Análise Matemática I - 006/007 - Generalidades sobre unções reais de variável real.-deinição e Propriedades De.. Sejam A e B conjuntos, e uma correspondência de A para B, isto é um processo de associar a cada elemento de A um único elemento de B. Diz-se então que é uma aplicação ou unção de A em B. : A B Y=( B A C Ao conjunto A chama-se domínio e ao conjunto B conjunto de chegada. Nota: O domínio de uma unção deinida por ramos é a reunião dos domínios dos ramos. Ao subconjunto C de B ormado por todos os elementos (, com x A, é o contradomínio de. Uma unção real de variável real é uma unção cujo domínio e cujo contradomínio são subconjuntos do conjunto dos reais. ª aula teórica pág. 6
Análise Matemática I - 006/007 De.. Injectividade e Sobrejectividade de unções. Dada uma unção : A B, diz-se que é unção: Injectiva se dados x x, quaisquer se tiver sempre (x ) ( x ) isto é x x ( x ) ( x ) x, x A, Exemplo: Estude, utilizando o gráico, a injectividade de y = x e y = x. Sobrejectiva se para qualquer y B existir x A tal que (=y, ou seja, y B X A : ( = y Exemplo: Estude, utilizando o gráico, a sobrejectividade de y = x Bijectiva se simultaneamente injectiva e sobrejectiva. De.. Paridade de unções Dada uma unção : A B, diz-se que é uma unção: Par se ( = (, x A Nota: Temos então nas unções pares uma simetria em relação ao eixo dos yy. Impar se ( = (, x A Nota: Temos então nas unções impares uma simetria em relação a um ponto (a origem). Exemplos: () ( x x = e w(=cos( são unções pares () g( = e h(=sen( são unções impares ª aula teórica pág. 7
Análise Matemática I - 006/007 De..4 Monotonia de unções Seja : A B uma unção e I A um intervalo. Diz-se que é: Crescente em sentido lato em I se para x < x ( x ) ( ) x Crescente em sentido estrito em I se para x < x ( x ) < ( ) x Decrescente em sentido lato em I se para x < x ( x ) ( ) x Decrescente em sentido estrito em I se x < x ( x ) > ( ) x Exemplos: () A unção constante, ( = K, é simultaneamente crescente e decrescente (em sentido lato) emr. () A unção identidade, ( = x é estritamente crescente emr. () A unção = x estritamente crescente em ] 0,+ [. Nota : ( = x tem: D = R C =[ 0,+ [ tem um zero em x=0 é positiva em R \ { 0} tem um mínimo absoluto 0 em x=0 não é injectiva não é sobrejectiva ( é estritamente decrescente em ],0[ e ª aula teórica pág. 8
Análise Matemática I - 006/007 De..5 Periodicidade de unções : A B uma unção, diz-se que é periódica de período t>0 se x + t = (, x ( ) A Mostre que: ( = senx, é periódica de período π ( = tg(, é periódica de período π Nota: sen(a± b)=sen(a)cos(b) ± cos(a)sen(b) cos(a± b)=cos(a)cos(b) sen(a)sen(b).- Funções elementares e composição de unções De..6 Funções elementares principais Designa-se unções elementares principais as unções deinidas pelas seguintes expressões analíticas: () (, ( cons tante) R = α x α unção potência x + () ( = a, a R \ { } unção exponencial + () ( = log x, a R \ { } a unção logarítmica (4) ( = sen( ( = cos( ( = tg( ( = cotg( ( = sec( = /cos( ( = cosec( = /sen( unções trigonométricas (5) ( = arcsen( ( = arcos( ( = arctg( ( = arcotg( ( = arcsec( unções trigonométricas inversas ª aula teórica pág. 9
Análise Matemática I - 006/007 De..7 Funções elementares Chama-se unção elementar toda a unção que possa ser obtida como combinação em número inito de unções elementares principais e de constantes com as operações de adição, subtracção, multiplicação, divisão e composição de unções.. Função composta. Função inversa. Função Implícita. De..8 Função composta Seja : A B uma unção, e g : C D outra unção, designase por unção composta de com g, a unção h = og que a cada x D h se tem: h ( = ( g( ) O domínio de h será D h = { x C : g( A} Exemplo: Seja ( = ln x e g ( x ) = x + 4 determine og x = g x ( )( ) ( ( )) ( g ( x )) = ln ( x + 4), D = { x D : g( D } og D = ] 0,+ [ e D = [,] D og { x D g( x D } = ) g g : = [,] : x + 4 ] 0, + [ x [,] : x + 4 > 0 = { x ],[ } g x = De..9 Função inversa Seja : A B uma unção injectiva, chama-se unção inversa de a : B A tal que o = x e o = x. Exemplo: Veriique se as unções seguintes são inversas: ( = x +, g( = x De..0 Funções implícitas ª aula teórica pág. 0
Análise Matemática I - 006/007 Sejam x, y R duas variáveis relacionadas por uma condição que designaremos simbolicamente por ψ ( x, y) = 0. Se existir uma unção y = ( deinida num intervalo ] a, b[ tal que ψ ( x, ( ) é uma identidade em relação a x, então ( designa-se unção implícita deinida pela equação ψ ( x, y) = 0. Obs.: A condição ψ ( x, y) = 0 pode deinir várias unções implícitas. 4 = Exemplo: x + y 0 y = + 4 x e y = 4 x Obs.: nem sempre é possível encontrar a orma explícita de uma unção implícita, isto é nem sempre é possível exprimir y = ( com unção elementar. Exemplo: y y + x = 0 ª aula teórica pág.
Análise Matemática I - 006/007 Breves noções sobre unções trigonométricas As unções sen( e cos( estão deinidas e são contínuas emr. Têm como contradomínio o intervalo [, ], são periódicas de período π. A unção tg( tem por domínio contradomínio R. π R \ + K π, k Ze por Exercício: desenhe o gráico de sen(, cos( e tg( Devido ao acto da unção sen(, cos( e tg( não serem invertiveis nos respectivos domínios há que considerar restrições destas unções a intervalos nos quais sejam injectivas. Assim: A unção arcsen( tem como domínio [, ] π contradomínio, π. A unção arcos( tem como domínio [, ] contradomínio [ 0,π ]. e como e como A unção arctg( tem como domínior e como contradomínio π, π. ª aula teórica pág.