Geometria plana. Resumo teórico e eercícios. 3º olegial / urso tensivo. utor - Lucas ctavio de Souza (Jeca)
Relação das aulas. Página ula 01 - onceitos iniciais... 0 ula 0 - Pontos notáveis de um triângulo... 17 ula 03 - ongruência de triângulos... 7 ula 04 - Quadriláteros notáveis... 36 ula 05 - Polígonos conveos... 45 ula 06 - Ângulos na circunferência... 58 ula 07 - Segmentos proporcionais... 70 ula 08 - Semelhança de triângulos... 80 ula 09 - Relações métricas no triângulo retângulo... 94 ula 10 - Relações métricas num triângulo qualquer... 107 ula 11 - ircunferência e círculo... 11 ula 1 - Inscrição e circunscrição de polígonos regulares... 131 ula 13 - Áreas das figuras planas... 141 utor - Lucas ctavio de Souza (Jeca) Jeca 01
studos sobre Geometria realizados pelo prof. Jeca (Lucas ctavio de Souza) (São João da oa Vista - SP) Geometria plana ula 01 onceitos iniciais de Geometria Plana. I) Reta, semirreta e segmento de reta. II) Ângulo. - lado - lado - vértice ângulo ou ângulo reta semirreta segmento semirreta efinições. a) Segmentos congruentes. ois segmentos são congruentes se têm a mesma medida. b) Ponto médio de um segmento. Um ponto P é ponto médio do segmento se pertence ao segmento e divide em dois segmentos congruentes. c) Mediatriz de um segmento. É a reta perpendicular ao segmento no seu ponto médio efinições. a) Ângulo é a região plana limitada por duas semirretas de mesma origem. b) Ângulos congruentes. ois ângulos são ditos congruentes se têm a mesma medida. c) issetriz de um ângulo. É a semirreta de origem no vértice do ângulo que divide esse ângulo em dois ângulos congruentes. IIa) Unidades de medida de ângulo. a) Grau. medida de uma volta completa é 360º. 1º = 60' 1' = 60" º - grau ' - minuto " - segundo IIb) lassificação dos ângulos. = 0º - ângulo nulo. 0º < < 90º - ângulo agudo. = 90º - ângulo reto. 90º < < 180º - ângulo obtuso. = 180º - ângulo raso. b) Radiano. medida de uma volta completa é radianos. Um radiano é a medida do ângulo central de uma circunferência cuja medida do arco correspondente é igual à medida do raio da circunferência. efinições. a) Ângulos complementares. É o par de ângulos cuja soma das medidas é 90º. b) Ângulos suplementares. É o par de ângulos cuja soma das medidas é 180º. IIc) Ângulos formados por duas retas paralelas cortadas por uma reta transversal. r r // s b a c d t a) Ângulos correspondentes (mesma posição). eemplo - b e f. Propriedade - são congruentes. b) Ângulos colaterais (mesmo lado). eemplo de colaterais internos - h e c. eemplo de colaterais eternos - d e g. Propriedade - são suplementares (soma = 180º) s f e g h c) Ângulos alternos (lados alternados). eemplo de alternos internos - b e h. eemplo de alternos eternos - a e g. Propriedade - são congruentes. Jeca 0
III) Triângulos. vértice lado e i i - ângulo interno e - ângulo eterno Num mesmo vértice, tem-se i + e = 180º Ângulo eterno. ângulo eterno de qualquer polígono conveo é o ângulo formado entre um lado e o prolongamento do outro lado. lassificação dos triângulos. a) quanto aos lados: - triângulo equilátero. - triângulo isósceles. - triângulo escaleno. b) quanto aos ângulos: - triângulo retângulo. - triângulo obtusângulo. - triângulo acutângulo. Propriedades dos triângulos. 1) m todo triângulo, a soma das medidas dos 3 ângulos internos é 180º. ) m todo triângulo, a medida de um ângulo eterno é igual à soma das medidas dos ângulos internos não adjacentes. + + = 180º e e = + e 3 e 1 e 3) m todo triângulo, a soma das medidas dos 3 ângulos eternos é 360º. e + e + e = 360º 1 3 4) m todo triângulo isósceles, os ângulos da base são congruentes. bservação - base de um triângulo isósceles é o seu lado diferente. ercícios. 01) fetue as operações com graus abaio solicitadas. a) 48º 7' 39" + 17º 51' 4" c) 90º - 61º 14' 44" e) 4 (68º 3' 54") b) 106º 18' 5" + 17º 46' 39" d) 136º 14' - 89º 6' 1" f) 3 (71º 3' 5") Jeca 03
g) 15º 39' 46" 4 h) 118º 14' 5" 3 i) 15º 1' 5" 5 j) 90º 13 0) etermine o ângulo que é o dobro do seu complemento. 03) etermine o ângulo que ecede o seu suplemento em 54º 04) etermine o ângulo cuja diferença entre o seu suplemento e o triplo do seu complemento é igual a 54º. 05) ois ângulos são suplementares. menor é o complemento da quarta parte do maior. etermine as medidas desses ângulos. 06) s medidas de dois ângulos somam 14º. etermine esses ângulos sabendo que o suplemento do maior é igual ao complemento do menor. 07) etermine um ângulo sabendo que o suplemento da sua quinta parte é igual ao triplo do seu complemento. Jeca 04
08) m cada figura abaio, determine a medida do ângulo. a) b) r 116º r // s s 41º c) d) (Tente fazer de outra maneira) r r 53º r // s 53º r // s 39º s 39º s e) f) r 55º r // s r 35º 6º s 40º 38º s 47º g) h) r 8º r // s 54º s 88º 1º 16º i) j) = 73º 11º 143º k) = l) 46º 158º 38º 67º Jeca 05
09) figura abaio mostra dois quadrados sobrepostos. Qual é o valor de + y, em graus? 10) Na figura abaio, estão representados um triângulo equilátero e um retângulo. Sendo e y as medidas dos ângulos assinalados, determine a soma + y. y y 11) Na figura abaio, determinar + y + z + t. 1) Na figura abaio, determinar o valor da soma das medidas dos ângulos, y, z, t e u. 30º y y z t u z t 13) Na figura abaio, calcule o valor de em função de m. m 4m 3m 14) (IM-SP) Sejam,,, e as medidas em graus dos ângulos,,, e da figura, respectivamente. soma + + + + é igual a: a) 10º b) 150º c) 180º d) 10º e) 40º 15) (IT-SP) m um triângulo de papel fazemos uma dobra PT de modo que o vértice coincida com o vértice, e uma dobra PQ de modo que o vértice coincida com o ponto R de P. Sabemos que o triângulo QR formado é isósceles com RQ = 100º; calcule as medidas dos ângulos internos do triângulo. 16) etermine, sabendo-se que é um retângulo e que e são pontos médios dos lados e, respectivamente. Q R T 5º P Jeca 06
Respostas desta aula. 01) a) 176º 19' 1" b) 14º 05' 04" c) 8º 45' 16" d) 46º 47' 48" e) 73º 35' 36" f) 14º 11' 36" g) 31º 4' 56" h) 39º 4' 57" i) 5º 0' 34" j) 06º 55' 3" 0) 60º 03) 117º 04) 7º 05) 60º e 10º 06) 17º e 107º 07) 5º / 7 08) a) 41º b) 64º c) 14º d) 14º e) 47º f) 36º g) 6º h) 33º i ) 75º j) 34º k) 113º l) 53º 09) 70º 10) 40º 11) 10º 1) 180º 13) m 14) c 15) 70º, 80º e 30º 16) 5º Importante para mim. Se você, resolvendo esta lista, descobrir alguma resposta errada, por favor, mande uma mensagem especificando qual a resposta errada para o e-mail jecajeca@uol.com.br Somente assim, poderei corrigir eventuais erros. brigado. Jeca Proibida a reprodução deste material sem a autorização epressa do autor Jeca 07
studos sobre Geometria realizados pelo prof. Jeca (Lucas ctavio de Souza) (São João da oa Vista - SP) Geometria plana onceitos iniciais de Geometria Plana. ercícios complementares da aula 01. 01) Nas figuras abaio, determinar o valor de. a) b) r r 43º r //s r // s s s 57º c) 45º r d) 45º r r // s r // s 6º s 6º s e) r 147º f) (Resolver de forma diferente da letra c)) r // s 8º 16º r s 80º s r // s g) r h) r (Resolver de forma diferente da letra g)) r // s 140º 65º r // s 140º 65º s s i) 4º 150º r j) 48º 150º r 5-1º r // s s 43º 40º r // s s k) 55º l) r r // s s 85º 135º Jeca 08
m) r r // s t // u n) r r // s t // u s 43º t 58º s u t u o) p) 6º 5º 79º 67º q) r) 5º 1 81º 18 15 s) (Triângulo isósceles) = t) (Triângulo isósceles) = 38º 138º u) = v) 15º y y 6º 98º ) = = z) = = 98º y y Jeca 09
0) Nas figuras abaio, determinar o valor de. a) b) 37º 73º 116º 148º 4º 31º c) d) 34º 101º 38º bissetriz 18º 36º e) é o ponto de encontro das 3 bissetrizes. f) e são bissetrizes. 40º 7º 4º g) h) 68º r r // s 60º s 5y 3y + 30º i) j) 9 43º 6 1 6º 60º k) é um quadrado. l) 30º 118º Jeca 10
m) = n) = = = e = 38º o) = = = = e = p) =, = e =. 44º q) é um triângulo equilátero r) e G é um quadrado. é um triângulo equilátero e é um quadrado. G s) é um triângulo equilátero t) e é um quadrado. é um triângulo equilátero, G e são quadrados. G u) e são triângulos v) equiláteros. = e =. 70º 65º ) z) = = = e =. = é bissetriz de  é bissetriz de Â. 38º Jeca 11
03) Na figura abaio, determine, y e z. 04) Na figura abaio, determinar, y e z. 37º z y 4 z y 05) Na figura abaio, determinar, y, z e t. 06) Na figura abaio, sendo a bissetriz do ângulo, determinar + y. 40º t 4 z y y 4 07) Na figura abaio, determinar o valor de. 08) Na figura abaio, determinar o valor do ângulo, sabendo-se que é bissetriz de, é bissetriz de e é bissetriz de. 57º 8º 09) Na figura abaio, determine os valores de, y e z. z + 6º z - 84º y 10) eterminar os valores de, y e z, sabendo que os mesmos formam uma progressão aritmética de razão 10º. z y Jeca 1
11) (UVST) Na figura abaio, determine o valor de. t t // s s 10º 1) Na figura abaio, determinar o valor da soma + y + z + t + u + v, sabendo-se que é um triângulo inscrito no quadrado. y z v 140º u t 13) Na figura abaio, = = =. etermine o valor de. 14) Na figura abaio, = = e é a bissetriz do ângulo. etermine o valor de. 15) Na figura abaio, determine a medida do ângulo em função de y. 16) (UVST) Na figura, = =. etermine y em função de. 5y y y y 17) Na figura abaio mostre que vale a relação : a + b = c + d. r a c b r // s 18) Um dos ângulos internos de um triângulo isósceles mede 100º. eterminar a medida do ângulo agudo formado pelas bissetrizes dos outros dois ângulos internos. d s 19) Mostre que a soma das medidas dos ângulos eternos de um triângulo é 360º. 0) Na figura abaio, determinar em função de y e de z. e y r r // s e 1 z s e 3 Jeca 13
1) Na figura abaio, o quadrado é cortado por duas retas paralelas, r e s. om relação aos ângulos e y podemos afirmar que : a) = y b) = -y c) + y = 90º d) - y = 90º e) + y = 180º r s ) Na figura abaio, determinar o valor da soma das medidas dos ângulos, y, z, t e u. y z y u t 3) Na figura abaio, calcule o ângulo, sendo y o triplo de z e t o sêtuplo de z. 4) (UVST-SP) No retângulo abaio, qual o valor em graus de + y? z 40º y y 80º t 5) Na figura abaio, sendo a bissetriz do ângulo Â, demonstre que vale a relação z - y = - t. y z t 6) Na figura abaio, o ângulo mede 38º, é um retângulo e é congruente a. medida do ângulo é : a) 38º b) 7º c) 18º d) 19º e) 71º 7) Na figura abaio, sendo //, determinar a soma das medidas dos ângulos, y e z. z y 8) eterminar a medida do ângulo, sabendo-se que os triângulos e são isósceles e que o triângulo é equilátero. Jeca 14
9) Na figura abaio, determine a soma das medidas dos ângulos, y, z, t, u e v. 30) Na figura abaio, determine a soma das medidas dos ângulos, y, z e t. v r y u r // s y z t s t z 31) Na figura abaio, determine a soma das medidas dos ângulos, y, z e t. y 3) Um retângulo de papel é dobrado de forma que o vértice pertença ao lado, conforme a figura. Sendo a dobra feita, calcule a medida do ângulo, conhecendo a medida de 140º do ângulo assinalado. z 140º t 33) Na figura, M = N, > y e as reta MN e interceptam-se em P. Mostre que o ângulo MP é igual a 34) Na figura abaio, os ângulos, e medem respectivamente 30º, 80º e 30º. Sendo uma dobra de tal forma que o lado é simétrico do lado em relação a, determine a medida do ângulo. - y. M N P y 35) Na figura, sendo congruente a, congruente a, calcule a medida do ângulo, sabendo-se que = 48º. Jeca 15
Respostas desta aula. 01) a) 43º b) 13º c) 107º d) 107º e) 49º f) 46º g) 55º h) 55º i) 30º j) 49º k) 55º l) 130º m) 43º n) 1º o) 39º p) 119º q) 133º r) 10º/3 s) 71º t) 96º u) 104º v) 46º ) 13º z) 108º 0) a) 48º b) 51º c) 9º d) 11º e) 18º f) 111º g) 4º h) 70º i) 40º/3 j) 45º k) 90º l) 43º m) 14º n) 180º/7 o) 0º p) 68º q) 30º r) 15º s) 75º t) 60º u) 10º v) 60º ) 150º z) 116º 03) 143º, 37º e 143º 04) 36º, 18º e 144º 05) 0º, 60º, 80º e 60º 06) 100º 07) 33º 08) 19º 09) º, 44º e 110º 10) 50º, 60º e 70º 1) c ) 540º 3) 50º 4) 130º 5) demonstração 6) d 7) 360º 8) 45º 9) 360º 30) 180º 31) 540º 3) 65º 33) demonstração 34) 130º 35) 4º 11) 70º 1) 70º 13) 10º 14) 36º 15) = 8y 16) y = 3 17) demonstração 18) 40º 19) demonstração 0) = y - z Importante para mim. Se você, resolvendo esta lista, descobrir alguma resposta errada, por favor, mande uma mensagem especificando qual a resposta errada para o e-mail jecajeca@uol.com.br Somente assim, poderei corrigir eventuais erros. brigado. Jeca Proibida a reprodução deste material sem a autorização epressa do autor Jeca 16
studos sobre Geometria realizados pelo prof. Jeca (Lucas ctavio de Souza) (São João da oa Vista - SP) Geometria plana ula 0 Pontos notáveis de um triângulo. altura Segmentos notáveis do triângulo. mediana mediatriz Mediana - É o segmento que une o vértice ao ponto médio do lado oposto. Mediatriz - É a reta perpendicular ao lado do triângulo pelo seu ponto médio. issetriz - É a semi-reta de origem no vértice que divide o ângulo em dois ângulos congruentes. bissetriz M ponto médio ltura - É a distância entre o vértice e a reta suporte do lado oposto. Todo triângulo tem: 3 medianas 3 mediatrizes 3 bissetrizes 3 alturas aricentro (G). É o ponto de encontro das 3 medianas do triângulo. Propriedade. baricentro divide cada mediana em segmentos. segmento que contém o vértice é o dobro do segmento que contém o ponto médio do lado oposto. (razão : 1) bservação - s três medianas dividem o triângulo original em seis triângulos de mesma área. S Área de cada triângulo P S S S S G M S S N G =.GM G =.GN G =.GP ircuncentro (). É o ponto de encontro das 3 mediatrizes do triângulo. Propriedade. circuncentro é o centro da circunferência circunscrita (eterna) ao triângulo. circuncentro é o ponto do plano eqüidistante dos 3 vértices do triângulo. Pontos notáveis do triângulo - baricentro I - incentro - circuncentro - ortocentro Incentro (I). É o ponto de encontro das 3 bissetrizes do triângulo. Propriedade. incentro é o centro da circunferência inscrita (interna) no triângulo. incentro é o ponto do plano eqüidistante dos 3 lados do triângulo. I r r - raio da circunferência inscrita. rtocentro (). É o ponto de encontro das 3 alturas do triângulo. Propriedade. Não tem. h h mediatriz h h h ponto médio h h R h R - raio da circunferência circunscrita. Jeca 17 ortocentro h
bservações. 1) baricentro e o incentro sempre estão localizados no interior do triângulo. ) circuncentro e o ortocentro podem estar localizados no eterior do triângulo. 3) Num triângulo isósceles, os quatro ponto notáveis (I: baricentro, incentro, circuncentro e ortocentro) estão alinhados. mediatriz mediana bissetriz G I mediana mediatriz bissetriz altura altura 4) No triângulo retângulo, o ortocentro é o vértice do ângulo reto e o circuncentro é o ponto médio da hipotenusa. ortocentro R R hipotenusa circuncentro Triângulo eqüilátero. (importante) m todo triângulo eqüilátero, os quatro pontos notáveis (baricentro, incentro, circuncentro e ortocentro) estão localizados num único ponto. l - lado do triângulo eqüilátero. r - raio da circunferência inscrita. R - raio da circunferência circunscrita. h - altura do triângulo. I l r r r l l R r h R = r e h = 3r 01) Sabendo-se que o lado de um triângulo equilátero é 10 cm, determinar : a) a altura do triângulo. b) o raio da circunferência inscrita no triângulo. c) o raio da circunferência circunscrita ao triângulo. d) o que o ponto é do triângulo. l l R r h l 0) Na figura abaio, a circunferência de centro está inscrita no triângulo. Sabendo que o ângulo mede 33º e que o ângulo mede 56º, determine a medida do ângulo. 03) Na figura abaio, a circunferência de centro está inscrita no triângulo. Sabendo que o ângulo mede 16º, encontre a medida do ângulo. Jeca 18
04) Na figura abaio, o ponto I é o incentro do triângulo. Utilizando o quadriculado, traçar as três medianas, as três mediatrizes, as três bissetrizes e as três alturas e determinar o baricentro, o circuncentro e o ortocentro do triângulo. I 05) Sabendo-se que a altura de um triângulo equilátero é 3 cm, determinar : a) o raio da circunferência inscrita no triângulo. b) o raio da circunferência circunscrita ao triângulo. c) o lado do triângulo. R l l r h l 06) Na figura abaio, os pontos, e G são os pontos médios dos lados do triângulo. Se =, = y, = z, G = 3w, = 3k e = 3n, determine o perímetro do triângulo G, em função de, y, z, w, k e n. 07) Na figura abaio, é o ortocentro do triângulo. etermine a medida do ângulo sabendo que os ângulos e medem, respectivamente, 58º e 70º. G Jeca 19
Rua 08) Na figura abaio, é o ortocentro do triângulo equilátero. Sabendo que = k, determine, em função de k, as medidas dos segmentos, e. 09) Um tesouro foi enterrado num campo aberto e o mapa da localização faz menção a três grandes árvores do local. tesouro foi enterrado no terceiro vértice de um triângulo, onde o jatobá é o primeiro, a sibipiruna é o segundo e a peroba é o ortocentro do triângulo. omo é possível localizar o tesouro no local? Sibipiruna Peroba Jatobá 10) triângulo da figura tem área 10 cm. Sendo = = e = G = G, avalie se as afirmações abaio são verdadeiras (V) ou falsas (). G 11) No triângulo abaio,, e são os pontos médios dos respectivos lados. Sendo 30º a medida do ângulo, = 14 cm e = 1 cm, determine: a) a área do triângulo ; b) a área do triângulo G; c) a área do quadrilátero G. G ( ) G é o baricentro do triângulo. ( ) área do triângulo é 40 cm. ( ) área do triângulo G é 40 cm. 1) Joel, Pedro e Manoel moram em suas respectivas casas, sendo que as casa não são colineares e estão localizadas na mesma fazenda. les desejam abrir um poço de modo que ele fique à mesma distância das três casas. Supondo que a fazenda é plana, com seus conhecimentos de geometria, que sugestão poderia das a eles? Justifique o seu raciocínio. 13) prefeitura de uma cidade mandou colocar, na praça central, uma estátua em homenagem a Tiradentes. escubra, na planta a seguir, em que local essa estátua deve ser colocada, sabendo que ela deverá ficar a uma mesma distância das três ruas que determinam a praça. Rua 1 Rua 3 Jeca 0
Respostas desta aula. 01) a) (5 3 / ) cm b) (5 3 / 6) cm c) (5 3 / 3) cm d) aricentro, Incentro, ircuncentro e rtocentro. 0) 118º 03) 7º 04) 04) esenho ao lado. I G 05) a) 1 cm b) cm c) 3 cm 06) k + w + z 07) 18º 08) k / 3, k / 3 e k / 3 09) esenho ao lado. 09) Sibipiruna Peroba 10), V e 11) a) 4 cm b) 7 cm c) 8 cm 1) poço deve localizar-se no circuncentro do triângulo cujos vértices são as três casas. 13) estátua deve ser colocada no incentro do triângulo formado pelas três ruas. Jatobá tesouro Importante para mim. Se você, resolvendo esta lista, descobrir alguma resposta errada, por favor, mande uma mensagem especificando qual a resposta errada para o e-mail jecajeca@uol.com.br Somente assim, poderei corrigir eventuais erros. brigado. Jeca Proibida a reprodução deste material sem a autorização epressa do autor Jeca 1
studos sobre Geometria realizados pelo prof. Jeca (Lucas ctavio de Souza) (São João da oa Vista - SP) Geometria plana Pontos notáveis de um triângulo. ercícios complementares da aula 0. 01) Sabendo-se que o lado de um triângulo equilátero é k, determinar : a) a altura do triângulo; b) o raio da circunferência inscrita no triângulo; c) o raio da circunferência circunscrita ao triângulo; d) o que o ponto é do triângulo. k k R r h k 0) Sabendo-se que o raio da circunferência circunscrita de um triângulo eqüilátero mede 5 cm, determinar : a) o raio da circunferência inscrita no triângulo; b) a altura do triângulo; c) o lado do triângulo; d) o perímetro do triângulo; e) o que o ponto é do triângulo. l l l R r h 03) Na figura, G e, dividem o ângulo em três ângulos congruentes. a mesma forma, e, dividem o ângulo em três ângulos congruentes. ssinale a alternativa correta. 04) (Unifesp) Numa circunferência de raio R > 0 e centro consideram-se, como na figura, os triângulos equiláteros T 1, inscrito, e T, circunscrito. etermine a razão entre a altura de T e a altura de T 1. S P T R Q T 1 G a) P é incentro de algum triângulo construído na figura. b) Q é incentro de algum triângulo construído na figura. c) R é incentro de algum triângulo construído na figura. d) S é incentro de algum triângulo construído na figura. e) Nenhuma das alternativas anteriores é verdadeira. R Jeca
05) Na figura abaio, os pontos M, N e P são médios dos lados a que pertencem. Provar que G é o baricentro do triângulo e que G =.GN. 06) Na figura abaio, o ponto I é o centro da circunferência inscrita no triângulo. Sendo paralelo a, = 8 cm e = 11 cm, determinar o perímetro do triângulo. M G N I P 07) No triângulo da figura, = 10 cm e M é o ponto médio de. Sabendo que e são os pés das alturas e, determine o valor de M + M. 08) Na figura, o triângulo é retângulo em, os segmentos e são congruentes e o ângulo mede 65º. etermine a medida do ângulo. M RSLUÇÃ - Todo triângulo retângulo pode ser inscrito em uma semi-circunferência. 09) No triângulo abaio, = 70º e = 40º. etermine a medida do ângulo, sabendo-se que o ponto é o ortocentro do triângulo. 10) No triângulo abaio, é ponto médio do lado e é a bissetriz do ângulo. etermine a medida do ângulo. 40º 11) Na figura abaio, é o centro da circunferência inscrita no triângulo retângulo. etermine a medida do ângulo. 1) (uvest) Um triângulo, tem ângulos = 40º e = 50º. Qual é a medida do ângulo formado pelas alturas relativas aos vértices e desse triângulo? a) 30º b) 45º c) 60º d) 90º e) 10º Jeca 3
13) onsidere o triângulo da figura e assinale a afirmativa falsa. 14) No triângulo da figura abaio, as medianas e são perpendiculares entre si. Sabendo que = 6 e = 8, determine a medida de. a) é o ortocentro do. b) é o ortocentro do. c) s circuncentros do e do coincidem. d) =.. e) é acutângulo. 15) Na figura abaio, o círculo inscrito no triângulo tem área S e os ângulos e medem 50º e 70º, respectivamente. etermine as áreas dos setores circulares S 1, S e S 3, em função de S. 16) etermine as medidas dos ângulos, e, no triângulo abaio, sabendo que é o incentro do triângulo. S 3 S 1 10º 110º 130º S 17) etermine as medidas dos ângulos, e, no triângulo abaio, sabendo que é o circuncentro do triângulo. 18) Na figura, a circunferência de centro está inscrita no setor circular de centro, raio = 15 cm e ângulo central = 60º. etermine o raio da circunferência. 10º 130º 110º 19) triângulo da figura é retângulo em e os triângulos, e são equivalentes (têm a mesma área). Sendo = 18 cm, determine a medida do segmento. 0) No triângulo da figura, = 50º. Se P for o incentro do triângulo, a medida do ângulo P é ; no entanto, se P for o ortocentro do triângulo, a medida do ângulo P é y. etermine a razão entre e y. P P Jeca 4
1) Na figura, é um retângulo, M é ponto médio de e o triângulo M é equilátero. etermine a medida do segmento PM, sabendo que = 1 cm. M ) (UMG) Na figura abaio, =, = 60º e o ângulo é o dobro do ângulo. etermine a razão /. P 3) No triângulo ao lado, sendo M, N e P pontos médios dos respectivos lados e MR = 7 cm, NR = 6 cm e R = 10 cm, determinar : a) que são os segmentos P, N e M para o triângulo. b) Que ponto notável do triângulo é o ponto R. c) Quais as medidas dos segmentos R, R e PR. 4) Na figura ao lado, é o centro da circunferência inscrita no triângulo que é retângulo em. Sendo m() = 30º, determinar as medidas dos ângulos,, e e dizer o que a semirreta significa para o ângulo. M R N P 5) Na figura abaio, as retas, e G encontram-se no ponto, e os pontos, e G são os pontos médios dos lados do triângulo. Para o triângulo, dizer como se denomina o ponto e o que é a reta. G 6) (UM-PR) m um plano, a mediatriz de um segmeno de reta é a reta r que passa pelo ponto médio do segmento de reta e é perpendicular a esse segmento. ssinale a alternativa incorreta. a) Tomando um ponto P qualquer em r, a distância de P ao ponto é igual à distância de P ao ponto. b) intersecção das mediatrizes de dois lados de um triângulo qualquer em é o circuncentro do triângulo. c) Qualquer ponto do plano que não pertença à reta r não equidista dos etremos do segmento. d) s mediatrizes dos lados de um triângulo podem se interceptar em três pontos distintos. e) reta r é a única mediatriz do segmento de reta em. Jeca 5
Respostas desta aula. 01) a) k 3 / b) k 3 / 6 c) k 3 / 3 d) I 0) a) (5 / ) cm b) (15 / ) cm c) 5 3 cm d) 15 3 cm e) I 03) d 04) 17) 55º, 65º e 60º 18) 5 cm 19) 6 cm 0) 3 / 6 1) 4 cm ) 1 / 3) a) medianas b) baricentro c) 14 cm, 1 cm e 5 cm 05) M G N S é ponto médio de G R é ponto médio de G MNRS é um paralelogramo Portando, SG = GN = S Razão : 1 4) 15º, 45º, 10º, 30º e bissetriz 5) circuncentro e mediatriz 6) d S P R 06) 19 cm 07) 10 cm 08) 130º 09) 110º 10) 105º 11) 135º 1) d 13) d 14) 5 15) 3 S / 7 16) 80º, 40º e 60º Importante para mim. Se você, resolvendo esta lista, descobrir alguma resposta errada, por favor, mande uma mensagem especificando qual a resposta errada para o e-mail jecajeca@uol.com.br Somente assim, poderei corrigir eventuais erros. brigado. Jeca Proibida a reprodução deste material sem a autorização epressa do autor Jeca 6
studos sobre Geometria realizados pelo prof. Jeca (Lucas ctavio de Souza) (São João da oa Vista - SP) Geometria plana ula 03 ongruência de triângulos. ois triângulos são congruentes se têm os lados dois a dois ordenadamente congruentes e os ângulos dois a dois ordenadamente congruentes. asos de congruência. 1) L..L. ).L.. 3)L.L.L. 4) L.. 5) aso especial () nde: L - lado. - ângulo junto ao lado. - ângulo oposto ao lado. aso especial (). ois triângulos retângulos são congruentes se têm as hipotenusas congruentes e um cateto de um triângulo é congruente a um cateto do outro triângulo bservação. posição de cada elemento do triângulo (lado ou ângulo) no desenho é muito importante na caracterização do caso de congruência. L..L. - dois lados e o ângulo entre eles..l.. - dois ângulos e o lado entre eles. 01) Na figura ao lado, e são ângulos retos e os segmentos e são congruentes. Prove que os triângulos e são congruentes. 0) Na figura ao lado, e são ângulos retos e é a bissetriz do ângulo. Prove que os ângulos e são congruentes. 03) Na figura ao lado, os segmentos e são congruentes e os segmentos e também. Prove que os ângulos e são congruentes. Jeca 7
04) (importante) Na figura abaio, é uma corda da circunferência de centro. Provar que se o raio é perpendicular à corda, então é ponto médio de. 05) (Importante) Provar que em todo triângulo isósceles a altura relativa à base também é bissetriz, mediana e mediatriz. H 06) Sabendo-se que a mediatriz de um segmento é a reta perpendicular ao segmento pelo seu ponto médio, provar que qualquer ponto da mediatriz é eqüidistante das etremidades e do segmento. P M mediatriz 07) adas as retas r e s, e os pontos, M e P, tal que M seja ponto médio do segmento P, determine os pontos pertencente a r e pertencente a s, de modo que o ponto M também seja ponto médio do segmento. r M P s Jeca 8
08) Na figura abaio, os segmentos e são congruentes. Sabendo-se que o triângulo é isósceles de base, prove que os segmentos e são congruentes. 09) (UMG) bserve a figura: r P R Nessa figura, os segmentos e são perpendiculares, respectivamente, às retas r e s. lém disso, P = P, R = R e a medida do ângulo PR é. etermine, em função de, a medida do ângulo interno do quadrilátero. s 10) Na figura, é um paralelogramo e os segmentos e são congruentes. Prove que os segmentos e são congruentes e paralelos entre si. 11) Na figura abaio, o quadrado GH está inscrito no quadrado. Prove que os triângulos H,, G e GH são congruentes entre si. H G 1) Na figura abaio, é um retângulo e os segmentos e são perpendiculares ao segmento. Prove que os segmentos e são congruentes entre si. 13) Provar que se é um paralelogramo e e são as diagonais, então o ponto de intersecção das diagonais é o ponto médio da diagonal. Jeca 9
Teorema do ponto eterior. ada uma circunferência e um ponto P, P eterior a, se e são os pontos de tangência das retas tangentes a por P, então P = P. onsequência do Teorema do ponto eterior. m todo quadrilátero circunscrito numa circunferência a soma das medidas dos lados opostos é constante. P P = P + = + 14) Prove o Teorema do ponto eterior. P 15) Na figura abaio, a circunferência está inscrita no triângulo, = 10, = 1 e = 14. etermine a medida do segmento T. R S T 16) Na figura abaio,, e são pontos de tangência. eterminar o perímetro do triângulo P, sabendo que a distância P mede 17 cm. P 17) etermine o valor de na figura abaio, sabendose que = +, = 4-3, = 3 - e = 3 + 1. 18) eterminar a medida da base média de um trapézio isósceles sabendo-se que os lados não paralelos desse trapézio medem 15 cm cada. 19) etermine a medida do raio da circunferência inscrita no triângulo retângulo cujos lados medem 8 cm, 15 cm e 17 cm. Jeca 30
Respostas desta aula. bservação - ependendo dos dados, um eercício pode ser provado por mais de um caso de congruência. Levando em conta essa possibilidade nas respostas aqui registradas, em cada caso, foi considerado o caso de congruência mais evidente. 07) Resolução r Seja P // M = MP (L) - por hipótese 01) aso especial () 0) L... 03) L.L.L. 04) aso especial M P s M = PM () - PV M = PM () - alternos internos Pelo caso.l.., temos M = PM Portanto M = M Q 05) É possível provar por vários casos. 06) L..L. 07) emonstração ao lado. 08) L..L. 09) Pelo caso L..L. prova-se que os triângulos P e P são congruentes. Pelo mesmo caso, prova-se que os triângulos R e R também são congruentes. P = P = e R = R = Portanto = 10) L..L. 11).L.. 1) L... 13) L... 14) aso especial (Una o ponto P ao centro) 15) 8 16) 34 cm 17) S = { R > 3 / 4 } 18) 15 cm 19) 3 cm Importante para mim. Se você, resolvendo esta lista, descobrir alguma resposta errada, por favor, mande uma mensagem especificando qual a resposta errada para o e-mail jecajeca@uol.com.br Somente assim, poderei corrigir eventuais erros. brigado. Jeca Proibida a reprodução deste material sem a autorização epressa do autor Jeca 31
studos sobre Geometria realizados pelo prof. Jeca (Lucas ctavio de Souza) (São João da oa Vista - SP) Geometria plana ongruência de triângulos. ercícios complementares da aula 03. 01) Na figura abaio, M é ponto médio de e de. Provar que o triângulo M é congruente ao triângulo M. M 0) Na figura abaio, M é ponto médio do segmento e os ângulos e são congruentes. Provar que M também é ponto médio do segmento. M 03) Na figura abaio, M é ponto médio do segmento e os ângulos e são congruentes. Provar que os segmentos e são congruentes. M 04) Na figura abaio, M é ponto médio dos segmentos e. Provar que as retas e são paralelas. M 05) Na figura abaio, é bissetriz do ângulo e os ângulos e são congruentes. Provar que os segmentos e são congruentes. Jeca 3