Frações Cotíuas, Represetações de Números e Aproximações Diofatias Carlos Gustavo T. de A. Moreira I M P A o Colóuio da Região Sudeste Abril de 0
Sumário Frações Cotíuas. Itrodução..................................... Reduzidas e Boas Aproximações....................... 9.3 Boas Aproximações são Reduzidas.......................4 Frações Cotíuas Periódicas......................... 4.5 Problemas Propostos.............................. 7 Frações Cotíuas e Aproximações Diofatias. Itrodução..................................... O Teorema de Khitchie via frações cotíuas............... 3.3 O Teorema de Khitchie -dimesioal................... 5.4 Aproximações diofatias ão-homogêeas................. 8.5 Números de Liouville............................. 3.6 Problemas Propostos.............................. 3 3 Os Espectros de Markov e Lagrage 35 3. Defiições e euciados............................ 35 3. Problemas Propostos.............................. 37 Referêcias Bibliográficas 39 iii
Capítulo Frações Cotíuas. Itrodução A teoria de frações cotíuas é um dos mais belos assutos da Matemática elemetar, sedo aida hoje tema de pesuisa. Nas iclusões N Z Q R, a passagem de Q para R é sem dúvida a mais complicada coceitualmete e a represetação de um úmero real está diretamete ligada à própria oção de úmero real. De fato, o coceito de úmero atural é uase um coceito primitivo. Já um úmero iteiro é um úmero atural com um sial ue pode ser + ou, e um úmero racioal é a razão etre um úmero iteiro e um atural ão ulo. Por outro lado, dizer o ue é um úmero real é tarefa bem mais complicada, mas há coisas ue podemos dizer sobre eles. Uma propriedade essecial de R é ue todo úmero real pode ser bem aproximado por úmeros racioais. Efetivamete, dado x R, existe k = x Z tal ue 0 x k <. Podemos escrever a represetação decimal de x k = 0, a a... a..., a i {0,,..., 9}, o ue sigifica ue se r = a + 0 a + 00 a + + 0 a, etão r x k < r + 0, e portato k + r 0 é uma boa aproximação racioal de x, o setido de ue o erro ( x k + r ) 0 é meor do ue 0, ue é um úmero bem peueo se for grade. A represetação decimal de um úmero real forece pois uma seuêcia de aproximações por racioais cujos deomiadores são potêcias de 0. 0 Vamos lembrar uma otação ue os será muito útil: dado x R, defiimos a parte iteira de x como o úico iteiro x tal ue x x < x +, e a parte fracioária de x como {x} = x x [0, ). A represetação decimal de úmeros reais está itimamete ligada à fução f : [0, ) [0, ) dada por f (x) = {0x} = 0x 0x (mais precisamete, à diâmica da fução f, i.e., ao estudo de suas composições sucessivas). De fato, se x [0, ) tem represetação decimal 0, a a a 3..., etão a = 0x e f (x) = 0, a a 3 a 4.... Assim, defiido f = f e f + = f f, temos f (x) = 0, a + a + a +3... para todo.
Capítulo : Frações Cotíuas Dado ualuer x R e atural ão ulo existe p Z tal ue p x < p+ (basta tomar p iteiro tal ue p x < p +, i.e., p = x ), e portato x p < e x p+. Em particular há aproximações de x por racioais com deomiador com erro meor do ue. A represetação decimal de x euivale a dar essas aproximações para os deomiadores ue são potêcias de 0, e tem méritos como sua praticidade para efetuar cálculos ue a fazem a mais popular das represetações dos úmeros reais. Por outro lado, evolve a escolha arbitrária da base 0, e oculta freuetemete aproximações racioais de x muito mais eficietes do ue as ue exibe. Seão vejamos: tomemos um úmero real totalmete ao acaso, digamos π = 3, 45965358979338466433837950884.... Uma aproximação clássica de π por um úmero racioal é /7 = 3, 48574857..., devida a Aruimedes. Uma outra aproximação aida melhor é 355/3 = 3, 45990353983.... Note ue π 7 < 700 < π 34 00 e π 355 3 < 3000000 < π 3459 000000, e portato 7 e 355 3 são melhores aproximações de π ue aproximações decimais com deomiadores muito maiores, e de fato são aproximações muito mais espetacularmete boas do ue se poderia esperar pelo tamaho dos deomiadores evolvidos. Vamos apresetar uma outra maeira de represetar úmeros reais, a represetação por frações cotíuas, ue sempre forece aproximações racioais surpreedetemete boas, e de fato forece todas as aproximações excepcioalmete boas, além de ser atural e coceitualmete simples. Defiimos recursivamete α 0 = x, a = α e, se α / Z, α + = =, para todo N. α a {α } Se, para algum, α = a temos x = α 0 = [a 0 ; a, a,..., a ] def = a 0 +. a + a +... + Se ão, deotamos x = [a 0 ; a, a,... ] def = a 0 +. a + a +... a O setido dessa última otação ficará claro mais tarde. chama represetação por frações cotíuas de x. A represetação acima se
.: Itrodução 3 A figura dá uma iterpretação geométrica para a represetação de um úmero por frações cotíuas. Echemos um retâgulo x com uadrados de forma gulosa", isto é, sempre colocado o maior uadrado possível detro do espaço aida livre. Os coeficietes a 0, a, a,... idicam o úmero de uadrados de cada tamaho. Na figura, se os lados do retagulo são c < d etão d/c = [;,,,...] pois temos a 0 = uadrado grade, a = uadrados meores, a = uadrados aida meores, a 3 = uadrados aida aida meores, e um úmero grade ão desehado de uadrados aida aida aida meores (a 4 é grade). Deixamos a verificação de ue esta descrição geométrica correspode à descrição algébrica acima a cargo do leitor. Do mesmo modo ue a represetação decimal está ligada à diâmica da fução f (x) = {0x}, como vimos ateriormete, a represetação em frações cotíuas está itimamete ligada à diâmica da fução g : (0, ) [0, ), dada por g(x) = { x } = x x, também cohecida como trasformação de Gauss: se x = [0; a, a, a 3,... ] (0, ), etão a = x e g(x) = [0; a, a 3, a 4,...]. Assim, defiido, como ates g = g e g + = g g para todo, temos g (x) = [0; a +, a +, a +3,... ], para todo. Note ue, se a represetação por frações cotíuas de x for fiita etão x é claramete racioal. Reciprocamete, se x Q, sua represetação será fiita, e seus coeficietes a vêm do algoritmo de Euclides: se x = p/ (com > 0) temos p = a 0 + r, 0 r <. = a r + r, 0 r < r, r = a r + r 3, 0 r 3 < r,.. r = a r, r + = 0 Temos etão x = p/ = a 0 + r / = a 0 + = a a + 0 + r /r a + a +r 3 /r
4 Capítulo : Frações Cotíuas = = a 0 + a + a +... + = [a 0 ; a, a,..., a ]. Isso já é uma vatagem da represetação por frações cotíuas (além de ão depeder de escolhas artificiais de base), pois o recohecimeto de racioais é mais simples ue a represetação decimal. Seja x = [a 0 ; a, a,... ]. Sejam p Z, N >0 primos etre si tais ue p = [a 0 ; a, a,..., a ], 0. Esta fração p é chamada de -ésima reduzida ou covergete da fração cotíua de x. O seguite resultado será fudametal o ue seguirá. Proposição. Dada uma seuêcia (fiita ou ifiita) t 0, t, t, R tal ue t k > 0, para todo k, defiimos seuêcias (x m ) e (y m ) por x 0 = t 0, y 0 =, x = t 0 t +, y = t, x m+ = t m+ x m+ + x m, y m+ = t m+ y m+ + y m, m 0. Temos etão a [t 0 ; t, t,..., t ] = t 0 + t + t +... + = x y, 0. t Além disso, x + y x y + = ( ), 0. Demostração: A prova será por idução em. Para = 0 temos [t 0 ] = t 0 = t 0 / = x 0 /y 0. Para =, temos [t 0 ; t ] = t 0 + /t = t 0t + t = x /y e, para =, temos [t 0 ; t, t ] = t 0 + = t t + 0 + t /t t t + = t 0t t + t 0 + t t t + = t (t 0 t + ) + t 0 t t + = t x + x 0 t y + y 0 = x y. Supoha ue a afirmação seja válida para. Para + em lugar de temos [t 0 ; t, t,..., t, t + ] = [t 0 ; t, t,..., t + ] t + ( t + ) t x = + + x ( t + t ) y + + y = t +(t x + x ) + x t + (t y + y ) + y = t +x + x t + y + y = x + y +
.: Itrodução 5 Vamos agora mostrar, por idução, a seguda afirmação. Temos x y 0 x 0 y = (t 0 t + ) t 0 t = = ( ) 0 e, se x + y x y + = ( ), x + y + x + y + = (t + x + + x )y + (t + y + + y )x + = (x + y x y + ) = ( ) = ( ) +. Nos próximos resultados, x = [a 0 ; a, a, a 3,... ] será um úmero real, e ( p ) N, p = [a 0 ; a, a,..., a ] será a seuêcia de reduzidas da fração cotíua de x. Corolário. As seuêcias (p ) e ( ) satisfazem as recorrêcias p + = a + p + + p e + = a + + + para todo 0, com p 0 = a 0, p = a 0 a +, 0 = e = a. Além disso, p + p + = ( ) para todo 0. Demostração: As seuêcias (p ) e ( ) defiidas pelas recorrêcias acima satisfazem, pela proposição aterior, as igualdades p = [a 0 ; a, a,..., a ] e p + p + = ( ), 0. Como p + p + = ( ), para todo N, temos ue os p, dados pelas recorrêcias acima são primos etre si. Além disso, também segue da recorrêcia ue > 0, 0. Esses fatos implicam ue ( p ) N é a seuêcia de reduzidas da fração cotíua de x. Corolário.3 Temos, para todo N, x = α p + p α + e α = p x x p Demostração: A primeira igualdade segue da proposição aterior pois x = [a 0 ; a, a,..., a, α ] e a seguda é coseuêcia direta da primeira.
6 Capítulo : Frações Cotíuas Proposição.4 Temos ode Em particular, (a + + ) x p = ( ) (α + + β + ) β + = = [0; a, a, a,..., a ]. < x p = (α + + β + ) Demostração: Pelo corolário aterior temos Em particular, x p = α +p + p α + + p = = (p p ) (α + + ) = < a +. p p (α + + ) ( ) ( ) = (α + + ) (α + + ) ( ) = ( ) (α + + / ) = (α + + β + ). x p = (α + + β + ), e, como α + = a + e 0 < β + <, segue ue a + < α + + β + < a + +, o ue implica a última afirmação. A expasão de β + como fração cotíua segue de = a + = = a + aplicado recursivamete. Observação.5 Como lim desta proposição ue = + (pois ( ) é estritamete crescete), segue p lim = x, o ue permite recuperar x a partir de a 0, a, a,..., e dá setido à igualdade x = [a 0 ; a, a,... ] uado a fração cotíua de x é ifiita (i.e., uado x é irracioal). Observação.6 A proposição aterior implica ue, para todo α irracioal, a desigualdade α p/ < / tem ifiitas soluções racioais p/. Este fato é cohecido como o Teorema de Dirichlet. É iteressate otar ue, se α = r/s Q, a desigualdade α p/ < / tem apeas um úmero fiito de soluções racioais p/. De fato, r/s p/ < / euivale a r ps < s/, o ue implica ue s.
.: Itrodução 7 Curiosidade: O deomiador da -ésima aproximação em base B de um úmero real é B. Já o deomiador da -ésima aproximação por fração cotíua de x depede de x. Apesar disso, para uase todo real x, coverge a e π / l = 3, 758987... (um úmero real bastate simpático!) e x p coverge a e π /6 l = 0, 093878954.... A seguite proposição mostra ue os covergetes pares formam uma seuêcia crescete, e ue os covergetes ímpares formam uma seuêcia decrescete. Além disso todos os covergetes ímpares são maiores do ue todos os covergetes pares. Proposição.7 Para todo k 0, temos p k k p k+ k+ x p k+3 k+3 p k+ k+. Demostração: O resultado segue dos seguites fatos gerais. Para todo 0, temos ue p + p = a +p + + p p + a + + + = a +(p + p + ) (a + + + ) = ( ) a + + é positivo para par e egativo para ímpar. Além disso, para todo 0, temos ue x p ( ) = é positivo para par e egativo para ímpar. (α + + ) Proposição.8 Sejam a 0, a,..., a iteiros com a k > 0, k, e seja (p k / k ) k 0 a seuêcia de reduzidas da fração cotíua [a 0 ; a, a,..., a ]. Etão o cojuto dos úmeros reais cuja represetação por frações cotíuas começa com a 0, a,..., a é o itervalo { } p I(a 0, a,..., a ) = {[a 0, a,..., a, α], α > } [ ) p =, p +p + se é par ( ] p +p +, p se é ímpar. Além disso, a fução G : (0, + ) I(a 0, a,..., a ) dada por G(α) = [a 0 ; a, a,..., a, α] é moótoa, sedo crescete para ímpar e decrescete para par. Demostração: É suficiete otar ue, como a prova do corolário aterior, G(α) = [a 0 ; a, a,..., a, α] = αp +p α + = p ( ) +, e portato G é crescete para (α + )
8 Capítulo : Frações Cotíuas ímpar e decrescete para par. Assim, como G() = p +p + e lim α + G(α) = p, temos { ( p G((, + )) =, p +p + ) se é par ( p +p +, p ) se é ímpar. Portato, { } p I(a 0, a,..., a ) = {[a 0, a,..., a, α], α > } [ ) { } p p = G((, + )) =, p +p + se é par ( ] p +p +, p se é ímpar. Proposição.9 Dados iteiros a 0, a, a,..., com a k > 0, k, existe um úico úmero real α (ue é irracioal) cuja represetação por frações cotíuas é [a 0 ; a, a,... ]. Demostração: Cosidere as seuêcias (p ) e ( ) defiidas pelas recorrêcias p + = a + p + + p e + = a + + + para todo 0, com p 0 = a 0, p = a 0 a +, 0 = e = a. Temos, como a proposição.7, p k p k+ p k+3 p k+, k 0. k k+ k+3 k+ Assim, cosiderado os itervalos fechados [ pk I k =, p ] k+, k k+ temos I k+ I k, k 0, e portato, como I k = p k+ k+ p k k = p k+ k p k k+ k+ k tede a 0 uado k tede a ifiito, existe α R tal ue I k = {α}. Como, para todo k 0, k 0 = ( )k k+ k = k+ k [a 0 ; a, a,..., a k ] = p k k α p k+ k+ = [a 0 ; a, a,..., a k, a k+ ] e, da proposição aterior, [a 0 ; a, a,..., a k ] e [a 0 ; a, a,..., a k, a k+ ] pertecem a I(a 0 ; a, a,..., a k ), ue é um itervalo, segue ue α I(a 0 ; a, a,..., a k ), e portato a fração cotíua de α começa com a 0, a,..., a k, para todo k 0, dode a represetação por frações cotíuas de α é [a 0 ; a, a,... ]. Note ue, como a represetação por frações cotíuas de α é ifiita, α é irracioal.
.: Reduzidas e Boas Aproximações 9 Exemplo.0 Temos π = [3; 7, 5,, 9,,,,,, 3,, 4,,,... ], portato p 0 0 = 3, p = 7, p = 333 06, p 3 3 = 355 3... e = [;,,,, 4,,, 6,,, 8,...,,,,... ] (veja o exercício 8). = [;,,,... ] pois = + + = + + + = + + + + = + 5 = [;,,,... ] pois + 5 = + + 5 = + + + 5 = Isto prova em particular ue e + 5 são irracioais, pois suas frações cotíuas são ifiitas.. Reduzidas e Boas Aproximações Teorema. Temos, para todo N, x p < + Além disso, x p < ou x p + < + +. Demostração: O úmero x sempre pertece ao segmeto de extremos p comprimeto é p + p + = ( ) = = + x p + < + e p + + cujo Além disso, se x p e x p + + +,
0 Capítulo : Frações Cotíuas etão + = x p + x p + + + + = + =, absurdo. Observação. De fato x p < + <. Quato maior for a a + + melhor será a aproximação p de x. Teorema.3 (Hurwitz, Markov) Para todo α irracioal e todo iteiro, temos α p < 5 para pelo meos um racioal { p p, p, p } + + Em particular, a desigualdade acima tem ifiitas soluções racioais p/. Demostração: Supoha ue o teorema seja falso. Etão, pela proposição.4, existe α irracioal, com α + β 5, α + + β + 5 e α + + β + 5. Devemos portato ter a + = a + = já ue claramete a k para k =, +, + e se algum a k = com k = +, +, teríamos a k + β k + 3 > 5, absurdo. Sejam x = /α + e y = β +. As desigualdades acima se traduzem em + x + y 5, + x + y 5 e x + + y 5. Temos + x + y 5 = + x 5 y e portato y( 5 y) = y = + x + y 5 y + y = 5 y( 5 y) 5. Por outro lado temos x 5 y = x + + y + 5 y + y 5 = ( + y)( 5 y) e portato ( + y)( 5 y) = y o ue é absurdo pois y = β + = Q. 5, e portato devemos ter y = 5,
.3: Boas Aproximações são Reduzidas Observação.4 Em particular provamos ue α p < 5 tem ifiitas soluções racioais p, para todo α irracioal. O úmero 5 é o maior com essa propriedade. De fato, se ε > 0, α = + 5 e α p < ( 5 + ε), temos ( ) + 5 p < ( 5 + ε) ( ) + 5 ( ) = 5 p p <, 5 + ε 5 p ou seja, p p + 5 < p 5 / ( 5 + ε). Se é grade, / é peueo, e + 5 da desigualdade é muito próximo de fato se p p = 0 teríamos ( ) p ( ) p o ue é absurdo, pois p Q. p 5 Outra maeira de ver ue, para todo ε > 0, é muito próximo de 0, dode o lado direito 5+ε <, absurdo, pois p p, de = 0 = p { + 5, } 5, + 5 p < ( 5+ε) tem apeas um úmero fiito de soluções p Q é observar ue as melhores aproximações racioais de + 5 são as reduzidas p de sua fração cotíua [;,,,... ] (ver próxima seção), para as uais temos + 5 p =, com α (α + +β + ) + + β + se aproximado cada vez mais de [;,,,... ] + [0;,,,... ] = + 5 + 5 = 5..3 Boas Aproximações são Reduzidas O próximo teorema (e seu corolário.7) caracteriza as reduzidas em termos do erro reduzido da aproximação de x por p/, o ual é, por defiição, x p, a razão etre x p/ e o erro máximo da aproximação por falta com deomiador, ue é /.
Capítulo : Frações Cotíuas Teorema.5 Para todo p, Z, com 0 < < + temos x p x p. Além disso, se 0 < < a desigualdade acima é estrita. Demostração: Como mdc(p, ) =, temos ue se p = p etão p = kp e = k para algum iteiro k = 0 e este caso o resultado é claro. Assim, podemos supor ue p = p de modo ue p p > + já ue < +. Assim, p está fora do itervalo de extremos p e p + + e portato x p { mi p p, p p } + + + o ue implica x p + x p. Além disso, a igualdade só pode ocorrer se x = p + +, dode a +, e + >, pois uma fração cotíua fiita, como o algoritmo de Euclides, o último coeficiete a é sempre maior ue. Nesse caso, se <, teremos x p p p p + p + = + > + + + o ue implica x p > + x p. Corolário.6 Para todo <, x p < x p Corolário.7 Se x p < x p, para todo p e tais ue p uma reduzida da fração cotíua de x. = p, etão p/ é Demostração: Tome tal ue < +. Pelo teorema, x p x p, e portato p/ = p /.
.3: Boas Aproximações são Reduzidas 3 Teorema.8 Se x p < etão p é uma reduzida da fração cotíua de x. Demostração: Seja tal ue < +. Supoha ue p = p. Como a demostração do teorema aterior, x p + e assim p está fora do itervalo de extremos p e p + +. Temos duas possibilidades: a) Se + etão x p +, absurdo. b) Se < +, x p o ue também é um absurdo. p p p + p + = + + + > Dado α R, defiimos a ordem de α por { ord α def = sup ν > 0 α p < ν tem ifiitas soluções p } Q Observemos ue a ordem de todo úmero irracioal pode ser calculado a partir de sua fração cotíua. Teorema.9 Seja α um úmero irracioal, e sejam [a 0 ; a, a, a 3...] sua fração cotíua e { p } suas covergetes. Etão ord α = + lim sup l + l = + lim sup l a + l. Demostração: Sabemos ue as melhores aproximações por racioais são obtidas a partir das covergetes da fração cotíua, assim para calcular a ordem, basta calcular a ordem gerada pelas covergetes. Seja s > 0 um úmero real tal ue α p = s. Como foi provado o Capítulo 3 α p < + e α p > ( α p + α p ) + = p + p =. + + + Logo temos ue + s, +
4 Capítulo : Frações Cotíuas e tomado o logaritmo obtemos l + l + l + s l l + l +. l Portato ord α = lim sup s = + lim sup +. Para mostrar a seguda igualdade, l observemos ue + = a + +, assim a + < + < (a + + ), agora tomado o logaritmo e dividido por l obtemos l a + l + < l + l < l(a + + ) l +, portato lim sup l + l = + lim sup l a + l. Observe ue usado a fração cotíua de e (ver exercícios), é possível provar ue ord(e) =..4 Frações Cotíuas Periódicas Nesta seção provaremos ue os úmeros reais com fração cotíua periódica são exatamete as raízes de euações do segudo grau com coeficietes iteiros. Lembramos ue a represetação de x por fração cotíua, a, α são defiidos por recursão por α 0 = x, a = α, α + = α a e temos α = p x, N. x p Isso dá uma prova explícita do fato de ue se a fração cotíua de x é periódica, etão x é raiz de uma euação do segudo grau com coeficietes iteiros. De fato, se α +k = α, N, k N >0 segue ue etão Ax + Bx + C = 0, ode p x = p +k +k x, x p +k x p +k A = +k +k B = p +k + p +k p +k p +k C = p p +k p p +k
.4: Frações Cotíuas Periódicas 5 Note ue o coeficiete de x é ão-ulo, pois deomiador, pois p p = ( ), e +k +k irredutível de deomiador +k >, dode +k = 0. é uma fração irredutível de é uma fração = +k +k, logo +k Vamos provar agora um resultado devido a Lagrage segudo o ual se x é uma irracioalidade uadrática, isto é, se x é um irracioal do tipo r + s, r, s Q, s > 0, etão a fração cotíua de x é periódica, i.e., existem N e k N >0 com α +k = α. Neste caso, existem a, b, c iteiros tais ue ax + bx + c = 0, com b 4ac > 0 e b 4ac irracioal. Como x = p α +p α +, temos ode ax + bx + c = 0 ( ) ( ) p α + p = p α + p a + b + c = 0 α + α + = A α + B α + C = 0, A = ap + bp + c B = ap p + b(p + p ) + c C = ap + bp + c. Note ue C = A. Vamos provar ue existe M > 0 tal ue 0 < A M para todo N, e portato 0 < C M, N: A = ap + bp + c = a ( x p )( x p ), ode x e x são as raízes de ax + bx + c = 0, mas x p < = A = a x p x p ( a x x + x p ) Notemos agora ue, para ualuer N, Portato M def = a( x x + ). B 4A C = (p p ) (b 4ac) = b 4ac B 4A C + b 4ac 4M + b 4ac = B M def = 4M + b 4ac
6 Capítulo : Frações Cotíuas Provamos assim ue A, B e C estão uiformemete limitados, dode há apeas um úmero fiito de possíveis euações A X + B X + C = 0, e portato de possíveis valores de α. Assim, ecessariamete α +k = α para alguma escolha de N, k N >0. Aplicação: A euação de Pell. Seja A um iteiro positivo. Estamos iteressados a euação x Ay =, com x e y iteiros. Se A é um uadrado perfeito, digamos a = k, temos ue x Ay = (x ky)(x + ky) = 0 admite apeas as soluções triviais y = 0, x = ±, pois teríamos x ky = x + ky = ±. o caso iteressate é uado A ão é um uadrado pergeito, e portato A é um irracioal (de fato, se A = p, com mdc(p, ) = e >, teríamos A = p o ue é um absurdo, pois mdc(p, ) = mdc(p, ) =, dode p / ão pode ser iteiro). esse caso, a euação x Ay = é cohecida como uma euação de Pell. Nosso resultado pricipal é o seguite: Teorema.0 A euação x Ay = tem ifiitas soluções iteiras (x, y). Além disso, as soluções com x e y iteiros positivos podem ser eumeradas por (x, y ), 0 de modo ue, para todo, x + y A = (x + y A), e portato x = (x + y A) + (x y A) e y = (x + y A) + (x y A). A Observação. As seüêcias (x ) e (y ) acma satisfazem a recorrêcia u + = x 0 u + u,. Demostração: Observemos iicialmete ue, se D = {x + y A x, y Z} etão N : D D, N(x + y A) = x Ay é uma fução multiplicativa, isto é, N((x + y A)(u + v A)) = N(x + y A)N(u + v A), x, y, u, v Z. De fato, N((x + y A)(u + v A)) = N((xu + ayv) + (xv + yu) A) = (xu + Ayv) A(xv + yu) = x u + A y v A(x v + y u ) = (x Ay )(u Av ). Usaremos agora o fato de ue, como A é irracioal, a desigualdade A p < tem ifiitas soluções racioais p/. Note ue se A p < etão p A = p A p + A = A p p + A < p + A = p + A A + A p < A +.
.5: Problemas Propostos 7 Cosiderado ifiitos pares de iteiros positivos (p, ) com A p <, teremos sempre p A < A +, e portato temos um úmero fiito de possibilidades para o valor (iteiro) de p A. coseuetemete, existe um iteiro k = 0 tal ue p A = k para ifiitos valores de. Obtemos portato duas seüêcias crescetes de pares de iteiros positivos u r ), (v r ), r N tais ue u r kv r = k para todo r. Como há apeas k possibilidades para os pares (u r (mod k ), v r (mod k )), axistem iteiros a e b e ifiitos valores de r tais ue u r a(mod k ) e v r b(mod k ). Tomamos etão r < s com as propriedades acima. Seja x + y A = u s + v s A = (u s + v s A)(ur v r A) u r + v r A u r Av r = u ( ) su r Av s v r ur v s u s v r A. + k k Temos u s u r Av s V r u r Av r = k 0(mod k ) e u r v s u s v r ab ab = 0(mod k ), e portato x = u su r Av s v r k e y = u rv s u s v r k são iteiros. Por outro lado, (x + y A)(u r + v r A) = us + v s A, dode N(x + y A)N(ur + v r A) = N(us + v s A). Como N(u r + v r A) = N(us + v s A) = k, segue ue N(x + y A) = x Ay =. Além disso, como s > r, u s + v s A > ur + v r A, dode x + y A = u s +v s A >. u r +v r A Sejam agora x, y Z tais ue x + y A > e x Ay = com x + y A míimo. Temos etão (x + y A) = x y A. Vamos mostrar ue, se x + ỹ A > e x Aỹ = (com x e ỹ iteiros) etão x + ỹ A = (x + y A) para algum iteiro positivo. Para isso, tome tal ue (x + y A) x + ỹ A < (x + y A) +. Temos etão ( x + ỹ A)(x y A) < x + y A. Se u + v A = ( x + ỹ A)(x y A), com u e v iteiros, temos u Av = N(u + v A) = N( x + ỹ A)N(x y A) =, dode u + v A =, pela miimalidade de x + y A, pois u + v A < x + y A. Note fialmete ue se x e y são iteiros e x Ay = etão x + y A > euivale a termos x e y positivos, pois temos 0 < (x + y A) = x y A <, dode x = (x+y A)+(x y A) e y = (x+y A) (x y A) são positivos. A.5 Problemas Propostos Seja p = + + + 3... + 5 ( 3)
8 Capítulo : Frações Cotíuas a -ésima covergete da fração cotíua + 3 + + 5 + 7... Demostrar ue p = 3 + 5 7 + + ( ). Demostrar ue, para todo iteiro positivo a, temos as seguites expasões em frações cotíuas periódicas: a) a + = [a, a]. b) a = [a,, a ]. c) a = [a,, a,, a ]. d) a a = [a,, a ]. 3 Ecotrar as frações cotíuas de a + 4 e a 4. 4 Seja α = [a 0 ; a, a,... ] R. Prove ue, se < +, mdc(p, ) = e p p/ = p / etão α p/ α p / se, e somete se, = p + rp + r, ode r N é tal ue 0 < r < a + / ou (r = a + / e α + β + ). 5 Seja α = [a 0 ; a, a,... ] R. Prove ue, se < +, mdc(p, ) = e p/ = p / etão α p/ < / se, e somete se, a + e p ou ( p = p +p + e (α + )β + < ). 6 Seja α = [a 0 ; a, a,... ] um úmero real. = p + p + a) Prove ue, se ord α > etão existe λ > tal ue, para ifiitos iteiros positivos, temos a λ. b) Prove ue ord α + exp(lim sup log log(a +) ). c) Mostre ue, para todo c, existe α R tal ue ord α = + exp(lim sup log log(a +) ) = c. d) Determie ord α se a =, 0. 7 Prove ue, para todo α R, lim sup + cos (α) =.
.5: Problemas Propostos 9 8 Este exercício, baseado em [Coh], tem como objetivo calcular a fração cotíua de e. a) São dadas as seuêcias {A }, {B } e {C } defiidas por A = B = C = 0 0 0 x (x ) e x dx,! x + (x ) e x dx,! x (x ) + e x dx.! Mostrar ue para todo se cumprem as relações (i) A + B + C = 0, (ii) B A + C = 0, (iii) A B + C = 0. b) Dadas as seuêcias {p } e { } defiidas recursivamete como p 0 = 0 = p =, = 0 e p 3 = p 3 + p 3, p 3+ = p 3 + p 3, p 3+ = p 3+ + p 3, 3 = 3 + 3 3+ = 3 + 3 3+ = 3+ + 3 Mostrar por idução ue para todo 0 se cumprem as relações A = 3 e p 3, B = p 3+ 3+ e, e C = p 3+ 3+ e. c) Mostrar ue p e = lim = [;,,,, 4,,, 6,,, 8,...,,,,... ]. 9 Prove ue e p log log < log tem ifiitas soluções p Q, mas, para todo ε > 0, e p < log log ( + ε) log tem apeas um úmero fiito de soluções p Q.
Capítulo Propriedades Estatísticas de Frações Cotíuas e Aproximações Diofatias: O Teorema de Khitchie. Itrodução O problema básico da teoria de aproximações diofatias é o de estudar boas aproximações de úmeros reais por úmeros racioais. Uma extesão atural desse problema é o estudo de aproximações simultâeas de úmeros reais por úmeros racioais com o mesmo deomiador. Dado um úmero irracioal α, um resultado clássico de Dirichlet (ue já provamos usado frações cotíuas) afirma ue existem ifiitos racioais p tais ue α p < (vejamos outra prova simples: dado N N, cosideramos os N + elemetos de [0, ) da forma jα jα, com 0 j N. Como [0, ) = N k=0 [ kn, k+ N desses elemetos, digamos j α j α e j α j α um mesmo itervalo ), existem dois ) kn, k+ N, e portato, se j < j, = j j e p = j α j α, temos 0 < α p < N α p < N ). Hurwitz e Markov provaram ue de fato α p < tem 5 ifiitas soluções p Q, para todo irracioal α, e ue 5 é a maior costate com essa propriedade. Markov ([Mar] e [Mar]) provou ue, para todo c < 3, o cojuto dos α R tais ue α p < tem apeas um úmero fiito de soluções p c Q é eumerável, mas o cojuto dos α R tais ue α p < tem apeas um úmero 3 fiito de soluções tem o mesmo cardial ue R. Neste capítulo, vamos estudar desigualdades do tipo α p < f (), () ode f : N R + é uma fução decrescete, do poto de vista da teoria da medida. Vamos provar o teorema de Khitchie, segudo o ual, se = f () = + etão ()
Capítulo : Frações Cotíuas e Aproximações Diofatias tem ifiitas soluções p Q, para uase todo α R, mas se = f () < + etão () tem apeas um úmero fiito de soluções p Q, para uase todo α R. Note ue do poto de vista topológico a situação é diferete: ualuer ue seja a fução positiva f, () tem ifiitas soluções p Q para α R f, ode R f é um cojuto residual, i.e. cotém (de fato é) uma iterseção eumerável de abertos desos. A pricipal técica usada para estudar aproximações de úmeros reais por úmeros racioais são as frações cotíuas, ue forecem todas as boas aproximações de um irracioal α por racioais. Lembramos os seguites resultados a seguir sobre frações cotíuas. Dado α R, defiimos α 0 = α, a = α e, se α / Z, α + = α a, para todo N. Para cada N tomamos p Z e N primos etre si tais ue Temos (a + + ) p = [a 0 ; a, a,..., a ] := a 0 + a + a +...+ a < α p < a +, para todo N. As seüêcias p e satisfazem p + p + = ( ), 0. Se α p < etão p = p, para algum N. Por outro lado, para todo N vale α p < ou α p + + <. + Temos p + = a + p + + p, + = a + + + e α = α +p + p α + +, para todo N. A prova ue apresetaremos a Seção, baseada o estudo de propriedades estatísticas de frações cotíuas, é ispirada em coversas ue tive há us 9 aos com o Prof. Nicolau Corção Saldaha sobre o tema. O problema básico de aproximações simultâeas é o seguite: dado α, α,..., α R ueremos ecotrar úmeros racioais p, p,..., p tais ue α j p j seja peueo para todo j. Em geral sempre é possível ecotrar racioais tais ue α j p j <, o ue estede o teorema de Dirichlet e pode ser provado de modo +/ aálogo: dado N N cosideramos os N + potos. p j = (α j α j, α j α j,..., α j α j ), 0 j N ( o hipercubo [0, ). Dividimos [0, ) N [ )) como kn k=0, k+ N em N cubos de lado N. Haverá ecessariamete dois potos p j e p j um mesmo cubo dessa decomposição, e, se j < j, = j j, p j = j α j j α j, teremos α j p j j < N j +/ j, para todo j.
.: O Teorema de Khitchie via frações cotíuas 3 Ifelizmete ão há um substituto satisfatório para a teoria de frações cotíuas em dimesão maior ue um, mas é possível provar uma versão -dimesioal do Teorema de Khichie (provada origialmete em [K]), o ue faremos a Seção. Para maiores iformações sobre aproximações diofatias, veja [Ca] e [S].. O Teorema de Khitchie via frações cotíuas Teorema. (Khitchie) Seja f : N R + uma fução decrescete tal ue h() = f () : N R + também seja decrescete. a) Se = f () < + etão a euação α p < f () soluções racioais p/, para uase todo α R/Q tem apeas um úmero fiito de b) Se = f () = + etão a euação α p < f () soluções racioais p/, para uase todo α R/Q. tem um úmero ifiito de Observação. A codição de f () ser decrescete ão é de fato ecessária, como veremos a seção, mas simplifica a prova. Por outro lado, ão podemos retirar a hipótese de f ser decrescete (veja [Ca]). Lema.3 Sejam, k N, e seja [0, a, a,... ] a fração cotíua de um úmero α [0, ]. A probabilidade de um termo a + ser igual a k dado ue a = k, a = k,..., a = k está etre /(k + )(k + ) e /k(k + ), k, k,..., k N. Demostração: Sejam p / = [0; a, a,..., a ] e p / = [0; a, a,..., a, a ]. [ Se α [0, ], α = [0; a, a,..., a, α + ], α + [, + ) etão α p +p +, p ), e, [ se além disso a + = k, temos α kp +p k +, (k+)p +p ], e valem as recíprocas (k+) + (as ordes dos extremos dos itervalos podem estar trocadas). Os comprimetos dos referidos itervalos são, respectivamete, e ( + ) (k + )((k+) + ) (pois p p = ), e portato a razão etre seus comprimetos é ( + ) (k + )((k+) + ) = +β (k+β)(k++β), ode β = / [0, ]. Portato, a razão pertece a [/(k + )(k + ), /k(k + )]. Corolário.4 A probabilidade de a + k, os termos do Lema acima, pertece a [/(k + ), /k]. Lema.5 Para uase todo α R existe c R tal ue c, para todo N.
4 Capítulo : Frações Cotíuas e Aproximações Diofatias Ates de provar o Lema.4 vamos mostrar como termia a prova do Teorema de Khitchie. Demostração do Teorema de Kitchie: Supohamos ue Σ f () <. Seja γ = + 5. Se a aproximação p / de α é tal ue α p < f () etão a + + > f ( ) > γ f (γ ) (pois para todo α R \ Q vale > γ, N). a + > γ f (γ + ). A probabilidade de a + =: A() é pelo meos γ f (γ ) A(), N (pelo corolário do Lema.), e a hipótese de = f () < implica ue = <, por comparação com A() γ k f (γ k ) < k= γ γ k=0 (γ k+ γ k ) f (γ k+ ) < f () < +. = Temos portato = ( A() ) > 0 para cada ε > 0 existe 0 N tal ue = 0 ( A ) > ε, dode com probabilidade total a + A() para todo suficietemete grade α p < f () tem apeas um úmero fiito de soluções. Supohamos agora ue Σ f () = +, fixemos c > 0 e vamos os restrigir ao cojuto X c dos α [0, ] tais ue < c para todo N (a uião dos cojutos X c para todo c N tem probabilidade total em [0, ], pelo Lema.4). Se a + > f ( ) teremos α p < f (). Como < c, f ( ) < c f (c ). Vamos mostrar ue com probabilidade total temos a + para ifiitos valores de ( ) c f (c ) N. Isso segue de = = 0, ode B() =, ue por sua B()+ c f (c ) vez segue de = c f (c ) c ) = (c+ c ) f (c ) = +. Portato, para todo 0 N temos = 0 ( = 0, e, com probabilidade total, existe B()+ 0 com a + c f (c ), dode a euação α p < f () é satisfeita com probabilidade total para ifiitos valores de N. Prova do Lema.4: Sejam, k N. A probabilidade de ue k apareça pelo meos 4/k(k + ) vezes etre a, a,..., a é limitada por j=s Cj ( s )j ( s ) j, ode s = 4 k(k+), ue é meor ue ( 3 4 ) j j+ s s < 4 3s 3s s s = 4 3s 6 3s k(k+) para k(k+) Cj+ ( grade (de fato, s )j+ ( s ) j = C( j s )j ( s ) j < 3s 3, se j 4, logo, como j=0 Cj ( s )j ( s ) j =, para j = 3s 4, Cj ( s )j ( s ) j, dode C s ( s )s ( s )( s) ( 3 )s/4 e j=s Cj ( s )j ( s ) j ( 3 )s/4 k=0 ( 3 )k = 3( 3 )s/4 = 3( 3 )/k(k+) < ( 4 3)/k(k+), se /k(k + ) é suficietemete grade). A probabilidade disso acotecer pra algum k < [ 3 ] é o máximo 3 ( 4 3) 3, ue coverge a zero uado +. Por outro lado, com probabilidade ( total, a < para todo suficietemete grade < k= (a k + ) < 3 ) 4 r= (r + ) r(r+) ( ) 4/ 3 com probabilidade total para
.3: O Teorema de Khitchie -dimesioal 5 todo grade, pois também com probabilidade total o úmero de termos maiores ou iguais a 3 etre a, a,..., a é o máximo 4/ 3, para suficietemete grade. Como lim 8 log / 3 = 0, temos com probabilidade total lim sup exp ( r= ) 4 log(r + ) < +. r(r + ) Observação.6 Pode-se provar com métodos de teoria ergódica ue para uase todo α R vale = e π / l 3, 7589... lim Pretedemos discutir este e outros resultados fios ligados a propriedade estatísticas de frações cotíuas um próximo artigo. Corolários do Teorema de Khitchie: i) Para uase todo α R, α p < p log tem apeas um úmero fiito de soluções Q, e portato α p < tem apeas um úmero fiito de soluções racioais +ε, para todo ε > 0. Em particular ord α = para uase todo α R (ode p ord α := if{ν > 0 α p < ν tem ifiitas soluções p Q}). ii) Para uase todo α R, α p < tem ifiitas soluções racioais p/, e log portato, para todo k R, α p < tem ifiitas soluções p k Q..3 O Teorema de Khitchie -dimesioal Teorema.7 Sejam f, f,..., f : N R + fuções decrescetes e F : N R + dada por F(k) = f (k) f (k)... f (k). Seja α = (α,..., α,..., α ) R. O sistema de aproximação simultâeas α p i < f i(), i é tal ue ( ) a) Se = F() < + etão (*) tem apeas um úmero fiito de soluções ( ) p, p,..., p Q, para uase todo α R. ( b) Se = F() = + etão (*) tem ifiitas soluções p,..., p todo α R. ) Q para uase
6 Capítulo : Frações Cotíuas e Aproximações Diofatias Demostração: Dado 0 N, cosideremos o cojuto S( 0 ) = 0 0 p,...,p < i= ( pi f i(), p i + f ) i(), ue é o cojuto dos α [0, ) tais ue a desigualdade (*) do euciado do Teorema tem alguma solução com 0 (e logo 0 N S( 0 ) é o cojuto dos α R tais ue (*) tem ifiitas soluções ( p i,..., p ) Q ). Temos m(s( 0 )) = 0 ( F() ) = = 0 F(), ue tede a 0 uado tede a, pois = F() coverge. Portato, m( 0 N S( 0 )) = 0, o ue completa a prova de a). Primeiro obtemos fuções decrescetes g, g,..., g : N R + g tais ue lim i () s0 f i () = 0 e G = g, g,..., g : N R + satisfaz lim G() = 0 e = G() = + (podemos tomar G (k) = (F() + F() + + F(k)) F(k) e G(k) = (G () + G () + + G (k)) G (k), k N. Teremos G e G decrescetes, G (k) /k, kg(k) 0, ΣG (k) =, ΣG(k) =, e defiimos g i () = f i () (G()/F()) / ). Fixemos agora 0 N grade e defiimos s 0 = s 0 ( 0 ) = mi{s N G( 0 ) + G( 0 + ) + + G(s) c}, ode c é uma costate ue escolheremos posteriormete. Note s ue lim 0 () = +. Para cada s com 0 s s 0 vamos estimar o úmero de ( r s, r s,..., r s ) Q com r i Z, i, 0 r i < s tais ue existem com 0 < s, p, p,..., p Z, 0 p i < satisfazedo r i s p i < g i() Temos ue, como cada g i é decrescete, (**) implica r i p i s < s g i() + g i(s), i =,,...,. ( ) s = sg i (), i =,,...,. Para um tal ( r s,..., r ) s ( ue ão satisfaz ) (**) para ehum com 0 < s, p,..., p o bloco i= ri s g i(s) s, r i s + g i(s) s será disjuto de todos os blocos associados ( p a,..., p ), com 0 < s, p,..., p Z com 0 p i <. Para completarmos a prova de b), aplicaremos: Lema.8 Para todo k N existe c k > 0 tal ue j= ( ) ϕ(j) k j ck. Demostração: Para k = segue de ϕ(j) lim j j= = lim = µ(d) d = d µ(d) d d= = 6 π = lim d= d µ(d) d
.3: O Teorema de Khitchie -dimesioal 7 pois r= µ(m) m k= = k m µ(m) = covexa para k, temos j= ( ) (com C k = 6 k). π =, e k= = π k 6. Como h(x) = xk é ) k ( ) k, j= dode segue o resultado ( ϕ(j) j Fial da demostração de b): Se 0 < s, o úmero de soluções de r i p i s < sg i () com 0 p i <, 0 r i < s é o máximo 4sg i () desde ue mdc(r i, s) =. De fato, essas codições r i p i s ão se aula, seão teríamos p i = r i s, ue é uma fração irredutível de deomiador s >, absurdo. Seja d = mdc(s, ). Dado k Z, a euação diofatia r ps = k só tem solução de d k, uado tem d soluções com 0 r < s. Portato, 0 < r ps < x (resp. x < r ps < 0) tem o máximo d x d x soluções (p, r) com 0 r < s, o ue claramete implica a afirmação. Portato, o úmero de soluções da desigualdade acima para todo i com i é o máximo 4 s G(). Por outro lado há ϕ(s) potos ( r i s,..., r s ), 0 ri < s, mdc(r i, s) =, i. Isso os dá a estimativa do úmero de ovos blocos disjutos dos ateriormete cosiderados ue têm deomiador s de pelo meos ϕ(s) 4 s s = 0 G(), e para o volume da uião dos blocos disjutos adicioados até o deomiador s 0 de pelo meos s 0 s (ϕ(s) 4 s G()) G(s) s= 0 = 0 s = k s 0 ( ) ϕ(s) G(s) 8 s 0 s= 0 s s= 0 ϕ(j) j ( ) s G() G(s). = 0 Por outro lado, com s 0 = mi{s o s = 0 G() c}, temos s 0 s= 0 ( ) ϕ(s) G(s) = s s 0 s= 0 (G(s) G(s + )) s j= 0 ( ) ϕ(j) + G(s 0 ) j s 0 j= 0 s 0 s= 0 (G(s) G(s + ))(c s 0 ) + G(s 0 )(c s 0 0 ) = c s 0 G(s) ( c ) 0 G( 0 ) s= 0 + = c c + ε ode ε 0 uado 0 ( ϕ(j) (pois lim 0G( 0 ) = 0). 0 ( ) Por outro lado, 8 s 0 s= 0 s = 0 G() G(s) 8 c s 0 s= 0 G(s) 8 c( c + ε ) ode ε = G(s 0 ) 0 uado 0. Assim, osso volume é, pelo meos, (c c + ε ) 8 c( c + ε ). Tomado c = c temos ue, se 4 + 0 é suficietemete grade (e logo ε e ε suficietemete peueos), o volume de A( 0 ) é pelo meos c / +3, ode A( 0 ) = 0 0 p,...,p < i= ( pi g i(), p i + g ) i(). j )
8 Capítulo : Frações Cotíuas e Aproximações Diofatias Como A() A( + ), N, temos m(a ) 5 > 0, ode A = N A(). Se β = (β, β,..., β ) A, β i p i < g i(), i =,,..., tem ifiitas soluções ( p, p,..., p ) Q. Como m(a ) > 0, dado ε > 0 existe cubo Q = i= [ b i C, b i+ C ], C N, b i Z, 0 b i < C tal ue m(a Q) ( ε)m(q). Se T : R R é dada por T(X,..., X ) = (CX b, CX b,..., CX b ), temos T(Q) = [0, ] e m(t(q A )) ε. Além disso, se α = (α, α,..., α ) T(Q A ), α = T(β), β = (β,..., β ) A Q, e portato β i p i < g i(), para todo i =,,..., tem ifiitas soluções ( p, p,..., p ) Q, dode α i r i < Cg i() (e logo α i r i < f i() ) tem ifiitas soluções ( r, r,..., r ) ( Cp b =, Cp b,..., Cp ) b Q, e como ε > 0 pode ser feito arbitrariamete peueo está provado o item b)..4 Aproximações diofatias ão-homogêeas Proposição.9 Se α R \ Q etão X = {m + α m, Z} é deso em R. Demostração: Dado ε > 0 existem p, iteiros com > /ε tais ue α p < 0 < α p < < ε. Dado x R existe k Z tal ue x está etre k(α p) e (k + )(α p), dode x k(α p) ε. Como k(α p) = pk + kα X, o resultado está provado. O próximo resultado, devido a Kroecker, estede a proposição aterior para dimesão ualuer. Proposição.0 Seja α = (α, α,..., α ) R. Supoha ue, α,..., α sejam liearmete iepedetes sobre Q (isto é, k + m α + m α + + m α = 0 com k, m,..., m Z implica k = m = = m = 0). Etão X = {kα + m e + m e + + m e k, m,..., m Z} é deso em R, ode e = (, 0,..., 0),..., e = (0,..., 0, ) são os elemetos da base caôica de R. Demostração: Seja X R o fecho de X, e V X um subespaço vetorial maximal de R cotido em X. Supohamos por absudo ue V = R. Seja f um fucioal liear ão ulo de R.
.4: Aproximações diofatias ão-homogêeas 9 Seja V o complemeto ortogoal de V, e seja π : R V a projeção ortogoal sobre V. Para todo x X, π(x) X, pois π(x) = x + (π(x) x), π(x) x C X e X é ivariate por adição (pois X também é). Seja k = dim V. Escolhemos vetores e i, e i,..., e ik tais ue π(e i ), π(e i ),..., π(e ik ) geram V. Se fizermos e 0 = α, para todo i = 0,,..., escrevemos π(e i ) = k j= λ ijπ(e ij ). Não podemos ter λ i Q para todo i, seão podemos defiir um fucioal liear f da seguite forma: dado x R escrevemos π(x) como k j= β jπ(e ij ), e tomamos f (x) = β. Se λ i = f (e i ) Q para todo i, teríamos λ 0 = f (α) = i= α i f (e i ) = i= λ iα i Q, cotradizedo a hipótese da proposição. Seja etão i 0 tal ue λ i0 / Q. Tomamos γ = (λ i0,..., λ i0 k) R k. Como observamos a itrodução deste artigo, existem x = γ (p, p,..., p k ) = 0, com, p,..., p k Z e lim x lim /k = 0, e portato, se w = π(e i0 ) k j= p jπ(e ij ), lim w = 0 (e w = 0, ). Passado a uma subseüêcia, se ecessário, podemos supor ue lim w w = w S V. Para todo t R, temos ue t w = lim t w w X, N. Portato, como X é ivariate por adição, o subespaço Ṽ = {v + t w v V, t R} é tal ue Ṽ X e Ṽ cotém propriamete V, absurdo. Observação. A hipótese da Proposição A. é ecessária, pois se existem iteiros k, m,..., m ão todos ulos tais ue k + m α + + m α = 0 etão X {(x,..., x ) R m x + m x + + m x Z}, ue é um fechado com iterior vazio. O teorema de Kroecker possui a seguite geeralização, devida a Weyl. Ates ecessitamos de uma Defiição. Uma seuêcia (a ) 0 com a [0, ] d é dita uiformemete distribuída se para ualuer paralelepípedo retagular C [0, ] d, temos ode m(c) é o volume de C. #{j j e a j C} lim = m(c), Observação.3 Caso uma seüêcia (a ) 0 com a [0, ] d seja uiformemete distribuída, etão a propriedade da defiição valerá ão somete para paralelepípedos retagulares, mas também para ualuer cojuto C [0, ] d com volume (à la Riema) bem defiido (o ue reuer ue o cojuto seja J-mesurável, i.e., ue sua froteira teha medida ula).
30 Capítulo : Frações Cotíuas e Aproximações Diofatias Teorema.4 (Weyl) Seja α = (α,..., α d ) R d ode as coordeadas são tais ue, α,..., α d são liearmete idepedetes sobre Q. Etão a seuêcia é uiformemete distribuída o cubo [0, ] d. {α} def = (α α,..., α d α d ) Demostração: Sejam C, C [0, ) d dois cubos abertos tais ue o lado de C é meor ue o lado de C. Etão o fecho C de C está cotido em um trasladado de C (C C + v, v R d ). Como existem vetores ṽ arbitrariamete próximos de v, com ṽ = (α + p,..., α d + p d ),, p,..., p d Z, tomado um tal ṽ de modo ue sua distâcia a v seja meor ue a distâcia de C à froteira de C + v, temos ue {mα} C = {(m )α} C ṽ C. Se defiirmos, para cada paralelepípedo retagular C, N (, α, C) := #{j j e {jα C}, teremos etão N (, α, C ) N (, α, C ) + para todo N. Seja etão N um úmero atural grade dado e C um cubo dado de lado /N. Cosidere a decomposição [0, ) d = ( [ ) N k k=0 ) d como a uião de (N + ) d N+, N+ k+ cubos de lado N+. Seja C a coleção desses cubos. Para cada cubo C C dessa coleção, existe um iteiro ( C) tal ue N (, α, C) N (, α, C) + ( C) para todo N. Se ˆ é o máximo dos úmeros ( C), podemos usar o fato de ue, para todo N, existe um cubo C C com N (, α, C) para cocluir ue N (, α, C) (N+) d ˆ, N, de ode obtemos lim if Aalogamete (cosiderado a decomposição [0, ) d = ( [ N k k=0 N, N k+ provar ue lim sup (N+) d N (, α, C)/ (N+) d. ) ) d como a uião de (N ) d cubos de lado N (, α, C)/ (N ) d. N, podemos Seja agora B = Π d i= [a i, b i ) um paralelepípedo retagular dado. Para cada úmero atural grade N, B cotém uma uião disjuta de Π d i= N(b i a i ) cubos de lado /N. Assim, da discussão acima, segue ue lim if N (, α, B) (N + ) d Πd i= N(b N i a i ) ( N + )d Πi= d (b i a i N ), e, fazedo N teder a ifiito, obtemos lim if N (, α, B)/ Πd i= (b i a i ) = m(b). Por outro lado, B está cotido uma uião de Πi= d N(b i a i ) cubos de lado /N, dode, pela discussão acima, lim sup N (, α, B)/ Π d (N ) d i= N(b i a i ) ( N N )d Πi= d (b i a i + /N), e, fazedo N teder a ifiito, obtemos lim sup N (, α, B)/ Πi= d (b i a i ) = m(b). Portato lim N (, α, B)/ = Π d i= (b i a i ) = m(b).
.5: Números de Liouville 3 Observação.5 É possível provar o teorema aterior com técicas de aálise de Fourier. Dizemos ue uma seuêcia (w ) 0 com w R d é dita uiformemete distribuída módulo se ({w }) 0 é uiformemete distribuída em [0, ] d, ode, para w = (w, w,..., w d ) R d, {w} := ({w }, {w },..., {w d }). É possível provar ue (w ) 0 é uiformemete distribuída módulo se, e somete se, para todo vetor v Z d com v = (0, 0,..., 0), lim exp(πi w, v ) = 0 j (ode u, v deota o produto itero dos vetores u e v). Não é difícil verificar esta codição para a seuêcia w = α, ode α = (α,..., α d ) R d é tal ue, α,..., α d são liearmete idepedetes sobre Q. Esta caracterização de seuêcias uiformemete distribuídas módulo pode ser usada para provar o seguite fato: uma codição suficiete (mas ão ecessária) para ue uma seuêcia (w ) 0 com w R seja uiformemete distribuída módulo é ue, para todo iteiro positivo h, a seuêcia (w +h w ) N seja uiformemete distribuída. Este fato, por sua vez, pode ser usado para provar (por idução o grau) ue, para todo poliômio p(x) = α d x d + α d x d + + α 0 ue teha algum coeficiete ão costate α j, j irracioal, a seuêcia (p()) N é uiformemete distribuída módulo. Veja o capítulo IV de [C] ou [StSa], págias 05-3 para mais detalhes..5 Números de Liouville Vimos o corolário i) do teorema de Khitchie ue ord α = para uase todo α R. Dado α R \ Q, dizemos ue α é um úmero de Liouville se ord α =, isto é, se para todo > 0 existem ifiitos racioais p com α p <. O cojuto dos úmero de Liouville é portato dado por L = ( p, p + ). N p Z Assim, L é uma iterseção eumerável de abertos desos e portato é um cojuto geérico o setido de Baire, embora, como vimos, teha medida ula. Uma parte do iteresse dos úmeros de Liouville é motivado pelo seguite resultado, ue implica ue todo úmero de Liouville é trascedete (a recíproca etretato é falsa, já ue o cojuto dos úmeros algébricos é eumerável e portato o cojuto dos úmeros trascedetes tem medida total). Proposição.6 Seja α R \ Q um úmero algébrico de grau, isto é, α é raiz de um poliômio ão ulo de grau com coeficietes iteiros. Etão existe c > 0 tal ue α p c para todo p/ Q. Em particular, ord α.
3 Capítulo : Frações Cotíuas e Aproximações Diofatias Demostração: Seja P(x) um poliômio de grau com coeficietes iteiros tal ue P(α) = 0. Existe um d > 0 tal ue P(x) = 0 para todo 0 < x α < d. Sejam k = { max P (x) e c = mi, d, } x α k Se α p < c, com p, N >0, teríamos α p < c d, dode P( p ) = 0. Assim, como P( p ) Z, P( p ) P( p ). Por outro lado, ( p ) ( P p ) P = P(α) = P (y) ( p α ), para algum y estritamete etre α e p, pelo teorema do valor médio, mas y α < α p < c implica P (y) k, logo P ( p ) α p k < kc o ue é absurdo. Um teorema ão trivial devido a Roth (e ue lhe redeu uma medalha Fields) mostra ue, de fato, ord α =, para todo α algébrico (veja por exemplo [Le]). Lembramos ue, usado a fração cotíua de e, é possível provar ue ord(e) = (veja o capítulo 3), isto é, o úmero e é trascedete, mas ão muito..6 Problemas Propostos Mostre ue a seuêcia (a ) com a [0, ] d é uiformemete distribuída se, e só se, para ualuer fução cotíua f : [0, ] d R, temos lim f (a ) + f (a ) + + f (a ) = f. [0,] d Prove ue α = é um úmero de Liouville e, portato, é trascedete. 0 =! 3 Mostrar ue se α e β são úmeros irracioais positivos satisfazedo α + β as seuêcias α, α, 3α, e β, β, 3β, jutas cotém todo iteiro positivo exatamete uma vez. =, etão 4 Mostrar ue se a e b são úmeros iteiros positivos arbitrários, etão a b > (a + b).
.6: Problemas Propostos 33 5 Costrua uma seuêcia ifiita limitada x 0, x, x,... tal ue para todos os úmeros aturais i e j com i = j se teha x i x j i j. Obs.: Uma coseuêcia imediata deste fato é ue, dado um real a >, existe uma seuêcia ifiita limitada x 0, x, x,... tal ue para todos os úmeros aturais i e j com i = j se teha x i x j i j a. O problema 6 da IMO de 99 cosistiu em provar esta última afirmação. 6 Sejam a, b, c iteiros ão todos ulos. Mostrar ue 4a + 3b + c 3 4a + 3 b + c. 7 Mostrar ue a seuêcia {a } defiida por a = cotém um úmero ifiito de termos ue são potêcias de. 8 Seja {a } uma seuêcia crescete de iteiros positivos tais ue para todo K existe um N tal ue a + > Ka. Mostrar ue = a é um úmero de Liouville (e portato é trascedete). 9 a) Prove ue existe N tal ue os 00 primeiros dígitos de são iguais a. b) Prove ue existe N tal ue os 00 primeiros dígitos de são iguais a e os 00 primeiros dígitos de 3 são iguais a. 0 Prove ue, para todo iteiro a com a 9 temos #{j j e o primeiro dígito de j é a} lim = log(a + ) log a. log 0
Capítulo 3 Os Espectros de Markov e Lagrage 3. Defiições e euciados Seja α um úmero irracioal. De acordo com o teorema de Dirichlet, a desigualdade α p < tem uma ifiidade de soluções racioais p/. Markov e Hurwitz melhoraram este resultado, provado ue, para todo irracioal α, a desigualdade α p < tem uma ifiidade de soluções racioais, e ue 5 é a melhor 5 costate com esta propriedade: para α = + 5, e para ualuer ε > 0, a desigualdade α p < ( tem apeas um úmero fiito de soluções (ver 5 + ε) apêdice). Etretato, fixado α irracioal, pode-se esperar resultados melhores, o ue os leva a associar a cada α a sua costate de melhor aproximação k(α) = sup{k > 0 α p < k tem uma ifiidade de soluções racioais p/} = lim sup ( p, Z (α p) ) R {+ }. Nossa discussão iicial mostra ue k(α) 5 para todo α R, ( ) + 5 e k = 5. Não é difícil provar ue k(α) = + para uase todo α R. Estaremos iteressados os α R tais ue k(α) < +, e, mais particularmete, a imagem da fução k, isto é, o cojuto L = {k(α) α R\Z e k(α) < + }. Este cojuto é cohecido como o espectro de Lagrage. Provamos o apêdice uma fórmula para k(α): escrevemos α em fração cotíua, α = [a 0, a, a,... ] e defiimos, para N, α = [a, a +, a +,... ] e β = [0, a, a,... ]. Temos etão k(α) = lim sup (α + β ). Isto segue dos resultados do Capítulo 3. É iteressate observar ue se mudássemos um pouco as fuções evolvidas a defiição do espectro de Lagrage ele seria um cojuto bastate trivial: se para f : R R + cosiderarmos o cojuto k f (α) := sup { k > 0 α p < f () tem k ifiitas soluções racioais p/ } etão, caso tehamos lim + f () = 0 etão a 35
36 Capítulo 3: Os Espectros de Markov e Lagrage imagem de k f seria (0, + ] (ou [0, + ], se cosideramos sup( ) = 0 este cotexto) e, caso lim + f () = +, etão a imagem de k f seria {+ }. O cojuto L ecodifica uma série de propriedades diofatias de úmeros reais, e vem sedo estudado há bastate tempo. Talvez o primeiro resultado ão-trivial sobre ele se deva a Markov, ue provou em 879 (ver [Mar] e [Mar]) ue L (, 3) = {k = 5 < k = < k 3 = < }, ode (k ) é uma seüêcia 5 covergete a 3 tal ue k Q para todo. Assim, o começo do espectro de Lagrage é discreto. Essa afirmação ão é verdadeira para todo o cojuto L. Marshall Hall prova em 947 ([H]) ue L cotém toda uma semi-reta (por exemplo [6, + )), e G. Freima determiou em 975 a maior semi-reta ue está cotida em [ L, ue é 4 + 5358980 + 83748 ) 46, +. Estes dois últimos resulados baseamse fortemete o estudo de somas de cojutos de Cator regulares, cuja relação 49993569 com o espectro de Lagrage tem origem a fórmula ue apresetamos para k(α), e é o tema pricipal deste capítulo. Por exemplo, o resultado ue M. Hall eucia em seu artigo [H] é o seguite: se C(4) é o cojuto de Cator regular dos reais de [0, ] em cuja fração cotíua aparecem apeas os coeficietes,, 3 e 4 etão C(4) + C(4) = [, 4( )], do ual ão é difícil deduzir ue L [6, + ) via a fórmula para k(α). De k(α) = lim sup (α + β ) podemos obter a seguite caracterização do espectro de Lagrage: seja Σ = ( N ) N, o cojuto das seüêcias bi-ifiitas de iteiros positivos, e σ : Σ Σ o shift defiido por σ((a ) Z ) = (a + ) Z. Se f : Σ R é defiida por f ((a ) Z ) = α 0 + β 0 = [a 0, a, a,... ] + [0; a, a,... ] etão L = {lim sup + f (σ θ), θ Σ}. Outro cojuto de úmeros reais ue será de osso iteresse é o espectro de Markov M, ue é igual a {sup f (σ θ), θ Σ}. O espectro de Markov tem a seguite iterpretação aritmética: M = {(if (x,y) Z \(0,0) f (x, y) ) ; f (x, y) = ax + bxy + cy, b 4ac = }. São fatos cohecidos ue L e M são subcojutos fechados da reta e ue L M. Provamos em [M] os seguites resultados: Teorema 3. Para todo t R, as dimesões de Hausdorff de L (, t) e de M (, t) são iguais. Se deotarmos essas dimesões por d(t), temos os seguites fatos: a) d : R [0, ] é cotíua e sobrejetiva. b) d(t) = mi{, HD(k (, t))} c) max{t R d(t) = 0} = 3 d) d( ) = (As afirmações c) e d) são coseuêcias simples de b)). Teorema 3. O cojuto dos potos de acumulação de L é perfeito, isto é, L = L. Teorema 3.3 0 < HD(M\L) <.