UNIVERSIDADE FEDERAL DE CAMPINA GRANDE CENTRO DE ENGENHARIA ELÉTRICA E INFORMÁTICA NOTAS DE AULA DE ELETROMAGNETISMO Pof. D. Helde Alves Peeia Maço, 9
- CONTEÚDO DAS AULAS NAS TRANSPARÊNCIAS -. Estágio I: Campos eletostáticos.. Estágio II: Campos eléticos em meio mateial. 3. Estágio III: Poblemas de valo de fonteia em eletostática. 4. Estágio IV: Campos magnetostáticos. 5. Estágio V: Foças, mateiais e dispositivos magnéticos.
- CONTEÚDO DAS AULAS NAS TRANSPARÊNCIAS -. Estágio I: Campos eletostáticos.. Estágio II: Campos eléticos em meio mateial. 3. Estágio III: Poblemas de valo de fonteia em eletostática. 4. Estágio IV: Campos magnetostáticos. 5. Estágio V: Foças, mateiais e dispositivos magnéticos.
CAMPOS ELETROSTÁTICOS - TÓPICOS DAS AULAS -. Intodução.. Lei de Coulomb e intensidade de campo. 3. Campos eléticos de distibuições contínuas de caga. 4. Densidade de fluxo elético. 5. Lei de Gauss (ª equação de Maxwell). 6. Potencial escala elético. 7. Relação ente o campo e o potencial escala eléticos (ª equação de Maxwell). 8. O dipolo elético 9. Linhas de fluxo elético.. Densidade de enegia em campos eletostáticos.
Intodução Beve históico do Eletomagnetismo
Lei de Coulomb e intensidade de campo A lei de Coulomb é uma lei expeimental e tata da foça que uma caga pontual exece sobe outa caga pontual. Gealmente, as cagas são medidas em Coulomb (C), sendo a caga de um eléton igual a -,6 x -9 C. A lei de Coulomb estabelece que a foça (F) ente duas cagas pontuais (Q e Q ) Está ao longo da linha que une as cagas. É dietamente popocional ao poduto das cagas Q e Q. É invesamente popocional ao quadado da distância (R) ente elas.
Matematicamente, temos que F k Q Q R onde k é a constante de popocionalidade. Em unidades do SI, as cagas são dadas em Coulomb, a distância em meto e a foça em Newton, de modo que k 4 pe
A constante ε é chamada de pemissividade do espaço live e tem o seguinte valo apoximado e @ 8,85x - F/m Dessa foma, k 4 pe 9» 9x m/f
Desse modo, F 4 pe Q Q R Se as cagas estão localizadas em pontos, cujos vetoes posição são e, temos que F 4 pe Q Q R â R
Consideando a figua, temos que Figua F Q Q æ ç è - 4 pe - ö ø 3
É impotante pecebe que A foça F, sobe a caga Q devido à caga Q, é dada po F. Cagas de mesmo sinal se epelem, enquanto que cagas de sinal contáio se ataem. Q e Q devem se estáticas. Os sinais das cagas devem se levados em consideação na expessão da foça.
Se tivemos mais do que duas cagas pontuais, podemos usa o pincípio da supeposição paa detemina a foça sobe uma deteminada caga, dessa foma F Q 4pe n å k Q k æ ç - è - k 3 k ö ø onde k indica o veto posição efeente à k-ésima caga no espaço e indica o veto posição efeente à caga onde se que calcula a foça.
O veto campo elético (E) é dado pela foça po unidade de caga imesa nesse campo elético. Dessa foma, E F q & Oigem Figua Q onde o campo elético é medido em Newton po Coulomb, ou em Volt po meto.
Execício. Duas cagas pontuais de 5 nc e - nc estão localizadas em (,, 4) e (-3,, 5), espectivamente. Detemine a foça sobe uma caga pontual de nc localizada em (, -3, 7). Enconte o campo elético em (, -3, 7).
Campos eletostáticos de distibuições contínuas de caga Além de cagas pontuais, podemos te distibuições contínuas de caga ao longo de uma linha, sobe uma supefície, ou em um volume, confome ilustado na figua 3. Figua 3
É usual denota a densidade de cagas como: linea (ρ L em C/m), supeficial (ρ S em C/m ) e volumética (ρ v em C/m 3 ). O elemento de caga (dq) e a caga total (Q), associados a tais distibuições, são obtidos da seguinte foma dq L dl Q ò L L dl Linha de cagas dq S ds Q ò S S ds Supefície de cagas dq v dv Q ò v dv v Volume de cagas
A intensidade de campo elético, devido a uma dessas distibuições, pode se obtida a pati da soma das contibuições elementaes de campo, devido a cada um dos pontos de caga que constituem a distibuição, dessa foma E E E ò L ò S ò v 4 4 4 pe pe pe L S v R R R dl' ds dv' â ' â â R R R Linha de cagas Supefície de cagas Volume de cagas
As coodenadas-linha são usadas paa denota a localização do ponto-fonte. As demais se efeem à localização do ponto de inteesse, ou seja, ponto no qual E vai se calculado. E ò L dl' âr Linha de cagas 4pe R L E E ò S ò v 4 4 pe pe S v R R ds ' dv' â â R R Supefície de cagas Volume de cagas
Execício. Consideando uma linha de cagas com densidade unifome ρ L, ilustada na figua 4, detemine o veto campo elético no ponto P (x, y, z). z z b R P z a o y x Figua 4
Execício 3. Consideando uma lâmina infinita de cagas, no plano xy, com densidade unifome ρ S, ilustada na figua 5, detemine a contibuição da supefície paa o campo elético no ponto P (,, h). z P R o y x Figua 5
Densidade de fluxo elético A intensidade de campo elético depende do meio no qual está imesa a caga fonte do campo. Supondo um campo vetoial D, independente do meio, e definido como E D e definiemos o fluxo elético (Ψ) em temos de D da seguinte foma Y ò D d S S
Em unidades do SI, uma linha de fluxo elético se inicia em uma caga de C e temina em uma caga de - C. Dessa foma, o fluxo elético é medido em Coulomb. O campo vetoial D é denominado de densidade de fluxo elético e é medido em Coulomb po meto ao quadado. Po azões históicas, a densidade de fluxo elético é também denominada de deslocamento elético.
Lei de Gauss (ª equação de Maxwell) A lei de Gauss constitui-se em uma das leis fundamentais do Eletomagnetismo. Ela estabelece que o fluxo elético total (Ψ), atavés de qualque supefície fechada, é igual à caga total enceada po essa supefície. Dessa maneia, Y Q enc
Ou seja, Y ò dy ò D d S Q enc S ò v v dv Obtendo-se que Q ò D d S ò S v v dv ª equação de Maxwell (foma integal)
Aplicando o teoema da divegente à ª equação de Maxwell na foma integal, obtemos Ñ D v ª equação de Maxwell (foma difeencial) Deve-se obseva que A lei de Gauss se apesenta como uma maneia mais simples de se detemina E ou D, paa distibuições siméticas de caga, tais como: uma caga pontual, uma linha infinita de cagas, uma supefície infinita de cagas e uma distibuição esféica de cagas, po exemplo.
Uma distibuição contínua de cagas tem simetia caso o campo vetoial possua uma componente, ou seja, dependa de apenas uma dieção. Dessa foma, possuiá: simetia etangula se tive apenas componente na dieção â x (ou â y, ou â z ), simetia cilíndica, no caso de componente na dieção â ρ, e simetia esféica quando tive componente apenas na dieção â.
IMPORTANTE: Não podemos utiliza a lei de Gauss paa detemina E ou D quando a distibuição de cagas não fo simética. Nesse caso, devemos ecoe à lei de Coulomb paa detemina E ou D.
Aplicação da lei de Gauss O método de aplica a lei de Gauss, paa detemina o campo elético, começa pela veificação da existência de simetia. Uma vez identificada a existência de simetia, constuímos uma supefície matematicamente fechada (conhecida como supefície gaussiana). Essa supefície é escolhida de foma que o veto D seja nomal, ou tangencial, à supefície gaussiana. Quando D fo nomal à supefície D d S Quando D fo tangencial à supefície D d S DdS
Dessa foma, devemos escolhe uma supefície que seja compatível com a simetia exibida pela distibuição de cagas.
Execícios 4. Detemina D no ponto P, localizado no espaço, supondo uma caga pontual Q localizada na oigem. 5. Detemina D no ponto P, localizado no espaço, supondo uma linha infinita de cagas unifomemente distibuída, ao longo do eixo z, dada po ρ L (C/m). 6. Detemina D no ponto P, localizado no espaço, supondo uma lâmina infinita, localizada no plano z, com distibuição unifome de cagas dada po ρ S (C/m²). 7. Detemina D no ponto P, localizado no espaço, consideando uma esfea de aio a com uma distibuição unifome de cagas dada po ρ v (C/m 3 ).
Potencial escala elético Suponha que queiamos movimenta uma caga pontual Q, de um ponto A paa um ponto B, em um campo elético exteno E. Figua 6
A pati da lei de Coulomb, conclui-se que a foça sobe Q é dada po FQE. Dessa foma, o tabalho ealizado paa povoca um deslocamento dl na caga é dado po dw - F d l -Q E d l onde o sinal negativo indica que o tabalho é ealizado po um agente exteno.
Dessa maneia, o tabalho total ealizado, ou a enegia potencial necessáia, paa movimenta Q de A paa B é W ò B - Q E d l A Dividindo-se W po Q esulta no valo da enegia potencial po unidade de caga. Essa quantidade, denotada po V AB, é conhecida po difeença de potencial ente os pontos A e B.
Dessa foma, V AB B W - ò Q A E d l Obseve que: Ao detemina V AB, A é o ponto inicial e B é o ponto final. Se V AB fo negativo, existe uma peda de enegia potencial ao movimentamos Q de A até B. Isso significa que o tabalho é feito pelo campo elético.
Entetanto, se V AB fo positivo, existe um ganho de enegia potencial no movimento. Isso significa que um agente exteno é esponsável po esse tabalho. V AB é independente da tajetóia ealizada. V AB é medido em Joules po Coulomb, ou mais comumente em Volt.
O potencial em qualque ponto é a difeença de potencial ente esse ponto e um ponto escolhido no qual o potencial é abitado como zeo. Em outas palavas, consideando potencial zeo no infinito, o potencial a uma distância da caga pontual é o tabalho ealizado, po unidade de caga, devido a um agente exteno, paa se desloca uma caga-teste do infinito até esse ponto. Dessa foma, V ò - E d l Figua 7
Deteminação da expessão do potencial escala elético Consideando o campo E devido a uma caga pontual, temos que E Dessa foma, V AB - B Q â Q 4 pe 4pe B 3 ( â â ) ò E d l -ò A A Q 4pe d
Consideando o potencial escala elético no infinito igual a zeo, ou seja, V A, temos que A B A B AB AB 4 4 4 V V Q V Q d Q V B A B A - ø ö ç ç è æ - - ò pe pe pe Q V 4 ) ( pe
Se a caga Q não estive localizada na oigem, mas em um ponto cujo veto posição seja, o potencial em se tona Paa n cagas pontuais, o potencial em é dado po - ' 4 ) ( Q V pe å - ø ö ç è æ n k k k Q V 4 pe
Paa distibuições contínuas de caga, o potencial em pode se escito como ò ò ò - ø ö ç è æ ø ö ç è æ - ø ö ç è æ ø ö ç è æ - ø ö ç è æ ø ö ç è æ v S L dv V ds V dl V ' ' ' 4 ' ' ' 4 ' ' ' 4 v S L pe pe pe Linha de cagas Supefície de cagas Volume de cagas
Execício 8. Duas cagas pontuais -4 µc e 5 µc estão localizadas em (, -, 3) e em (, 4, -), espectivamente. Detemine o potencial escala elético em (,, ), consideando potencial escala elético igual a zeo no infinito.
Relação ente o campo e o potencial escala eléticos A difeença de potencial ente dois pontos A e B independe da tajetóia pecoida, ou seja, Dessa foma, V + Û - V V V AB BA BA AB ò E dl Fisicamente, isso implica dize que não é ealizado tabalho ao se movimenta uma caga, ao longo de uma tajetóia fechada, no inteio de um campo eletostático. O campo eletostático é um campo consevativo.
Aplicando o teoema de Stokes, temos que ò E dl ò æ ç è Ñ E ö ø ds ª equação de Maxwell ò æ ç è Ñ E ö ø ds Foma integal Ñ E Foma difeencial
Patindo-se da definição de potencial escala elético, dv - E dl -E x dx - E y dy - E z dz dv temos que V x dx + V y dy + V z dz E -ÑV O sinal negativo mosta que a dieção do campo elético é oposta à dieção de cescimento do potencial escala elético. A oientação do campo elético é do maio paa o meno potencial.
9. Dado o potencial, Execícios V senq cosf a) Detemine a densidade de fluxo elético em (, π/, ). b) Calcule o tabalho ealizado ao se movimenta uma caga de µc do ponto A (, 3º, º) até o ponto B (4, 9º, 6º).. Dado, detemine o tabalho ealizado ao movimenta uma caga de - µc do ponto (, 5, ) até o ponto (, -, ), usando a tajetóia: a) (, 5, ) (, 5, ) (, -, ). b) y 5 3x. ( 3x + y) âx xây E +
O dipolo elético Dipolo elético: duas cagas pontuais, de igual magnitude e sinais opostos, sepaadas po uma pequena distância. z S(d/,,) +Q P(,θ,φ) d o y x -Q T(d/,π,) Figua 8
O potencial no ponto P é dado po V V + V + Q -Q onde V + Q Q 4 pe V -Q - Q 4 pe
Em coodenadas esféicas, a distância ente dois pontos é dada po com isso Potanto, ( ) cos sen sen cos cos f f q q q q - - - + d q q cos 4 cos 4 d d d d d d + + - + ï þ ï ý ü ï î ï í ì ú û ù ê ë é ø ö ç ç è æ + + - ú û ù ê ë é ø ö ç ç è æ - + - - cos 4 cos 4 4 q q pe d d d d Q V
Fazendo temos que Consideando æ d ç è 4 - ± ( + u ) ö ± d cosq u ø» - u ± ± u ± <<
temos V Q 4pe d cosq Consideando que z +Q p Q d Repesenta o momento dipolo, oientado de Q a +Q p d o y x -Q Figua 9
temos e 3 3 ' 4 ' 4 4 - ø ö ç è æ - p V p â p V pe pe pe Dipolo elético com cento localizado na oigem Dipolo elético com cento localizado no ponto
O campo elético devido a um dipolo com cento localizado na oigem é dado po E -ÑV 4 p pe 3 ( cosqâ + senqâ ) θ
Execícios.Dois dipolos com momentos de dipolo (,, -5) nc.m e (,, 9) nc.m estão localizados nos pontos (,, -) e (,, 3), espectivamente. Detemine o potencial na oigem..um dipolo elético de (,, ) pc.m está localizado na oigem. Detemine o potencial escala elético e o veto campo elético nos pontos: a) (,, ). b) (, π/3, π /).
Linhas de fluxo elético É uma tajetóia, ou linha imagináia, desenhada de tal modo que sua oientação, em qualque ponto, é a mesma do campo elético nesse ponto. Qualque supefície na qual o potencial elético seja o mesmo em toda a sua extensão é conhecida como supefície equipotencial. A inteseção de uma supefície equipotencial e um plano esulta em uma tajetóia, ou linha, conhecida como linha equipotencial. Nenhum tabalho é ealizado ao movimenta uma caga de um ponto a outo ao longo de uma linha, ou supefície, equipotencial.
As linhas de foça, linhas de fluxo, ou ainda dieção do campo elético, são sempe nomais às supefícies equipotenciais. Linhas de fluxo Linhas equipotenciais Figua
Densidade de enegia em campos eletostáticos Paa detemina a enegia amazenada po um aanjo de cagas, pecisamos, em pimeio luga, detemina a quantidade de tabalho necessáia paa euni essas cagas em uma egião. Suponhamos que se posicionem tês cagas pontuais Q, Q e Q 3 em uma egião do espaço inicialmente vazia. Q Q P P P 3 Q 3 Figua
Não há necessidade de se ealiza tabalho paa tansfei Q do infinito até P, poque o espaço inicialmente está live de cagas e não há campo elético pesente, potanto W W E O tabalho ealizado paa tansfei Q, do infinito até P, é igual ao poduto de Q pelo potencial V em P, devido a Q, ou seja, W W E Q V De modo simila, o tabalho ealizado paa posiciona Q 3 em P 3 é dado po E 3 3 ( V V ) W W Q + 3 3
Dessa foma, o tabalho total ealizado paa posiciona as tês cagas é igual a Se as cagas foem posicionadas na odem evesa, Dessa foma, temos que ( V ) W + E W + W + W3 + QV + Q3 3 V3 ( V ) W + E W3 + W + W + QV 3 + Q V3 W E + ( QV + Q V Q V ) onde V, V e V 3, são os potenciais totais em P, P e P 3. 3 3
A enegia também pode se deteminada paa difeentes distibuições de caga, po exemplo:. Paa n cagas pontuais W E n å k Q k V k. Paa uma linha de cagas 3. Paa uma supefície de cagas W W E E ò LVdl ò SVdS 4. Paa um volume de cagas W E ò vvdv
Consideando que e que æ ö Ñ ç B A è ø v Ñ D æ BçÑ è ö A + ø æ A ç Ñ è ö B ø fazendo-se algumas consideações matemáticas, temos que onde W E ò D E dv òe E dv w E d WE D E e E dv Repesenta a densidade de enegia eletostática, medida em J/m³
Execícios 3.Tês cagas pontuais - nc, 4 nc e 3 nc estão localizadas em (,, ), (,, ) e (,, ), espectivamente. Detemine a enegia intena do sistema. 4. Se V x y + xy + z V, detemine o veto campo elético em (,, 3) e a enegia eletostática amazenada em um cubo de lado m, centado na oigem.
Refeências SADIKU, M. N. O. Elementos de Eletomagnetismo. 5ª edição. Editoa Bookman.
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UNIVERSIDADE FEDERAL DE CAMPINA GRANDE CENTRO DE ENGENHARIA ELÉTRICA E INFORMÁTICA NOTAS DE AULA DE ELETROMAGNETISMO Pof. D. Helde Alves Peeia Maço, 9