Aprendizagens Académicas

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1 AGRUPAMENTO DE ESCOLAS DE SÃO LOURENÇO VALONGO Departamento de Matemática e Ciências Experimentais Matemática 3º Ciclo 2016/2017 PERFIL DE APRENDIZAGENS ESPECÍFICAS 8º ANO O perfil do alno foi definido com base nas Metas de Aprendizagem e nos Critérios de Avaliação do Agrpamento. O alno é capaz de Aprendizagens Académicas NÚMEROS E OPERAÇÕES NO8 Dízimas finitas e infinitas periódicas Relacionar números racionais e dízimas 1. Reconhecer, dada ma fração irredtível a, qe esta é eqivalente a ma fração decimal qando (e b apenas qando) b não tem fatores primos diferentes de 2 e de 5, e nesse caso, obter a respetiva representação como dízima por dois processos: determinando ma fração decimal eqivalente, mltiplicando nmerador e denominador por potências de 2 e de 5 adeqadas, e tilizando o algoritmo da divisão. 2. Reconhecer, dada ma fração própria irredtível a tal qe b tem pelo menos m fator primo diferente b de 2 e de 5, qe a aplicação do algoritmo da divisão à determinação scessiva dos algarismos da aproximação de a b como dízima com erro progressivamente menor condz, a partir de certa ordem, à repetição indefinida de ma seqência de algarismos com menos de b termos, a partir do algarismo correspondente ao primeiro resto parcial repetido. 3. Utilizar corretamente os termos «dízima finita», «dízima infinita periódica» (representando números racionais nessas formas), «período de ma dízima» e «comprimento do período» (determinando-os em casos concretos). 4. Saber qe o algoritmo da divisão nnca condz a dízimas infinitas periódicas de período igal a «9». 5. Representar ma dízima infinita periódica como fração, reconhecendo qe é ma dízima finita a diferença desse número para o respetivo prodto por ma potência de base 10 e de expoente igal ao comprimento do período da dízima e tilizar este processo para mostrar qe 0,(9)=1. 6. Saber qe se pode estabelecer ma correspondência m a m entre o conjnto das dízimas finitas e infinitas periódicas com período diferente de 9 e o conjnto dos números racionais. 7. Efetar a decomposição decimal de ma dízima finita tilizando potências de base 10 e expoente inteiro. 8. Representar números racionais em notação científica com ma dada aproximação. 9. Ordenar números racionais representados por dízimas finitas o infinitas periódicas o em notação científica. 10. Determinar a soma, diferença, prodto e qociente de números racionais representados em notação científica.

2 11. Identificar ma dízima infinita não periódica como a representação decimal de m número inteiro segido de ma vírgla e de ma scessão de algarismos qe não corresponde a ma dízima infinita periódica. 12. Representar na reta nmérica números racionais representados na forma de dízima convertendo-a em fração e tilizando ma constrção geométrica para decompor m segmento de reta em n partes igais. Dízimas infinitas não periódicas e números reais Completar a reta nmérica 1. Reconhecer qe m ponto da reta nmérica à distância da origem igal ao comprimento da diagonal de m qadrado de lado 1 não pode corresponder a m número racional e designar os pontos com esta propriedade por «pontos irracionais». 2. Reconhecer, dado m ponto A da semirreta nmérica positiva qe não corresponda a ma dízima finita, qe existem pontos de abcissa dada por ma dízima finita tão próximos de A qanto se pretenda, jstapondo a 0 segmentos de reta de medida 1 a partir da origem tal qe A esteja sitado entre os pontos de abcissa a 0 e a 0 +1, jstapondo em segida, a partir do ponto de abcissa a 0, a 1 1 segmentos de medida 10 tal qe A esteja sitado entre os pontos de abcissa a1 a1 1 a0 e a0 e continando este processo com segmentos de medida 2 10, ,... e associar a A a dízima «a 0,a 1 a 2». 3. Saber, dado m ponto A da semirreta nmérica positiva, qe a dízima a 0,a 1 a 2 associada a A é, no caso de A não ser m ponto irracional, a representação na forma de dízima da abcissa de A. 4. Reconhecer qe cada ponto irracional da semirreta nmérica positiva está associado a ma dízima infinita não periódica e interpretá-la como representação de m número, dito «número irracional», medida da distância entre o ponto e a origem. 5. Reconhecer qe o simétrico relativamente à origem de m ponto irracional A da semirreta nmérica positiva, de abcissa a 0,a 1 a 2 é m ponto irracional e representá-lo pelo «número irracional negativo» a 0,a 1 a Designar por «conjnto dos números reais» a nião do conjnto dos números racionais com o conjnto dos números irracionais e designá-lo por «R». 7. Saber qe as qatro operações definidas sobre os números racionais, a potenciação de expoente inteiro e a raiz cúbica se podem estender aos reais, assim como a raiz qadrada a todos os reais não negativos, preservando as respetivas propriedades algébricas, assim como as propriedades envolvendo proporções entre medidas de segmentos. 8. Reconhecer qe 2 é m número irracional e saber qe n (sendo n m número natral) é m número irracional n se não for m qadrado perfeito. 9. Utilizar o Teorema de Pitágoras para constrir geometricamente radicais de números natrais e representá-los na reta nmérica. 10. Saber qe é m número irracional. Ordenar números reais 1. Estender aos números reais a ordem estabelecida para os números racionais tilizando a representação na reta nmérica, reconhecendo as propriedades «transitiva» e «tricotómica» da relação de ordem. 2. Ordenar dois números reais representados na forma de dízima comparando seqencialmente os algarismos da maior para a menor ordem.

3 GEOMETRIA E MEDIDA GM8 Teorema de Pitágoras Relacionar o teorema de Pitágoras com a semelhança de triânglos 1. Demonstrar, dado m triânglo [ABC] retânglo em C, qe a altra [CD] divide o triânglo em dois triânglos a ele semelhantes, tendo-se AC AD BC BD e. AB AC AB BC 2. Reconhecer, dado m triânglo [ABC] retânglo em C e de altra [CD],qe os comprimentos a BC, b AC, c AB, x AD, y DB satisfazem as igaldades b 2 =xc e a 2 =yc e conclir qe a soma dos qadrados das medidas dos catetos é igal ao qadrado da medida da hipotensa e designar esta proposição por «Teorema de Pitágoras». 3. Reconhecer qe m triânglo de medida de lados a, b e c tais qe a 2 +b 2 =c 2 é retânglo no vértice oposto ao lado de medida c e designar esta propriedade por «recíproco do Teorema de Pitágoras». 1. geométricos envolvendo a tilização dos teoremas de Pitágoras e de Tales. 2. envolvendo a determinação de distâncias desconhecidas por tilização dos teoremas de Pitágoras e de Tales. Vetores, translações e isometrias Constrir e reconhecer propriedades das translações do plano 1. Identificar segmentos orientados como tendo «a mesma direção qando as respetivas retas-sportes forem paralelas o coincidentes. 2. Identificar segmentos orientados [A,B] e [C,D] como tendo «a mesma direção e sentido» o simplesmente «o mesmo sentido» qando as semirretas AB ecd tiverem o mesmo sentido e como tendo «sentidos opostos» qando tiverem a mesma direção mas não o mesmo sentido. 3. Identificar, dado m ponto A, o segmento de reta [AA] e o segmento orientado [A,A] de extremos ambos igais a A como o próprio ponto A e identificar, dada ma qalqer nidade de comprimento, o comprimento de [AA] e a distância de A a ele próprio como 0 nidades, e considerar qe o segmento orientado [A,A] tem direção e sentido indefinidos. 4. Designar por comprimento do segmento orientado [A,B] o comprimento do segmento de reta [AB], o seja, a distância entre as respetivas origem e extremidade. 5. Identificar segmentos orientados como «eqipolentes» qando tiverem a mesma direção, sentido e comprimento e reconhecer qe os segmentos orientados [A,B] e [C,D] de retas-sportes distintas são eqipolentes qando (e apenas qando) [ABCD] é m paralelogramo. 6. Saber qe m «vetor» fica determinado por m segmento orientado de tal modo qe segmentos orientados eqipolentes determinam o mesmo vetor e segmentos orientados não eqipolentes determinam vetores distintos, designar esses segmentos orientados por «representantes» do vetor e tilizar corretamente os termos «direção», «sentido» e «comprimento» de m vetor.

4 7. Representar o vetor determinado pelo segmento orientado [A,B] por AB. 8. Designar por «vetor nlo» o vetor determinado pelos segmentos orientados de extremos igais e representá-lo por Identificar dois vetores não nlos como «colineares» qando têm a mesma direção e como «simétricos» qando têm o mesmo comprimento, a mesma direção e sentidos opostos, convencionar qe o vetor nlo é colinear a qalqer otro vetor e simétrico dele próprio e representar por simétrico de m vetor. 10. Reconhecer, dado m ponto P e m vetor, qe existe m único ponto Q tal qe PQ e designá-lo por «P». 11. Identificar a «translação de vetor» como a aplicação qe a m ponto P associa o ponto P T P. e designar a translação e a imagem de P respetivamente por T e por 12. Identificar, dados vetores e v, a «composta da translação T com a v translação T» como a aplicação qe consiste em aplicar a m ponto P a translação T e, de segida, a translação T ao ponto T ( P ) obtido. v 13. Representar por «T v T» a composta da translação T com a translação T e reconhecer, dado m v ponto P, qe v T T P P v. 14. Reconhecer qe T T é ma translação de vetor w tal qe se v AB e designando por C a extremidade do representante de v de origem B (v triânglo»). 15. Reconhecer qe se podem adicionar dois vetores através da «regra do paralelogramo». BC ), então w AC e designar w por v («regra do 16. Jstificar, dado m ponto P e vetores e v, qe P v P v. 17. Reconhecer, dados vetores, v e w, qe v v, 0, 0 e v w v w e designar estas propriedades respetivamente por comtatividade, existência de elemento netro (vetor nlo), existência de simétrico para cada vetor e associatividade da adição de vetores. 18. Demonstrar qe as translações são isometrias qe preservam também a direção e o sentido dos segmentos orientados. 19. Saber qe as translações são as únicas isometrias qe mantêm a direção e o sentido de qalqer segmento orientado o semirreta. 20. Identificar, dada ma reflexão R r de eixo r e m vetor com a direção da reta r, a «composta da translação T com a reflexão R r» como a aplicação qe consiste em aplicar a m ponto P a reflexão R r e, em segida, a translação T ao ponto R r (P) assim obtido e designar esta aplicação por «reflexão deslizante de eixo r e vetor». 21. Saber qe as imagens de retas, semirretas e ânglos por ma isometria são respetivamente retas, semirretas e ânglos, transformando origens em origens, vértices em vértices e lados em lados. 22. Demonstrar qe as isometrias preservam a amplitde dos ânglos e saber qe as únicas isometrias do o

5 plano são as translações, rotações, reflexões axiais e reflexões deslizantes. 1. envolvendo as propriedades das isometrias tilizando raciocínio dedtivo. 2. envolvendo figras com simetrias de translação, rotação, reflexão axial e reflexão deslizantes. FUNÇÕES, SEQUÊNCIAS E SUCESSÕES FSS8 Gráficos de fnções afins Identificar as eqações das retas do plano 1. Demonstrar, tilizando o teorema de Tales, qe as retas não verticais nm dado plano qe passam pela origem de m referencial cartesiano nele fixado são os gráficos das fnções lineares e jstificar qe o coeficiente de ma fnção linear é igal à ordenada do ponto do gráfico com abcissa igal a 1 e à constante de proporcionalidade entre as ordenadas e as abcissas dos pontos da reta, designando-o por «declive da reta» no caso em qe o referencial é ortogonal e monométrico. 2. Reconhecer, dada ma fnção f : D R, (D) qe o gráfico da fnção definida pela expressão g(x)=f(x)+b (sendo b m número real) se obtém do gráfico da fnção f por translação de vetor definido pelo segmento orientado de origem no ponto de coordenadas 0, 0 e extremidade de coordenadas 0, b. 3. Reconhecer qe as retas não verticais são os gráficos das fnções afins e, dada ma reta de eqação y=ax+b, designar a por «declive» da reta e b por «ordenada na origem». 4. Reconhecer qe das retas não verticais são paralelas qando (e apenas qando) têm o mesmo declive. 5. Reconhecer, dada ma reta r determinada por dois pontos A de coordenadas A, A coordenadas, x x xb y B, qe a reta não é vertical qando (e apenas qando) B A yb ya o declive de r é igal a. x x B A x y e B de e qe, nesse caso, 6. Reconhecer qe os pontos do plano de abcissa igal a c (sendo m dado número real) são os pontos da reta vertical qe passa pelo ponto de coordenadas (c, 0) e designar por eqação dessa reta a eqação «x=c». 1. Determinar a expressão algébrica de ma fnção afim dados dois pontos do respetivo gráfico. 2. Determinar a eqação de ma reta paralela a otra dada e qe passa nm determinado ponto. 3. envolvendo eqações de retas em contextos diversos. ÁLGEBRA ALG8 Potências de expoente inteiro Estender o conceito de potência a expoentes inteiros 1. Identificar, dado m número não nlo a, a potência a 0 como o número 1, reconhecendo qe esta definição é a única possível por forma a estender a propriedade a nlos. a a mn m n a expoentes positivos o

6 2. Identificar, dado m número não nlo a e m número natral n, a potência a n 1 como o número n a, mn m n reconhecendo qe esta definição é a única possível por forma a estender a propriedade a a a a expoentes inteiros. 3. Estender as propriedades previamente estdadas das potências de expoente natral às potências de expoente inteiro. Monómios e Polinómios Reconhecer e operar com monómios 1. Identificar m monómio como ma expressão qe liga por símbolos de prodto «fatores nméricos» (operações envolvendo números e letras, ditas «constantes», e qe designam números) e potências de expoente natral e de base representada por letras, ditas «variáveis» (o «indeterminadas»). 2. Designar por «parte nmérica» o «coeficiente» de m monómio ma expressão representando o prodto dos respetivos fatores nméricos. 3. Designar por «monómio nlo» m monómio de parte nmérica nla e por «monómio constante» m monómio redzido à parte nmérica. 4. Designar por «parte literal» de m monómio não constante, estando estabelecida ma ordem para as variáveis, o prodto, por essa ordem, de cada ma das variáveis elevada à soma dos expoentes dos fatores em qe essa variável intervém no monómio dado. 5. Identificar dois monómios não nlos como «semelhantes» qando têm a mesma parte literal. 6. Designar por «forma canónica» de m monómio não nlo m monómio em qe se representa em primeiro lgar a parte nmérica e em segida a parte literal. 7. Identificar dois monómios como «igais» qando admitem a mesma forma canónica o qando são ambos nlos. 8. Redzir monómios à forma canónica e identificar monómios igais. 9. Designar por «gra» de m monómio não nlo a soma dos expoentes da respetiva parte literal, qando existe, e atribir aos monómios constantes não nlos o gra Identificar, dados monómios semelhantes não nlos, a respetiva «soma algébrica» como m monómio com a mesma parte literal e cjo coeficiente é igal à soma algébrica dos coeficientes das parcelas. 11. Identificar o «prodto de monómios» como m monómio cja parte nmérica é igal ao prodto dos coeficientes dos fatores e a parte literal se obtém representando cada ma das variáveis elevada à soma dos expoentes dos fatores em qe essa variável intervém nos monómios dados. 12. Mltiplicar monómios e adicionar algebricamente monómios semelhantes. 13. Reconhecer, dada ma soma de monómios semelhantes, qe sbstitindo as indeterminadas por números obtém-se ma expressão nmérica de valor igal à soma dos valores das expressões nméricas qe se obtêm sbstitindo, nas parcelas, as indeterminadas respetivamente pelos mesmos números. 14. Reconhecer, dado m prodto de monómios, qe sbstitindo as indeterminadas por números obtémse ma expressão nmérica de igal valor ao prodto dos valores das expressões nméricas qe se obtêm sbstitindo, nos fatores, as indeterminadas respetivamente pelos mesmos números. Reconhecer e operar com polinómios 1. Designar por «polinómio» m monómio o ma expressão ligando monómios (designados por «termos do polinómio») através de sinais de adição, qe podem ser sbstitídos por sinais de sbtração tomando-se, para o efeito, o simétrico da parte nmérica do monómio qe se sege ao sinal. 2. Designar por «variáveis do polinómio» o «indeterminadas do polinómio» as variáveis dos respetivos termos e por «coeficientes do polinómio» os coeficientes dos respetivos termos.

7 3. Designar por «forma redzida» de m polinómio qalqer polinómio qe se possa obter do polinómio dado eliminando os termos nlos, adicionando algebricamente os termos semelhantes e eliminando as somas nlas, e, no caso de por este processo não se obter nenhm termo, identificar a forma redzida como «0». 4. Designar por polinómios «igais» os qe admitem ma mesma forma redzida, por «termo independente de m polinómio» o termo de gra 0 de ma forma redzida e por «polinómio nlo» m polinómio com forma redzida «0». 5. Designar por «gra» de m polinómio não nlo o maior dos gras dos termos de ma forma redzida desse polinómio. 6. Identificar, dados polinómios não nlos, o «polinómio soma» (respetivamente «polinómio diferença») como o qe se obtém ligando os polinómios parcelas através do sinal de adição (respetivamente «sbtração») e designar ambos por «soma algébrica» dos polinómios dados. 7. Reconhecer qe se obtém ma forma redzida da soma algébrica de dois polinómios na forma redzida adicionando algebricamente os coeficientes dos termos semelhantes, eliminando os nlos e as somas nlas assim obtidas e adicionando os termos assim obtidos, o conclir qe a soma algébrica é nla se todos os termos forem assim eliminados. 8. Identificar o «prodto» de dois polinómios como o polinómio qe se obtém efetando todos os prodtos possíveis de m termo de m por m termo do otro e adicionando os resltados obtidos. 9. Reconhecer, dada ma soma (respetivamente prodto) de polinómios, qe sbstitindo as indeterminadas por números, obtém-se ma expressão nmérica de valor igal à soma (respetivamente prodto) dos valores das expressões nméricas qe se obtêm sbstitindo, nas parcelas (respetivamente fatores), as indeterminadas respetivamente pelos mesmos números. 10. Reconhecer os casos notáveis da mltiplicação como igaldades entre polinómios e demonstrá-los. 11. Efetar operações entre polinómios, determinar formas redzidas e os respetivos gras. 1. qe associem polinómios a medidas de áreas e volmes interpretando geometricamente igaldades qe os envolvam. 2. Fatorizar polinómios colocando fatores comns em evidência e tilizando os casos notáveis da mltiplicação de polinómios. Eqações incompletas de 2.º gra Resolver eqações do 2.º gra 1. Designar por eqação do 2.º gra com ma incógnita ma igaldade entre dois polinómios, com ma variável, redtível à eqação qe se obtém igalando a «0» m polinómio de 2.º gra com ma variável, por adição algébrica de termos igais a ambos os membros Designar a eqação do 2.º gra ax bx c 0 (a0) por «incompleta» qando b=0 o c=0. 3. Provar qe se m prodto de números é nlo então m dos fatores é nlo e designar esta propriedade por «lei do anlamento do prodto». 4. Demonstrar qe a eqação do 2.º gra x 2 =k não tem solções se k<0, tem ma única solção se k=0 e tem das solções simétricas se k>0. 5. Aplicar a lei do anlamento do prodto à resolção de eqações de 2.º gra, reconhecendo, em cada caso, qe não existem mais do qe das solções e simplificando as expressões nméricas das eventais solções. 1. envolvendo eqações de 2.º gra.

8 Eqações literais Reconhecer e resolver eqações literais em ordem a ma das incógnitas 1. Designar por «eqação literal» ma eqação qe se obtém igalando dois polinómios de forma qe pelo menos m dos coeficientes envolva ma o mais letras. 2. Resolver eqações literais do 1.º e do 2.º gra em ordem a ma dada incógnita considerando apenas essa incógnita como variável dos polinómios envolvidos e as restantes letras como constantes. Sistemas de das eqações do 1.º gra com das incógnitas Resolver sistemas de das eqações do 1.º gra a das incógnitas 1. Designar por «sistema de das eqações do 1.º gra com das incógnitas x e y» m sistema de das eqações nméricas redtíveis à forma «ax+by=c» tal qe os coeficientes a e b não são ambos nlos e tilizar corretamente a expressão «sistema na forma canónica». 2. Designar, fixada ma ordem para as incógnitas, o par ordenado de números (x 0, y 0 ) como «solção de m sistema com das incógnitas» qando, ao sbstitir em cada ma das eqações a primeira incógnita por x 0 e a segnda por y 0 se obtêm das igaldades verdadeiras e por «sistemas eqivalentes» sistemas com o mesmo conjnto de solções. 3. Interpretar geometricamente os sistemas de das eqações de 1.º gra nm plano mnido de m referencial cartesiano e reconhecer qe m tal sistema o não possi solções («sistema impossível»), o ma única solção («sistema possível e determinado») o as solções são as coordenadas dos pontos da reta definida por ma das das eqações eqivalentes do sistema («sistema possível e indeterminado»). 4. Resolver sistemas de das eqações do 1.º gra pelo método de sbstitição. 1. tilizando sistemas de eqações do 1.º gra com das incógnitas. ORGANIZAÇÃO E TRATAMENTO DE DADOS OTD8 Diagramas de extremos e qartis Representar, tratar e analisar conjntos de dados 1. Identificar, dado m conjnto de n dados nméricos (sendo n ímpar), o «primeiro qartil» (respetivamente «terceiro qartil») como a mediana do sbconjnto de dados de ordem inferior n 1 (respetivamente sperior) a na seqência ordenada do conjnto inicial de dados Identificar, dado m conjnto de n dados nméricos (sendo n par), o «primeiro qartil» (respetivamente «terceiro qartil») como a mediana do sbconjnto de dados de ordem inferior o n n igal a (respetivamente sperior o igal a 1) na seqência ordenada do conjnto inicial de 2 2 dados. 3. Identificar, considerado m conjnto de dados nméricos, o «segndo qartil» como a mediana desse conjnto e representar os primeiro, segndo e terceiro qartis respetivamente por Q 1, Q 2 e Q Reconhecer, considerado m conjnto de dados nméricos, qe a percentagem de dados não inferiores (respetivamente não speriores) ao primeiro (respetivamente terceiro) qartil é pelo menos 75%. 5. Representar conjntos de dados qantitativos em diagramas de extremos e qartis.

9 6. Identificar a «amplitde interqartil» como a diferença entre o 3.º qartil e o 1.º qartil designar por «medidas de dispersão» a amplitde e a amplitde interqartis. Q Q e envolvendo a análise de dados representados em gráficos diversos e em diagramas de extremos e qartis. O alno revela Aprendizagens Sociais 1. Responsabilidade Ser assído, pontal, cmpre as regras de trabalho, apresentar o material necessário e realizar o trabalho individal e os trabalhos de casa. 2. Empenho nas aprendizagens Realizar as tarefas propostas, prestar atenção e participar nas alas. 3. Boas relações interpessoais Respeitar o otro, cmprir as regras de convivência e demonstrar responsabilidade social.