Mneração Um modelo de programação matemátca para alocação estátca de camnhões vsando ao atendmento de metas de produção e qualdade Felppe Perera da Costa Mestrando - PPGEM/EM/UFOP - Ouro Preto -MG. E-mal: felppe@mneral.em.ufop.br Marcone Jamlson Fretas Souza Prof. Adunto - PPGEM/EM/UFOP e DECOM/ICEB/UFOP - Ouro Preto - MG. E-mal: marcone@ceb.ufop.br Luz Rcardo Pnto Prof. Adunto - DEP/UFMG - Belo Horzonte - MG. E-mal: luz@dep.ufmg.br Resumo Esse trabalho desenvolve um modelo de programação lnear por metas (goal programmng) aplcado ao planeamento de produção em mneração. O obetvo é determnar o rtmo de lavra de cada frente, consderando a alocação de equpamentos de carga e transporte, de modo a fornecer à usna de benefcamento uma almentação adequada. Como cada frente possu característcas de qualdade dferentes, o rtmo de lavra deve ser realzado de forma proporconal, sendo lmtado pela capacdade de produção dos equpamentos de carga e transporte dsponíves na mna. A mstura do mnéro provenente de cada frente deve gerar uma almentação que atenda as metas de qualdade e produção conforme as especfcações preestabelecdas. Nesse trabalho, fo adotado o sstema de alocação estátca de camnhões, por ser geralmente utlzado em mnerações de pequeno e médo porte, devdo à smplfcação das operações e ao alto custo de mplantação de um sstema de despacho eletrônco de camnhões. O modelo de programação matemátca desenvolvdo fo mplementado no software de otmzação LINGO 7.0 nterfaceando com planlhas do EXCEL 2000, proporconando, dessa forma, uma melhor nteração entre o usuáro e o aplcatvo. O modelo fo valdado usando uma nstânca-teste dsponível na lteratura, acrescda de metas de produção e qualdade. Palavras-chave: planeamento de lavra, mstura de mnéros, programação matemátca, alocação estátca. Abstract Ths paper develops a goal programmng model appled to mnng producton plannng. The obectve s to determne the run of each workng bench, consderng the allocaton of load and haulage equpment, n order to supply the processng plant wth an approprate feedng. As each workng bench holds dfferent characterstcs of qualty, the run must be accomplshed n a proportonal way, beng lmted by the producton capacty of the load and haulage equpment avalable n the mne. The blendng of ore from each workng bench should generate a feedng consderng qualty and producton goals accordng to the gven specfcatons. In ths paper the truck statc allocaton system was adopted for beng generally used by small and medum mnes, due to the smplfcaton of the operatons and at the hgh cost of mplantaton of a truck dspatchng system. The mathematcal programmng model was mplemented usng the optmzaton software LINGO 7.0 n conuncton wth EXCEL 2000 spreadsheet, provdng a better nteracton between the user and the applcaton. The model was valdated usng a test nstance from the lterature, added wth producton and qualty goals. Keywords: mnng plannng, ore blendng, mathematcal programmng, statc allocaton system. 77
1. Introdução Um modelo de programação matemátca para alocação estátca de camnhões... O prncpal obetvo do planeamento de produção em uma mna a céu aberto é a determnação de qual rtmo de lavra será mplementado em cada frente, fornecendo ao clente um produto adequado, sea o clente a usna de benefcamento (clente nterno) ou um clente externo. Esse problema é conhecdo na lteratura como problema da mstura ou blendagem. Em casos reas da ndústra mneral, é necessáro consderar uma sére de outras questões, que, normalmente, não são abordadas em conunto na lteratura. Otmzar separadamente o problema sem contemplar essas questões pode gerar confltos que nvablzam a mplementação das soluções. Uma dessas questões dz respeto ao atendmento às metas, abordada por Chanda e Dagdelen (1995), seam elas de produção ou qualdade. O atendmento às metas de produção é mportante, pos uma produção superor à requerda pode causar problemas como a falta de espaço adequado em estoque e custos adconas de manuseo, á uma produção nferor causa uma redução na taxa de utlzação dos equpamentos da mna e da usna de benefcamento, além de multas contratuas pelo não fornecmento do produto. Outro aspecto de grande mportânca relaconado ao atendmento às metas, agora consderando as especfcações de qualdade da mstura, está lgado, no caso da usna de benefcamento, ao controle das flutuações que devem ser mínmas, tornando o processamento mas efcente, ou, anda, prevamente determnadas para que seam tomadas as devdas provdêncas de auste na usna de benefcamento. Três outras questões relaconadas à realdade das operações em mnas a céu aberto são abordadas por Pnto e Merschmann (2001), Merschmann (2002) e Pnto et al. (2003). A prmera refere-se à relação estérl/mnéro e vsa a prevenr que somente mnéro sea lavrado, possbltando a lberação de novas frentes de mnéro ou a mplantação de obras necessáras para vablzar as operações na mna. A segunda dz respeto à alocação de equpamentos de carga. A alocação de um equpamento de carga deve ser realzada de modo a utlzar ao máxmo sua capacdade de produção, pos ela lmta o rtmo de lavra da frente onde está alocada e deve, anda, consderar a compatbldade com os equpamentos de transporte. A tercera questão está relaconada ao sstema de alocação de equpamentos de transporte, no caso desse trabalho, o sstema de alocação estátca de camnhões. Esse trabalho desenvolve um modelo de programação lnear por metas, contemplando todas essas questões levantadas anterormente. Adconalmente, reduz-se, substancalmente, o número de restrções do modelo proposto em Pnto e Merschmann (2001) e substtuem-se as restrções não lneares propostas nesse trabalho por restrções lneares equvalentes, de forma a garantr a otmaldade da solução gerada. O modelo fo mplementado no software de otmzação LINGO 7.0 nterfaceando com planlhas do EXCEL 2000, proporconando, dessa forma, uma melhor nteração entre o usuáro e o aplcatvo. O modelo fo valdado usando uma nstânca-teste dsponível em Pnto et al.(2003), acrescda de metas de produção e qualdade. Esse trabalho está organzado como segue. Na seção 2, descreve-se o problema de alocação estátca de camnhões. Na seção 3, apresenta-se o modelo de programação lnear por metas para resolver o problema abordado. Os resultados obtdos pela aplcação do modelo são apresentados e dscutdos na seção 4, enquanto a últma seção conclu o trabalho. 2. Descrção do problema de alocação estátca de camnhões O problema de alocação estátca de camnhões abordado engloba os problemas de mstura de mnéros e de alocação de equpamentos de carga, os quas encontram-se descrtos nas seções 2.1 e 2.2. 2.1 Mstura de mnéros O problema da mstura de mnéros consderado nesse trabalho consste na determnação de quanto mnéro provenente de cada frente deve ser msturado de modo a satsfazer as exgêncas do clente. Como cada frente de lavra possu característcas de qualdade dferentes, tas como o teor de determnado elemento químco ou a percentagem de mnéro em determnada granulometra, torna-se necessáro determnar a proporção do rtmo de lavra de cada frente que gere uma almentação que atenda as metas de qualdade e produção preestabelecdas. Entretanto tas metas podem não ser alcançadas. Assm, para que o produto sea aceto, os parâmetros de qualdade devem ter valores pertencentes a um ntervalo especfcado pelo clente. Vale lembrar que o termo "mstura de mnéros" dz respeto à determnação dessa proporção e não deve ser confunddo com "homogenezação de mnéro", processo no qual pretende-se que todo o mnéro msturado possua as mesmas característcas. 2.2 Alocação de equpamentos de carga Para vablzar a lavra em dferentes frentes, uma mna conta com uma frota de equpamentos de carga, os quas devem ser alocados de acordo com suas dsponbldades de operação e produtvdade. Essas questões são abordadas por Pnto e Merschmann (2001), Merschmann (2002) e Pnto et al. (2003) e defnem que o rtmo de lavra de cada frente depende do equpamento de carga a ela alocada. A produtvdade do equpamento de carga é lmtada, superormente, pelo número máxmo de cclos de carga por hora vezes sua capacdade de carga e, nferormente, por um valor que torna vável sua utlzação. 2.3 Alocação estátca de camnhões O sstema de alocação de camnhões é geralmente adotado por mnera- 78
ções de pequeno e médo porte, devdo à smplfcação das operações e ao alto custo de se mplantar um sstema de despacho eletrônco de camnhões. Nesse sstema, cada camnhão é alocado a uma únca rota, ou sea, permanece se deslocando entre dos pontos fxos, um de carga e outro de descarga. Os camnhões devem ser alocados a um ponto de carga que possua um equpamento de carga compatível. Essa compatbldade está relaconada, prncpalmente, com o número de passes necessáros para encher a caçamba do camnhão. Poucos passes podem danfcar a estrutura do camnhão, enquanto mutos passes acarretam um maor tempo de carga. 3. Modelo matemátco O problema abordado envolve um conunto de frentes de mnéro e estérl que devem ser lavradas de modo a atender as metas de qualdade e produção preestabelecdas, além de uma relação estérl/mnéro deseada. Exste, anda, uma frota de equpamentos de carga, os quas devem ser alocados às frentes de modo a vablzar a lavra. O materal retrado das frentes deve ser transportado por uma frota heterogênea de camnhões, ou sea, camnhões com capacdades de transporte dferentes, os quas podem ou não ser compatíves com determnado equpamento de carga. Essa restrção proposta por Pnto e Merschmann (2001) e também usada em Merschmann (2002) e Pnto et al. (2003) fo excluída e contemplada através de uma modelagem mas efcente, elmnando, com sso, um número consderável de restrções no modelo, mas precsamente, F x C x V restrções, sendo F o número de frentes, C o número de equpamentos de carga e V o número de camnhões. Para o desenvolvmento do modelo de programação matemátca relatvo a esse problema são defndos os seguntes dados de entrada: M: Conunto de frentes de mnéro. E: Conunto de frentes de estérl. F: Conunto de frentes formado por M E. S: Conunto dos parâmetros de qualdade analsados no mnéro. C: Conunto de equpamentos de carga. V: Conunto de equpamentos de transporte. e : Economa obtda, por tonelada/hora, com a utlzação do mnéro provenente da frente. Pr: Rtmo de lavra recomendado (t/h). Pl: Rtmo de lavra mínmo (t/h). Pu: Rtmo de lavra máxmo (t/h). β - : Penaldade por desvo negatvo do rtmo de lavra. β : Penaldade por desvo postvo do rtmo de lavra. t : Teor do parâmetro na frente (%). t r : Teor recomendado para o parâmetro no produto fnal (%). t l : Teor mínmo admssível para o parâmetro no produto fnal (%). t u : Teor máxmo admssível para o parâmetro no produto fnal (%). α - : Penaldade por desvo negatvo para o parâmetro no produto fnal. α : Penaldade por desvo postvo para o parâmetro no produto fnal. rem: Relação estéro/mnéro mínma requerda. Cl k : Produção mínma do equpamento de carga k (t/h). Cs k : Produção máxma do equpamento de carga k (t/h). g lk : 1 se o camnhão l é compatível com o equpamento de carga k. 0 caso contráro. Vu l : Produção máxma do camnhão l alocado à frente (t/h). cap l : Capacdade do camnhão l, em toneladas. u : Número máxmo de camnhões que operam na frente. tt : Tempo total de cclo, em mnutos, dos camnhões na frente. tc : Tempo de carga, em mnutos, dos camnhões na frente. Defnem-se, anda, as seguntes varáves de decsão: x : Rtmo de lavra da frente (t/h); : 1 se o equpamento de carga k opera na frente. 0 caso contráro. z l : 1 se o camnhão l opera na frente. 0 caso contráro. Defnem-se, também, as seguntes varáves de desvo: d - : Desvo negatvo do parâmetro no produto fnal (t/h). d : Desvo postvo do parâmetro no produto fnal (t/h). P - : Desvo negatvo do rtmo de lavra em relação ao recomendado (t/h). P : Desvo postvo do rtmo de lavra em relação ao recomendado (t/h). O modelo de programação matemátca relatvo à alocação estátca de uma frota heterogênea de camnhões, levando-se em consderação metas de produção e qualdade dos mnéros, é apresentado pelas equações (1) a (19). max e x αs α d αs α d β P β P (t tu ) x 0 S 2) (1) 79
Um modelo de programação matemátca para alocação estátca de camnhões... ( t tl ) x 0 S (3) ( t tr ) x d d = 0 S (4) x Pu 0 (5) x Pl 0 (6) x Pr P P = 0 (7) x 0 F (8) E F x rem x 0 (9) yk 1 F (10) yk 1 k C (11) {0,1} F, k C (12) x Csk yk 0 F (13) x Clk yk 0 F (14) F zl 1 l V (15) z 0 F, l V, g lk 0 (16) l x Vul zl 0 F (17) l V zl l V u 0 F (18) As restrções (2) e (3) defnem lmtes máxmos e mínmos para os parâmetros de qualdade da mstura, enquanto as restrções (5) e (6) lmtam o máxmo e o mínmo de mnéro a ser produzdo. As restrções (4) e (7), propostas por Chanda e Dagdelen (1995) e desenvolvdas a partr do método de programação por metas (goal programmng), vsam a medr os desvos de qualdade e produção, respectvamente, em relação aos valores requerdos. A restrção (8) mpede que valores negatvos de produção seam acetos. Com a nclusão das restrções (4) e (7), a função com o únco obetvo de maxmzar a produção de mnéro utlzada em Pnto e Merschmann (2001), Merschmann (2002) e Pnto et al. (2003) fo alterada para a função multobetvo (1), onde desea-se, além da maxmzação da produção, que seam mnmzados os desvos de produção e qualdade em relação aos valores requerdos. A restrção (9) dz respeto ao atendmento da relação estérl/mnéro. A restrção (10) defne que cada frente possu um únco equpamento de carga, enquanto a restrção (11) defne que cada equpamento de carga opera em uma únca frente. A restrção (12) defne se um equpamento de carga deve ou não ser alocado a uma determnada frente de lavra. As restrções (13) e (14) lmtam o rtmo de lavra da frente onde um determnado equpamento de carga está alocado, de acordo com sua capacdade de produção máxmas e mínmas. A restrção (15) caracterza o problema de alocação estátca de camnhões, defnndo que um camnhão somente pode operar em uma únca frente, onde deve estar alocado um equpamento de carga compatível (restrção (16)). A restrção (17) lmta o rtmo de lavra de uma frente pela capacdade máxma de transporte dos camnhões nela alocados. A restrção (18) lmta o número máxmo de camnhões alocados a uma determnada frente, de forma a prevenr a formação de flas. A restrção (19) defne em qual frente de lavra cada camnhão deve ser alocado. z l {0,1} F, l V (19) A produção máxma, em toneladas por hora, do veículo l na frente e o número máxmo de camnhões por frente são calculados, respectvamente, pelas equações (20) e (21). 60 capl Vu l = tt tt u = tc F, l V (20) F (21) 4. Resultados O modelo de programação matemátca desenvolvdo fo mplementado no aplcatvo de otmzação LINGO 7.0, nterfaceando com planlhas do EXCEL 2000. Para testar o modelo, foram utlzados os dados consderados em Pnto et al. (2003). Os parâmetros de qualdade analsados referem-se aos teores de 10 elementos químcos presentes em 12 frentes de mnéro de um total de 17 frentes. Como o modelo de Pnto et al. (2003) não possuía metas de qualdade e produção, estas foram estpuladas como sendo a méda entre os lmtes superor e nferor de cada um desses parâmetros. 80
Os testes foram realzados em um mcrocomputador com processador AMD Duron 1.0 GHz com 256 MB de RAM, demandando, aproxmadamente, 1 mnuto e 15 segundos de processamento para se obter a solução ótma para o problema. Não houve desvos de qualdade e produção em relação às metas requerdas, obtendo-se uma relação estérl/ mnéro de 0,3. Foram alocados todos os 8 equpamentos de carga dsponíves, operando com produção máxma, e utlzados 23 camnhões dos 30 dsponíves, sendo 12 de 50 t e 11 de 80 t, com uma produtvdade de 80,4%. Em relação ao trabalho de Pnto et al. (2003), o número total de restrções utlzadas reduzu de 4751 para apenas 671, mesmo consderando que o modelo proposto nclu outras restrções além daquelas abordadas no referdo trabalho. Observa-se, também, que, para se alcançarem as metas de produção e de qualdade, fo necessáro um camnhão a mas, acarretando uma redução de produtvdade de 5,85%, tomando como base a produtvdade de 85,4% obtda no trabalho de Pnto et al. (2003). 5. Conclusões A aplcação de métodos de pesqusa operaconal na resolução de problemas de planeamento de produção em mneração é de grande mportânca, auxlando a tomada de decsão de forma efcente. O modelo de programação lnear por metas proposto nesse trabalho demonstra que é possível atngr as metas requerdas e otmzar as operações de transporte e carregamento, com uma pequena redução de produtvdade. Observa-se, ademas, que esse trabalho contrbu com a automação e otmzação do planeamento de lavra, possbltando às empresas de mneração uma melhor utlzação de seus recursos. 6. Referêncas bblográfcas CHANDA, E. K. C., DAGDELEN, KADRI. Optmal blendng of mne producton usng goal programmng and nteractve graphcs systems. Internatonal Journal of Surface Mnng, Reclamaton and Envronment. v. 9, p. 203-208, 1995. MERSCHMANN, L. H. C. Desenvolvmento de um sstema de otmzação e smulação para análse de cenáros de produção em mnas a céu aberto. Ro de Janero: Programa de Engenhara de Produção/ COPPE/UFRJ, 2002. (Dssertação de mestrado). PINTO, L. R., BIAJOLI, F. L., MINE, O. M. Uso de otmzador em planlhas eletrôncas para auxílo ao planeamento de lavra. Ouro Preto: Programa de Pós-graduação em Engenhara Mneral, Unversdade Federal de Ouro Preto, 2003. (Relatóro técnco). PINTO, L. R., MERSCHMANN, L. H. C. Planeamento operaconal da lavra de mna usando modelos matemátcos. REM - Revsta Escola de Mnas. v. 54, n. 3, p. 211-214, 2001. Artgo recebdo em 30/06/2004 e aprovado em 23/12/2004. A questão SEER ou não SEER dexou de exstr: Agora os autores utlzarão o SEER para envar e acompanhar seu artgo até o momento da publcação. REM 69 anos dvulgando Cênca 81