ECONOMETRIA CLÁSSICA

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1 Méodos Quaavos II Mesrado em Ecooma Aplcada Faculdade de Ecooma e Admsração Pro. Rogéro Slva de Maos ECONOMETRIA CLÁSSICA Noas de Aula Mao 6

2 . INTRODUÇÃO. OBJETIVOS Modelos ecoomércos Mesuração Vercação de eoras Prevsão. VISÕES DA ECONOMETRIA Escola Clássca Escola Iglesa. VISÃO ESTATÍSTICA Modelo Populacoal Modelo Gerador dos Dados MGD Modelo Proalísco Modelo Gerador dos Dados MGD

3 . MODELO DE REGRESSÃO MÚLTIPLA. MODELO LINEAR GAUSSIANO versão ásca MGD: varável depedee; varáves depedees ou eplcavas; E ou coecee de sesldade de em relação à ; E é a méda de e represea um hperplao que cora o espaço eucldao R ; Hpóeses Báscas. é uma ução lear de ;. são varáves ão-esocáscas;. Cada ão é uma ução lear das demas s s ; ; 4. E ; 5. Var e E ; ; ; 6. ~ N ~ N E. s Oservações Modelo lear vem da área de plaeameo de epermeos daí a hpóese que dz que cada ão é varável aleaóra; Hpóese mplca que cada ão é comação lear das demas varáves eplcavas; Hpóeses 4 5 e 6 dzem respeo ao ermo de erro aleaóro que apresea as segues caraceríscas: méda ula hp. 4; homocedásco pos possu varâca cosae hp. 5; ão auocorrelacoado com os demas hp. 5; dsrução ormal hp. 6 logo amém é ormal com méda E e varâca ;

4 . REPRESENTAÇÃO MATRICIAL Assumdo oservações para... MGD: ode: E. Hpóeses Báscas Re-escras. Veor é ução lear dos veores coluas da marz ;. é uma marz ão-esocásca;. possu poso compleo gual a ; 4. E ode é um veor de elemeos ulos; 5. Var E I ode I é uma marz dedade ; 6. ~ MN I ~ MN I ; Oservações As hpóeses correspodem às aerores para a versão ãomarcal; Hpóese mplca que cada colua de ão é uma comação lear eaa das - coluas resaes; Hpóeses 4-6 dzem respeo ao veor de erros aleaóros ; Hpóese 6 dz que veor segue uma dsrução ormal mulvarada com veor de médas e marz de varâcacovarâca I ; Hpóese 6 amém dz que veor segue uma dsrução ormal mulvarada com veor de médas e marz de varâca-covarâca I ; 4

5 5. ESTIMADOR DE MÍNIMOS QUADRADOS ORDINÁRIOS Coceos Modelo Amosral: Predor Lear: Resíduo: Represeação Marcal Modelo Amosral: Predor Lear: Resíduo: ode: Prolema: A parr de oservações amosras achar esmadores de oa qualdade para ; Solução: Mmzar a soma dos quadrados dos resíduos para ou sea mmzar para. Assm ecora-se o esmador de mímos quadrados ordáros EMQO:

6 Prova Como se em de mmzar uma ução de usa-se as regras de deermação de valores mímos de uções derecáves de váras varáves. Ou sea acha-se as dervadas parcas da ução guala-se esas a zero e resolve-se o ssema resulae. Os passos são os segues:.. Codção de ª. Ordem:. EMQO para. 4. Codção de ª. Ordem: deda posva* * Como em poso segue que a marz quadrada de ordem amém apresea poso e logo é ão sgular. Sedo ão sgular possu versa. Além dsso é deda posva z z z ; vea-se por eemplo JD 988: p Logo é poo de mímo asoluo para. Eemplo: Vedas rmesras de auomóves os EUA 959.I-988.I. ode: MGD: S P R 4 CPI S = cosumo pessoal de auomóves ovos em US$ lhões; P = reda pessoal em US$ lhões; R = aa de uros rmesral de íulo do Tesouro Amercao; CPI = ídce de preços ao cosumdor para ovos carros 98= Modelo Empírco: S 57 9 P 586 R 654CPI 6

7 .4 MÉDIA E VARIÂNCIA DOS EMQO Resulado R: Prova:. Do que segue que. Méda E E E Vés ; E. Varâca R: Var Prova Var E[ ] E I 7

8 .5 PROPRIEDADES DOS EMQO Ecêca Ecêca Resra: dadas as hpóeses -5 o EMQO é o mas ecee ão evesado e com varâca míma dero da classe dos esmadores leares de ; ou sea o EMQO é o Melhor Esmador Lear Não Evesado MELNE de. Noa: Um esmador lear é aquele que pode ser escro como uma marz. Prova Teorema de Gauss Marov: ~ M ode M é A prova só usa hpóeses -5. Seam A e C marzes amas de ordem. Por R A e por R Var A A. ~ Sea amém AC um esmador lear aleravo de. ~ Eão pode-se escrever AC AC AC. Para ~ ser ão evesado ele em de sasazer: E ~ AC C I C. ~ Logo é precso que C. Supodo C eão AC ~ ~ de modo que Var ~ E[ ] pode ser desevolvda como: Mas ~ Var E[ AC AC'] AC E AC AC AC AC AC AA CA AC CC C CC Pos C ' C '. Eão: C CC Var ~ [ CC ] Var CC Noa: Resulados de álgera marcal garaem que C é semdeda posva. Será ~ C C somee quado C =. Mas ese caso ; logo ão pode haver ouro esmador lear deree do EMQO que sea mas ecee ão-evesado e com varâca míma. 8

9 Ecêca Irresra: Quado vale amém a hpóese 6 erros ormalmee dsruídos o EMQO é o mas ecee dere odos os esmadores leares e ão-leares. A prova evolve mosrar que o caso de ormaldade dos erros o EMQO é equvalee ao Esmador de Máma Verossmlhaça EMV. Cossêca EMQO é cossee para ou sea plm ; Prova: Dadas as hpóeses -5 e R segue que: plm plm plm[ plm ' plm ] plm Dado que é ão esocásca hp. e em poso hp. segue que: plm lm Q marz posva deda * plm E E Logo: plm Q * Noa: Ver Thel H. 97 Prcples o ecoomercs. New or: Wley. Pp Normaldade Assóca Propredade MUITO IMPORTANTE! Quado / N ; Ou sea em amosras grades podemos apromar a dsrução de como uma ormal so é: para grade ~ N ; Logo se a amosra é grade ão precsamos da hpóese 6. Qualquer que sea a dsrução de podemos aplcar a eora da ormal para o EMQO e os procedmeos de eses de hpóese; 9

10 .6 QUALIDADE DO AJUSTAMENTO Como avalar se o modelo esá aderdo em aos dados ou ão? Esaíscas descrvas: R R Créro de Iormação de Aae AIC e Créro de Schwarz SC R Mede o grau de ausameo do modelo aos dados; = + Desvo Toal Desvo Nãoeplcado Desvo Eplcado Elevado ao quadrado e agregado para odas as oservações: = + Varação Toal Varação Nãoeplcada Varação Eplcada Marcalmee: yy y y ode: y y Grau de ausameo R y y yy ou R yy Propredades R [ ]; Bom ausameo R ; Fraco ausameo R ; R ede a aumear sempre com ovas varáves eplcavas; R uca dmu com ovas varáves eplcavas

11 R ou R - ausado Corrge lmação do grau de ausameo R Propredades R yy R R se = ; R R se > ; R pode dmur se cluo varáves pouco eplcavas; R pode ser egavo; Créro de Iormação de Aae AIC Propredades AIC log AIC ; Quao meor AIC melhor o ausameo; AIC pealza em mas que o R a preseça de varáves rrelevaes; AIC valorza mas a parcmôa. Créro de Schwarz SC Propredades log SC log SC ; Quao meor SC melhor o ausameo; SC pealza em mas que o R a preseça de varáves rrelevaes; SC amém valorza mas a parcmôa do que o AIC pealzado mas ada o úmero de parâmeros/varáves o modelo.

12 .7 VARIÂNCIA RESIDUAL DA REGRESSÃO Var amém é um parâmero descohecdo do MGD; Camho aural de esmá-lo sera: Prolema: é um esmador evesado de ; Solução: usa-se um correor de vés que reduda em: S S é a chamada varâca resdual e será usada em város coeos por eemplo o R - ausado pode ser escro como: R S S ode: S S amém é usada para se esmar a marz de varâca-covarâca dos EMQO: S S

13 Eemplo: Cosumo Aual Brasl 96-4 MGD: CO GR 4 I 5 NE Saída Compacada do Evews Depede Varale: CO Mehod: Leas Squares Dae: 6/4/5 Tme: : Sample: 96 4 Icluded oservaos: 45 Varale Coece Sd. Error Cosae GR I NE R-squared Mea depede var 8.9E+8 Adused R-squared S.D. depede var.8e+8 S.E. o regresso 49 Aae o crero Sum squared resd.8e+6 Schwarz crero 7.65 Noa: Dados auas reerees ao Brasl; CO = cosumo das amílas; = reda dspoível das amílas; GR = gasos do govero; I = vesmeo dreo; NE = Eporações líqudas Oservações A colua correspodee a Sd. Error reere-se a: s dag S O modelo empírco é dado por: CO GR78I 765 NE

14 .8 RESULTADOS IMPORTANTES Supodo que valem odas as hpóeses clusve a 6 de ormaldade dos erros : R. / ~ ; R4. S / ~ ; R5. ~ N V ode V é o -ésmo elemeo da dagoal prcpal de ; R6. S / e são depedees; R7. De R4-R6 segue que: ~ S V Prova: De R5 segue que / V ~ N. Agora compuado: V S emos uma VA N dvdda pela raíz quadrada de uma VA dvdda por sua vez por amas depedees o que resula uma VA -. Fazedo as smplcações ecessáras oém-se o resulado R7. 4

15 5.9 ESTIMAÇÃO INTERVALAR Oevo: achar ervalos de coaça para ; Em geral usa-se ervalos laeras; Créro: H L P ; L = lme eror H = lme superor = ível de coaça Solução: L s / H s / Prova: Dea V S s. Eão usado R7 podemos escrever: / / s P / / s s P Mulplcado odos os compoees da rpla desgualdade por -: / / s s P e somado aos rês compoees: / / s s P

16 . TESTES DE SIGNIFICÂNCIA DE PARÂMETROS E VARIÁVEIS MGD: Eemplos de hpóeses de eresse: H : = E aravessa a orgem do espaço R ; H : E ão aravessa a orgem do espaço R ; H : = varações em ão eplcam varações em ; H : varações em eplcam varações em ; H : = varações em produzem varações dêcas em ; H : varações em ão produzem vars. dêcas em ; Coceos e deções = ível de sgcâca = PErro Tpo I = PReear H H é V; = PErro Tpo II = PNão Reear H H é F; Poder do ese = - ; Represeação Geral H : = ; H : Caso ípco em ecoomera: = ; Por R7 segue que S ~ ou S ~ caso = ; Procedmeos do ese ípco. Eucado das hpóeses: H : = ; H :. Escolha de = ível de sgcâca;. Cálculo de S 4. Aplcação da regra de decsão pelo valor de prova p-value: Se P T Não reeo H ; Se P T Reeo H ; 6

17 Eemplo: Cosumo Aual Brasl 96-4 MGD: CO GR 4 I 5 NE Saída Compacada do EVews Depede Varale: CO Mehod: Leas Squares Dae: 6/4/5 Tme: : Sample: 96 4 Icluded oservaos: 45 Varale Coece Sd. Error -Sasc Pro. C GR I NE R-squared Mea depede var 8.9E+8 Adused R-squared S.D. depede var.8e+8 S.E. o regresso 49 Aae o crero Sum squared resd.8e+6 Schwarz crero

18 . TESTE F SIGNIFICÂNCIA GERAL DA REGRESSÃO H : ehuma eplca varações em ; H : pelo meos um pelo meos uma eplca varações em ; =...-; Supoha váldas as hpóeses a 6 e cosdere H verdadera: R8. y y * * * * ~ ode * * * é a marz em orma de desvos em relação à méda com a prmera colua reeree à cosae ecluída. Prova: Ver [VA: pp. 59-6]; y y / R9. ~ F / Prova Comado R com R8: y y S y y / S ~ F Esaísca de Tese: y y / VaraçãoEplcada / F / VaraçãoNão Eplcada / Regra de decsão pelo valor de prova: o Dado uma escolha de : Se Se P F F Não reeo H ; P F F Reeo H ; 8

19 9. MULTICOLINEARIDADE Modelo com var. depedee e vars. depedees: É ácl vercar que o EMQO ese caso sera: y y y y Coleardade Perea Coecee de correlação lear ere e : r Se com volação da hpóese : o Os umeradores de e são guas a ; o r Logo com é mpossível compuar os EMQO.

20 Ala mas ão perea coleardade É possível compuar EMQO pos hp. ão é volada; Seam as varâcas esmadas dos EMQO odas como os úlmos elemeos da dagoal prcpal de S S : S S r S S r Sea r mas cosdere que: Logo: r S e S r e Coseqüêcas da Mulcoleardade Esaíscas podem car arcalmee muo aas; Iclusve é possível acoecer R com e coradóro; o que é Soluções Aleravas Rera-se uma das varáves do modelo; Traalha-se com varáves em dereças: o Eemplo: Modelo de eresse: C W Se e W muo correlacoadas usa-se: C C W W

21 .4 ESTIMAÇÃO POR MÁIMA VEROSSIMILHANÇA EMV Pela hpóese 6: ~ E N ; Fução desdade: ep Fução de verossmlhaça: ep L Em orma marcal: ep L Log-verosssmlhaça: l l

22 Mamzado a log-verossmlhaça Codção de ª. Ordem: ~ ~~ ~ ~ 4 ode: ~ ~ ~ ~~ ~ Codção de ª. Ordem: garae que o EVM de e é mámo gloal ver JD: p. 46. Logo o EMV de ~ é o mesmo que o EMQO ; e o EMV de ~ dere do usado aes para S apeas o deomador; Propredades do EMV para pequeas amosras ~ é ão evesado para ; ~ é evesado para ; A varâca de ~ age o lme mímo de Cramer-Rao logo ~ é amém ecee; Propredades do EMV para grades amosras ~ e ~ são cossees; ~ apresea ormaldade assóca; Coclusão So hpóese 6 de ormaldade dos erros EMQO e EMV são equvalees e porao cosuem o melhor esmador de dere os esmadores leares e os ão-leares.

23 .5 PREVISÃO Oevo: acerar um valor de codcoal a valores parculares de ; Prevsão Poual Sea ] eão: [ o Prevsão dero da amosra: [ ] o Prevsão ora da amosra: [ ] o Pelo T. Gauss-Marov: o é o melhor esmador lear de ; o Logo Ŷ é um predor ómo de ; Erro de prevsão: e ; o Noe que: E E E ; o Logo: E e E E E ; o Ou sea Ŷ é um prevsor ão evesado de.

24 4 Varâca do erro de prevsão: e Var ] [ ] [ Var E Var Var Var Var Esmação da Varâca do erro de prevsão: S S Resulados de eresse Seam váldas hps. -6. Cosdere os segues resulados: R. ; ~ N e R. ~ S ; R. e S são depedees; R. S ~ Prova Por R R e R segue que a razão: S S ~ Fazedo-se as smplcações ecessáras emos o resulado R.

25 Prevsão Iervalar Oevo: Achar ervalo de coaça para créro P ; L H de acordo com o R4. Sedo váldas hpóeses 6: L H / / S S Prova Usado R vercamos que: P / / S De ode é medao que após mapulações algércas smples: Iso é: P / S / S P L H Eemplo: Prevsão do Cosumo Aual Brasl 5- Modelo Ecoomérco: CO GR66 I 78 NE ANO CÔ L CÔ CÔ H G I NE Noa: Valores em R$ lhões 5

26 . USOS E ETENSÕES DO MODELO DE REGRESSÃO MÚLTIPLA. COEFICIENTES PADRONIZADOS Os coecees do MGD lear ão podem ser comparados ere s; Suas magudes depedem da escala de medda das varáves eplcavas; Solução: modelo com as varáves padrozadas so é: * * S S S Relação ere coecees orgas e padrozados: S * =... S Coecees padrozados são a-dmesoas so é ão possuem uma udade parcular de medda; A comparação ere coecees padrozados é possível porque agora odas as varáves apreseam a mesma méda e varâca;. ELASTICIDADES Muo usada em mcroecooma a elascdade mede a varação relava a varável depedee dada uma varação relava uma varável depedee com as demas cosaes; E E E E No modelo lear a elascdade esmada é oda como: E Elascdades o poo médo: E No caso do modelo log-log odas as varáves são meddas em logarmos a elascdade é cosae para odo =... 6

27 . MODELOS NÃO-LINEARES Modelo Lear: Modelo Não-Lear: qualquer modelo que ão é lear. F Modelos ão-leares rsecamee leares MNLIL: o São leares os parâmeros ou ; o Podem ser rasormados em leares os parâmeros; Modelos ão-leares rsecamee ão-leares MNLINL: o ão podem ser rasormados em leares os parâmeros. Modelos rsecamee leares Modelo polomal: * Modelo mulplcavo: Modelo log-log: l l l o Noe-se que o modelo log-log derva do modelo mulplcavo porque: l Modelo epoecal: * l ep Modelo log-l: l Modelo recíproco: o Que pode ser rasormado em: Modelo l-log: Modelo eravo: l l l 4 7

28 .4 TESTE F PARA SIGNIFICÂNCIA DE BLOCOS DE VARIÁVEIS Cosdere o MGD: ; Tese de Hpóese: o H : 4 e 5 ão são sgcavas; 4 5 o H : 4 e/ou 4 e/ou 5 é/são sgcavas; 5 Deções: o Modelo rresro IR: o Modelo resror: o SQR = Soma dos Quadrados dos Resíduos: ; Esaísca de Tese: F SQR SQR / R IR IR R ~ F IRR SQR IR IR IR Regra de decsão pelo valor de prova: o Dado uma escolha de : Se Se P F F IR R Não reeo H IR ; P F F Reeo H ; IR R IR 8

29 Eemplo: Modelo cosumo vs reda e edêca quadráca MGD: C 4 H : ; ermo de edêca ão é sgcavo 4 H : e/ou 4 ermo de edêca é sgcavo Implemeação do ese com = 5%; Usado-se = 5 oservações auas esmou-se: Modelo rresro: C 77 o SQR 77 7; IR o 4; IR Modelo resro: o SQR 4 R o R C /4 F P F 4765 Reeamos H a 5% de sgcâca

30 Caso Geral do Tese F para loco de varáves MGD: Dvda o couo {... } em grupos sedo um deles ormado por q < varáves a serem esadas; Agrupe as varáves a serem esadas o al do MGD reescrevedo-o como segue: q q q q H : q q são ão-sgcavas; H : pelo meos um s pelo meos uma s s = q +... é sgcava; Escolha um valor para ; Esme os modelos rresro e resro; Compue: SQR R SQR IR/ IRR F SQR IR IR Aplque a regra de decsão: o Se o Se P F IR R IR F Não reeo H ; P F F Reeo H ; IR R IR Noa: moderos sowares ecoomércos como o Evews mplemeam auomacamee esse procedmeo sedo ecessáro ormar apeas o grupo de q varáves a serem esadas em loco;

31 Caso Geral do Tese F para Resrções Leares MGD: Couos de Hpóeses Leares r R H : R mar q com q de resrções leares r veor q de cosaes cohecdas Eemplos: o ] [ R e r = : H o ] [ R e r = : H o ] [ R e r = : H o ] [ R e r = : : H H o R e r : H o Su locos: sea logo 5 4 R r : 5 4 H Esaísca F Geral R5. F q r R R R r R F ~

32 Prova: Dadas as hpóeses H H6 e usado R5 emos que ~ MN. Pela eora da ormal segue que R R ~ MN R R. Supodo H : R r verdadera eão R r ~ MN R R e A R r R R R r~ q. Por R emos que C / ~. Segue eão que A/ C ~ F q.

33 .5 VARIÁVEIS DUMM Varáves qualavas: que releem esado suação classe ec. ou sea eveos qualavos que ão podem ser meddos umercamee; Varável dummy: varável ára assume valor ou usada para represear um modelo quaavo/maemáco como o MGD as luêcas de eveos qualavos; Varáves dummy podem ser usadas o papel de depedee ou depedee um modelo ecoomérco. Veremos por ora só o caso de varáves dummy depedees; Regressão com uma varável dummy MGD: D é uma varável quaava; D é uma varável dummy qualava que assume só valores ou ; Eemplo: Esudo amercao em escola secudára = proessores pesqusados; = reda do ésmo proessor; D = seo do ésmo proessor homem; mulher; Ierpreação do MGD: E D é o saláro médo/esperado de uma proessora; E D é o saláro médo/esperado de um proessor; Modelo empírco: 5 D.5 7 D ; D 5 7 ; Hpóese de eresse: H : ão há dscrmação seual;

34 Regressão com duas varáves dummy MGD: DS D R Eemplo: Esudo amercao em escola secudára couação = proessores pesqusados; = reda do ésmo proessor; D S = seo do ésmo proessor homem; mulher; D R = raça do ésmo proessor racoa ; egroa; Seo\Raça Braco B Negro N Homem H D S = D R = D S = D R = MulherM D S = D R = D S = D R = Ierpreação do MGD: E D D : sal. médo/esperado da M.N.; o S R o E DS DR o E DS DR o E DS DR Modelo empírco: 9 D 74 4 o D D 9 ; S R S : sal. médo/esperado do H.N.; : sal. médo/esperado de uma M.B.; : sal. médo/esperado do H.B.; 74D o D D 9 ; S R o D D ; S R o D D ; S R R Noa: a rgor ão se somara o coecee esmado 74 porque ele se ão mosrou deree de zero a 5% de sgcâca. Apeas para s lusravos é que o cluímos; Hpóeses de eresse: o H : ão há dscrmação seual; o H : ão há dscrmação racal; o H : ão há dscrmação de qualquer po; 4

35 Regressão com varável dummy e varável quaava MGD: D Eemplo: Esudo amercao em escola secudára couação = proessores pesqusados; = reda do ésmo proessor; D = seo do ésmo proessor homem; mulher; = úmero de aos de servço do -ésmo proessor. Ierpreação do MGD: o o E D : saláro médo/esperado da proessora como ução do úmero de aos de servço.; E D : saláro médo/esperado do proessor como ução do úmero de aos de servço; Modelo empírco: o o 95 D D 95 5 ; D 67 5 ; 5 Hpóese de eresse: o H : ão há dereça ere homes e mulheres a relação ere saláro recedo e aos de servço ; 5

36 6 Varáves dummy sazoas MGD: s s D D D a... ouro s D s = comprmeo do período sazoal: s = semesral s = 6 mesral s = quadrmesral s = mesal s = 4 rmesral = aor sazoal do ésmo mês mesre ec. =...s; usase só s- dummes p/evar coleardade perea c/a cosae; Normalzação dos aores sazoas MGD: s s s D D D a Vercase que ese modelo pode ser reescro como: MGD: s s D D D a * * * o Ode:... ouro * s s D Eemplo: Sazoaldade rmesral s=4; MGD: ] [ D. MGD: D a MGD: D a * D D D D * * * D D D D

37 7 4. VIOLAÇÃO DE HIPÓTESES BÁSICAS 4. AUTOCORRELAÇÃO SERIAL DOS ERROS Volação da hpóese 5 Cov Cor E ; Caso Geral MGD: u u Cor u para algum Caso de Séres de Tempo MGD: u E u u u Cor u =... u u Cor é chamada auocorrelação seral de -ésma ordem; Auocorrelação Seral de ª. Ordem ACS MGD: u u Cor u Razões para haver ACS o Iérca ípca das varáves ecoômcas; o Varáves eplcavas ecluídas do MGD cosderado: MGD: MGD cosderado: u o Forma ucoal correa: MGD: MGD cosderado: u o Deasages ecluídas: MGD: 4 MGD cosderado: u

38 Coseqüêcas da ACS: Propredades do EMQO: o coua ão evesado para ; o EMQO ão é mas o MELNE para logo é ecee; Varâca resdual evesada: o S u em geral suesma ; o Elemeos de dag S cam em geral suesmados; o R e o Esaíscas R cam em geral superesmados; S =... cam em geral superesmadas; o Esaísca F ca superesmada; o Créros de ormação AIC e SC cam em geral suesmados; Marz de var-covar dos parâmeros: o Com ACS: Var C ; o Coru u ; o Compuadores pcamee reporam resulados calculados com ase a ausêca de ACS so é: S S ; Vercado a preseça/ausêca de ACS Gracamee: Termo de Erro com ACS Termo de erro Sem ACS

39 Tese de Dur-Waso o Assuma que: u o MGD: u u Cor ; E Var o Ode u u é chamado processo AR e Coru u ; o H : ; H : ; u u o Esaísca DW: DW u o Ode u u u ; o Noe-se que: DW DW DW DW 4 DW 4 o Regra de decsão Se Decdr DW d L Reear H há ACS + d DW Não decdr d L d U DW4 Não Reear H U d U 4 d DW4 Não decdr U d L 4d L DW 4 Reear H há ACS o Ode [d L d U ] = ; 9

40 Eemplo: Cosumo Aual Brasl 964 Depede Varale: CO Mehod: Leas Squares Dae: 6/4/5 Tme: : Sample: 96 4 Icluded oservaos: 45 Varale Coece Sd. Error -Sasc Pro. C GR I NE R-squared Mea depede var 8.9E+8 Adused R-squared S.D. depede var.8e+8 S.E. o regresso 49 Aae o crero Sum squared resd.8e+6 Schwarz crero 7.65 Log lelhood F-sasc Dur-Waso sa.956 ProF-sasc. o Cosderado = 45 = 4 e = 5 dl=4 du=7 Tese de LugBo amém para ACS de ordes maores o H : ; H : pelo meos um =...m m o Esaísca de Lug Bo: Q LB m a ~ m Eemplo: Cosumo Aual Brasl 964 Dae: 6/6/6 Tme: :58 Sample: 97 4 Icluded oservaos: 5 Auocorrelao Paral Correlao m AC PAC Q-Sa LB Pro. ******. ****** **** ***. * ** *.. *

41 4 Esmador de Mímos Quadrados Geeralzados EMQG MGD: ; Var E Cor u u u Equação de dereças geeralzadas EDG: * * * * o Ode * * e u u ; Eão esmase a EDG por MQO oedose * * ; o * ; o Prmera oservação: * * Represeação marcal MGD: u Noe que E uu u Var porque há ACS; o Ode Deda posva o Algera Marcal marz H ão sgular al que: I H H Ode: H o Prémulplcado o MGD por essa marz: Hu H H ; o Sea Hu. Eão mmzadose u u H H émse: EMQG: ~ o Noese que H H ;

42 Prova: HH I H HH H HH I H H o ~ é ecee cossee e ormalmee dsruído assócamee; Esmação de Méodo de Cochrae Orcu ou CORC:. Esmase o MGD por MQO e oémse u ;. Esmase: u u v ; *. Usase para esmar EDG: * * * ; 4. Compuase: u ; 5. Repeese passos e 4 eravamee aé que: ode dca eração; Eemplo: Cosumo Aual Brasl 964 Depede Varale: CO Sample adused: 97 4 Icluded oservaos: 4 aer adusmes Covergece acheved aer eraos Varale Coece Sd. Error -Sasc Pro. C.E GR I NE AR R-squared Mea depede var 7.49E+8 Adused R-squared.9978 S.D. depede var.75e+8 S.E. o regresso Aae o crero 5. Sum squared resd.46e+5 Schwarz crero Log lelhood F-sasc.68 Dur-Waso sa.569 ProF-sasc. Dae: 6/7/6 Tme: 5: Sample: 97 4 Esaísca Q de LugBo Auocorrelao Paral Correlao J AC PAC Q-Sa Pro. *.. * *.. * *.. * *.. *

43 4. HETEROCEDASTICIDADE Volação da hpóese 5 Var ; ou Var E I; Caso Geral MGD: Varu u Caso de Séres de Tempo MGD: Varu u Eemplo Gráco: Caso de varável eplcava Aualmee heerocedascdade ocorre em dados emporas e de seção cruzada crossseco; 4

44 Cosequêcas da Heerocedascdade Propredades do EMQO: o coua ão evesado para ; o EMQO ão é mas o MELNE para logo é ecee; Varâca resdual evesada: o S u é um esmador evesado de sgma; o Elemeos de dag S cam evesados; o R e o Esaíscas R cam evesados; S =... cam evesadas; o Esaísca F ca evesada; o Créros de ormação AIC e SC cam evesados; Marz de var-covar dos parâmeros: o So heerocedascdade: Var Μ ode Μ ; o Compuadores pcamee reporam resulados calculados com ase a ausêca de heerocedascdade so é: S S ; Mímos Quadrados Poderados MQP É um caso parcular do EMQG; MGD: Varu u Supodo cohecda rasormase o MGD segudo: o Iso é: * W * * u ; o No ovo modelo o ermo u é homocedásco; u Prova: Var Var Var u Esmase o modelo rasormado por EMQO. 44

45 Represeação Marcal do EMQP MGD: u Noe que Var u E uu ode : ; Agora sea a segue marz: H ; o Prémulplcado o MGD por essa marz: H H Hu; o Sea Hu. Eão mmzadose u H H u émse o EMQP: ~ o Noese que HH ; o ~ é ecee cossee e ormalmee dsruído assócamee; Quado é descohecda Assumese que é uma ução das varáves do modelo: Var u cz cz Ode c é uma cosae ão ula. 45

46 Trasormase o MGD coorme: Z Z Z É ácl vercar que: u Var Var Z Z u Z cz Z c Logo o MGD rasormado o ermo de erro é homocedásco. Eemplos de uções Z que podem ser usadas: o Z ; o Z ; o Z ; o Z c c c ; u Z Eemplo: Cosumo Aual Brasl 974 Mímos Quadrados Poderados: Assumdo que Varu =c. Depede Varale: CO/SQR Mehod: Leas Squares Dae: 6//6 Tme: 5: Sample adused: 97 4 Icluded oservaos: 5 aer adusmes Varale Coece Sd. Error -Sasc Pro. /SQR SQR GR/SQR I/SQR NE/SQR R-squared.9566 Mea depede var 45. Adused R-squared.9584 S.D. depede var S.E. o regresso Aae o crero Sum squared resd Schwarz crero Log lelhood Dur-Waso sa.6 46

47 Vercado a Preseça de Heerocedascdade Gracamee Ploar Ploar Ploar ou.... ;... ; Tese de Whe H : ão há heerocedascdade; Esaísca de ese: a ~ q R ode q [ ] ; o O cômpuo dessa esaísca de ese evolve regredr os quadrados dos resíduos de um MGD esmado por MQO cora um couo V de varáves ormado por: Regra de Decsão o Se Todas as varáves eplcavas ãoredudaes; Os quadrados dessas varáves; Os produos cruzados ere s dessas varáves; P q R Não Reee H ; o Se P q R Reee H. 47

48 Ilusração do ese de Whe: o MGD: ; o Esme por MQO e compue: ; o Esme por MQO a regressão: a a a c c c4 w ; o Compue R w w para essa regressão; o Compue a esaísca de ese R o Escolha e aplque a regra de decsão. Eemplo: Cosumo Aual Brasl 964 Depede Varale: CO Mehod: Leas Squares Dae: 6/4/5 Tme: : Sample: 96 4 Icluded oservaos: 45 Varale Coece Sd. Error -Sasc Pro. C GR I NE R-squared Mea depede var 8.9E+8 Adused R-squared S.D. depede var.8e+8 S.E. o regresso 49 Aae o crero Sum squared resd.8e+6 Schwarz crero 7.65 Log lelhood F-sasc Dur-Waso sa.956 ProF-sasc. 48

49 Eemplo: Cosumo Aual Brasl 964 Couação Tese de Heerocedascdade de Whe Whe Heerosedascy Tes: F-sasc 6.44 Pro. F4. Os*R-squared.974 Pro. Ch-Square4.755 Tes Equao: Depede Varale: RESID^ Mehod: Leas Squares Dae: 6//6 Tme: 4:57 Sample adused: 97 4 Icluded oservaos: 5 aer adusmes Varale Coece Sd. Error -Sasc Pro. C.E+5.E ^ *GR *I *NE GR GR^ GR*I GR*NE I I^ I*NE NE NE^ R-squared.9996 Mea depede var 4.78E+4 Adused R-squared S.D. depede var 9.9E+4 S.E. o regresso.66e+4 Aae o crero 7.6 Sum squared resd.67e+ Schwarz crero Log lelhood -.5 F-sasc 6.44 Dur-Waso sa.95 ProF-sasc. 49

50 4. VARIÁVEIS INDEPENDENTES ESTOCÁSTICAS Esudaremos ese assuo com ase a regressão smples: MGD: a Volação da hpóese so é: Suações em que é uma V.A.: é esocásca é uma V.A.; o Erro de medda as varáves depedees; o Varáves depedees amém depedem da depedee; o Varável depedee deasada ere as depedees; Nesses casos é possível que Cov e se sso ocorre EMQO é evesado e cossee: Prova o Sea a segue orma em desvos do MGD: y e ; ode y e e. Nese caso o EMQO para é dado por: y e o Compuado o E em amos os lados: e E E e o Nada garae que E porque E[ e ] E[ e ] E[ ]. No eao aplcado o operador plm em amos os lados: plm plm plm o Fca claro que udo depede de e plm plm e Cov : Se eão é cossee para emora ão se possa deermar se é evesado ou ão; Se so sgca que é cossee para e em decorrêca amém evesado para ; 5

51 Mímos Quadrados de Varáves Isrumeas MQVI Sea esocásca e Cov e. Como esmar á que MQO é cossee ese caso? Deção de srumeo: Sea Z uma V.A. al que: z o plm Z ; ze o p lm Z ; o ode e z Z Z. ~ Eão o esmador MQVI dado por: z y Z Z é z cossee para ; Prova o Novamee sea o MGD em orma de desvo: y e. Eão o EMQVI pode ser desevolvdo como: o Caso Geral ~ o z y z z z z z e z e z ze z z e z o Aplcado plm a amos os lados: plm plm ~ plm plm MGD: ze z Z Z... são odas esocáscas; Cada =... é correlacoada com o ermo de erro ; Aplcar o MQVI ese caso evolve usar um srumeo para cada varável depedee; Z... Z. E usar o esmador geral de MQVI: ~ Z Z Ode Z é a mar de srumeos para a marz ; 5

52 5. INTRODUÇÃO A SISTEMAS DE EQUAÇÕES SIMULTÂNEAS Trgve Haavelmo Ecoomsa Norueguês Premo Noel de Ecooma de 989 Aordagem proalísca em ecoomera Ssemas de equações smulâeas Oevo: roduzr mas varáves depedees o MGD; Termologa: Méda: MGD: o varáves edógeas; o varáves eógeas; o coecees das edógeas; o coecees das eógeas o Varáves prédeermadas: Eógeas; Edógeas deasadas; E E Modelo Amosral: Predor lear: 5

53 5 Forma Esruural Forma Reduzda Forma Esruural: edógeas como ução de edógeas e prédeermadas; MGDFE: Forma Reduzda: edógeas como ução de prédeermadas; MGDFR: w w Relação ere parâmeros da FE e da FR; w w SES Geral M edógeas K pré deermadas SES: M K MK M M M M K K M M K K M M Represeação Marcal do SES Re-escrevedo o SES como segue: M K MK M M M M K K M M K K M M Forma Esruural: y

54 M M M y M M K Forma Reduzda: M K M M M M K M y v K MK Resrções rísecas do SES: M M v B K MK Prolema da Idecação Deção equvalêca oservacoal: Se esr marz F MM ão sgular al que F y F F mplca a mesma orma reduzda y eão B e P ão esão decadas. Deção : Se a decomposção ão or úca para B e P emora H sea úca eão B e P ão esão decadas. Ou sea cohecedo os coecees da orma reduzda em H ão é possível deermar ucamee odos os coecees esruuras em B e P. Noa: Há MK coecees cohecdos em H e MM-+MK parâmeros descohecdos em B e P. O que sgca uma equação esar decada? Em um SES uma equação esá decada quado é possível oerse esmavas umércas de seus parâmeros esruuras a parr de esmavas dos parâmeros da orma reduzda; Saus de decação: o Equação ão decada: ão é possível; o Equação decada eaamee: oémse uma úca esmava dos parâmeros esruuras; 54

55 o Equação soredecada: oémse mas de uma esmava dos parâmeros esruuras; Ssema Idecado: quado odas as equações do SES esão decadas eaamee ou soredecadas; Deermado as Codções de Idecação Resrções Irísecas: [ ] Seam: [ ] M MK e W W M K K Para uma equação em parcular Sea a s a s ésma lha de A W a resrções decorrees da relação ere parâmeros K MK MK s esruuras e reduzdos.e. um ssema deermado a d resrções leares a pror s r MK MK s r s s W s Kr M K s s as Ssema com M+K cógas em a s um ds elemeo de a s é que é o coecee de s Codção de ordem: Krs MKr s M o úmero de resrções leares da s ésma equação em de ser maor ou gual ao úmero de edógeas meos W Codção de poso: M K s R4: Codção de poso é equvalee a: M s Resrções A pror de eclusão Cosdere que resrções a pror são somee de eclusão e.: ou. s s 55

56 Nese caso rs Ks Mms ou sea o úmero de resrções leares por deção será o mesmo que o úmero de varáves edógeas e pré deermadas a serem ecluídas da s-ésma equação Codção de ordem: K s ms ecessára Codção de poso: M sucee s Regras de Idecação so Resrções A pror de eclusão A Codção de Ordem ecessára para decação Regra: Em um SES com M equações smulâeas uma equação esará decada se o úmero de varáves prédeermadas ecluídas da s-ésma equação K s or maor ou gual ao úmero de edógeas cluídas a equação m s meos um K s m ; Eemplo: MGD: s Equação M = K = Saus m = = K = = m = : decada eaamee m = = K = < m = : ão decada m = = K = > m = : soredecada B Codção de Poso sucee para decação Regra: Em um SES com M equações em M varáves edógeas uma equação é decada se e somee se o mímo um deermae ão ulo de ordem MM puder ser cosruído a parr dos coecees das varáves edógeas e prédeermadas ecluídas daquela equação parcular mas cluídas em ouras equações do modelo; Ilusração 56

57 Pela codção de ordem vercase que: Equação M = 4 K = Saus m = = K = = m = : decada eaamee m = = K = = m = : decada eaamee m = = K = = m = : decada eaamee 4 m 4 = 4 = K 4 = = m 4 = : decada eaamee Taela de Coecees do Ssema Eq Pela codção de Poso: o Equação : A 57 4 DeA = logo eq. ão esá decada; o Equação : A 4 4 DeA = logo eq. ão esá decada; o Equação : A 4 4

58 DeA = logo eq. ão esá decada; o Equação 4: A o DeA logo eq. 4 esá decada; Procedmeos para aplcar a codção de poso Passo : reescrever o SES com odas as varáves e parâmeros do lado esquerdo e só os erros aleaóros do lado dreo; Passo : moar a aela de coecees do ssema; Passo : cosrur para cada equação a marz A respecva a parr dos coecees ulos da lha correspodee à equação em aálse; Regra Geral de Idecação K > m Poso de A = M Eq. Soredecada K = m Poso de A = M Eq. Eaam. decada K m Poso de A < M Eq. Sudecada K < m Eq. Não decada Poso de A < M Prolema da smulaedade MGD: Smulaedade: quado há causaldade drecoal ere edógeas; Prolema: correlação da edógea do lado dreo com o ermo de erro; No MGD acma: Cor e Cor logo: o EMQO é cossee para esmar parâmeros das duas equações; 58

59 Quado ão há smulaedade é possível usar EMQO desde que as hpóeses áscas do SES seam saseas; Esmação de SES MGD: M M M g g g g M M M M M M Hpóeses Báscas: o Relação lear ere as varáves; o s são ão esocáscas =...; o E Var Cov para r =...M e ; r r r o Cov para r s; r =...M; s =...M; r s o r ~ N r r ~ N E r r r =...M. r r Aes da esmação vercar: o Idecação; o Smulaedade; Méodos de Iormação Lmada: cosdera resrções relacoadas apeas à equação de eresse; o EMQO; o Esmador de Mímos Quadrados Idreos EMQI; o Esmador de Mímos Quadrados de Eságos EMQE; Méodos de Iormação Complea: cosdera resrções ere equações; o Esmador de Mímos Quadrados de Eságos EMQE; o Esmador de Máma Verossmlhaça com Iormação Complea EMVIC; Tpologa de SES: o Equações ão relacoadas 59

60 6 Cov o Equações apareemee ão relacoadas SURE Cov Noa: ese caso esmase por algum méodo ssêmco o mas usual sedo o MQE; o Ssemas Recursvos Cov Noa: oserve que E ; susudo a ª. equação mplca que ; Cov o Ssemas BlocoRecursvos Cov Cov Cov o Ssemas Smulâeos: Noa: esmase por MQI ou MQE; Mímos Quadrados de Eságos Caso parcular do EMQVI; Serve para esmar equações eaamee ou soredecadas; Sea o segue:

61 MGD: É ácl vercar pelas codções de ordem e de poso que: o ª. equação ão esá decada; o ª. equação esá soredecada; o Logo só é possível esmar a ª. equação; É ácl vercar amém que devdo à causaldade drecoal smulaedade ere e ocorre: Cov ; Esmação da ª. equação por MQE: o º. Eságo: cosrução de srumeo para reduzda; Forma Reduzda FR: Esmase por MQO a ª. equação da FR: va orma w w o º. Eságo: usase o lugar de equação da FE por MQVI; w w * para esmar a ª. o Esmase usado as órmulas de MQVI: 6

62 y y y y Noa: é possível mosrar que a ormula acma para é equvalee ao esmador de MQO ver PR pg. 4 Oservese que é de ao um srumeo para : y y o plm ; * y * o plm Cov E Logo EMQE é um esmador cossee para os parâmeros esruuras de equações eaamee ou soredecadas. 6

63 Eemplo: Cosumo Aual Brasl 974 Esmação por EMQE Opção TSLS do Evews em Quc\Esmae Equao Depede Varale: CO Mehod: Two-Sage Leas Squares Dae: 6//6 Tme: :5 Sample adused: 97 4 Icluded oservaos: 5 aer adusmes Isrume ls: GR NE Varale Coece Sd. Error -Sasc Pro. C.8E R-squared Mea depede var 7.6E+8 Adused R-squared.9594 S.D. depede var.87e+8 S.E. o regresso 464 Sum squared resd 5.44E+6 Dur-Waso sa.449 Secod-sage SSR 5.E+7 Esmação da Forma Reduzda o º. Eságo Depede Varale: Mehod: Leas Squares Dae: 6//6 Tme: :8 Sample adused: 97 4 Icluded oservaos: 5 aer adusmes Varale Coece Sd. Error -Sasc Pro. C 8.49E GR NE R-squared.6965 Mea depede var.7e+9 Adused R-squared S.D. depede var.57e+8 S.E. o regresso.e+8 Aae o crero 4.75 Sum squared resd.e+8 Schwarz crero 4.85 Log lelhood F-sasc 6.77 Dur-Waso sa.5945 ProF-sasc. 6