CONTROLO. Cap 2 Modelação de Sistemas Físicos

Transcrição

1 Capítulo Modlação CONTROLO º sstr 007/008 Transparências d apoio às aulas tóricas Cap Modlação d Sistas Físicos Maria Isabl Ribiro António Pascoal Fvriro d 008 Todos os diritos rsrvados Estas notas não pod sr usadas para fins distintos daquls para qu fora laboradas (lccionação no Instituto Suprior Técnico) s autorização dos autors Controlo ºs 007/008 Isabl Ribiro, António Pascoal

2 Objctivos Capítulo Modlação Dfinir o qu é u odlo discutir o su uso para rspondr a prguntas sobr sistas físicos Introduzir os concitos d ntrada, saída dinâica Dar xplos d odlos d sistas físicos doínios divrsos Linarização Rfrências o o Cap. do livro d Franklin, Powl, Nai (rfrência principal) Cap. do txto d Karl Astro, Richard Murray, disponívl na Wb. Controlo ºs 007/008 Isabl Ribiro, António Pascoal

3 Capítulo Modlação Rvisão sobr Introdução ao Controlo Actuação Sista físico Snsorianto / Prcpção Controlo Snsorianto + Coputação + Actuação Coputação Sistas d controlo por rtroaçcão ocorr uitos doínios Objctivos do controlo Modificar o coportanto d sistas co as sguints rstriçõs: Estabilidad cadia fchada Robustz fac a incrtzas d odlização Atnuação d prturbaçõs Controlo ºs 007/008 Isabl Ribiro, António Pascoal

4 Modlos Capítulo Modlação Modlo rprsntação atática d u sista físico, biológico, cânico, d inforação,... U odlo fornc ua prdição d coo éo coportanto do sista O projcto d controladors para sistas físicos faz s a partir d u odlo dss sista. Os odlos não tê qu sr xactos. Modlos qu dscrva uito dtalhadant u sista pod sr coplxos Dsconhc s todos os fnónos físicos qu rgula ocoportanto do sista Na odlação faz s, uitas vzs, hipótss siplificativas A rtroacção garant robustz a incrtzas ( dtrinados liits) no odlo Os odlos usados para controlo rlaciona ntradas co saídas (vntualnt) co variávis intrnas do sista Controlo ºs 007/008 Isabl Ribiro, António Pascoal

5 Modlos Capítulo Modlação O odlo qu s driva dpnd da prgunta a qu s prtnd rspondr sobr o sista físico. Prguntas difrnts odlos difrnts Prguntas iguais as hipótss siplificativas difrnts odlos difrnts Ao so sista físico pod corrspondr odlos difrnts Dv sr scolhidas scalas d tpo d spaço adaptadas às qustõs a qu s prtnd rspondr Controlo ºs 007/008 Isabl Ribiro, António Pascoal

6 Modlo Capítulo Modlação D ntrada saída rlaciona dirctant antrada co a saída Equação difrncial Linar ou não linar Variant ou invariant no tpo Função d Transfrência Só para sistas linars invariants no tpo D stado rlaciona a ntrada, asaída variávis intrnas do sista r(t) Entrada Sista y(t) Saída Controlo ºs 007/008 Isabl Ribiro, António Pascoal

7 Modlação: Explos Capítulo Modlação Alguns xplos d sistas físicos Sistas cânicos Circuitos léctricos Sistas lctrocânicos Sistas téricos Sistas hidráulicos Dinâica d populaçõs... Controlo ºs 007/008 Isabl Ribiro, António Pascoal

8 Capítulo Modlação Sista d Controlo d Vlocidad (Cruis Control) v rf (t) + _ Controlador Motor v(t) Snsor d vlocidad Objctivo do sista d controlo Mantr constant a vlocidad do vículo Modlo do sista físico Entrada: força grada plo otor Saída: vlocidad v(t) do autoóvl v(t) Qual éo odlo atático dst sista físico qu rlaciona co v(t)? Fazndo hipótss siplificativas obt s u odlo. Controlo ºs 007/008 Isabl Ribiro, António Pascoal

9 Sistas Mcânicos d Translação Capítulo Modlação Li d Nwton (séc. XVII) F d(v)/ F soa das forças aplicadas ao corpo (N) v vctor vlocidad do corpo (/s) M assa do corpo (Kg) v onto linar Kg/s A força total aplicada a u corpo rígido é igual à drivada ord ao tpo do su onto linar Controlo ºs 007/008 Isabl Ribiro, António Pascoal

10 Sistas Mcânicos d Translação Capítulo Modlação Elntos Básicos Massa Mola X f (t) d x(t) Massa - Arazna nrgia cinética K X K K x(t) f s (t) f s (t) K x(t) Mola - Arazna nrgia potncial Kconstant da ola f s (t) força d rstituição da ola, rsultado d ua dforação (alonganto ou coprssão). Kx(t) é a força qu é ncssário xrcr para fctuar o alonganto (x(t)>0) ou a coprssão (x(t)<0). Controlo ºs 007/008 Isabl Ribiro, António Pascoal

11 Sistas Mcânicos d Translação Capítulo Modlação Elntos Básicos Atrito X (t) f d β dx(t) b b x(t) f d (t) X β dx(t) Atrito Elnto dissipador d nrgia bcoficint d atrito viscoso A força d atrito, f d (t), qu s opõ ao ovinto, é proporcional à vlocidad siplificação da ralidad é usualnt ua função não linar da vlocidad Controlo ºs 007/008 Isabl Ribiro, António Pascoal

12 Capítulo Modlação Sista d Controlo d Vlocidad (Cruis Control) v(t) Qual éo odlo atático dst sista físico qu rlaciona co v(t) assuindo as hipótss siplificativas? Hipótss siplificativas: Inércia rotacional das rodas é dsprzávl O atrito qu s opõ ao ovinto é proporcional à vlocidad (atrito viscoso) O autoóvl ov s no plano horizontal β Sista v (t) Força xtrna aplicada dx(t) Controlo ºs 007/008 Isabl Ribiro, António Pascoal

13 Sistas Mcânicos d Translação Capítulo Modlação Explo d ª Ord β Força xtrna aplicada Sista v (t) dx(t) Li d Nwton d x(t) forças aplicadas + fd (t) βv(t) Força xtrna Força do atrito dv(t) dv(t) Rprsntação d ntrada saída o no doínio do tpo o ntrada: o saída: v(t) o Equação difrncial linar d coficints constants d ª ord o Sista d ª ord A força d atrito opõ-s ao ovinto dv(t) + βv(t) Controlo ºs 007/008 Isabl Ribiro, António Pascoal

14 Sistas Mcânicos d Translação Capítulo Modlação Explo d ª Ord β Força xtrna aplicada Sista x(t) Li d Nwton forças aplicadas d x(t) dx(t) d x(t) + fd(t) β Força xtrna Força do atrito Rprsntação d ntrada saída o no doínio do tpo o ntrada: o saída: x(t) o Equação difrncial linar d coficints constants d ª ord o Sista d ª ord A força d atrito opõ-s ao ovinto d x(t) + dx(t) β Controlo ºs 007/008 Isabl Ribiro, António Pascoal

15 Sistas Mcânicos d Translação Capítulo Modlação Explo d ª Ord K β dx(t) β Força xtrna aplicada Sista x(t) Kx(t) d x(t) forças aplicadas dx(t) d x(t) f (t) β Kx(t) d x(t) + β dx(t) + Kx(t) Controlo ºs 007/008 Isabl Ribiro, António Pascoal

16 Função d Transfrência Capítulo Modlação dv(t) + βv(t) EQUAÇÃO DIFERENCIAL Rprsntação atática do sista no doínio do tpo para ua dada ntrada a saída pod obtr s por rsolução da quação difrncial Aplicando Transforada d Laplac unilatral considrando condiçõs iniciais nulas sv (s) + βv(s) F(s) V(s) F(s) TL[v(t)] TL[] X(s) 0 x( τ) s τ d τ Transforada d Laplac unilatral V(s) F(s) s + β FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA Rprsntação atática do sista no doínio da variávl coplxa s Controlo ºs 007/008 Isabl Ribiro, António Pascoal

17 Função d Transfrência Capítulo Modlação r(t) SLIT y(t) FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA G(s) Y(s) R(s) c.i. 0 R(s) Quocint da transforada d Laplac do sinal d saída pla transforada d Laplac do sinal d ntrada considrando nulas as condiçõs iniciais G(s) Y(s) Para condiçõs iniciais nulas Y (s) G(s).R(s ) A função d transfrência é u concito potnt para dscrvr o coportanto d sistas do ponto d vista d ntrada/saída Para SLITs, a função d transfrência caractriza copltant o sista do ponto d vista d ntrada saída Controlo ºs 007/008 Isabl Ribiro, António Pascoal

18 Função d Transfrência Capítulo Modlação r(t) SLIT y(t) Obtnção da solução da quação difrncial qu éa rprsntação do coportanto d ntrada saída r(t) Rsolução da q.difrncial y(t) R(s) G(s) Y(s) R(s) G(s) c.i. 0 Y(s) TL TL - R(s) Y (s) G(s).R(s) S as condiçõs iniciais for nulas Y(s) A função d transfrência é u concito potnt para dscrvr o coportanto d sistas do ponto d vista d ntrada/saída Controlo ºs 007/008 Isabl Ribiro, António Pascoal

19 Capítulo Modlação Função d Transfrência Diagraa d Blocos v(t) dv(t) + βv(t) V(s) F(s) s + β F(s) s + β V(s) x(t) F(s) s + β V(s) s X(s) O so sista físico Modlos difrnts F(s) s(s + β) X(s) && x(t) + βx(t) & Controlo ºs 007/008 Isabl Ribiro, António Pascoal

20 Cruis Control ( plano horizontal) Capítulo Modlação v(t) Sista físico odlo do sista físico V rf (s) + _ K F(s) s + β V(s) V(s) V (s) rf? controlador Sista controlado co controlador proporcional Controlo ºs 007/008 Isabl Ribiro, António Pascoal

21 Sistas Mcânicos d Rotação Capítulo Modlação rotação torno d u ixo Li d Nwton Eulr d θ(t) T(t) J T soa dos binários aplicados ao sista (N ) d θ(t) vctor aclração angular a qu o corpo stá sujito (rad/s ) J onto d inércia (Kg ) (suposto constant) A soa dos binários qu actua nu corpo é igual ao produto do onto d inércia dss corpo pla sua aclração angular. Controlo ºs 007/008 Isabl Ribiro, António Pascoal

22 Sistas Mcânicos d Rotação Capítulo Modlação Inércia Elntos Básicos d θ(t) T(t) J ω dω J Vlocidad angular Arazna nrgia cinética rotacional Mola Rotacional (t) T s K θ(t) Mola arazna nrgia potncial rotacional K constant da ola T s (t) binário d rstituição da ola rsultado d ua dforação torno do ponto d quilíbrio. K θ(t) é o binário qu é ncssário xrcr para fctuar a rotação. Controlo ºs 007/008 Isabl Ribiro, António Pascoal

23 Sistas Mcânicos d Rotação Capítulo Modlação Elntos Básicos Atrito Rotacional (t) T d β ω(t) Atrito Elnto dissipador d nrgia β b coficint d atrito viscoso O binário d atrito T d (t), qu s opõ ao ovinto, é proporcional à vlocidad angular siplificação da ralidad é usualnt ua função não linar da vlocidad Controlo ºs 007/008 Isabl Ribiro, António Pascoal

24 Sistas cânicos d rotação Capítulo Modlação Engrnag (caixa d dsultiplicação) Roda dntada ntrada Raio - # dnts - r N Roda dntada saída Raio - # dnts - r N A vlocidad linar éigual no ponto d contacto das duas rodas a dsultiplicação angular é invrsant proporcional ao quocint do núro d dnts. r θ r θ θ θ r r N N Controlo ºs 007/008 Isabl Ribiro, António Pascoal

25 Sistas cânicos d rotação Capítulo Modlação Engrnag (caixa d dsultiplicação) Roda dntada ntrada Raio - # dnts - r N Roda dntada saída Raio - # dnts - r N Supondo qu a ngrnag não acuula n dissipa nrgia a ultiplicação d binário é dirctant proporcional ao quocint do núro d dnts das rodas. Rsuo T θ T θ T T θ θ N N Enrgia rotacional θ θ Τ Τ N N N N Controlo ºs 007/008 Isabl Ribiro, António Pascoal

26 Explo: Pêndulo Capítulo Modlação T c (t) θ L g Pêndulo Massa toda concntrada na xtridad Braço d coprinto L [] Binário aplicado T c (t) [N.] Prgunta: Coo varia o ângulo θ(t) coo função d T c (t)? Monto d inércia torno do ponto d rotação J L J θ(t) & binários aplicados L θ(t) && T (t)-g L sinθ g θ &&(t) + sinθ L c Tc (t) L Eq. Difrncial não linar Não s pod obtr dirctant a Função d Transfrência Faz s linarização g Controlo ºs 007/008 Isabl Ribiro, António Pascoal θ θ gcos θ gsin θ

27 Carro co pêndulo invrtido Capítulo Modlação M b L I F x θ Massa do carro Massa do pêndulo Coficint d atrito no ovinto do carro Coprinto do pêndulo Inércia do pêndulo Força xtrna aplicada ao carro Posição do carro Ângulo do pêndulo rlativant à vrtical Prtnd s: Equaçõs da dinâica d ovinto do sista tros d x d θ Controlo ºs 007/008 Isabl Ribiro, António Pascoal

28 Carro co pêndulo invrtido Capítulo Modlação Soa das forças no rfrncial horizontal associado ao carro M && x + bx& + N F Soa das forças no pêndulo na dircção horizontal N x & + Lθcosθ && Lθ N força d racção (dsconhcida) aplicada plo pêndulo & sinθ (M+ )x && + bx& + Lθcosθ && Lθ& sinθ F Controlo ºs 007/008 Isabl Ribiro, António Pascoal

29 Carro co pêndulo invrtido Capítulo Modlação Soa das forças prpndiculars ao pêndulo Psinθ + Ncosθ gsinθ Lθ& + xcosθ & Soa dos ontos torno do cntróid do pêndulo PLsinθ NLcosθ Iθ& (I+ L )θ& + glsinθ Lxcosθ & & Controlo ºs 007/008 Isabl Ribiro, António Pascoal

30 Carro co pêndulo invrtido Capítulo Modlação (M+ )x && + bx& + Lθcosθ && Lθ& (I+ L )θ& + glsinθ & Lxcosθ & sinθ F Sista d quaçõs difrnciais não linars Controlo ºs 007/008 Isabl Ribiro, António Pascoal

31 Sistas Elctrocânicos Capítulo Modlação Motor d corrnt contínua Parâtros caractrísticos: R a rsistência Oh L a indutância Hnry a tnsão d ntrada no circuito da aradura Volt i a corrnt no circuito da aradura Apr v b força contra lctrootriz Volt T binário disponívl no vio do otor Controlo ºs 007/008 Isabl Ribiro, António Pascoal

32 Motor d corrnt contínua Capítulo Modlação O rotor gira nu capo agnético Equação do circuito da aradura di a R aia + La + vb(t) a dθ (t) v b Kb K ω (t) Força contra-lctrootriz b tnsão aos trinais da rsistncia quda d tnsão na bobina Forca contra lctrootriz tnsão d ntrada no stator Ra Ia(s) + LasIa(s) + Vb (s) E a (s) E a (s) + _ R a + L a s I a (s) Θ (s) V b (s) sk b Controlo ºs 007/008 Isabl Ribiro, António Pascoal

33 Motor d corrnt contínua Capítulo Modlação Binario acssívl no vio do otor T K t I a T (s) K I (s) I (s) (proporcional a i a ; K t K b ) t a a T (s) K t E a (s) + _ R a + L a s I a (s) K t T (s) Q (s) V b (s) sk b (Ra + Las)T (s) + KbsΘ(s) E K t a (s) tros T tro θ Controlo ºs 007/008 Isabl Ribiro, António Pascoal

34 Motor d corrnt contínua Capítulo Modlação Equação do ROTOR Ω ( s) TL[ ω(t)] J sω(s) + βω(s) T (s) (J s + βs)θ(s) T (s) E a (s) + _ R a + L a s I a (s) K t T (s) s(sj + β ) Q (s) V b (s) sk b Por rduçõs sucssivas do diagraa d blocos, obtnha a função d transfrência do otor. Controlo ºs 007/008 Isabl Ribiro, António Pascoal

35 Motor d corrnt contínua Capítulo Modlação (Ra + Las)T (s) + KbsΘ(s) E K t a (s) (J s + βs)θ(s) T (s) (Ra + Las)(Js + βs) Θ(s) + KbsΘ(s) E K t S L a pudr sr dsprzada ( coparação co R a ) a (s) R a (Js + β) + Kb sθ(s) E K t Θ E a (s) (s) K s(s + a) a (s) Θ E (s) (s) K t/(r (β J Controlo ºs 007/008 Isabl Ribiro, António Pascoal a s[s + Função d TRANSFERÊNCIA da fora a J ) K tk + R a b )]

36 Controlo d posição d u otor d corrnt contínua Capítulo Modlação Θ E a (s) (s) K s(s + a) Ε a (s) Ω (s) K (s + a) s Θ (s) Dinâica da vlocidad angular Sista d controlo d posição angular do otor Intgrador (posicao angular é o intgral da vlocidad angular. Pólo zro!) R(s) + _ K Ε a (s) K s + a s Θ (s) Θ(s) G(s) R(s) s KK + sa + KK Controlo ºs 007/008 Isabl Ribiro, António Pascoal

37 Capítulo Modlação Dinâica d condução d u robot óvl Y W rodas otoras θ(t) y(t) {R} Prgunta: Coo varia no tpo a posição (x,y) orintação θ do vículo função das vlocidads linars das duas rodas? {W} x(t) X W rodas otoras trasiras rodas diantiras não otorizadas x(t) & y(t) & θ(t) & v v v d d d (t) + v (t) + v (t) v L (t) cos( θ(t)) (t) sin( θ(t)) (t) v d (t) vlocidad linar da roda dirita v (t) vlocidad linar da roda squrda L distância ntr rodas Sista d 3 quaçõs difrnciais não linars Controlo ºs 007/008 Isabl Ribiro, António Pascoal

38 Capítulo Modlação Dinâica d condução d u robot óvl Y W rodas otoras θ(t) y(t) {R} Controlo: Qu valors dv tr v (t) v d (t) para qu o vículo siga u dtrinado cainho? v x(t) & v y(t) & v θ(t) & d d d (t) + v (t) + v (t) v L (t) cos( θ(t)) (t) sin( θ(t)) (t) Coordnadas do cainho a sguir {W} Controlador x(t) É co bas nst odlo do sista físico (é u odlo siplificado) qu s projcta o controlador v v d X W (x,y,θ) Controlo ºs 007/008 Isabl Ribiro, António Pascoal

39 Linarização Capítulo Modlação Sista não linar Aproxiação linar Explo: carro a alta vlocidad v(t) Força xtrna aplicada β Vlocidad lvada Força d atrito: tro linar + tro quadrático f d (t) β v(t) β v(t) β v(t) βv(t) dv(t) Sista não linar Controlo ºs 007/008 Isabl Ribiro, António Pascoal

40 Linarização: Explo Capítulo Modlação Condição d quilíbrio Sista não linar Aproxiação linar torno d ua situação d quilíbrio O qu é ua situação d quilíbrio? S osista stivr nua situação d quilíbrio não houvr nnhua prturbação, l anté s indfinidant nssa situação O sista stá nua situação d quilíbrio quando ua força xtrna iguala a força d atrito β v(t) β v(t) dv(t) dinâica não linar Caractrização do quilíbrio v(t) ct v dv(t) 0 f βv βv f β v + β v Os pars (v, f ) qu satisfaz sta rlação são pontos d quilíbrio do sista Controlo ºs 007/008 Isabl Ribiro, António Pascoal 0

41 Linarização: xplo Capítulo Modlação Estudo do coportanto do sista torno d ua situação d quilíbrio (v, f ) v(t) v + f + δv(t) δ Incrntos pqunos torno do quilíbrio dv(t) β v(t) βv(t) d(v + δv(t)) (f + δ) β(v + δv(t)) β(v + δv(t)) V ct. dδv(t) (f linar linar??? + δ) β (v + δv(t)) β???? Controlo ºs 007/008 Isabl Ribiro, António Pascoal

42 Linarização: xplo Capítulo Modlação v(t) (v + δv(t))??? v Apr. séri d Taylor torno do ponto d quilíbrio dsprzando os tros não linars (ord suprior àª) v v Apr. séri d Taylor df f(x) f(x0 ) + dx x x 0 (x x 0 ) + d f dx x x 0 (x x 0 ) +... v(t) v + v δv(t) Dsprzando tros d ord suprior É válido para incrntos pqunos dδv(t) (f + δ) β(v + δv(t)) β(v + v δv(t)) Controlo ºs 007/008 Isabl Ribiro, António Pascoal

43 Linarização: xplo Capítulo Modlação dδv(t) (f + δ) β(v + δv(t)) β(v + f β v + β v Condição d quilíbrio v δv(t)) dδv(t) δ βδv(t) β v δv(t) dδv(t) + (β + βv ) δv(t) δ Eq. difrncial linar δv(s) δf(s) [s + (β + β v )] Função d transfrência Controlo ºs 007/008 Isabl Ribiro, António Pascoal

44 Linarização: xplo Capítulo Modlação Sista não linar v(t) dv(t) + β v(t) + β v(t) δ Sista Linarizado δv(t) dδv(t) + (β + β v ) δv(t) δ Rlaciona incrntos na saída co incrntos na ntrada Os incrntos são torno d u dtrinado ponto d quilíbrio (v,f ) A localização do pólo dpnd da vlocidad d opração v δv(s) δf(s) [s + (β + β v )] Função d transfrência Controlo ºs 007/008 Isabl Ribiro, António Pascoal

45 Pêndulo: Linarização Capítulo Modlação T c (t) L g θ &&(t) + sinθ L Tc (t) L θ g Não linar dvido ao tro sinθ θ 0, T c 0 Ponto d quilíbrio do sista Para θ pqunos (pqunas prturbaçõs torno do ponto d quilíbrio) sinθ θ Modlo linar qu dscrv o coportanto do sista, as só para θ pqunos g θ &&(t) + θ L Tc (t) L Controlo ºs 007/008 Isabl Ribiro, António Pascoal