SUGESTÕES DE GESTÃO CURRICULAR DO PROGRAMA E METAS CURRICULARES MATEMÁTICA A

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1 SUGESTÕES DO PROGRAMA E METAS ES MATEMÁTICA A 11 Ọ ANO ASA Expoete 10 Expoete 11

2 SUGESTÕES FLEXÍVEL DO PROGRAMA E METAS ES DE MATEMÁTICA A Apesr de cosiderrmos que opção mis dequd é seguir sequêci propost o mul Expoete 11, tedo em cosiderção s sugestões de gestão flexível que costm o documeto «Orietções de gestão curriculr pr o Progrm e Mets Curriculres de Mtemátic A», presetmos outr possibilidde de gestão curriculr, tedo sempre por bse o mul Expoete 11. Os exercícios e os problems presetdos devem ser seleciodos de cordo com s crcterístics dos luos/turms. Os exercícios e os problems que o professor opte por ão resolver em sl de ul, podem ser resolvidos pelos luos de form utóom. O professor poderá dispoibilizr os seus luos s resoluções respetivs, dispoíveis quer o Dossier do Professor quer em. NOTAS Certos descritores ecotrm-se ssildos com o símbolo «+». Reltivmete os que correspodem proprieddes que os luos devem recohecer, procedimetos que devem efetur ou problems que devem resolver, especificrm-se os Cderos de Apoio diferetes íveis de desempeho. No cso d resolução de problems, o símbolo «+» prece sempre, pois é ievitável que se possm cosiderr diferetes íveis de desempeho. Quto os reltivos proprieddes que os luos devem provr, etede-se que, embor todos devm cohecer o resultdo em cus e sber plicá-lo, elborção d respetiv demostrção é fculttiv, ão sedo portto exigível os mesmos. Os descritores de um mesmo objetivo gerl, reltivos demostrções muito semelhtes etre si, ecotrm-se ssildos com o símbolo «#», ficdo o critério do professor quis devem ser trtdos como exemplo. Ns turms ode os luos ão trblhrm, o o letivo 2015/2016, todos os coteúdos reltivos o domíio Fuções Reis de Vriável Rel, sugerem-se s seguites opções: Opção A: Lecior os domíios pel sequêci SUC11, FRVR11, TRI11, GA11 e EST11, trblhdo os coteúdos em flt de FRVR10 qudo se lecior FRVR11. Opção B: Seguir sequêci presetd o progrm: TRI11, GA11, SUC11, FRVR11 e EST11. Neste cso, dever-se-á ter em cosiderção que lgus coceitos de FRVR10 são ecessários pr TRI11, tl como se específic pági seguite. Ns turms cujos luos ão trblhrm em 2015/2016, o domíio Esttístic (EST10), utilizção do sil de somtório e de lgums ds respetivs regrs opertóris deve ser limitd à su cotribuição pr compreesão e mipulção prátic ds fórmuls d médi, d vriâci e do desvio-pdrão de um mostr ou de percetis.

3 TRIGONOMETRIA E FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS TRI11 VOL. 1 SUGESTÕES Extesão d trigoometri âgulos retos e obtusos e resolução de triâgulos 1. Defiir s rzões trigoométrics dos âgulos retos e obtusos e resolver triâgulos Orietção de âgulos um plo e rotções 2. Defiir âgulos orietdos e s respetivs medids de mplitude 3. Defiir rotções segudo âgulos orietdos 4. Defiir âgulos geerlizdos 5. Defiir s rzões trigoométrics dos âgulos geerlizdos 6. Defiir medids de âgulos em rdios 7. Defiir fuções trigoométrics e deduzir proprieddes Defiir fuções trigoométrics iverss 1. +Recohecer que s fuções π π si: π 2, 1,1,cos: 0, 1,1 e 2 t: π π 2, 2, obtids por restrição respetivmete ds fuções si, cos e t os itervlos idicdos e tomdo pr cojutos de chegd os respetivos cotrdomíios, são bijetivs e desigr s bijeções recíprocs por "(fução) rco seo" (rcsi ou rcse), "(fução) rco cosseo" (rccos) e "(fução) rco tgete" (rct ou rctg), respetivmete, sbedo que são vlores proximdos dests fuções que s clculdors forecem, ssocidos às tecls, respetivmete, si 1, cos 1 e t 1, desde que estej seleciodo o rdio pr uidde de medid dos âgulos Cso ão teh leciodo o 10 ọ o, deverá itroduzir o coceito de fução ivers e relção etre o gráfico de um fução f e o gráfico d fução que del result por diltção/ cotrção d vriável idepedete. 9. Resolver problems

4 SUGESTÕES VOL. 1 GEOMETRIA ANALÍTICA GA Declive e iclição de um ret 1. Defiir iclição de um ret Não se sugerem lterções reltivmete o que é proposto o mul Produto esclr 2. Defiir e cohecer proprieddes do produto esclr de vetores 3. Determir equções de plos o espço 4. Resolver problems 4

5 SUCESSÕES SUC11 VOL. 2 SUGESTÕES Geerliddes sobre sucessões 1. Crcterizr o cojuto dos mjortes e dos miortes de um cojuto de úmeros reis 2. Estudr proprieddes elemetres de sucessões reis 6 18 Pricípio de Idução mtemátic 3. Utilizr o pricípio de idução mtemátic Progressões ritmétics e geométrics 4. Clculr o termo gerl de progressões ritmétics e geométrics 5. Clculr som de um úmero fiito de termos de progressões ritmétics e geométrics Limites de sucessões 6. Defiir o limite de um sucessão 12. #Provr, dds dus sucessões (u ) e (v ) covergetes, com limites respetivmete iguis l 1 e l 2, que sucessão ( uv v ) é covergete e que limuv = ll. v #Provr, dd um sucessão (u ) covergete de termos ão ulos, com limite l 1 ão ulo, que lim 1 = 1 e justificr que se for tmbém dd um sucessão ( v u l 1 covergete, com limite l 2, etão sucessão v v l 2 é covergete e lim =. u u l 14. #Provr, dd um sucessão covergete (u ) e um úmero rel, que sucessão de termo gerl u é covergete e que lim( u ) = lim u. 15. #Provr, dd um sucessão covergete (u ) e um úmero rciol r, que, se r, ou se os termos d sucessão forem todos ão egtivos e r for positivo, ou id se os termos d sucessão forem todos positivos, etão sucessão de termo gerl ( u ) r r r é covergete e lim( u ) = (lim u ). 17. #Provr, dds sucessões (u ) e (v ), com limites respetivmete e l (ou mbs com limite ), que lim( u + v ) = e represetr est propriedde por " + l = " (ou por " + ( ) = ") #Provr, dds sucessões (u ), com limite +, e (v ) com limite l ou + (respetivmete com limite l ou ) ), que lim( uv ) =+ (respetivmete lim( uv ) = ) e represetr ests proprieddes por "( + ) l = + " e"( + ) ( + ) = + " (respetivmete por "( + ) l = " e "( + ) ( ) = "). ) Dos descritores ssildos com os úmeros 12, 13, 14, 15, 17, 19, 20, 21, 23, 24 e 25 poderá selecior pes um ou dois deles pr demostrr ul. Os luos deverão sber plicr o coteúdo destes descritores o cálculo dos limites de sucessões e sber justificr esses procedimetos. 5

6 SUGESTÕES Dos descritores ssildos com os úmeros 12, 13, 14, 15, 17, 19, 20, 21, 23, 24 e 25 poderá selecior pes um ou dois deles pr demostrr ul. Os luos deverão sber plicr o coteúdo destes descritores o cálculo dos limites de sucessões e sber justificr esses procedimetos. VOL #Provr, dds sucessões (u ), com limite, e (v ) com limite l + (respetivmete com limite l ou ), que lim( uv ) = (respetivmete lim( uv ) =+ ) e represetr est propriedde por "( ) l =» " (respetivmete por "( ) l = + " e"( ) ( ) = + "). 21. #Provr, dd um sucessão (u ) com limite + e de termos ão egtivos (respetivmete com limite ) e um úmero rciol r positivo (respetivmete r ), que sucessão de termo gerl u r tem limite + (respetivmete tem limite + se r r for pr e limite se r for ímpr) e represetr est propriedde por "( + ) =+ " r r (respetivmete por "( ) =+ " se r for pr e por "( ) = " se r for ímpr). 23. #Provr, dd um sucessão (v ) de termos ão ulos, positiv prtir de cert ordem, com limite ulo ("lim = 0 + "), que lim 1 =+ e represetr est propriedde por " =+ ". v 24. #Provr, dd um sucessão (v ) de termos ão ulos, positiv prtir de cert ordem, com limite ulo ("lim = 0 "), que lim 1 = e represetr est propriedde por " 1 0 = ". v 25. #Provr, dd um sucessão (v ) de termos ão ulos e teder pr + ou pr, que lim 1 = 0 e represetr est propriedde por " 1 0 v = ". v v Resolver problems 6

7 FUNÇÕES REAIS DE VARIÁVEL REAL FRVR11 VOL. 3 SUGESTÕES Se houver coteúdos do domíio FRVR10 que id ão tehm sido borddos, devem ser leciodos este mometo. Limites segudo Heie de fuções reis de vriável rel 1. Defiir limite de um fução um poto e estudr s respetivs proprieddes fudmetis 2. Defiir oção de cotiuidde e s respetivs proprieddes fudmetis 3. Defiir ssítots o gráfico de um fução Resolver problems 5. +Resolver problems evolvedo determição de ssítots o gráfico de fuções rciois e de fuções defiids pelo rdicl de um fução rciol. Derivds de fuções reis de vriável rel e plicções 5. Defiir oção de derivd 6. Aplicr oção de derivd à ciemátic do poto 1. Idetificr, fixdos um istte τ 0 pr origem ds medids de tempo, um uidde de tempo T, um ret uméric r com uidde de comprimeto L e um itervlo I, um fução p: I, como "fução posição de um poto P que se desloc ret r durte o itervlo de tempo I", se, pr cd t I, p(t) for bciss do poto de r que represet posição que P ocup, t uiddes de tempo T depois de τ 0 se t > 0, ou t uiddes de tempo T tes de τ 0 se t < 0, desigdo tmbém por "istte", este cotexto, cd t I. 2. Idetificr, fixdos um istte τ 0 pr origem ds medids de tempo, um uidde de tempo T, um ret uméric r com uidde de comprimeto L, um itervlo I, fução posição p de um poto P que se desloc ret r durte o itervlo de tempo I, e ddos dois isttes t 1 < t 2 de I, "velocidde médi de P o itervlo de tempo [t 1, t 2 ] uidde L/T" como tx médi de vrição de p etre t 1 pt ( ) pt ( ) 2 1 e t 2,, e, pr t I, "velocidde isttâe de P o t t 2 1 istte t uidde L/T" como derivd de p em t, p'(t), cso exist. 7. Operr com derivds 11. +Provr, ddo um úmero turl pr (respetivmete ddo um úmero turl ímpr > 1), que um fução rel de vriável rel f de domíio + (respetivmete de domíio \ { 0 }) defiid por f( x) = x é difereciável e que, pr todo 1 o x D, f'( x) =. f 1 x Cso hj ecessidde, pr um melhor gestão do tempo o 11 ọ o, segud prte deste descritor poderá ser trblhd pes o 12 ọ o. Cso hj ecessidde, pr um melhor gestão do tempo o 11 ọ o, estes descritores poderão ser trblhdos pes o 12 ọ o, o domíio Fuções Reis de Vriável Rel, tes dos descritores 4.9 e 5.4. Cso hj ecessidde, pr um melhor gestão do tempo o 11 ọ o, este descritor poderá ser trblhdo pes o 12 ọ o. 7

8 SUGESTÕES Cso hj ecessidde, pr um melhor gestão do tempo o 11 ọ o, este descritor poderá ser trblhdo pes o 12 ọ o. VOL Provr, pr todo o úmero rciol α, que um fução rel de vriável rel f de domíio + defiid por f( x) = x α é difereciável e que, pr todo o x D f, f'( x) =αx α 1, cosiderdo tmbém ests fuções como "fuções de referêci (pr o cálculo de derivds)" e sber de memóri este resultdo. Cso hj ecessidde, pr um melhor gestão do tempo o 11 ọ o, este descritor poderá ser trblhdo pes o 12 ọ o Aplicr oção de derivd o estudo de fuções 9. Resolver problems 2. +Resolver problems evolvedo fuções posição, velociddes médis e velociddes isttâes e mudçs de uiddes de velocidde. 8

9 ESTATÍSTICA EST11 VOL. 3 SUGESTÕES Ret de míimos qudrdos, mostrs bivrids e coeficiete de correlção 1. Determir os prâmetros d ret de míimos qudrdos 2. Resolver problems No cso do domíio Esttístic 10 ão ter sido leciodo ou ão ter sido cocluído o 10 ọ o, o mesmo deve ser borddo gor. Pr tl, sugere-se utilizção ds presetções PowerPoit que lhe evimos em exo. NOTA A bordgem deve ser ituitiv, ão demsido forml e em cotextos de relidde, tirdo prtido d utilizção d tecologi, omedmete d clculdor gráfic. 9