Geometria Analítica e Álgebra Linear

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1 85 5. Vetores Vetores no Plano e no Espaço Eistem dois tipos de grandea: as escalares e as etoriais. As escalares são aqelas qe ficam completamente definidas por apenas m número real (acompanhado de ma nidade adeqada). Comprimento área olme massa temperatra densidade são eemplos de grandeas escalares. Eistem no entanto grandeas qe não ficam completamente definidas apenas pelo se módlo o seja pelo número com sa nidade correspondente. Falamos das grandeas etoriais qe para serem perfeitamente caracteriadas necessitamos conhecer se módlo (o comprimento o intensidade) sa direção e se sentido. Força elocidade aceleração são eemplos de grandeas etoriais o simplesmente etores. Relembramos qe o sistema dos números reais pode ser isaliado como ma reta L qe colocamos geralmente em posição horiontal. Escolhe-se m ponto O chamado de origem; o correspondente ao número 0. Um ponto A é escolhido à direita de O fiando desta maneira o comprimento de AO como sendo e especificando ma direção positia. Assim os números reais positios ficam à direita de O; os negatios ficam à esqerda de O. Fig. 5. O alor absolto do número real é definido por se se 0 0 Assim O número real qe corresponde ao ponto P é chamado de coordenada de P e o ponto P cja coordenada é é representado por P (). A reta L é chamada de m eio coordenado. Se P está à direita de O então sa coordenada é o comprimento do segimento OP. Se Q está à esqerda de O então sa coordenada é o negatio do comprimento do segimento OQ. A distância entre os pontos P e Q com coordenadas a e b respectiamente é b a. 0 de feereiro de 00 Ale N. Brasil

2 86 Vetores Geometricamente etores são representados por segmentos (de retas) orientados (m segmento está orientado qando nele se escolhe m sentido de percrso considerado positio) no plano o no espaço. A ponta da seta do segimento orientado é chamada ponto final o etremidade e o otro ponto etremo é chamado de ponto inicial o origem do segmento orientado. A direção e o sentido do segimento orientado identifica a direção e o sentido do etor. O comprimento do segimento orientado representa a magnitde do etor. Dois o mais segimentos orientados de mesmo comprimento mesma direção (são paralelos o colineares) e mesmo sentido são representantes de m mesmo etor. Na figra (5.) todos os segimentos orientados paralelos de mesmo sentido e mesmo comprimento de AB representam o mesmo etor qe será indicado por AB o B A onde A é a origem e B é a etremidade do segimento. O etor também costma ser indicado por ma letra minúscla encimada por ma flecha tal como. B A Fig. 5. Qando escreemos AB figra (5.) estamos afirmando qe o etor é determinado pelo segimento orientado AB. Porém qalqer otro segimento de mesmo comprimento mesma direção e mesmo sentido de AB representa também o mesmo etor. Assim sendo cada ponto do espaço pode ser considerado como origem de m segmento orientado qe é representante do etor. Esta é a raão de o etor também ser chamado etor lire no sentido de qe o representante pode ter sa origem em qalqer ponto P do espaço. origem A B etremidade Fig. 5. AB O módlo a direção e o sentido de m etor é o módlo a direção e o sentido de qalqer m dos ses representantes. Indica-se o módlo de por o. 0 de feereiro de 00 Ale N. Brasil

3 87 Casos Particlares de Vetores a) Dois etores e são paralelos e indica-se por // se os ses representantes tierem a mesma direção. Na figra w(5.4) tem-se // // w onde e têm o mesmo sentido enqanto e têm sentido contrário de w. Fig. 5.4 b) Dois etores e são igais e indica-se por direção e o sentido. se tierem igais o módlo a c) Qalqer ponto do espaço é representante do etor ero (o etor nlo) qe é indicado por 0 o AA (a origem coincide com a etremidade). Pelo fato deste etor não possir direção e sentido definidos considera-se o etor ero paralelo a qalqer etor. d) A cada etor não nlo corresponde m etor oposto - de mesmo módlo e mesma direção de porém de sentido contrário (figra 5.5). Se AB o etor BA é o oposto de AB isto é BA AB. Fig Fig. 5.6 e) Um etor é nitário se. A cada etor 0 é possíel associar dois etores nitários de mesma direção de : e - (figra 5.6). Nesta figra tem-se. O etor qe tem o mesmo sentido de é chamado ersor de. Na erdade o etor não é ersor só de mas sim de todos os etores paralelos e de mesmo sentido de e medidos com a mesma nidade. e f) Dois etores e (figra 5.7) são ortogonais e indica-se por se algm representante de formar ânglo reto com algm representante de. Fig. 5.7 (a) 0 de feereiro de 00 Ale N. Brasil

4 88 A figra 5.7 (a) apresenta dois representantes de e com origem no ponto A formando ânglo reto. Considera-se o etor ero ortogonal a qalqer etor. Fig. 5.7 (b) g) Dois o mais etores são coplanares se eistir algm plano onde estes etores estão representados. É importante obserar qe dois etores e qaisqer são sempre coplanares pois basta considerar m ponto P no espaço e com origem nele traçar os dois Fig. 5.8 representantes de e pertencendo ao plano (figra 5.8) qe passa por aqele ponto. Soma de Vetores e Mltiplicação por Escalar A soma V + W de dois etores V e W é determinada da seginte forma: - tome m segmento orientado qe representa V; - tome m segmento orientado qe representa W com origem na etremidade de V; - o etor V + W é representado pelo segmento orientado qe ai da origem de V até a etremidade de W. Fig. 5.9 V W W V Fig. 5.0 V ( W U ) ( V W ) U Da figra 5.9 dedimos qe a soma de etores é comtatia o seja V + W = W + V; 0 de feereiro de 00 Ale N. Brasil

5 89 para qaisqer etores V e W. Obseramos também qe a soma V + W está na diagonal do paralelogramo determinado por V e W qando estão representados com a mesma origem. Da figra 5.0 dedimos qe a soma de etores é associatia o seja V + (W + U) = (V + W) + U para qaisqer etores V W e U. O etor qe tem a sa origem coincidindo com a sa etremidade é chamado etor nlo e denotado por. Sege então qe V + = + V = V para todo etor V. Para qalqer etor V o simétrico de V denotado por - V é o etor qe tem mesmo comprimento mesma direção e sentido contrário ao de V. Sege então qe V + (- V) =. Definimos a diferença W menos V por Sege desta definição qe W - V = W + (- V). W + (V - W) = (V - W) + W = V + (- W + W) = V + = V. Assim a diferença V - W é m etor qe somado a W dá V portanto ele ai da etremidade de W até a etremidade de V desde qe V e W estejam representados por segmentos orientados com a mesma origem. Fig A diferença V W 0 de feereiro de 00 Ale N. Brasil

6 90 A mltiplicação de m etor V por m escalar V possi as segintes características: (a) é o etor nlo se 0 o (b) caso contrário V 0 é determinada pelo etor qe (i) tem comprimento ees o comprimento de V; (ii) a direção é a mesma de V (neste caso diemos qe eles são paralelos); (iii) tem o mesmo sentido de V se > 0 e tem o sentido contrário ao de V se < 0. Se W = V diemos qe W é m múltiplo escalar de V. É fácil er qe dois etores não nlos são paralelos (o colineares) se e somente se m é m múltiplo escalar do otro. Fig Mltiplicação de etor por escalar Ânglo de Dois Vetores O ânglo entre os etores não nlos e é o ânglo formado por das semi-retas de mesma origem O (figra 5.) onde 0 ( em radianos) o O Fig. 5. Se // e e têm o mesmo sentido então 0. Se // e e têm sentidos contrários então. 0 de feereiro de 00 Ale N. Brasil

7 9 O Tratamento Algébrico: Vetores no Plano De modo geral dados dois etores qaisqer a e não paralelos para cada etor representado no mesmo de e eiste ma só dpla de números reais a e a tal qe a a () Fig. 5.4 a A figra 5.4 ilstra esta sitação onde e são etores não-paralelos qaisqer e é m etor arbitrário do plano determinado por e. Qando o etor é epresso como em () di-se qe é combinação linear de e. O conjnto B { } é chamado base no plano. Aliás qalqer conjnto de dois etores não-paralelos constiti ma base no plano. Embora estejamos simboliando a base como m conjnto nós a pensamos como m conjnto ordenado. Então dada ma base qalqer no plano todo etor desse plano é combinação linear dos etores dessa base de modo único. Os números a e a da igaldade () são chamados componentes o coordenadas de na base B ( a é a primeira componente e a a segnda componente). O etor da igaldade () pode ser representado também por ( a a ) B a a B ). ( o Na prática as bases mais tiliadas são as ortonornais. Uma base { e e } é dita ortonormal se os ses etores forem ortogonais e nitários isto é se e e e e e. Dentre as infinitas bases ortonormais no plano ma delas é particlarmente importante. Trata-se da base qe determina o conhecido sistema cartesiano ortogonal O. Os etores ortogonais e nitários neste caso são simboliados por i e j ambos com origem em O e etremidades em (0) e (0) { respectiamente (figra 5.5) sendo a base C i j} chamada canônica. Portanto i = (0) e j = (0). Daqi por diante trataremos apenas da base canônica. Fig de feereiro de 00 Ale N. Brasil

8 9 Dado m etor qalqer do plano (figra 5.6) eiste ma só dpla de números e tal qe i j () Os números e são as componentes de na base canônica. A primeira componente é chamada abscissa de e a segnda componente é a ordenada de. Fig. 5.6 O etor em () será também representado por ( ) () dispensando-se a referência à base canônica C. A igaldade () sgere a definição: Vetor no plano é m par ordenado ( ) de números reais. O par ( ) é chamado epressão analítica de. Para eemplificar eja a segir algns etores e sas correspondentes epressões analíticas: i 5 j ( 5) 4i ( 40) j (0) 0 (00) Obs.: A escolha proposital da base { i j} dee-se eclsiamente à simplificação. A cada ponto P( ) do plano O corresponde o etor OP i j (figra 5.7). Qer dier as coordenadas do ponto etremo P são as próprias componentes do etor OP na base canônica. Em geral deia-se de indicar nos eios os etores i e j como se ê nessa figra. Fig. 5.7 As operações com etores podem ser definidas tiliando m sistema de coordenadas retanglares. Em primeiro lgar amos considerar os etores no plano. De acordo com as considerações feitas o plano pode ser encarado como m conjnto de pontos o m conjnto de etores. 0 de feereiro de 00 Ale N. Brasil

9 9 Igaldade de Vetores Dois etores ) escreendo-se (. e ) ( são igais se e somente se e E.: O etor ( 4) é igal ao etor ( 5 6) se 5 e 6 4 o seja 4 e 5. Assim se então 4 5 e (54). Operações com Vetores Sejam os etores ) ( e ) ( e R. Define-se: ) ) ( ) ) ( Portanto para somar dois etores somam-se as correspondentes coordenadas e para mltiplicar m número real por m etor mltiplica-se cada componente do etor por este número. As figras 5.8(a) e 5.8(b) ilstram as definições das operações dadas acima. Fig. 5.8(a) Fig. 5.8(b) Considerando estes mesmos etores tem-se ainda: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 de feereiro de 00 Ale N. Brasil

10 94 E.: Dados os etores ( ) e (4) determinar e. Sol.: ( ) ( 4) (6 9) ( 8) (6 9 8) (4 ) ( ) ( 4) (6 9) ( 8) (6 9 8) (8 7) Vetor Definido por Dois Pontos Consideremos o etor (figra 5.9). AB de origem no ponto A ) e etremidade em B ) ( ( De acordo com o qe foi isto em () os etores OA eob têm epressões analíticas: OA ( ) e OB ( ). Por otro lado do triânglo OAB da figra em donde OA AB OB AB OB OA o AB ) ( ) ( Fig. 5.9 AB ( ) isto é as componentes de AB são obtidas sbtraindo-se das coordenadas da etremidade B as coordenadas da origem A raão pela qal também se escree AB B A. É importante lembrar qe m etor tem infinitos representantes qe são os segimentos orientados de mesmo comprimento direção e sentido. E dentre os infinitos representantes do etor AB o qe melhor o caracteria é aqele qe tem origem em O(00) e etremidade em P ) (figra 5.0). ( O etor OP é também chamado etor posição o representante natral de AB. Fig de feereiro de 00 Ale N. Brasil

11 95 Ponto Médio Seja o segmento de etremos A ( ) e B ( ) (figra 5.). Sendo M ( ) o ponto médio de AB podemos epressar de forma etorial como e daí AM MB o ) ( ) ( e Resolendo em relação a e temos Fig. 5. o e e. Portanto: M Paralelismo de dois Vetores Vimos qe se dois etores ) número real tal qe ( o seja e ) ( são paralelos eiste m o ( ) ( ) ( ) ( ) pela condição de igaldade reslta em e donde Esta é a condição de paralelismo de dois etores isto é dois etores são paralelos qando sas componentes forem proporcionais. E.: Os etores () e (46) são paralelos pois: de feereiro de 00 Ale N. Brasil

12 96 Vetores no espaço Vimos em Vetores no Plano qe a base canônica { i j} no plano determina o sistema cartesiano ortogonal O e qe a m ponto P( ) qalqer desse plano corresponde o etor OP i j componentes do etor isto é as próprias coordenadas e do ponto P são as OP na base canônica (figra 5.7). No espaço de forma análoga consideramos a base canônica { i j k} como aqela qe irá determinar o sistema cartesiano ortogonal O (figra 5.) onde estes três etores nitários e dois a dois ortogonais estão representados com origem no ponto O. Este ponto e a direção de cada m dos etores da base determinam os três eios cartesianos: o eio O o eio dos (das abscissas) corresponde ao etor i o eio O o eio dos (das ordenadas) corresponde ao etor j e o eio O o eio dos (das cotas) corresponde ao etor k. As setas nesta figra indicam o sentido positio de cada eio chamado também de eio coordenado. Fig. 5. Vamos inicialmente introdir m sistema de coordenadas retanglares no espaço. Para isto escolhemos m ponto como origem O e como eios coordenados três retas orientadas passando pela origem perpendiclares entre si. Estes serão os eios e. O eio é o eio ertical. Os eios e são horiontais e satisfaem a seginte propriedade. Sponha qe giramos o eio pelo menor ânglo até o eio. Se os dedos da mão direita acompanham o eio drante a rotação então o eio aponta no sentido do polegar. Cada par de eios determina m plano chamado de plano coordenado. Portanto os três planos coordenados são: e. A cada ponto P no espaço associamos m terno de números ( ) chamado de coordenadas do ponto P como se sege: passe três planos por P paralelos aos planos coordenados; a interseção do plano paralelo ao plano passando por P com o eio determina a coordenada ; a interseção do plano paralelo ao plano passando por P com o eio determina a coordenada ; a interseção do plano paralelo ao plano passando por P com o eio determina a coordenada. Fig de feereiro de 00 Ale N. Brasil

13 97 Alternatiamente podemos encontrar as coordenadas de m ponto P como sege. Fig. 5.4 Trace m reta paralela ao eio passando por P; A interseção da reta paralela ao eio passando por P com o plano é o ponto P. As coordenadas de P () no sistema de coordenadas são as das primeiras coordenadas de P. A terceira coordenada é igal ao comprimento do segmento PP com o sinal negatio se P estier abaio do plano. Agora estamos prontos para tiliarmos m sistema de coordenadas cartesianas também nas operações de etores no espaço. Seja V m etor no espaço. Como no caso bi-dimensional definimos as componentes de V como sendo as coordenadas ( ) do ponto final do representante de V qe tem ponto inicial na origem. Escreemos simplesmente V ) o V ( ) ( Fig As componentes de m etor no espaço Fig As coordenadas de P são igais as componentes de OP Assim as coordenadas de m ponto P são igais as componentes do etor OP qe ai da origem do sistema de coordenadas ao ponto P. Em particlar o etor nlo 0 (000). Assim como fiemos para etores no plano para etores no espaço a soma de etores e a mltiplicação de etor por escalar podem ser realiadas em termos das componentes. Se V = ( ) e W = ( ) então a adição de V com W é dada por 0 de feereiro de 00 Ale N. Brasil

14 98 V W ( ) Se V = ( ) e é m escalar então a mltiplicação de V por é dada por V ( ) E.: Se V = ( - ) W = ( 4 - ) então V + W = ( (- )) = ( ) V = (. (- ). ) = ( - 6 9). Qando m etor V está representado por m segmento orientado com ponto inicial fora da origem (figra 5.7) digamos em P = ( ) e ponto final em Q = ( ) então as componentes do etor V são dadas por V ( PQ OQ OP ) Portanto as componentes de V são obtidas sbtraindo-se as coordenadas do ponto Q (etremidade) das do ponto P (origem). O mesmo se aplica a etores no plano. E.: As componentes do etor V com ponto inicial P = (5/ ) e ponto final Q = (0 5/ 5/) são dadas por V PQ (0-5/ 5/ - 5/ - ) = (- 5/ / /). Fig V OQ OP Obs.: Um etor é lire ele não tem posição fia ao contrário do ponto e do segmento orientado. Por eemplo o etor V = (- 5/ / /) no eemplo acima estaa com a origem no ponto P = (5/ ). Mas poderia ser representado por m segmento orientado cjo ponto inicial poderia estar em qalqer otro ponto. 0 de feereiro de 00 Ale N. Brasil

15 99 Considere a matri X onde e são números reais. Associamos a X o segmento de reta orientado com ponto inicial na origem O(00) e ponto final em P(). O segmento de reta orientado de O a P é representado por OP ; O é chamado sa origem (o início) e P sa etremidade. Um segmento de reta orientado tem ma direção qe é o ânglo qe ele fa com o eio positio dos indicado pela flecha sobre o eio. A grandea de m segmento de reta orientado é se comprimento. E.: Seja X. Podemos associar a X o segmento orientado com origem O(00) e etremidade P () mostrado na fig Reciprocamente podemos associar a m segmento de reta orientado OP com origem O(00) e etremidade P( ) a matri Eio dos Eio dos P() P() P(00) Eio dos Eio dos Fig. 5.8 Fig. 5.9 Definição Um etor do plano é ma matri o X em qe e são números reais chamamos de componentes de X. Chamamos m etor do plano simplesmente de etor. 0 de feereiro de 00 Ale N. Brasil

16 0 de feereiro de 00 Ale N. Brasil 00 Um etor no espaço ) ( pode também ser escrito na notação matricial como ma matri linha o como ma matri colna: o. Estas noções podem ser jstificadas pelo fato de qe as operações matriciais w o w prodem os mesmos resltados qe as operações etoriais ) ( ) ( ) ( w ) ( ) (. O mesmo ale natralmente para etores no plano. No teorema seginte ennciamos as propriedades mais importantes da soma de etores e mltiplicação de etores por escalar. Teorema: Sejam U V e W etores e e escalares. São álidas as segintes propriedades: (a) U + V = V + U; (b) (U + V) + W = U + (V + W); (c) U + = U; (d) U + (- U) = ; (e) (U) = ( )U; (f) (U + V) = U + V; (g) ( +)U = U + U; (h) U = U.

17 0 Prodto de Vetores Norma e Prodto Escalar Já imos qe o comprimento de m etor V é definido como sendo o comprimento de qalqer m dos segmentos orientados qe o representam. O comprimento de m etor V também chamado de norma o módlo de V é denotado(a) por V o V. Sege do Teorema de Pitágoras qe a norma de m etor é dada por V o V no caso em qe V = ( ) é m etor no plano e por V o V no caso em qe V = ( ) é m etor no espaço (erifiqe sando as figras 5.0 e 5.). Fig A norma de m etor V no plano Fig A norma de m etor V no espaço Um etor de norma igal a é chamado de etor nitário. A distância entre dois pontos P = ( ) e Q = ( ) é igal a norma do etor PQ (figra 5.7). Como ( PQ OQ OP ) então a distância de P a Q é dada por dist( P Q) PQ ( ) ( ) ( ) 0 de feereiro de 00 Ale N. Brasil

18 0 Analogamente a distância entre dois pontos P = ( ) e Q = ( ) no plano é igal ao módlo (norma) do etor PQ qe é dado por dist( P Q) PQ ( ) ( ) E.: A norma (módlo) do etor V = ( - ) é V ( ) 4. A distância entre os pontos P = ( - ) e Q = (- 4 5) é Fig. 5. dist( P Q) PQ ( ) (4 ( )) (5 ) ( ) Vetor Unitário Dado m etor V não nlo o etor é m etor nitário na direção de V temos qe U V V E.: Um etor nitário na direção do etor V = ( - ) é o etor U V ( ). V de feereiro de 00 Ale N. Brasil

19 0 Prodto Escalar Vamos definir agora m prodto entre dois etores cjo resltado é m escalar. Por isso ele é chamado prodto escalar. Este prodto tem aplicação por eemplo em Física: o trabalho realiado por ma força é o prodto escalar do etor força pelo etor deslocamento qando a força aplicada é constante. Chama-se prodto escalar o interno de dois etores i j k i j k e se representa por ao número real e E.: Sejam V = (0 0) e W = ( ). O prodto escalar de V com W é dado por V. W = + + = =. Teorema Sejam U V e W etores e m escalar. São álidas as segintes propriedades: (a) U. V = V. U; (b) U. (V + W) = U. V + U. W; (c) (U. V) = ( U). V = U. ( V); (d) V. V = V 0 para todo V e V. V = 0 se e somente se V =. Definição Geométrica de Prodto Escalar Se V e W são etores não-nlos e o ânglo entre eles então V W V W cos V W V W cos para 0 80 Fig. 5. O prodto escalar de dois etores não-nlos é igal ao prodto de ses módlos pelo coseno do ânglo por eles formado. Obs.: Dois etores V e W são ortogonais se e somente se V W 0 0 de feereiro de 00 Ale N. Brasil

20 04 Cálclo do Ânglo de Dois Vetores Da igaldade V W V W cos cos V W V W fórmla a partir da qal se calcla o ânglo entre dois etores V e W não-nlos. E.: Calclar o ânglo entre os etores V (4 ) e W (). logo V W cos = V W ( ) arccos 45 9 Projeção Ortogonal O ânglo entre dois etores não-nlos V e W é definido pelo ânglo determinado por V e W qe satisfa 0 qando eles estão representados com a mesma origem. Qando o ânglo entre dois etores V e W é reto ( = 90 o ) diemos qe os etores V e W são ortogonais o perpendiclares entre si. Lema Se dois etores V e W são ortogonais então V. W = 0. Fig. 5.4 (a) Fig. 5.4 (b) Podemos decompor m etor V em ma soma de dois etores V e V sendo V na direção de m etor W e V perpendiclar a W (figra 5.5). 0 de feereiro de 00 Ale N. Brasil

21 05 Fig. 5.5 (a) Fig. 5.5 (b) Figra 5.5 Decomposição de V em ma soma V V onde V é paralelo a W. O etor V é chamado projeção ortogonal de V sobre W e é denotado por proj W V. Proposição Seja W m etor não nlo. Então a projeção ortogonal de m etor V em W é dada por V proj W V W W. W Uma Aplicação na Física O prodto escalar é ma importante ferramenta matemática para a Física ma e qe inúmeras grandeas físicas são definidas com se emprego como por eemplo o trabalho. O trabalho realiado por ma força constante F ao longo de m deslocamento d é definido como o prodto escalar desta força pelo deslocamento efetado pelo corpo qal a força está aplicada. Pode-se obserar qe a componente da força F qe realia o trabalho é F conforme mostra a figra 5.6. Então F F cos Fig. 5.6 Onde é o ânglo entre a força e o deslocamento. A grandea física trabalho notada por W é ma grandea escalar e tem como nidade no Sistema Internacional o jole notado por J. Então F d W o W F d cos [J] = [N m] 0 de feereiro de 00 Ale N. Brasil

22 06 E.: Vamos determinar o ânglo entre ma diagonal de m cbo e ma de sas arestas. Sejam V = ( 0 0) V = (0 0) e V = (0 0 ) (figra 5.7). Uma diagonal do cbo é representada pelo etor D dado por D = V + V + V = ( ). Então o ânglo entre D e V satisfa cos D V D V o seja arccos 54. Prodto Vetorial Vamos agora definir m prodto entre dois etores cjo resltado é m etor. Por isso ele é chamado prodto etorial. Este prodto tem aplicação por eemplo Fig. 5.7 em Física: a força eercida sobre ma partícla carregada merglhada nm campo magnético é o prodto etorial do etor elocidade da partícla pelo etor campo magnético desde qe o campo seja constante e a carga seja nitária. Definição Sejam V = ( ) e W = ( ) dois etores no espaço. Definimos o prodto etorial V W por V W det det det (4) E.: Sejam V = ( - ) e W = ( 0 ). V W det det det ( 7 6) de feereiro de 00 Ale N. Brasil

23 07 Vetores Canônicos i (00) j (00 ) k (00 ) são etores nitários (de norma igal a m) paralelos aos eios coordenados. Todo etor V = ( ) pode ser escrito em termos de ma soma de múltiplos escalares de i j e k (combinação linear) pois V ( ) ( 00) (0 0) (00 ) ( 00) (00) (00) i j k i j k Fig. 5.8 (a) Fig. 5.8 (b) Usando os etores i j e k o prodto etorial determinante simbólico V W pode ser escrito em termos do V W i (5) j k onde V W i j k i j k O símbolo à direita de (5) não é m determinante pois a primeira linha contém etores em e de escalares. No entanto saremos esta notação pela facilidade de memoriação qe ela propicia no cálclo do prodto etorial. 0 de feereiro de 00 Ale N. Brasil

24 08 E.: Calclar para 5i 4 j k e i k Sol.: i j k i j k i j 5 4 repita as primeira e segnda linhas faça a mltiplicação dos elementos das diagonais principais menos as diagonais secndárias. 4 i j 5 0 k 4 k 0 i 5 j 4i j 4 k o ( 4 4) No teorema seginte estão as propriedades mais importantes do prodto etorial. Teorema Sejam V W e U etores no espaço e m escalar. São álidas as segintes propriedades: (a) V W = - (W V) o seja o prodto etorial é anti-comtatio; (b) V W = se e somente se V = W o W = V; (c) V. (V W) = W. (V W) = 0 o seja o prodto etorial V W é perpendiclar a V e a W; (d) V (W + U) = V W + V U e (V + W) U = V U + W U; (e) (V W) = ( V) W = V ( W); (f) V W = V W - (V. W) (identidade de Lagrange). Características do Vetor V W Se V e W são etores não nlos já imos qe V W é perpendiclar a V e a W. Além disso pode ser mostrado qe o sentido de V W é determinado pela regra da mão direita'' (figra 5.9): Se o ânglo entre V e W é giramos o etor V de m ânglo até qe coincida com W e acompanhamos este moimento com os dedos da mão direita então o polegar ai apontar no sentido de V W. Fig. 5.9 (a) Fig. 5.9 (b) 0 de feereiro de 00 Ale N. Brasil

25 09 Interpretação Geométrica Se V e W são etores no espaço o prodto etorial V W tem ma interpretação geométrica. Pela identidade de Lagrange V W = V W - (V. W). Se é o ânglo entre V e W então V. W = V W cos e assim V W = V W - V W (cos ) = V W (sen ). Como 0 sege qe sen 0 e portanto V W V W sen Mas W sen é a altra do paralelogramo determinado por V e W (figra 5.40). Logo a norma do prodto etorial V W é igal à área do paralelogramo determinado por V e W. Isto demonstra o resltado seginte. Fig Área de m paralelogramo Teorema Sejam V e W etores não nlos no espaço. A área do paralelogramo determinado por V e W é igal a V W E.: Vamos calclar a área do triânglo determinado pelos pontos P = ( 0) Q = (0 4 ) e R = (- 0 ) (figra 5.4). Sejam V = W = PQ = ( ) = (- ) PR = ( ) = (- - ). Então e V W = (0-5 0) Área = 5 V W. Fig de feereiro de 00 Ale N. Brasil

26 0 Prodto Misto O olme de m paralelepípedo determinado por três etores também pode ser obtido sando o prodto escalar e o prodto etorial como mostraremos a segir. Teorema Sejam U V e W etores no espaço. Então U ( V W ) O prodto U. (V W) é chamado de prodto misto de U V e W. E.: O prodto misto dos etores U = i j + k V = i + 4j + k e W = 5i + j k é U ( V W ) Teorema Sejam U V e W etores no espaço. O olme do paralelepípedo determinado por U V e W (figra 5.4) é igal a U ( V W ). Fig. 5.4 Demonstração O olme do paralelepípedo determinado por U V e W é igal a área da base ees a altra o seja pelo teorema isto anteriormente o olme é dado por ol = V W h. Mas como emos na figra 5.4 a altra é h = U cos o qe implica qe ol = V W U cos = U. (V W). 0 de feereiro de 00 Ale N. Brasil

27 E.: Sejam U = - i + j + 5k V = i + 4j 4k e W = j + k. O olme de m paralelepípedo com arestas determinadas por U V e W é dado por 5 U ( V W ) Corolário Sejam U V e W etores no espaço. Estes etores são coplanares (isto é são paralelos a m mesmo plano) o dois deles são colineares (paralelos) o m deles é o etor nlo se e somente se U ( V W ) 0. E.: Vamos erificar qe os pontos P = (0 ) Q = ( 0 ) R = ( - 0) e S = (- - ) são coplanares isto é pertencem a m mesmo plano. Com estes pontos podemos constrir os etores PQ = ( ) = ( - ) PR = ( ) = ( - - ) e PS = ( ) = (- - ) Os pontos P Q R e S pertencem ao mesmo plano se e somente se os etores PQ PR e PS são coplanares. E isto acontece se e somente se o prodto misto entre eles é ero. Mas PQ ( PR PS) 0 0 de feereiro de 00 Ale N. Brasil

28 Espaços Vetoriais Eclidianos Em meados do séclo deessete foi materialiada eplicitamente a idéia de tiliar pares de números para sitar pontos no plano e ternos de números para sitar pontos no espaço tridimensional. Na segnda metade do séclo deoito os matemáticos e físicos começaram a perceber qe não haia necessidade de parar com ternos pois qádrplos a a a a4 de números poderiam ser considerados pontos de m espaço de dimensão qatro qíntplos a a a a4 a5 de números como pontos nm espaço de dimensão cinco e assim por diante ma n-pla de números sendo pontos de m espaço n-dimensional. Nosso objetio neste capítlo é estdar as propriedades das operações sobre os etores deste tipo de espaço. Espaço Eclidiano n -dimensional Neste capítlo definimos o espaço tridimensional R como o conjnto de todas as ternas de números reais. Esta definição nos dá m modelo matemático do espaço físico em qe iemos pois a intição geométrica e a eperiência diária impõem qe a localiação de qalqer ponto seja especificada niocamente por três coordenadas. Embora nossa isaliação geométrica não se estenda além do espaço tridimensional é possíel mesmo assim estender além do espaço tridimensional mitas das idéias familiares trabalhando não com as propriedades geométricas de pontos e etores mas sim com sas propriedades nméricas o algébricas. Vetores no Espaço n -dimensional Definição Se n é m inteiro positio diemos qe ma seqüência a a a n de números reais é ma n-pla ordenada. O conjnto de todas as n-plas ordenadas é chamado espaço n- dimensional e denotado por R n. Já imos qe os etores no plano são definidos por pares ordenados de números reais e qe etores no espaço são definidos por ternos ordenados de números reais. Mito do qe estdamos sobre etores no plano e no espaço pode ser estendido para n-plas de números reais em qe n pode ser m número inteiro positio. Para cada n o conjnto das n-plas de números reais é chamado espaço eclidiano. O conjnto R é simplesmente o conjnto dos números reais. O conjnto R é o conjnto dos pares de números reais e o R é o conjnto dos ternos de números reais. pode ser interpretado geometricamente de das maneiras: pode ser isto como m ponto neste caso e são as coordenadas do ponto No R o terno de números 0 de feereiro de 00 Ale N. Brasil

29 (figra 5.4) o como m etor neste caso e são as componentes do etor (figra 5.44). Também no R n ma n-pla pode ser pensada como m etor o como m ponto. Por eemplo a qíntpla X 54 pode ser pensada como m ponto no R qando consideramos X como m elemento do conjnto R 5 o como m etor do R 5 qando faemos operações com X como as qe iremos definir adiante. Vamos chamar os elementos do R n de pontos o de etores dependendo da sitação. Fig. 5.4 Fig Definição Dois etores e n A soma + é definida por n n n n n em R n são ditos igais se e se k é m escalar qalqer o múltiplo escalar k de é definido por As operações de adição e mltiplicação por escalar nesta definição são chamadas as operações padrão em R n. O etor nlo o ero de R n é denotado por 0 e é definido como de feereiro de 00 Ale N. Brasil

30 4 Se denotado por n é m etor qalqer de R n então o negatio (o simétrico) de é e definido por A diferença de etores em R n é definida por n n n Propriedades das Operações Vetoriais no Espaço n -dimensional As propriedades aritméticas mais importantes da adição e mltiplicação por escalar de etores em R n estão listadas no próimo teorema. As proas são todas fáceis e deiadas como eercícios. Teorema Se n são escalares então: n e w w w w n são etores em R n e k e l a) b) c) ( w) ( ) w 0 0 d) ( ) 0 o seja 0 e) k ( l ) kl ( ) f) g) h) l ( ) l l (k l) k l Espaço Eclidiano n -dimensional Para estender as noções de distância norma e ânglo ao R n nós começamos com a seginte generaliação do prodto escalar de R e R. 0 de feereiro de 00 Ale N. Brasil

31 5 Definição Se e n define o prodto interno eclidiano n são etores qaisqer em R n então de e. n n Obsere qe para n o o prodto interno eclidiano é o prodto escalar sal. E.: O prodto interno eclidiano dos etores 57 e em R 4 é ( )(5) ()( 4) (5)(7) (7)(0) 8 Como tantas das idéias familiares dos espaços bi e tridimensionais continam álidas no espaço n-dimensional é comm nos referirmos ao R n com as operações de adição mltiplicação por escalar e o prodto interno eclidiano como espaço eclidiano n- dimensional. Teorema Propriedades do Prodto Interno Eclidiano Se e w são etores em R n e l é m escalar então: a) b) ( l ) l( ) c) ( ) w w d) 0. Além disso 0 se e somente se 0. Espaço Eclidiano n -dimensional Por analogia com as fórmlas familiares do R e R nós definimos a norma eclidiana (o o comprimento eclidiano) de m etor n em R n por 0 de feereiro de 00 Ale N. Brasil

32 6 ( ) n (6) Da mesma forma a distância eclidiana entre os pontos n do R n é definida por n e E.: Se 7 e 07 d ( ) ( ) ( n n ) (7) então temos no espaço eclidiano R 4 () () ( ) (7) 6 7 e d ( ) ( 0) ( 7) ( ) (7 ) 58 Teorema A desigaldade de Cach-Schar em R n então: Se e n n são etores qaisqer em R n então: (8) Se e são etores não-nlos do R e R cos cos (9) e se 0 o se 0 então ambos os lados de (9) são ero de modo qe a desigaldade ale também neste caso. Os próimos dois teoremas apresentam as propriedades básicas de comprimento e distância no espaço eclidiano n-dimensional. Teorema Propriedades do Comprimento em R n Se e w são etores em R n e k é m escalar então: a) 0 0 de feereiro de 00 Ale N. Brasil

33 7 b) 0 se e somente se 0 c) k k d) (desigaldade trianglar) A parte (c) deste teorema afirma qe mltiplicando m etor por m escalar k mltiplica o comprimento daqele etor por m fator de k (figra 5.45 (a)). A parte (d) deste teorema é conhecida como a desigaldade trianglar por qe generalia o resltado familiar da geometria eclidiana segndo o qal a soma de dois dos lados de m triânglo é pelo menos tão grande qanto o terceiro lado (figra 5.45 (b)). k Fig (a) Fig (b) Teorema Propriedades da Distância em R n Se e w são etores em R n então: a) d 0 b) d 0 c) d d d) d w d d w se e somente se (desigaldade trianglar) A parte (d) deste teorema qe também é chamada desigaldade trianglar generalia o resltado familiar da geometria eclidiana qe afirma qe a menor distância entre dois pontos é obtida ao longo de ma reta (figra 5.46). 0 de feereiro de 00 Ale N. Brasil

34 8 w w d d w d Fig A fórmla (6) epressa a norma de m etor em termos do prodto escalar. O seginte teorema útil epressa o prodto escalar em termos de normas. Teorema Se e são etores em R n com prodto interno eclidiano então (0) 4 4 Ortogonalidade Lembre-se qe nos espaços eclidianos R e R dois etores e são definidos como sendo ortogonais (o perpendiclares) se 0. Motiados por isto nós apresentamos a seginte definição. Definição Dois etores e em R n são ortogonais se 0. E.: Os etores são ortogonais no espaço eclidiano R 4 pois 4 e 0 ( )() ()() ()(0) (4)( ) 0 Obseramos qe mitas das propriedades familiares de etores ortogonais dos espaços eclidianos R e R continam alendo no espaço eclidiano R n. Por eemplo se e 0 de feereiro de 00 Ale N. Brasil

35 9 são etores ortogonais de R o de R então e + formam os lados de m triânglo retânglo (figra 5.47); assim pelo teorema de Pitágoras Fig O próimo teorema mostra qe este resltado estende ao R n. Teorema O teorema de Pitágoras em R n. Se e são etores ortogonais em R n com prodto interno eclidiano então Notações Alternatias para Vetores em R n Mitas ees é útil escreer m etor ma matri-linha o ma matri-colna: n de R n em notação matricial como n o n Estas notações podem ser jstificadas pelo fato de qe as operações matriciais 0 de feereiro de 00 Ale N. Brasil

36 0 de feereiro de 00 Ale N. Brasil 0 n n n n n n o n n n n n n prodem os mesmos resltados qe as operações etoriais n n n n n n A única diferença é o formato em qe escreemos os etores. Uma Fórmla Matricial para o Prodto Escalar Se nós sarmos a notação de matries-colna para os etores n e n e omitirmos o colchete de matries então teremos n n n n T

37 0 de feereiro de 00 Ale N. Brasil Assim para etores na notação de matries-colna nós temos a seginte fórmla para o prodto interno eclidiano: T () E.: Se 7 5 e então T Um Sistema Linear Escrito na Forma de Prodto Escalar Em particlar podemos escreer m sistema linear B AX no formato de prodto escalar como m b m b b r r r () onde m r r r são os etores-linha de A e m b b b são as entradas de B. Um eemplo de m sistema linear epresso no formato () de prodto escalar é:

38 Sistema Forma de Prodto Escalar Independência Linear Definição Para cada inteiro positio n o espaço eclidiano R n é definido pelo conjnto de todas as X de números reais. n n-plas ordenadas Combinação Linear Uma combinação linear de etores escalares de k. k é simplesmente ma soma de múltiplos Definição Um etor é ma combinação linear dos etores k se a eqação etorial k k () possi solção o seja se eistem escalares k qe satisfaem eqação (). Neste caso diemos também qe pode ser escrito como ma combinação linear de k. Se k então a eqação () se red a de se e somente se é m múltiplo escalar de. o seja é ma combinação linear E.: Sejam 00 e 0 etores de R. O etor não é ma combinação linear de e pois a eqação 0 de feereiro de 00 Ale N. Brasil

39 qe pode ser escrita como 00 0 o ainda ) 0 ( é eqialente ao sistema 0 qe não possi solção. Fig (a) O etor não é Fig (b) O etor é combinação combinação linear de e linear de e E.: O etor 0 é ma combinação linear de 00 e 0 pois a eqação o 0 de feereiro de 00 Ale N. Brasil

40 o ainda ) 0 0 ( é eqialente ao sistema 0 0 qe possi solção. E.: O etor nlo 0 é sempre combinação linear de qaisqer etores k pois k E.: Todo etor a b c Pois do R é ma combinação linear de i 00 j 00 e 00 a b c a00 b00 c00 k. a i b j c k. Para erificarmos se m etor b é combinação linear de m conjnto de etores a a a n escreemos a eqação etorial 0 de feereiro de 00 Ale N. Brasil a a n a n b (4)

41 5 e erificamos se ela tem solção. Se escrita como a a a n são etores do R m a (4) pode ser a am n a a n mn b bm Fig qe é eqialente ao sistema linear AX B em qe as colnas de A são etores são os etores escritos como matries colnas o seja A a a a n e X. Isto proa o seginte resltado. n a i Proposição Sejam A ma matri m n e B ma matri m. O etor b é combinação linear das colnas de A se e somente se o sistema AX B tem solção. 0 de feereiro de 00 Ale N. Brasil

42 6 Independência Linear Definição Diemos qe m conjnto (L.I.) se a eqação etorial S k de etores é linearmente independente k 0 (5) k só possi a solção triial o seja se a única forma de escreer o etor nlo como combinação linear dos etores k é aqela em qe todos os escalares são igais a ero. Caso contrário isto é se (5) possi solção não triial diemos qe o conjnto S é linearmente dependente (L.D.). E.: Um Conjnto Linearmente Dependente Se 0 5 e 7 58 então o conjnto de etores S é linearmente dependente pois 0. E.: Um Conjnto Linearmente Dependente Os polinômios p p 5 e p formam m conjnto linearmente dependente em P pois p p p 0. E.: Conjntos Linearmente Independentes Considere os etores i 00 j 00 e k 00 componentes a eqação etorial em R. Em termos de k i k j k k 0 é dada por 0 de feereiro de 00 Ale N. Brasil

43 7 k 00 k 00 k o eqialente por k k k 000 Isto implica qe k 0 k 0 e 0 S i j k é linearmente independente. Um argmento similar pode ser sado para mostrar qe os etores k de modo qe o conjnto e 00 0 e formam m conjnto linearmente independente em R. e n E.: Determinando Independência / Dependência Linear Determine se os etores 56 e formam m conjnto linearmente dependente o independente. Solção Em termos de componentes a eqação etorial é dada por o eqialente por k k k k k 56 k 000 k k k k 6k k k k k Igalando as componentes correspondentes dá 0 0 de feereiro de 00 Ale N. Brasil

44 8 k k k 5k 6k k k k k Assim os etores e formam m conjnto linearmente dependente se este sistema tier ma solção não-triial o m conjnto linearmente independente se só tier a solção triial. Resolendo o sistema obtemos k t k t k t Assim o sistema tem solções não-triiais e e formam m conjnto linearmente dependente. Alternatiamente nós poderíamos mostrar a eistência de solções não-triiais sem resoler o sistema mostrando qe a matri de coeficientes tem determinante ero e conseqüentemente é não-inertíel (erifiqe). O termo linearmente dependente sgere qe os etores de algma maneira dependem m do otro. O próimo teorema mostra qe isto realmente ocorre. Teorema Um conjnto S de dois o mais etores é: a) Linearmente dependente se e somente se pelo menos m dos etores de S pode ser escrito como ma combinação linear dos otros etores de S. b) Linearmente independente se e somente se nenhm etor em S pode ser escrito como ma combinação linear dos otros etores de S. E.: Nós já imos qe os etores i 00 j 00 e k 00 formam m conjnto linearmente independente. Pelo teorema anterior sege qe nenhm destes etores pode ser escrito como ma combinação linear dos otros dois. Para er isto diretamente sponha qe k pode ser escrito como Em termos de componentes k k i k j 0 k o 0 k k 0 0 k 0 0 de feereiro de 00 Ale N. Brasil

45 9 Mas a última eqação não é álida para nenhm alor de k e k de modo qe k não pode ser epresso por ma combinação linear de i e j. Similarmente i não pode ser epresso por ma combinação linear de i e j. Similarmente i não pode ser epresso por ma combinação linear de j e k e j não pode ser epresso por ma combinação linear de i e k. O seginte teorema fornece das informações importantes sobre independência linear. Teorema a) Um conjnto finito de etores qe contém o etor nlo é linearmente dependente. b) Um conjnto de eatamente dois etores é linearmente independente se e somente se nenhm dos dois etores é m múltiplo escalar do otro. Interpretação Geométrica da Independência Linear A independência linear tem ma interpretação geométrica útil em R e R : Em R o R m conjnto de dois etores é linearmente independente se e somente se os etores não estão nma mesma reta qando colocados com ses pontos iniciais na origem (figra 5.50). Fig Linearmente dependente Linearmente independente Em R m conjnto de três etores é linearmente independente se e somente se os etores não estão nm mesmo plano qando colocados com ses pontos iniciais na origem (figra 5.5). 0 de feereiro de 00 Ale N. Brasil

46 0 Fig. 5.5 Três etores linearmente dependentes (paralelos) Três etores linearmente dependentes ( paralelos) No R temos qe se três etores não nlos são L.D. então o os três são paralelos o dois deles são paralelos o os três são coplanares isto é são paralelos a m mesmo plano. Três etores linearmente dependentes (coplanares) Portanto podemos dier qe três etores são L.D. se e somente se m deles é ma combinação linear dos otros dois. No R se três etores são L.I. então eles não são coplanares (figra 5.5). Fig Três etores linearmente independentes 0 de feereiro de 00 Ale N. Brasil

47 Para descobrir se m conjnto n é L.I. precisamos saber se a eqação etorial n 0 (6) n tem somente solção triial. Se escrita como n são etores do R m a eqação (6) pode ser m é eqialente ao sistema linear homogêneo etores i 0 0 n n mn A X 0 em qe as colnas de A são os A n e X. Isto n escritos como matries colnas o seja proa o seginte resltado. Proposição Seja A ma matri m n. a) As colnas de A são linearmente independentes se e somente se o sistema A X 0 tem A X 0 somente a solção triial. b) Se m n então as colnas de A são linearmente independentes se e somente se det( A ) 0. Teorema Seja S r m conjnto de etores em R n. Se r n então S é linearmente dependente. O teorema acima nos di qe m conjnto em R com mais de dois etores o m conjnto em R com mais de três etores o m conjnto em R n com mais de n etores são sempre L.D. Pois nestes casos o problema de erificar se eles são o não L.I. lea a m 0 de feereiro de 00 Ale N. Brasil

48 sistema linear homogêneo com mais incógnitas do qe eqações qe tem sempre solção triial. E.: Considere os etores 0 0 e são L.I. o L.D. escreemos a eqação de R. Para sabermos se eles 0 Esta eqação etorial eqialente ao sistema linear A X 0 em qe 0 A 0. Escalonamento a matri A 0 podemos obter a sa forma escalonada redida R Conclímos então qe o sistema A X 0 possi somente a solção triial 0. Portanto os etores são L.I. E.: Sejam e L.I. o L.D. escreemos a eqação etores do R. Para sabermos se eles são 0 Esta eqação etorial eqialente ao sistema linear A X 0 em qe 7 A de feereiro de 00 Ale N. Brasil

49 A matri A 0 é eqialente por linhas à matri escalonada redida R Assim a ariáel pode ser ma ariáel lire qe pode portanto assmir qalqer alor. Conclímos qe o sistema A X 0 Portanto os etores são L.D. e a eqação etorial (7) têm solção não triial. A epressão linearmente dependente sgere qe os etores dependem ns dos otros em algm sentido. O teorema seginte mostra qe este realmente é o caso. Teorema Um conjnto S k k de etores é linearmente dependente (L.D.) se e somente se pelo menos m dos etores j for combinação linear dos otros etores de S. 0 de feereiro de 00 Ale N. Brasil

50 4 Eercícios Nméricos. Dados os etores i j e i j determinar R.: ( 5). Dados os etores ( ) e (4) calclar (a) (b) R.: (a) (b). Dados os etores ( ) e ( 4) calclar ( ) R.: - 4. Determine o alor de para o qal os etores i j 4k e w i j k são perpendiclares. R.: 5. Ache o ânglo entre o seginte par de etores: i j e i j k R.: arccos 4 6. Sejam ( ) ( 0 ) e w (67) calcle ( ) w R.: ( 740 4) 7. Encontre a área do paralelogramo determinado por e. ( ) (0 ) R.: Calcle a área do triânglo com értices A ( ) B (04) e C (5 ) 9. Encontre o prodto misto ( w). R.: 0 (4) ( 4 ) w (5 ) R.: Calcle o olme do paralelepípedo qe tem m dos értices no ponto A = (6) e os três értices adjacentes nos pontos B = (4) C = () e D = (). R.: 5 nids de Vol 0 de feereiro de 00 Ale N. Brasil

51 5. Sejam = (- 0) = (4 7 - ) e w = (5-8 ). Encontre (a) w (b) ( 4w). Sejam e 6 0 escalares c c c ec4 4. Encontre os c c c c 056 R.: c ; c ; c ; c Verifiqe qe não eistem escalares c c c tais qe c 00 c 0 c 0 4. Em cada parte calcle a norma eclidiana do etor. (a) ( 5) (b) ( 40 ) (c) ( 4) 5. Sejam 4 08 e w. Calcle cada epressão. (a) (b) (c) 5 w 6. Encontre o prodto interno eclidiano. (a) (b) Encontre a distância eclidiana entre e. (a) 0 44 (b) Em cada parte determine se os etores dados são ortogonais. (a) 4 (b) Para qais alores de k os etores e são ortogonais? (a) 7 k (b) k k k56 0 de feereiro de 00 Ale N. Brasil

52 6 0. Resola os segintes sistemas lineares em e Qais dos segintes etores são combinação linear de X 4 X 0? (a) ; (b) 4 6. X e. Qais dos segintes conjntos de etores são linearmente dependentes? (a) 00 46; (b).. Para qais alores de o conjnto de etores 0 0 é L.D.? 4. Vamos calclar a força (qe é m etor) de atração entre dois corpos de massas e 5 nidades colocados nos pontos ( 5) e ( 0) respectiamente sabendo qe a m m intensidade da atração entre eles é dada pela relação. d 5 4 R.: F Onde m é a massa do primeiro corpo m a massa do segndo e d a distância entre eles e sabendo ainda qe a força age na direção da reta qe ne os dois pontos. 0 de feereiro de 00 Ale N. Brasil

53 7 5. Um campo elétrico niforme ind ma força constante dada pelo etor F 0 5 em ma partícla carregada eletricamente. Vamos calclar o trabalho realiado qando a partícla se moe na trajetória qe começa e termina em A dada pela figra abaio. O trabalho total é T T onde TAB é o trabalho realiado de A a B etc. O trabalho é o prodto interno da força pelo etor qe dá o deslocamento. AB T BC T CA R.: 0 A=( ).5.5 B=( ).5 C=( ) de feereiro de 00 Ale N. Brasil

54 8 Eercícios sando o MatLab >> V=[] cria m etor V sando as componentes nméricas. Por eemplo >> V=[] cria o etor V = ( ); >> sbs(eprnm) sbstiti por nm na epressão epr; >> sole(epr) determina a solção da eqação epr=0; Comandos nméricos do pacote GAAL: >> V=randi() cria m etor aleatório com componentes inteiras; >> no(v) calcla a norma do etor V. >> pe(vw) calcla o prodto escalar do etor V pelo etor W. >> p(vw) calcla o prodto etorial do etor V pelo etor W. Comandos gráficos do pacote GAAL: >> deset(pv) desenha o etor V com origem no ponto P >> deset(v) desenha o etor V com origem no ponto O = (0 0 0). >> po([p;p;...;pn]) desenha os pontos P P... Pn. >> lineseg(pp'cor') desenha o segmento de reta PP. >> eios desenha os eios coordenados. >> bo desenha ma caia em olta da figra. >> aiss reescala os eios com a mesma escala. >> rota fa ma rotação em torno do eio. >> oom(fator) amplifica a região pelo fator. >> te(p'teto') coloca o teto no ponto P. 0 de feereiro de 00 Ale N. Brasil