REVISTA D DETUA, VL., Nº 1, SETEMBR 1997 133 Modlização d pqunos robots autónoos: u xplo Luís Alida Rsuo - Nos últios dois anos a Univrsidad d Aviro stv prsnt no aponato Intrnacional d Robótica Móvl ralizado no âbito d u Fstival d iência Tcnologia qu ocorr anualnt França dsd 1994. Nua das provas dst caponato os robots tê d sguir, d fora autónoa, ua linha cujo traçado dsconhc. o vista a lhorar o dspnho da nossa participação foi dsnvolvido u odlo atático qu prit, através d sssõs d siulação, idntificar problas d stabilidad d controlabilidad do robot b coo tstar possívis soluçõs para os rsolvr ants da sua construção. Nst artigo dscrv-s o odlo atático dsnvolvido aprsnta-s ua ralização prática, usando MATLAB, d u siulador nl basado. É ainda aprsntado u xplo d aplicação. Abstract - In th last to yars th Univrsity of Aviro has participatd in th Mobil Robotics Intrnational hapionship in Franc. In this chapionship th robots hav to autonoously follo a lin aong othr tasks. In ordr to iprov th prforanc of our participation a athatical odl has bn dvlopd that allos, through th us of siulation, to idntify probls rlatd to th stability or controlability of th robot as ll as to tst possibl solutions bfor th robot is actually built. In this papr th rfrrd athatical odl is prsntd as ll as an iplntation of a siulator basd on such odl using MATLAB. A cas sudy is also prsntd. I. INTRDUÇÃ A construção d robots autónoos é ua actividad co u fort caractr intrdisciplinar. Quando ssa actividad é dsnvolvida no final d u curso d ngnharia, por xplo a nívl d u projcto d fi-d-curso, tal obriga a qu sja rvisitados aplicados concitos d variadas áras. Est facto torna a construção d pqunos robots autónoos ua actividad d considrávl valor pdagógico contribuindo para sdintar conhcintos adquiridos ao longo do curso. É, d crto odo, co a intnção d aprovitar sta ais-valia pdagógica qu alguns docnts do DETUA s vê pnhando na utilização d pqunos robots coo objcto d trabalhos curriculars. Por xplo, o robot qu rprsntou a Univrsidad d Aviro na dição d 97 do aponato Intrnacional d Robótica Móvl organizado França no âbito d u Fstival d iência Tcnologia foi construído por u grupo d dois studants da Licnciatura Engnharia d Elctrónica Tlcounicaçõs na disciplina d Projcto. trabalho aprsntado nst artigo t coo objcto os robots dstinados à participação no rfrido aponato os quais tê, basicant, d sguir ua linha traçada no chão. sguinto da linha é, d facto, u probla d controlo, tal coo na gnralidad dsss problas, é uito iportant caractrizar o sista a controlar (alguns xplos sipls d caractrização podrão sr ncontrados [1]). objctivo principal dst artigo é, pois, caractrizar o sista robot-linha d odo a construir-s u odlo atático qu prita dtrinar a trajctória do robot ao dslocar-s sobr a linha, dada ua posição inicial dado u dtrinado algorito d controlo. Tal odlo podrá sr útil, por xplo, para o studo do dspnho d vários algoritos d controlo ants d o robot star fctivant construído. Podrá, ainda, sr útil na idntificação prcoc d caractrísticas físicas co ipacto ngativo na stabilidad do sguinto da linha. Por últio, st trabalho é ais u xplo da intrdisciplinaridad acia rfrida nvolvndo concitos d Elctrocânica (odlos d otors D), d Física (inática Dinâica) d Gotria Analítica. A construção fctiva do robot, qu stá para alé do âbito dst artigo, rqur u conjunto ainda ais alargado d concitos abrangndo áras coo o ontrolo, Instruntação, Elctrónica Digital, tc.. No capítulo sguint aprsntaos os prssupostos qu o trabalho assnta. No capítulo III analisaos a dinâica do robot. No capítulo IV studaos a gotria do sguinto d u linha rcta por u robot aprsntaos o odlo básico para ss robot. No capítulo V dscrvos u siulador basado no rfrido odlo aprsntaos u conjunto d xtnsõs qu torna o odlo ais gnérico. No capítulo VI é dscrito u xplo d utilização do siulador, finalnt, no capítulo VII são aprsntadas alguas conclusõs. II. PRESSUPSTS BÁSIS Est trabalho não t a prtnsão d aprsntar u odlo qu sirva para qualqur tipo d robot qu siga qualqur tipo d linha. D facto, u odlo assi tão gnérico sria uito difícil, snão ipossívl, d obtr. Assi, o odlo d robot subjacnt a st artigo basias controlo difrncial d dircção co duas rodas
134 REVISTA D DETUA, VL., Nº 1, SETEMR 1997 otrizs acopladas a dois otors D controlados d fora indpndnt. Quanto à linha sguida prssupõ-s qu é coposta apnas por sgntos d rcta arcos d circunfrência unidos d fora suav, i.., s bicos. Not-s, ainda, qu s prssupõ a utilização d u controlador digital qu rtira priodicant aostras dos snsors d linha qu gra, à sa cadência, a dvida actuação nos otors. Rsta dizr qu todas as grandzas rfridas ao longo dst trabalho s dv xpriir unidads do Sista Intrnacional. III. DINÂMIA D RBT Nst capítulo vaos utilizar u conjunto d concitos d inática Dinâica cuja xplanação podrá sr ncontrada qualqur anual d Física, capítulo d Mcânica. Apnas coo xplo fazos rfrência a []. Ao longo dst trabalho a strutura cânica do robot é, s prda d gnralidad, rduzida a u ixo rígido d coprinto b co ua roda otriz indpndnt cada xtro. robot é quilibrado na posição horizontal co a utilização d ua ou ais rodas alucas (fig. 1). A. inática A rigidz do ixo das rodas do robot liita o tipo d ovintos qu st pod fctuar. D facto, apnas são possívis rotaçõs torno do ponto cntral do próprio ixo das rodas translaçõs no sntido longitudinal do robot. ontudo, cobinando sts ovintos, é possívl lvar o robot a fctuar rotaçõs torno d qualqur ponto situado sobr a linha qu conté o ixo das rodas. Fazndo st ponto variar ao longo do tpo é possívl dscrvr qualqur tipo d trajctória planar. Assi, considrando qu o robot, nu dado instant, dscrv ua rotação torno d u ponto arbitrário, a cinática do ovinto do robot pod sr dscrita através das quaçõs 1 qu v dsigna rspctivant a vlocidad angular linar do robot, r o raio d curvatura v L v R as vlocidads das rodas otrizs [] (fig. 1). Not-s qu a vlocidad angular d qualqur ponto do robot é igual, cada instant. vr vl v r * (1) r + b/ r b/ Das quaçõs 1 facilnt s pod dduzir as xprssõs qu rlaciona as vlocidads angular linar do robot co as vlocidads linars das rspctivas rodas otrizs (quaçõs ). v R v L vr + vl v () b Na anális qu s sgu srá usada sta dcoposição do ovinto do robot nas duas coponnts básicas: rotação, associada à rspctiva vlocidad angular, translação, associada à vlocidad linar. A coponnt d rotação, considrada sozinha, rfr-s spr a rotaçõs torno do ponto cntral, i.., do cntro do ixo das rodas. B. Dinâica s ovintos do robot surg coo rsultado da aplicação d tnsõs D cada otor, fazndo aparcr u dtrinado binário cada roda otriz. Ests binários são convrtidos plas próprias rodas forças d tracção parallas ao chão qu obriga o robot a dscrvr ua crta trajctória. Dsta fora, do ponto d vista da Dinâica, o robot pod sr visto coo u corpo rígido sobr o qual actua duas forças parallas, F R F L, aplicadas ua cada roda (fig. ). Estas forças constitu u sista qu pod sr substituído por ua rsultant F posicionada no ponto d aplicação A d odo qu o binário total T rlativo a qualqur ponto s antnha inaltrado (quaçõs 3) []. Not-s qu r F rprsnta a abcissa d A rlativant ao cntro do robot dida sobr o ixo dos otors. b b FR FL F FR + FL T FR FL rf *( ) * FR + F (3) L Para stablcr as quaçõs do ovinto do robot dvos tr atnção a sua assa M onto d inércia J rlativo ao cntro d rotação. Sndo B v o coficint do atrito qu o robot t d vncr no su ovinto d translação B o so para o ovinto d rotação, considrando qu sts parâtros são aproxiadant constants na zona d vlocidads qu o robot dvrá trabalhar [3] podos, ntão, stablcr as quaçõs 4 5. M dv dt J d dt F Bv * v (translação) (4) T B * (rotação) (5) v r v R v L F L b/ b/ b/ b/ F r FA T F R Fig. 1 - Modlo da strutura cânica do robot. Fig. - Diagraa das forças d tracção jogo no robot
REVISTA D DETUA, VL., Nº 1, SETEMBR 1997 135 ontudo, dvido às caractrísticas dos otors D, as forças gradas F R F L dpnd das vlocidads d cada roda v R v L. onsquntnt, tabé F T dpnd d v rspctivant. Para s tr conta stas dpndências d fora a rsolvr convnintnt as quaçõs 4 5 é ncssário usar u odlo apropriado para os otors D. Ants d introduziros o odlo dos otors D qu srá usado podos stablcr já as rlaçõs ntr a rsultant F binário total T os binários grados por cada otor T R T L (quaçõs 6). Not-s qu r rprsnta o raio das rodas otrizs. TR + TL F F F T b b TR TL R + L ( FR FL) * (6) r r odlo qu noralnt é utilizado para pqunos otors D co agnt prannt ([1], [3] [4]) basia-s na proporcionalidad por u lado, ntr o binário grado T a corrnt i qu circula no otor por outro lado, ntr a força-contra-lctrootriz grada a vlocidad d rotação do próprio otor (quaçõs 7). Not-s, ainda, qu abas as constants d proporcionalidad K T K b são nurica dinsionalnt iguais otors pqunos plo qu podos substituí-las por ua só constant do otor, K. T KT * i Kb* KT Kb K (7) onsidrando qu o nrolanto do otor t ua rsistência lctrica R inductância dsprzávl qu os parâtros dos dois otors utilizados são iguais podos, ntão, scrvr as quaçõs 8. Not-s qu a ad são, rspctivant, as tnsõs édia difrncial aplicadas aos otors (coo dfinido nas quaçõs 9) qu v são confor dfinidos nas quaçõs. As quaçõs 8 stablc a dpndência da rsultant F do binário total T rlativant, por u lado, às tnsõs D aplicadas aos otors, por outro lado, às vlocidads actuais d translação rotação do robot. K F r R K bk v T r r R K a ad b (8) r ar + al a ad ar (9) al Finalnt, introduzindo as quaçõs 8 nas quaçõs 4 5 obtos as quaçõs 10 11 qu dscrv a dinâica do robot qu prit dtrinar o su ovinto quando são aplicadas tnsõs D nos otors d tracção. M dv dt K rr K * a + Bv * v (translação) (10) r R J d bk dt r R bk * ad + B * (rotação) (11) r R A rsolução dstas quaçõs difrnciais prit dtrinar a volução tporal das vlocidads do robot. Aplicando u dgrau d tnsão a abos os otors as vlocidads voluirão xponncialnt para valors finais constants, rspctivant v SS SS (q. 1 13). t τv ( ) vt () v 1 + v( 0 )* SS / t/ τv (1) t τ ( ) / t/ τ t () SS 1 + ( 0 )* (13) s valors finais v SS SS pod sr obtidos através das quaçõs 10 11 rsultando nas xprssõs 14 15. K bk r R r R (14) vss * a SS * ad K b K + Bv + B (15) r R r R Da sa fora, as constants d tpo τ v τ (translação rotação rspctivant) pod sr obtidas através das xprssõs 16. M J τv τ K b K (16) + Bv + B r R r R IV. GEMETRIA D SEGUIMENT DE LINHA Para qu o robot dscrito na figura 1 sja capaz d sguir ua linha traçada no chão é ncssário qu sja dotado d snsors apropriados. Nst artigo part-s do princípio d qu xist ua barra d snsors colocada à frnt do ixo das rodas paralla a l (fig. 3). Esta barra d snsors prit ao robot obtr ua dida do su dsvio rlativo à linha dsnvolvr as acçõs corrctivas ncssárias. A caractrização prcisa do dsvio do robot rlativant à linha rqur duas didas indpndnts, o dsvio linar d o dsvio angular α (fig. 3). A priira é ua dida do dslocanto da linha fac à posição do robot nquanto a sgunda é ua dida da difrnça angular ntr as orintaçõs da linha do robot. A trajctória sguida plo robot coincidirá co a linha quando abas as didas d α for 0. No odlo usado nst trabalho, o dsvio dido dirctant plos snsors conté inforação rlativa aos dois dsvios atrás rfridos confor dscrito na xprssão 17. Not-s qu 0 não iplica qu abos os dsvios sja nulos, dα0. No ntanto, fazndo o robot avançar constantnt, qualqur algorito qu iniiz podrá lvar a trajctória do robot a convrgir para a linha. S prjuízo d corência, até final dst artigo passaros a utilizar a xprssão dsvio linar para dsignar o dsvio dido plos snsors. d r S tan( α ) (17) cos( α) Snsors d linha α r S d Fig. 3 - A disposição dos snsors d linha Linha
136 REVISTA D DETUA, VL., Nº 1, SETEMR 1997 D odo a analisar o ovinto do robot sobr a linha dvos rlbrar qu stá subjacnt ua abordag d controlo digital. Sgundo sta abordag, os snsors d linha são aostrados a ua dtrinada cadência f S. Durant o príodo d aostrag t S (1/f S ) são calculadas as tnsõs D a aplicar aos otors qu lvarão o robot a dscrvr ua curva. Esta curva trá coprinto l cobrirá u ângulo α. Ests valors pod sr obtidos através da intgração das quaçõs 1 13 durant u príodo d aostrag, i.., d t0 a tt S. Toando o início do príodo coo orig dos tpos (t0), as funçõs qu dscrv o spaço prcorrido o ângulo dscrito são dadas plas xprssõs 18 19. t / τ v l () t v t + (( v 0 ) v ) τ 1 (18) SS SS v ( ) t / τ ( ) α () t t + ( ( 0 ) ) τ 1 (19) SS SS A curva rsultant aprsnta u raio r qu varia ao longo do tpo qu pod sr calculado dirctant a partir das quaçõs 1 13 confor dscrito nas quaçõs 0. Rpar-s qu r (t) tabé convrg xponncialnt para u valor final constant r SS. vt () vss r() t rss (0) t () SS A trajctória sguida plo robot durant cada intrvalo d aostrag pod sr dtrinada considrando intrvalos d tpo infinitsiais dt durant os quais o robot dscrv arcos d circunfrência d coprinto dl abrtura dα. Assi, para cada ponto P n da trajctória é calculado u novo ponto P n+1 dado plo antrior ais o dslocanto arco d circunfrência. No ntanto, para o objctivo dst trabalho basta ua aproxiação à trajctória ral pois isso é suficint para pritir studar o dspnho d difrnts algoritos d controlo b coo para idntificar caractrísticas físicas co iportância no dspnho do robot. Assi, podros considrar, vz do intrvalo infinitsial, u intrvalo d duração finita t a qu chaaros intrvalo d intgração. Durant st intrvalo considra-s, ntão, qu o robot dscrv u arco d circunfrência d coprinto l abrtura α. raio d curvatura é constant srá dado por r l / α qu rprsnta u valor édio d r (t) durant o intrvalo d intgração. onvé, no ntanto, notar qu o rro na dtrinação da trajctória causado pla utilização d u intrvalo d intgração finito t é cuulativo. ontudo, a utilização d u intrvalo suficintnt pquno para qu os ovintos corrctivos fctuados plo robot nss intrvalo sja ínios pritirá qu a trajctória calculada s aproxi da ral plo nos até ua crta distância. Do ponto d vista goétrico, o probla do sguinto d linha pod sr colocado da sguint fora: "Dada ua litura inicial dos snsors d linha i u dsvio angular inicial α i b coo o consqunt ovinto corrctivo dsnvolvido plo robot, i.., u arco d circunfrência d coprinto l abrtura α, qual srá a nova litura dos snsors d linha f o novo dsvio angular α f no final dss trajcto corrctivo?" (fig. 4). A solução gral dst probla para qualqur tipo d linha é ipossívl. Assi, é ncssário introduzir algu cohcinto prévio sobr a linha a sr sguida. Nst capítulo apnas s considrarão linhas rctas. No próxio capítulo introduziros linhas co sgntos arco d circunfrência. Pla anális da figura 4 é possívl stablcr as quaçõs 1. Not-s qu rl i rl f são as ordnadas dos pontos I i I f rlativas a, rspctivant. Por sua vz, r S é a distância dos snsors ao ixo das rodas. i rli + rs tan( α i ) (1) α f αi + α ( rl r )tan( α ) f f S f Est probla consgu-s rsolvr dtrinando priiro rl f postriornt f. Sndo L o ponto d intrscção ntr os ixos longitudinais do robot nas posiçõs inicial final, R a projcção do ponto I f sobr o ixo longitudinal na posição inicial, a dtrinação d rl f pod sr fita usando três distâncias auxiliars: da a partir do triângulo ( L) ou ( ' L), db dd a partir do triângulo (L R I f ). As xprssõs para stas distâncias ncontra-s nas quaçõs. Rlbros, ainda, qu r l / α. da r tan( α / ) db ( rl f + da)sin( α ) () dd ( rl f + da)cos( α ) Usando o triângulo (I i R I f ), podos scrvr a quação 3 a partir da qual podos obtr rl f função d rl i. tan( α i ) db rl da dd i (3) Substituíndo rl i pla priira xprssão d 1 obtos a xprssão qu rlaciona rl f co i. Insrindo sta xprssão na trcira xprssão d 1 obtos a xprssão final 4 para f função d i, α i, α l. dd da α i I i rl i R L r S db α f I f f Fig. 4 - A gotria do sguinto d ua linha rcta. i r α linha
REVISTA D DETUA, VL., Nº 1, SETEMBR 1997 137 f i + tan( αi)( rs r tan( α / ) r cos( α )(tan( α ) + tan( α )) i tan( α / ) r tan( α + α ) (4) S i Esta xprssão prit obtr ua rsposta dircta ao probla goétrico do sguinto d ua linha rcta tal coo xposto atrás. Rpar-s qu a squência d valors para o dsvio dido plos snsors prit dtrinar a trajctória do robot rfrida à linha. V. NSTRUÇÃ DE UM SIMULADR Basado no odlo aprsntado atrás é fácil construir u siulador qu iit u robot a dslocar-s sobr ua linha. A figura 5 ostra u diagraa d blocos do sista a siular [5]. A siulação do sista consgu-s rptindo ciclicant a sguint squência d opraçõs: 1- Basado na litura dos snsors d linha ( i ), o algorito d controlo gra tnsõs D ( al ar ) qu srão aplicadas aos otors. - D acordo co as quaçõs qu dscrv a dinâica do robot, stas tnsõs D causa u crto ovinto ao robot co coponnts d translação rotação (v ). 3- Est ovinto lva o robot a dsnhar ua trajctória (coprinto l ângulo α ). 4- Usando o odlo goétrico para o sguinto d linha, ssa trajctória dtrina u novo dsvio qu s rflctirá nu novo valor d litura dos snsors ( f ). Ao longo da rstant part dst capítulo dscrvros alguas qustõs rlacionadas co o siulador co xtnsõs ao odlo qu lh confr ais vrsatilidad. A. A rsposta dos snsors d linha Nu caso gral, os snsors d linha usados podrão não aprsntar ua rsposta linar. Quando tal linaridad não xist é ncssário tr conta qu a ntrada fctiva para o controlador não é o dsvio da linha dido sobr a barra d snsors as si ua função dss valor. haaos-lh função snsor t ua influência considrávl no dspnho global do robot. U critério básico qu a função snsor t d cuprir é o d sr onótona por fora a vitar ínios locais. oo xplo d não-linaridads couns tos a rsposta quadrática, a saturação a rsolução spacial finita. Mudando apnas a função snsor podos facilnt + Dsvio prtndido (0) Dsvio rlativo - Função ontrolo Linha Tnsão D nos otors Função Snsor Dinâica do robot Trajctória do robot Fig. 5 - Diagraa d blocos d u robot qu sgu ua linha tstar o fito da utilização d difrnts tipos d snsors ou d difrnts arranjos ntr os snsors d linha. B. algorito d controlo A função do algorito d controlo é a d fazr o robot convrgir para a linha. Assi, d acordo co as lituras dos snsors d linha, o algorito dv grar as tnsõs D apropriadas para aplicar aos otors. algorito d controlo, ou função d controlo, é d iportância fundantal no dspnho do robot. Podrá, tabé, sr usado para copnsar vntuais fitos ngativos causados por dtrinadas caractrísticas físicas. oo já foi rfrido, não stá no âbito dst trabalho studar os algoritos d controlo aplicávis nsta situação. ontudo, ua abordag possívl srá a d antr a vlocidad linar aproxiadant constant controlar a vlocidad angular do robot d fora a fazê-lo virar para o lado qu s ncontra a linha. Isto pod sr consguido co u algorito proporcional sipls qu a tnsão édia a a aplicar aos otors é antida constant a tnsão difrncial ad é forçada a variar d acordo co a litura dos snsors d linha : a constant, ad K p * ond K p é a constant proporcional. As tnsõs a aplicar a cada otor são obtidas invrtndo as quaçõs 9. E uito casos podrá sr bnéfico utilizar tabé ua coponnt drivativa plo qu a xprssão para ad passaria a sr: ad K p * + K d *' qu K d é a constant drivativa ' rprsnta ua aproxiação discrta da drivada da litura dos snsors. Tal coo co a funcção snsor, tabé é possívl utilizar o siulador co difrnts funçõs d controlo pritindo coparar os dspnhos obtidos afinar os rspctivos parâtros.. Liits físicos Dpndndo do algorito d controlo dos snsors utilizados, a saída da função controladora podrá ir alé dos liits físicos do robot, por xplo, tntando ipor nos otors tnsõs D supriors à áxia tnsão disponívl. Por sta razão, é ncssário convrtr os valors d saída da função controladora, tnsõs édia difrncial, nos valors das tnsõs individuais a aplicar a cada otor vrificar cada u dsts contra os rspctivos liits físicos. No caso d havr truncatura é ncssário rconvrtr os valors truncados nos novos valors édio difrncial qu srão forncidos ao passo sguint do siulador. utro liit físico uito iportant é o coprinto da barra d snsors d linha. Ess coprinto dtrina o dsvio áxio qu o robot pod tolrar s prdr dfinitivant a linha. Assi, as lituras dos snsors são constantnt vrificadas contra st liit quando
138 REVISTA D DETUA, VL., Nº 1, SETEMR 1997 st é ultrapassado a siulação trina significando qu o robot prdu a linha. D. Espaço prcorrido sobr a linha No capítulo IV aprsntou-s a xprssão 18 qu prit obtr o spaço prcorrido plo robot na sua trajctória sobr a linha, bastando para tal acuular os coprintos dos arcos l. ontudo, é tabé uito útil sabr qual o coprinto d linha qu o robot já prcorru. Est coprinto dvrá sr calculado para cada arco d circunfrência dscrito plo robot durant cada intrvalo t. coprinto total l srá a acuulação dos coprintos parciais l. Dst odo, ao arco d circunfrência ( l, α ) dscrito plo robot t corrspond ua corda ( ) co coprinto l' (fig. 6). Est coprinto pod sr obtido pla xprssão 5, rlbrando qu r l / α. l' r sin( α / ) (5) Para obtr o corrspondnt coprinto d linha basta rbatr sobr sta a corda ( ) obtndo-s u coprinto l l'*cos(β) qu β é dado por β(α i +α f )/. A xprssão final para st coprinto é dada pla quação 6. l r sin( α / ) cos( α i + α / ) (6) E. Sguinto d curvas odlo goétrico dscrito no capítulo IV só s aplica ao sguinto d linhas rctas. ontudo, co ua pquna adaptação é possívl utilizar o so odlo para linhas arco d circunfrência. procdinto é o sguint, após calcular a nova litura dos snsors coo s o robot stivss sobr ua linha rcta é aplicada a sta litura ua corrcção qu to conta o dsvio suplntar causado pla curvatura da linha. Part-s do princípio d qu a linha é coposta por vários sgntos qu podrão sr rctilínos ou curvos arco d circunfrência. ada sgnto corrspondrá ao pdaço d linha prcorrido durant o intrvalo d intgração t coprndido ntr o ponto d intrscção l ' linha α f da linha co os snsors na posição inicial ( i ) o ponto d intrscção da linha co os snsors na posição final ( f ). Assu-s, ainda, qu cada intrvalo d intgração o rspctivo sgnto é rctilíno ou é u arco d circunfrência. Entrtanto, not-s qu os vários sgntos un-s d fora suav plo qu as rspctivas tangnts cada ponto d união tê d coincidir. Na figura 7 stá rprsntada sta situação qu a linha conté u sgnto rctilíno inicial (linha 1), passa por u arco d circunfrência d raio r L abrtura β trina co outro sgnto rctilíno (linha ). núro d arcos d circunfrência conscutivos co o so ou outro raio podrá sr qualqur dando ua grand librdad na construção d configuraçõs da linha. E gral, confor s pod tabé vr na figura 7, nu arco d raio r L abrtura β, ao fi d u coprinto tangncial l t a curva rcolh para o intrior a distância d dida na prpndicular à tangnt. As quaçõs 7 prit quantificar rlacionar sts valors d fora aproxiada. d / lt tan( β / ) β arcsin( lt / rl) (7) A aproxiação cotida (7) quival a afirar qu l t -( f - f )sin(a f ) l t. S ipusros a liitação d pritir apnas curvas rlativant abrtas (.g. raio r L suprior a 0.5) ntão o ângulo β é noralnt uito pquno, tipicant infrior a 0.1rad, logo ( f - f )<<l t para ua gaa vasta d α f plo qu a aproxiação s torna válida. coprinto l t pod sr obtido a partir do coprinto d linha prcorrido l (q. 6) das distâncias auxiliars l1 l confor dscrito nas quaçõs 8. lt l + l l1 l1 rs cos( αi) i sin( αi) (8) l rs cos( α f ) f sin( α f ) s valors f α f utilizados nas quaçõs 8 rfr-s aos valors obtidos sgundo o odlo da linha rcta. Prtndos agora obtr os novos valors f α f qu rsulta da curvatura da linha. Rcorrndo, ais ua vz, à liitação atrás iposta para ' r S f f d α f linha β α i l l r α α r i S f α i linha 1 l t l r α l l1 r L β L Fig. 6 - oprinto da linha prcorrido plo robot Fig. 7 - Sguinto d linhas arco d circunfrência.
REVISTA D DETUA, VL., Nº 1, SETEMBR 1997 139 o raio d curvatura da linha (r L >0.5) ntão tabé podos considrar qu f - f d plo qu os valors para f α f podrão sr obtidos a partir das quaçõs 9, usando os rsultados das quaçõs 6, 8 7. α ' α + β ' + d (9) F. Prturbaçõs na linha f f f f Qur a xistência d pqunos objctos sobr a linha qur iprfiçõs no traçado dsta podrão causar rros nas lituras dos snsors. Ua vz qu ssas situaçõs podrão fctivant ocorrr, por xplo, no aponato rfrido no rsuo dst artigo o robot podria tr d passar sobr alguas bolas d bilhar colocadas na linha, é iportant tr ua idia do coportanto do robot. ontudo, a caractrização xacta da racção do robot a tais prturbaçõs é uito difícil d fctuar, so quando a naturza dssas prturbaçõs é conhcida. Assi, para tstar a racção do robot tais situaçõs foi adicionado pontualnt ruído à litura dos snsors. Na prática são usados gradors alatórios u para grar o instant da próxia prturbação outro a prturbação si. Rptindo siulaçõs co parâtros adquados nos gradors alatórios podros tr ua idia d coo o robot s coporta na prsnça d prturbaçõs da linha. G. Ralização MATLAB A linguag d prograação cintífica MATLAB facilita grandnt a ralização d u siulador coo o qu acabou d sr dscrito. São usadas duas funçõs para ncapsular a função snsor a função controladora, duas parts do siulador qu não stão dirctant rlacionadas co a caractrização física do sista. No corpo do prograa ncontra-s ua fas d inicialização das caractrísticas físicas do robot, da posição inicial rlativa à linha ( i,α i ) d variávis intrnas. Dpois ncontra-s o ciclo d siulação qu calcula a trajctória do robot para u dtrinado príodo d tpo. A saída é u gráfico das lituras dos snsors nos vários instants d aostrag. dsvio angular tabé aparc no gráfico para facilitar o ntndinto da trajctória dscrita plo robot. São ainda aprsntados os sguints valors: tpo d siulação, coprinto da linha prcorrido nss tpo, vlocidad édia, spaço prcorrido a ais plo robot dvido às corrcçõs d trajctória dsvio édio quadrático dido plos snsors. VI. EXEMPL DE APLIAÇÃ Para tstar o odlo dscrito nos capítulos III IV utilizou-s o siulador dscrito no capítulo V co os parâtros do robot Moliciro qu stv prsnt no dição d 96 no concurso rfrido no Rsuo dst artigo qu stá dscrito [5]. Nas scçõs sguints aprsntaos os parâtros do robot b coo o rsultado da siulação s co controlo drivativo, transportando ou não bolas d bilhar, co ou s avanço dos snsors rlativant ao ixo das rodas co snsors digitais d fraca rsolução. A. Mdição dos parâtros dos otors onfor dito no capítulo III considrara-s os otors iguais. s parâtros a dir são a corrnt vazio I 0, a corrnt d bloquio I S, a vlocidad d rotação áxia ax a rsistência do nrolanto R. A partir dstas diçõs é possívl dtrinar a constant do otor K b o binário áxio forncido plo otor T S. s valors didos são (a 5V xtrapolados para 1V): Tnsão áxia disponívl nos otors 1V orrnt vazio, I 0 31 A orrnt bloquio, I S 1.5 A Rsistência do nrolanto, R 7 Ω Rotação áxia, ax 16 rad/s Binário áxio, T S 1. N. onstant do otor, K 0.86 N./s (ou V.s) B. s parâtros d strutura Nst caso intrssa dir a largura do ixo das rodas b, a largura da barra d snsors S, o avanço da barra d snsors rlativant ao ixo das rodas r S, a assa total do robot M, o onto d inércia do robot rlativant ao cntro d rotação (ponto cntral do ixo das rodas) J, o diâtro das rodas r os coficints d atrito globais para a translação B v rotação B. Todos sts parâtros são d dição dircta xcpto o onto d inércia total J os coficints d atrito. onto d inércia pod sr calculado por parts. onhcndo o onto d inércia rlativo ao cntro d gravidad J G sndo r G a distância do cntro d gravidad ao cntro do ixo das rodas ntão J J G +r G *M. A dtrinação do onto d inércia rlativo ao cntro d gravidad tabé pod sr fita por parts dividindo o robot coponnts ais ou nos hoogénos d foras conhcidas calculando a contribuição d cada u dsss coponnts. s coficints d atrito pod sr didos indirctant calculados através das fórulas 14 15. Para o coficint d translação B v é ncssário, para alé do conhcinto dos parâtros dos otors, dir a v SS co ad 0. Da sa fora, para B é ncssário dir ad SS, co a 0. ontudo, através d diçõs das constants d tpo dos ovintos d translação rotação (q. 16) aprcbo-nos d qu stas são ssncialnt controladas plos parâtros do otor. Assi, nas siulaçõs fctuadas dsprzáos os coficints d atrito. Esta dida, contudo, causou ua difrnça prcptívl no ovinto d rotação. s valors d strutura são os sguints: oprinto do ixo das rodas b 0.7 oprinto dos snsors S 0.18 Distância snsors-ixo das rodas r S 0.13 Diâtro das rodas r 0.035
140 REVISTA D DETUA, VL., Nº 1, SETEMR 1997 Massa total do robot M. Kg Distância do G ao ixo das rodas r G 0.1 Monto d inércia no G J G ~ 0.05 Kg. /s.. Usando controlo drivativo Ua das xpriências fita co st siulador foi vrificar s xistiria algu bnfício na utilização d controlo drivativo para alé do sipls controlo proporcional. s rsultados da siulação ostra qu a utilização d ua coponnt drivativa é, gral, uito bnéfica para a stabilidad do ovinto do robot sobr a linha (fig. 8 9). Esta coponnt é tanto ais ncssária quanto nor for a distância dos snsors ao ixo das rodas. D. Alguns pontos qunts da strutura E tros dos vários parâtros struturais fora fitos tsts qu pritira idntificar dois pontos co aior ipacto no dspnho do robot: o avanço dos snsors rlativant ao ixo das rodas o onto d inércia rlativo ao cntro d rotação. D s v i o s % 100 50 0-50 -100... dsvio angular dsvio linar Sguinto d linha tpo0s, linha 7.3, v0.37/s xtra_l0.065, dsv_q0.0093 0 1 3 4 5 6 7 8 Distância dsd o início da linha () Fig. 8 - Rsultado do siulador usando apnas controlo proporcional co Kp00. A linha t 1.5 rcta, 1.5 curva à squrda, 1.5 curva à dirita o rstant rcta. D s v i o s % 100 50 0-50... dsvio angular dsvio linar Sguinto d linha -100 tpo0s, linha 7.4, v0.37/s xtra_l0.063, dsv_q0.0077 0 1 3 4 5 6 7 8 Distância dsd o início da linha () Pod-s vrificar co o siulador o facto d qu o ncurtanto da distância dos snsors ao ixo aunta as oscilaçõs torno da linha. oo foi dito na scção antrior, sta situação pod sr corrigida através d u aunto da coponnt drivativa na função d controlo. D fora slhant, o aunto do onto d inércia do robot torna as corrcçõs angulars ais lntas lvando a aiors oscilaçõs torno da linha. Est aunto ocorr, por xplo, cada vz qu o robot rcolh ais ua bola d bilhar já qu o copartinto d transport dstas fica bastant afastado do cntro d rotação. ada bola rprsnta, édia, u acréscio d 0,01Kg. no onto d inércia global J d 0.Kg na assa total M. Tabé nst caso a utilização d ua coponnt drivativa na função controladora rduz as oscilaçõs torno da linha. VII. NLUSÕES Est artigo aprsnta u odlo atático para u pquno robot autónoo capaz d sguir ua linha traçada no chão. É, ainda, dscrita a construção d u siulador basado nss odlo ostrado u xplo d aplicação co a siulação do robot Moliciro. onfor s prtndia ostrar, o xrcício d laboração do odlo é, d facto, u xplo d ultidisciplinaridad qu usa concitos d Elctrocânica (otors D), d Física Mcânica (inática Dinâica) d Gotria Analítica. A laboração do siulador rqur tabé, ainda qu a u nívl uito suprficial, concitos d ontrolo Digital Instruntação. Por outro lado, o odlo dsnvolvido, particular o siulador, é ua frranta uito intrssant qur para o fi spcífico d ajudar a lhorar as caractrísticas d robots do tipo qustão qur para fins pdagógicos ais grais, por xplo, no nsino d ontrolo ou d Instruntação. A facilidad co qu pod sr utilizados difrnts algoritos d controlo, ou difrnts tipos d snsors, idiatant vrificar o su fito torna st siulador u objcto didáctico d considrávl valor. REFERÊNIAS [1] - J. J. D'Azzo and. H. Houpis, Linar ontrol Syst Analysis and Dsign, McGra-Hill, 1981. [] - A. E. Fitzgrald t al., Elctric Machinry, McGra-Hill, 1975. [3] - Alonso and Finn, Fundantal Univrsity Physics, Vol. I - Mchanics, Addison Wsly, 1967. [4] - J. L. Jons and A. M. Flynn, Mobil Robotics: Inspiration to Iplntation, A K Ptrs, 1993. [5] - J. A. Viira t al., Moliciro - U Robot qu Sgu ua Linha, Rvista do DETUA, Vol. 1, Nº7, Janiro d 1997. Fig. 9 - Rsultado do siulador usando controlo proporcional drivativo co Kp00 Kd300. D notar as rápidas rcupraçõs nas prturbaçõs sporádicas da linha.