ANÁLISE DO TRADE-OFF ENTRE O CUSTO DE INSTALAÇÃO DE NOVOS SERVIDORES E CUSTO DE ESPERA EM FILA EM UM SISTEMA LOGÍSTICO DE COLHEITA DE MILHO

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1 XXX ENCONTRO NACIONAL DE ENGENHARIA DE PRODUÇÃO Maturdade e desafos da Engenhara de Produção: compettvdade das empresas, condções de trabalho, meo ambente. São Carlos, SP, Brasl, 12 a15 de outubro de ANÁLISE DO TRADE-OFF ENTRE O CUSTO DE INSTALAÇÃO DE NOVOS SERVIDORES E CUSTO DE ESPERA EM FILA EM UM SISTEMA LOGÍSTICO DE COLHEITA DE MILHO Bruno Jensen Vrgno da Slva (UFSCar) brunojen@gmal.com Cleber Damão Rocco (UFSCar) cdrocco@dep.ufscar.br Este trabalho apresenta o estudo de um sstema de descarregamento de mlho durante o período de colheta. Camnhões com mlho colhdo aguardam em fla de tamanho lmtado na parte externa da fábrca até descarregar em servdores dêntcos ee em paralelo. No pco da safra a fla aumenta bastante e o tempo de espera pode se tornar um componente mportante no custo logístco do sstema. Este trabalho analsa justamente o trade-off entre o custo de nstalar novos servdores e o custo de espera em fla utlzando as ferramentas de modelagem de teora das flas. Esse problema pode ser representado como um problema M/M/m/K na notação de sstemas de flas. O modelo M/M/m/K fo mplementado no software Matlab e os resultados mostraram que exste potencal de melhora do sstema logístco com a nstalação de novos servdores. Palavras-chaves: descarregamento de mlho, teora de flas, logstca agrondustral

2 Introdução O sstema logístco da cadea agrondustral do mlho destnado à fabrcação de conservas e outros produtos para consumo humano, conhecdo entre agentes do setor como mlho doce, possu característcas em comum com mutos outros sstemas agrondustras, como por exemplo: do tomate, da goaba e da laranja para processamento ndustral. A prncpal característca das cadeas agrondustras é a presença de períodos bem defndos para a colheta do produto e janelas de tempo curtas para o processamento da matéra-prma, pos esta se deterora com o passar do tempo até o níco do processamento. Longos períodos de espera até o momento do produto ser benefcado mplcam em elevados custos de perdas, tanto de ordem físca quanto na qualdade da matéra-prma. A teora das flas surgu como ramo da pesqusa operaconal que se preocupa com a congestão nos sstemas de atendmento aos clentes. Destaque e elegânca da teora são os modelos matemátcos com fórmulas fechadas para o tratamento de sstemas de flas dstntos. Em Larson e Odon (1981) e Arenales et al. (2007) podem ser encontrados alguns dos prncpas modelos de fla aplcados aos sstemas logístcos. Alguns autores aplcaram os métodos analítcos de teora das flas em dversos contextos, como Morabto e Lma (2000), Slva e Morabto (2007; 2008), Rnald et al. (2009), Rnald (2007) ou modelos de smulação como Iannon e Morabto (2006). Neste trabalho, o objetvo fo dmensonar o número de servdores que deveram ser abertos daramente para que o custo dáro do sstema logístco fosse mnmzado. No contexto deste trabalho, o custo do sstema logístco é composto pelo custo de abertura e funconamento de cada servdor e também pelo custo de espera de cada camnhão na fla de descarregamento. Na medda em que se aumenta o número de servdores abertos, dmnu-se o tamanho e o tempo de espera na fla de descarregamento, desta manera, exste um trade-off entre número de servdores e tamanho da fla que deve ser analsado levando em conta os custos totas envolvdos no sstema. 2.Caracterzação do problema Em uma ndústra de almentos que produz latas de mlho em conserva e preparados de mlho para elaboração de bolos e mngaus, camnhões são carregados no campo com a colheta de mlho e estes então, transportam a carga para a fábrca, onde a matéra-prma é transformada em produto fnal. Atualmente, na empresa onde fo realzado este estudo, exstem duas docas de descarregamento de mlho em funconamento (aqu chamados de servdores), ndependentemente do período do ano, tanto durante os meses de colheta, quando a taxa de chegada de camnhões na fábrca é elevada, quanto no período de entressafra, quando poucos camnhões trazem mlho do campo para a fábrca. A fgura 1 lustra o sstema agrondustral estudado no trabalho. 2

3 Fgura 1 Sstema logístco do mlho doce para processamento ndustral A safra do mlho doce é dstrbuída entre os meses de junho a outubro, com concentração nos meses de agosto e setembro. O aumento da colheta gera uma maor demanda por camnhões de manera que se nca a formação de fla de camnhões na porta da fábrca esperando pelo descarregamento. Este comportamento é típco de sstemas logístcos agrondustras, onde normalmente a capacdade de processamento ndustral é um gargalo dante do sstema de transporte de carga dsponível. A fgura 2 apresenta a quantdade dára de mlho descarregada na fábrca durante os meses de safra. Observe que a safra se nca com uma quantdade pequena que cresce até atngr suas maores quantdades em torno de toneladas dáras. É possível observar os vales peródcos na quantdade de mlho que chega até a fábrca, ndcando os fnas de semana, quando não acontece colheta. No fnal da safra a quantdade colhda por da começa a declnar até a conclusão da colheta nas áreas plantadas dsponíves para a fábrca. 3

4 Mlho Colhdo (ton) jul-09 ago-09 set-09 out-09 nov-09 Fgura 2 Quantdade dára de mlho descarregado na fábrca durante a safra Os camnhões que esperam em fla na frente na fábrca ncorrem em dversos custos assocados, como o custo do própro equpamento p. ex.: deprecação, o custo de oportundade de realzar outro servço naquele momento no qual se está parado e custos do própro motorsta, e dependendo do contrato entre as partes que oferecem o servço de transporte e o demandante, custos de multa por tempo de espera em fla e outros. Neste trabalho, analsou-se o sstema de descarregamento de matéra-prma provenente do campo, buscando apoar a decsão do dmensonamento do número de servdores (locas de descarregamento do mlho) para que o custo total de operação fosse mnmzado. Isso sgnfca decdr entre pagar pelo funconamento de servdores adconas e reduzr o custo assocado às flas ou não pagar por mas servdores e pagar o custo assocado às flas. 3.Tratamento de dados Foram obtdas nformações das quantdades de camnhões que chegavam para descarregar mlho, a cada hora, nos servdores, para cada da da safra. A tabela 1 exemplfca os dados obtdos para o da 1 de agosto. Para cada hora foram regstradas as quantdades de camnhões que chegaram à fábrca. No exemplo, tem-se que entre 1h até 4h não chegaram qualquer camnhão, entretanto das 13 horas às 14 horas chegaram 27 camnhões à fábrca. Horas TOTAL 1/ago Tabela 1 Quantdade de camnhões (por hora) que chegaram ao longo de um da Pela falta da nformação entre o ntervalo de tempo de chegadas sucessvas dos camnhões, consderou-se que os veículos chegavam a ntervalos regulares dentro de uma hora, ou seja, se chegaram 4 camnhões em uma hora, o ntervalo de chegada de cada um deles fo de 15 mnutos. 4

5 A tabela 2 apresenta como fo dstrbuído unformemente o tempo do ntervalo de chegadas entre camnhões em um determnado da. Por exemplo: no da 1 de agosto, entre a 00:00 e 1:00 chegaram nove camnhões, então, o ntervalo entre chegadas de cada um deles fo de 6,6 mnutos. 1/ago 0:00 0:06 0:13 0:20 0:26 0:33 0:40 0:46 0:53 5:00 Tabela 2 Momento da chegada dos 10 prmeros camnhões no da 1 de agosto Com os horáros da tabela 2, do momento de chegada dos camnhões, fo possível calcular o ntervalo entre chegadas sucessvas para todos os das de dados dsponíves. 1/ago 00:00 0:06 0:07 0:07 0:06 0:07 0:07 0:06 0:07 4:07 Tabela 3 Intervalo entre chegadas sucessvas dos camnhões na prmera hora do da 1 de agosto O gráfco da fgura 3 apresenta o hstograma dos ntervalos entre chegadas sucessvas dos camnhões na fábrca. Aproxmadamente 70% dos camnhões chegam à fábrca com ntervalos menores do que oto mnutos, e 91% chegam com ntervalos menores que dezesses mnutos. Fgura 3 Hstograma dos ntervalos entre chegadas sucessvas dos camnhões na fábrca Por meo do software Input Analyzer foram realzados os testes de aderênca das curvas estatístcas pra dentfcar qual delas melhor representara a dstrbução de probabldade do ntervalo de chegadas sucessvas entre os camnhões. A tabela 4 apresenta o desvo quadrado entre as curvas estatístcas e a curva dos dados do problema. Dante destes resultados, no qual a curva da dstrbução exponencal fo a segunda que melhor apresentou aderênca aos dados reas do problema, assumu-se que a dstrbução de probabldade dos dados de chegada dos camnhões na fábrca segue a dstrbução de Posson, assm, o processo de chegada pode se consderado como markovano. Dentro de um da de análse, assumu-se que o sstema atnge o estado de equlíbro, no qual 5

6 as flutuações na taxa de chegada dos camnhões osclam em torno de uma méda fxa. 6

7 Tpo de curva Desvo quadrado Lognormal 0, Exponencal 0,00548 Erlang 0,00548 Gamma 0,0116 Beta 0,0822 Webull 0,118 Normal 0,451 Trangular 0,838 Unforme 0,856 Tabela 4 Soma dos desvos quadrados entre as curvas testadas e a curva dos dados O tempo médo de descarregamento de cada camnhão de mlho a partr do momento que ele sa da fla de espera e entra na fábrca é de aproxmadamente 40 mnutos, ou seja, a capacdade de descarregamento dáro de cada servdor é de 36 camnhões por da, com o tempo dsponível de trabalho de 24 horas. Pela falta de nformações do ntervalo de tempo entre as fnalzações do processo de servço, assumu-se também que a dstrbução de probabldades do ntervalo de térmno de servços segue dstrbução exponencal, ou seja, também a dstrbução do número de fnalzações de servço segue dstrbução de Posson, e o processo de atendmento é markovano. A empresa estma que o custo de abertura de um servdor adconal é em torno de R$ 400,00 por da, pos as nstalações já estão prontas e havera necessdade de contratar mão-de-obra adconal e trená-la para executar as tarefas. Já o custo de espera dos camnhões em fla é bastante elevado, consderando o custo de oportundade de alocar o recurso no transporte de outras cargas e também do contrato realzado com as empresas de transporte que fornecem os veículos. Estma-se o custo horáro da fla de camnhões em torno de R$ 1.000,00, este montante nclu dversos componentes que fazem parte do contrato que a fábrca de almentos possu com a empresa de transporte que fornece os camnhões, além da degradação dos produtos que são perecíves. Por lmtações de área onde a fábrca está localzada, não é possível a formação de uma fla que exceda 100 camnhões, portanto este é o lmte do tamanho da fla do o sstema em estudo. 4.Modelo Matemátco O problema deste trabalho pode ser abordado por meo de um modelo de flas do tpo M/M/m/K, ou seja, processos de chegada e de servço com tempos exponencalmente dstrbuídos, sendo m o número de servdores dêntcos em paralelo e K o número de camnhões no sstema. Os seguntes parâmetros compõem os dados de entrada do modelo: C servdor : custo de um servdor aberto em funconamento; C fla : custo de esperar uma undade de tempo em fla; : taxa de chegada de camnhões no da ; : taxa de processamento de camnhões. A varável de decsão do modelo proposto é o número de servdores que deverão funconar em cada da para que o custo do sstema logístco seja mnmzado. A varável m representa tal decsão. m : número de servdores em funconamento no da. 7

8 A função objetvo do modelo é mnmzar o custo total do sstema logístco, formado pelo custo de funconamento dos m servdores com o tempo médo de espera em fla W q. A equação 1 apresenta a função objetvo do modelo. Mnmzar C. m C. W Z Equação 1 servdor fla q A função objetvo do problema está assocada a um conjunto de equações, e restrções de domíno das varáves que devem ser satsfetas, e que estão lstadas abaxo. P 0 n / / m m n! m! n0 nm1 n / u Pk. P nm 0 m! m 1. K mu nm Equação 2 Equação 3 m K m K m P O ( / u) / mu K m Equação 4 L q m m u mu mu mu!.(1 j / ) 1 P ) Equação 5 Lq Wq 0.( k Equação 6 m Equação 7 A equação 2 faz o cálculo da probabldade do sstema estar vazo, ou seja, de não exstr usuáros sendo atenddos ou em espera nas flas. A equação 3 realza o cálculo da probabldade do sstema estar completamente congestonado. A equação 4 fornece o número médo de veículos que formarão a fla, enquanto que a equação 5, por meo da taxa de chegada no sstema e a probabldade do mesmo estar completamente congestonado, apresenta a taxa efetva de entrada de camnhões no sstema, desta manera, consderando as perdas decorrentes do sstema ser lmtado. A equação 6 faz o cálculo do tempo médo de espera em fla, que compõe o cálculo do custo na função objetvo. Por últmo, a equação 7 apresenta o domíno da varável de decsão m que deverá ser gual ou maor que o valor zero. 5.Resultados Por meo de lnguagem matemátca de programação fo mplementado no software MATLAB o modelo de flas apresentado na seção 4. Os resultados são apresentados a segur na forma gráfca e dscutdos na seqüênca. O gráfco da fgura 4 apresenta o tempo médo de espera dos camnhões em fla na confguração atual do sstema, com dos servdores funconando. No exo das ordenadas está o tempo médo de fla (W q ), em das. Percebe-se que, em méda, espera-se 12 horas (0,5 x 24h) para realzar o descarregamento da carga de mlho na confguração atual do sstema. 8

9 Fgura 4 Tempo méda de espera em fla no sstema atual (2 servdores) Processou-se o modelo proposto varando-se o número m de servdores de 1 a 10 para cada um dos das da safra, de modo a obter curvas que pudessem mostrar o trade-off entre o custo de abertura dos servdores e o custo total do sstema para dferentes taxas de chegada. O gráfco em três dmensões da fgura 5 relacona a abertura dos servdores, a taxa de chegada em cada da da safra com o custo total dáro de operação do sstema. Fgura 5 Curvas de trade-off entre a abertura de servdores, taxas de chegada e custo total do sstema É possível perceber a característca côncava da curva de trade-off, na qual com poucos servdores em funconamento, os custos totas são mas elevados, e a medda que se aumenta o número de servdores em operação, os custos totas dmnuem até atngr o ponto de mínmo para que então o custo volte a aumentar. Isso acontece porque o custo de abertura do servdor passa a ser mas relevante do que o custo de espera em fla, pos o tamanho da fla dmnu 9

10 Custo total (R$) com a abertura de servdores. A fgura 6 apresenta o perfl das curvas de trade-off para cada da da safra, onde é possível perceber como o custo do sstema se comporta com a abertura de servdores. No sstema em estudo, percebe-se que quatro servdores em funconamento, possvelmente, sera o número adequado que mnmzara o custo total dáro do sstema. Número de servdores (m) Fgura 6 Perfl da curva de trade-off entre o número de servdores e o custo total do sstema O modelo mplementado calcula para cada da da safra, no qual a taxa de chegada de camnhões é dstnta, o custo total em função do número de servdores em funconamento. Deste modo, é possível dentfcar o número ótmo de servdores no qual o custo total do sstema é mnmzado. A fgura 7 apresenta as quantdades de servdores que mnmzam o custo dáro do sstema para cada da da safra. 10

11 Fgura 7 Número de servdores ótmos abertos em cada da da safra Observa-se que na maor parte dos das da safra, o funconamento de quatro servdores é sufcente para atender de manera adequada as dferentes taxas de chegada dos camnhões na fábrca. Em alguns poucos das, no qual a taxa de chegada aumenta consderavelmente, passa a ser necessára a abertura de um número adconal de servdores, conforme lustrado na fgura 7. É possível observar no gráfco que há das no qual são necessáros um número menor do que quatro servdores em funconamento. Estes das nas extremdades do período são o níco e o fm da safra, quando as taxas de chegadas dos camnhões são menores do que méda. No meo da safra, a redução peródca no número de servdores é decorrente dos fnas de semana. O perfl dos custos totas dáros do sstema (abertura de servdores e custo de espera da fla) pode ser observado na fgura 8. Percebe-se que com a abertura de quatro servdores, o custo assocado ao tamanho da fla torna-se mnortáro, e o custo majortáro passa ser de abertura e funconamento dos servdores. 11

12 Fgura 8 Custos totas dáros no sstema No gráfco da fgura 8 percebe-se que o custo total do sstema atngu seu máxmo em torno de R$ 3.000,00 por da. Este resultado ocorre porque exste um mecansmo de compensação entre o custo de abrr os servdores e o custo da fla. Por exemplo: em um da pode ocorrer a solução ótma de sete servdores operando gerando um tempo muto reduzdo de fla e determnando um custo total aproxmado de R$ 3.000,00. Em outro da, com o funconamento de, por exemplo, quatro servdores como solução ótma, e um tamanho de fla dferente e maor do que aquela com sete servdores, ncorre em custos totas bastante parecdos com solução anteror (R$ 3.000,00). Com a abertura de quatro servdores funconando em tempo ntegral (24 horas), o tempo médo de fla se reduz consderavelmente. Percebe-se que, em méda, o tempo de espera passa para aproxmadamente 8 mnutos (0,006h x mn.), exceto para alguns das da safra quando ocorrem pcos de chegada de camnhões. O gráfco da fgura 9 apresenta o perfl do tempo de espera (W q ) quando o sstema opera com quatro servdores. 12

13 custo total (m=2) custo total (m=4) Fgura 9 Perfl do tempo de espera (W q ) com o funconamento permanente de 4 servdores No gráfco da fgura 10 são apresentadas as curvas de custos totas para o sstema operando com dos e quatro servdores. É possível perceber que o custo dáro do sstema com quatro servdores em funconamento é aproxmadamente R$ 1.600,00 e custo de fla pratcamente nulo, com exceção de alguns das de pco decorrente do aumento abrupto na taxa de chegada, enquanto que a operação com dos servdores a fla torna-se muto grande com custos na ordem de R$ ,00, e custos muto baxos de operação de servdores custo total (m=2) custo total (m=4) das Fgura 10 Comparação do custo total para m = 2 e m = 4 servdores - 6.Conclusões Este estudo fo uma abordagem prelmnar para um problema de logístca agrondustral aplcado à cadea de produção do mlho doce. Como prmero resultado, fo possível dentfcar um potencal de ganhos na operação do sstema. A modfcação no número de servdores (docas de descarregamento de mlho) podera gerar economas consderáves no sstema logístco decorrente, prncpalmente, da 13

14 redução do tamanho e tempo da fla de espera no descarregamento. Os resultados sugerem que, possvelmente, o sstema logístco está operando fora do ponto de mínmo do trade-off entre custo de abertura dos servdores e custo de espera dos camnhões em fla. Uma perspectva de pesqusas futuras é abordar o problema em uma escala temporal menor daquela abordada neste estudo. Por exemplo, analsar o comportamento do sstema a cada hora para sugerr o funconamento dos servdores em horas específcas do da. Uma outra perspectva de pesqusa nteressante sera abordar o sstema de descarregamento de mlho de forma ntegrada com a produção, ou seja, com a demanda da fábrca. Uma vez que o custo de falta de matéra-prma é muto elevado. 14

15 Referêncas Arenales, M., Armentano, V., Morabto, R., Yanasse, H. H., Pesqusa Operaconal, Ro de Janero, Elsever, Iannon, A. P., Morabto, R. A dscrete smulaton analyss of a logstcs supply system. Transportataton Research, E. 42, n. 3, , Larson, R. C, Odon, A. R., Urban Operatons Research, Prentce-Hall, New Jersey, Morabto, R., Lma, F. C. R., Um modelo para analzar o problema de flas em caxas de supermercados: um estudo de caso. Pesqusa Operaconal, vol. 20, n. 1, jun., Rnald, J. G. S., A mportânca da rapdez de atendmento nos caxas de supermercados: um estudo de caso utlzando modelo analítco de flas com trocas. Tese (Doutorado em Engenhara de Produção), São Carlos: Unversdade Federal de São Carlos, Rnald, J. G. S., Morabto, R., Tachbana, V. M., A mportânca da rapdez de atendmento em supermercados: um estudo de caso. Gestão e Produção, vol. 16, n. 1, 1-14, jan.-mar Slva, C. R. N., Morabto, R., Aplcação de modelos de redes de flas abertas no planejamento do sstema jobshop de uma planta metal-mecânca. Gestão e Produção, vol. 14, n. 2, pág , mao-ago, Slva, C. R. N., Morabto, R. Performance evaluaton and capacty plannng n a metallurgcal job-shop system usng open queng network models. Internatonal Journal of Producton Research, vol. 47, n. 23, ago, pág ,