Probabilidade III. Ulisses U. dos Anjos. Departamento de Estatística Universidade Federal da Paraíba. Período 2014.1

Probabilidade III Ulisses U. dos Anjos Departamento de Estatística Universidade Federal da Paraíba Período 2014.1 Ulisses Umbelino (DE-UFPB) Probabilidade III Período 2014.1 1 / 42

Sumário 1 Apresentação do Curso 2 Vetores Aleatórios Função de Distribuição conjunta Função de Probabilidade Conjunta Função Densidade de probabilidade Conjunta 3 Distribuição Condicional 4 Independência entre variáveis aleatórias 5 Modelos Probabilísticos Multivariados Distribuição Multinomial Distribuição Uniforme multivariada Ulisses Umbelino (DE-UFPB) Probabilidade III Período 2014.1 2 / 42

Apresentação do Curso 1. Vetores aleatórios n-dimensionais. 2. Função de distribuição conjunta. Vetor aleatório discreto: função de probabilidade conjunta. Vetor aleatório contínuo: densidade conjunta. Distribuições marginais. Densidades condicionais a n variáveis. Critérios de independência para vetores aleatórios independentes 3. Funções de variáveis aleatórias: método da integral de convolução, Distribuição da soma de variáveis aleatórias, caso discreto e contínuo 4. Funções de variáveis aleatórias: método do jacobiano, Distribuição do produto e do quociente de variáveis aleatórias. 5. Estatísticas de ordem. Definições. Distribuição das estatísticas de ordem, Distribuição conjunta das estatísticas de ordem. Algumas funções das estatísticas de ordem (amplitude amostral e mediana). Função de distribuição empírica. Ulisses Umbelino (DE-UFPB) Probabilidade III Período 2014.1 3 / 42 Conteúdo Programático

Apresentação do Curso Conteúdo Programático 6. Esperança de funções de vetores aleatórios. Propriedades. Momentos mistos e covariância. Propriedades básicas da covariância. Coeficiente de correlação: Propriedades. Desigualdade de Cauchy-Schwarz. Função geradora de momentos conjunta. 7. Esperança condicional. Variância condicional. Propriedades mais importantes da esperança e variância condicionais. 8. Função de regressão. 9. Esperanças de vetores aleatórios e matrizes de covariância. Propriedades mais importantes. 10. Distribuição normal multivariada. Distribuição condicional normal multivariada. Distribuição marginal. Ulisses Umbelino (DE-UFPB) Probabilidade III Período 2014.1 4 / 42

Vetores Aleatórios Vetores Aleatórios Definição 2.1 (Vetor Aleatório) Seja (Ω, F, P) um espaço de probabilidade. Então uma função X : Ω R m é denominado um vetor um vetor aleatório se a imagem inversa de todo Boreliano, B = (B 1,..., B m ), do R m for um elemento de F, isto é, { } X 1 (B) = ω Ω : X(ω) B F A Definição 2.1 significa que a função ( ) X(ω) = X 1 (ω),..., X m (ω) é tal que, para todo i = 1,..., m e todo B i R, tem-se X 1 i (B i ) F. Ulisses Umbelino (DE-UFPB) Probabilidade III Período 2014.1 5 / 42

Vetores Aleatórios Vetor Aleatório Observação 2.1 Da Definição de 2.1 segue que, } m {ω Ω : X 1 (ω) x 1,..., X m (ω) x m = também é um evento. De fato, pois i=1 {ω Ω : X i (ω x i ) } {ω Ω : X i (ω x i ) } é um evento para todo i = 1,..., m, pois X 1 i (B i ) F, e a interseção de eventos é também um evento, visto que qualquer σ álgebra é fechada para uniões e interesecções. Ulisses Umbelino (DE-UFPB) Probabilidade III Período 2014.1 6 / 42

Vetores Aleatórios Função de Distribuição conjunta Função de Distribuição Conjunta Definição 2.2 A função distribuição conjunta de um vetor aleatório X, representada por F X ou simplesmente F, é definida por ) F (x) = F (x 1,..., x m ) = P (X 1 x 1,..., X m x m para qualquer x R m. Ulisses Umbelino (DE-UFPB) Probabilidade III Período 2014.1 7 / 42

Vetores Aleatórios Função de Distribuição conjunta Função de Distribuição Conjunta: Propriedades Seja X um vetor aleatório em (Ω, F, P) então, para qualquer x R m, F (x) satisfaz as seguintes propriedades: (P1) F (x) é não decrescente em cada uma de suas coordenadas; De fato, considere um j qualquer fixo, e a j b j então } } {ω Ω : X i (ω) x i {ω Ω : X j (ω) a j i j está contido em, } } {ω Ω : X i (ω) x i {ω Ω : X j (ω) b j i j Logo, F (x 1,..., a j,..., x m ) F (x 1,..., b j,..., x m ). Ulisses Umbelino (DE-UFPB) Probabilidade III Período 2014.1 8 / 42

Vetores Aleatórios Função de Distribuição conjunta Demonstração (P2) F (x) é contínua à direita em cada uma de suas coordenadas; Isto significa que, lim F (x 1,..., y j,..., x m ) = F (x 1,..., x j,..., x m ) y j x j (P3) Se para algum j, x j, então lim F (x 1,..., x j,..., x m ) = 0 x j e se para todo i, x i, então lim F (x 1,..., x m ) = 1 x i (P4) F (x) é tal que, para todo a i, b i R, tal que a i b i, temos que, ( ) P a 1 < X 1 b 1,..., a m < X m b m, 0 Ulisses Umbelino (DE-UFPB) Probabilidade III Período 2014.1 9 / 42

Vetores Aleatórios Função de Distribuição conjunta Exemplo Exemplo 2.3 Considere uma central de reservas de uma companhia aérea e, para uma chamada ao acaso estamos interessados em duas quantidades aleatórias: X 1 é o tempo de espera e X 2 é o tempo de atendimento, ambas em minutos. Suponha que o comportamento conjunto dessas variáveis seja representada pela função de distribuição abaixo: { 0 se x1 < 0 ou x 2 < 0; F (x 1, x 2 ) = ( ) ( ) ( ) 1 exp x 1 exp 2x 2 + exp (x 1 + 2x 2 ) se x 1 0, x 2 0. (1) Ulisses Umbelino (DE-UFPB) Probabilidade III Período 2014.1 10 / 42

Vetores Aleatórios Função de Distribuição conjunta Função de Distribuição Marginal Definição 2.4 Seja F (x) a função de distribuição de (X 1,..., X m ). Para cada k, k = 1,..., m, definimos a Função de Distribuição Marginal de X k por; Exemplo 2.5 F (x k ) = lim F (x) x i, i k Considere a função de distribuição do Exemplo 2.3: F (x 1, x 2 ) = { 0 ( ) ( ) ( ) se x1 < 0 ou x 2 < 0; 1 exp x 1 exp 2x 2 + exp (x 1 + 2x 2 ) se x 1 0, x 2 0. Ulisses Umbelino (DE-UFPB) Probabilidade III Período 2014.1 11 / 42

Vetores Aleatórios Função de Distribuição conjunta Continuação Exemplo 2.5 Assim, e F (x 1 ) = F (x 2 ) = ( ) lim F (x 1, x 2 ) = 1 exp x 1 x 2 ( ) lim F (x 1, x 2 ) = 1 exp 2x 2 x 2 Ulisses Umbelino (DE-UFPB) Probabilidade III Período 2014.1 12 / 42

Vetores Aleatórios Função de Probabilidade Conjunta Função de Probabilidade Conjunta Definição 2.6 Seja X for um vetor aleatório discreto, então a Função de Probabilidade Conjunta é definida por, P X (x) = P(X 1 = x 1,..., X m = x m ) e deve satisfazer as seguintes propriedades: (i) P(X 1 = x 1,..., x m ) 0, x R m ; (ii) x R m P(X 1 = x 1,..., X m = x m ) = 1 Ulisses Umbelino (DE-UFPB) Probabilidade III Período 2014.1 13 / 42

Vetores Aleatórios Função de Probabilidade Conjunta Exemplo Exemplo 2.7 Duas moedas honestas são lançadas de forma independente e considere as seguintes variáveis aleatórias: X : número de caras; Y : função indicadora de faces iguais Assim a função de probabilidade conjunta é dada por: 0 se x = 0, y = 0 1 se x = 0, y = 1 4 1 se x = 1, y = 0 P(X = x, Y = y) = 2 0 se x = 1, y = 1 0 se x = 2, y = 0 1 se x = 2, y = 1 4 (2) Ulisses Umbelino (DE-UFPB) Probabilidade III Período 2014.1 14 / 42

Vetores Aleatórios Função de Probabilidade Conjunta Continuação Exemplo 2.7 Considere as seguintes regiões para a Função de distribição Conjunta de X e Y Quadro 2.1 X < 0 0 X < 1 1 X < 2 X 2 y < 0 0 0 0 0 1 0 Y < 1 0 0 2 0 1 1 Y 1 0 4 0 4 Ulisses Umbelino (DE-UFPB) Probabilidade III Período 2014.1 15 / 42

Vetores Aleatórios Função de Probabilidade Conjunta Continuação Exemplo 2.7 Assim, analisando o a função de distribuição conjunta é dada por: 0 se x < 0 ou y < 0 0 se 0 x < 1, 0 y < 1 4 se 0 x < 1, 0y 1 F (x, y) = P(X x, Y y) = 1 2 se 1 x < 2, 0 y < 1 3 4 se 1 x < 2, y 1 1 2 se x 2, 0 y < 1 1 se x 2, y 1 1 (3) Ulisses Umbelino (DE-UFPB) Probabilidade III Período 2014.1 16 / 42

Vetores Aleatórios Função Densidade de probabilidade Conjunta Função Densidade de probabilidade Conjunta Definição 2.8 Seja X um vetor aleatório contínuo, então dada a função de distribuição conjunta F (x) associada a X, existe um função f : R m R + denominada função densidade de probabilidade conjunta (fdpc), tal que, F (x) = Da Definição 2.8 segue que x1 f (x) = xm f (x)dy 1 dy m. m x 1 x m F (x) (4) Ulisses Umbelino (DE-UFPB) Probabilidade III Período 2014.1 17 / 42

Vetores Aleatórios Função Densidade de probabilidade Conjunta Função Densidade de probabilidade Conjunta Proposição 2.1 (Propriedades da Função Densidade de probabilidade Conjunta) Seja f uma função que satisfaz as condições da Definição 2.8, então (P1) f (x) 0, x R m ; (P2) f (x)dx 1 dx m A função densidade de probabilidade marginal é dada por f (x k ) = f (x)dx i1 dx im 1, i j k (5) ou da Definição de Função de distribuição Marginal, segue que f (x k ) = x k F (x k ) (6) Ulisses Umbelino (DE-UFPB) Probabilidade III Período 2014.1 18 / 42

Vetores Aleatórios Função Densidade de probabilidade Conjunta Exemplo Exemplo 2.9 Considere a função de distribuição do Exemplo 2.3 F (x 1, x 2 ) = { 0 ( ) ( ) ( ) se x1 < 0 ou x 2 < 0; 1 exp x 1 exp 2x 2 + exp (x 1 + 2x 2 ) se x 1 0, x 2 0. A função densidade de probabilidade conjunta é dada por ( ) ( ) F (x 1, x 2 ) = exp x 1 exp (x 1 + 2x 2 ) x 1 logo f (x 1, x 2 ) = 2 ( ) F (x 1, x 2 ) = 2 exp (x 1 + 2x 2 ) x 1 x 2 Ulisses Umbelino (DE-UFPB) Probabilidade III Período 2014.1 19 / 42

Vetores Aleatórios Função Densidade de probabilidade Conjunta Continuação Exemplo 2.9 As funções de distribuição marginais de X 1 e X 2 foram calculadas no Exemplo 2.5, logo as densidades marginais são dadas por e f (x 1 ) = f (x 2 ) = ( ( )) ( ) 1 exp x1 = exp x1 x 1 ( ( )) 1 exp 2x 2 = 2 exp ( ) 2x 2 x 2 Ulisses Umbelino (DE-UFPB) Probabilidade III Período 2014.1 20 / 42

Distribuição Condicional Distribuição Condicional Definição 3.1 Sejam X e Y duas variáveis em (Ω, F, P) e B 1 e B 2 R com P(Y B 2 ) > 0. Então, a probabilidade condicional de X dado Y B 2 é dado por P ( X B 1 Y B 2 ) = P ({X B 1 } {Y B 2 }) P ( Y B 2 ) (7) Ulisses Umbelino (DE-UFPB) Probabilidade III Período 2014.1 21 / 42

Distribuição Condicional Distribuição Condicional: Y v.a. discreta Se Y for uma variável discreta e y R tal que P(Y = y) > 0, então para X uma variável aleatória qualquer, tem-se que P(X B 1 Y = y) = P ({X B 1} {Y = y}) P ( Y = y ) (8) Logo, pelo teorema da Probabilidade total segue que a distribuição marginal de X é dada por P(X B 1 ) = y R P(X B 1 Y = y)p(y = y) (9) Ulisses Umbelino (DE-UFPB) Probabilidade III Período 2014.1 22 / 42

Distribuição Condicional Distribuição Condicional: Y v.a. discreta Tomando B 1 = ( inf, x] na Relação (8), obtemos a função de distribuição condicional de X dado = y ) P ({X x} {Y = y}) F X Y (x Y = y = P ( Y = y ) (10) Consequentemente, a Relação (9) nos fornecerá a função de distribuição marginal de X F X (x) = ( ) F x Y = y P(Y = y) (11) y R Da Relação (10) segue que a função de distribuição conjunta é dada por, F X,Y (x, y) = P ( Y = y ) ( ) F x Y = k (12) k:k y Ulisses Umbelino (DE-UFPB) Probabilidade III Período 2014.1 23 / 42

Distribuição Condicional Distribuição Condicional Se ambas as variáveis forem discretas então a função de probabilidade condicional é dada por P(X = x Y = y) = P(X = x, Y = y) P(Y = y) (13) Se ambas as variáveis forem contínuas então a função densidade de probabilidade condicional é dada por f X Y (x y) = f X,Y (x, y) f Y (y) (14) Da Relação (14) segue que F X Y (x y) = x f X Y (z y)dz (15) Ulisses Umbelino (DE-UFPB) Probabilidade III Período 2014.1 24 / 42

Distribuição Condicional Distribuição Condicional Da Relação (15) segue que e F X,Y (x, y) = F X (x) = y f Y (t)f X Y (x t)dt (16) f Y (y)f X Y (x y)dy. (17) Ulisses Umbelino (DE-UFPB) Probabilidade III Período 2014.1 25 / 42

Distribuição Condicional Exemplo Exemplo 3.2 Considere duas variáveis aleatórias: X discreta e Y contínua, com função mista de probabilidade conjunta dada por f (x, y) = { xy x 1 3 se x {1, 2, 3}, 0 y 1 0 caso contrário. (18) 1 Verifique que é de fato uma função de probabilidade; 2 Determine suas marginais; 3 Determine suas condicionais; 4 Determine sua função distribuição conjunta. Ulisses Umbelino (DE-UFPB) Probabilidade III Período 2014.1 26 / 42

Independência entre variáveis aleatórias Independência entre variáveis aleatórias Definição 4.1 Seja X = (X 1,..., X m ) um vetor aleatório m-dimensional definido em (Ω, F, P). Então as variáveis X 1,..., X m serão independentes se a sua distribuição conjunta é dada por P X (X 1 B 1,..., X m B m ) = para qualquer B = (B 1,..., B m ) R m. m P(X i B i ). Segue da Definição 4.1 que para qualquer sub-família de X as variáveis também serão independentes, pois se tomarmos algums B i = R, a Definição 4.1 continuará sendo válida. i=1 Ulisses Umbelino (DE-UFPB) Probabilidade III Período 2014.1 27 / 42

Independência entre variáveis aleatórias Independência entre variáveis aleatórias Observação 4.1 Se X = (X 1,..., X m ) um vetor aleatório discreto então m P X (X 1 = x 1,..., X m = x m ) = P(X i = x i ) i=1 Se X = (X 1,..., X m ) um vetor aleatório contínuo então, m f X (x 1,..., x m ) = f (x i ) i=1 Em ambos os casos a função de distribuição será dada por m F X (x 1,..., x m ) = F (x i ) i=1 Ulisses Umbelino (DE-UFPB) Probabilidade III Período 2014.1 28 / 42

Independência entre variáveis aleatórias Exemplo Exemplo 4.2 Sejam X e Y a duração da vida de dois dispositivos eletrônicos. suponha que a função densidade conjunta seja dada por f X,Y (x, y) = e (x+y) I [0, ) (x)i [0, ) (y) Verifique se X e Y são independentes. As marginais são dadas por f X (x) = 0 e (x+y) I [0, ) (x)dy = e x e y do mesmo modo, f Y (y) = e y I [0, ) (y), portanto, 0 = e x (0 1) = e x f X (x)f Y (y) = e x I [0, ) (x)e y I [0, ) (y) = e (x+y) I [0, ) (x)i [0, ) (y) = f (x, y) Logo, X e Y são independentes. Ulisses Umbelino (DE-UFPB) Probabilidade III Período 2014.1 29 / 42

Independência entre variáveis aleatórias Exemplo Exemplo 4.3 Suponha que a densidade conjunta de X e Y é dada por f X,Y (x, y) = 8xyI [0,1] (x)i [x,1] (y) Verifique se X e Y são independentes. As marginais são dadas por f X (x) = 1 x 8xyI [0,1] (x)dy = 8xI [0,1] (x) 1 x ydy = 4x(1 x 2 )I [0,1] (x) Ulisses Umbelino (DE-UFPB) Probabilidade III Período 2014.1 30 / 42

Independência entre variáveis aleatórias Exemplo Para determinar a marginal para Y, primeiro note que, I [0,1] (x)i [x,1] (y) = I [0,1] [x,1] (x, y) = I [0,y] [0,1] (x, y) = I [0,y] (x)i [0,1] (y) Assim, Portanto, f (Y ) = y 0 y 8xyI [0,1] (y)dx = 8yI [0,1] (y) xdx = 4y 3 I [0,1] (y) 0 f (x)f (y) = 4x(1 x 2 )I [0,1] (x)4y 3 I [0,1] (y) = 16(x x 3 )y 3 I [0,1] (x)i [0,1] (y) que é diferente de f X,Y (x, y) = 8xyI [0,1] (x)i [0,1] (y), logo X e Y não são independentes. Ulisses Umbelino (DE-UFPB) Probabilidade III Período 2014.1 31 / 42

Modelos Probabilísticos Multivariados Distribuição Multinomial caso Ulissescontrário. Umbelino (DE-UFPB) Probabilidade III Período 2014.1 32 / 42 Distribuição Multinomial Definição 5.1 Considere um experimento que é repetido n vezes de modo independente, com m possíveis resultados ou eventos de interesse A i, cada um com probabilidade p i = P(A i ) 0, i = 1,..., m e m i=1 p i = 1. Seja X 1,..., X m variáveis aleatórias que correspondem ao número de ocorrências de cada um dos m possíveis resultados nas n repetições do experimento. Desta forma, o vetor aleatório X = (X 1,..., X m ) segue o modelo multinomial com função de probabilidade conjunta dada por, P(X 1 = x 1,..., X m = x m ) = se 0 x i m, m i=1 x i = n. e n! x 1! x m! px 1 1... pxm m (19) P(X 1 = x 1,..., X m = x m ) = o (20)

Modelos Probabilísticos Multivariados Distribuição Multinomial Distribuição Multinomial: marginais Se X = (X 1,..., X m ) segue o modelo multinomial, com parâmetros n, p 1,..., p m, então X i Bin(n, p i ), logo E(X i ) = np i e Var(X i ) = np i (1 p i ). Demonstração. De fato, como o experimento é repetido n vezes de modo independente e cada evento de interesse A i pode ocorrer com probabilidade p i, segue da definição da distribuição de binomial que cada X i possui distribuição binomial com parâmetros n e p. Ulisses Umbelino (DE-UFPB) Probabilidade III Período 2014.1 33 / 42

Modelos Probabilísticos Multivariados Distribuição Multinomial Exemplo Exemplo 5.2 Uma barra de comprimento especificado é fabricada. Admita-se que o comprimento real X (polegadas) seja uma variável aleatória uniformemente distribueid sobre [10, 12]. Suponha-se que somente interesse saber se um dos três eventos seguintes terá ocorrido: A 1 = {X < 10, 5} A 2 = {10, 5 X 11, 8} A 3 = {X > 11, 8} Dado que 10 barras foram fabricadas, qual a probabilidade de cinco serem menor que 10,5 e duas serem maior que 11,8? Ulisses Umbelino (DE-UFPB) Probabilidade III Período 2014.1 34 / 42

Modelos Probabilísticos Multivariados Distribuição Uniforme multivariada Distribuição Uniforme multivariada Definição 5.3 Dizemos que um vetor é uniformemente distribuído sobre uma região A, A R m, se f (x 1,..., x m ) = c I A (x 1,..., x m ) em que, c = 1. dx 1 dx m A Ulisses Umbelino (DE-UFPB) Probabilidade III Período 2014.1 35 / 42

Modelos Probabilísticos Multivariados Distribuição Uniforme multivariada Figura : Uniforme Multivariada Ulisses Umbelino (DE-UFPB) Probabilidade III Período 2014.1 36 / 42 Exemplo Exemplo 5.4 Suponhamos que o vetor aleatório X = (X 1, X 2 ) seja uniformemente distribuido sobre a região delimitada pelas curvas x 2 = x 1 e x 2 = x 2 1 para 0 x 1 1 e 0 x 2 1, conforme figura abaixo: x 1 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 x 2 = x 1 x 2 = x 1 2 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 x 2

Modelos Probabilísticos Multivariados Distribuição Uniforme multivariada Exemplo 1 Para x 1 < 0 ou x 2 < 0 tem-se F (x 1, x 2 ) = 0; 2 Para 0 x 1 1 e x1 2 x 2 x 1 tem-se ( F (x 1, x 2 ) = 6 x 1 x 2 x 2 2 2 x 1 3 ) = 6x 1 x 2 3x2 2 2x1 3 = p(x 1, x 2 ) 3 3 Para 0 x 1 1 e x 2 < x1 2 ou x 1 > 1 e 0 x 2 1, portanto para x 1 > 0 e 0 x 2 min(x1 2, 1) tem-se F (x 1, x 2 ) = p( x 2, x 2 ) = 6 x 2 x 2 3x 2 2 2 x 2 3 = 4x 3 2 2 3x 2 2 4 Para 0 x 1 1 e x 2 > x 1 tem-se F (x 1, x 2 ) = p(x 1, x 1 ) = 6x 1 x 1 3x 2 1 2x 3 1 = 3x 2 1 2x 3 1 5 Para x 1 > 1 e x 2 > 1 tem-se F (x 1, x 2 ) = 1. Ulisses Umbelino (DE-UFPB) Probabilidade III Período 2014.1 37 / 42

Modelos Probabilísticos Multivariados Distribuição Uniforme multivariada Distribuição Normal multivariada Dizemos que um vetor aleatório X segue o modelo normal multivariado se sua densidade de probabilidade conjunta é dada por f (x) = ( 2π ) p 2 Σ [ 1 2 exp 1 ( ) tσ x µ 1 ( x µ )] 2 para < x i <, i = 1,..., p. Notação: X N p ( µ, Σ ). Em que µ 1 σ 11 σ 12... σ 1p µ 2 µ =. e Σ = σ 21 σ 22... σ 2p................ µ p σ p1 σ p2... σ pp é o vetor de médias e a matriz de covariâncias, respectivamente. Ulisses Umbelino (DE-UFPB) Probabilidade III Período 2014.1 38 / 42

Modelos Probabilísticos Multivariados Distribuição Uniforme multivariada Distribuição normal multivariada Utilizando o teorema da decomposição espectral, a função densidade da normal multivariada pode ser expressa como, f (x) = ( 2π ) [ ( p 2 Σ 1 2 exp 1 ( ) p ) t 1 (x x µ e i e t ) ] i µ 2 λ i i=1 = ( 2π ) [ p 2 Σ 1 2 exp 1 p 1 ( ) tei x µ e t ( ) ] i x µ 2 λ i = ( 2π ) p 2 Σ [ 1 2 exp 1 2 i=1 p i=1 1 λ i [ (x µ ) tei ] 2 Se com exceção da diagonal principal, todos os elementos de Σ forem zero, isto é, todas as covariâncias forem zero, as p componentes de X serão independentes, pois nesse caso teremos(verificar!), f (x) = f 1 (x 1 )f 2 (x 2 ) f p (x p ). ] Ulisses Umbelino (DE-UFPB) Probabilidade III Período 2014.1 39 / 42

Modelos Probabilísticos Multivariados Distribuição Uniforme multivariada Distribuição normal multivariada O contorno de uma densidade de probabilidade constante é a superfície de um elipsóide centrado em µ e é igual ao conjunto de pontos, { x R p : ( x µ ) t Σ 1 ( x µ ) = c 2}. Esses elipsóides têm eixos ±c λ i e i, onde (λ i, e i ) é um par de autovalor-autovetor da matriz Σ. De fato, para x µ = c λ i e i tem-se que, para i = 1, ( ) tσ x µ 1 ( x µ ) p 1 [ (x ) ] tei 2 p 1 [ = µ = c ] 2 λ i e t λ i λ 1e i i i=1 = 1 c 2 λ 1 e t λ 1e 1 1 }{{} =1 = c 2 2 i=1 + 1 c 2 λ 2 e t λ 1e 2 2 }{{} =0 2 Ulisses Umbelino (DE-UFPB) Probabilidade III Período 2014.1 40 / 42

Modelos Probabilísticos Multivariados Distribuição Uniforme multivariada Distribuição normal multivariada Para i = 2, ( x µ ) tσ 1 ( x µ ) = p i=1 1 [ c ] 2 λ i e t λ 2e i i = 1 c 2 λ 1 e t λ 2e 1 1 }{{} =0 = c 2 2 + 1 c 2 λ 2 e t λ 2e 2 2 }{{} =1 2 Ulisses Umbelino (DE-UFPB) Probabilidade III Período 2014.1 41 / 42