Méodos Quaavos II Mesrado em Ecooma Aplcada Faculdade de Ecooma e Admsração Pro. Rogéro Slva de Maos ECONOMETRIA CLÁSSICA Noas de Aula
. INTRODUÇÃO. OBJETIVOS Modelos ecoomércos Mesuração Vercação de eoras Prevsão. VISÕES DA ECONOMETRIA Escola Clássca Escola Iglesa.3 VISÃO ESTATÍSTICA Modelo Populacoal Modelo Gerador dos Dados MGD Modelo Proalísco Modelo Gerador dos Dados MGD
. MODELO DE REGRESSÃO MÚLTIPLA. MODELO LINEAR GAUSSIANO versão ásca MGD:,, varável depedee varáves depedees ou eplcavas E ou coecee de sesldade de em relação à E é a méda de e represea um hperplao que cora o espaço eucldao R Hpóeses Báscas. é uma ução lear de,,.,, são varáves ão-esocáscas 3. Cada ão é uma ução lear das demas s,, s,, 4. E 5. Var e E,,, 6. ~ N, ~ N E,. s, Oservações Modelo lear vem da área de plaeameo de epermeos, daí a hpóese que dz que cada ão é varável aleaóra Hpóese 3, mplca que cada ão é comação lear das demas varáves eplcavas Hpóeses 4, 5, e 6 dzem respeo ao ermo de erro aleaóro, que apresea as segues caraceríscas: méda ula hp. 4 homocedásco, pos possu varâca cosae hp. 5 ão auocorrelacoado com os demas hp. 5 dsrução ormal hp. 6, logo amém é ormal com méda E e varâca
. REPRESENTAÇÃO MATRICIAL Assumdo oservações para,,..., MGD: ode: E. Hpóeses Báscas Re-escras. Veor é ução lear dos veores coluas da marz. é uma marz ão-esocásca 3. possu poso compleo gual a 4. E, ode é um veor de elemeos ulos 5. Var E I, ode I é uma marz dedade 6. ~ MN, I ~ MN, I Oservações As hpóeses correspodem às aerores para a versão ãomarcal Hpóese 3 mplca que cada colua de ão é uma comação lear eaa das - coluas resaes Hpóeses 4-6 dzem respeo ao veor de erros aleaóros Hpóese 6 dz que veor segue uma dsrução ormal mulvarada com veor de médas e marz de varâcacovarâca I Hpóese 6 amém dz que veor segue uma dsrução ormal mulvarada com veor de médas e marz de varâca-covarâca I
.3 ESTIMADOR DE MÍNIMOS QUADRADOS ORDINÁRIOS Coceos Modelo Amosral: Predor Lear: Resíduo: Represeação Marcal Modelo Amosral: Predor Lear: Resíduo: ode: Prolema: A parr de oservações amosras, achar esmadores de oa qualdade para,,,, Solução: Mmzar a soma dos quadrados dos resíduos para, ou sea, mmzar para. Assm, ecora-se o esmador de mímos quadrados ordáros EMQO:
Prova Como se em de mmzar uma ução de, usa-se as regras de deermação de valores mímos de uções derecáves de váras varáves. Ou sea, acha-se as dervadas parcas da ução, guala-se esas a zero e resolve-se o ssema resulae. Os passos são os segues:.. Codção de ª. Ordem: 3. EMQO para. 4. Codção de ª. Ordem: deda posva* * Como em poso, segue que a marz quadrada de ordem amém apresea poso e, logo, é ão sgular. Sedo ão sgular, possu versa. Além dsso, é deda posva z z, z vea-se, por eemplo, JD, 988: p. 484. Logo, é poo de mímo asoluo para. Noa: Dervação Veoral Sea a um veor de cosaes, A uma marz de cosaes e um veor de varáves. Eão: a a A A a Eemplo: Vedas rmesras de auomóves os EUA 959.I-988.I. ode: MGD: S P 3R 4 CPI S = cosumo pessoal de auomóves ovos em US$ lhões P = reda pessoal em US$ lhões R = aa de uros rmesral de íulo do Tesouro Amercao CPI = ídce de preços ao cosumdor para ovos carros 983= Modelo Empírco: S 35,7,39P,586R, 654CPI
.4 MÉDIA E VARIÂNCIA DOS EMQO Resulado R: Prova:. Do que segue que. Méda Vés E E E E. Varâca R: Prova Var Var E[ E I ]
.5 PROPRIEDADES DOS EMQO Ecêca Ecêca Resra: dadas as hpóeses -5, o EMQO é o mas ecee ão evesado e com varâca míma dero da classe dos esmadores leares de ou sea, o EMQO é o Melhor Esmador Lear Não Evesado MELNE de. Noa: Um esmador lear é aquele que pode ser escro como uma marz. Prova Teorema de Gauss Marov: ~ M, ode M é A prova só usa hpóeses -5. Seam A e C marzes, amas de ordem. Por R, A, e por R, Var AA. ~ Sea amém A C um esmador lear aleravo de. ~ Eão, pode-se escrever A C A C A C. Para ~ ser ão evesado, ele em de sasazer: ~ E A C C I C. ~ Logo, é precso que C. Supodo C, eão A C ~ ~ de modo que Var ~ E[ ] pode ser desevolvda como: Var ~ E[ A C A C'] A C E A C A C A C Mas, A C A C AA CA AC CC C C CC CC Pos C ' C '. Eão: Var ~ [ CC ] Var CC Noa: Resulados de álgera marcal garaem que C C é semdeda posva. Será ~ C C somee quado C =. Mas, ese caso logo, ão pode haver ouro esmador lear, deree do EMQO, que sea mas ecee ão-evesado e com varâca míma.
Ecêca Irresra: Quado vale amém a hpóese 6 erros ormalmee dsruídos, o EMQO é o mas ecee dere odos os esmadores leares e ão-leares. A prova evolve mosrar que o caso de ormaldade dos erros o EMQO é equvalee ao Esmador de Máma Verossmlhaça EMV. Cossêca EMQO é cossee para, ou sea, p lm Prova: Dadas as hpóeses -5 e R, segue que: plm plm plm[ plm ] ' plm Dado que é ão esocásca hp., segue que: p lm E E Logo: p lm Normaldade Assóca Propredade MUITO IMPORTANTE! Quado, / N, Ou sea, em amosras grades, podemos apromar a dsrução de como uma ormal, so é: para grade, ~, N Logo, se a amosra é grade, ão precsamos da hpóese 6. Qualquer que sea a dsrução de, podemos aplcar a eora da ormal para o EMQO e os procedmeos de eses de hpóese
.6 QUALIDADE DO AJUSTAMENTO Como avalar se o modelo esá aderdo em aos dados ou ão? Esaíscas descrvas: R, R, Créro de Iormação de Aae AIC e Créro de Schwarz SC R Mede o grau de ausameo do modelo aos dados = + Desvo Toal Desvo Nãoeplcado Desvo Eplcado Elevado ao quadrado e agregado para odas as oservações: = + Varação Toal Varação Nãoeplcada Varação Eplcada Marcalmee: y y y y ode: y y Grau de ausameo R y y y y ou R y y Propredades R [,] Bom ausameo R Fraco ausameo R R ede a aumear sempre com ovas varáves eplcavas R uca dmu com ovas varáves eplcavas
R ou R - ausado Corrge lmação do grau de ausameo R Propredades R y y R R se = R R se > R pode dmur se cluo varáves pouco eplcavas R pode ser egavo Créro de Iormação de Aae AIC Propredades AIC log AIC Quao meor AIC, melhor o ausameo AIC pealza em mas que o R a preseça de varáves rrelevaes AIC valorza mas a parcmôa. Créro de Schwarz SC Propredades SC log log SC Quao meor SC, melhor o ausameo SC pealza em mas que o R a preseça de varáves rrelevaes SC amém valorza mas a parcmôa do que o AIC, pealzado mas ada o úmero de parâmeros/varáves o modelo.
.7 VARIÂNCIA RESIDUAL DA REGRESSÃO Var amém é um parâmero descohecdo do MGD Camho aural de esmá-lo sera: Prolema: é um esmador evesado de Solução: usa-se um correor de vés que reduda em: S S é a chamada varâca resdual e será usada em város coeos, por eemplo, o R - ausado pode ser escro como: R S S, ode: S S amém é usada para se esmar a marz de varâca-covarâca dos EMQO: S S
Eemplo: Cosumo Aual Brasl 96-4 MGD: CO 3GR 4I 5 NE Saída Compacada do Evews Depede Varale: CO Mehod: Leas Squares Dae: 6/4/5 Tme: : Sample: 96 4 Icluded oservaos: 45 Varale Coece Sd. Error Cosae 3374 995664..83693.339 GR -.78933.6747 I -.73769.9547 NE -.764959.5569 R-squared.994985 Mea depede var 8.9E+8 Adused R-squared.994483 S.D. depede var 3.8E+8 S.E. o regresso 439 Aae o crero 36.9678 Sum squared resd.38e+6 Schwarz crero 37.65 Noa: Dados auas reerees ao Brasl CO = cosumo das amílas = reda dspoível das amílas GR = gasos do govero I = vesmeo dreo NE = Eporações líqudas Oservações A colua correspodee a Sd. Error reere-se a: s dag S O modelo empírco é dado por: CO 3.37.4,837,789GR,738I, 765 NE
.8 RESULTADOS IMPORTANTES Supodo que valem odas as hpóeses, clusve a 6, de ormaldade dos erros : R3. / ~ R4. S / ~ R5. ~ N, V, ode V é o -ésmo elemeo da dagoal prcpal de R6. S / e são depedees R7. De R4-R6, segue que: ~ S V Prova: De R5, segue que / V ~ N,. Agora compuado: V S, emos uma VA N, dvdda pela raíz quadrada de uma VA dvdda, por sua vez, por, amas depedees, o que resula uma VA -. Fazedo as smplcações ecessáras, oém-se o resulado R7.
.9 ESTIMAÇÃO INTERVALAR Oevo: achar ervalos de coaça para Em geral, usa-se ervalos laeras Créro: H L P L, = lme eror H, = lme superor = ível de coaça Solução: L s, /, H s, /, Prova: Dea V S s. Eão, usado R7, podemos escrever:, /, / s P, /, / s s P Mulplcado odos os compoees da rpla desgualdade por -:, /, / s s P e somado aos rês compoees:, /, / s s P
. TESTES DE SIGNIFICÂNCIA DE PARÂMETROS E VARIÁVEIS MGD: Eemplos de hpóeses de eresse: H : = E aravessa a orgem do espaço R H : E ão aravessa a orgem do espaço R H : = varações em ão eplcam varações em H : varações em eplcam varações em H : 3 = varações em 3 produzem varações dêcas em H : 3 varações em 3 ão produzem vars. dêcas em Coceos e deções = ível de sgcâca = PErro Tpo I = PReear H H é V = PErro Tpo II = PNão Reear H H é F Poder do ese = - Represeação Geral H : = H : Caso ípco em ecoomera: = Por R7, segue que, S ~ ou S ~ caso = Procedmeos do ese ípco. Eucado das hpóeses: H : = H :. Escolha de = ível de sgcâca 3. Cálculo de S 4. Aplcação da regra de decsão pelo valor de prova p-value: Se P T Não reeo H Se P T Reeo H
Eemplo: Cosumo Aual Brasl 96-4 MGD: CO 3GR 4I 5 NE Saída Compacada do EVews Depede Varale: CO Mehod: Leas Squares Dae: 6/4/5 Tme: : Sample: 96 4 Icluded oservaos: 45 Varale Coece Sd. Error -Sasc Pro. C 3374 995664..357.34.83693.339 6.79. GR -.78933.6747 -.69886. I -.73769.9547-6.797. NE -.764959.5569-7.467. R-squared.994985 Mea depede var 8.9E+8 Adused R-squared.994483 S.D. depede var 3.8E+8 S.E. o regresso 439 Aae o crero 36.9678 Sum squared resd.38e+6 Schwarz crero 37.65
. TESTE F SIGNIFICÂNCIA GERAL DA REGRESSÃO H : ehuma eplca varações em 3 H : pelo meos um pelo meos uma eplca varações em =...,- Supoha váldas as hpóeses a 6 e cosdere H verdadera: R8. y y * * * * ~, ode * * * é a marz em orma de desvos em relação à méda com a prmera colua reeree à cosae ecluída. Prova: Ver [VA: pp. 59-6] y y / R9. ~ F, / Prova Comado R3 com R8: y y S y y / S ~ F, Esaísca de Tese: F y y / / Varação Eplcada / Varação Não Eplcada / Regra de decsão pelo valor de prova: o Dado uma escolha de : Se P F, F Não reeo H Se P F, F Reeo H
.3 MULTICOLINEARIDADE Caso : Modelo com var. depedee e vars. depedees: 3 3 É ácl vercar que o EMQO ese caso sera: 3 3 3 3 3 y y 3 3 3 3 3 y y 3 3 Coleardade Perea Coecee de correlação lear ere e 3 : 3 3 3 r Se 3, com volação da hpóese : o Os umeradores de e 3 são guas a o 3 r 3 3 Logo, com 3, é mpossível compuar os EMQO 3,,.
Ala mas ão perea coleardade É possível compuar EMQO, pos hp. ão é volada Seam as varâcas esmadas dos EMQO, odas como os úlmos elemeos da dagoal prcpal de S S : S S r 3 S 3 3 S r 3 Sea r, mas cosdere que: 3 Logo: r 3 S e S 3 r e 3 3 Coseqüêcas da Mulcoleardade Esaíscas podem car arcalmee muo aas Iclusve, é possível acoecer R com e, o que é coradóro 3 Soluções Aleravas Rera-se uma das varáves do modelo Traalha-se com varáves em dereças: o Eemplo: Modelo de eresse: C 3W Se e W muo correlacoadas, usa-se: C C W W 3
Caso : Modelo com var. depedee e - vars. depedees: Mulcoleardade Perea Nese caso, ão pode acoecer por eemplo: 3 3 Ou sea, uma varável eplcava ão pode ser learmee depedee das demas. Ala mas ão perea Mulcoleardade Por eemplo, pode acoecer: 3 3 Uma varável eplcava é quase learmee depedee das demas.
.4 ESTIMAÇÃO POR MÁIMA VEROSSIMILHANÇA EMV Pela hpóese 6:, ~ E N Fução desdade: ep Fução de verossmlhaça: ep,,, L Em orma marcal: ep, L Log-verosssmlhaça: l l,
Mamzado a log-verossmlhaça Codção de ª. Ordem: ~ ~ ~ ~ ~ 4 ~ ~ ~ ~ ode: ~ ~ Codção de ª. Ordem: garae que o EVM de e gloal ver JD: p. 46. é mámo Logo, o EMV de ~ é o mesmo que o EMQO e o EMV de ~ dere do usado aes para S apeas o deomador Propredades do EMV para pequeas amosras ~ é ão evesado para ~ é evesado para A varâca de ~ age o lme mímo de Cramer-Rao, logo ~ é amém ecee Propredades do EMV para grades amosras ~ e ~ são cossees ~ apresea ormaldade assóca Coclusão So hpóese 6 de ormaldade dos erros, EMQO e EMV são equvalees e porao cosuem o melhor esmador de dere os esmadores leares e os ão-leares.
.5 PREVISÃO Oevo: acerar um valor de codcoal a valores parculares de,, Prevsão Poual Sea ], eão: [ o Prevsão dero da amosra: [ ],, o Prevsão ora da amosra: [ ] o Pelo T. Gauss-Marov: o é o melhor esmador lear de o Logo, Ŷ é um predor ómo de Erro de prevsão: e o Noe que: E E E o Logo: E e E E E o Ou sea Ŷ é um prevsor ão evesado de.
Varâca do erro de prevsão: Var e Var Var Var Var E[ ] Var [ ] Esmação da Varâca do erro de prevsão: S S Resulados de eresse Seam váldas hps. -6. Cosdere os segues resulados: R. e ~ N, R. ~ S R. e S são depedees R3. ~ S Prova Por R, R e R, segue que a razão: S S ~, Fazedo-se as smplcações ecessáras, emos o resulado R3.
Prevsão Iervalar Oevo: Achar ervalo de coaça para créro P L H de acordo com o Solução: L H /, /, S S Prova Usado R3, vercamos que: P /, /, S De ode é medao que, após mapulações algércas smples: P /, S /, S Iso é: P L H Eemplo: Prevsão do Cosumo Aual Brasl 5- Modelo Ecoomérco: CO 9.589.8,789,686GR,66I, 78 NE ANO CÔ L CÔ CÔ H G I NE 5 46 87 8 848 57 364 94 6 73 4 55 97 65 38 97 7 95 36 77 958 73 4 99 8 4 56 97 8 8 4 9 3 74 5 55 9 44 48 9 33 464 Noa: Valores em R$ lhões
3. USOS E ETENSÕES DO MODELO DE REGRESSÃO MÚLTIPLA 3. COEFICIENTES PADRONIZADOS Os coecees do MGD lear ão podem ser comparados ere s Suas magudes depedem da escala de medda das varáves eplcavas Solução: modelo com as varáves padrozadas, so é: S * S Relação ere coecees orgas e padrozados: * S e S * =,...,. S Coecees padrozados são a-dmesoas, so é, ão possuem uma udade parcular de medda A comparação ere coecees padrozados é possível porque agora odas as varáves apreseam a mesma méda e varâca 3. ELASTICIDADES Muo usada em mcroecooma, a elascdade mede a varação relava a varável depedee dada uma varação relava uma varável depedee com as demas cosaes E E E E No modelo lear, a elascdade esmada é oda como: E Elascdades o poo médo: E No caso do modelo log-log odas as varáves são meddas em logarmos, a elascdade é cosae para odo =,...,.
3.3 MODELOS NÃO-LINEARES Modelo Lear: Modelo Não-Lear: qualquer modelo que ão é lear. F,,, Modelos ão-leares rsecamee leares MNLIL: o São leares os parâmeros ou o Podem ser rasormados em leares os parâmeros Modelos ão-leares rsecamee ão-leares MNLINL: o ão podem ser rasormados em leares os parâmeros. Modelos rsecamee leares Modelo polomal: 3 * Modelo mulplcavo: Modelo log-log: l l l o Noe-se que o modelo log-log derva do modelo mulplcavo, porque: l * l Modelo epoecal: Modelo log-l: Modelo recíproco: ep l o Que pode ser rasormado em: Modelo l-log: Modelo eravo: l 3 l l 3 4 3
3.4 TESTE F PARA SIGNIFICÂNCIA DE BLOCOS DE VARIÁVEIS Cosdere o MGD: 3 3 4 4 5 5 Tese de Hpóese: o H : 4 5 4 e 5 ão são sgcavas o H : 4 e/ou 5 4 e/ou 5 é/são sgcavas Deções: o Modelo rresro IR: o Modelo resror: 3 3 4 4 5 5 3 3 o SQT = Soma dos Quadrados Toas = y y o SQE = Soma dos Quadrados Eplcados: o SQR = Soma dos Quadrados dos Resíduos: y y Esaísca de Tese: SQE SQE / IR R IR R F ~ F IR R, SQRIR IR IR Regra de decsão pelo valor de prova: o Dado uma escolha de : Se P F IR R, IR F Não reeo H Se P F, F Reeo H IR R IR
Eemplo: Modelo cosumo vs reda e edêca quadráca MGD: C 3 4 H : ermo de edêca ão é sgcavo 3 4 H : 3 e/ou ermo de edêca é sgcavo 4 Implemeação do ese com = 5% Usado-se = 5 oservações auas, esmou-se: Modelo rresro: C,,77,,3 o SQE 65.965, IR o SQR 77, 7 IR o IR 4 Modelo resro: F 6,56 6,35 C,3,77 7,3 o SQE 65.898, 4 R o R 65965, 65898,4 /4 77,7 5 4 7,49 4,765 P F, 4,765,33 Reeamos H a 5% de sgcâca,59,43
Caso Geral do Tese F para loco de varáves MGD: Dvda o couo {,..., } em grupos, sedo um deles ormado por q < varáves a serem esadas Agrupe as varáves a serem esadas o al do MGD, reescrevedo-o como segue: q q, q q, H : q q,, são ão-sgcavas H : pelo meos um s pelo meos uma s, s = q +,...,, é sgcava Escolha um valor para Esme os modelos rresro e resro Compue: SQEIR SQER / IR R F SQR IR IR Aplque a regra de decsão: o Se P F IR R, IR F Não reeo H o Se P F, F Reeo H IR R IR Noa: moderos sowares ecoomércos, como o Evews, mplemeam auomacamee esse procedmeo, sedo ecessáro ormar apeas o grupo de q varáves a serem esadas em loco
3.5 VARIÁVEIS DUMM Varáves qualavas: que releem esado, suação, classe, ec., ou sea, eveos qualavos que ão podem ser meddos umercamee Varável dummy: varável ára assume valor ou usada para represear, um modelo quaavo/maemáco como o MGD, as luêcas de eveos qualavos Varáves dummy podem ser usadas o papel de depedee ou depedee um modelo ecoomérco. Veremos por ora só o caso de varáves dummy depedees Regressão com uma varável dummy MGD: D é uma varável quaava D é uma varável dummy qualava que assume só valores ou Eemplo: Esudo amercao em escola secudára = proessores pesqusados = reda do ésmo proessor D = seo do ésmo proessor homem mulher Ierpreação do MGD: E D é o saláro médo/esperado de uma proessora E Modelo empírco: D é o saláro médo/esperado de um proessor,,5 D 3.5 D,,7 D,,5,7 Hpóese de eresse: H : ão há dscrmação seual
Regressão com duas varáves dummy MGD: DS 3 D R Eemplo: Esudo amercao em escola secudára couação = proessores pesqusados = reda do ésmo proessor D S = seo do ésmo proessor homem mulher D R = raça do ésmo proessor racoa egroa Seo\Raça Braco B Negro N Homem H D S = D R = D S =, D R = MulherM D S =, D R = D S = D R = Ierpreação do MGD: o E DS DR o E DS, DR o E DS, DR 3 o E DS DR 3 Modelo empírco: 9, 3,74 : sal. médo/esperado da M.N.,3D 3,4 o D D 9, S R S : sal. médo/esperado do H.N. : sal. médo/esperado de uma M.B. : sal. médo/esperado do H.B.,74D, o D, D 9,,3, 3 S R o D, D 9,,74 9, 94 S R o D D 9,,3,74, 97 S R R Noa: a rgor, ão se somara o coecee esmado 3, 74 porque ele se ão mosrou deree de zero a 5% de sgcâca. Apeas para s lusravos é que o cluímos Hpóeses de eresse: o H : ão há dscrmação seual o H : 3 ão há dscrmação racal o H : 3 ão há dscrmação de qualquer po
Regressão com varável dummy e varável quaava MGD: D 3 Eemplo: Esudo amercao em escola secudára couação = proessores pesqusados = reda do ésmo proessor D = seo do ésmo proessor homem mulher = úmero de aos de servço do -ésmo proessor. Ierpreação do MGD: o o E D, 3 : saláro médo/esperado da proessora como ução do úmero de aos de servço. E D, 3 : saláro médo/esperado do proessor como ução do úmero de aos de servço Modelo empírco: o o 9,5 3,9, D,77 D, 9,5, 53 D,,67, 53,53 3,5 Hpóese de eresse: o H : ão há dereça, ere homes e mulheres, a relação ere saláro recedo e aos de servço
Varáves dummy sazoas MGD: s s D D D a,,..., ouro s D s = comprmeo do período sazoal: s = semesral s = 6 mesral s = 3 quadrmesral s = mesal s = 4 rmesral = aor sazoal do ésmo mês, mesre, ec. =,...,s usa se só s- dummes p/evar coleardade perea c/a cosae Normalzação dos aores sazoas MGD: s s s D D D a Verca se que ese modelo pode ser re escro como: MGD: s s D D D a *, * * o Ode:,..., ouro * s s D Eemplo: Sazoaldade rmesral s=4 MGD:, ] [ D. MGD: D a 3 MGD: D a 3 * 3 D D D D * 3 * * D D D D
4. VIOLAÇÃO DE HIPÓTESES BÁSICAS 4. AUTOCORRELAÇÃO SERIAL DOS ERROS Volação da hpóese 5 E, Cor, Cov,, Caso Geral MGD: Cor u, u u para algum Caso de Séres de Tempo MGD: Cor u, u E u, u u =,,... Cor u, u é chamada auocorrelação seral de -ésma ordem Auocorrelação Seral de ª. Ordem ACS MGD: Cor u, u u Razões para haver ACS o Iérca ípca das varáves ecoômcas o Varáves eplcavas ecluídas do MGD cosderado: MGD: 3 3 MGD cosderado: o Forma ucoal correa: MGD: MGD cosderado: o Deasages ecluídas: MGD: 3 3, 4 MGD cosderado: u u u
Coseqüêcas da ACS: Propredades do EMQO: o coua ão evesado para o EMQO ão é mas o MELNE para, logo é ecee Varâca resdual evesada: o u S em geral suesma o Elemeos de dag S cam, em geral, suesmados o R e R cam, em geral, superesmados o Esaíscas S =,..., cam, em geral, superesmadas o Esaísca F ca superesmada o Créros de ormação AIC e SC cam em geral suesmados Marz de var-covar dos parâmeros: o Com ACS: Var C,,, o Cor u, u o Compuadores pcamee reporam resulados calculados com ase a ausêca de ACS, so é: S S Vercado a preseça/ausêca de ACS Gracamee: Termo de Erro com ACS Termo de erro Sem ACS.8.4.6.4. -. -.4 -.6 -.8 4 7 3 6 9 5 8 3 34 37 4 43 46 49.3.. -. -. -.3 4 7 3 6 9 5 8 3 34 37 4 43 46 49 - -.4
Tese de Dur-Waso o Assuma que: o MGD: o Ode u u Cor u E, Var u é chamado processo AR e Cor u, u o H : H : u o Esaísca DW: DW o Ode u u u o Noe-se que: u u u DW DW DW DW 4 DW 4 o Regra de decsão Se Decdr DW Reear H há ACS + d L d L DW d U Não decdr du DW 4 d U Não Reear H 4 d DW 4 Não decdr U d L 4 d L DW 4 Reear H há ACS o Ode [d L,d U ] =,,
Eemplo: Cosumo Aual Brasl 96 4 Depede Varale: CO Mehod: Leas Squares Dae: 6/4/5 Tme: : Sample: 96 4 Icluded oservaos: 45 Varale Coece Sd. Error -Sasc Pro. C 3374 995664..357.34.83693.339 6.79. GR -.78933.6747 -.69886. I -.73769.9547-6.797. NE -.764959.5569-7.467. R-squared.994985 Mea depede var 8.9E+8 Adused R-squared.994483 S.D. depede var 3.8E+8 S.E. o regresso 439 Aae o crero 36.9678 Sum squared resd.38e+6 Schwarz crero 37.65 Log lelhood -86.64 F-sasc 983.966 Dur-Waso sa.39563 ProF-sasc. o Cosderado = 45, = 4 e =,5, dl=,34 du=,7 Tese de Lug Bo amém para ACS de ordes maores o H : m H : pelo meos um =,...,m o Esaísca de Lug Bo: Q LB m a ~ m Eemplo: Cosumo Aual Brasl 96 4 Dae: 6/6/6 Tme: :58 Sample: 97 4 Icluded oservaos: 35 Auocorrelao Paral Correlao J AC PAC Q-Sa LB Pro. ******. ******.75.75.7.. ****...55 -. 3.8.. ***. *. 3.345 -.7 35.634.. **... 4.9 -.34 37.45.. *.. *. 5.6.87 38.56.
Esmador de Mímos Quadrados Geeralzados EMQG MGD: u Cor u E, Var Equação de dereças geeralzadas EDG: * * * * * o Ode,, * e u u Eão, esma se a EDG por MQO, oedo se * *,,, o * * o Prmera oservação: *, u Represeação marcal MGD: Noe que Var u E uu u,, porque há ACS o Ode 3 3 3 Agora, sea a segue marz: H o Pré mulplcado o MGD por essa marz: H H Hu o Sea Hu. Eão, mmzado se u H Hu, ém se o EMQG: ~ o Noe se que H H o ~ é ecee, cossee e ormalmee dsruído assócamee
Esmação de Méodo de Cochrae Orcu ou CORC:. Esma se o MGD por MQO e oém se u. Esma se: u u,, v, * * * * 3. Usa se para esmar EDG: 4. Compua se: u, 5. Repee se passos, 3 e 4 eravamee aé que: ode dca eração Eemplo: Cosumo Aual Brasl 96 4 Depede Varale: CO Sample adused: 97 4 Icluded oservaos: 34 aer adusmes Covergece acheved aer eraos Varale Coece Sd. Error -Sasc Pro. C.E+8 546485.57963.39.769876.4394 7.5743. GR -.679646.6333 -.9354. I -.88333.74674 -.96. NE -.93487.8799 -.5976. AR.8659.75.36746. R-squared.99757 Mea depede var 7.49E+8 Adused R-squared.99738 S.D. depede var.75e+8 S.E. o regresso 93686. Aae o crero 35.3 Sum squared resd.46e+5 Schwarz crero 35.3767 Log lelhood -59.739 F-sasc 3.68 Dur-Waso sa.569 ProF-sasc. Dae: 6/7/6 Tme: 5: Sample: 97 4 Esaísca Q de Lug Bo Auocorrelao Paral Correlao J AC PAC Q-Sa Pro. *.. *. -.94 -.94.339. *.. *..87.79.69.43. *.. *. 3 -. -.97.987.577.... 4 -.6 -.4.97.775. *.. *. 5..7.64.8
4. HETEROCEDASTICIDADE Volação da hpóese 5 Var, ou Var E I Caso Geral MGD: Var u u Caso de Séres de Tempo MGD: Var u u Eemplo Gráco: Caso de varável eplcava Aualmee, heerocedascdade ocorre em dados emporas e de seção cruzada cross seco
Cosequêcas da Heerocedascdade Propredades do EMQO: o coua ão evesado para o EMQO ão é mas o MELNE para, logo é ecee Varâca resdual evesada: o S u é um esmador evesado de sgma o Elemeos de dag S cam evesados o R e R cam evesados o Esaíscas S =,..., cam evesadas o Esaísca F ca evesada o Créros de ormação AIC e SC cam evesados Marz de var-covar dos parâmeros: o So heerocedascdade: Var Μ, ode Μ o Compuadores pcamee reporam resulados calculados com ase a ausêca de heerocedascdade, so é: S S Mímos Quadrados Poderados MQP É um caso parcular do EMQG MGD: Var u Supodo cohecda, rasorma se o MGD segudo: o Iso é: * W * o No ovo modelo, o ermo * u u é homocedásco u Prova: Var Var Var u Esma se o modelo rasormado por EMQO. u
Represeação Marcal do EMQP MGD: u, Noe que Var u E uu, ode : 3 Agora, sea a segue marz: H o Pré mulplcado o MGD por essa marz: H H Hu o Sea Hu. Eão, mmzado se u H Hu, ém se o EMQP: ~ o Noe se que H H o ~ é ecee, cossee e ormalmee dsruído assócamee Quado é descohecda Assume se que é uma ução das varáves do modelo: Var u cz cz,,, Ode c é uma cosae ão ula.
Trasorma se o MGD coorme: Z Z É ácl vercar que: Var u Z Z Var u Z Logo, o MGD rasormado o ermo de erro é homocedásco. Eemplos de uções Z que podem ser usadas: o Z o Z o Z o Z c c c cz Z Z c u Z Eemplo: Cosumo Aual Brasl 97 4 Mímos Quadrados Poderados: Assumdo que Varu =c. Depede Varale: CO/SQR Mehod: Leas Squares Dae: 6//6 Tme: 5: Sample adused: 97 4 Icluded oservaos: 35 aer adusmes Varale Coece Sd. Error -Sasc Pro. /SQR 4489845 5645 3.6745.9 SQR.79493.3469 4.4896. GR/SQR -.664485.76533-8.6836. I/SQR -.69385.536-5.986888. NE/SQR -.7555.65-6.374556. R-squared.9566 Mea depede var 45. Adused R-squared.9584 S.D. depede var 459.8 S.E. o regresso 545.4779 Aae o crero 5.5777 Sum squared resd 896386. Schwarz crero 5.79496 Log lelhood -67.534 Dur-Waso sa.3363
Vercado a Preseça de Heerocedascdade Gracamee Ploar Ploar Ploar, 3,...,, 3 ou,...,. Tese de Whe H : ão há heerocedascdade Esaísca de ese: a ~ q R, ode q [ ] o O cômpuo dessa esaísca de ese evolve regredr os quadrados dos resíduos de um MGD esmado por MQO cora um couo V de varáves ormado por: Regra de Decsão Todas as varáves eplcavas ão redudaes Os quadrados dessas varáves Os produos cruzados ere s dessas varáves o Se P q R Não Reee H o Se P q R Reee H.
Ilusração do ese de Whe: o MGD: 3 3 o Esme por MQO e compue: o Esme por MQO a regressão: 3 3 a a a3 3 c c3 3 c4 3 w o Compue R w w para essa regressão o Compue a esaísca de ese R o Escolha e aplque a regra de decsão. Eemplo: Cosumo Aual Brasl 96 4 Depede Varale: CO Mehod: Leas Squares Dae: 6/4/5 Tme: : Sample: 96 4 Icluded oservaos: 45 Varale Coece Sd. Error -Sasc Pro. C 3374 995664..357.34.83693.339 6.79. GR -.78933.6747 -.69886. I -.73769.9547-6.797. NE -.764959.5569-7.467. R-squared.994985 Mea depede var 8.9E+8 Adused R-squared.994483 S.D. depede var 3.8E+8 S.E. o regresso 439 Aae o crero 36.9678 Sum squared resd.38e+6 Schwarz crero 37.65 Log lelhood -86.64 F-sasc 983.966 Dur-Waso sa.39563 ProF-sasc.
Eemplo: Cosumo Aual Brasl 96 4 Couação Tese de Heerocedascdade de Whe Whe Heerosedascy Tes: F-sasc 6.44 Pro. F4,. Os*R-squared 3.974 Pro. Ch-Square4.3755 Tes Equao: Depede Varale: RESID^ Mehod: Leas Squares Dae: 6//6 Tme: 4:57 Sample adused: 97 4 Icluded oservaos: 35 aer adusmes Varale Coece Sd. Error -Sasc Pro. C 3.E+5.3E+5 3.8874.54-58647 938834. -.76887.8 ^.564.955.63699.58 *GR -.3383.38 -.7493.36 *I -.88866.479 -.85595.784 *NE.675.43.6759. GR 7358 5975.858688.97 GR^.34.4898.7444.5 GR*I.9859.89595.397.84 GR*NE -.666.355 -.438473.658 I 6867486 356479.95858.643 I^.4334.6788.638594.533 I*NE.9893.47.77789.4457 NE -8986669 96399-4.89565.6 NE^ -.383.375 -.3339.975 R-squared.9996 Mea depede var 4.78E+4 Adused R-squared.863875 S.D. depede var 9.9E+4 S.E. o regresso 3.66E+4 Aae o crero 7.6 Sum squared resd.67e+3 Schwarz crero 7.8679 Log lelhood -3.5 F-sasc 6.44 Dur-Waso sa.935 ProF-sasc.
4.3 VARIÁVEIS INDEPENDENTES ESTOCÁSTICAS Esudaremos ese assuo com ase a regressão smples: MGD: a Volação da hpóese, so é: Suações em que é uma V.A.: é esocásca é uma V.A. o Erro de medda as varáves depedees o Varáves depedees amém depedem da depedee o Varável depedee deasada ere as depedees Nesses casos, é possível que Cov,, e, se sso ocorre, EMQO é evesado e cossee: Prova o Sea a segue orma em desvos do MGD: y e ode y, e e. Nese caso, o EMQO para é dado por: y e e o Compuado o E, em amos os lados: E E o Nada garae que E porque E [ e ] E[ e ] E[ ]. No eao, aplcado o operador plm, em amos os lados: e p lm p lm p lm e p lm p lm e, o Fca claro que udo depede de Cov,, : Se,, eão é cossee para emora ão se possa deermar se é evesado ou ão Se,, so sgca que é cossee para e, em decorrêca, amém evesado para
Mímos Quadrados de Varáves Isrumeas MQVI Sea esocásca e Cov,,e. Como esmar á que MQO é cossee ese caso? Deção de srumeo: Sea Z uma V.A. al que: o p lm z,z o p lm ze Z, o ode e z Z Z. z y Eão, o esmador MQVI dado por: ~ é cossee para z Prova o Novamee, sea o MGD em orma de desvo: Eão, o EMQVI pode ser desevolvdo como: o ~ z y z z z z z e z e z e z z z o Aplcado plm, a amos os lados: p lm o p lm ~ p lm p lm Caso Geral MGD: z e z z e Z,, Z y e.,..., são odas esocáscas Cada =,..., é correlacoada com o ermo de erro Aplcar o MQVI ese caso evolve usar um srumeo para cada varável depedee Z,..., Z. E usar o esmador geral de MQVI: ~ Z Z Ode Z é a mar de srumeos para a marz
5. INTRODUÇÃO A SISTEMAS DE EQUAÇÕES SIMULTÂNEAS Trgve Haavelmo 9-999 Ecoomsa Norueguês Premo Noel de Ecooma de 989 Aordagem proalísca em ecoomera Ssemas de equações smulâeas Oevo: roduzr mas varáves depedees o MGD Termologa: o o o o MGD: varáves edógeas varáves eógeas coecees das edógeas coecees das eógeas o Varáves pré deermadas: Eógeas Edógeas deasadas E Méda: E Modelo Amosral: Predor lear: Forma Esruural Forma Reduzda
Forma Esruural: edógeas como ução de edógeas e pré deermadas MGDFE: Forma Reduzda: edógeas como ução de pré deermadas MGDFR: w w
Relação ere parâmeros da FE e da FR w w Prolema da Idecação Deção: Em um SES uma equação esá decada quado é possível oer se esmavas umércas dos parâmeros esruuras a parr de esmavas dos parâmeros da orma reduzda Saus de decação: o Equação ão decada: ão é possível o Equação decada eaamee: oém se uma úca esmava dos parâmeros esruuras o Equação sore decada: oém se mas de uma esmava dos parâmeros esruuras Ssema Idecado: quado odas as equações do SES esão decadas eaamee ou soredecadas Codção de Ordem ecessára para decação Regra: Em um SES com M equações smulâeas, uma equação esará decada se o úmero de varáves pré deermadas ecluídas da equação K or maor ou gual ao úmero de edógeas cluídas a equação m meos um K m Eemplo: MGD: 3 3 3 Equação M = 3 K = Saus m = = K = = m = : decada eaamee m = = K = < m = : ão decada 3 m = = K = > m = : sore decada 3 3
Codção de Poso sucee para decação Regra: Em um SES com M equações em M varáves edógeas, uma equação é decada se e somee se o mímo um deermae ão ulo de ordem M M puder ser cosruído a parr dos coecees das varáves edógeas e pré deermadas ecluídas daquela equação parcular mas cluídas em ouras equações do modelo Ilusração 3 4 3 4 3 4 4 3 3 3 3 3 3 43 3 3 4 Pela codção de ordem verca se que: Equação M = 4 K = 3 Saus m = 3 = K = = m = : decada eaamee m = = K = = m = : decada eaamee 3 m = = K = = m = : decada eaamee 4 m = 3 = K = = m = : decada eaamee Taela de Coecees do Ssema Eq. 3 4 3 3 3 3 3 3 3 3 4 4 4 4 43
Pela codção de Poso: o Equação : o Equação : o Equação 3: o Equação 4: A 3 DeA =, logo eq. ão esá decada A 3 4 DeA =, logo eq. ão esá decada A 4 DeA =, logo eq. 3 ão esá decada A 3 3 43 43 43 3 3 o DeA, logo eq. 4 esá decada Procedmeos para aplcar a codção de poso Passo : re escrever o SES com odas as varáves e parâmeros do lado esquerdo e só os erros aleaóros do lado dreo Passo : moar a aela de coecees do ssema Passo 3: cosrur para cada equação a marz A respecva a parr dos coecees ulos da lha correspodee à equação em aálse Regra Geral de Idecação K > m Poso de A = M Eq. Sore decada K = m Poso de A = M Eq. Eaam. decada K m Poso de A < M Eq. Su decada K < m Eq. Não decada Poso de A < M
Prolema da smulaedade MGD: Smulaedade: quado há causaldade drecoal ere edógeas Prolema: correlação da edógea do lado dreo com o ermo de erro No MGD acma:, Cor e Cor,, logo: o EMQO é cossee para esmar parâmeros das duas equações Quado ão há smulaedade, é possível usar EMQO, desde que as hpóeses áscas do SES seam saseas Esmação de SES MGD: M M M g g g g M, M M, M M M Hpóeses Báscas: o Relação lear ere as varáves o s são ão esocáscas, =,..., o E, Var,, r o, r s r r Cov para r =,...,M e r r Cov para r s r =,...,M s =,...,M o r ~ N, r r ~ N E r, r, r =,...,M.
Aes da esmação, vercar: o Idecação o Smulaedade Méodos de Iormação Lmada: cosdera resrções relacoadas apeas à equação de eresse o EMQO o Esmador de Mímos Quadrados Idreos EMQI o Esmador de Mímos Quadrados de Eságos EMQE Méodos de Iormação Complea: cosdera resrções ere equações o Esmador de Mímos Quadrados de 3 Eságos EMQ3E o Esmador de Máma Verossmlhaça com Iormação Complea EMVIC Tpologa de SES: o Equações ão relacoadas Cov, o Equações apareemee ão relacoadas SURE Cov, Noa: ese caso, esma se por algum méodo ssêmco, o mas usual sedo o MQ3E o Ssemas Recursvos Cov, Noa: oserve que E susudo a ª. equação mplca que Cov,
o Ssemas Bloco Recursvos 3 3 3 3 Cov, Cov, 3 Cov, 3 o Ssemas Smulâeos: 3 Noa: esma se por MQI ou MQE 3 3 Mímos Quadrados de Eságos Caso parcular do EMQVI Serve para esmar equações eaamee ou sore decadas Sea o segue: MGD: É ácl vercar pelas codções de ordem e de poso que: o ª. equação ão esá decada o ª. equação esá sore decada o Logo, só é possível esmar a ª. equação É ácl vercar amém que devdo à causaldade drecoal smulaedade ere e, ocorre: Cov,
Esmação da ª. equação por MQE: o º. Eságo: cosrução de srumeo para reduzda Forma Reduzda FR: Esma se por MQO a ª. equação da FR: va orma w w o º. Eságo: usa se o lugar de equação da FE por MQVI w * w para esmar a ª. o Esma se usado as órmulas de MQVI: y y y y Noa: é possível mosrar que a ormula acma para é equvalee ao esmador de MQO ver PR pg. 4 Oserve se que é de ao um srumeo para : y y o p lm * y * o p lm Cov E, Logo, EMQE é um esmador cossee para os parâmeros esruuras de equações eaamee ou sore decadas.
Eemplo: Cosumo Aual Brasl 97 4 Esmação por EMQE Opção TSLS do Evews em Quc\Esmae Equao Depede Varale: CO Mehod: Two-Sage Leas Squares Dae: 6//6 Tme: :5 Sample adused: 97 4 Icluded oservaos: 35 aer adusmes Isrume ls: GR NE Varale Coece Sd. Error -Sasc Pro. C.83E+8 88883 6.46999..47996.336.666. R-squared.95499 Mea depede var 7.36E+8 Adused R-squared.9594 S.D. depede var.87e+8 S.E. o regresso 464 Sum squared resd 5.44E+6 Dur-Waso sa.449 Secod-sage SSR 5.E+7 Esmação da Forma Reduzda o º. Eságo Depede Varale: Mehod: Leas Squares Dae: 6//6 Tme: :8 Sample adused: 97 4 Icluded oservaos: 35 aer adusmes Varale Coece Sd. Error -Sasc Pro. C 8.49E+8 583 6.5775. GR 3.3783.4499 7.499. NE.67787.838.545469.3 R-squared.69653 Mea depede var.7e+9 Adused R-squared.677556 S.D. depede var 3.57E+8 S.E. o regresso.3e+8 Aae o crero 4.75 Sum squared resd.3e+8 Schwarz crero 4.385 Log lelhood -77.566 F-sasc 36.77 Dur-Waso sa.59345 ProF-sasc.