teril Teório - ódulo Teorem de Pitágors e plições lgums demonstrções do Teorem de Pitágors Nono no utor: Prof. Ulisses im Prente Revisor: Prof. ntonio minh. Neto 30 de mrço de 2019
1 Teorem de Pitágors No módulo Semelhnç de Triângulos e o Teorem de Tles, mis preismente n ul sore relções métris no triângulo retângulo, presentmos demonstrção mis omum do Teorem de Pitágors, utilizndo semelhnç de triângulos. Nest ul, presentremos outrs ideis pr demonstrr este mesmo teorem. Teorem 1 (Pitágors). Se os tetos de um triângulo retângulo medem e e su hipotenus mede, então 2 = 2 + 2. primeir ds demonstrções que presentremos tem forte pelo geométrio. idei é dividir de modo dequdo s áres de dois qudrdos de ldo + e, em seguid, omprr esss áres (iguis). emosntrção 1. serve os dois qudrdos de ldo + desenhdos ns figurs seguir: É lro que s áres dos dois qudrdos têm mesm medid, (+) 2. serve que o primeiro qudrdo foi deomposto em 4 triângulos retângulos ongruentes e um qudrilátero que possui ldos ongruentes. lém disso, medid dos ângulos internos desse qudrilátero é 90 o, pois som dos ângulosgudosdos triângulostmém é igul 90 o. ogo, esse qudrilátero é um qudrdo e su áre mede 2. Por outro ldo, o segundo qudrdo pode ser deomposto em qutro triângulos retângulos ongruentes os que ompõem o primeiro qudrdo, juntmente om dois qudrdos, um de ldo (logo, om áre 2 ) e o outro de ldo (logo, om áre 2 ). Portnto, omprndo s áres ds porções zuis ds dus figurs, onluímos que 2 = 2 + 2. N próxim demonstrção, lulremos áre de um trpézio retângulo de ses e e ltur + de dois modos distintos: (i) utilizndo fórmul pr o álulo d áre do trpézio; (ii) dividindo o trpézio em triângulos e lulndo s sus áres. l é devid mes rm rfield, presidente dos stdos Unidos de mrço setemro de 1881. emonstrção 2 (rfield). onsidere o trpézio retângulo desenhdo n figur ixo: Vej que s ses de têm medids e, e su ltur, por se trtr de um trpézio retângulo, mede +. Portnto, [] = (+) (+) = (+)2. 2 2 Por outro ldo, [] = []+[]+[]. s dois primeiros triângulos, e, são ongruentes e sus áres medem 2. lém disso, é retângulo em, pois Ĥ +Ĥ +Ĥ = 180o e Ĥ +Ĥ = 90o, http://mtemti.omep.org.r/ 1 mtemti@omep.org.r
logo, (Ĥ ) Ĥ = 180o +Ĥ = 180 o 90 o = 90 o. í, segue que [] = 2 omprndo s dus expressões pr áre de, otemos de sorte que 2. (+) 2 = []+[]+[] 2 = 2 2 + 2 2, 2 +2+ 2 = 2+2. 2 2 ntão, 2 + 2+ 2 = 2+ 2, o que impli 2 + 2 = 2. próxim demonstrção do Teorem de Pitágors é devid o mtemátio mdor ritânio enry Perigl r., que viveu durnte o séulo XX. demonstrção de Perigl onsiste em onstruir qudrdos sore os tetos e hipotenus de e, em seguid, mostrr que áre do qudrdo onstruído sore hipotenus é som ds áres dos qudrdos onstruídos sore os tetos. emonstrção 3 (Perigl). niilmente, onsidere os qudrdos, e, onstruídos sore os ldos do triângulo (vej figur ixo). ostrremos que [] = []+[], ou sej, 2 = 2 + 2. idei é deompor em peçs que, reposiionds e om o uxílio de, montm (vej figur 1). Tre (ompnhe n figur ixo) o segmento, que pss pelo entro do qudrdo e ujo prolongmento é perpendiulr à hipotenus. gor, tre tmém o segmento, perpendiulr e que tmém pss por. onsiderndo digonl, do qudrdo, notmos que os triângulos e são ongruentes(so, usndo o fto de que o entro do qudrdo é o ponto médio d digonl). í, otemos = e =. nlogmente, os triângulos e tmém são ongruentes Um vez que Ô = Ô Ô ( ) = Ô Ô Ô = 90 o (90 o Ô) = Ô, esses triângulos tmém são ongruentes e (outr vez utilizndo o so ). Portnto, os triângulos,, e são todos ongruentes, ssim omo o são os triângulos,, e. untndo tods esss informções, onluímos que o qudrdo foi dividido em qutro qudriláteros ujsárestêmsmesmsmedids:,, e. gor, trçmos os qutro segmentos pontilhdos d próxim figur, os quis pssm pelos pontos médios dos ldos do qudrdo, sendo dois prlelos o teto e outros dois prlelos o teto. http://mtemti.omep.org.r/ 2 mtemti@omep.org.r
servndo que é um prlelogrmo e que há um orrespondêni entre os ldos dos qudriláteros pintdos de lrnj n figur ixo tl que ldos orrespondentes são prlelos, é possível onluir que esses qudriláteros têm um mesm áre. e modo nálogo, é possível mostrr que s áres dos demis qudriláteros nos quis o qudrdo foi dividido orrespondem três outros qudriláteros dentro do qudrdo, de sorte que áre pintd de lrnj no qudrdo (vej próxim figur) é igul à áre de. Por fim, note que = = +, logo, os qudrdos pintdos de zul tmém têm mesm áre. próxim demonstrção é devid o próprio ulides de lexndri, e tmém onsiste em onstruir qudrdos sore os ldos do triângulo e mostrr que áre do qudrdo onstruído sore hipotenus é igul à som ds áres dos outros dois. emonstrção 4 (ulides). utr vez, onsidere os qudrdos onstruídos sore os tetos e hipotenus de. N figur, esses qudrdos são denotdos por, e. gor, sej o pé d perpendiulr pssndo por. idei é mostrr que áre do retângulo é igulàáredo qudrdo, e que áredoretângulo é igul à áre do qudrdo. Pr mostrr que [] = [], note que os triângulos e são ongruentes (so ), pois =, = e Ĉ = Ĉ+Ĉ = 90 o +Ĉ = Ĉ +Ĉ = Ĉ. igur 1: o tngrm de Perigl. lém disso, [] = [], pois, em relção à se omum, esses triângulos têm mesm ltur (um vez http://mtemti.omep.org.r/ 3 mtemti@omep.org.r
que ). nlogmente, impli [] = ]. untndo tods s informções oleionds im, otemos [] = 2 [] = 2 [] = 2 [] = 2 [] = []. mesmo rgumento pode ser utilizdo pr mostrr que [] = []. í, podemos onluir que áre do qudrdo onstruído sore hipotenus é igul à som ds medids ds áres dos qudrdos onstruídos sore os tetos, donde segue o Teorem de Pitágors. is pr o Professor Reomendmos que sejm utilizds dus sessões de 50min pr expor todo o onteúdo deste mteril. Sugerimos os professores que, ntes de presentrem s demonstrções, revisem om os lunos os sos de ongruêni de triângulos. É importnte que tods s demonstrções sejm presentds om todos os detlhes, pr que não restem dúvids. Reomendmos, ind, que sej dd um tenção espeil à demonstrção de Perigl, pois el é muito hei de detlhes (que podem pssr despereidos) e ideis (que podem ser úteis pr resolver prolems futuros). primeir ds referênis listds ixo present outrs demonstrções do Teorem de Pitágors. Sugestões de eitur omplementr 1... im. eu Professor de temáti e utrs istóris. Rio de neiro, ditor S..., 2012. 2.. minh. Tópios de temáti lementr, Volume 2: eometri ulidin Pln. Rio de neiro, ditor S..., 2013. http://mtemti.omep.org.r/ 4 mtemti@omep.org.r