PRODUTO INTERNO Defiição Cosidere m espaço etorial real O prodto itero sobre é ma fção : ( ) a R qe satisfaz as segites propriedades: PI (Positia Defiida) Para todo e se e somete se PI (Simétrica) Para qaisqer PI (Aditiidade) Para qaisqer w + w w + w PI4 (Homogeeidade) Para qaisqer e para todo R Exemplos: ) Prodto sal caôico o Eclidiao o R ( x x x )( y y y ) i x i y i ) ) : R x y)( z xz + yt ( : R ( x y z x y z x x + y y + z z Norma de m etor Seja m espaço etorial mido de m prodto itero Defie-se a fção orma como sedo : R tal qe Assim Com esta defiição a orma de etores depede do prodto itero cosiderado Seja m espaço etorial mido de m prodto itero Um etor é deomiado etor itário qado Seja m etor O etor é deomiado etor ormalizado e sempre m etor itário isto é
Distâcia etre dois etores Seja m espaço etorial mido de m prodto itero Defie-se a fção distâcia d : R tal qe d( ) Assim d ( ) e d ( ) Âglo etre dois etores Seja m espaço etorial mido com m prodto itero O âglo θ etre dois etores é tal qe cosθ com θ π Ortogoalidade Seja m espaço etorial mido de m prodto itero Dois etores etores ortogoais qado Notação: são deomiados Seja m espaço etorial mido de m prodto itero e o cojto A { } O cojto A é dito cojto ortogoal qado i j para todo i j i j Se em m cojto ortogoal todos os etores são itários o cojto é deomidado cojto ortoormal Desta forma se ma base do espaço etorial for m cojto ortogoal será deomiada base ortogoal Uma base ortogoal formada por etores itários é chamada base ortoormal Exemplo: O cojto {( )( )( 6 )} é ortogoal em relação ao prodto itero sal Processo de Ortogoalização de Gram-Schmidt Projeção de m etor sobre m Sbespaço O processo de ortogoalização de Gram-Schmidt resole o problema de a partir de ma base qalqer de m espaço etorial obter ma base ortogoal O processo será apresetado para os espaços etoriais do R e R e fialmete geeralizado Processo para o espaço R Cosidere A { } ma base de R Sejam e Assim isto é o etor obtido em fção de Iterpretação geométrica: e é ortogoal ao etor
O escalar R é tal qe: Logo B { } é ma base ortogoal com e O etor é a projeção ortogoal do etor o sbespaço etorial gerado pelo etor proj [ ] Exemplo: Ortogoalizado a base {( )()} pelo processo de Gram-Schmidt () ()() () () () () ()() ( ) é ma base ortogoal do R Assim o cojto { ( )} 6 O etor ( ) ( ) é a projeção ortogoal do etor ) Processo para o espaço R Seja A } ma base do R { ( o sbespaço etorial [ ) ] ( Sejam os etores e O etor é obtido em fção dos etores e e ortogoal tato ao etor qato ao etor Assim ( + ) com e Iterpretação geométrica para esta sitação:
4 O escalar R é tal qe: ) ( + Mas O escalar R é tal qe: ) ( + Mas Etão Logo } { B é ma base ortogoal do R com e O etor + é a projeção ortogoal do etor o sbespaço etorial gerado pelos etores e ] [ proj + + Geeralização Seja } { A ma base de m espaço etorial -dimesioal mido de m prodto itero Cosidere os etores: Etão } { B é ma base ortogoal de
Como é m itário o cojto C dos etores da base ortogoal B é deomiado base ortoormal obtido da ormalização Complemeto Ortogoal Seja m espaço etorial mido de m prodto itero e S m sbespaço etorial de O complemeto ortogoal de S é o cojto S { s para todo s S} Exemplos: ) S {( x y R x } Ecotrar m etor ortogoal ao sbespaço etorial S sigifica ecotrar m etor ortogoal aos etores de ma base de S Seja {( )( )} ma base de S Assim S {( x y R ( x y () e ( x y ( )} ( x y () e ( x y () y e z Etão S {( x y R y e z } ) S {( y z y y z R} Uma base para S é {( )( )} S {( x y R ( x y () e ( x y ( ) } Assim x + y x + z S {( z z z R} Obsere qe se S é m sbespaço etorial de se complemeto ortogoal S também é sbespaço etorial de É importate aida ressaltar qe o úico etor comm a S e a S é o etor lo Assim S S { } O sbespaço etorial S + S é a erdade o próprio espaço etorial Portato S S Pelo Teorema da Dimesão dim dim( S S ) dim S + dim S
Exercícios ) erifiqe qe fções : R R R defiidas abaixo são prodtos iteros a) ( x y)( z xz + yt b) ( x y)( z xz yt c) ( x y)( z 4xz d) ( x y)( z xz + yt + e) ( x y)( z x z + y t f) ( x y)( z x z + y t g) ( x y)( z x z + y t h) ( x y)( z l l ode A { } é ma base qalqer do espaço etorial R ( x y) + e ( z l + l i) ( x y)( z xz xt yz + yt ) Calcle a orma de ( ) cosiderado: a) o prodto itero sal o R b) ( x y ( w r xw + yr + zt ) Calcle ( ) em relação ao: a) prodto itero sal b) ( x y)( z xz + 4yt 4) Cosidere o espaço etorial R mido do prodto itero sal Determie R tal qe ( 6 ) 4 ) Mostre qe para todo 6) Sejam m espaço etorial eclidiao tais qe e Determie R de modo qe + 7) Seja R mido do prodto itero sal e ( ) e () a) iterprete geometricamete + e b) calcle d ( ) e d( ) 8) Seja o espaço etorial R com prodto itero sal Seja qe 4 e + Idiqe o âglo etre e 9) erifiqe se os etores ( ) e ( ) são ortogoais em relação aos segites prodtos iteros o R : a) ( x y)( z xz + yt b) ( x y)( z 4xz + yt 6
) Se e são etores ortogoais etão Teorema de Pitágoras) + +? Jstifiqe (Geeralização do ) Normalize o cojto {( )( )( 6 )} ) erifiqe se as bases abaixo são ortogoais o R² e o R³ respectiamete para o prodto itero sal a) {( )()} b) ) Ecotre m etor itário o R qe seja ortogoal aos etores ( ) e ( ) 4) Seja m espaço etorial eclidiao Mostre qe se são ortogoais e tais qe etão ) Ortogoalize a base {( )()( )} do R 6) O cojto A {()( )} é ma base de m sbespaço etorial do R Obteha ma base ortogoal B a partir de A 7) Ecotre a projeção ortogoal do etor ( ) o sbespaço etorial [B] do exercício aterior 8) Seja S {( y z y y z R} m sbespaço etorial do R Idiqe 9) A partir da base {( )()} idiqe das bases ortoormais do R ) Ortogoalize pelo processo de Gram-Schmidt as segites bases do R a) {( )( )( )} b) {( )(7 )(4)} S S S e S + S ) Seja o espaço etorial R mido do prodto itero sal e seja S o sbespaço etorial gerado pela base ortogoal B {( )( 4)} Determie a projeção do etor ( ) o sbespaço S ) Seja o espaço etorial R com o prodto itero ( x y ( w t r) xw + yt + zr Utilize o processo de Gram-Schmidt para trasformar a base {( )()( )} ma base ortogoal ) Seja o espaço etorial R mido do prodto itero sal e A {( )( 4)} Determie: a) o sbespaço etorial S gerado pelo cojto A b) o sbespaço etorial S 4) Cosidere o sbespaço etorial S {( x y R x z } com o prodto itero ( x y ( w t r) xw + yt + 4zr Determie S ma base e sa dimesão 7
) Cosidere o espaço etorial Mat (R) com as operações sais erifiqe se a fção t A B tr( A B ) defie m prodto itero 6) Cosidere o espaço etorial das fções cotías o iteralo [ b] R sais erifiqe se a fção b f ( x) g( x) f ( x) g( x) dx é m prodto itero a a com as operações Respostas ) a) b) 7 ) a) b) 4 4) a ± 6) a ± 7) d ( ) d( ) 8) θ arccos( ) 4 ( )( 6 ) { )( )} 4 4 4 7 7 7 ) ( ) ) { ( )( 4 )( )} 6) { ( )( ) } 7) proj[ B ] ( ) 8) a) Sim b) { } c) R 9) {( )( )( )} ) a) {()(-)( 6 6 6 )} b) {()(7-)( )} 4 ) proj[ B ] ( ) ) {( )( )( ) } ) a) S {( x y R x + y + z } b) S {( z z z R} 4) S {( z z R} base : {(- )} dim S 8
Apêdice D Teoremas Seja m espaço etorial mido de m prodto itero Para qaisqer Teo Teo + w + w Teo Teo4 dem: + () + + () De () e (): + + Pela Lei do Corte para adição em R Teo Se para todo etão dem: (RAA) Seja Cosidere Assim > Mas Cotradição Logo w e R Teo6 Se para todo w etão w Teo7 w w w Teo8 e se e somete se Teo9 Teo6 Desigaldade de Cachy-Schwarz: dem: Se o etão Cosidere e w + w w + + > + + + + + + + + + + + + + + + Assim + + + + > Um poliômio do º gra em com coeficiete de maior gra positio possi discrimiate egatio o lo ( ) 4 4 4 Logo 9
Corolário6: isto é Teo6 Desigaldade Triaglar: + + dem: + + + + + + + + + + + + + ( + ) Assim + ( + ) Logo + + Teo6 i) d ( ) e d ( ) se e somete se ii) d ( ) d( ) iii) d ( ) d( w) + d( w ) Teo6 Teo64 Se etão Teo6 Se para todo etão Teo66 Se w e w etão + w Teo67 Se etão Teo68 (Geeralização do Teorema de Pitágoras) Se etão + + Teo69 Se { r } é m cojto ortogoal de etores ão los etão { r } é m cojto liearmete idepedete Teo7 Sejam S { r } ma base de S e tal qe para todo i r i etão para todo s S s Teo7 Sejam { } ma base ortoormal de e Etão + + Teo7 (Processo de Ortogoalização de Gram-Schmid Sejam { r} m cojto de etores liearmete idepedete Existe m cojto ortogoal (ortoormal) { r} qe é ma base do sbespaço gerado pelo cojto } { r Teo7 S Teo74 S Teo7 ( S ) S Teo76 S S } {
Teo77 S S Corolário77: dim S + dim S dim Teo78 Seja m R-espaço etorial mido de m prodto itero e m dado etor fção f : R tal qe f ( ) < > é m fcioal A Teo79 Seja m R-espaço etorial mido de m prodto itero A fção T ( ) é ma trasformação liear f * T : tal qe Teo8 Sejam m R-espaço etorial mido de m prodto itero e f : R m fcioal Etão existe m úico etor tal qe f ( ) < > para todo isto é a fção * T : tal qe T ) f ( é m isomorfismo Corolário8 Se * dim etão dim