Estruturas de Sistemas Discretos

Estruturas de Sistemas Discretos Luís Caldas de Oliveira lco@istutlpt Instituto Superior Técnico Estruturas de Sistemas Discretos p1/43

Resumo Representações gráficas das equações às diferenças Estruturas de Sistemas Discretos p2/43

Resumo Representações gráficas das equações às diferenças Estruturas ásicas de sistemas IIR Estruturas de Sistemas Discretos p2/43

Resumo Representações gráficas das equações às diferenças Estruturas ásicas de sistemas IIR Formas transpostas Estruturas de Sistemas Discretos p2/43

Resumo Representações gráficas das equações às diferenças Estruturas ásicas de sistemas IIR Formas transpostas Estruturas ásicas de sistemas FIR Estruturas de Sistemas Discretos p2/43

Resumo Representações gráficas das equações às diferenças Estruturas ásicas de sistemas IIR Formas transpostas Estruturas ásicas de sistemas FIR Estruturas em lattice Estruturas de Sistemas Discretos p2/43

Resumo Representações gráficas das equações às diferenças Estruturas ásicas de sistemas IIR Formas transpostas Estruturas ásicas de sistemas FIR Estruturas em lattice Efeitos numéricos da precisão finita Estruturas de Sistemas Discretos p2/43

Ojectivo Prolema: Realiar sistemas em tempo discreto de forma eficiente e com uma precisão numérica adequada Estruturas de Sistemas Discretos p3/43

Ojectivo Prolema: Realiar sistemas em tempo discreto de forma eficiente e com uma precisão numérica adequada Solução: vamos definir estruturas ásicas para os diversos tipos de sistemas e vamos estudar as diversas formas de representação numérica Estruturas de Sistemas Discretos p3/43

A Explosão do Ariane 5 Em 4 de Junho de 1996, o foguetão Ariane 5 explodiu na sua viagem inaugural A concepção do foguetão demorou cerca de 10 anos e custou cerca de 7 mil milhões de euros Nesse voo o foguetão ia lançar um conjunto de quatro satélites com um valor de 500 milhões de euros Estruturas de Sistemas Discretos p4/43

A Explosão do Ariane 5 Em 4 de Junho de 1996, o foguetão Ariane 5 explodiu na sua viagem inaugural A concepção do foguetão demorou cerca de 10 anos e custou cerca de 7 mil milhões de euros Nesse voo o foguetão ia lançar um conjunto de quatro satélites com um valor de 500 milhões de euros O acidente deveu-se a um erro de overflow na conversão de um valor representado em 64 its com vírgula flutuante para um inteiro de 16 its com sinal http://wwwimaumnedu/ arnold/disasters/ariane5rephtml Estruturas de Sistemas Discretos p4/43

Classificação de um Sistema Discreto Real: a resposta ao impulso, h(n), é real Estruturas de Sistemas Discretos p5/43

Classificação de um Sistema Discreto Real: a resposta ao impulso, h(n), é real Causal: h(n) = 0 para n < 0 Estruturas de Sistemas Discretos p5/43

Classificação de um Sistema Discreto Real: a resposta ao impulso, h(n), é real Causal: h(n) = 0 para n < 0 Estável: + n= h(n) < Estruturas de Sistemas Discretos p5/43

Classificação de um Sistema Discreto Real: a resposta ao impulso, h(n), é real Causal: h(n) = 0 para n < 0 Estável: + n= h(n) < FIR: h(n) tem duração finita Estruturas de Sistemas Discretos p5/43

Classificação de um Sistema Discreto Real: a resposta ao impulso, h(n), é real Causal: h(n) = 0 para n < 0 Estável: + n= h(n) < FIR: h(n) tem duração finita IIR: h(n) tem duração infinita Estruturas de Sistemas Discretos p5/43

Classificação de um Sistema Discreto Real: a resposta ao impulso, h(n), é real Causal: h(n) = 0 para n < 0 Estável: + n= h(n) < FIR: h(n) tem duração finita IIR: h(n) tem duração infinita Fase linear: FIR com atraso de grupo constante d dw { H(ejω )} = K Estruturas de Sistemas Discretos p5/43

Classificação de um Sistema Discreto Real: a resposta ao impulso, h(n), é real Causal: h(n) = 0 para n < 0 Estável: + n= h(n) < FIR: h(n) tem duração finita IIR: h(n) tem duração infinita Fase linear: FIR com atraso de grupo constante d dw { H(ejω )} = K Fase mínima: pólos e eros no interior do círculo unitário Estruturas de Sistemas Discretos p5/43

Classificação de um Sistema Discreto Real: a resposta ao impulso, h(n), é real Causal: h(n) = 0 para n < 0 Estável: + n= h(n) < FIR: h(n) tem duração finita IIR: h(n) tem duração infinita Fase linear: FIR com atraso de grupo constante d dw { H(ejω )} = K Fase mínima: pólos e eros no interior do círculo unitário Passa-tudo: H(e jω ) = K Estruturas de Sistemas Discretos p5/43

Diagrama de Blocos As equações às diferenças podem ser representadas num diagrama de locos com símolos para: soma de duas sequências; multiplicação de uma sequência por uma constante; atraso unitário Exemplo: y(n) = x(n) + x(n 1) + ay(n 1) x(n) y(n) a Estruturas de Sistemas Discretos p6/43

Grafo de Fluxo A representação num grafo de fluxo é essencialmente igual à representação em locos excepto na notação utiliada: o grafo é um conjunto de ramos que se interligam em nós; Estruturas de Sistemas Discretos p7/43

Grafo de Fluxo A representação num grafo de fluxo é essencialmente igual à representação em locos excepto na notação utiliada: o grafo é um conjunto de ramos que se interligam em nós; a cada nó está associada uma sequência; Estruturas de Sistemas Discretos p7/43

Grafo de Fluxo A representação num grafo de fluxo é essencialmente igual à representação em locos excepto na notação utiliada: o grafo é um conjunto de ramos que se interligam em nós; a cada nó está associada uma sequência; cada ramo corresponde a uma transformação linear do nó de entrada para o de saída Estruturas de Sistemas Discretos p7/43

Exemplo de um Grafo y(n) = x(n) + x(n 1) + ay(n 1) x(n) H() = 1 + 1 a y(n) a Estruturas de Sistemas Discretos p8/43

Sistemas IIR Forma Directa I y(n) = N a k y(n k) + N k x(n k) k=1 k=0 x(n) 0 y(n) 1 a 1 2 a 2 N N a a N N Estruturas de Sistemas Discretos p9/43

Função de Transferência e a Forma Directa I H() = N k=0 k k 1 N k=1 a k k x(n) 0 y(n) 1 a 1 2 a 2 N a N N a N Estruturas de Sistemas Discretos p10/43

Função de Transferência e a Forma Directa I H() = N k=0 k k 1 N k=1 a k k x(n) 0 y(n) 1 a 1 2 a 2 N N a a N Cuidado com o sinal dos coeficientes do denominador! N Estruturas de Sistemas Discretos p10/43

Sistemas IIR Forma Directa II x(n) 0 y(n) a 1 1 a 2 2 a N N a N N Estruturas de Sistemas Discretos p11/43

Sistemas IIR Forma Directa II x(n) 0 y(n) a 1 1 a 2 2 a N N an N Forma canónica: forma de realiação do sistema com o número mínimo de atrasos Estruturas de Sistemas Discretos p11/43

Sistemas IIR Forma de Cascata H() = L k=1 ok + 1k + 2k 2 1 a 1k a 2k 2 x(n) 01 02 0L y(n) a 11 11 a 12 12 a 1L 1L a 21 a 21 22 a 22 2L 2L Estruturas de Sistemas Discretos p12/43

Sistemas IIR Forma de Cascata H() = L k=1 ok + 1k + 2k 2 1 a 1k a 2k 2 x(n) a a 11 21 01 11 a a 12 21 22 02 12 1L 22 2L Utiliam-se sistemas de segunda ordem para que os coeficientes sejam reais e o sistema possa ser realiado com aritmética real a a 0L 1L 2L y(n) Estruturas de Sistemas Discretos p12/43

Sistemas IIR Forma Paralela H() = M N k=0 C k k + L k=1 e ok + e 1k 1 a 1k a 2k 2 C 0 e 01 a 11 e 11 x(n) a 21 e 02 y(n) a 12 e 12 a a 22 1L e e 0L 1L a 2M Estruturas de Sistemas Discretos p13/43

Grafo Não-Computável Quando não é possível ordenar os nós de um grafo de forma a que as variáveis associadas aos nós se possam calcular em sequência, di-se que o grafo é não-computável Exemplo: y(n) = ay(n) + x(n) x(n) y(n) a Para um grafo ser computável, todas as realimentações têm de possuir pelo menos um atraso O facto de um grafo não ser computável, não significa que a equação às diferenças não tenha solução Estruturas de Sistemas Discretos p14/43

Transformações de Grafos A B AB C AC A A 1 AB B Estruturas de Sistemas Discretos p15/43

Transposição de Um Grafo Inverter as direcções de todos os ramos mantendo as transmitâncias Trocar o nó de saída pelo de entrada Estruturas de Sistemas Discretos p16/43

Transposição de Um Grafo Inverter as direcções de todos os ramos mantendo as transmitâncias Trocar o nó de saída pelo de entrada Teorema da transposição: O grafo resultante da transposição tem a mesma função de transferência do grafo original Estruturas de Sistemas Discretos p16/43

Sistemas FIR Forma Directa y(n) = M k x(n k) = M h(k)x(n k) k=0 k=0 x(n) M H() = k k k=0 h(0) h(1) h(2) h(m) h(m) y(n) Estruturas de Sistemas Discretos p17/43

Sistemas FIR Forma Directa Transposta x(n) h(m) h(m) h(m 2) h(1) y(n) h(0) Estruturas de Sistemas Discretos p18/43

Sistemas FIR Forma em Cascata H() = M h(n) n = M+1 2 ( 0k + 1k + 2k 2 ) n=0 k=1 x(n) 01 02 0P 11 12 1P y(n) 21 22 2P Estruturas de Sistemas Discretos p19/43

Relação Entre Amplitude e Fase Dado H(e jω ) 2 é possível oter H(e jω )? Estruturas de Sistemas Discretos p20/43

Relação Entre Amplitude e Fase Dado H(e jω ) 2 é possível oter H(e jω )? H(e jω ) 2 = H(e jω )H (e jω ) = C(e jω ) Estruturas de Sistemas Discretos p20/43

Relação Entre Amplitude e Fase Dado H(e jω ) 2 é possível oter H(e jω )? H(e jω ) 2 = H(e jω )H (e jω ) = C(e jω ) Se em C(e jω ) se trocar e jω por : C() = H()H (1/ ) ( ) 2 M 0 k=1 = (1 c k )(1 c k ) a N 0 k=1 (1 d k )(1 d k ) Estruturas de Sistemas Discretos p20/43

Relação Entre Amplitude e Fase Dado H(e jω ) 2 é possível oter H(e jω )? H(e jω ) 2 = H(e jω )H (e jω ) = C(e jω ) Se em C(e jω ) se trocar e jω por : C() = H()H (1/ ) ( ) 2 M 0 k=1 = (1 c k )(1 c k ) a N 0 k=1 (1 d k )(1 d k ) Os pólos e eros de C() ocorrem em pares recíprocos conjugados: k, 1/ k Estruturas de Sistemas Discretos p20/43

Sistema de Fase Mínima Um sistema de fase mínima tem todos os pólos e eros no interior do círculo unitário Os sistemas de fase mínima não invertíveis podem ter os eros sore o círculo unitário Estruturas de Sistemas Discretos p21/43

Sistema de Fase Mínima Um sistema de fase mínima tem todos os pólos e eros no interior do círculo unitário Os sistemas de fase mínima não invertíveis podem ter os eros sore o círculo unitário Se H() é de fase mínima então é possível oter a localiação dos seus pólos e eros a partir de H(e jω ) 2 : escolhem-se os pólos e eros de C() que estão no interior do círculo unitário Estruturas de Sistemas Discretos p21/43

Sistema de Fase Mínima Um sistema de fase mínima tem todos os pólos e eros no interior do círculo unitário Os sistemas de fase mínima não invertíveis podem ter os eros sore o círculo unitário Se H() é de fase mínima então é possível oter a localiação dos seus pólos e eros a partir de H(e jω ) 2 : escolhem-se os pólos e eros de C() que estão no interior do círculo unitário Os pólos e eros de C() no exterior do círculo unitário pertencem a H (1/ ): C() = H()H (1/ ) Estruturas de Sistemas Discretos p21/43

Sistemas Passa-Tudo Passa-tudo de 1 ā ordem: H ap () = a 1 a Estruturas de Sistemas Discretos p22/43

Sistemas Passa-Tudo Passa-tudo de 1 ā ordem: H ap () = a 1 a ero em em p = a: = 1/a e pólo 1/a a Estruturas de Sistemas Discretos p22/43

Sistemas Passa-Tudo Passa-tudo de 1 ā ordem: H ap () = a 1 a ero em em p = a: = 1/a e pólo 1/a a Um filtro passa-tudo de ordem superior pode ser otido pela cascata de secções de 1 a ordem Estruturas de Sistemas Discretos p22/43

Decomposição em Fase Mínima e Passa-Tudo Qualquer função de transferência racional pode ser decomposta em: H() = H min ()H ap () os pólos e eros no interior do círculo unitário pertencem a H min () Estruturas de Sistemas Discretos p23/43

Decomposição em Fase Mínima e Passa-Tudo Qualquer função de transferência racional pode ser decomposta em: H() = H min ()H ap () os pólos e eros no interior do círculo unitário pertencem a H min () os pólos e eros no exterior do círculo unitário aparecem em H min () na posição recíproca conjugada Estruturas de Sistemas Discretos p23/43

Decomposição em Fase Mínima e Passa-Tudo Qualquer função de transferência racional pode ser decomposta em: H() = H min ()H ap () os pólos e eros no interior do círculo unitário pertencem a H min () os pólos e eros no exterior do círculo unitário aparecem em H min () na posição recíproca conjugada o sistema H ap () contém os pólos e eros de H() no exterior do círculo unitário em como os equivalentes eros e pólos na posição recíproca conjugada Estruturas de Sistemas Discretos p23/43

Propriedades dos Sistemas de Fase Mínima Do conjunto de sistemas que têm a mesma amplitude da resposta em frequência, apenas um tem fase mínima De todos estes sistemas, o de fase mínima tem as seguintes características: Estruturas de Sistemas Discretos p24/43

Propriedades dos Sistemas de Fase Mínima Do conjunto de sistemas que têm a mesma amplitude da resposta em frequência, apenas um tem fase mínima De todos estes sistemas, o de fase mínima tem as seguintes características: introdu a menor diferença de fase; Estruturas de Sistemas Discretos p24/43

Propriedades dos Sistemas de Fase Mínima Do conjunto de sistemas que têm a mesma amplitude da resposta em frequência, apenas um tem fase mínima De todos estes sistemas, o de fase mínima tem as seguintes características: introdu a menor diferença de fase; tem o menor atraso de fase; Estruturas de Sistemas Discretos p24/43

Propriedades dos Sistemas de Fase Mínima Do conjunto de sistemas que têm a mesma amplitude da resposta em frequência, apenas um tem fase mínima De todos estes sistemas, o de fase mínima tem as seguintes características: introdu a menor diferença de fase; tem o menor atraso de fase; tem o menor atraso de energia Estruturas de Sistemas Discretos p24/43

Propriedades dos Sistemas de Fase Mínima Do conjunto de sistemas que têm a mesma amplitude da resposta em frequência, apenas um tem fase mínima De todos estes sistemas, o de fase mínima tem as seguintes características: introdu a menor diferença de fase; tem o menor atraso de fase; tem o menor atraso de energia O inverso de um sistema de fase mínima tamém é de fase mínima Estruturas de Sistemas Discretos p24/43

Propriedades dos Sistemas de Fase Mínima Do conjunto de sistemas que têm a mesma amplitude da resposta em frequência, apenas um tem fase mínima De todos estes sistemas, o de fase mínima tem as seguintes características: introdu a menor diferença de fase; tem o menor atraso de fase; tem o menor atraso de energia O inverso de um sistema de fase mínima tamém é de fase mínima Um sistema de fase mínima é estável e causal e o seu inverso tamém Estruturas de Sistemas Discretos p24/43

Sistemas de Fase Linear Generaliada Os sistemas de fase linear generaliada são todos aqueles que têm atraso de grupo constante Estruturas de Sistemas Discretos p25/43

Sistemas de Fase Linear Generaliada Os sistemas de fase linear generaliada são todos aqueles que têm atraso de grupo constante Sistema de fase linear (A(e jω ) é real): H(e jω ) = A(e jω )e jωα Estruturas de Sistemas Discretos p25/43

Sistemas de Fase Linear Generaliada Os sistemas de fase linear generaliada são todos aqueles que têm atraso de grupo constante Sistema de fase linear (A(e jω ) é real): H(e jω ) = A(e jω )e jωα Sistema de fase linear generaliada: H(e jω ) = A(e jω )e j(ωα+β) Estruturas de Sistemas Discretos p25/43

Tipos de Sistemas FIR de Fase Linear ou tipo I: tipo II: tipo III: tipo IV: h(m n) = h(n), 0 n M h(m n) = h(n), 0 n M h(m n) = h(n) e M par; h(m n) = h(n) e M ímpar; h(m n) = h(n) e M par; h(m n) = h(n) e M ímpar; Estruturas de Sistemas Discretos p26/43

FIR de Fase Linear do Tipo I y(n) = M/2 k=0 h(k)[x(n k)+x(n M +k)])+h(m/2)x(n M/2) x(n) h(0) h(1) h(2) h(m/2) h(m/2) y(n) Estruturas de Sistemas Discretos p27/43

Estrutura Lattice de Sistemas FIR e i (n) = e i (n) k i f i (n 1) f i (n) = k i e i (n) + f i (n 1) x(n) f (n) 0 e (n) 0 e (n) 1 2 k k 1 1 e (n) k k f (n) f (n) 1 2 2 2 e (n) N k N y(n) NX H() = A() = 1 a m m h(n) = m=1 8 >< 1 n = 0 a n 1 n N >: 0 caso contrário Estruturas de Sistemas Discretos p28/43

Recursão A i () = E i() E 0 () = 1 i m=1 a (i) m m, B i () = F i() F 0 () e (n) i k i e (n) i f (n) i k i f (n) i A i () = A i () k i i A i ( ) B i () = i A i ( ) Estruturas de Sistemas Discretos p29/43

Relação entre Parâmetros Conversão k i a i : repetir para i = 1, 2,, N { a (i) i = k i a (i) m = a m (i) k i a (i) i m 1 m i 1 Conversão a i k i : repetir para i = N, (N 1),, 1 { ki = a (i) i a (i) m = a(i) m +k i a (i) i m 1 ki 2 1 m i 1 Estruturas de Sistemas Discretos p30/43

Lattice Só com Pólos x(n) k N H() = 1 A() = 1 1 N m=1 a m m e (n) N k k 2 2 e (n) 1 1 k 1 e (n) 0 f (n) 2 1 0 f (n) k f (n) y(n) Estruturas de Sistemas Discretos p31/43

Lattice Só com Pólos x(n) k N H() = 1 A() = 1 1 N m=1 a m m e (n) N k k 2 2 e (n) 1 1 k 1 e (n) 0 f (n) 2 1 0 f (n) k f (n) y(n) k i < 1 i [1,N] é condição necessária e suficiente para que todos as raíes de A() se localiem no interior do círculo unitário Estruturas de Sistemas Discretos p31/43

Efeitos da Precisão Numérica Finita As principais causas de degradação do desempenho dos filtros digitais são: a quantificação dos sinais de entrada e de saída; Estruturas de Sistemas Discretos p32/43

Efeitos da Precisão Numérica Finita As principais causas de degradação do desempenho dos filtros digitais são: a quantificação dos sinais de entrada e de saída; a quantificação dos coeficientes; Estruturas de Sistemas Discretos p32/43

Efeitos da Precisão Numérica Finita As principais causas de degradação do desempenho dos filtros digitais são: a quantificação dos sinais de entrada e de saída; a quantificação dos coeficientes; erros de arredondamento nas operações aritméticas; Estruturas de Sistemas Discretos p32/43

Efeitos da Precisão Numérica Finita As principais causas de degradação do desempenho dos filtros digitais são: a quantificação dos sinais de entrada e de saída; a quantificação dos coeficientes; erros de arredondamento nas operações aritméticas; saturação (overflow) Estruturas de Sistemas Discretos p32/43

Representação de Números Inteiros sinal + valor asoluto: o it de maior peso indica o sinal e os restantes o valor asoluto do número (3 10 = 0011 2, 3 10 = 1011 2 ); Estruturas de Sistemas Discretos p33/43

Representação de Números Inteiros sinal + valor asoluto: o it de maior peso indica o sinal e os restantes o valor asoluto do número (3 10 = 0011 2, 3 10 = 1011 2 ); complemento para 1: os números negativos são representados negando todos os its do valor asoluto do número (3 10 = 0011 2, 3 10 = 1100 2 ); Estruturas de Sistemas Discretos p33/43

Representação de Números Inteiros sinal + valor asoluto: o it de maior peso indica o sinal e os restantes o valor asoluto do número (3 10 = 0011 2, 3 10 = 1011 2 ); complemento para 1: os números negativos são representados negando todos os its do valor asoluto do número (3 10 = 0011 2, 3 10 = 1100 2 ); complemento para 2: os números negativos são representados negando todos os its do valor asoluto do número e somando 1 (3 10 = 0011 2, 3 10 = 1101 2 ); Estruturas de Sistemas Discretos p33/43

Números Reais de Vírgula Fixa ˆx = Q B [x] = X m ( 0 + ) B i 2 i i=1 0 é o it de sinal: { Xm ˆx < 0 se 0 = 1 0 ˆx < X m se 0 = 0 Parte fraccionária de ˆx: ˆx B = 0, 1 2 B Estruturas de Sistemas Discretos p34/43

Overflow Se o valor de x exceder X m existe overflow Quantificação do overflow: os its de peso superior são ignorados e a quantificação pode ter um erro muito elevado (0625 10 + 0375 10 = 0101 2 + 0011 2 = 1000 2 = 0 10 ) truncatura: Estruturas de Sistemas Discretos p35/43

Overflow Se o valor de x exceder X m existe overflow Quantificação do overflow: os its de peso superior são ignorados e a quantificação pode ter um erro muito elevado (0625 10 + 0375 10 = 0101 2 + 0011 2 = 1000 2 = 0 10 ) truncatura: em caso de x exceder o máximo, é quantificado com o valor máximo (0625 10 + 0375 10 = 0101 2 + 0011 2 = 0111 2 = 0875 10 ) saturação: Estruturas de Sistemas Discretos p35/43

Propriedade da Aritmética de Complemento para 2 Se se somar vários números em complemento para 2 cuja soma não ultrapasse o valor máximo de quantificação, então o resultado da acumulação destes números estará correcta mesmo que as somas intermédias produam overflow Estruturas de Sistemas Discretos p36/43

Realiação de Algoritmos em Vírgula Fixa Considerar que todas as variáveis e todos os coeficientes são fraccionários ( x < 1) representados com 1 + B its multiplicação : o resultado usa 1 + 2B its do qual se pode truncar os B its menos significativos Estruturas de Sistemas Discretos p37/43

Realiação de Algoritmos em Vírgula Fixa Considerar que todas as variáveis e todos os coeficientes são fraccionários ( x < 1) representados com 1 + B its multiplicação : o resultado usa 1 + 2B its do qual se pode truncar os B its menos significativos soma: o resultado ocupa 2 + B its Se se utiliarem apenas os 1 + B its menos significativos podem surgir erros de overflow Estruturas de Sistemas Discretos p37/43

Representação em Vírgula Flutuante ˆx = ( 0 + B i 2 i ) X m = m 2 e i=1 parte fraccionária do número normalmente representada em complemento para 2 (m = 0 + B i=1 i2 i ) mantissa (m): Estruturas de Sistemas Discretos p38/43

Representação em Vírgula Flutuante ˆx = ( 0 + B i 2 i ) X m = m 2 e i=1 parte fraccionária do número normalmente representada em complemento para 2 (m = 0 + B i=1 i2 i ) factor de escala da mantissa tamém representado em complemento para 2 (X m = 2 c ) mantissa (m): expoente (c): Estruturas de Sistemas Discretos p38/43

Quantificação dos Coeficientes em Sistemas IIR H() = B() A() = M k=0 k k 1 N k=1 a k k Estruturas de Sistemas Discretos p39/43

Quantificação dos Coeficientes em Sistemas IIR H() = B() A() = Considerando apenas os pólos: M k=0 k k 1 N k=1 a k k A() = 1 N a k k = N (1 j ) k=1 j=1 Estruturas de Sistemas Discretos p39/43

Quantificação dos Coeficientes em Sistemas IIR H() = B() A() = Considerando apenas os pólos: M k=0 k k 1 N k=1 a k k A() = 1 N a k k = N (1 j ) k=1 j=1 Se os coeficientes forem quantificados (â k = a k + a k ) os pólos são deslocados: i = N k=1 i a k a k, 1 i N Estruturas de Sistemas Discretos p39/43

Sensiilidade dos Pólos à Quantificação dos Coeficientes i a k = N k i N j=1,j i ( i j ) Estruturas de Sistemas Discretos p40/43

Sensiilidade dos Pólos à Quantificação dos Coeficientes i a k = N k i N j=1,j i ( i j ) Se os pólos (ou eros) estiverem muito próximos pequenos erros nos coeficientes do denominador (ou do numerador) produem grandes deslocamentos na localiações dos pólos (eros) das realiações nas formas directas Estruturas de Sistemas Discretos p40/43

Sensiilidade dos Pólos à Quantificação dos Coeficientes i a k = N k i N j=1,j i ( i j ) Se os pólos (ou eros) estiverem muito próximos pequenos erros nos coeficientes do denominador (ou do numerador) produem grandes deslocamentos na localiações dos pólos (eros) das realiações nas formas directas Realiações em Cascata e Paralelo: As realiações que utiliam cominações de sistemas de segunda ordem torna a localiação de cada par de pólos complexos conjugados independente dos restantes Estruturas de Sistemas Discretos p40/43

Sensiilidade de um Sistema IIR de 2 a Ordem x(n) y(n) 2r cosθ r 2 Estruturas de Sistemas Discretos p41/43

Realiação Alternativa de um Sistema IIR de 2 a Ordem x(n) r cosθ r senθ r senθ y(n) r cosθ Estruturas de Sistemas Discretos p42/43

FIM Estruturas de Sistemas Discretos p43/43