FEPI FUNDAÇÃO DE ENSINO E PESQUISA DE ITAJUBÁ UNIVERSITAS CENTRO UNIVERSITÁRIO DEITAJUBÁ CÁLCULO 1. Prof. William Mascia Resende. Engenharia Elétrica

FEPI FUNDAÇÃO DE ENSINO E PESQUISA DE ITAJUBÁ UNIVERSITAS CENTRO UNIVERSITÁRIO DEITAJUBÁ CÁLCULO 1 Prof. William Mascia Resende Engenharia Elétrica ITAJUBÁ 2013

CENTRO UNIVERSITÁRIO DE ITAJUBÁ Curso: Engenharia Elétrica Professor William Mascia Resende Apostila de Apostila referente à disciplina de, do curso de Engenharia Elétrica do Centro Universitário de Itajubá. Itajubá 2013 P r o f. W i l l i a m Página 2

I. Ementa: Funções (revisão), Limite, continuidade de funções, derivada e suas aplicações. II. Carga Horária: 80 aulas (67 H). III. Monitoria/Plantão: Toda Segunda e Quarta das 18:10h às 19:00h. IV. Avaliações: 8 de Abril (Segunda-feira); 10 de Junho (Segunda-feira); V. Avaliações: 1 Nota: 70 pontos de Avaliação +30 pontos de trabalhos (lista de eercícios) 2 Nota: 70 pontos de Avaliação +30 pontos de trabalhos (lista de eercícios) VI. Calendário: P r o f. W i l l i a m Página 3

Bibliografia Básica: 1. MUNEM, MUSTAFÁ A. e FOULIS, David J..Cálculo Volume 1. Editora Guanabara Koogan S. A. 1982 Rio de Janeiro RJ 2. FLEEMMING, DIVA MARÍLIA E GONÇALVES, MIRIAN BUSS. Cálculo A Makron Books Ltda 1992 São Paulo SP 3. SWOKOWSKI, EARL W. Cálculo com Geometria Analítica Volume 1. Makron Books Ltda 1994 São Paulo SP Bibliografia Complementar: 1. SIMMONS, George F. Cálculo com geometria analítica. São Paulo: Makron Books, 1987. v.1. 829 p. 2. GUIDORIZZI, Hamilton Luiz. Um curso de cálculo. 5ª ed. Rio de Janeiro: Livros Técnicos e Científicos, 2001. v.1. 635 p. 3. FINNEY, Ross L.; WEIR, Maurice D.; GIORDANO, Frank R; George B. Thomas. Cálculo,10ª ed. São Paulo: Pearson, 2002. v. 1. 660 p. 4. BOULOS, Paulo. Cálculo diferencial e integral. São Paulo: Makron Books, 1999. v.1. 381 p. 5. STEWART, James - Cálculo, volume I; Tradução Técnica Antonio Carlos Moretti, Antonio Carlos Gilli Martins; revisão técnica Helena Castro - São Paulo: Cengage Learning, 2011. Professor William Mascia Resende Email: wmascia@uol.com.br P r o f. W i l l i a m Página 4

1. Função Definição. É uma relação binária em que cada elemento do conjunto de partida (A) se relaciona com um único elemento de um conjunto de chegada (B). Entendemos por uma função f uma terna (A, B, a b) onde A e B são dois conjuntos e a b, uma regra que nos permite associar a cada elemento a de A um único b de B. O conjunto A é o domínio de f, e indica-se por D f, assim A = D f. O conjunto B é o contradomínio de f. O único b de B associado ao elemento a de A é indicado por f(a) (leia: f de a); diremos que f(a) é o valor que f assume em a ou que f(a) é o valor que f associa a A. Quando percorre o domínio de f, f() descreve um conjunto denominado imagem de f e que se indica por Im f : Im f = {f() D f } Uma função de f de domínio A e contradomínio B é usualmente indicada por f: A B (leia: f de A em B). Uma função de uma variável real a valores reais é uma função f: A B, onde A e B são subconjuntos de IR. Até menção em contrário, só trataremos com funções de uma variável real a valores reais. Seja f: A B uma função. O conjunto G f = {(, f()) A} denomina-se gráfico de f; assim, o gráfico de f é um subconjunto de todos os pares ordenados (, y) de números reais. Munindo-se o plano de um sistema ortogonal de coordenadas cartesianas, o gráfico de f pode, então, ser pensado como o lugar geométrico descrito pelo ponto (, f()) quando percorre o domínio de f. Observação: Por simplificação, deiaremos muitas vezes, de eplicitar o domínio e o contradomínio de uma função; quando tal ocorrer, ficará implícito que o contradomínio é IR e o domínio o maior subconjunto de IR para o qual faz sentido a regra em questão. Eemplo: Dados os conjuntos M = {0, 1,2} e B={0, 1, 4, 5}, verificar se a relação binária R ={(,y) A B/ y = ²} é uma função. Solução: M = {0, 1,2} N={0, 1, 4, 5} R ={(,y) M N/ y = ²} = 0 y = 0² = 0 = 1 y = 1² = 1 = 2 y = 2² = 4 No diagrama de flechas (Vem Euler), temos que: Observe que f(0) = 0, f(1) = 1 e f(2) = 4, então podemos afirmar que f é uma função ou aplicação, já que de cada elemento de M temos uma única correspondência com elementos de N. Veja também que D(f) = {0,1,2}, CD(f)= {0,1,4,5} e Im(f) = {0,1,4}. P r o f. W i l l i a m Página 5

Gráficos de funções Dizemos que uma relação binária R: A B é função ou aplicação no gráfico, quando toda reta vertical tocar em um único ponto no gráfico, para todo A. Eemplos: i. Verificar se o gráfico abaio representa uma função. Solução: Dado o gráfico, temos que: Observe que eistem retas verticais que tocam em mais de um ponto no gráfico, daí podemos concluir que f não é função e sim uma relação binária. ii. Verificar se o gráfico abaio é uma função ou aplicação. Solução: Dado o gráfico abaio, temos: Observe que todas as retas verticais que traçarmos, tocarão em um e único ponto no gráfico. Logo g é uma função ou aplicação. iii. Dada a função f: IR IR, com a regra ³, temos que: D f = IR Im(f) = {3 / IR} = IR O valor que f assume em é f() = 3. Esta função associa a cada real o número real f() = 3. f(-1) = (-1) 3 = -1, f(0) = 0 3 = 0, f(1) = 1 3 = 1 O gráfico de f é tal que G f = {(,y) / y = ³, IR} P r o f. W i l l i a m Página 6

Domínio de funções O domínio de uma função representa o conjunto de valores para os quais ela eiste. Dentre os principais casos, temos: a) O domínio de uma função polinomial é sempre real. b) Para o domínio de uma função que possui variável no denominador, basta ser este diferente de zero. c) Radical com índice par no numerador possui radicando maior ou igual a zero. d) Radical com índice par no denominador possui radicando maior que zero. Eemplos: 1. Qual é o domínio mais amplo para a função ( )? Solução: O denominados é 1-, então 1 0 1. Logo o domínio desta função é dado por D(f) = IR - {1}. 2. Qual é o domínio da função ( )? Solução: 2-6 0 3. Logo o seu domínio será D(f) = { IR/ 3}. 3. Seja f: IR IR com a regra 3. Tem-se: a) D f = IR b) Im f = { 3 / IR}= IR, pois, para todo y em IR, eiste real tal que ³ = y. c) O valor que f assume em é f() = 3. Esta função associa a cada real o número real f() = ³. d) f(-1)=(-1)3 = -1; f(0) = 03 = 0; f(1) = 13 = 1. e) Gráfico de f: G f = {(,y) y = 3, IR} Suponhamos > 0; observe que, à medida que cresce, y também cresce, pois y = ³, sendo o crescimento de y mais acentuado que o de (veja: 2³ = 8; 3³ = 27, etc.); quando se aproima de zero, y aproima-se de zero mais rapidamente que ((1/2)³ = 1/8; (1/3)³ = 1/27 etc.). esta análise dá-nos uma ideia da parte do gráfico correspondente a > 0. Para < 0, é só observar que f(-) = - f() função impar. 4. Seja f a função dada por ( ). Tem-se: a) D f = { IR 0} b) Im f = { IR/ y 0} c) ( ) (o valor que f assume em 4 é 2). d) ( ) e) ( ), para 3. P r o f. W i l l i a m Página 7

f) Gráficos de f: A função f é dada pela regra y;. Quando cresce, y também cresce sendo o crescimento de y mais lento que o de, e quando se aproima de zero, y também se aproima de zero, ver tabela. X Y X Y 1 1 1/4 1/2 2 1,41 1/9 1/3 3 1,73 1/16 1/4 4 2 1/25 1/5 5. Considere a função g dada por ( ). Tem-se: a) Dg = { IR 0} b) Esta função associa a cada 0 o real g() = 1/ c) ( ) d) Gráfico de g: Vamos olhar primeiro para > 0; à medida que vai aumentando, y = 1/ vai aproimando-se de Zero; à medida que vai aproimando-se de zero, y = 1/ vai-se tornando cada vez maior, observe a tabela abaio: X Y X Y 1 1 1/4 4 2 0,5 1/9 9 3 0, 1/16 16 4 0,25 1/25 25 Observação Quando uma função vem dada por uma regra do tipo y, y = f(), é comum referir-se à variável y como variável dependente, e à variável como variável independente. 6. Dada a função f() = - ² + 2, simplifique: a) b) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ( ) ( )] ( ) [ ] ( ) ( ) 7. Função constante - Uma função f: A IR dada por f() = k, k constante, denomina-se função constante. a) f() = 2 é uma função constante; tem-se: (i) D f = IR; Im f = {2} (ii) Gráfico de f G f {(,f()) IR} = {(,2) IR}. O gráfico de f é uma reta paralela ao eio passando pelo ponto (0, 2). P r o f. W i l l i a m Página 8

8. g: (- ;0] IR dada por g() = -1 é uma função constante e seu gráfico é Tem-se: a) Df = IR; Im f = {-1} b) Gráfico de f Observe que (0, -1) pertence ao gráfico de f, mas (0, 1) não. 1.1 Função composta Dadas as funções f: A B e g: B C, dizemos que eiste uma função h: A C, tal que: h() = (gof)() = g(f()), A. Eemplo: Consideremos os conjuntos A={-2,-1,0,1,2}, B={-2,1,4,7,10} e C={3,0,15,48,99}, e as funções f :A B definida por f()=3+4, e g: B C definida por g(y)=y²-1. Como nos mostra o diagrama acima, para todo A temos um único y B tal que y=3+4, e para todo y B eiste um único z C tal que z = y²-1, então concluímos que eiste uma função h de A em C, definida por h()=z ou h()=9²+24+15, pois: h()=z h()= y²-1 E sendo y=3+4, então h()=(3+4)²-1 h()= 9²+24+15. A função h() é chamada função composta de g com f. Podemos indicá-la por g o f (lemos g composta com f ) ou g[f()] (lemos g de f de ). Vamos ver alguns eercícios para entender melhor a idéia de função composta. Eemplos: a) Dadas as funções f()=²-1 e g()=2, calcule f[g()] e g[f()]. Resolução: fog() = f[g()] = f(2) = (2)²-1 = 4²-1 gof() = g[f()] = g(²-1) = 2(²-1) = 2²-2 b) Dadas as funções f()=5 e f[g()]=3+2, calcule g(). Resolução: Como f()=5, então f[g()]= 5.g(). Porém, f[g()]=3+2; logo 5.g()=3+2, e daí g()=(3+2)/5 c) Dadas as funções f()=²+1 e g()=3-4, determine f[g(3)]. Resolução: g(3)=3.3-4=5 f[g(3)]= f(5)= 5²+1 = 25+1= 26. P r o f. W i l l i a m Página 9

Eercícios resolvidos: 1. Qual é o domínio mais amplo da função ( ) Solução: Domínio de f(): 1 0 1 e 2 + 1 0-1/2 ( ) * + 2. Determine o valor de k para que fog() = gof(), dadas: f() = 2.k.+1 e g() = 2 3 Solução: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Como: ( ) ( ) 3. Calcular o valor de f(-1), sabendo-se que f(2-1)=3-. Solução: f(2-1)=3- temos que 2.-1 = -1, portanto = 0, daí, temos: f(2.0-1)=3-0 ( ) 4. Determine o domínio da função ( ) Solução: Atribuímos uma variável auiliar para +1 = t, portanto = t-1, substituindo na função temos: ( ), aonde observamos que 3 t > 0, portanto t < 3, ou seja: ( ) * + (, P r o f. W i l l i a m Página 10

1.2 Funções polinomiais. 1.2.1 Função de 1º grau ou Função Afim Definição Chama-se função polinomial do 1º grau, ou função afim, a qualquer função f de IR em IR dada por uma lei da forma f() = a + b, onde a e b são números reais dados e a 0. Na função f() = a + b, o número a é chamado de coeficiente angular e o número b é chamado coeficiente linear. Veja alguns eemplos de funções polinomiais do 1º grau: f() = 5-3, onde a = 5 e b = - 3 f() = -2-7, onde a = -2 e b = - 7 f() = 11, onde a = 11 e b = 0 Gráfico O gráfico de uma função polinomial do 1º grau, y = a + b, com a 0, é uma reta oblíqua aos eios O e Oy. Eemplo: Vamos construir o gráfico da função y = 3-1: Como o gráfico é uma reta, basta obter dois de seus pontos e ligá-los com o auílio de uma régua: a) Para = 0, temos y = 3 0-1 = -1; portanto, um ponto é (0, -1). b) Para y = 0, temos 0 = 3-1; portanto, = 1/3 e outro ponto é (1/3;0). Marcamos os pontos (0, -1) e no plano cartesiano e ligamos os dois com uma reta. X Y 0-1 1/3 0 Vimos que o gráfico da função afim y = a + b é uma reta. O coeficiente de, a, é chamado coeficiente angular da reta e, está ligado à inclinação da reta em relação ao eio O. O termo constante, b, é chamado coeficiente linear da reta. Para = 0, temos y = a 0 + b = b. Assim, o coeficiente linear é a ordenada do ponto em que a reta corta o eio Oy. P r o f. W i l l i a m Página 11

Propriedades da função do 1º grau : 1) o gráfico de uma função do 1º grau é sempre uma reta. 2) na função f() = a + b, se b = 0, f é dita função linear e se b = 0 f é dita função afim. 3) o gráfico intercepta o eio dos na raiz da equação f() = 0 e, portanto, no ponto de abcissa = - b/a. 4) o gráfico intercepta o eio dos y no ponto (0, b), onde b é chamado coeficiente linear. 5) o valor a é chamado coeficiente angular e dá a inclinação da reta. 6) se a < 0, então f é crescente. 7) se a > 0, então f é decrescente. 8) quando a função é linear, ou seja, y = f() = a, o gráfico é uma reta que sempre passa na origem. Eemplos: 1. Esboce os gráficos de: a) ( ) b) ( ) c) ( ) Solução: a) O gráfico de f é a reta que passa pelos pontos arbitrários (0, 0) e (1, 2) b) O gráfico de g é a reta que passa pelos pontos arbitrários (0, 0) e (1, 2). P r o f. W i l l i a m Página 12

c) Sabendo se que: ( ) { 2. Esboce os gráficos de: ( ) Solução: ( ) { ( ) { Agora, vamos desenhar, pontilhando, as retas y = + 1 e y = + 3 e, em seguida, marcar, com traço firme, a parte que interessa de cada uma: Sempre que uma função for dada por várias sentenças, você poderá proceder dessa forma. Um outro modo de se obter o gráfico de f é o seguinte: primeiro desenhe pontilhado o gráfico de y = I I; o gráfico de y = I 1 I obtém-se do anterior transladando-o para a direita de uma unidade; o gráfico de f obtém-se deste último transladando-o para cima de duas unidades. Estudo do sinal Estudar o sinal de uma função qualquer y = f() consiste em determinar os valores de para os quais y é positivo, os valores de para os quais y é zero e os valores de para os quais y é negativo. Consideremos uma função afim y = f() = a + b vamos estudar seu sinal. 1º) a > 0 (a função é crescente) y > 0 a + b > 0 > -b/a y < 0 a + b < 0 < -b/a P r o f. W i l l i a m Página 13

Conclusão: y é positivo para valores de maiores que a raiz; y é negativo para valores de menores que a raiz 2º) a < 0 (a função é decrescente) y > 0 a + b > 0 < -b/a y < 0 a + b < 0 > -b/a Conclusão: y é positivo para valores de menores que a raiz; y é negativo para valores de maiores que a raiz. 1.2.2 Função do 2º Grau ou Função Quadrática Definição: Chama-se função quadrática, ou função polinomial do 2º grau, qualquer função f de IR em IR dada por uma lei da forma f() = a² + b + c, onde a, b e c são números reais e a 0. Vejamos alguns eemplos de função quadráticas: f() = 3² - 4 + 1, onde a = 3, b = - 4 e c = 1 f() = ² -1, onde a = 1, b = 0 e c = -1 f() = 2² + 3 + 5, onde a = 2, b = 3 e c = 5 f() = - ² + 8, onde a = -1, b = 8 e c = 0 f() = -4², onde a = - 4, b = 0 e c = 0 P r o f. W i l l i a m Página 14

Gráfico O gráfico de uma função polinomial do 2º grau, y = a² + b + c, com a 0, é uma curva chamada parábola. Eemplo: Vamos construir o gráfico da função y = ² + : Primeiro atribuímos a alguns valores, depois calculamos o valor correspondente de y e, em seguida, ligamos os pontos assim obtidos. X Y -3 6-2 2-1 0 0 0 1 2 2 6 Observação: Ao construir o gráfico de uma função quadrática y = a² + b + c, notaremos sempre que: Concavidade: se a > 0, a parábola tem a concavidade voltada para cima; se a < 0, a parábola tem a concavidade voltada para baio; Zero ou Raiz de uma Equação do 2º Grau Chama-se zeros ou raízes da função polinomial do 2º grau f() = a² + b + c, a 0, os números reais tais que f() = 0. Então as raízes da função f() = a² + b + c são as soluções da equação do 2º grau a² + b + c = 0, as quais são dadas pela chamada fórmula de Bhaskara: Ou seja: ( ) Observação A quantidade de raízes reais de uma função quadrática depende do valor obtido para o radicando, chamado discriminante, a saber: P r o f. W i l l i a m Página 15

quando é positivo, há duas raízes reais e distintas; quando é zero, há só uma raiz real; quando é negativo, não há raiz real. Interceptação nos eios das ordenadas (eio y). As coordenadas serão (0;c). Vértice (V) Quando a > 0, a parábola tem concavidade voltada para cima e um ponto de mínimo V; quando a < 0, a parábola tem concavidade voltada para baio e um ponto de máimo V. b ; 2. a 4. a Em qualquer caso, as coordenadas de V são Veja os gráficos: vértice, y vértice. Eio de simetria Eio de simetria Eemplo: 1. De as coordenadas do vértice da parábola: f() = -²+2.-5. Solução: ( ), ( ) ( )- ( ) Logo as coordenadas do vértice é V(1;-4). P r o f. W i l l i a m Página 16

Imagem. O conjunto-imagem Im da função y = a.² + b.+ c, a 0 é o conjunto dos valores que y pode assumir. Há duas possibilidades: Eemplo: 1. Construir o gráfico de ( ). Solução: A concavidade da parábola é para baio, pois o a < 0. As raízes da função são iguais a 1, pois o ( ) ( ). As coordenas do vértice são V(1,0), pois: ( ), ( ) ( )- ( ) O gráfico intercepta o eio y, no ponto (0;-1). Estudo do Sinal Consideramos uma função quadrática y = f() = a2 + b + c e determinemos os valores de para os quais y é negativo e os valores de para os quais y é positivo. Conforme o sinal do discriminante = b2-4ac, podemos ocorrer os seguintes casos: P r o f. W i l l i a m Página 17

1º) > 0 Nesse caso a função quadrática admite dois zeros reais distintos (1 2). a parábola intercepta o eio O em dois pontos e o sinal da função é o indicado nos gráficos abaio: quando a > 0 y > 0 ( < 1 ou > 2 ) y < 0 1 < < 2 y = 0 nas raízes 1 e 2 quando a < 0 y > 0 1 < < 2 y < 0 ( < 1 ou > 2) y = 0 nas raízes 1 e 2 2º ) = 0 Quando a >0 y > 0 ( 1 ) y < 0 y = 0 nas raízes 1 e/ou 2 Quando a <0 y < 0 ( 1 ) y > 0 y = 0 nas raízes 1 e/ou 2 P r o f. W i l l i a m Página 18

3º) < 0 Quando a >0 y > 0 y < 0 ou y = 0 Quando a <0 y < 0 y > 0 ou y = 0 Sistema de Inequação do 2º grau Vamos aplicar o estudo do sinal da função quadrática na resolução de inequações do 2º grau. São inequações do 2º grau, por eemplo: ² -2 +3 > 0 ² -4 +4 < 0 3² - +1 0-2² + +3 0 Resolver uma inequação do 2º grau significa determinar os valores reais de satisfazem a inequação dada. Eemplo: Resolver a inequação ² -3 +2 > 0 Resolução: a 1( 0) 2 3. 2 0 9 8 1 ' 4 3 1 2 2 2 2 '' 1 2 1 2 Como devemos ter f() >0: <1 ou >2 Resposta: s= { / <1 ou >2} P r o f. W i l l i a m Página 19

1.2.3 Função Modular: Inicialmente definimos módulo de um número real como, ou valor absoluto de. Entende-se módulo como: {, assim o significado destas sentenças é: o módulo de um número real não negativo é o próprio número. o módulo de um número real negativo é o oposto do número. Eemplo: 1 = 1, 3 = 3, +5 = 5, 1 = 1. Consequências importantes: Função Modular é aquela que associa a cada elemento real um elemento IR Para que o conceito de função fique claro adotamos a notação de uma função f() =, como sendo: ( ) { Sendo que o gráfico de f() = é semelhante ao gráfico de f() =, sendo que a parte negativa do gráfico será refletida sempre para um f() positivo. P r o f. W i l l i a m Página 20

Um outro eemplo para uma função modular seria a função modular do 2º grau, sendo f() = 2 4, assim : ( ) { ( ) ( ), assim temos o gráfico: 1.2.4 Função Eponencial. 1.2.4.1 Equações Eponenciais Chamamos de equações eponenciais toda equação na qual a incógnita aparece em epoente. P r o f. W i l l i a m Página 21

Eemplos de equações eponenciais: 3 =81 (a solução é =4) 2-5 =16 (a solução é =9) 16-4.2-1-10=2.2-1 (a solução é =1) 3 2-1 -3-3 -1 +1=0 (as soluções são =0 e =1) Para resolver equações eponenciais, devemos realizar dois passos importantes: 1º) redução dos dois membros da equação a potências de mesma base; 2º) aplicação da propriedade: Eemplos: 1) 3 =81 Resolução: Como 81=3 4, podemos escrever 3 = 34 E daí, =4. 2) 9 = 1 Resolução: 9 = 1 9 = 9 0 ; logo = 0. 3). / Resolução:. /. / 4) Resolução:. /. / 5) 2 3-1 = 32 2 Resolução: 2 3-1 = 32 2 23-1 = (2 5 ) 2 2 3-1 = 2 10 ; daí 3-1=10, de onde =-1/7. 1.2.4.2 FUNÇÃO EXPONENCIAL 6) Resolva a equação 3 2 6.3 27=0. Resolução: vamos resolver esta equação através de uma transformação: 3 2 6.3 27=0 (3 ) 2-6.3 27=0 Fazendo 3=y, obtemos: y²-6y 27=0 ; aplicando Bhaskara encontramos y =-3 e y =9 Para achar o, devemos voltar os valores para a equação auiliar 3=y: y =-3 3 = -3 não eiste, pois potência de base positiva é positiva y =9 3 = 9 3 = 3 2 =2 Portanto a solução é =2 Chamamos de funções eponenciais aquelas nas quais temos a variável aparecendo em epoente. A função f:ir IR + definida por f()=a, com a IR + e a 1, é chamada função eponencial de base a. O domínio dessa função é o conjunto IR (reais) e o contradomínio é IR + (reais positivos, maiores que zero). GRÁFICO CARTESIANO DA FUNÇÃO EXPONENCIAL Temos 2 casos a considerar: quando a>1; quando 0<a<1. Acompanhe os eemplos seguintes: P r o f. W i l l i a m Página 22

[FUNÇÕES] y=2 (nesse caso, a=2, logo a>1) Atribuindo alguns valores a e calculando os correspondentes valores de y, obtemos a tabela e o gráfico abaio: -2-1 0 1 2 y 1/4 1/2 1 2 4 y y=(1/2) (nesse caso, a=1/2, logo 0<a<1) Atribuindo alguns valores a e calculando os correspondentes valores de y, obtemos a tabela e o gráfico abaio: y -2 4-1 2 0 1 1 1/2 2 1/4 y Nos dois eemplos, podemos observar que o gráfico nunca intercepta o eio horizontal; a função não tem raízes; o gráfico corta o eio vertical no ponto (0,1); os valores de y são sempre positivos (potência de base positiva é positiva), portanto o conjunto imagem é Im= IR+. Além disso, podemos estabelecer o seguinte: Prof. William Página 23

a>1 0<a<1 f() é estritamente crescente e Im=IR + Para quaisquer 1 e 2 do domínio: 2 > 1 y 2 >y 1 (as desigualdades têm mesmo sentido) f() é estritamente decrescente e Im= IR + Para quaisquer 1 e 2 do domínio: 2 > 1 y 2 < y 1 (as desigualdades têm sentidos diferentes) 1.2.4.3 INEQUAÇÕES EXPONENCIAIS 1) 2) 4 3) 5 4) 3 2 25 81 2-2 Chamamos de inequações eponenciais toda inequação na qual a incógnita aparece em epoente. Eemplos de inequações eponenciais: 2 4 5-150.5 (a solução é 4) 2 1 3 (que é satisfeita para todo real) (que é satisfeita para -3) 3125 0 Resolução : 4 (1 4 16).4 Porém, 4 4 1 4.4 4 4 (que é satisfeita para 2 3) Para resolver inequações eponenciais, devemos realizar dois passos importantes: 1º) redução dos dois membros da inequação a potências de mesma base; 2º) aplicação da propriedade: a > 1 0 < a < 1 a m > a n m>n (o sinal da desigualdade se mantém) Eercício resolvido: 1) 4 4 A inequação podeser escrita M ultiplicando ambos os lados 16.4 11-11.4 1 4 11 4 11, 0 4. ou seja : Como a base (4) é maior que1, obtemos : 0 1 0 - PortantoS IR (reais negativos) 4 11 4 4.4. 4 4 por 4 temos : 11 e daí, a m > a n m < n (o sinal da desigualdade se inverte) 4 1 P r o f. W i l l i a m Página 24

1.2.5 Função Logaritmo. 1.2.5.1 EQUAÇÕES LOGARÍTMICAS Chamamos de equações logarítmicas toda equação que envolve logaritmos com a incógnita aparecendo no logaritmando, na base ou em ambos. Eemplos de equações logarítmicas: Log 3 =5 (a solução é =243) log(²-1) = log 3 (as soluções são =-2 e =2) log 2 (+3) + log 2 (-3) = log27 (a solução é =4) log+1og(²-)=2 (a solução é =-1/3) Alguns eemplos resolvidos: a) Log 3 (+5) = 2 Resolução: condição de eistência: +5>0 => >-5 Log 3 (+5) = 2 => +5 = 32 => =9-5 => =4 Como =4 satisfaz a condição de eistência, então o conjunto solução é S={4}. b) Log 2 (log4 ) = 1 Resolução: condição de eistência: >0 e log4>0 log 2 (log4 ) = 1 ; sabemos que 1 = log2(2), então log 2 (log4) = log2(2) => log4 = 2 => 42 = => =16 Como =16 satisfaz as condições de eistência, então o conjunto solução é S={16}. c) Resolva o sistema: log log y 7 3.log 2.log y 1 Resolução: condições de eistência: >0 e y>0 Da primeira equação temos: log +log y=7 => log y = 7-log Substituindo log y na segunda equação temos: 3.log 2.(7-log )=1 => 3.log -14+2.log = 1 => 5.log = 15 => log =3 => =103 Substituindo = 103 em log y = 7-log temos: log y = 7- log 103 => log y = 7-3 => log y =4 => y=104. Como essas raízes satisfazem as condições de eistência, então o conjunto solução é S={(103;104)}. P r o f. W i l l i a m Página 25

1.2.5.2 FUNÇÃO LOGARÍTMICA A função f:ir + IR definida por f()=log a, com a 1 e a>0, é chamada função logarítmica de base a. O domínio dessa função é o conjunto IR + (reais positivos, maiores que zero) e o contradomínio é IR (reais). GRÁFICO CARTESIANO DA FUNÇÃO LOGARÍTMICA Temos 2 casos a considerar: quando a>1; quando 0<a<1. Acompanhe nos eemplos seguintes, a construção do gráfico em cada caso: y=log 2 (nesse caso, a=2, logo a>1) Atribuindo alguns valores a e calculando os correspondentes valores de y, obtemos a tabela e o gráfico abaio: 1/4 1/2 1 2 4 y -2-1 0 1 2 y y = log 1/2 (nesse caso, a=1/2, logo 0<a<1) Atribuindo alguns valores a e calculando os correspondentes valores de y, obtemos a tabela e o gráfico abaio: 1/4 1/2 1 2 4 y 2 1 0-1 -2 y P r o f. W i l l i a m Página 26

Nos dois eemplos, podemos observar que o gráfico nunca intercepta o eio vertical; o gráfico corta o eio horizontal no ponto (1,0). A raiz da função é =1; y assume todos os valores reais, portanto o conjunto imagem é Im=IR. Além disso, podemos estabelecer o seguinte: a>1 0<a<1 f() é crescente e Im=IR Para quaisquer 1 e 2 do domínio: 2>1 y2>y1 (as desigualdades têm mesmo sentido) f() é decrescente e Im=IR Para quaisquer 1 e 2 do domínio: 2>1 y2<y1 (as desigualdades têm sentidos diferentes) 1.2.5.3 INEQUAÇÕES LOGARÍTMICAS Chamamos de inequações logarítmicas toda inequação que envolve logaritmos com a incógnita aparecendo no logaritmando, na base ou em ambos. Eemplos de inequações logarítmicas: 1) log 2 > 0 (a solução é >1) 2) log 4 (+3) 1 (a solução é 3< 1) Para resolver inequações logarítmicas, devemos realizar dois passos importantes: 1º) redução dos dois membros da inequação a logaritmos de mesma base; 2º) aplicação da propriedade: a>1 0<a<1 log a m > log a n m>n>0 (as desigualdades têm mesmo sentido) Eercícios Resolvidos: log a m > log a n 0<m<n (as desigualdades têm sentidos diferentes) a) log 2 (+2) > log 2 8 Resolução: Condições de eistência: +2>0, ou seja, >-2 (S1) Como a base (2) é maior que 1, temos: +2>8 e, daí, >6 (S2) O conjunto solução é S= S1 S2 = { IR >6}. Portanto a solução final é a intersecção de S1 e S2, como está representado logo abaio no desenho: P r o f. W i l l i a m Página 27

b) log 2 (log3) 0 Resolução: Condições de eistência: >0 e log3>0 Como log 2 1=0, a inequação pode ser escrita assim: log 2 (log 3 ) log 2 1 Sendo a base (2) maior que 1, temos: log 3 1. Como log 3 3 = 1, então, log 3 log 3 3 e, daí, 3, porque a base (3) é maior que 1. As condições de eistência estão satisfeitas, portanto S={ IR 3}. Considerações finais: As funções logarítmica e eponenciais são inversas, os seus gráficos são curvas simétricas em relação à bissetriz do primeiro e terceiro quadrantes, ou seja, simétricas em relação à reta y =. Da simples observação dos gráficos acima, podemos concluir que: Para a > 1, as funções eponencial e logarítmica são CRESCENTES. Para 0 < a < 1, elas são DECRESCENTES. O domínio da função y = log a é o conjunto O conjunto imagem da função y = log a é o conjunto R dos números reais. O domínio da função y = a é o conjunto R dos números reais. O conjunto-imagem da função y = a é o conjunto. Observe que o domínio da função eponencial é igual ao conjunto-imagem da função logarítmica e que o domínio da função logarítmica é igual ao conjunto-imagem da função eponencial. Isso ocorre porque as funções são inversas entre si. P r o f. W i l l i a m Página 28

1.2.6 Funções polinomiais genéricas. Uma função f: IR IR dada por ( ) fios, denomina-se função polinomial de grau n (n IN). c) f() = ² 4 é uma função polinomial de grau 2, e seu gráfico é a parábola. em que a 0, a 1, a 2,..., a n são números O gráfico de uma função polinomial de grau 2 é uma parábola com eio de simetria paralela ao eio Oy. d) g() = ( 1)³ é uma função polinomial de grau 3; seu gráfico obtém-se do gráfico de y = ³, transladando-o uma unidade para a direita. y y 1 1 0 1 1 2 P r o f. W i l l i a m Página 29

[FUNÇÕES] 1.2.7 Funções Racionais. Uma função f, dada por ( ) conjunto { IR / ( ) ( ), ( ) onde p e q são duas funções polinomiais, cujo domínio de f é o }. Eemplo: ( ) a) ( ). Este gráfico é uma hipérbole equilátera deslocada em 1 unidade para cima, cujo domínio é D(f)= { IR / }. y y 1 0 b) ( ) 0. Este gráfico é uma hipérbole equilátera deslocada em 2 unidades para esquerda, cujo domínio é D(g)= { IR / }. y y -2 0 0 Prof. William Página 30

Eercícios Propostos: 1. Calcule: a) f(-1) e f(1/2), sendo f() = - ²+2.. b) g(0), g(2) e ( ), sendo ( ). c) ( ) ( ), sendo f() = ² e a.b 0. d) ( ) ( ), sendo f() = 3.+1 e a.b 0. e) f(1/2), f(2) e f(1), sendo f() = f) f(1/2), f(2) e f(1), sendo f() = 2. 2. Simplifique ( ) ( ) para p e sendo dados: a) f() = ² e p =1. b) f() = 2. +1 e p = 2. c) f() = 1/ e p = 2. d) f() = 1/² e p = -3. e) f() = 5 e p = 2. 3. Simplifique ( ) ( ) ( ) a) 2.+1 b) ² c) -2.²+3 d) 5 e) -2 4. Dê o domínio e esboce o gráfico das funções abaio: a) f() = 3. b) ( ) { c) ( ) d) ( ) e) ( ) { f) ( ) { g) ( ) ( ) h) ( ) 5. Determine o domínio das funções: a) ( ) b) ( ) c) ( ) d) ( ) e) ( ) f) ( ) g) ( ) ( ) h) ( ) P r o f. W i l l i a m Página 31