo 5. Fatorial Cosidere a sequêcia defiida por a = a 1 com a 1 = 1. Os primeiros termos dessa sequêcia, que cresce muito rapidamete, são a = a 1 = 1 = a 5 = 5 a 4 = 5 4 = 10 a 3 = 3 a = 3 = 6 a 6 = 6 a 5 = 6 10 = 70 a 4 = 4 a 3 = 4 6 = 4 a 7 = 7 a 6 = 7 70 = 5040 Como essa sequêcia é muito usada em matemática, ela recebe o ome particular de fatorial e seu eésimo termo ter uma otação especial:!. Assim, 1! = 1,! =, 3! = 6, 4! = 4, 5! = 10, 6! = 70, 7! = 5040,... Agora, tete o Exercício 6. Fatorial O fatorial de um úmero iteiro ão egativo é dado por! = ( 1)! ou! = ( 1) ( ) 3 1. Além disso, covecioa-se que 0! = 1. Exemplo 6. Sequêcia de Fiboacci Leoardo Boacci era filho de Guglielmo dei Boacci, um rico mercador Pisao. Da corruptela de filius Boacci surgiu o cogome pelo qual esse matemático do século XIII acabou cohecido: Fiboacci. Seu livro mais importate, deomiado Liber Abaci, escrito em 10, itroduziu a Europa o sistema de umeração hidu-arábico ou de base 10, que usa os algarismos 0 9 e a otação posicioal. Nos dias de hoje, Fiboacci é mais cohecido pela sequêcia que usou para descrever o crescimeto de uma população de coelhos. A sequêcia de Fiboacci é formada

540 Capítulo 6. Sequêcias e progressões Embora tivesse sido descrita séculos ates pelos idiaos, a sequêcia de Fiboacci acabou recebedo o ome de seu ilustre divulgador o ocidete. partido-se de a 1 = 1 e a = 1 e defiido-se o -ésimo termo como a soma dos dois termos imediatamete ateriores, ou seja, Assim, temos a = a 1 + a. a 3 = a + a 1 = 1 + 1 = a 7 = a 6 + a 5 = 8 + 5 = 13 a 4 = a 3 + a = + 1 = 3 a 8 = a 7 + a 6 = 13 + 8 = 1 a 5 = a 4 + a 3 = 3 + = 5 a 9 = a 8 + a 7 = 1 + 13 = 34 a 6 = a 5 + a 4 = 5 + 3 = 8 a 10 = a 9 + a 8 = 3 + 1 = 55 Apesar de essa sequêcia ter vários usos em matemática, os deteremos apeas em sua aplicação mais divertida, que é a geração de uma espiral ecotrada com frequêcia a atureza, deomiada espiral de Fiboacci. Para costruir essa espiral, dispomos lado a lado dois quadrados de lado 1. Em seguida, desehamos um quadrado de lado que tem uma aresta comum com os dois quadrados ateriores. Cotiuado esse processo com quadrados cujos lados têm as mesmas medidas dos úmeros de Fiboacci, obtemos a pilha de blocos mostrada a Figura 6.. Fialmete, usado arcos de circuferêcia para uir vértices opostos de cada quadrado, traçamos a espiral preta que aparece a mesma figura. Figura 6.: Espiral de Fiboacci. Cada termo da sequêcia de Fiboacci é igual à medida do lado do quadrado correspodete. Determiação do termo geral Há situações em que ão cohecemos a lei de formação da sequêcia, mas apeas algus de seus termos. Cosidere, por exemplo, a lista ordeada abaixo, da qual são cohecidos os quatro primeiros termos: 3, 9, 7, 81,... Observado essa lista, somos tetados a supor que se trata da sequêcia das potêcias de 3, já que 3 1 = 3, 3 = 9, 3 3 = 7, 3 4 = 81. Assim, uma possível expressão para o termo geral seria a = 3.

Seção 6.1. Sequêcias 541 Etretato, se defiíssemos a = 15 + 3i 18i + 4i 3 Dado qualquer úmero fiito de úmeros reais, a 1, a, a 3,..., a, sempre é possível ecotrar um poliômio que passe pelos potos (1, a 1), (, a ), (3, a 3),..., (,a ). obteríamos a mesma sequêcia. Dessa forma, ão há uma fórmula úica para o termo geral de uma sequêcia cujos primeiros quatro termos são 3, 9, 7 e 81. De fato, é possível afirmar que Não se pode defiir de forma úica o termo geral de uma sequêcia da qual se cohece us poucos termos iiciais. Aida assim, há casos em que a determiação de uma possível expressão para o termo geral é útil. O problema abaixo mostra como esse termo geral pode ser obtido para sequecias simples. Voltaremos a esse assuto as Seções 6.3 e 6.4, as quais trataremos das progressões aritméticas e geométricas. Problema 7. Determiação do termo geral Ecotre um possível termo geral para as sequêcias cujos primeiros termos são dados abaixo. a), 8, 14, 0, 6,... b) 1, 1 4, 1 9, 1 16, 1 5,... a) Observado a sequêcia, otamos que cada termo pode ser obtido somado seis uidades ao termo aterior, ou seja, a = a 1 + 6. De fato, a 1 = a = a 1 + 6 = + 6 a 3 = a + 6 = + 6 a + 6 = + 6 a 4 = a 3 + 6 = + 6 a 3 + 6 = + 3 6 a 5 = a 4 + 6 = + 3 6 a 4 + 6 = + 4 6 Note que, este problema, forecemos duas fórmulas para o termo geral a, uma recursiva (ou seja, evolvedo a 1) e outra direta (ou seja, evolvedo apeas ). Reparado, etão, que o valor que multiplica 6 em cada termo (úmero destacado em vermelho) é igual ao ídice do termo (em verde) meos 1, também podemos escrever o termo geral como a = + ( 1) 6. b) Nesse exemplo, vamos examiar em separado o valor absoluto e o sial de cada termo. No que diz respeito ao valor absoluto, observamos que a 1 = 1 1, a = 1 4 = 1, a 3 = 1 9 = 1 3, a 4 = 1 16 = 1 4, a 5 = 1 5 = 1 5. Portato, temos a = 1/. Além disso, otamos que o sial dos termos altera, sedo egativo os termos ímpares e positivo os termos pares. Assim, a exemplo do que vimos o Problema 3, podemos multiplicar o valor absoluto do termo geral por ( 1), obtedo a = ( 1) 1. Agora, tete o Exercício 4.

54 Capítulo 6. Sequêcias e progressões Exercícios 6.1 1. Escreva os cico primeiros termos de cada sequêcia (supodo que comece em 1). a) a = 50 5 b) a = 3 c) a = 3 d) a = 3 e) a = 3 f) a = 1 g) a = 1 h) a = ( 1 ) i) a = 1 1 j) a = ( 1) ( +1 ) k) a = ( 3) 1 l) a = π + π( 1) m) a = (+1) ) a = o) a = ( 1) + p) a = 4 b. Usado os valores que você obteve o Exercício 1, esboce os gráficos das sequêcias dadas por a) a = 50 5i b) a = 1 1 c) a = ( 1) ( +1 ) d) a = + 3. Escreva os cico primeiros termos das sequêcias abaixo. a) a 1 =, a i = a i 1 + 4 b) a 1 = 50, a i = a i 1 3 c) a 1 = 5, a i = a i 1 d) a 1 = 1, a i = a i 1 4. Escreva uma fórmula para o termo geral de cada sequêcia do Exercício 3. 5. Escreva os cico primeiros termos das sequêcias abaixo. a) a 1 = 0, a i = 10 5a i 1 b) a 1 = 104, a i = ai 1 4 c) a 1 = 3, a i = 1 a i 1 d) a 1 =, a i = a i 1 6. Escreva os cico primeiros termos de cada sequêcia (supodo que comece em 1). a) a = 1! b) a =! 7. Simplifique as expressões abaixo. a) 6! 4! b) 5! 8! c) 7! 4! 3! d) 8! 3! 4! 6! c) a = ( 1) ()! e)! (+1)! f) (+1)! ( 1)! 8. Determie os décimo quito termo da sequêcia de Fiboacci. 9. Escreva uma fórmula para o termo geral das sequêcias abaixo. a), 7, 1, 17,... b) 1000, 975, 950, 900,... c) 5, 15, 45, 135, 405,... d) 1000, 100, 10, 1, 1 10,... 10. Coforme visto o Exercício 17 da Seção 1.9, dado um úmero real positivo b, os termos da sequêcia defiida recursivamete por a k+1 = a k + b a k forecem estimativas cada vez melhores de b. Assim, é possível obter um valor aproximado para b partido de um termo iicial qualquer (por exemplo, a 1 = 1) e calculado os termos seguites da sequêcia até que a difereça etre a k+1 e a k seja pequea. Determie os oito primeiros termos da sequêcia obtida aplicado-se esse método para calcular 100, partido de a 1 = 1. Respostas dos Exercícios 6.1 1. a) 45, 40, 35, 30, 5 b) 3, 6, 9, 1, 15 c) 1, 8, 7, 64, 15 d) 3, 9, 7, 81, 43 e) 1/3, 1/9, 1/7, 1/81, 1/43 f) 0, 3, 8, 15, 4 g) 1, 3, 7, 15, 1 h) 1/, 1/4, 1/8, 1/16, 1/3 i) 0, 1/, /3, 3/4, 4/5 j) 1/, /3, 3/4, 4/5, 5/6 k) 1, 3, 9, 7, 81 l) π/, 5π/, 9π/, 13π/, 17π/ m) 1, 3, 6, 10, 15 ),,, 4, 4 o) 0, 4, 0, 4, 0 p) b, b, 3b, 4b, 5b. a) b) c) d) 3. a), 6, 10, 14, 18 b) 50, 47, 44, 41, 38

Seção 6.. Somatórios 543 c) 5, 10, 0, 40, 80 d) 1,, 4, 8, 16 4. a) a = + 4( 1) b) a = 50 3( 1) c) a = 5 1 d) a = ( ) 1 5. a) 0, 10, 40, 10, 1040 b) 104, 56, 64, 16, 4 c) 3, 1/3, 3, 1/3, 3 d), 4, 16, 56, 65536 6. a) 1, 1, 1 6, 1 4, 1 0 1 b) 1,, 3, 3, 4 5 c) 1, 1 4, 1 70, 1 4030, 1 368800 7. a) 30 b) 1 336 c) 35 d) 14 e) 1 f) ( + 1) 8. 610 9. a) a = + 5( 1) b) a = 1000 5( 1) c) a = 5 3 1 d) a = 1000 ( 1 10 ) 1 10. 1; 50,5; 6,4009901; 15,055301; 10,84043467; 10,0357851; 10,0000590; 10,00000000. 6. Somatórios A defiição formal da semicircuferêcia será dada o segudo volume desse livro, em um capítulo dedicado à geometria plaa. Por hora, é suficiete saber que ela correspode à metade da circuferêcia. Para itroduzir a otação de somatório, vamos usar como exemplo uma curva espiral composta por semicircuferêcias. Exemplo 1. Comprimeto de uma curva espiral Uma curva em formato espiral é formada uido-se semicircuferêcias cujos raios, em cetímetros, são dados pela sequêcia 1,, 3, 4,.... A Figura 6.3 mostra os quatro primeiros arcos que compõem a espiral, idetificado-os com cores diferetes. O úmero que acompaha cada arco idica o raio da semicircuferêcia correspodete. Usado ossos cohecimetos de geometria, defiimos o comprimeto de uma semicircuferêcia cujo raio é r através da fórmula πr. Assim, o comprimeto da eésima semicircuferêcia que forma a curva é dado por a = π, e a sequêcia dos comprimetos de arcos é composta pelos termos π, π, 3π, 4π, 5π, 6π,..., π,... Figura 6.3: Espiral do Exemplo 1. Supoha que, esse exemplo, estejamos iteressados em cohecer o comprimeto total, C, da espiral formada pelos primeiros 0 arcos. Naturalmete, o valor de C pode ser obtido somado-se os termos da sequêcia acima, ou seja, C = π + π + 3π + 4π + 5π + 6π + 7π + 8π + 9π + 10π + 11π + 1π + 13π + 14π + 15π + 16π + 17π + 18π + 19π + 0π. Efetuado essa soma, descobrimos que C = 10π cetímetros. Você sabia? A letra grega sigma, que origiou o osso S, tem uma forma maiúscula, Σ, e duas formas miúsculas, σ e ς, das quais a última só aparece ao fial das palavras. O Exemplo acima evidecia os problemas que ecotramos ao calcular a soma dos termos de uma sequêcia. Além de ão ser prático escrever a soma por exteso, o cálculo dessa soma pode ser muito trabalhoso se o úmero de termos for grade. Vejamos como miimizar essas dificuldades, começado por defiir uma otação especial para as somas, que evolve o uso da legra grega Σ (sigma maiúsculo). Somatório A soma dos primeiros termos de uma sequêcia cujo i-ésimo termo é a i é represetada por a i = a 1 + a + a 3 + + a, e é lida como o somatório de a i, para i (variado) de 1 a.

544 Capítulo 6. Sequêcias e progressões Na otação de somatório, o Σ represeta a soma; a expressão que segue o Σ é o termo geral da sequêcia; o ídice do primeiro termo da soma aparece abaixo do Σ (quado escrevemos i = 1, por exemplo, a soma começa por a 1 ); o ídice do último termo da soma é apresetado acima do Σ (o somatório da Figura 6.4, por exemplo, o último termo é a ). Figura 6.4: Notação de somatório. Empregado a ova otação, a soma das vite semicircuferêcias do Exemplo 1 pode ser escrita como 0 πi. Outros exemplos de somatório são dados o problema abaixo. Problema. Somatórios a) Calcule os somatórios 6 i b) 5 k=1 1 k a) O termo geral desse somatório é a i = i. Calculado, etão, a 1 = 1, a =, a 3 = 3, a 4 = 4, a 5 = 5, a 6 = 6, obtemos 6 i = 1 + + 3 + 4 + 5 + 6 = 91. b) Nesse caso, devemos somar os cico primeiros termos da sequêcia com termo geral a k = 1/(k). Portato, temos 5 k=1 1 k = 1 1 + 1 + 1 3 + 1 4 + 1 5 = 1 + 1 4 + 1 6 + 1 8 + 1 10 = 137 10. Agora, tete o Exercício 1. A razão de idicarmos o ídice do termo iicial do somatório logo abaixo da letra sigma é que isso os permite defiir somas que começam por a m, com m 1, como mostram os exemplos a seguir. Você sabia? No Exemplo 3(b), otamos que 5 i=0 i = 6 1. De uma forma mais geral, podemos dizer que, para qualquer iteiro positivo i=0 i = +1 1. Exemplo 3. Somatórios que ão começam por a 1 a) b) 8 i=4 5 i=0 5 i = (5 4) + (5 5) + (5 6) + (5 7) + (5 8) = 35. i = 0 + 1 + + 3 + 4 + 5 = 1 + + 4 + 8 + 16 + 3 = 63.

Seção 6.. Somatórios 545 A otação sigma é a forma mais prática de represetar um somatório, de modo que é comum coverter a essa otação as somas dadas por exteso. Podemos fazer essa coversão usado os cohecimetos que já adquirimos sobre sequêcias, bastado para isso que ecotremos uma fórmula para o termo geral a i ; determiemos o valor iicial e o valor fial de i. Problema 4. Coversão à otação sigma Coverta à otação de somatório as seguites somas: a) + 4 + 6 + 8 + + 00. b) 1,05 + 1,05 + 1,05 3 + + 1,05 1. a) Notamos que os termos da soma + 4 + 6 + 8 + + 00 são os úmeros pares etre e 00, ou seja, a 1 =, a = 4, a 3 = 6, a 4 = 8, O termo geral dessa sequêcia é a i = i. Naturalmete, o primeiro termo da soma é a 1. Para descobrir o ídice i correspodete ao último termo, resolvemos a equação a i = 00: i = 00 i = 00/ = 100. Logo, o último ídice é 100, de modo que a soma pode ser escrita como 100 i. b) Os termos da soma 1,05 + 1,05 + 1,05 3 + + 1,05 1 são a 1 = 1,05 1, a = 1,05, a 3 = 1,05 3, a 4 = 1,05 4, a 1 = 1,05 1 Nesse caso, claramete, devemos somar os doze primeiros termos da sequêcia cujo termo geral é a i = 1,05 i. Assim, temos 1 1,05 i. Agora, tete o Exercício. Propriedades do somatório As propriedades da soma e da multiplicação, vistas o Capítulo 1, podem ser empregadas para reescrever um somatório de forma a facilitar seu cálculo. Tomado como exemplo o comprimeto da curva espiral do Exemplo 1, que é dada por C = π + π + 3π + 4π + 5π + + 16π + 17π + 18π + 19π + 0π,

546 Capítulo 6. Sequêcias e progressões observamos que todos os vite termos icluem a costate π, de modo que podemos pô-la em evidêcia, obtedo Assim, temos C = π(1 + + 3 + 4 + 5 + + 16 + 17 + 18 + 19 + 0). C = 0 0 π i = π ( i). Geeralizado essa propriedade para uma soma a forma ca i, obtemos uma das três propriedades pricipais dos somatórios, as quais apresetamos o quadro abaixo. Propriedades dos somatórios Sejam a i e b i os termos gerais de duas sequêcias, c uma costate real e um úmero iteiro positivo. Etão, 1.. (a i + b i ) = (a i b i ) = a i + a i b i b i 3. ca i = c ( a i ) Todas essas propriedades são fáceis de demostrar expadido os somatórios. Para provar que a Propriedade 1 é válida, por exemplo, basta escrever Nessa demostração, usamos duas propriedades da soma: a comutatividade, que diz que a + b = b + a, e a associatividade, segudo a qual (a + b) + c = a + (b + c). (a i + b i ) = a 1 + b 1 + a + b + a 3 + b 3 + + a 1 + b 1 + a + b = a 1 + a + a 3 + + a 1 + a + b 1 + b + b 3 + + b 1 + b = a i + b i. Embora o mesmo expediete possa ser usado para provar a Propriedade, vamos empregar as Propriedade 1 e 3 para obter a demostração: (a i b i ) = [a i + ( 1) b i ] = a b=a+( 1) b a i + ( 1) b i = Propriedade 1 a i b i Propriedade 3 Voltemos, agora, à curva espiral do Exemplo 1, cuja soma, como vimos, foi alterada coforme descrito abaixo. C = 0 0 πi C = π ( i). Aida que essa mudaça pareça sutil, a fórmula da esquerda exige 0 multiplicações e 19 somas, equato a da direita requer apeas 19 somas e uma multiplicação, permitido uma ecoomia de 19 multiplicações. Etretato, seria aida melhor se cohecêssemos o valor da soma 1 + + 3 + 4 + + 19 + 0, pois isso os permitiria calcular C quase sem esforço. Felizmete, os valores de i e de somas semelhates são cohecidos. Algus desses somatórios são apresetados a seguir..

Seção 6.. Somatórios 547 Pricipais somatórios de potêcias (cot.) 1.. 3. 4. 1 = i = i = ( + 1) ( + 1)( + 1) 6 i 3 = ( + 1) 4 5. i 4 = ( + 1)( + 1) (3 + 3 1) 30 Embora algumas dessas fórmulas sejam difíceis de obter, a demostração dos dois primeiros somatórios é simples. Para provar que 1 =, por exemplo, basta expadir o somatório, como mostrado abaixo. 1 = 1 + 1 + 1 + 1 +... + 1 =. termos Já para demostrar que i = ( + 1)/ adotamos uma estratégia mais egehosa. Nesse caso, supodo que queiramos calcular ( i), defiimos ( i) = i + i. Escrevedo, agora, os termos da primeira soma em ordem crescete e os termos da seguda em ordem decrescete, e somado termo a termo, obtemos i = 1 + + 3 +... + ( ) + ( 1) + + i = + ( 1) + ( ) +... + 3 + + 1 i = ( + 1) + ( + 1) + ( + 1) +... + ( + 1) + ( + 1) + ( + 1) Logo, i = ( + 1), de modo que Exemplo 5. i = ( + 1). Comprimeto de uma curva espiral Agora que sabemos que o comprimeto da curva espiral da Figura 6.3 é dado por C = π ( 0 i), podemos usar a Fórmula do quadro acima para calcular o somatório: 0 C = π ( i) = π [ 0(0 + 1) ] = π [ 0 1 ] = 10π cm. Problema 6. Cálculo de somas Calcule

548 Capítulo 6. Sequêcias e progressões a) b) 100 8 k=1 50 (3i ) c) d) 30 k=1 40 k=1 5 (k 10 3 ) k e) 15 i i=6 a) 100 k=1 8 = 100 k=1 8 1 1 é o elemeto eutro da multiplicação. 100 = 8 ( 1) Propriedade 3. k=1 = 8 100 Aplicação da fórmula 1 =. = 800 Simplificação do resultado. b) 50 (3i ) = 50 50 3i Propriedade. 50 = 3 ( 50 i) ( 1) Propriedade 3. i = ( + 1) e 1 = = 3 [ 50(50 + 1) ] (50) Aplicação de fórmulas. = 385 100 Cálculo dos produtos. = 375 Cálculo da difereça. c) 30 k=1 5 (k 10 3 ) = 30 5 [ (k 10 )] Propriedade 3. k=1 3 = 5 [ 30 k=1 k 30 k=1 10 ] Propriedade. 3 = 5 [ 30 k=1 k 10 30 3 ( 1)] Propriedade 3. k=1 i = ( + 1) e 1 = = 5 [30(30 + 1) 10 3 (30)] Aplicação de fórmulas. = [465 100] Cálculo dos produtos. 5 = 146 Simplificação do resultado. d) 40 k=1 k = 1 40 ( k ) Propriedade 3. k=1 i = ( + 1)( + 1) 6 = 1 + 1)( 40 + 1) (40(40 ) Aplicação de fórmula. 6 = 11070 Simplificação do resultado.

Seção 6.. Somatórios 549 e) Observe que o somatório 15 i=6 i ão começa pelo ídice i = 1, de modo que ão podemos calculá-lo aplicado diretamete a fórmula apresetada o quadro acima. Etretato, felizmete, é possível obter o somatório o itervalo correto somado todos os termos de 1 a 15 e subtraido do resultado os termos idesejados, ou seja, aqueles com ídice de 1 a 5: 15 5 15 i=6 i = 1 + + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 1 + 13 + 14 + 15 i = 1 3 4 5 i = 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 1 + 13 + 14 + 15 Usado, etão, a fórmula do somatório de i, obtemos i = ( + 1) 15 i=6 15 i = i i = 5 15(15 + 1) 5(5 + 1) = 10 15 = 105. Agora, tete o Exercício 3. O artifício itroduzido o último item do Problema 6 pode ser usado para calcular qualquer soma que comece em um termo a m, com m 1, ou seja, i=m a i = m 1 a i a i. ou a i = m 1 a i + i=m a i. Nesse quadro, a fórmula da esquerda mostra como calcular um somatório através da difereça de outros dois, equato a fórmula da direita mostra como obter um somatório a partir da soma de outros dois. Problema 7. Somatório que ão começa o termo de ídice 1 Calcule 60 ( k k=31 3 + 1 4 ). Usado a fórmula do quadro acima, escrevemos 60 k=31 ( k 3 + 1 4 ) = 60 k=1 ( k 3 + 1 30 4 ) ( k k=1 3 + 1 4 ). O cálculo do primeiro somatório é dado abaixo. 60 k=1 ( k 3 + 1 4 ) = 60 k=1 60 k 3 + k=1 1 4 Propriedade 1. = 1 3 60 k + 1 60 1 Propriedade 3. k=1 4 k=1 i = ( + 1) e 1 = = 1 3 + 1) (60(60 ) + 1 (60) Aplicação de fórmulas. 4 = 65 Simplificação do resultado.

550 Capítulo 6. Sequêcias e progressões Aplicado a mesma sequêcia de passos, obtemos facilmete o segudo somatório: 30 k=1 ( k 3 + 1 4 ) = 30 k=1 30 k 3 + k=1 1 4 = 1 3 30 k + 1 k=1 4 30 1 = 1 k=1 3 + 1) (30(30 ) + 1 (30) = 16,5. 4 Logo, 60 ( k k=31 3 + 1 ) = 65 16,5 = 46,5. 4 Agora, tete o Exercício 4. Exercícios 6. 1. Calcule os somatórios abaixo escrevedo os termos e somado-os. a) 6 1 3 b) 4 i 3 c) 4 1 4i d) 4 i+ e) 5 i 1 i+1 f) 0 j=1( 1) j g) 5 j=1( ) j h) 4 j=1( 1) j ( j 1 j +1 ) i) 5 k=1( k k ) j) 5 i [1 + ( 1)i ]. Escreva as somas abaixo usado a otação de somatório. a) 1 + + 3 + 4 + 5 + 6 + + 00 b) 1 + 1 + 3 + + 5 + 3 + + 199 + 100 c) 1 + + 3 + + 5 + 6 + + 10 d) 1 + 3 + 4 5 + 6 199 + 00 e) 1 + 4 + 9 + 16 + 5 + 36 + 49 + 64 + 81 + 100 f) 3 + 9 + 7 + 81 + 43 1 g) 1 + 1 3 + 1 3 4 + 1 4 5 + 1 5 6 + + 1 50 51 h) 1 +! + 3 3! + 4 4! + 5 5! + + 10 10! i) (3 + 5) + (3 + 10) + (3 + 15) + (3 + 0) + + (3 + 50) j) 1 x + x x 3 + x 4 x 5 + x 6 x 7 + x 8 x 9 3. Usado as propriedades dos somatórios e os valores cohecidos de k=1 1, k=1 k e k=1 k, calcule as somas. a) 100 (i 1) b) 100 (i 1) c) 100 ( i + 5 ) d) 100 3 (i 5 ) e) 80 3 (i 0) f) 45 3 (i 5 9 ) g) 15 (i 16) h) 10 (i 1)(i + ) 4. Usado as propriedades dos somatórios e os valores cohecidos de k=1 1 e k=1 k, calcule as somas. a) 80 i=1 i b) 100 i=50(3i + 1) c) 50 i=1 4(i ) d) 40 1 6 (i 1 4 ) 5. Calcule a soma dos múltiplos de 5 o itervalo [5,1000]. 6. Resolva as equações a) i = 35 b) i = +4 c) (i 5) = 10 d) (4i + 9) = 1000 + 7. Escreva todos os termos do somatório telescópico abaixo e determie o valor da soma. 6 a i a i+1. 8. Com base o resultado que você obteve o Exercício 7, calcule 6 1 i 1 i + 1. (Dica: supoha que a i = 1 i ). 9. O coeficiete de redimeto (CR) dos aluos da UNI- CAMP é calculado pela fórmula CR = ( N i C i ) (10 C i ), em que N i e C i são, respectivamete, a ota e o úmero de créditos relativos à i-ésima disciplia, e é o úmero de disciplias cursadas. Usado as otas que você acredita que terá ao fial do semestre, calcule o seu CR. Respostas dos Exercícios 6. 1. a) b) 100 c) 5/48 d) 19/10 e) 1/10 f) 0 g) h) 3/17 i) 7 j) 6. a) 00 i b) 00 i c) 100 i d) 00 ( 1)i i e) 10 i f) 5 3i g) 50 1 i(i+1) h) 10 i i! i) 10 (3 + 5i) j) 10 ( x)i 1 3. a) 10000 b) 9900 c) 565 4. a) 3030 b) 11375 d) 14400 e) 460 f) 3030 c) 400 d) 4545 g) 1000 h) 40

Seção 6.3. Progressões aritméticas 551 5. 100.500 6. a) 5 b) c) 5 d) 0 7. a 1 a 7. 8. A soma é igual a 6 7. 9.... 6.3 Progressões aritméticas Há dois tipos pricipais de sequêcias, cada qual associado a uma fução real. O primeiro deles, chamado progressão aritmética é a versão discreta da fução afim (ou liear), como mostra o exemplo abaixo. Problema 1. Poltroas de um teatro Em um pequeo teatro, a primeira fileira tem 10 poltroas, a seguda fileira tem poltroas a mais que a primeira, a terceira tem poltroas a mais que a seguda, e assim por diate. Quatas poltroas tem a sexta fileira? E quatas poltroas tem uma fileira qualquer? Figura 6.5: Exemplo 1. Plata do teatro do O euciado desse problema descreve uma sequêcia defiida recursivamete, da qual cohecemos o primeiro termo a 1 = 10 e a fórmula do termo geral, que é Aplicado essa fórmula, obtemos a i = a i 1 +, para i. a = a 1 + = 10 + = 1 a 3 = a + = 1 + = 14 a 4 = a 3 + = 14 + = 16 a 5 = a 4 + = 16 + = 18 a 6 = a 5 + = 18 + = 0 Logo, a sexta fileira tem 0 poltroas. Usado a mesma fórmula recursiva do termo geral, podemos ecotrar o úmero de poltroas de qualquer fileira. Etretato, essa estratégia é icoveiete, pois seu uso para a determiação de a exige o cálculo de todos os termos ateriores, ou seja, de a, a 3,..., a 1. Tetemos, etão, defiir uma fórmula para o termo geral que depeda apeas de a 1 e de, e ão de a 1, seguido a mesma ideia apresetada o Problema 7 da Seção 6.1. Comecemos escrevedo os termos da sequêcia em relação a a 1. Para o segudo termo ão há mistério, já que a fórmula recursiva os diz diretamete que a = a 1 +. Para escrever o terceiro termo em fução de a 1, combiamos a fórmula recursiva com a expressão de a dada acima, obtedo a 3 = a + = a 1 + + = a 1 +. fórmula a recursiva Repetido esse procedimeto para os termos a 4, a 5 e a 6, ecotramos a 4 = a 3 + = a 1 + + = a 1 + 3 = 16 a 5 = a 4 + = a 1 + 3 + = a 1 + 4 = 18 a 6 = a 5 + = a 1 + 4 + = a 1 + 5 = 0

55 Capítulo 6. Sequêcias e progressões Observado atetamete os úmeros destacados em vermelho as expressões acima, otamos que cada um deles é exatamete uma uidade meor que o ídice do termo correspodete, de modo que, a = a 1 + ( 1) a 3 = a 1 + (3 1) a 4 = a 1 + (4 1) a 5 = a 1 + (5 1) a 6 = a 1 + (6 1) Geeralizado essa ideia para a, o eésimo termo da sequêcia que correspode ao úmero de poltroas a eésima fileira obtemos a = a 1 + ( 1). Logo, a fórmula do termo geral é a = 10 + ( 1). Sequêcias as quais a difereça etre dois termos sucessivos é costate, como ocorre o exemplo acima, são chamadas progressões aritméticas. Progressão aritmética Uma progressão aritmética é uma sequêcia a forma a 1, a 1 + r, a 1 + r, a 1 + 3r, a 1 + 4r, a 1 + 5r, em que a 1 é o primeiro termo e r é a razão da sequêcia. O termo geral de uma progressão aritmética é a = a 1 + ( 1)r. A Figura 6.6 mostra o gráfico da progressão aritmética do Problema 1. Note que o gráfico é formado apeas pelos potos vermelhos. Além disso, a coordeada vertical de cada poto forece o úmero de cadeiras da fileira do teatro cujo úmero é dado pela coordeada horizotal: (1, 10), (, 1), (3, 14), (4, 16), (5, 18), (6, 0),... Figura 6.6: Número de poltroas em fução da fileira do teatro. A liha tracejada que aparece o gráfico serve apeas para idicar que a progressão aritmética é a versão discreta da fução liear (ou afim), a qual a variável que aqui deomiamos só pode assumir os valores iteiros positivos 1,, 3,... A razão r da sequêcia é a forma discreta da icliação da reta associada à fução afim. Coforme idicado em verde a Figura 6.6, o valor de r correspode à razão etre a variação do úmero de cadeiras e a variação do úmero da fileira do teatro. Uma vez que a variação de uma uidade a horizotal provoca uma variação de duas uidades a vertical, temos r = a = 1 =. Vejamos, agora, algus exercícios relacioados a progressões aritméticas. Problema. Progressão com razão e termo iicial dados Ache o termo geral da progressão que começa em 1 e tem razão 3. Calcule a 100. Segudo o euciado, a 1 = 1 e r = 3. Logo,

Seção 6.3. Progressões aritméticas 553 Você pode simplificar essa expressão e escrever a = + 3. a = a 1 + ( 1)r = 1 + 3( 1). A partir da expressão acima, ecotramos a 100 = 1 + 3(100 1) = 1 + 3 99 = 1 + 97 = 98. Agora, tete o Exercício 1. Problema 3. Progressão dada pelos dois primeiros termos Ache o termo geral da progressão aritmética 104, 101,... e calcule o vigésimo termos da sequêcia. O euciado do problema os forece a 1 = 104. Para determiar a razão, basta lembrar que a = a 1 + r, de modo que Assim, r = a a 1 = 101 104 = 1 a = a 1 + ( 1)r = 104 1( 1). Fialmete, o vigésimo termo da progresão é a 0 = 104 1(0 1) = 104 1 19 = 796. Agora, tete o Exercício. Problema 4. Gráfico de uma progressão aritmética Um grupo de atletas decidiu criar um clube e espera obter a adesão de 40 sócios já o mês de iauguração. Além disso, o grupo pretede atrair sócios a uma taxa costate até atigir a marca de 400 pessoas o décimo segudo mês de fucioameto do clube. Escreva o termo geral da progressão que forece o úmero de sócios do clube a cada mês (desde sua fudação) e trace o gráfico dessa progressão. Como a taxa de crescimeto do úmero de sócios é costate, podemos modelar o problema usado uma progressão aritmética cujo primeiro termo é a 1 = 40. Para ecotrar a razão r, basta dividir a variação do úmero de sócios pela variação do úmero de meses. Como o úmero de sócios deverá crescer o equivalete a 400 40 pessoas em 1 1 meses, temos r = a 400 40 = = 1980 1 1 11 = 180. Logo, espera-se que o clube teha 180 adesões por mês, o que sigifica que, o mês, o úmero de sócios será dado por a = 40 + ( 1)180. Figura 6.7: Número de sócios de um clube. O gráfico que mostra o úmero de sócios a cada mês do primeiro ao de fucioameto do clube é dado a Figura 6.7. Observe que iserimos dez termos etre o primeiro e

554 Capítulo 6. Sequêcias e progressões o décimo segudo termos da progressão, que são cohecidos. A esse tipo de problema o qual se itroduz termos em um itervalo dá-se o ome de iterpolação aritmética. Agora, tete o Exercício 7. Problema 5. Progressão dada por dois termos quaisquer Ache o termo geral da progressão aritmética cujo quito termo é 16 e cujo 13 o termo é 10. Para escrever o termo geral de uma progressão aritmética, é preciso determiar seu termo iicial, a 1, e sua razão, r. Para tato, podemos usar o fato de que os termos a 5 = 16 e a 13 = 10 são cohecidos e motar o sistema liear { a 5 = a 1 + (5 1)r a 13 = a 1 + (13 1)r { a 1 + 4r = 16 a 1 + 1r = 10 Isolado a 1 a primeira equação, obtemos a 1 = 16 4r. Substituido, etão, essa expressão a seguda equação do sistema, chegamos a (16 4r) + 1r = 10 8r = 86 r = 86/8 = 10,75. Fialmete, lembrado que a 5 = 16, temos a 1 + 4 10,75 = 16 a 1 = 16 43 = 7, de modo que a = 7 + 10,75( 1). Agora, tete os Exercícios 3 e 4. Problema 6. Progressão que evolve uma variável Sabe-se que os três primeiros termos de uma progressão aritmética são x 1, 3x + 4 e 6x +. Determie x e o termo geral da progressão. Como os três termos acima estão em progressão aritmética, é correto supor que a difereça etre dois valores sucessivos seja costate e igual à razão r. Logo, Resolvedo a equação em x obtemos: r = (3x + 4) (x 1) = (6x + ) (3x + 4). (3x + 4) (x 1) = (6x + ) (3x + 4) x + 5 = 3x x = 7. Uma vez descoberto o valor de x, determiamos a 1 e r fazedo a 1 = x 1 = 7 1 = 6, r = (3x + 4) (x 1) = x + 5 = 7 + 5 = 19.

Seção 6.3. Progressões aritméticas 555 Assim, a = 6 + 19( 1). Agora, tete o Exercício 11. Problema 7. Progressão a partir de uma soma e um produto A soma dos três primeiros termos de uma progressão aritmética crescete é igual a 18 e o produto desses termos é 10. Determie esses três úmeros e o termo geral da sequêcia. Supohamos que os três primeiros termos da progressão sejam a 1, a e a 3. Segudo o euciado, temos { a 1 + a + a 3 = 18 a 1 a a 3 = 10 Como ão cohecemos a razão, r, que defie a progressão, reescrevemos os três primeiros termos a forma a 1, a = a 1 + r, a 3 = a 1 + r. Substituido, etão, as expressões de a e a 3 o sistema acima, chegamos a { a 1 + (a 1 + r) + (a 1 + r) = 18 a 1 (a 1 + r) (a 1 + r) = 10 Isolado a 1 a primeira equação desse sistema, temos 3a 1 + 3r = 18 3a 1 = 18 3r a 1 = 6 r. Fialmete, substituido a expressão de a 1 a seguda equação do sistema, obtemos (6 r) (6 r + r) (6 r + r) = 10 (6 r) 6 (6 + r) = 10 6 (36 r ) = 10 16 6r = 10 6r = 96 r = 16 r = ± 16 = ±4. Como o auciado afirma que a progressão é crescete, abadoamos a razão egativa r = 4 e adotamos r = 4. Assim, a 1 = 6 r = 6 4 = a = a 1 + r = + 4 = 6 a 3 = a + r = 6 + 4 = 10 e o termo geral é a = a 1 + r( 1) = + 4( 1). Agora, tete o Exercício 1. Problema 8. Estações de rádio FM A ANATEL determia que as emissoras de rádio FM utilizem as frequêcias de 87,9 a 107,9 MHz, e que haja uma difereça de 0, MHz etre emissoras com frequêcias vizihas.

556 Capítulo 6. Sequêcias e progressões a) Escreva o termo que forece a frequêcia da i-ésima rádio. b) A 86 a frequêcia é reservada a uma rádio comuitária. Determie a frequêcia dessa rádio. c) Determie quatas emissoras FM podem fucioar em uma mesma região. a) As frequêcias das emissoras FM formam uma progressão aritmética com razão igual a 0, MHz e frequêcia iicial de 87,9 MHz. Assim, a i = 87,9 + 0,(i 1). b) a 86 = 87,9 + 0,(86 1) = 87,9 + 17,0 = 104,9 MHz. c) A eésima e última emissora tem frequêcia a = 107,9 MHz, de modo que Observe que há 0/0, = 100 itervalos de 0, MHz etre as frequêcias de 87,9 MHz e 107,9 MHz. Dessa forma, o úmero de emissoras é igual a 101. 87,9 + 0,( 1) = 107,9 0,( 1) = 0 1 = 100 = 101. Logo, podem existir 101 emissoras em cada região. Agora, tete os Exercícios 17 e 31. Soma dos termos de uma progressão aritmética No Problema 1, o úmero de poltroas da i-ésima fileira de um teatro era dado pelo termo geral a i = 10 + (i 1). Nesse caso, se quiséssemos descobrir a capacidade do teatro, supodo que ele tivesse 1 fileiras de assetos, teríamos que calcular 1 [10 + (i 1)]. Não seria difícil determiar o valor desse somatório usado as propriedades apresetadas a Seção 6.. Etretato, como somas desse tipo são muito frequetes, é mais prático estabelecer uma fórmula geral para a soma dos primeiros termos de uma progressão aritmética qualquer e aplicá-la sempre que ecessário. Cosideremos, etão, a progressão com termo geral a i = a 1 + r(i 1), cuja soma dos primeiros termos é dada por a i = a 1 + r(i 1). Aplicado as propriedades do somatório, obtemos

Seção 6.3. Progressões aritméticas 557 a 1 + r(i 1) = a 1 + r(i 1) Propriedade 1. = a 1 [ 1] + r [ (i 1)] Propriedade 3. = a 1 [ 1] + r [ i] r [ 1] Propriedade. i = ( + 1) e 1 = = a 1 + r ( + 1) r Aplicado as fórmulas de somatório. = a 1 + r( + 1) r Adotado um deomiador comum. = [a 1 + r( + 1) r] Podo em evidêcia. = [a 1 + r( 1)] Simplificado o resultado. O quadro abaixo resume o resultado que acabamos de obter. Soma dos termos de uma progressão aritmética A soma dos primeiros termos de uma progressão aritmética de termo geral a i = a 1 + (i 1)r é Observe que, usado a expressão de a, é fácil obter a seguda fórmula a partir da primeira. S = [a 1 + ( 1)r] ou S = [ a 1 + a ]. Proto! Agora que dispomos de uma fórmula geral, podemos aplicá-la ao problema do teatro, bastado para isso que defiamos = 1, a 1 = 10, e r = : 1 a i = 1 [ 10 + (1 1)] = 6 [0 + 11] = 5. Logo, o teatro tem capacidade para 5 espectadores. Exemplo 9. Soma dos termos de uma progressão aritmética Para determiar a soma dos 0 primeiros termos da progressão cujo termo geral é a i = 3 + (i 1)5, basta substituir a 1 = 3, r = 5 e = 0 a fórmula acima, o que forece S 0 = 0 [ 3 + (0 1) 5] = 10 [6 + 19 5] = 1010. Problema 10. Figuras com palitos Cosidere a sucessão de figuras apresetada a Figura 6.8. figura é formada por um cojuto de palitos de fósforo. Observe que cada

558 Capítulo 6. Sequêcias e progressões (1) () (3) Figura 6.8: Figuras formadas por palitos. a) Supoha que essas figuras represetem os três primeiros termos de uma sucessão de figuras que seguem a mesma lei de formação. Supoha também que F 1, F e F 3 idiquem, respectivamete, o úmero de palitos usados para produzir as Figuras 6.8(1), 6.8() e 6.8(3). Escreva a expressão geral de F, que forece o úmero de fósforos utilizados para formar a eésima figura dessa sucessão. b) Calcule o úmero de fósforos da décima figura da sequêcia. c) Determie o úmero de fósforos ecessários para que seja possível exibir cocomitatemete todas as primeiras 50 figuras. a) Cotado os palitos mostrados a Figura 6.8, observamos que F 1 = 4, F = 3 4 = 1 e F 3 = 5 4 = 0. Cocluímos, etão, que, etre duas figuras sucessivas, há um aumeto de dois quadrados formados por 4 palitos, o que forece um total de 8 palitos. Sedo assim, o úmero de palitos da eésima figura será dado pelo termo geral de uma progressão aritmética de razão 8 e termo iicial 4, ou seja, F = 4 + ( 1) 8. b) Aplicado a fórmula obtida o item acima, obtemos F 10 = 4 + (10 1) 8 = 76. Logo, a décima figura tem 76 palitos de fósforo. c) A soma do úmero de palitos empregados para exibir cada uma das primeiras 50 figuras é dada por 50 F = 50 [ 4 + (50 1)8] = 5[8 + 49 8] = 10000. =1 Portato, são ecessários 10.000 palitos de fósforo para exibir cocomitatemete as 50 figuras. Agora, tete os Exercícios e 4.

Seção 6.3. Progressões aritméticas 559 Problema 11. Soma dos úmeros ímpares Calcule 1 + 3 + 5 + 7 + 9 +... + 99. Notamos que os valores somados correspodem aos úmeros ímpares de 1 a 99, os quais podem ser descritos pela progressão aritmética que tem termo iicial a 1 = 1 e razão. Nesse caso, o termo geral é a i = 1 + (i 1). Embora saibamos que os termos iicial e fial da sequêcia são, respectivamete, a 1 = 1 e a = 99, aida ão cohecemos o valor de, ou seja ão sabemos quatos termos devem ser somados. Felizmete, esse valor pode ser facilmete ecotrado igualado a expressão de a a 99: a = 1+( 1) = 99 1+ = 99 = 100 = 50. Logo, a soma desejada correspode a 50 1 ( 1). Usado, etão, seguda fórmula apresetada o quadro acima, obtemos Agora, tete o Exercício 16. S = [ a 1 + a ] = 50 [ 1 + 99 ] = 50 50 = 500. Problema 1. Número de fileiras de um teatro Pretede-se costruir um teatro de modo que sua sala teha 10 poltroas a primeira fila, 1 a seguda, 14 a terceira, e assim por diate. Quatas fileiras o teatro deve ter para que comporte, ao meos, 500 pessoas setadas? Temos, aqui, um teatro similar àquele apresetado o Problema 1, já que a primeira fileira tem 10 poltroas e há um acréscimo de assetos etre fileiras sucessivas. Nesse caso, o úmero de poltroas da i-ésima fila é dado pelo termo geral da progressão aritmética com termo iicial a 1 = 10 e razão, ou seja, a i = 10 + (i 1). Etretato, o objetivo do problema ão é apeas o cálculo do úmero total de poltroas do teatro, mas a determiação de um úmero de fileiras,, que faça com que o teatro comporte o míimo 500 espectadores. Assim, otado que o total de poltroas das fileiras correspode a S = [ 10 + ( 1) ] = [0 + ] = 9 +, determiamos o valor de exigido que a expressão acima seja maior ou igual ao úmero desejado de poltroas, ou seja, S 500 + 9 500 + 9 500 0. Para resolver essa iequação, determiamos o discrimiate da equação +9 500 = 0, = 9 4 1 ( 500) = 081

560 Capítulo 6. Sequêcias e progressões e usamos a fórmula de Bháskara para obter as suas raízes: = 9 ± 081 1 9 ± 45,618. Portato, as raízes da equação associada são = 18,309 e = 7,309. Voltado, etão, à iequação origial, podemos ecotrar sua solução usado a estratégia apresetada a Seção 4.1, que cosiste em esboçar o gráfico da fução f() = +9 500 e, a partir dele, determiar os valores de para os quais f() 0. Observado que o termo que multiplica é positivo (ou seja, a > 0), cocluímos que o gráfico de f() tem cocavidade para cima, como mostra a Figura 6.9, de modo que a solução da iequação é dada por Figura 6.9: Esboço do gráfico de f() = + 9 500. 7,309 ou 18,309. Fialmete, como deve ser um úmero iteiro e positivo, cocluímos que 19, ou seja, a sala precisa ter ao meos 19 fileiras de poltroas. Agora, tete os Exercícios 9 e 3. Exercícios 6.3 1. O termo iicial e a razão de algumas progressões aritméticas são dados abaixo. Escreva o termo geral e determie o termo idicado. a) a 1 = 500, r = 5. a 1? b) a 1 = 1/3, r = 1/6. a 35? c) a 1 = 100, r = 4. a 51? d) a 1 =, r = 3. a 18?. Os dois primeiros termos de algumas progressões aritméticas são dados abaixo. Escreva o termo geral e determie o termo idicado. a) 4, 1,... a 1? b) 1,5; 7;... a 10? c) 3, 1,... a 0? d) π, 6π,... a 5? 3. Determie o termo geral de uma progressão aritmética sabedo que seu quarto termo é 5 e seu décimo termo é 33. 4. Determie o termo geral de uma progressão aritmética sabedo que seu sexto termo é 00 e seu décimo quarto termo é 168. 5. Determie o termo geral de uma progressão aritmética sabedo que seu 100 termo é 500 e seu 110 termo é 1045. 6. Determie o termo geral de uma progressão aritmética sabedo que seu 10 termo é 3 e seu termo é 1. 7. Trace o gráfico da progressão defiida por a = 10 ( 1). 5 8. Trace o gráfico da progressão defiida por a = 4 + ( 1). 9. Trace um gráfico de barras que represete a progressão defiida por a = 4 + ( 1). 10. Sabedo que os três primeiros termos de uma progressão aritmética valem x, x + 3 e 7x 4, determie o termo geral da progressão. 11. Supodo que os três primeiros termos de uma progressão aritmética sejam 5 + x, 11 + 4x e 13 + 8x, determie x e o termo geral da progressão. 1. A soma dos três primeiros termos de uma progressão aritmética decrescete é,5 e o produto do primeiro pelo terceiro termo é igual a 14. Determie os três primeiros termos e o termo geral da sequêcia. 13. A soma dos três primeiros termos de uma progressão aritmética crescete é 36 e a soma dos quadrados desses termos é 530. Determie os três termos e o termo geral da sequêcia. 14. A soma dos três primeiros termos de uma progressão aritmética decrescete é 7 e o produto desses termos é 405. Determie os três termos e o termo geral da sequêcia. 15. Em uma progressão aritmética crescete, a soma dos dois primeiros termos é igual ao terceiro termo, e o produto dos dois primeiros termos é 18. Determie o termo geral da sequêcia. 16. Calcule as somas abaixo. a) Todos os iteiros pares meores ou iguais a 100. b) Os 100 primeiros iteiros positivos pares. c) Os primeiros 0 termos da progressão aritmética 3, 8,...

Seção 6.3. Progressões aritméticas 561 17. No mês correte, uma empresa registrou uma receita de R$ 600 mil e uma despesa de R$ 800 mil. Para voltar a ter lucro, a empresa pretede mater costate a receita, e reduzir suas despesas, mesalmete, em exatos R$ 45 mil. a) Escreva a expressão do termo geral da progressão aritmética que forece o valor da despesa em fução de, o úmero de meses trascorridos, cosiderado como mês iicial o correte. b) Calcule em quatos meses a despesa será meor que a receita. 18. No cetro de um mosaico formado apeas por pequeos ladrilhos, um artista colocou 4 ladrilhos ciza. Em toro dos ladrilhos cetrais, o artista colocou uma camada de ladrilhos bracos, seguida por uma camada de ladrilhos ciza, e assim sucessivamete, alterado camadas de ladrilhos bracos e ciza, como ilustra a figura abaixo, que mostra apeas a parte cetral do mosaico. a) Determie o úmero de ladrilhos da 10ª camada ciza. b) Supodo que o mosaico teha exatamete 10 camadas de cada cor, calcule o úmero de ladrilhos bracos e o úmero de ladrilhos ciza empregados a sua costrução. 19. Um site de relacioameto tem 00 membros e plaeja aumetar o úmero de itegrates usado uma estratégia agressiva de propagada. O site espera que 100 ovos membros etrem a primeira semaa após a propagada, 00 etrem a seguda semaa, 300 etrem a terceira semaa, etc. Caso essa estratégia dê certo, determie em quatas semaas o site terá 10000 membros. 0. Um auditório tem poltroas orgaizadas em fileiras. A terceira fileira tem 8 poltroas e a quarta tem 3 poltroas. Sabedo que o úmero de poltroas aumeta de forma costate etre fileiras sucessivas, e que o auditório tem 30 fileiras de poltroas, a) Determie o úmero de poltroas da 1 a fileira. b) Determie o úmero de poltroas da -ésima fileira, em que é um úmero atural etre 1 e 30. c) Determie o úmero de poltroas do auditório. 1. A seguda fileira de um teatro tem 0 poltroas e a quita tem 6 poltroas. Sabedo que o úmero de poltroas aumeta de forma costate etre fileiras sucessivas e que o auditório possui 740 poltroas, determie o úmero total de fileiras do auditório.. Um barco será usado para recolher 0 boias que foram colocadas em liha reta, como mostra a figura abaixo. A primeira boia está a 00 m do píer de ode partirá o barco, e cada uma das demais boias está a uma distâcia de 100 m da aterior. Como o barco é muito pequeo, só é possível trasportar uma boia por vez. Desse modo, o barqueiro pegará a primeira boia e retorará ao píer. Em seguida, ele buscará a seguda boia, retorado ovamete ao píer. Esse processo será repetido até que todas as boias teham sido recolhidas. a) Determie a distâcia percorrida pelo barco (ida e volta) para buscar cada uma das quatro primeiras boias. b) Escreva a fórmula do termo geral, a, da progressão que forece a distâcia percorrida pelo barco (ida e volta) para resgatar apeas a -ésima boia. c) Determie a distâcia total percorrida pelo barco para recolher todas as boias. 3. Um atleta que está se preparado para a maratoa pretede correr 15 km diariamete a primeira semaa de treio, e aumetar a distâcia em 1,5 km a cada semaa, até atigir a marca de 4 km. a) Escreva o termo geral da progressão que forece a distâcia diária percorrida pelo atleta a i-ésima semaa. b) Determie qual será a última semaa de preparação do atleta, que é aquela em que ele estará corredo os 4 km. c) Lembrado que cada semaa é composta por 7 dias, determie quatos quilômetros o atleta correrá, ao todo, em sua preparação. 4. Cosidere as figuras apresetadas a seguir, que represetam os três primeiros termos de uma sucessão de figuras formadas por palitos de fósforo. a) Supoha que F 1, F e F 3 idiquem, respectivamete, o úmero de palitos usados para produzir as Figuras 1, e 3. Escreva a expressão geral de F i (o úmero de fósforos usados para formar a Figura i) e calcule F 10.

56 Capítulo 6. Sequêcias e progressões b) Supoha que você deseje exibir cocomitatemete as figuras dessa sucessão, começado pela primeira. Quatas figuras é possível exibir com 360 fósforos? 5. Uma pessoa emite um som de 60 decibéis em um local em que há eco. a) Se que cada eco tem 3,98 decibéis a meos que o som aterior, escreva a progressão que descreve a altura (em decibéis) do i-ésimo som, começado pelo som origial e icluido os ecos. b) Se o som mais baixo que o ouvido humao cosegue perceber tem 0 decibel, quatos ecos o som de 60 decibéis produz? 6. Uma pilha de toras de madeira tem 30 trocos a camada iferior, 9 trocos a seguda camada, 8 a terceira, e assim sucessivamete, até a última camada, que tem 1 toras. Calcule o úmero total de toras da pilha. 7. Os participates da maratoa de Ipatiga têm uma razão a mais para correr: os vultosos prêmios da prova. O primeiro colocado fatura R$ 1.500, o segudo recebe R$ 1.45, o terceiro embolsa R$ 1.350, e assim por diate, até o 0 o colocado. a) Escreva o termo geral da progressão que forece o prêmio recebido em relação à posição de chegada do participate. b) Determie o valor a ser recebido pelo 1 o colocado. c) Calcule o valor gasto pela orgaização da prova para pagar os 0 prêmios. 8. Para cobrir o piso de uma sala que tiha formato trapezoidal, João cortou várias tábuas de madeira. A primeira tábua tiha 1, m de comprimeto, a seguda tiha 1,4 m, a terceira tiha 1,6 m, e assim por diate. a) Escreva a fórmula de a i, o termo geral da progressão, que forece o comprimeto da i-ésima tábua. b) Se João gastou um total de 39 m em tábuas, calcule o úmero de tábuas usadas para cobrir o piso. 9. Um órgão de proteção do meio ambiete vem acompahado o ritmo de desmatameto em uma determiada região do país. A tabela abaixo forece a área desmatada aualmete desde o iício do moitorameto. Ao Área (km ) 1 36 48 3 60 a) Escreva uma progressão que foreça a área desmatada o ao i, em km. b) Sem eumerar o que acotece ao a ao, determie a área desmatada o ao 11. c) Determie em que ao a área total desmatada (somado o desflorestameto ao a ao) atigirá 1800 km. 30. A tabela abaixo forece a expectativa de sobrevida dos brasileiros, segudo os dados de 013 do IBGE. Idade (aos) Sobrevida (aos) 1 75,0 74,1 3 73, a) Escreva a fórmula de a, o termo geral da progressão que forece a sobrevida de um brasileiro com aos. b) Calcule a sobrevida aproximada de uma pessoa com 50 aos. c) Essa progressão só forece uma boa aproximação da sobrevida para quem tem até 60 aos. Supodo que ela valesse para > 60, calcule em que idade a sobrevida seria aproximadamete igual a zero. 31. Cada caal de TV UHF tem uma frequêcia fixa. A frequêcia do caal 14, por exemplo, é 471,5 MHz, equato a do caal 15 é 477,5 MHz, e a do caal 16 é 483,5 MHz. Com base esses dados, a) Escreva a fórmula de a, o termo geral da progressão que forece a frequêcia (em MHz) do caal. b) Determie a frequêcia do caal 5. c) Em breve, a faixa que vai de 700 a 800 MHz será destiada à telefoia com tecologia 4G. Sem eumerar as frequêcias, determie o primeiro caal de TV UHF que será suprimido quado isso ocorrer. 3. Uma curva é composta por segmetos de reta. A figura abaixo ilustra a parte da curva composta pelos 1 primeiros segmetos. Sabe-se que o primeiro segmeto mede 1 cm, o segudo mede 1,5 cm, o terceiro mede cm, e assim por diate. a) Quato mede o i-ésimo trecho da curva? b) Se a curva é formada por 30 segmetos, qual é o seu comprimeto total? c) Quatos trechos tem uma curva com comprimeto total de 540 cm? 33. Joaquim faz uma revisão de seu carro a cada 10.000 km. O custo das revisões do carro de Joaquim varia de acordo com a tabela abaixo. Revisão Preço (R$) 1 40 80 3 30