ECONOMETRIA CLÁSSICA

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1 éodos Quaavos II esrado em Ecooma Aplcada Faculdade de Ecooma e Admsração Pro. Rogéro Slva de aos ECONOETRIA CLÁSSICA Noas de Aula

2 . INTRODUÇÃO. OBJETIVOS odelos ecoomércos esuração Vercação de eoras Prevsão. VISÕES DA ECONOETRIA Escola Clássca Escola Iglesa. VISÃO ESTATÍSTICA odelo Populacoal odelo Gerador dos Dados

3 . ODELO DE REGRESSÃO ÚLTIPLA. ODELO LINEAR GAUSSIANO versão ásca GD: L varável depedee, K, varáves depedees ou eplcavas E ou coecee de sesldade de em relação à E L é a méda de e represea um hperplao que cora o espaço eucldao R Hpóeses Báscas. é uma ução lear de, K,., K, são varáves ão-esocáscas. Cada ão é uma ução lear das demas s,, s, L, 4. E 5. Var e E,,, L 6. ~ N, ~ N E,. s, Oservações odelo lear vem da área de plaeameo de epermeos, daí a hpóese que dz que cada ão é varável aleaóra Hpóese, mplca que cada ão é comação lear das demas varáves eplcavas Hpóeses 4, 5, e 6 dzem respeo ao ermo de erro aleaóro, que apresea as segues caraceríscas: méda ula hp. 4 homocedásco, pos possu varâca cosae hp. 5 ão auocorrelacoado com os demas hp. 5 dsrução ormal hp. 6, logo amém é ormal com méda E e varâca

4 . REPRESENTAÇÃO ATRICIAL Assumdo oservações para,,..., GD: ode: L O L E. Hpóeses Báscas Re-escras. Veor é ução lear dos veores coluas da marz. é uma marz ão-esocásca. possu poso compleo gual a 4. E, ode é um veor de elemeos ulos 5. Var E I, ode I é uma marz dedade 6. ~ N, I ~ N, I Oservações As hpóeses correspodem às aerores para a versão ãomarcal Hpóese mplca que cada colua de ão é uma comação lear eaa das - coluas resaes Hpóeses 4-6 dzem respeo ao veor de erros aleaóros Hpóese 6 dz que veor segue uma dsrução ormal mulvarada com veor de médas e marz de varâcacovarâca I Hpóese 6 amém dz que veor segue uma dsrução ormal mulvarada com veor de médas e marz de varâca-covarâca I

5 . ESTIADOR DE ÍNIOS QUADRADOS ORDINÁRIOS Coceos odelo Amosral: L Predor Lear: L Resíduo: L Represeação arcal odelo Amosral: Predor Lear: Resíduo: ode: Prolema: A parr de oservações amosras, achar esmadores,, K de oa qualdade para,, K Solução: mzar a soma dos quadrados dos resíduos para, ou sea, mmzar para. Assm, ecora-se o esmador de mímos quadrados ordáros EQO:

6 Prova Como se em de mmzar uma ução de, usa-se as regras de deermação de valores mímos de uções derecáves de váras varáves. Ou sea, acha-se as dervadas parcas da ução, guala-se esas a zero e resolve-se o ssema resulae. Os passos são os segues:.. Codção de ª. Ordem:. EQO para. 4. Codção de ª. Ordem: deda posva Como em poso, segue que a marz quadrada de ordem amém apresea poso e, logo, é ão sgular. Sedo ão sgular, possu versa. Além dsso, é deda posva z z >, z vea-se, por eemplo, JD, 988: p Logo, é poo de mímo asoluo para. Eemplo: Vedas rmesras de auomóves os EUA 959.I-988.I. ode: GD: S P R 4 CPI S cosumo pessoal de auomóves ovos em US$ lhões P reda pessoal em US$ lhões R aa de uros rmesral de íulo do Tesouro Amercao CPI ídce de preços ao cosumdor para ovos carros 98 odelo Empírco: S 5,7,9P,586R, 654CPI

7 .4 ÉDIA E VARIÂNCIA DOS EQO Resulado R: Prova:. Do que segue que. éda Vés E. E E[ ] E Varâca R: Var Prova Var E[ E I ]

8 .5 PROPRIEDADES DOS EQO Ecêca Ecêca Resra: dadas as hpóeses -5, o EQO é o mas ecee ão evesado e com varâca míma dero da classe dos esmadores leares de ou sea, o EQO é o elhor Esmador Lear Não Evesado ELNE de. Noa: Um esmador lear é aquele que pode ser escro como uma marz. ~, ode é Prova Teorema de Gauss arov: A prova só usa hpóeses -5. Seam A e C marzes, amas de ordem. Por R, A, e por R, Var A A. ~ Sea amém A C um esmador lear aleravo de. ~ Eão, pode-se escrever A C A C A C. Para ~ ser ão evesado, ele em de sasazer: ~ E A C C I C. ~ Logo, é precso que C. Supodo C, eão A C ~ ~ de modo que Var ~ E[ ] pode ser desevolvda como: as, Var ~ E[ A C A C'] A C E A C A C A C A C A C AA CA AC CC Pos C ' C '. Eão: C CC C CC ~ Var [ CC ] Var CC Noa: Resulados de álgera marcal garaem que C C é semdeda posva. Será ~ C C somee quado C. as, ese caso logo, ão pode haver ouro esmador lear, deree do EQO, que sea mas ecee ão-evesado e com varâca míma.

9 Ecêca Irresra: Quado vale amém a hpóese 6 erros ormalmee dsruídos, o EQO é o mas ecee dere odos os esmadores leares e ão-leares. A prova evolve mosrar que o caso de ormaldade dos erros o EQO é equvalee ao Esmador de áma Verossmlhaça EV. Cossêca EQO é cossee para, ou sea, p lm Prova: Dadas as hpóeses -5 e R, segue que: plm plm plm[ ] plm ' plm Dado que é ão esocásca hp., segue que: p lm E E Logo: p lm Normaldade Assóca Propredade UITO IPORTANTE! Quado, / N, Ou sea, em amosras grades, podemos apromar a dsrução de como uma ormal, so é: para grade, ~, N Logo, se a amosra é grade, ão precsamos da hpóese 6. Qualquer que sea a dsrução de, podemos aplcar a eora da ormal para o EQO e os procedmeos de eses de hpóese

10 .6 QUALIDADE DO AJUSTAENTO Como avalar se o modelo esá aderdo em aos dados ou ão? Esaíscas descrvas: R, R, Créro de Iormação de Aae AIC e Créro de Schwarz SC R ede o grau de ausameo do modelo aos dados Desvo Toal Desvo Nãoeplcado Desvo Eplcado Elevado ao quadrado e agregado para odas as oservações: Varação Toal Varação Nãoeplcada Varação Eplcada arcalmee: y y y y ode: y y Grau de ausameo R y y y y ou R y y Propredades R [,] Bom ausameo R Fraco ausameo R R ede a aumear sempre com ovas varáves eplcavas R uca dmu com ovas varáves eplcavas

11 R ou R - ausado Corrge lmação do grau de ausameo R Propredades R y y R R R se R < se > R pode dmur se cluo varáves pouco eplcavas R pode ser egavo Créro de Iormação de Aae AIC Propredades AIC log < AIC < Quao meor AIC, melhor o ausameo AIC pealza em mas que o R a preseça de varáves rrelevaes AIC valorza mas a parcmôa. Créro de Schwarz SC Propredades log SC log < SC < Quao meor SC, melhor o ausameo SC pealza em mas que o R a preseça de varáves rrelevaes SC amém valorza mas a parcmôa.

12 .7 VARIÂNCIA RESIDUAL DA REGRESSÃO Var amém é um parâmero descohecdo do GD Camho aural de esmá-lo sera: Prolema: é um esmador evesado de Solução: usa-se um correor de vés que reduda em: S S é a chamada varâca resdual e será usada em város coeos, por eemplo, o R - ausado pode ser escro como: R S, ode: S S S amém é usada para se esmar a marz de varâca-covarâca dos EQO: S S

13 Eemplo: Cosumo Aual Brasl 96-4 GD: CO GR 4 5 I NE Saída Compacada do Evews Depede Varale: CO ehod: Leas Squares Dae: 6/4/5 Tme: : Sample: 96 4 Icluded oservaos: 45 Varale Coece Sd. Error Cosae GR I NE R-squared ea depede var 8.9E8 Adused R-squared S.D. depede var.8e8 S.E. o regresso 49 Aae o crero Sum squared resd.8e6 Schwarz crero 7.65 Noa: Dados auas reerees ao Brasl CO cosumo das amílas reda dspoível das amílas GR gasos do govero I vesmeo dreo NE Eporações líqudas Oservações A colua correspodee a Sd. Error reere-se a: s dag S O modelo empírco é dado por: CO.7.4,87,789GR,78I, 765 NE

14 .8 RESULTADOS IPORTANTES Supodo que valem odas as hpóeses, clusve a 6, de ormaldade dos erros : R. / ~ χ R4. S / ~ χ R5. ~ N, V, ode V é o -ésmo elemeo da dagoal de R6. S / e são depedees R7. De R4-R6, segue que: ~ S V Prova: De R4, segue que / V ~ N,. Agora compuado: V S, emos uma VA N, dvdda por uma VA χ, amas depedees, o que resula uma VA -. Fazedo as smplcações ecessáras, oém-se o resulado R7.

15 .9 ESTIAÇÃO INTERVALAR Oevo: achar ervalos de coaça para Em geral, usa-se ervalos laeras Créro: P α L H lme eror, L lme superor, H α ível de coaça Solução:, L, H α /, α /, s s Prova: Dea s S V. Eão, usado R7, podemos escrever: P P α /, α /, s α α /, s α /, s α ulplado odos os compoees da rpla desgualdade por -: P α /, s α /, s α e somado aos rês compoees: P α /, s α /, s α

16 . TESTES DE SIGNIFICÂNCIA DE PARÂETROS E VARIÁVEIS GD: L Eemplos de hpóeses de eresse: H : E aravessa a orgem do espaço R H : E ão aravessa a orgem do espaço R H : varações em ão eplcam varações em H : varações em eplcam varações em H : varações em produzem varações dêcas em H : varações em ão produzem vars. dêcas em Coceos e deções α ível de sgcâca PErro Tpo I PReear H H é V β PErro Tpo II PNão Reear H H é F Poder do ese - β Represeação Geral H : H : Caso ípco em ecoomera: Por R7, segue que S ~ S ~ caso Procedmeos do ese, ou. Eucado das hpóeses H e H. Escolha de α ível de sgcâca. Cálculo de S 4. Aplcação da regra de decsão pelo valor de prova p-value: Se P T α Não reeo H Se P T < α Reeo H

17 Eemplo: Cosumo Aual Brasl 96-4 GD: CO GR 4I 5 NE Saída Compacada do EVews Depede Varale: CO ehod: Leas Squares Dae: 6/4/5 Tme: : Sample: 96 4 Icluded oservaos: 45 Varale Coece Sd. Error -Sasc Pro. C GR I NE R-squared ea depede var 8.9E8 Adused R-squared S.D. depede var.8e8 S.E. o regresso 49 Aae o crero Sum squared resd.8e6 Schwarz crero 7.65

18 . TESTE F SIGNIFICÂNCIA GERAL DA REGRESSÃO H : L ehuma eplca varações em H : pelo meos um pelo meos uma eplca varações em...,- Supoha váldas as hpóeses a 6 e cosdere H verdadera: R8. y y ~ χ, ode é a marz em orma de desvos em relação à méda com a prmera colua reeree à cosae ecluída. Prova: Ver [VA: pp. 59-6] y y / R9. ~ F, / Prova Comado R com R8: y y S y y / S ~ F, Esaísca de Tese: F y y / / Varação Eplcada / Varação Não Eplcada / Regra de decsão pelo valor de prova: o Dado uma escolha de α: Se Se P F, F α Não reeo H P F, F < α Reeo H

19 . ULTICOLINEARIDADE odelo com var. depedee e vars. depedees: É ácl vercar que o EQO ese caso sera: y y Σ Σ Σ Σ Σ Σ Σ y y Σ Σ Σ Σ Σ Σ Σ Coleardade Perea Coecee de correlação lear ere e : Σ Σ Σ r Se λ, com λ volação da hpóese : o Os umeradores de e são guas a o r Σ Σ Σ Logo, com, é mpossível compuar os EQO,,.

20 Ala mas ão perea coleardade É possível compuar EQO, pos hp. ão é volada Seam as varâcas esmadas dos EQO, odas como os úlmos elmeos da dagoal prcpal de S S : S Σ S r S Σ S r Sea r, mas cosdere que: < Logo: r S e S r e Coseqüêcas da ulcoleardade Esaíscas podem car arcalmee muo aas Iclusve, é possível acoecer R com e, o que é coradóro Soluções Aleravas Rera-se uma das varáves do modelo Traalha-se com varáves em dereças: o Eemplo: odelo de eresse: C W Se e W muo correlacoadas, usa-se: C C W W

21 .4 ESTIAÇÃO POR ÁIA VEROSSIILHANÇA EV Pela hpóese 6:, ~ E N Fução desdade: ep π K Fução de verossmlhaça: ep,,, π L K K Em orma marcal: ep, π L Log-verosssmlhaça: l l, π l

22 amzado a log-verossmlhaça Codção de ª. Ordem: l l ~ ~ ~ ~ ~ 4 ~ ~ ~ ~ ode: ~ ~ Codção de ª. Ordem: garae que o EV de e é mámo gloal ver JD: p. 46. Logo, o EV de ~ é o mesmo que o EQO e o EV de ~ dere do usado aes para S apeas o deomador Propredades do EV para pequeas amosras ~ é ão evesado para ~ é evesado para A varâca de ~ age o lme mímo de Cramer-Rao, logo ~ é amém ecee Propredades do EV para grades amosras ~ e ~ são cossees ~ apresea ormaldade assóca Coclusão So hpóese 6 de ormaldade dos erros, EQO e EV são equvalees e porao cosuem o melhor esmador de dere os esmadores leares e os ão-leares.

23 .5 PREVISÃO Oevo: acerar um valor de codcoal a valores parculares de, K, Prevsão Poual Sea L ], eão: [ L o Prevsão dero da amosra: [ L ], K, o Prevsão ora da amosra: [ L ] o Pelo T. Gauss-arov: o é o melhor esmador lear de o Logo, é um predor ómo de Erro de prevsão: e o Noe que: E E E o Logo: E e E E E o Ou sea é um prevsor ão evesado de.

24 Varâca do erro de prevsão: e Var ] [ ] [ Var E Var Var Var Var Esmação da Varâca do erro de prevsão: S S Resulados de eresse Seam váldas hps. -6. Cosdere os segues resulados: R., ~ N e R. ~ S χ R. e S são depedees R. S ~ Prova Por R, R e R, segue que a razão: S S ~, Fazedo-se as smplcações ecessáras, emos o resulado R.

25 Prevsão Iervalar Oevo: Achar ervalo de coaça para de acordo com o créro P α Solução: L H L H α /, α /, S S Prova Usado R, vercamos que: P α /, α /, S α De ode é medao que, após mapulações algércas smples: Iso é: P α /, S α /, S P α L H α Eemplo: Prevsão do Cosumo Aual Brasl 5- odelo Ecoomérco: CO ,789,686GR,66I, 78 NE ANO CÔ L CÔ CÔ H G I NE Noa: Valores em R$ lhões

26 . USOS E ETENSÕES DO ODELO DE REGRESSÃO ÚLTIPLA. COEFICIENTES PADRONIZADOS Os coecees do GD lear ão podem ser comparados ere s Suas magudes depedem da escala de medda das varáves eplcavas Solução: modelo com varáves ormalzadas, so é: S S L S Relação ere coecees orgas e padrozados: S,...,. S Coecees padrozados são a-dmesoas, so é, ão possuem uma udade parcular de medda A comparação ere coecees padrozados é possível porque agora odas as varáves apreseam a mesma méda e varâca. ELASTICIDADES uo usada em mcroecooma, a elascdade mede a varação relava a varável depedee dada uma varação relava uma varável depedee com as demas cosaes E E E E No modelo lear, a elascdade esmada é oda como: E Elascdades o poo médo: E No caso do modelo log-log odas as varáves são meddas em logarmos, a elascdade é cosae para odo,...,.

27 . ODELOS NÃO-LINEARES odelo Lear: L odelo Não-Lear: qualquer modelo que ão é lear. F, K,, odelos ão-leares rsecamee leares NLIL: o São leares os parâmeros ou o Podem ser rasormados em leares os parâmeros odelos ão-leares rsecamee ão-leares NLINL: o ão podem ser rasormados em leares os parâmeros. odelos rsecamee leares odelo polomal: L odelo mulplcavo: K odelo log-log: l l L l o Noe-se que o modelo log-log derva do modelo mulplcavo, porque: l l odelo epoecal: ep K odelo log-l: l K l odelo recíproco: L o Que pode ser rasormado em: K I odelo l-log: l L l odelo eravo: 4

28 .4 TESTE F PARA SIGNIFICÂNCIA DE BLOCOS DE VARIÁVEIS Cosdere o GD: Tese de Hpóese: o H : 4 e 5 ão são sgcavas 4 5 o H : 4 e/ou 5 4 e/ou 5 é/são sgcavas Deções: o odelo rresro IR: o odelo resror: o SQT Soma dos Quadrados Toas y y o SQE Soma dos Quadrados Eplcados: y y o SQR Soma dos Quadrados dos Resíduos: Esaísca de Tese: F SQE SQE / IR R IR R ~ F IR R, IR SQRIR IR Regra de decsão pelo valor de prova: o Dado uma escolha de α: Se Se P F, F α IR R Não reeo H IR P F, F < α Reeo H IR R IR

29 Eemplo: odelo cosumo vs reda e edêca quadráca GD: C 4 H : 4 ermo de edêca ão é sgcavo H : e/ou 4 ermo de edêca é sgcavo Implemeação do ese com α 5% Usado-se 5 oservações auas, esmou-se: odelo rresro: C,,77,, o SQE , IR o SQR 77, 7 IR o 4 IR odelo resro: 6,56 6,5,59,4 C,,77 7, o SQE , 4 R o R 7, , 65898,4 /4 F 4, ,7 5 4 P F 4,765, Reeamos H a 5% de sgcâca,

30 Caso Geral do Tese F para loco de varáves GD: L Dvda o couo {,..., } em grupos, sedo um deles ormado por q < varáves a serem esadas Agrupe as varáves a serem esadas o al do GD, reescrevedo-o como segue: L q q, q q, L H : q L q, K, são ão-sgcavas H : pelo meos um s pelo meos uma s, s q,...,, é sgcava Escolha um valor para α Esme os modelos rresro e resro Compue: F SQEIR SQER / IR R SQR IR IR Aplque a regra de decsão: o Se o Se P F, F α IR R Não reeo H IR P F, F < α Reeo H IR R IR Noa: moderos sowares ecoomércos, como o Evews, mplemeam auomacamee esse procedmeo, sedo ecessáro ormar apeas o grupo de q varáves a serem esadas em loco

31 .5 VARIÁVEIS DU Varáves qualavas: que releem esado, suação, classe, ec., ou sea, eveos qualavos que ão podem ser meddos umercamee Varável dummy: varável ára assume valor ou usada para represear, um modelo quaavo/maemáco como o GD, as luêcas de eveos qualavos Varáves dummy podem ser usadas o papel de depedee ou depedee um modelo ecoomérco. Veremos por ora só o caso de varáves dummy depedees Regressão com uma varável dummy GD: D é uma varável quaava D é uma varável dummy qualava que assume só valores ou Eemplo: Esudo amercao em escola secudára proessores pesqusados reda do ésmo proessor D seo do ésmo proessor homem mulher Ierpreação do GD: E D é o saláro médo/esperado de uma proessora D E é o saláro médo/esperado de um proessor odelo empírco:,,5 D.5 D,,7 D,,5,7 Hpóese de eresse: H : ão há dscrmação seual

32 Regressão com duas varáves dummy GD: DS D R Eemplo: Esudo amercao em escola secudára couação proessores pesqusados reda do ésmo proessor D S seo do ésmo proessor homem mulher D R raça do ésmo proessor racoa egroa Seo\Raça Braco B Negro N Homem H D S D R D S, D R ulher D S, D R D S D R Ierpreação do GD: o E DS DR : sal. médo/esperado da.n. o E DS, DR : sal. médo/esperado do H.N. o E DS, DR : sal. médo/esperado de uma.b. o E DS DR odelo empírco: : sal. médo/esperado do H.B. 9,,D,74 D,74,4 o D D 9, S R S, o D, D 9,,, S R o D, D 9,,74 9, 94 S R o D D 9,,,74, 97 S R R Noa: a rgor, ão se somara o coecee esmado, 74 porque ele se mosrou deree de zero a 5% de sgcâca. Apeas para s lusravos é que o cluímos Hpóeses de eresse: o H : ão há dscrmação seual o H : ão há dscrmação racal o H : ão há dscrmação de qualquer po

33 Regressão com varável dummy e varável quaava GD: D Eemplo: Esudo amercao em escola secudára couação proessores pesqusados reda do ésmo proessor D seo do ésmo proessor homem mulher úmero de aos de servço do -ésmo proessor. Ierpreação do GD: o E D, : saláro médo/esperado da proessora como ução do úmero de aos de servço. o E D, : saláro médo/esperado do proessor como ução do úmero de aos de servço odelo empírco: o o 9,5, D,5,9,77 D, 9,5, 5 D,,67, 5,5 Hpóese de eresse: o H : ão há dereça, ere homes e mulheres, a relação ere saláro recedo e aos de servço

34 Varáves dummy sazoas GD: s s D D D a, K,..., ouro s D s comprmeo do período sazoal: s semesral s 6 mesral s quadrmesral s mesal s 4 rmesral aor sazoal do ésmo mês, mesre, ec.,...,s usase só s- dummes p/evar coleardade perea c/a cosae Normalzação dos aores sazoas GD: s s s D D D a K Vercase que ese modelo pode ser reescro como: GD: s s D D D a, K o Ode:,..., ouro s s D Eemplo: Sazoaldade rmesral s4 GD:, ] [ D. GD: D a GD: D a D D D D D D D D

35 4. VIOLAÇÃO DE HIPÓTESES BÁSICAS 4. AUTOCORRELÃO SERIAL DOS ERROS Volação da hpóese 5,,, Cov Cor E, Caso Geral GD:, u u Cov u L para algum Caso de Séres de Tempo GD:,, u u E u u Cov u L,,..., u u Cov é chamada auocorrelação seral de -ésma ordem Auocorrelação Seral de ª. Ordem ACS GD:, u u Cov u L Razões para haver ACS o Iérca ípca das varáves ecoômcas o Varáves eplcavas ecluídas do GD cosderado: GD: GD cosderado: u o Forma ucoal correa: GD: GD cosderado: u o Deasages ecluídas: GD: 4, GD cosderado: u

36 Coseqüêcas da ACS: Propredades do EQO: o coua ão evesado para o EQO ão é mas o ELNE para, logo é ecee Varâca resdual evesada: o S u em geral suesma o Elemeos de dag S cam, em geral, suesmados o R e R cam, em geral, superesmados o Esaíscas S,..., cam, em geral, superesmadas o Esaísca F ca superesmada o Créros de ormação AIC e SC cam em geral suesmados arz de var-covar dos parâmeros: o Com ACS: Var C ρ,,, K o ρ Cor u, u o Compuadores pcamee reporam resulados calculados com ase a ausêca de ACS, so é: S S Vercado a preseça/ausêca de ACS Gracamee: Termo de Erro com ACS Termo de erro Sem ACS ρ ρ

37 Tese de Dur-Waso o Assuma que: o GD: L u u ρu Cor E, Var o Ode u ρ u é chamado processo AR e ρ Cor u, u o H : ρ H : ρ u u o Esaísca DW: DW ρ u o Ode ρ Σ u u Σ u o Noe-se que: ρ DW ρ > < DW < ρ DW ρ < < DW < 4 ρ DW 4 o Regra de decsão Se Decdr DW < d L Reear H há ACS d DW Não decdr d L d U < DW < 4 Não Reear H U d U 4 d DW 4 Não decdr U d L 4 d L < DW 4 Reear H há ACS o Ode [d L,d U ],,α

38 Eemplo: Cosumo Aual Brasl 964 Depede Varale: CO ehod: Leas Squares Dae: 6/4/5 Tme: : Sample: 96 4 Icluded oservaos: 45 Varale Coece Sd. Error -Sasc Pro. C GR I NE R-squared ea depede var 8.9E8 Adused R-squared S.D. depede var.8e8 S.E. o regresso 49 Aae o crero Sum squared resd.8e6 Schwarz crero 7.65 Log lelhood F-sasc Dur-Waso sa.956 ProF-sasc. o Cosderado 45, 4 e α,5 Tese de LugBo amém para ACS de ordes maores o H : ρ ρ L ρ H : pelo meos um ρ,...,m m o Esaísca de Lug Bo: Q LB ρ m a ~ χ m Eemplo: Cosumo Aual Brasl 964 Dae: 6/6/6 Tme: :58 Sample: 97 4 Icluded oservaos: 5 Auocorrelao Paral Correlao J AC ρ PAC Q-Sa LB Pro

39 Esmador de ímos Quadrados Geeralzados EQG GD:, ρ Var E Cor u u u L Equação de dereças geeralzadas EDG: L o Ode ρ,, ρ e u u ρ Eão, esmase a EDG por QO, oedose,,, K o ρ o Prmera oservação: ρ, ρ Represeação marcal GD: u, Noe que Ω uu E u Var, porque há ACS o Ode Ω L O L L L ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ Agora, sea a segue marz: ρ ρ ρ ρ L O L L L H o Prémulplcado o GD por essa marz: Hu H H o Eão, mmzadose u u H H Σ, émse o EQG: ~ Ω Ω o Noese que H H Ω o ~ é ecee, cossee e ormalmee dsruído assócamee

40 Esmação de ρ éodo de Cochrae Orcu ou CORC:. Esmase o GD por QO e oémse u. Esmase: u, ρ u, v,. Usase ρ para esmar EDG: L 4. Compuase: u, L 5. Repeese passos, e 4 eravamee aé que: ρ l ρl < γ ode l dca eração Eemplo: Cosumo Aual Brasl 964 Depede Varale: CO Sample adused: 97 4 Icluded oservaos: 4 aer adusmes Covergece acheved aer eraos Varale Coece Sd. Error -Sasc Pro. C.E GR I NE AR R-squared ea depede var 7.49E8 Adused R-squared.9978 S.D. depede var.75e8 S.E. o regresso Aae o crero 5. Sum squared resd.46e5 Schwarz crero Log lelhood F-sasc.68 Dur-Waso sa.569 ProF-sasc. Esaísca Q de LugBo Dae: 6/7/6 Tme: 5: Sample: 97 4 Auocorrelao Paral Correlao J AC PAC Q-Sa Pro

41 4. HETEROCEDASTICIDADE Volação da hpóese 5 Var, ou Var E I Caso Geral L GD: Var u u Caso de Séres de Tempo L GD: Var u u Eemplo Gráco: Caso de varável eplcava Aualmee, heerocedascdade ocorre em dados emporas e de seção cruzada crossseco

42 Cosequêcas da Heerocedascdade Propredades do EQO: o coua ão evesado para o EQO ão é mas o ELNE para, logo é ecee Varâca resdual evesada: o S u é um esmador evesado de o Elemeos de dag S cam evesados o R e R cam evesados o Esaíscas S,..., cam evesadas o Esaísca F ca evesada o Créros de ormação AIC e SC cam evesados arz de var-covar dos parâmeros: o So heerocedascdade: Var Μ, ode Μ o Compuadores pcamee reporam resulados calculados com ase a ausêca de heerocedascdade, so é: S S ímos Quadrados Poderados QP É um caso parcular do EQG L GD: Var u u Supodo cohecda, rasormase o GD segudo: o Iso é: L W L u o No ovo modelo, o ermo u é homocedásco u Esmase o modelo rasormado por EQO. Prova: Var Var Var u

43 Represeação arcal do EQP GD: u, Noe que Ω uu E u Var, ode : Ω L O L L L Agora, sea a segue marz: H L O L L o Prémulplcado o GD por essa marz: Hu H H o Eão, mmzadose u u H H Σ, émse o EQG: ~ Ω Ω o Noese que H H Ω o ~ é ecee, cossee e ormalmee dsruído assócamee Quado é descohecda Assumese que é uma ução das varáves do modelo:,,, cz cz u Var K Ode c é uma cosae ão ula.

44 Trasormase o GD coorme: Z É ácl vercar que: L Z Z u cz Var Var u c Z Z Z Logo, o GD rasormado o ermo de erro é homocedásco. Eemplos de uções Z que podem ser usadas: o Z o Z o Z o Z c c L c Z u Z Eemplo: Cosumo Aual Brasl 974 ímos Quadrados Poderados: Assumdo que Var c. Depede Varale: CO/SQR ehod: Leas Squares Dae: 6//6 Tme: 5: Sample adused: 97 4 Icluded oservaos: 5 aer adusmes Varale Coece Sd. Error -Sasc Pro. /SQR SQR GR/SQR I/SQR NE/SQR R-squared.9566 ea depede var 45. Adused R-squared.9584 S.D. depede var S.E. o regresso Aae o crero Sum squared resd Schwarz crero Log lelhood Dur-Waso sa.6

45 Vercado a Preseça de Heerocedascdade Gracamee Ploar,,..., Ploar,,..., Ploar ou. Tese de Whe H : ão há heerocedascdade Esaísca de ese: a ~ q R χ, ode q [ ] o O cômpuo dessa esaísca de ese evolve regredr os quadrados dos resíduos de um GD esmado por QO cora um couo V de varáves ormado por: Todas as varáves eplcavas ãoredudaes Os quadrados dessas varáves Os produos cruzados ere s dessas varáves Regra de Decsão o Se P χ q R > α Não Reee H o Se P χ q R α Reee H.

46 Ilusração do ese de Whe: o GD: o Esme por QO e compue: o Esme por QO a regressão: a a c c c4 a w o Compue R w w para essa regressão o Compue a esaísca de ese R o Escolha α e aplque a regra de decsão. Eemplo: Cosumo Aual Brasl 964 Depede Varale: CO ehod: Leas Squares Dae: 6/4/5 Tme: : Sample: 96 4 Icluded oservaos: 45 Varale Coece Sd. Error -Sasc Pro. C GR I NE R-squared ea depede var 8.9E8 Adused R-squared S.D. depede var.8e8 S.E. o regresso 49 Aae o crero Sum squared resd.8e6 Schwarz crero 7.65 Log lelhood F-sasc Dur-Waso sa.956 ProF-sasc.

47 Eemplo: Cosumo Aual Brasl 964 Couação Tese de Heerocedascdade de Whe Whe Heerosedascy Tes: F-sasc 6.44 Pro. F4,. OsR-squared.974 Pro. Ch-Square4.755 Tes Equao: Depede Varale: RESID^ ehod: Leas Squares Dae: 6//6 Tme: 4:57 Sample adused: 97 4 Icluded oservaos: 5 aer adusmes Varale Coece Sd. Error -Sasc Pro. C.E5.E ^ GR I NE GR GR^ GRI GRNE I I^ INE NE NE^ R-squared.9996 ea depede var 4.78E4 Adused R-squared S.D. depede var 9.9E4 S.E. o regresso.66e4 Aae o crero 7.6 Sum squared resd.67e Schwarz crero Log lelhood -.5 F-sasc 6.44 Dur-Waso sa.95 ProF-sasc.

48 4. VARIÁVEIS INDEPENDENTES ESTOCÁSTICAS Esudaremos ese assuo com ase a regressão smples: GD: a Volação da hpóese, so é: é esocásca é uma V.A. Suações em que é uma V.A.: o Erro de medda as varáves depedees o Varáves depedees amém depedem da depedee o Varável depedee deasada ere as depedees Nesses casos, é possível que Cov,, e, se sso ocorre, EQO é evesado e cossee: Prova o Sea a segue orma em desvos do GD: y e ode y, e e. Nese caso, o EQO para é dado por: y e L e o Compuado o E, em amos os lados: E E e o Nada garae que E porque E[ Σ y Σ ] E[ Σ y ] E[ Σ ]. No eao, aplcado o operador plm, em amos os lados: p lm p lm p lm e p lm p lm [ e ], [ ] o Fca claro que udo depede de Cov, e, e : Se, e, eão é cossee para emora ão se possa deermar se é evesado ou ão Se, e, so sgca que é cossee para e, em decorrêca, amém evesado para e

49 ímos Quadrados de Varáves Isrumeas QVI Sea ão esocásca e Cov, e, e. Como esmar á que QO é cossee ese caso? Deção de srumeo: Sea Z uma V.A. al que: z o p lm, Z ze o p lm Z, e o ode e z Z Z. z y Eão, o esmador QVI dado por: ~ é cossee para z Prova o Novamee, sea o GD em orma de desvo: Eão, o EQVI pode ser desevolvdo como: ~ o z y z z z e z z e z z e z z z e z o Aplcado plm, a amos os lados: o p lm ~ p lm Caso Geral GD: p lm p lm z z L Z, e, Z y e.,..., são odas esocáscas Cada,..., é correlacoada com o ermo de erro Aplcar o QVI ese caso evolve usar um srumeo para cada varável depedee Z,..., Z. E usar o esmador geral de QVI: ~ Z Z Ode Z é a mar de srumeos para a marz

50 5. INTRODUÇÃO A SISTEAS DE EQUAÇÕES SIULTÂNEAS Oevo: roduzr mas varáves depedees o GD GD: γ γ γ γ Termologa: o varáves edógeas o varáves eógeas o coecees das edógeas o γ coecees das eógeas o Varáves prédeermadas: Eógeas Edógeas deasadas éda: E E γ γ γ γ odelo Amosral: γ γ γ γ Predor lear: γ γ γ γ Forma Esruural Forma Reduzda Forma Esruural: edógeas como ução de edógeas e prédeermadas GDFE: γ γ Forma Reduzda: edógeas como ução de prédeermadas GDFR: π π π π

51 Relação ere parâmeros da FE e da FR π π π π γ γ γ γ w w Prolema da Idecação Deção: Em um SES uma equação esá decada quado é possível oerse esmavas umércas dos parâmeros esruuras a parr de esmavas dos parâmeros da orma reduzda Saus de decação: o Equação ão decada: ão é possível o Equação decada eamee: oémse uma úca esmava dos parâmeros esruuras o Equação soredecada: oémse mas de uma esmava dos parâmeros esruuras Ssema Idecado: quado odas as equações do SES esão decadas eamee ou soredecadas Codção de Ordem ecessára para decação Regra: Em um SES com equações smulâeas, uma equação esará decada se o úmero de varáves prédeermadas ecluídas da equação K or maor ou gual ao úmero de edógeas cluídas a equação m meos um K m Eemplo: GD: γ γ γ Equação K Saus m K m : decada eaamee m K < m : ão decada m K > m : soredecada

52 Codção de Poso sucee para decação Regra: Em um SES com equações em varáves edógeas, uma equação é decada se e somee se o mímo um deermae ão ulo de ordem puder ser cosruído a parr dos coecees das varáves edógeas e prédeermadas ecluídas daquela equação parcular mas cluídas em ouras equações do modelo Ilusração γ γ γ γ γ γ 4 4 Pela codção de ordem vercase que: Equação 4 K Saus m K m : decada eaamee m K m : decada eaamee m K m : decada eaamee 4 m K m : decada eaamee Taela de Coecees do Ssema Eq. 4 γ γ γ γ γ γ 4

53 Pela codção de Poso: Equação : A γ γ γ o DeA, logo eq. ão esá decada Equação : A 4 γ o DeA, logo eq. ão esá decada Equação : A 4 γ o DeA, logo eq. ão esá decada Equação 4: A γ γ γ γ γ o DeA, logo eq. 4 esá decada Procedmeos para aplcar a codção de poso Passo : reescrever o SES com odas as varáves e parâmeros do lado esquerdo e só os erros aleaóros do lado dreo Passo : moar a aela de coecees do ssema Passo : cosrur para cada equação a marz A respecva a parr dos coecees ulos da lha correspodee à equação em aálse Regra Geral de Idecação K > m Poso de A Eq. Soredecada K m Poso de A Eq. Eaam. decada K m Poso de A < Eq. Sudecada K < m Eq. Não decada Poso de A <

54 Prolema da smulaedade GD: γ γ γ γ Smulaedade: quado há causaldade drecoal ere edógeas Prolema: correlação da edógea do lado dreo com o ermo de erro No GD acma: Cor, e Cor,, logo: o EQO é cossee para esmar parâmeros das duas equações Quado ão há smulaedade, é possível usar EQO, desde que as hpóeses áscas do SES seam saseas Esmação de SES GD: g g g L g L g g L γ g g, g γ g, L γ γ g L γ L γ g g Hpóeses Báscas: o Relação lear ere as varáves o s são ão esocáscas,,..., o E, Var, Cov, para r,...,g e r r r o Cov r, s para r s r,...,g s,...,g o r ~ N, r r ~ N E r, r, r,...,g. r r

55 Aes da esmação, vercar: o Idecação o Smulaedade éodos de Iormação Lmada: cosdera resrções relacoadas apeas à equação de eresse o EQO o Esmador de ímos Quadrados Idreos EQI o Esmador de ímos Quadrados de Eságos EQE éodos de Iormação Complea: cosdera resrções ere equações o Esmador de ímos Quadrados de Eságos EQE o Esmador de áma Verossmlhaça com Iormação Complea EVIC Tpologa de SES: o Equações ão relacoadas Cov, γ γ o Equações apareemee ão relacoadas SURE Cov, γ γ Noa: ese caso, esmase por algum méodo ssêmco, o mas usual sedo o QE o Ssemas Recursvos Cov, γ γ γ γ Noa: oserve que E susudo a ª. equação mplca que Cov,

56 o Ssemas BlocoRecursvos γ γ γ Cov, Cov, Cov, o Ssemas Smulâeos: γ γ γ γ γ γ γ Noa: esmase por QI ou QE ímos Quadrados de Eságos Caso parcular do EQVI Serve para esmar equações eaamee ou soredecadas Sea o segue: GD: γ γ É ácl vercar pelas codções de ordem e de poso que: o ª. equação ão esá decada o ª. equação esá soredecada o Logo, só é possível esmar a ª. equação É ácl vercar amém que devdo à causaldade drecoal smulaedade ere e, ocorre: Cov,

57 Esmação da ª. equação por QE: o º. Eságo: cosrução de srumeo para va orma reduzda Forma Reduzda FR: Esmase por QO: π π π π π π π π π w w o º. Eságo: usase o lugar de para esmar a ª. equação da FE por QVI w w o Esmase usado as órmulas de QVI: y y y y Noa: é possível mosrar que a ormula acma para é equvalee ao esmador de QO ver PR pg. 4 Oservese que é de ao um srumeo para : o y y p lm o y p lm Cov E, Logo, EQE é um esmador cossee para os parâmeros esruuras de equações eaamee ou soredecadas.

58 Eemplo: Cosumo Aual Brasl 974 Esmação por EQE Opção TSLS do Evews em Quc\Esmae Equao Depede Varale: CO ehod: Two-Sage Leas Squares Dae: 6//6 Tme: :5 Sample adused: 97 4 Icluded oservaos: 5 aer adusmes Isrume ls: GR NE Varale Coece Sd. Error -Sasc Pro. C.8E R-squared ea depede var 7.6E8 Adused R-squared.9594 S.D. depede var.87e8 S.E. o regresso 464 Sum squared resd 5.44E6 Dur-Waso sa.449 Secod-sage SSR 5.E7 Esmação da Forma Reduzda o º. Eságo Depede Varale: ehod: Leas Squares Dae: 6//6 Tme: :8 Sample adused: 97 4 Icluded oservaos: 5 aer adusmes Varale Coece Sd. Error -Sasc Pro. C 8.49E GR NE R-squared.6965 ea depede var.7e9 Adused R-squared S.D. depede var.57e8 S.E. o regresso.e8 Aae o crero 4.75 Sum squared resd.e8 Schwarz crero 4.85 Log lelhood F-sasc 6.77 Dur-Waso sa.5945 ProF-sasc.