Propost de teste de vlição [mrço 09] Nome: Ao / Turm: N.º: Dt: - - Não é permitido o uso de corretor. Deves riscr quilo que pretedes que ão sej clssificdo. A prov iclui um formulário. As cotções dos ites ecotrm-se o fil do eucido d prov. CADERNO (É permitido o uso de clculdor gráfic.). N figur estão represetds dus cis A e B com bols umerds. A ci A tem 0 bols umerds de 0. A ci B tem 0 bols umerds com os úmeros pres de 0. Algums bols form trsferids d ci B pr ci A. De seguid, o cso, form retirds d ci A dus bols. Cosider os cotecimetos: R: A som dos úmeros ds bols retirds é um úmero ímpr. S: As dus bols têm úmero pr. Sbe-se que os cotecimetos R e S são equiprováveis, ou sej, P( R) P( S ) Determi o úmero de bols trsferids d ci B pr ci A. =.. Sejm f e g fuções reis de domíio, respetivmete, e g ( ) = e. π 3π, 6 4 e R, sedo f ( ) = si Desigdo por h fução compost g f, sbe-se que o cotrdomíio de h é um itervlo do tipo [, b ]. Os vlores de e de b, rredoddos às cetésims são, respetivmete: (A) =, 65 b =, 03 (B) =, 65 b =, 7 (C) =, 03 b =, 7 (D) =, 7 b = 7, 39
Propost de teste de vlição [mrço 09] 3. N figur está represetd prte do gráfico d fução f, de domíio R, defiid por: = cos( 0,3 ) f A ret t é tgete o gráfico de f o poto A de bciss 4. A iclição d ret t é, em grus e rredodd às décims: (A) 4,9 (B) 37, (C) 37, (D) 5,9 4. Em cs d Rit há um sistem de quecimeto trvés de circulção de águ quete. Está ssocido o sistem um moitor que permite visulizr tempertur d águ à síd do sistem e tempertur mbiete o iterior d cs. Durte 45 miutos, pós o sistem ter sido ligdo, form feitos vários registos que permitirm defiir dus fuções f e g: k f t =, t 0, 45 e k R,6e 0,t [ ] g ( t) = 8si ( 0, 04 t), t [ 0, 45] A tempertur d águ, em grus Celsius, à síd do sistem, t miutos pós o sistem g t represet difereç, em grus ter sido ligdo é dd por f ( t) e, esse istte, Celsius, etre tempertur d águ à síd do sistem e tempertur mbiete o iterior d cs. 4.. Clcul o vlor de k, sbedo que tempertur mbiete o iterior d cs, o istte em que o sistem foi ligdo, er de 5,6 ºC. 4.. Ns questões seguites, cosider k = 56 e recorre às cpciddes gráfics d clculdor. ) Determi tempertur mbiete o iterior d cs, o istte em que fução g tige o vlor máimo. Apreset o resultdo rredoddo às décims, mtedo os cálculos itermédios pelo meos três css decimis. b) Resolve o seguite problem. No período de tempo cosiderdo, há um istte em que tempertur d águ à síd é o dobro d tempertur mbiete o iterior d cs. Determi esse istte. N tu resolução deves presetr: um equção que trduz o problem; resolução gráfic d equção; solução, em miutos e segudos, sedo os segudos rredoddos às uiddes. FIM (Cdero )
Propost de teste de vlição [mrço 09] Cotções Questões Cdero.. 3. 4.. 4.. ) 4.. b) Totl Potos 4 5 0 85 CADERNO (Não é permitido o uso de clculdor.) 5. O esquem seguite represet dus lihs cosecutivs do Triâgulo de Pscl. A segud lih do esquem pode ser represetd por: C0 C C C C. O vlor de pode ser: (A) 05 (B) 09 (C) 0 (D) 05 6. Sejm e b úmeros reis miores que. Se log 5 log b b é: b =, etão vlor umérico de (A) 3 (B) 7 3 (C) 5 5 (D) 9 7. Cosider fução f, de domíio =. R, defiid por f l l N figur, em referecil o.. Oy, estão represetdos o gráfico de f e o triâgulo [ABC]. Sbe-se que: s bcisss de A e de B são zeros de f ; C é um poto de ifleão do gráfico de f ; fução derivd de f é defiid por: f = l, R 7.. Mostr que eiste um poto P do gráfico de f, de bciss pertecete o itervlo, e, em que ret tgete o gráfico o poto P é prlel à ret defiid pel equção y = 3. 7.. Determi s coordeds dos potos A, B e C e mostr que áre do triâgulo [ABC] é 3( e ) igul. 8e 3
Propost de teste de vlição [mrço 09] 8. Cosider fução f, de domíio ],π[, defiid por: cos se ] 0,π[ si f = se [, 0] e se, ] [ 8.. Mostr que o gráfico de f dmite um ssítot horizotl. Idic um equção dess ssítot. 8.. Estud fução f quto à cotiuidde em = 0 e em =. 9. N figur, em referecil o.. Oy, está represetd fução f, de domíio [ 0, π ], defiid por: cos ( ) f = si 9.. O poto A(, b ) pertece o gráfico de f, sedo o meor zero d fução derivd de f. Determi s coordeds do poto A. 9.. Mostr que [ 0, π ], f = si si ( ) e resolve equção 0. N figur está represetdo o triâgulo [ABC]. Sbe-se que: α e β represetm s iclições ds rets AC e BC, respetivmete; ret AC é defiid pel equção y = m b ; ret BC é defiid pel equção y = m b. Mostr que t ( θ ) m m =. m m f =. FIM (Cdero ) Cotções Totl Questões Cdero 5. 6. 7.. 7.. 8.. 8.. 9.. 9.. 0. Potos 5 5 0 4 5 0 5 4
Propost de teste de vlição [mrço 09] FORMULÁRIO GEOMETRIA Comprimeto de um rco de circuferêci: α r (α : mplitude, em rdios, do âgulo o cetro; r : rio) Áre de um polígoo regulr: Semiperímetro Apótem Áre de um setor circulr: α r (α : mplitude, em rdios, do âgulo o cetro; r : rio) Áre lterl de um coe: π r g (r : rio d bse; g : gertriz) Áre de um superfície esféric: 4 π r (r : rio) Volume de um pirâmide: Áre d bse Altur 3 Volume de um coe: Áre d bse Altur 3 Volume de um esfer: 4 πr 3 (r : rio) 3 PROGRESSÕES Som dos primeiros termos de um progressão (u): u Progressão ritmétic: u Progressão geométric: r u r TRIGONOMETRIA si b = si cos b si b cos cos b = cos cos b si si b si A si B si C = = b c = b c bc cos A COMPLEXOS iθ ( ) i θ ρ cis θ = ρ cis θ ou ρ e = ρ e θ kπ θ kπ iθ cis = cis ou e = e ρ θ ρ ρ ρ ( k { 0,..., } e N ) PROBABILIDADES µ = p p σ = p µ p µ Se X é N ( µ, σ ), etão: ( µ σ < < µ σ ) 0 687 P X, ( µ σ µ σ ) P < X < 0, 9545 ( µ σ µ σ ) P 3 < X < 3 0, 9973 REGRAS DE DERIVAÇÃO ( u v )' = u' v' u v ' = u' v u v' u u' v u v' = v v ( u )' = u u' ( R) ( si ) ( cos ) u ' = u' cos u u ' = u' si u u' cos u ( t u )' = u e = u' e u u = u l ( R u' \{ } ) ( l u) u' = u = u' R u l ( log u) \{ } LIMITES NOTÁVEIS lim = e si lim = 0 e lim = 0 l lim = 0 e lim = R p ( p ) ( N) 5
Propost de resolução do teste de vlição [mrço 09] CADERNO. Acotecimetos ddos: R: A som dos úmeros ds bols retirds é um úmero ímpr. S: As dus bols têm úmero pr. Sej o úmero de bols trsferids d ci B pr ci A. O úmero de bols d ci A pss ser 0, sedo 5 o úmero de bols pres. C C 0 C 5 5 = e P( S ) P R = 5 0 C C P( S ) P R = ( ) 5 5 = ( ) ( ) C C C = 5 5 C C = 5 C 5 5 5 0 0 C C 5! 3!! 5( 5) ( 5)( 4) = ( ) ( )( ) ( )( ) 0 5 5 4 = 0 Como N, tem-se = 6. 5 0 4 = 0 = 5 = 6 Respost: Trsferirm-se seis bols d ci B pr ci A.. Sedo π 3π, 6 4, etão si., ou sej, f Sedo g um fução crescete, tem-se f e e e. Etão, D = e, e h. Assim = e, 65 e b = e, 7. Respost: Opção (B) =,65 b =, 7 3. Verificr que cofigurção d clculdor está em rdios. Iserir epressão d fução e, em seguid, clculr derivd d fução pr = 4. Cofigurr clculdor em grus pr obter iclição.
Propost de resolução do teste de vlição [mrço 09] Atededo que o vlor de f ( 4) < 0, é ecessário cosiderr solução que correspode um mplitude etre 90º e 80º (âgulo do.º qudrte). Assim, obtém-se, 4,9º, proimdmete. Respost: Opção (A) 4.. Sbe-se que: k f t =, t 0, 45 e k R,6e 0,0t [ ] g ( t) = 8si ( 0, 04 t), t [ 0, 45] Pr 0 g t =, tem-se f ( 0) e f = k 3,6 g 0 = 0. k 0 = 0 5, 6 0 = 5,6 k = 56,6 3,6 Respost: k = 56,6 4.. ) Pr 39, 699 f 39, 699 53, 7. t =, obtém-se Desigdo por T tempertur mbiete, tem-se 8 = 53, 7 T, ou sej, T 5,3. Respost: A tempertur mbiete é de 5,3 ºC.
Propost de resolução do teste de vlição [mrço 09] 4.. b) f ( t) = f ( t) g ( t) f ( t) = f ( t) g ( t) f ( t) = g ( t) Resolvedo grficmete, obtém-se: t, 699 mi, ou sej, mi e 4 s Respost: Ao fim de mi e 4 s. FIM (Cdero ) 3
Propost de resolução do teste de vlição [mrço 09] CADERNO 5. Há pes um elemeto cetrl, o. Etão, o úmero de elemetos dess lih é ímpr. Dqui result que o vlor de é um úmero pr. Respost: (C) 0 log b = 5 log b = 5 log b = 0 log log b = 0 log b = 9 6. Assim, tem-se log 9 b =. () ( b) log ( b) log logb ( b) = logb ( ) = logb = log = Recorredo o vlor obtido em (), tem-se: logb ( b) = = = log 9 9 ( b) Respost: Opção (D) 9 = é possível o itervlo, e. A fução f é cotíu o domíio, ou sej, em R e, em prticulr, em, e, por ser som e produto de fuções cotíus em R. 7.. Pretede-se provr que equção f f = l e e e e = = e e e f = l = 0 = Recorredo o Teorem de Bolzo, tededo que f é cotíu em e f < < f, coclui-se que provr., e e c, : = e f c, tl como se pretedi e Assim, o poto P tem de coordeds ( c, f ( c) ), c, em que f ( c) declive d ret tgete o gráfico de f o poto P é. =, ou sej, o 4
Propost de resolução do teste de vlição [mrço 09] 7.. As bcisss de A e de B são zeros d fução f. f ( ) = 0 l ( ) l = 0 > 0 l l = 0 > 0 ( ) l l = 0 > 0 l = 0 l = > 0 = = e ( e, 0) A e B (, 0) C é poto de ifleão do gráfico de f. f = l = l = l f = 0 l = 0 ( l ) = 0 l = = e 0 e f 0 f f e 3 f e = l e l e = = 4 3 O poto C tem de coordeds e,. 4 3 AB A áre do triâgulo [ABC] é dd por 4. 3 AB 4 e 3 e = 3 = 8 8e, como se pretedi provr. 8.. f e 0 lim = lim = = 0 A ret de equção y = 0 Respost: A ssítot horizotl tem de equção y = 0. 5
Propost de resolução do teste de vlição [mrço 09] 8.. f 0 0 cos si si lim = lim = lim = lim = si si 0 0 0 0 lim f = f ( 0) = 0 A fução f é cotíu em = 0. f 0 0 e e lim = lim = lim Fzedo = y : se, etão y 0. y y e e lim f = lim = lim lim = = y y y y y 0 y 0 y 0 lim f = f ( ) = A fução f é cotíu em =. Respost: A fução é cotíu em = 0 e em =. 9.. ( ) f = cos si = si cos = si cos cos f = 0 si cos cos = 0 cos si = 0 π π 7π cos = 0 si = = kπ = kπ = kπ, k Z 6 6 π kπ π kπ 7π kπ = = =, k Z 6 6 Como [ 0, π], tem-se: O meor dos zeros d derivd é π. π π f = cos( π) si = = 3 π 3π π 7π = = = = 6 6 As coordeds do poto A são π Respost: A, 3 π, 3. 6
Propost de resolução do teste de vlição [mrço 09] 9.. [ ] f ( ) 0, π, = si si f = cos si = cos si si = si si si f = si si, como se pretedi demostrr. f = si si = 4si 4si 3 = 0 4 ± 6 48 3 si = si = si = si = 8 f = si = [ 0, π] = π = 5π 6 6 Respost: Cojuto-solução: π 5π S =, 6 6 0. Sbe-se que: β = α θ. Etão, θ = β α. t t t α = m β = m ( θ ) t ( β α ) ( ) si β α si β cosα cos β siα = = = = cos β α cos β cosα si β siα si β cosα cos β siα cos β cosα cos β cosα t β tα m m = = = si β siα t β tα m m cos β cos α FIM (Cdero ) 7