Ilydio Pereira de Sá Geraldo Lins

Ilydio Pereir de Sá Gerldo Lis

Mtemátic o Esio Médio Álgebr - IA / UERJ Profs. Ilydio Pereir de Sá e Gerldo Lis MATEMÁTICA NO ENSINO MÉDIO ª PARTE: SEQÜÊNCIAS E PROGRESSÕES PARTE I - PROGRESSÕES ARITMÉTICAS (PA) ) INTRODUÇÃO Observe s seguites situções, tirds de situções do cotidio ou de diversos rmos d róri mtemátic:. Viícius tem, gurddos em seu cofriho, 5 reis. Resolveu, rtir desse mometo, fzer um ouç de form que colocri o cofriho um rel o rimeiro di, dois o segudo, três o terceiro...e ssim sucessivmete, té o º di. Quto ele terá em seu cofriho, ssdos os dis?. A oulção de um cidde cresce % cd o. Se em 99 oulção er de 5 hbittes, qutos serão os hbittes dess cidde, em 7, mtid mesm tx de crescimeto ul?. Observe seqüêci bixo:.................... 6 Esses úmeros são chmdos de úmeros trigulres (vej disosição e qutidde de otos de cd termo). Qul será o décimo termo dess seqüêci? Problems como os que resetmos cim, que evolvem seqüêcis eseciis, serão fcilmete resolvidos com s técics que estudremos o cítulo ds rogressões ritmétics e ds rogressões geométrics. Qudo escrevemos qulquer qutidde de úmeros, um ós o outro, temos o que chmmos de seqüêcis. As seqüêcis são, freqüetemete, resultdo d observção de um determido fto ou feômeo. Imgie, or exemlo, que um esso comhsse vrição do dólr (comr) os rimeiros dez dis (úteis) do mês de bril de. Vejmos o resultdo de su esquis tbel seguir: Di útil (Abril de ) Dólr (Comr) Di útil (Abril de ) Dólr (Comr) R$,5 R$,78 R$,55 4 R$,46 5 R$,7 6 R$,64 7 R$,84 8 R$,4 9 R$, R$,8

Mtemátic o Esio Médio Álgebr - IA / UERJ Profs. Ilydio Pereir de Sá e Gerldo Lis Verifique que os vlores listdos, que ossuem um cert ordeção, costituem um seqüêci. Covecio-se desigr or um letr miúscul qulquer (ormlmete ) qulquer um dos termos de um seqüêci, usdo como ídice um úmero que deot osição do termo seqüêci. Assim, otção rereset o rimeiro termo d seqüêci, que o osso exemlo do dólr é o vlor,5. A otção rereset o décimo termo e ssim sucessivmete. Qudo desejmos flr sobre um termo qulquer de um seqüêci, escrevemos. Você ode usr s seqüêcis r registrr diverss observções, como rodução de um fábric em cd mês, o úmero de telefoems que você dá or di, tx de iflção mesl etc. No exemlo que mostrmos, d vrição do dólr, ão terímos como sber, or exemlo, su cotção o di 5, ou o di, já que seqüêci é vriável e deede de diversos ftores ão revisíveis. Em osso curso vmos estudr ums seqüêcis muito eseciis. Por su regulridde, cohecedo lgus termos, odemos clculr qulquer outro. A rimeir dels chm-se Progressão Aritmétic. Um rogressão ritmétic é um seqüêci qul, ddo um rimeiro termo, obtemos todos os outros crescetdo semre mesm qutidde. Por exemlo, vmos rtir do úmero 7 e crescetr, diverss vezes: 7 6 9... O vlor que crescetmos cd termo r obter o seguite chm-se rzão (R). Portto, esse exemlo, temos: 7 e R. Vej gor outros exemlos de rogressões ritmétics e sus clssificções:, 7,, 5, 9,... Temos R 4. Um rogressão crescete. 9, 7, 5,,, -, -, - 5,... Temos R -. Um rogressão decrescete. 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4,... Temos R. um rogressão estcioári. Você já deve ter ercebido que é muito fácil sbermos o vlor d rzão de um rogressão ritmétic. Como rzão é qutidde que crescetmos cd termo r obter o seguite, odemos dizer que: A rzão de um rogressão ritmétic é difereç etre qulquer termo e o terior, rtir do segudo termo. Assim, retomdo os três últimos exemlos, temos:. rogressão: R 7-4 R -7 4 R 5-4 etc.. rogressão: R 7-9 - R 5-7 - etc.. rogressão: R 4-4

Mtemátic o Esio Médio Álgebr - IA / UERJ Profs. Ilydio Pereir de Sá e Gerldo Lis 4 ) FÓRMULA DO TERMO GERAL DE UMA P.A Pssemos etão geerlizr o que vimos os exemlos. Cosidere seguite rogressão ritmétic (de gor em dite reresetd or PA) de rzão R: 4 5 6... R R R R R R... Suoh que você cohece o rimeiro termo ( ), e rzão (R). Como fremos r clculr qulquer outro termo? Observe s igulddes: R R 4 R 5 4R... 9R Vemos etão que, r clculr um termo qulquer ( ) é reciso somr o º termo, ( -) vezes rzão, ou sej: Fórmul do termo gerl: ( - ).R Pr eteder bem o que estmos fzedo, imgie que você está o º degru de um escd e desej chegr o º. Qutos degrus deve subir? É clro que são 9. Se você está o º degru e desej chegr o 5º, qutos deve subir? Deve subir 4, lógico. Etão, r chegr o degru úmero, devemos subir ( -) degrus. Observe licção dess fórmul os exemlos seguites. EXEMPLO : Qul é o trigésimo (º) termo d rogressão ritmétic:, 7, 4,, 8,...? Solução: A rzão d rogressão é R 7-7 e o rimeiro termo é. Desejmos clculr o trigésimo termo, ou sej,. A rtir d fórmul do termo gerl: ( - )R Substituido letr or, obtemos: 9.R Dí, 9. 7 Portto, o trigésimo termo d rogressão dd é. EXEMPLO : Um luo escreveu todos os úmeros ímres desde 7 té 6. Qutos úmeros ele escreveu? Solução: A rogressão desse exemlo é seguite: 7, 9,,,..., 6. O rimeiro termo é 7, o último termo é 6 e rzão é. Escrevemos etão: 7 6 R Substituido esses vlores fórmul do termo gerl, clculremos que é o úmero de termos d rogressão: ( - ).R 6 7 ( - ). 6-7 - 46 -

Mtemátic o Esio Médio Álgebr - IA / UERJ Profs. Ilydio Pereir de Sá e Gerldo Lis 5 48 4 A rogressão tem, ortto, 4 termos. EXEMPLO : Escrev P.A obtid, qudo iserimos 5 úmeros etre e 5? Nesse cso, estmos queredo formr um P.A, com sete termos, sedo que os extremos são os úmeros e 5. Esse tio de roblem é o que chmmos de INTERPOLAÇÃO ARITMÉTICA. É clro que o que flt obter é rzão dest P.A. (,,,,,, 5). ( - ).R ou 7 6. R ou 5 6.R ou id 4 6. R, o que crret R 4. Logo, P.A rocurd é: (, 5, 9,, 7,, 5) EXEMPLO 4: Em jeiro, de certo o, Lídi estv ghdo R$ 7, or mês. Seu trão rometeu umetr seu slário em R$ 8, todos os meses. Quto Lídi estrá ghdo em dezembro do o seguite? Solução: Se o slário de Lídi umet R$ 8, todos os meses, etão seqüêci dos slários é um rogressão ritmétic de rzão igul 8. Vmos Motr um tbel, r melhor eteder situção: jeiro _ 7, fevereiro _ 78,...... dezembro _ jeiro _...... dezembro _ 4? Logo, o que queremos é o vlor do 4º termo dess P.A. Usdo fórmul do termo gerl, teremos: 4.R 4 7.8 4 7 84 4 454 Portto, com esses equeos umetos mesis, Lídi estrá ghdo, em dezembro do o seguite, R$ 454,. "Há grdes homes que fzem com que todos se sitm equeos. Ms o verddeiro grde homem é quele que fz com que todos se sitm grdes." (Gilbert Keith Chesterto, escritor iglês)

Mtemátic o Esio Médio Álgebr - IA / UERJ Profs. Ilydio Pereir de Sá e Gerldo Lis 6 ) ALGUMAS PROPRIEDADES DAS PROGRESSÕES ARITMÉTICAS A) Proriedde Fudmetl de um P. A Semre que tivermos três termos cosecutivos de um P. A, o termo do meio será igul à médi ritmétic dos outros dois. Assim, se os termos: x, y, z, forem cosecutivos de um P.A, teremos que xz y. Ess roriedde decorre d róri defiição d P.A, ode s difereçs etre dois termos cosecutivos devem ser iguis. De fto, se y x z y, isso crretrá que y x z ou xz y. EXEMPLO 5: Sbedo-se que ( x, 4x, 4x,...) são os três rimeiros termos de um P.A, obteh: ) o vlor de x b) o vlor d rzão d P. A c) o vlor do 5º termo dess mesm P. A Solução: De cordo com roriedde resetd, como são três termos cosecutivos d P. A, teremos: x 4x 4x - x. Logo, teremos x. (ergut ). b) Se x, etão os três rimeiros termos d P.A serão (,, 4) e fic fácil erceber que rzão é igul. c) 5 4. R, logo, 5 4. 4 6. B) Proriedde dos Termos Eqüidisttes. Num P.A fiit, som de dois termos eqüidisttes dos extremos é igul à som dos extremos. Exemlo: 9 7 5 5 7 Poderemos fzer demostrção r o cso gerl: (,,...,... q,... ) termos termos Verifique que etre o rimeiro termo e o termo existem termos e etre o termo q o termo tmbém existem termos. Por isso esses termos são deomidos de eqüidisttes dos extremos. Temos que rovr que som desses dois termos ( q ) é igul à som dos dois extremos d P.A ( ). De fto, ( ).r e q ( ).r...logo: ( ).r ( q ( ).r) r r q r r

Mtemátic o Esio Médio Álgebr - IA / UERJ Profs. Ilydio Pereir de Sá e Gerldo Lis 7 q ou etão q o que demostr oss roriedde. C) O Gráfico de um P.A Podemos visulizr os termos de um rogressão ritmétic or meio de um gráfico como este: Os vlores dos termos são reresetdos els brrs verticis que formm o deseho de um escd. Ness escd, ltur de cd degru é rzão d rogressão ritmétic. D) Um outr fórmul (Recorrêci) Imgie que você se ecotr o º dr de um escd e que desej tigir o 9º dr. Qutos dres você terá de subir? É clro que resost é 6 dres. Isso, em ligugem mtemátic ode ser reresetdo or: 9 6. R. De modo gerl, se estmos o degru de úmero e desejmos chegr o degru de úmero m, devemos subir (m ) degrus. No cso d P. A, teremos um outr meir mis gerl de escrever fórmul, relciodo dois termos quisquer e ão obrigtorimete como rimeiro termos. Ë seguite fórmul: m (m ). R. Exemlo 6: A mesd de Luci umet todos os os de um vlor costte de reis, combido com o seu i. Sbemos que o 5º o ós o cordo, mesd estv em R$ 8, e que o 8º o estv em R$,. Qul er o vlor d mesd de Luci o iício desse cordo? Solução: Pelo que vimos fórmul terior, oderemos relcior diretmete os vlores do 8º e do 5º o de mesd. 8 5. R Substituido os vlores cohecidos, temos: 8 R, logo, teremos que. R ou R. Podemos gor, relcior um desses termos (o 5º ou o 8º) com o rimeiro e determir o vlor d mesd de Luci o iício do cordo (o rimeiro o de cordo) 5 4. R ou 8 4. ou 4. Resost: No iício (e durte todo o rimeiro o) mesd de Luci er de R$ 4,.

Mtemátic o Esio Médio Álgebr - IA / UERJ Profs. Ilydio Pereir de Sá e Gerldo Lis 8 EXERCÍCIOS PROPOSTOS (SÉRIE ) ) Um criç está bricdo com litos de fósforo. Observe o que el está fzedo. Se el cotiur costruido seguido o mesmo critério usdo té gor, qutos qudrdos el terá costruído com 5 litos? ) Achr três úmeros em P. A e tis que som do rimeiro com o terceiro sej e o roduto do rimeiro elo segudo sej 4. ) Um coro em qued livre, rtido do reouso, ci 6 m durte o rimeiro segudo, 48 m durte o segudo, 8 m durte o terceiro, etc. Clculr distâci que ci o 5 o.segudo. 4) O erímetro de um triâgulo retâgulo é 6 m e os seus ldos formm um P. A. Determie áre desse triâgulo. 5) Qul o rimeiro termo de um P.A, de 49 termos, se o último termo vle 8 e su rzão é igul ½? 6) Qutos úmeros iteiros existem, etre 84 e 79, e que são múltilos de 5? 7) Qutos úmeros iteiros existem, de té 9, e que NÃO são múltilos de? 8) Qul rzão d P.A obtid qudo iserimos 4 termos(meios ritméticos) etre 9 e 4? 9) (UNESP) Dus eques fábrics de clçdos A e B têm fbricdo, resectivmete, e res de stos or mês. Se, rtir de jeiro, fábric A umetr sucessivmete su rodução em 7 res or mês e fábric B umetr sucessivmete su rodução em 9 res or mês, rtir de que mês rodução d fábric B vi suerr rodução d fábric A? ) Escrev um P.A (crescete), de três termos, sbedo que som desses termos vle e que som de seus qudrdos vle 8. ) Os termos de um seqüêci são roorciois os úmeros, 5 e 9. Somdo 4 o termo do meio, ov seqüêci formd é um P.A. Determie seqüêci iicil. 5 7 ) Cosidere seqüêci (,,,,...). Determie seus três róximos termos. 8 4 8 ) Sej um P.A de 7 termos e rzão igul R. Se retirrmos o segudo, o terceiro, o quito e o sexto termos, teremos um outr P.A, de rzão... 4) Em um P.A o rimeiro termo é igul,4 e o segudo termo é igul,5. Qul o vlor do décimo termo dess rogressão? 5) Qutos termos ossui um P.A cujo rimeiro termo é igul x 9y, o último é igul y e rzão é igul y x (sedo yx)?

Mtemátic o Esio Médio Álgebr - IA / UERJ Profs. Ilydio Pereir de Sá e Gerldo Lis 9 4) SOMA DOS TERMOS DE UMA PROGRESSÃO ARITMÉTICA

Mtemátic o Esio Médio Álgebr - IA / UERJ Profs. Ilydio Pereir de Sá e Gerldo Lis O texto terior, extrído d revist Glileu Esecil (Eurec), de bril de, os mostr de um form simles como que o mtemático lemão, Guss, id criç, coseguiu de form geil um rov r som dos termos de um P.A. É clro que o que está reortgem ão é um demostrção rigoros, em geéric, ms, com uxílio ds rorieddes que estudmos teriormete, odemos roveitr idéi de Guss e deduzirmos tl fórmul. Vejmos: Cosideremos som S, de todos os termos de um P.A (fiit, é clro). S... É clro que tl som ão modificrá, como fez Guss, se escrevermos em outr ordem. Vmos escrever mesm som, de trás r frete: S... Se somrmos esss dus exressões, teremos: S ( ) ( ) ( )... ( ) Já vimos teriormete que tods esss soms, de termos eqüidisttes dos extremos, são iguis à som dos rórios extremos. Logo, segud rte d exressão obtid ode ser substituíd or ( ) ( ) ( )... ( ).( ) Logo, chegmos filmete, S som dos termos de um rogressão ritmétic. ( ). que é fórmul clássic r obtermos UMA CURIOSIDADE... (dtdo de Telecurso Fudção Roberto Mriho) Podemos visulizr o que está ocorredo durte som dos termos de um P.A ssocido à um rogressão ritmétic idéi de um escd. Vejmos ess situção r um P.A de sete termos. Estmos queredo clculr som dos comrimetos de todos esses degrus. Vmos usr do mesmo rtifício usdo elo osso brilhte Guss. Imgiemos dus desss escds (um dels ivertid) e colds.

Mtemátic o Esio Médio Álgebr - IA / UERJ Profs. Ilydio Pereir de Sá e Gerldo Lis Observdo figur, costtmos lgo que já sbímos que s soms 7, 6, 5,... são tods iguis. Logo, odemos somr d seguite form: Dess form, temos S ( 7 ). 7 ou ( S 7 ). 7 Acredito que visulizção cim mostrd, bem como históri de Guss (Revist Glileu Esecil) fcilitrão que você se lembre de como roceder r somr todos os termos de um rogressão ritmétic. Exemlo 7: Qul som dos 5 rimeiros termos de um P.A qul 6 45 6? Solução: Pel fórmul que cbmos de deduzir, sbemos que som dos 5 rimeiros termos de um P.A. é dd or: ( 5). 5 S (6). 5 S ms, como sbemos que 5 6 45 6, teremos etão: 4 Exemlo 8: Ao se efetur som de 5 rcels em rogressão ritmétic, 6..., or distrção ão foi somd 5ª rcel. Qul som que foi ecotrd, or ego? Solução: Observmos que rzão d P.A é igul 4 e que o rimeiro termo é. Logo, já odemos obter os vlores d 5ª e d 5ª rcels, ecessáris à solução do roblem. Cálculo d 5ª rcel 5 4. R 4. 4 8 (que terá de ser descotd do totl, já que el foi esquecid ). Cálculo d 5ª rcel 5 49. R 49. 4 98

Mtemátic o Esio Médio Álgebr - IA / UERJ Profs. Ilydio Pereir de Sá e Gerldo Lis Som ds 5 rcels ( ). 5 ( 98). 5 5 S 5 Som que foi ecotrd, com flt d 5ª rcel 5 8 4 66 PROGRESSÕES ARITMÉTICAS E CALCULADORAS (De: Telecurso Fudção Roberto Mriho) Hoje em di, todos ós usmos um máqui simles r fcilitr ossos cálculos: máqui de clculr. Além de relizr s qutro oerções (som, subtrção, multilicção e divisão), máqui clcul riz qudrd e tem memóri. Vmos ver um form iteresste e simles de usr clculdor r fcilitr o trblho com rogressões ritmétics. Como exemlo, vmos cosiderr rogressão ritmétic de rzão R 7, começdo em 9. Pr visulizr qutos termos você quiser, digite: A rimeir vez que você cior tecl máqui vi mostrr o termo 6 (segudo termo d P.A). Ns outrs vezes que você cior tecl, sucessivmete, o visor d máqui mostrrá:,, 7, 44,...té o termo que você desejr. A máqui de clculr tmbém som os termos de um rogressão ritmétic. Se ão forem muitos os termos que recismos somr, o uso d clculdor é bstte eficiete. Vmos mostrr, como exemlo, como obter som dos 5 rimeiros termos de um PA, cujo rimeiro termo é 5,86 e cuj rzão é,7. Pr obter os 5 termos, rocedemos como o exemlo terior. Devemos es, ós cd termo que recer o visor, ertr tecl M. Isto fz com que os termos d rogressão sejm cumuldos memóri d clculdor. Deois que você ertr el quit vez tecl M, erte tecl MR e som dos 5 termos d rogressão recer o visor. O esquem d oerção que vmos fzer é o seguite: Iicido or 5,86 e usdo rzão,7, você irá obter o vlor 8 r som dos 5 rimeiros termos d rogressão.

Mtemátic o Esio Médio Álgebr - IA / UERJ Profs. Ilydio Pereir de Sá e Gerldo Lis EXERCÍCIOS PROPOSTOS (SÉRIE ) ) Clcule som de todos os úmeros turis ímres de dois lgrismos. ) Em um cs de cmo existem, o logo d cerc, um toreir e 8 roseirs. A toreir está 5 m d rimeir roseir e o esço etre s roseirs é de m. O jrdieiro tem es um blde. Ele eche o blde toreir, reg rimeir roseir, volt r echer o blde, reg segud roseir, e ssim or dite. Aós regr décim oitv (8ª) roseir ele retor r deixr o blde juto à toreir. Qul foi distâci totl ercorrid elo jrdieiro? ) Sedo x um úmero rel, ão ulo, clcule o vlor d exressão: x 5.x 5.x 47.x 44...x 4) Clculr som de todos os termos de um P.A cujo rimeiro termo é 4, o último termo é 46 e rzão é igul o úmero de termos. 5) Obteh som dos termos de um P.A crescete, cujos dois rimeiros termos são s rízes d equção x x 4. O úmero de termos dess rogressão é o dobro do vlor do segudo termo. 6) Um ciclist ercorre km rimeir hor de rov, em seguid ercorre 7 km segud hor (ou sej, 7 km em hors) e rossegue semre dess form, ercorredo km meos s róxims hors de ercurso. Quto temo ele levou r ercorrer um totl de 77 km? 7) Obteh rzão de um P.A de termos, cuj som dos termos é 76. Sbemos que est rzão é ositiv e que difereç etre os dois termos extremos é igul. 8) Colocdo-se 54 estudtes em fil, com estudte rimeir fil, estudtes segud, estudtes terceir e ssim sucessivmete, formmos um triâgulo. Quts fils tem ess formtur? 9) (UFRJ) Um iel cotêm lâmds vermelhs e zuis. No istte iicil (t ) cedem-se, simultemete, um lâmd vermelh e 4 zuis. A rtir dí, de em segudos, cedem-se s lâmds vermelhs e gm-se s zuis. O úmero de lâmds vermelhs cess cresce em rogressão ritmétic de rzão igul 4 e o de zuis decresce em rogressão ritmétic de rzão. Em 7

Mtemátic o Esio Médio Álgebr - IA / UERJ Profs. Ilydio Pereir de Sá e Gerldo Lis 4 determido istte teremos mesm qutidde de lâmds vermelhs e zuis cess. Quts lâmds de cd cor estrão cess esse mometo? ) Pr escrever seus cotos um escritor rocede d seguite meir: escreve o rimeiro di de trblho lihs, e os dis seguites, escreve o úmero de lihs do di terior, crescido de 5 lihs. Seu último coto tem 7 ágis, e em cd ági 5 lihs. Clcule em qutos dis esse coto foi escrito. GABARITOS SÉRIE ) 8 ) 4, 6, 8 ) 464 m 4) 5 m 5) 8 6) 7 7) 594 8) 9) outubro ) (, 4, 8) ),, 6 ), 9/8, 5/4 ) R 4), 5) SÉRIE ) 475 ) 846 m ) x -48 4) 75 5) 8 6) 7 h 7) R 8) 55 9) 5 ) "Nós gerlmete descobrimos o que fzer ercebedo quilo que ão devemos fzer. E, rovvelmete, quele que uc cometeu um erro uc fez um descobert." (Smuel Smiles)

Mtemátic o Esio Médio Álgebr - IA / UERJ Profs. Ilydio Pereir de Sá e Gerldo Lis 5 MATEMÁTICA NO ENSINO MÉDIO PROF. ILYDIO PEREIRA DE SÁ SEQÜÊNCIAS E PROGRESSÕES PARTE II - PROGRESSÕES GEOMÉTRICAS (P.G) ) INTRODUÇÃO Cosideremos gor seguite situção: um mercdori, que em 99 custv reis, teve seu reço rejustdo os 4 os seguites, sob tx de % o o, sobre o reço do o terior. Vejmos um tbel reresettiv desses reços: Ao Preço (R$) 99, 99, 99, 99, 994 46,4 Se você egr su clculdor e dividir os vlores de dois termos cosecutivos dess seqüêci, vi observr gor que os quocietes desss divisões serão todos iguis. Vejmos: :, :,, :, 46,4 :,, Se lembrrmos que o úmero deciml, corresode / ou %, costtremos que cd reço está sedo rejustdo em % sobre o reço do o terior. Esse tio de seqüêcis, ode cd termo ( rtir do segudo) é obtido trvés d multilicção do termo terior or um ftor fixo, deomido rzão (q), é o que chmmos de Progressão Geométric (PG) e que estudremos esse cítulo. Vlem r s rogressões geométrics s mesms otções e coveções que usmos r s rogressões ritmétics: r o rimeiro termo; r o termo gerl...etc. A úic difereç de otção que usremos é que, este cso, deotremos rzão or q e ão R, como fizemos teriormete, ois rzão gor é obtid el divisão de dois termos cosecutivos d seqüêci, e, você sbe que o resultdo de um divisão é deomido quociete. Vejmos um exemlo iicil, r fixrmos o que já mostrmos. Imgie um rogressão geométric, de rzão igul, começdo o úmero. x Perceb que, se fosse um rogressão ritmétic, de rzão igul, começdo o três, o crescimeto seri bem mis leto: 5 7 9 5 7... Você ode erceber, clrmete, mesgem que existe em frses do tio: A rodução de limetos cresce em rogressão ritmétic, equto oulção mudil cresce em rogressão geométric. Podemos etão resumir que um P.G é um seqüêci ode cd termo, rtir do segudo, é obtido elo roduto do termo terior or um ftor fixo, deomido rzão.

Mtemátic o Esio Médio Álgebr - IA / UERJ Profs. Ilydio Pereir de Sá e Gerldo Lis 6 Podemos id firmr que: A rzão d PG é igul qulquer termo dividido elo terior. Em osso estudo, or motivos ráticos, os deteremos s rogressões geométrics de rzões ositivs (que é o que ocorre grde miori dos exemlos ráticos) e, odemos usr seguite clssificção r s P.G. Ou sej, se rzão é suerior, rogressão geométric é crescete, se rzão é iferior (e ositiv, como já combimos), rogressão geométric é decrescete e se rzão é igul, rogressão é dit estcioári. OBS: É clro que existem rogressões geométrics, ormlmete teórics, cuj rzão é egtiv. Esss rogressões, elo fto de ter rzão egtiv, terão seus termos vrido de sil e são dits osciltes. ) FÓRMULA DO TERMO GERAL DE UMA P.G Vmos usr um rciocíio semelhte o que vimos r s rogressões ritmétics. Podemos, dess form, iferir que fórmul r o cálculo de um termo qulquer de um P.G é: (). q FATO CURIOSO: Se você comrr s defiições dos dois tios de rogressões que estmos estuddo (ritmétics e geométrics), observrá que o que P.A é um som, P.G se trsform em um multilicção. O que P.A é um multilicção (ou som de

Mtemátic o Esio Médio Álgebr - IA / UERJ Profs. Ilydio Pereir de Sá e Gerldo Lis 7 rcels iguis), P.G é um otecição (ou multilicção de ftores iguis). Se lembrr tmbém que rzão d P.A é idicd or R, equto que d P.G é idicd or q, terá um oderoso rtifício r trsformr s rorieddes e fórmuls obtids r P.A, r s rorieddes e fórmuls d P.G. Comremos s fórmuls dos termos geris, d P.A e d P.G: P.A R. ( - ) () P.G. q Ms, mesmo sbedo esss fórmuls, é muito mis imortte do que els sber que, como um escd, qutos sltos devemos dr r ir de um termo o outro. Somdo semre um vlor fixo, o cso d P.A e multilicdo semre um vlor fixo, o cso d P.G. Cbe id ressltr que, fórmul d P.G ode ser escrit rtir de um termo iicil que deotremos or o que se mostrrá bstte vtjoso em diversos exemlos ráticos que mostrremos, como biologi e mtemátic ficeir. Nesses csos, fórmul ssumirá o seguite secto:. q Exemlo : (Telecurso Fudção Roberto Mriho) Verifique, fórmul d P.A se trsform d P.G, bstdo substituir som or roduto, rzão R, or q e o roduto or um otêci. Você oderi (e deve) resolver diretmete ess questão, lembrdo que do rimeiro termo, o décimo segudo, terímos sltos d dr e, como se trt de um P.G, er só multilicr o rimeiro termo el rzão elevd o exoete. Exemlo : Qutos termos tem P.G (,, 9,...87)? Solução: Verificdo que rzão é igul e, usdo fórmul do termo gerl, teremos: (). q ou id ( ) 87 7. Esse tio de equção que obtivemos, ode icógit se ecotr o exoete, chmmos de equção exoecil e, como temos um

Mtemátic o Esio Médio Álgebr - IA / UERJ Profs. Ilydio Pereir de Sá e Gerldo Lis 8 iguldde de otêcis de mesm bse, é clro que seus exoetes terão de ser iguis, logo, 7, o que crret 8. Exemlo : (Telecurso Fudção Roberto Mriho) Existem bctéris que se reroduzem de form extremmete ráid. Um exemlo é bctéri que cus sífilis (chmd treoem llidum): cd um dels se trsform em 8 iguis, o eríodo de hor. Se um bctéri desse tio começ se reroduzir, quts els serão hors deois, suodo que ehum dels teh morrido? Solução: A oulção desss bctéris form um P.G. Mometo iicil hor deois 8 hors deois 64... Como estmos queredo qutidde de bctéris hors deois do iício, temos que obter o º termo dess rogressão geométric. Logo, licdo fórmul do termo gerl, teremos:. q ou. 8 68 79 476 76 bctéris. Exemlo 4: (ITA) Obteh os vlores de x e y, de modo que seqüêci sej um P.G (, x, y, 458) Solução: Verificmos que o rimeiro termo é igul e que o qurto termo d P.G é igul 458. Logo, licdo fórmul do termo gerl, teremos: (). q ou id 458.q. Assim, q 79 6 9. Nesse cso, temos um equção do tio q 9, o que crretrá que q 9. Dess form, odemos gor comletr rogressão: ( 8 6 458) x 9 x 9 x 9 Coclusão: x 8 e y 6.

Mtemátic o Esio Médio Álgebr - IA / UERJ Profs. Ilydio Pereir de Sá e Gerldo Lis 9 CALCULADORAS E PROGRESSÕES GEOMÉTRICAS (De: Telecurso Fudção Roberto Mriho) Exemlo 5: Sr. Gstão licou R$, um ivestimeto que vlorizv o seu diheiro % o mês. Quto ele vi ter, 4 meses ós o iício d licção? Solução: Esse tio de situção, d Mtemátic Comercil e Ficeir, é o que deomimos JUROS COMPOSTOS ou JUROS SOBRE JUROS formrá semre um Progressão Geométric, como vimos o exemlo d itrodução, rzão dess P.G é o que deomimos FATOR DE CORREÇÃO. Nesse exemlo, o ftor de correção será igul,, ois % % corresode % ou,. Logo, teremos de clculr o resultdo de. (,) 4. N clculdor bst fzer, x 8,4. O que vimos o exemlo cim é um dos grdes usos ds rogressões em oss vid Mtemátic do Diheiro. As rogressões geométrics odem (e devem) ser observds como um seqüêci de termos com tx de vrição costte (sej r umeto ou r redução). ) ALGUMAS PROPRIEDADES DAS PROGRESSÕES GEOMÉTRICAS A) Proriedde Fudmetl de um P. G Semre que tivermos três termos cosecutivos de um P. G (de rzão ositiv), o termo do meio será igul à médi geométric dos outros dois. Assim, se os termos: x, y, z, forem cosecutivos de um P.G, teremos que y x. z. Ess roriedde decorre d róri defiição d P.G, ode o resultdo (quociete) ds divisões etre dois termos cosecutivos devem ser iguis.

Mtemátic o Esio Médio Álgebr - IA / UERJ Profs. Ilydio Pereir de Sá e Gerldo Lis y z De fto, se, isso crretrá que y x. z ou id y x. z. x y Ess roriedde oderi tmbém ser obtid diretmete d roriedde similr d P.A, bstdo fzer s substituições ds oerções corresodetes. EXEMPLO 6: Sbedo-se que ( x -, x, 5x...) são os três rimeiros termos de um P.G crescete, obteh: d) o vlor de x e) o vlor d rzão d P. G f) o vlor do 6º termo dess mesm P. G Solução: De cordo com roriedde resetd, como são três termos cosecutivos d P. G, teremos: x (x ).(5x ). Dess form, (x ) (x ).(5x ). 4x 4x 5x x x x 4x. Resolvedo ess equção, obteremos os resultdos 7 e. Como P.G é crescete, logo, resost válid será o vlor que gerr um rzão mior do que. vejmos oção x 7, teremos seguite P.G (5, 5, 45), que tede à codição do roblem. Vejmos gor oção x -, teremos seguite P.G (-5, -5, -5)...que ão tede o osso roblem. Logo resost d rimeir ergut é x 7. b) rzão d oss P. G é q (5 : 5) c) o sexto termo d P.G será: 5 5.q 5. 5 6 B) Proriedde dos Termos Eqüidisttes. Num P.G fiit, o roduto de dois termos eqüidisttes dos extremos é igul o roduto dos extremos. Exemlo: Cosidere P.G (,, 4, 8, 6,, 64, 8, 56, 5) Verifique:. 5. 56 4. 8 8. 64 6. 5. Você ode, mis um vez, tirr ess roriedde diretmete d roriedde similr d P.A, substituido oerção de ADIÇÃO, el de MULTIPLICAÇÃO. C) Gráfico de um P.G Vmos suor, r exemlo, um P.G cujo rimeiro termo fosse igul e rzão fosse igul,5. Terímos o seguite tio de gráfico:

Mtemátic o Esio Médio Álgebr - IA / UERJ Profs. Ilydio Pereir de Sá e Gerldo Lis Você deve lembrr que, qudo estudmos o gráfico d rogressão ritmétic, s extremiddes dos segmetos verticis obtidos estvm em lih ret. Agor, rogressão geométric, esss extremiddes estão sobre um curv, deomid curv exoecil. 4) SOMA DOS TERMOS DE UMA PROGRESSÃO GEOMÉTRICA Sej... Vmos multilicr todos os termos dess iguldde or q. Teremos etão: S q.s.q.q.q....q.q.q 4 Subtrido rimeir exressão d segud, teremos: q.s S. q - e gor, colocdo o termo S, em evidêci, teremos: S. (q ). q - S.q q A fórmul cim ode ssumir um outro secto, bstdo substituir o el resectiv exressão do termo gerl d P.G. A fórmul d som dos termos d P.G (fiit) ficrá etão: (q ) S. (q )

Mtemátic o Esio Médio Álgebr - IA / UERJ Profs. Ilydio Pereir de Sá e Gerldo Lis Portto, temos dus exressões distits r o cálculo d som dos termos de um P.G fiit. A escolh de qul usr em cd situção roblem deederá obvimete dos râmetros evolvidos em cd cso. Exemlo 7: Obteh som dos rimeiros termos d P.G (, 4, 8,...) Solução: Pr este cso, é melhor usrmos segud exressão d fórmul d som d P.G, ois temos o rimeiro termo, o úmero de termos que queremos somr e rzão (q ). S (q ). (q ) ( )..(4 ) 46 ( ) OBSERVAÇÃO: Verifique que, qudo um P.G decrescete, o úmero de termos cresce idefiidmete (dizemos que tede o ifiito), exressão dess som (que tederá um vlor limite) ficrá bstte simlificd, ois o termo tederá zero. Verifique o exemlo: (; 6; ;,5;,75;,75;,875;.975,...) observe que quto mior o úmero de termos, mis se roxim de zero o último termo cosiderdo. Logo, fórmul que estudmos ficrá, este cso, trsformd em: S.q q substituido or, teremos etão lims q Exemlo 8: Clculr som dos termos d P.G (6, 8, 4,,,...) Solução: Verificmos que se trt do cso d P.G com rzão meor que (q ½, P.G decrescete). Qudo o úmero de termos teder o ifiito, o último termo tederá zero e oderemos licr fórmul terior, ou sej: 6 lims q 6 Exemlo 9 (PUC): N figur está reresetdo um cojuto ifiito de círculos C, C, C,... Os diâmetros de todos eles estão sobre um segmeto de ret de comrimeto igul. Além disso, o rio de C é metde do rio de C. A áre d região hchurd figur é:

Mtemátic o Esio Médio Álgebr - IA / UERJ Profs. Ilydio Pereir de Sá e Gerldo Lis Solução: Pel figur, verificmos que áre hchurd é igul à difereç etre áre do mior semicírculo (C ) e som ds áres dos demis semicírculos, rtir do C. ) Rio do semicírculo C ½. Áre desse semicírculo r. 4 8. r b) Rio do semicírculo C ¼. Áre desse semicírculo 6. r c) Rio do semicírculo C /8. Áre desse semicírculo 64 8 Percebemos que cd áre é igul ¼ d áre terior, logo, esss ifiits áres formm um P.G decrescete, de rzão igul ¼. Podemos, mis um vez, licr fórmul do limite d som, qudo o úmero de rcels tede ifiito. Cosiderdo como rimeiro termo áre do semicírculo C lims q 4 4 4. 4 Filmete, áre hchurd edid, será igul : 8 4 Dificulddes reis odem ser resolvids; es s imgiáris são isueráveis." (Theodore N. Vil)

Mtemátic o Esio Médio Álgebr - IA / UERJ Profs. Ilydio Pereir de Sá e Gerldo Lis 4 4) A MATEMÁTICA E O DINHEIRO A) OS FATORES DE CORREÇÃO Coforme já cometmos teriormete, o grde uso rático ds rogressões geométrics está s seqüêcis de tx de vrição costte. Isso ocorre em muits situções que evolvem diheiro, oerções bcáris e comerciis. Pr que você resolv miori desss questões que, ideedetemete de estrem ou ão os cocursos que relizmos e estão chmos fudmetl efocr com mis detlhes os ftores de correção e mtemátic do diheiro. Muit gete ch que Mtemátic do diheiro serve só r grmos osss cots, coferir trocos, coiss desse tio. Ms ão é somete isso, sbemos que o diheiro, s trsções bcáris ou comerciis, estão cd vez mis resetes vid de tods s essos. Se ergutrmos um esso qul o vlor de dólres, mis mrcos, mis reis, el rovvelmete dirá que rimeirmete recismos coverter todos esses vlores r um mesm moed, tes de efeturmos som. Alogmete, recismos tomr cuiddo com vlores moetários o temo. Será que rcels de reis, gs com itervlos de dis, corresodem um úico gmeto de reis, um Ecoomi com iflção? Ifelizmete, miori dos livros de mtemátic igor est fto, ssim como igorm tmbém iflção. Esse tio de erro é ecotrdo tto em textos r o Esio Fudmetl e r o Esio Médio. Você deve cocordr comigo que, sem Mtemátic, ão coseguirímos eteder ossos cotrcheques, clculr ossos umetos de slário, idetificr os rodutos que umetrm demsidmete de reço, costtr e criticr s rogds egoss, reividicr ossos direitos trblhists,... Observe reortgem seguite: Fote: Revist Vej Edição 755 de de juho de

Mtemátic o Esio Médio Álgebr - IA / UERJ Profs. Ilydio Pereir de Sá e Gerldo Lis 5 Noss bordgem iicil será trvés de um imortte segredo d Mtemátic do diheiro os ftores de correção. Você irá costtr ridmete que, este coceito, é bse de quse tudo o que se estud Mtemátic Comercil e Ficeir e, com o uxílio de um clculdor simles, você oderá eteder e resolver um grde qutidde de roblems que estão o osso cotidio. Aós um estudo detlhdo desses ftores de correção, voltremos à reortgem d revist Vej, verificdo s iformções el cotids. Noss bordgem será feit de form cotextulizd, trvés de eques históris que servirão r os resetr e fmilirizr com ess Mtemátic iserid s trsções ficeirs e de comércio. Históri O slário de Mri er, em gosto de, de R$, e, ós muit lut, recebeu um rejuste de % o mês de setembro de. Qul o vlor do slário que Mri ssou receber rtir de setembro? Pergutmos dois rofessores ossos cohecidos como resolverim questão cim roost e, obtivemos s seguites resosts: % são cetésimos, logo, divido or r chr um cetésimo, deois Professor A Acho que você cocord comigo que solução d rofessor A está corret, um bo solução, vejmos su solução comlet: :,, x 8,4 8,4 58,4 Professor José % são cetésimos ou,... r sber quto vle, de um quti, bst A solução do rofessor José, que tmbém é muito bo, está corret tmbém, certo? Vejmos su solução comlet:, x 8,4 8,4 58,4 Verifique que os dois rofessores souberm licr seus cohecimetos r descobrir o ovo slário de Mri. O rofessor José resetou um solução um ouco mis ráid, e ele cohece um fto imortte que dá um sigificdo d multilicção: ele sbe que, o multilicrmos, or,, o resultdo sigific quto vle, d quti,, ou sej, quto vle cetésimos de,. Gostrímos que você comhsse coosco um outr form de resolver esse roblem.

Mtemátic o Esio Médio Álgebr - IA / UERJ Profs. Ilydio Pereir de Sá e Gerldo Lis 6 Em gosto, rofessor Mri recebi % do seu slário, certo? Ms em setembro ssou receber % mis desse vlor. No totl, cho que você cocord comigo, el vi ficr com % desse slário! Pr chr % / ou, de um quti, bst multilicá-l or esse vlor. Fç su máqui de clculr multilicção, x, e comre com s resosts ecotrds elos rofessores José e A. Percebeu que obtivemos mesm resost? Refletido sobre o ssuto Algus luos ou rofessores, que resolvem ess questão como o rofessor José ou rofessor A, odem chr melhor o modo como esvm tes e cotiur resolvedo os roblems d mesm meir. Ms qudo relciomos s coiss que já sbemos em Mtemátic odemos descobrir ovos cmihos, e isso os lev semre comreeder mis ess ciêci. Vej id um vtgem, últim solução é bem mis ráid que s demis. Vej: Slário de,, ós receber um umeto de %., x, 58,4 Em Mtemátic Ficeir, dizemos que, esse cso: A tx de umeto ercetul do slário foi de % O ftor de umeto (ou multilicdor) do slário foi de,. Históri : Durte um liquidção, loj KOBRA KARO, foi colocdo um grde crtz, ucido descotos de 5% r tods s mercdoris. Quto ssrá custr um clç jes que, tes d romoção, custv R$58,4? GRANDE LIQUIDAÇÃO!!! 5% EM TODAS AS MERCADORIAS Poderímos desevolver um solução mis extes, como que rofessor A fez Históri. 5% corresodem 5 cetésimos do reço d clç. Um cetésimo do reço d clç corresode 58,4 :, que é igul,584. Quize cetésimos corresoderão 5 x,584, que é igul 8,76. Dess form, o reço d clç liquidção será: 58,4 8,76 49,64 Que tl resolvermos d form mis ráid, como tmbém fizemos históri. Verifique o que vi ocorrer se multilicrmos 58,4 x,85? 58,4 x,85 49,64

Mtemátic o Esio Médio Álgebr - IA / UERJ Profs. Ilydio Pereir de Sá e Gerldo Lis 7 Por que será que gor usmos o úmero,85 r gerr o descoto oferecido el loj? Vej que odemos usr um rciocíio recido com o que fizemos históri, ou sej: Preço orml d clç %. Descoto oferecido 5%. Vlor ser cobrdo liquidção % - 5% 85%. Como sbemos que 85% corresodem 85 cetésimos ou,85, temos coclusão que querímos, ecotrr o reço d clç com 5% de descoto, bstrá multilicr o reço orml de 58,4 or,85. Nesse cso temos: tx ercetul do descoto foi de 5% ftor de redução (ou multilicdor) r 5% foi,85. Os dois ftores (ou multilicdores) que usmos o de umeto históri e o de redução históri, são deomidos FATORES DE CORREÇÃO. Acho que você cocord comigo que todo ftor de umeto será um úmero mior do que e todo ftor de redução será um úmero meor do que. Por que será? Exemlo 9: Se o jorl ucir, um determido mês, que cderet de ouç será corrigid elo ftor,5, ele estrá os iformdo que os ivestidores estrão recebedo que correção ercetul sobre o sldo terior? Solução: Como o ftor,5 corresode à tx ercetul de,5%, verificmos que correção ds cderets de ouç foi de,5%. Aumetos ou Reduções Sucessivos e As Progressões Geométrics. Você sbe que em osso di--di é bstte comum ecotrrmos situções de umetos ou reduções sucessivs, como cderet de ouç, s liquidções, os rejustes de imostos ou mesmo de slários (meos comum, ifelizmete). O que será que ocorre com os ftores de correção esses csos? Vejmos um exemlo: Um mercdori sofreu dois rejustes cosecutivos, de % e de 4%, resectivmete. Qul o umeto ercetul corresodete esss dus correções? Você oderi usr um recurso, bstte válido, de suor um reço iicil r ess mercdori (ormlmete usmos o vlor de reis, ois fcilit ossos cálculos). Em seguid, umetr esse reço em % e deois em mis 4% sobre rimeir correção. Comrdo o reço fil com os reis, teremos vrição ercetul rocurd. Vejmos esse tio de solução. Preço iicil reis rimeir correção (%) reis segud correção, 4% sobre reis, ou sej,,4 x 4, reis, logo, o reço fil será de reis 4, reis 7, reis.

Mtemátic o Esio Médio Álgebr - IA / UERJ Profs. Ilydio Pereir de Sá e Gerldo Lis 8 Se comrrmos o reço fil de 7, reis, com o reço iicil de reis, temos que o umeto foi de 7, reis e, como esse créscimo é sobre reis, temos tmbém que o umeto ercetul foi de 7,%. Gostrímos de lertá-lo ovmete sobre gilidde que você ode dquirir, usdo r esse tio de questões os ftores de correção, como já vimos teriormete. Vejmos ess outr ossível solução. Vmos chmr o rimeiro reço d mercdori de P. Você já deve estr sbedo que, com um umeto de %, usdo os ftores de correção, esse reço ssrá ser de P x, (certo?). Com o segudo umeto de 4%, o reço ssrá ser de P x, x,4 o que corresode P x,7, já que multilicção é ssocitiv. Isto vi sigificr que, ideedetemete do reço iicil ele está, ós os dois umetos sucessivos, sedo multilicdo elo ftor,7, o que corresode um vrição ercetul de 7,%, mesm resost que chmos rimeir solução cometd. Gostrímos que você observsse esse imortte fto s trsções comerciis e Mtemátic Ficeir. Aumetos sucessivos (muito comus em íses como o Brsil) germ um umeto cumuldo que ode ser obtido trvés do PRODUTO dos ftores de umeto corresodetes às txs desses umetos. Um rciocíio recido com esse seri feito r o cso de reduções sucessivs de reços ou slários. Reduções sucessivs odem ser tmbém clculds trvés do PRODUTO dos ftores de redução corresodetes às txs desss reduções. Um crític que fzemos à miori dos livros didáticos do Esio Fudmetl é que eles ormlmete só bordm os chmdos juros simles e, esse cso, dri o luo fls imressão de que os dois umetos desse exemlo gerrim um umeto totl de 7%. Tl fto só estri correto se os dois umetos fossem sobre o vlor iicil d mercdori, ou sej, se eles ão fossem cumultivos, ou sucessivos o que crcteriz um situção deomid juros comostos. Exemlo : Qul vrição ercetul cumuld, gerd or dois umetos sucessivos de %? Solução: Alicdo direto o coceito de ftores de correção, teremos:, x,,69. Logo houve um umeto cumuldo de 69%. Verifique que, se usássemos vlores moetários, formdo um seqüêci, como se trt de tx fix de correção, terímos um situção muito rticulr e já cohecid oss, vejmos: Suodo um vlor iicil de reis. Com um rimeiro umeto de %, teremos um segudo vlor de x, reis. Com um segudo umeto de %, teremos um terceiro vlor de x, 69 reis. Logo, temos seqüêci (,, 69), que é um PROGRESSÃO GEOMÉTRICA de rzão igul, (ou,) o que corresode um vrição ercetul fix de % de umeto. O Fto que verificmos cim irá semre cotecer qudo s txs de vrição forem costtes e umetos ou reduções sucessivs. Teremos semre formção de rogressões geométrics.

Mtemátic o Esio Médio Álgebr - IA / UERJ Profs. Ilydio Pereir de Sá e Gerldo Lis 9 Históri : O remédio que o Sr. João tom dirimete, r ressão lt, custv R$ 4, o mês de bril de e ssou custr R$ 48,. Qul foi o ftor de correção e o umeto ercetul corresodete? Você já sbe que o multilicrmos o vlor iicil elo ftor de correção teremos o vlor fil, o cso o reço do remédio com correção. Isso tmbém sigific que, dividido o vlor fil elo vlor iicil, obtém-se o ftor de correção. Vlor fil: vlor iicil ftor de correção No cso rrdo históri, teremos que o ftor de correção será igul 48, : 4,,5. Esero que, esse oto de osso curso, você já estej sbedo que esse ftor corresode um vrição ercetul de,5% (umeto do remédio). Cso ão teh id ercebido o que coteceu, vle e observr que: Qudo multilicmos o vlor iicil or,5 (ftor de correção) é como tivéssemos multilicdo or (,5). Multilicr or reroduz o vlor iicil e multilicr or,5 (ou,5 / ) drá o umeto hvido. Que em osso cso corresode,5%. Verifique tmbém o imortte fto de que os úmeros decimis odem ser trsformdos em ercetges or um multilicção or. Vej:,5,5 % (,5 x ),5 5% (,5 x ),8 8% (,8 x ), % (, X ),45 45% (,45 X ) Podemos resumir o que ocorreu ess históri, qudo temos o ftor de umeto e queremos obter o ercetul de umeto corresodete. Ddo um ftor de umeto, devemos subtrir dele, r cohecer o umeto hvido. Exemlos: Ftor de umeto Aumeto gerdo Percetul de umeto,45,45,45 45%,95,95,95 95,%,65,65,65 6,5%, 86,86,86 86% Históri 4: Ritih, que recebe um slário de R$ 4, or mês, verificou em seu cotrcheque que, ós todos os descotos sofridos or el em um determido mês, recebeu es R$ 99,. Você sberi determir o ercetul do descoto que foi submetido o slário de Ritih? Você já verificou, históri, que existe um modo de obtermos o ftor de correção do slário de Ritih que, esse cso, será um ftor de redução. Ates de cotiur leitur do cometário dess históri, verifique se você está sbedo como determimos o ftor de correção. Nesse cso, o ftor de redução será igul 99, : 4,,88.

Mtemátic o Esio Médio Álgebr - IA / UERJ Profs. Ilydio Pereir de Sá e Gerldo Lis Qul o ercetul de redução do slário de Ritih, o ter sido multilicdo or,88? Se eu disser que é de %, você sberi o orque dess mih resost? O fto é que o,88 obtido como ftor de redução corresode um tx de 88%. Como o slário de Ritih sem os descotos, corresode %, redução sofrid será difereç etre % e 88%, cocord? Um outr form de eteder ess resost, e semelhte que vimos o ftor de umeto, e lembrr que,88 é igul (,) e, se multilicrmos o slário de Ritih or esse ftor teremos multilicção or, que recomõe o vlor do slário, sem descotos, meos multilicção do slário or,, o que rereset os descotos ou sej, um ercetul de, x ou %. Ddo um ftor de redução, devemos subtrí-lo de r cohecer redução ou descoto hvido. Exemlos: Ftor de redução Redução gerd Percetul de redução,45,45,55 55%,95,95,5 5%,76,76,4 4%, 86,86,4 4% Históri 5: Est historih ocorreu (ou melhor, ão chegou ocorrer) loj do Sr. Moel, meu viziho, há muitos os trás. Sr. Moel retedi usr um estrtégi r tetr movimetr su loj umetri o reço de tbel de tods s mercdoris em % e deois, ucido um grde liquidção, dri descotos de % r todos os rtigos que vedi. Achv ele que, gido dess form, vederi elos mesmos reços de tes, com vtgem de estr ucido um liquidção. Ates de cotiur leitur dess históri, qul su oiião sobre estrtégi que ele retedi usr? Qudo ele começou efetur os cálculos r comor tbel fictíci que usri como referêci, teve o susto de verificr que ão ocorri como hvi lejdo e que seri obrigdo veder or um reço iferior o que cobrv teriormete. Chmou-me r ergutr o que estv ocorredo, ode estv o erro de su estrtégi e, desistiu do rtifício ós mih exlicção. Vejmos o que ocorreu... Vmos suor que um mercdori custsse reis, o Sr. Moel, r comor tbel, teri de colocr o reço de reis e qudo fosse tl liquidção, teri que dr um descoto de % sobre os reis, que corresoderi um descoto de 4 reis. Logo, teri de veder mercdori or 4 96 reis, gerdo r ele um erd de 4 %. O fto é simles de ser etedido se você lembrr que o umeto iicil e o descoto osterior form mbos de %, só que sobre vlores diferetes. Equto o umeto foi sobre os reis, o descoto teri de ocorrer sobre os reis e, é óbvio que % sobre é mior que % sobre. Gostri de lembrr que ess questão é tmbém um cso de correções sucessivs (umeto, seguido de redução) e, como já vimos teriormete, odemos usr mis um vez os ftores de correção.

Mtemátic o Esio Médio Álgebr - IA / UERJ Profs. Ilydio Pereir de Sá e Gerldo Lis, rereset o ftor de correção ou multilicdor r um créscimo de %, certo? E,8 (ou,8) rereset o ftor de correção r um descoto de %. O roduto, or,8 (umeto e redução sucessivos) ger um resultdo,96, que é um ftor de redução. Qul o ercetul dess redução (que r o Sr. Moel seri um erd)? Acertou se esou em 4%. (lembr que temos de clculr,96,4 ou 4%). Históri 6: Vmos resetr gor um históri que, rovvelmete, você já se derou com lgum fto semelhte em su vid. Esss situções estão resetes o cotidio de tods s essos. Um loj uci ved de um relho de som, com dus ossibiliddes de gmeto. A vist or R$ 5, ou com um etrd de 5% e um segud rcel de R$ 9,, g dis deois. Quto está gdo de juros esso que escolher segud oção de gmeto? Um luo meu resetou seguite solução: Preço vist R$ 5, Preço go em dus rcels R$ 75, R$ 9, R$ 65, Vlor go mis (juros) R$ 65, R$ 5, R$ 5, Percetul go como juros (tx) 5 : 5, % Você cocord com ess solução de meu luo? Em cso egtivo, resete um outr e comre em seguid com o cometário resetdo. Verifique comigo que est solução (que retemete ão tem d de errd) ão está corret já que, qudo o cliete g etrd de 5% (R$ 75,), ele ssume um dívid de R$ 75, e é sobre esse vlor que ossos cálculos devem ser efetudos (é o que deomimos de sldo devedor). Logo, os juros cobrdos devem ser clculdos verificdose o umeto de R$ 75, r R$ 9,. Devemos determir o ercetul de juros comrdo-se os R$ 5, cobrdos mis, com R$ 75,, ou sej, 5 : 75, ou %. Se formos usr os ftores de correção, teremos que, este cso, o ftor de umeto corresode 9 : 75,. O ftor, corresode um créscimo de, -, %. Verifique que é um resost bem diferete d que meu luo clculou e ós, or descohecimeto ou flt de teção, muits vezes somos levdos clculr errdmete os juros que estão iseridos s comrs que fzemos. Históri 7: Vejmos gor um fto iteresste e que você tlvez se ssuste com su coclusão. Imgiemos um jogo o qul esso, em cd rodd, se ghr recebe metde do que ossui ocsião e se erder, erde metde do que tem o mometo. Um esso, que etrou com R$ 8,, fez 6 osts cosecutivs, ghdo e erdedo desss osts. O que odemos firmr sobre esse ostdor? A) Que ele ghou diheiro.

Mtemátic o Esio Médio Álgebr - IA / UERJ Profs. Ilydio Pereir de Sá e Gerldo Lis B) Que ele ão ghou, em erdeu diheiro. C) Que ele oderá ghr, ou erder diheiro, deededo d oredem em que ocorrerem s vitóris e s derrots. D) Que ele erdeu 74 reis, ideedetemete d ordem em que ocorrerm s vitóris e s derrots. Solução: Ates de mostrrmos solução este jogo, vmos tetr um ds hióteses ossíveis, r buscr lgum ist, ou descrtr oções de resost. Vmos suor que o osso jogdor tivesse ghdo s três rimeirs rodds e erdido s três últims. A evolução de seu citl seri: 8 9 88 4 6 8 54. Note que o jogdor erdeu diheiro e, como etrou com 8 reis e siu com 54 reis su erd foi de 8 54 74 reis. Com isso já odemos descrtr s oções A e B, ms, será que se s vitóris e derrots ocorressem em outr ordem o resultdo seri o mesmo? Vmos suor gor que s vitoris e derrots se lterssem. Vejmos o que ocorreri... 8 9 96 44 7 8 54. Percebemos que chegmos o mesmo resultdo, um erd de 74 reis. Ms oderi ser um coicidêci... Vmos usr ovmete os ossos ftores de correção e tetr um exlicção covicete deste jogo. Lembre-se que qudo um vlor umet em 5%, ele está sedo multilicdo or,5. Lembre tmbém que qudo um vlor reduz 5%, ele está sedo multilicdo or,5. O osso vlor iicil, 8 reis, estrá sedo multilicdo três vezes or,5 e três vezes or,5. Como ordem dos ftores ão lter o roduto, cofirmmos que, ideedetemete d ordem ds vitóris e derrots, o resultdo fil será o mesmo. E qul será esse resultdo? 8 x,5x,5x,5x,5x,5x,5 54 Coclusão desse surreedete jogo. Ele erdeu 74 reis, ideedetemete d ordem em que se sucederm vitóris e derrots. (oção D) VOLTANDO À INTRODUÇÃO DO CAPÍTULO. N ági, qudo começmos coversr sobre mtemátic e diheiro, exibimos um reortgem d revist Vej, de juho de, ode temos que iflção (quele mometo) cumuld os oito os do lo Rel, er de 79%. Bsedo-se ess iformção e com jud dos ftores de correção que cbmos de estudr, você oderi gor verificr se tods s iformções cotids o texto estão correts. Podemos gor resumir, os riciis coceitos que redemos s historihs que resetmos, com objetivo de resetr os ftores de correção: Você rerou que: Todo ftor de umeto é um úmero suerior? O ftor de umeto ode ser obtido el som (% tx de umeto ercetul) cujo resultdo deve ser osto form deciml? Exemlo: ftor de umeto r um créscimo de 4% % 4% 4% 4 /,4. Todo ftor de redução é um úmero iferior?

Mtemátic o Esio Médio Álgebr - IA / UERJ Profs. Ilydio Pereir de Sá e Gerldo Lis O ftor de redução ode ser obtido el subtrção (% - tx de redução ercetul) cujo resultdo deve ser osto form deciml? Exemlo: ftor de redução r um erd de 4% % - 4% 76% 76 /,76. Aumetos ou reduções (ou mistur dos dois) cosecutivos, devem ser clculdos elo PRODUTO DOS FATORES DE CORREÇÃO, e ão el som ds txs eles corresodetes? B) À VISTA OU A PRAZO? Um dos roblems mis comus de ecotrrmos o osso di--di refere-se à decisão de comrr à vist ou rzo um determid mercdori. Somos semre tetdos el rogd, com romoções do tio % de descoto à vist ou em três vezes sem créscimo. A decisão melhor decisão deederá de um série de ftores, como txs de juros, disoibilidde do comrdor. Vmos mostrr ess seção que, mis um vez, o vlor do diheiro o temo, os ftores de correção e s rogressões geométrics serão fudmetis r oss escolh corret. É clro que existirão csos que s oções serão equivletes, esses csos, tto fz um escolh ou outr. Vejmos um exemlo: N coseguiu um tio de ivestimeto que lhe g juros de 5% o mês elo diheiro que licr. El etrou um loj e viu que um clç jes ode ser comrd vist or 8 reis ou ser dquirid com um cheque ré-dtdo, r dis, or 84 reis. Rere que, esse exemlo resetdo, s dus oções são equivletes, ois se el licr os 8 reis or dis, vi receber de juros 4 reis (5% de 8) o que ermitirá extmete cobrir o cheque ré-dtdo. Portto, tods s decisões que evolvem comrs ou ivestimetos estão oids o fto do vlor que o diheiro terá ou teve um outr dt, levdo-se em cot tx de juros que icide sobre os vlores licdos (ode ser d cderet de ouç, or exemlo). Logo, se tx vigete r s licções (tx de trtividde do mercdo) for de % o mês, reis hoje vlerão reis em um mês, vlerão 6,9 reis em dois meses (multilicdo x (,) ), vlerão 9,7 reis em três meses (multilicdo x (,) ), e vlerão multilicdo x (,) dqui meses. Verifique que o fto que mostrmos d mis é que utilizção rátic d fórmul dos juros comostos. Podemos ssim resumir o que cbmos de mostrr: Um vlor moetário M, vlerá dqui meses, licdo sob tx fix i, o mês, M x ( i). (com tx i exress su form deciml) M VALORIZAÇÃO NO TEMPO M x ( i) Alogmete, cso o vlor fosse cosiderdo um eríodo terior, ou sej, meses ou eríodos tes, o vlor do diheiro seri igul M : ( i) M DESVALORIZAÇÃO NO TEMPO M : ( i) PODEMOS AFIRMAR QUE NA MATEMÁTICA FINANCEIRA, NO REGIME DE JUROS COMPOSTOS, TODOS OS PROBLEMAS SE RESOLVEM COM O QUE ACABAMOS DE MOSTRAR. O VALOR DO DINHEIRO NUMA DATA FUTURA FICA MULTIPLICADO POR ( i) (OU F )E NUMA DATA ANTERIOR, FICA DIVIDIDO POR ( i) (OU F ).

Mtemátic o Esio Médio Álgebr - IA / UERJ Profs. Ilydio Pereir de Sá e Gerldo Lis 4 Exemlo : Lídi comrou um relógio, com um tx de juros de 5% o mês e últim rcel, de 8 reis, teri de ser g o di de setembro de. Acotece que Lídi ghou um diheiriho extr e está roodo à loj, gr su dívid o di de gosto de, ou sej, um mês tes d dt estiuld. Quto Lídi terá de gr? Solução: Como se trt de um tecição de gmeto é clro que Lídi grá um vlor meor. Alicdo o que vimos teriormete, o vlor será igul 8 : (,5) 76,9 reis. Exemlo : Viícius tomou um emréstimo de R$ 5, juros mesis de 5%. Dois meses deois, ele gou R$ 5, e, um mês ós esse gmeto, liquidou seu débito. Qul o vlor desse último gmeto? Solução: Etedemos que fic mis fácil erceber o que está ocorredo mostrdo um gráfico d situção é o que chmmos de fluxo de cix. 5 5 x Devemos emurrr todos os vlores r um mesm dt (or exemlo r o mês ) e igulr s etrds (emréstimo) com s síds (gmetos eriódicos). 5 x,5 x 5 x (,5) 65 x 5788, x 6, Resost: Viícius deverá gr um segud rcel de R$ 6, Exemlo : Um loj oferece um mercdori vist or 4 reis ou etão em dus rcels iguis de reis (r e 6 dis). Qul tx de juros sobre o sldo devedor que está sedo cobrd el loj? Solução: Nesse cso está fltdo o vlor d tx de juros cobrd, sugerimos chmr icógit do roblem de F, que é o osso ftor de correção. Fic mis simles trblhr com ess vriável do que com i. No fil do roblem, subtrido do vlor ecotrdo, teremos tx rocurd. Vejmos o fluxo de cix do roblem. 4 Sugerimos gor emurrr todos os vlores r dt e igulr s etrds (vlo vist) com s síds (restções).

Mtemátic o Esio Médio Álgebr - IA / UERJ Profs. Ilydio Pereir de Sá e Gerldo Lis 5 4. F. F 4. F. F ou. F. F Resolvedo equção do segudo gru, teremos: ± 4..( ) ± ±,64 F 4 4 4 4,64 Como só os serve resost ositiv, teremos F, 67 4 Logo, i,67 ou i,67 ou id i 6,7% EXERCÍCIOS PROPOSTOS (SÉRIE ): ) Obteh o sexto termo de um P.G, de rzão ositiv, ode o quito e o sétimo termos vlem, resectivmete 9 e 6. ) Qul o vlor d som dos sete rimeiros termos de um P.G defiid or:? ) A oulção de um ís er de de essos em 999. Sbe-se que ess oulção cresceu um tx costte de % o o. Que oulção o ís tigiu em? 4) Cosidere rogressão geométric (, 8, 64,...). Qul rzão dess P.G e su reresetção como um tx de vrição? 5) Qul o sétimo termo de um P.G cujo quito termo vle 5 e o oitvo termo vle 5? 6) Um bomb de vácuo retir, em cd sucção, % do gás existete em certo reciiete. Deois de 6 sucções, quto restrá do gás iicilmete existete? 7) Qul vrição d áre de um retâgulo cuj bse sofre um umeto de % e ltur sofre um redução de % do seu vlor? 8) A esessur de um folh de estho é, mm. Form-se um ilh com esss folhs colocdo-se um folh rimeir vez e, em cd um ds vezes seguites, tts quts já houverm sido colocds teriormete. Deois de desss oerções, ltur d ilh será, roximdmete: ) ltur de um oste de luz. b) A ltur de um rédio de 4 dres. c) O comrimeto d ri de Cocb. d) A distâci Rio / São Pulo e) O comrimeto do equdor terrestre. 9) (Escol Nvl) Divide-se um segmeto de comrimeto L em três rtes iguis e retir-se rte do meio. Divide-se, em seguid, cd um ds rtes que sobrrm em três rtes iguis e retir-se rte do meio. Reetido-se ess oerção um ifiidde de vezes, qul será som dos comrimetos retirdos?

Mtemátic o Esio Médio Álgebr - IA / UERJ Profs. Ilydio Pereir de Sá e Gerldo Lis 6 ) (Escol Nvl) Ações de cert comhi vlorizrm-se % o mês, durte cico meses cosecutivos. Quem ivestiu esss ções obteve, durte esses cico meses, um lucro roximdo igul : ) 4% b) 5% c) 55% d) 6% e) 7% ) (UFRJ) Cert oulção de bctéris dobr cd hor. Num certo di, às 8 hors d mhã, oulção é de bctéris. A que hors oulção será de 5 bctéris? ) (AFA) A ríz d equção x x x... 4 é igul : ) Luci comrou um relho de som em três restções (, 6 e 9 dis d dt d comr). O relho à vist custv R$ 9, e s dus rimeirs rcels form de R$ 4,. Se loj está cobrdo juros de 6% o mês, qul será o vlor do terceiro gmeto que Luci terá de fzer? 4) Um loj oferece dus oções de gmeto r s comrs. À vist, com % de descoto ou em dus rcels iguis, sedo rimeir g o to d comr. Quto está gdo de juros, em um mês, esso que escolher oção em dois gmetos? 5) Lídi comrou um relógio, gdo R$ 8, um mês ós comr e R$, dois meses ós comr. Se form gos juros de % sobre o sldo devedor, qul er o reço à vist desse relógio? ) ) 9 GABARITO (SÉRIE ) ) 8 64 4) q,8 e redução de % 5) 45 6) 87,8% 7) reduz % 8) D 9) L/ ) D ) 7 h ) ¾ ) R$98,47 4) 5% 5) R$,5

Mtemátic o Esio Médio Álgebr - IA / UERJ Profs. Ilydio Pereir de Sá e Gerldo Lis 7 PARTE III ANÁLISE COMBINATÓRIA ) PARA COMEÇAR A CONVERSA O HOMEM QUE SEMPRE GANHAVA NAS CORRIDAS DE CAVALO Cso verídico rrdo elo rofessor Moel H. Botelho à Revist do Professor de Mtemátic (SBM, º 8) Ieserdmete, um terç-feir, chegou-me um crt. Eveloe brco, sem ome do remetete. Detro, um el dizi simlesmete: Sr. Moel. Sou seu migo. Sei o cvlo que vi ghr o qurto áreo do róximo sábdo. Será o cvlo º. Ateciosmete, Atôio Silv. Não sou de jogr, or ricíios moris e or chr que, etededo de Mtemátic e Teori ds Probbiliddes, o jogo ão fvorece o jogdor. Nem liguei r eigmátic crt. Quem seri Atôio Silv? Juro, ms juro mesmo, que úic coseqüêci d crt foi eu ler, el rimeir vez mih vid, seção de turfe o jorl de Domigo. Surres! Deu o cvlo º o qurto áreo de sábdo. Fiquei surreso, itrigdo. Ao ler os cometários do croist do jorl, etedi tudo. O cvlo º er o segudo ricil fvorito. Su chce de ghr er grde. Assim, té eu certo. A históri termiri or í se outr qurt-feir eu ão recebesse um ov crtih: Vi dr o cvlo º o sexto áreo do domigo. Aquilo gor er um desfio. Corri ler seção de turfe o jorl. Aumetdo mih execttiv, o cometrist dizi: No domigo, sexto áreo, o º ão terá chces. Por curiosidde, ouvi trsmissão d corrid elo rádio. Susese! Ghou o º. Um misto de gústi e surres me ssltou. Como o Atôio Silv odi sber quem i ghr? Afil, o úmero er zrão! N terç-feir ão recebi ov crtih, ou seri mis hoesto eu dizer, ão recebi tão eserd crtih. Chegou desejd qurt-feir. Simles e objetiv como semre. Sr. Moel. No domigo, rimeiro áreo, vi dr o úmero. Atôio Silv. Embor eu ão estivesse etededo o orquê de ser eu o rivilegido recetor de tão certeiros lites, decidi jogr. A rimeir e últim vez, rometi eu. Joguei e ghei. Ifelizmete joguei ouco e or isso ouco ghei. Fiquei revoltdo. Se muito tivesse jogdo, muito teri gho. A eser de um ov crtih foi em mbiete de lt tesão. E lá veio el, gor sextfeir. Os termos erm lgo diferetes:

Mtemátic o Esio Médio Álgebr - IA / UERJ Profs. Ilydio Pereir de Sá e Gerldo Lis 8 Sr. Moel. Grçs meus cohecimetos, o Sr. teve três idicções certs r jogr. O Sr. deve hoje estr rico com o que ghou. Teho o ome do cvlo que vi dr o róximo sábdo. Não quero diheiro. Quero es que o Sr. jogue em sociedde comigo. O Sr. trrá o míimo ciqüet mil reis e ostremos esse vlor o cvlo que eu lhe direi. O Sr. ficrá com metde do vlor d ost e eu, com outr metde. Amhã lhe telefoo. Seu migo, Atôio Silv. O homem er meu migo, segurmete. A roost er muito bo. Ele jogri juto comigo (se bem que com meu diheiro, destque-se). Et homem seguro de seus cohecimetos! Diheiro ele ão queri. Queri es os boletos (oules) do jogo. Retirei o diheiro do bco e eserei o telefoem. Não teri sido melhor ele dr o seu telefoe? Não etedi o oimto. Nem telefoe, em edereço. Só o ome, Atôio Silv. Afil, or que um migo ermece icógito? Seri modésti? Ou seri chmeto desse meu migo? Sábdo de mhã o telefoe tocou. Er Atôio. Mrcmos o ecotro. Sábdo, o cetro d cidde, em frete o Cetro de Aosts. O meu migo Atôio me eserri juto o oste, segurdo um jorl berto Seção de Turfe. Ecotrei-o hor cert. Quretão lgo gordo, costelets comrids, cmis de sed trsrete, cordão de ouro o escoço, dete de ouro boc, relógio de ouro o ulso. Aresetmo-os e fomos direto o guichê. Ciqüet mil reis de ost, vite e cico mil de oules r mim e outro tto r ele. Juto o guichê, ele filmete flou, sussurrdo o segredo. No qurto áreo, cvlo º 5. Atôio er simático, ms de ouc covers. Pegou os vite e cico mil em oules que lhe cbim e desediu-se (estv com um filho com febre). Desreceu multidão. Solitário, fui r cs eserr que desse o cvlo º 5 o qurto áreo. O locutor do rádio foi drmticmete clro chegd desse áreo: Os cvlos Prície d Alegri (º ) e Set Dourd (º 6) chegm jutos e cruzm lih de chegd. Perdi. Até hoje ão sei o orquê. Atôio uc mis me rocurou. Peço os leitores jud r deslidr esse mistério. O mistério de Atôio, o homem que semre ghv (ou quse semre) s corrids de cvlos. QUAL A SUA OPINIÃO SOBRE O TRUQUE USADO PELO SR. ANTÔNIO. O QUE SERÁ QUE ELE FAZIA PARA ENGANAR AS PESSOAS? COMENTÁRIO: O esertlhão do Sr. Atôio egou um list telefôic, selecioou mil essos (Moel etre els) e dividiu-s em dez gruos, corresodetes os cvlos que correrim um áreo. A cd gruo eviou crts idicdo um dos cvlos como vecedor. Os mil que receberm idicção cert (obrigtorimete mil), ele dividiu em gruos de e eviou ovs dics de cvlos r outro di, í or dite. No fil, Atoio semre ghv qudo dv o bote fil.

Mtemátic o Esio Médio Álgebr - IA / UERJ Profs. Ilydio Pereir de Sá e Gerldo Lis 9 ) COMBINATÓRIA PRINCÍPIO MULTIPLICATIVO (Adtção do Projeto Educ@r (USP / SC) e d ul 48 do Tele-curso, d Fudção Roberto Mriho).) Elemetr: O rciocíio combitório Exemlo iicil: "Os sduíches d dri Regêci são fmosos o birro. O freguês ode escolher etre tios de ão: ão de form, ão frcês ou ão itlio. Pr o recheio há 4 oções: slme, queijo, resuto ou mortdel. Qutos tios de sduíche dri oferece?" Quem ecotr el rimeir vez esse tio de roblem ode ão erceber que se trt de um situção que evolve multilicção. É comum, s rimeirs tettivs, somr com 4 ou listr de form desorgizd lgums combições de ão com recheio. Vejmos como o roblem ode ser resolvido. Pr tods s combições ossíveis, recismos esr de meir orgizd. Isto ode ser coseguido, or exemlo, com jud de um tbel retgulr. slme queijo resuto mortdel ão de form ão de form com slme ão de form com queijo ão de form com resuto ão de form com mortdel ão frcês ão itlio ão frcês com slme ão itlio com slme ão frcês com queijo ão itlio com queijo ão frcês com resuto ão itlio com resuto ão frcês com mortdel ão itlio com mortdel Tmbém odemos orgizr solução do roblem deste outro modo: Este último esquem, que lembr os glhos de um árvore (deitd), é cohecido como árvore ds ossibiliddes. Tto com tbel retgulr como com árvore ds ossibiliddes, odemos obter solução do roblem: cotmos os tios de sduíche e chegmos tios. O que ão se ercebe id é o que o roblem tem ver com multilicção.

Mtemátic o Esio Médio Álgebr - IA / UERJ Profs. Ilydio Pereir de Sá e Gerldo Lis 4 Isso ode ser ercebido com este rciocíio: r cd um dos tios de ão temos 4 tios de recheio e, ortto, 4 sduíches diferetes; como são tios de ão, os sduíches são 4 4 4, ou sej, x 4. Nesse rciocíio, rocurmos combir os tios de ão com os tios de recheio r obter todos os tios de sduíche. É um exemlo de rciocíio combitório, o qul lev á multilicção. Você ode otr que árvore de ossibiliddes é um esécie de "deseho" do rciocíio que fizemos: de cd um dos seus "glhos" iiciis sem outros 4 "glhos", ddo um totl de. Qudo odemos desehr árvore de ossibiliddes ou fzer um tbel, como o cso do roblem dos sduíches, o roblem ode ser resolvido sem multilicção. Ms, qudo s ossibiliddes são muits, multilicção fcilit os cálculos. Já imgiou desehr árvore se fossem 6 os tios de ão e os recheios? Vejmos outro roblem evolvedo o rciocíio combitório. "Usdo somete os lgrismos, e queremos escrever úmeros de três lgrismos. Vmos combir que, um mesmo úmero, ão ode hver reetição de lgrismo. Com outrs lvrs, cd úmero deve ter três lgrismos diferetes. Qutos úmeros odem ser escritos ests codições?" Observe que os úmeros e stisfzem s codições do roblem, ms os úmeros, 4 e ão servem. Pr resolver o roblem vmos os imgir escrevedo um úmero de três lgrismos, obedecedo s restrições meciods o roblem. Ao escrever o lgrismo ds cetes temos ossibiliddes. Ao escrever o lgrismo ds dezes ão odemos usr quele que já foi usdo s cetes. Portto, r cd um ds meirs de escolher o dígito ds cetes temos dus meirs de escolher o ds dezes. Ao escrever o lgrismo ds uiddes ão odemos reetir ehum dos dois que já form usdos s cetes e dezes. Logo, r cd um ds meirs de escrever os dois rimeiros lgrismos temos um só escolh r o último dígito. Portto, s codições do roblem, é ossível escrever x x 6 úmeros:,,,, e. O roblem seguite é recido com o terior. Ms há um difereç etre eles! "Usdo somete os lgrismos, e queremos escrever úmeros de três lgrismos. Vmos combir que, um mesmo úmero, ode hver reetição de lgrismos. Qutos e quis úmeros odem ser escritos ests codições?"

Mtemátic o Esio Médio Álgebr - IA / UERJ Profs. Ilydio Pereir de Sá e Gerldo Lis 4 Vmos costruir árvore ds ossibiliddes r este roblem: Temos ossibiliddes r escolher o lgrismo ds cetes. Pr cd um dels, há meirs de escolher o dígito ds dezes. Portto há x 9 modos de escolher queles dois dígitos. Pr cd um dests 9 meirs há ossibiliddes de escolh r o lgrismo ds uiddes. Portto, s codições do roblem, é ossível escrever x x 7 úmeros. N árvore ds ossibiliddes odemos ver quis são estes úmeros.. ) O ricíio fudmetl d Cotgem (ou multilictivo) A lvr Mtemátic, r um dulto ou um criç, está diretmete relciod com tividdes e técics r cotgem do úmero de elemetos de lgum cojuto. As rimeirs tividdes mtemátics que vivecimos evolvem semre ção de cotr objetos de um cojuto, eumerdo seus elemetos. As oerções de dição e multilicção são exemlos de técics mtemátics utilizds tmbém r determição de um qutidde. A rimeir (dição) reúe ou jut dus ou mis qutiddes cohecids; e segud (multilicção) é ormlmete redid como um form eficz de substituir dição de rcels iguis. A multilicção tmbém é bse de um rciocíio muito imortte em Mtemátic, chmdo ricíio multilictivo. O ricíio multilictivo costitui ferrmet básic r resolver roblems de cotgem sem que sej ecessário eumerr seus elemetos (como veremos os exemlos). Os roblems de cotgem fzem rte d chmd álise combitóri. EXEMPLO : Mri vi sir com sus migs e, r escolher rou que usr, serou sis e bluss. Vejmos de quts meirs el ode se rrumr.

Mtemátic o Esio Médio Álgebr - IA / UERJ Profs. Ilydio Pereir de Sá e Gerldo Lis 4 solução: O ricíio multilictivo, ilustrdo esse exemlo, tmbém ode ser eucido d seguite form: Se um decisão d ode ser tomd de meirs e, em seguid, outr decisão d uder ser tomd de m meirs, o úmero totl de meirs de torrmos s decisões d e d será m. No exemlo terior hvi dus decisões serem tomds: d: escolher um detre s bluss d: escolher um detre s sis Assim, Mri disõe de 6 meirs de tomr s decisões d e d, ou sej, 6 ossibiliddes diferetes de se vestir. EXEMPLO : Um resturte rer 4 rtos quetes (frgo, eixe, cre ssd, slsichão), slds (verde e russ) e sobremess (sorvete, romeu e juliet, fruts). De quts meirs diferetes um freguês ode se servir cosumido um rto quete, um sld e um sobremes? Solução: Esse e outros roblems d álise combitóri odem ser reresetdos el cohecid árvore de ossibiliddes ou grfo. Vej como reresetmos or um árvore o roblem do crdáio do resturte. Observe que esse roblem temos três íveis de decisão:

Mtemátic o Esio Médio Álgebr - IA / UERJ Profs. Ilydio Pereir de Sá e Gerldo Lis 4 d: escolher um detre os 4 tio de rtos quetes. d: escolher um detre s vrieddes de sld. d: escolher um ds sobremess oferecids. Usdo o ricíio multilictivo, cocluímos que temos 4 4 meirs de tomrmos s três decisões, ou sej, 4 oções de crdáio. As técics d álise combitóri, como o ricíio multilictivo, os forecem soluções geris r tcr certos tios de roblem. No etto, esses roblems exigem egehosidde, critividde e um le comreesão d situção descrit. Portto, È reciso estudr bem o roblem, s codições dds e s ossibiliddes evolvids, ou sej, ter erfeit cosciêci dos ddos e d resolução que se busc. EXEMPLO : Se o resturte do exemlo terior oferecesse dois reços diferetes, sedo mis brts s oções que icluíssem frgo ou slsichão com sld verde, de quts meirs você oderi se limetr gdo meos? Solução: Note que gor temos um codição sobre s decisões d e d: d: escolher um detre rtos quetes (frgo ou slsichão). d: escolher sld verde (es um oção). d: escolher um ds sobremess oferecids. Etão há 6 meirs de motr crdáios ecoômicos. (Verifique os crdáios mis ecoômicos árvore de ossibiliddes do exemlo terior). EXEMPLO 4: Qutos úmeros turis de lgrismos distitos existem? Solução: Um úmero de lgrismos c d u é formdo or ordes: Como o lgrismo d ordem ds cetes ão ode ser zero, temos etão três decisões: d: escolher o lgrismo d cete diferete de zero (9 oções). d: escolher o lgrismo d deze diferete do que j foi escolhido r ocur cete (9 oções). d: escolher o lgrismo d uidde diferete dos que j form utilizdos (8 oções). Portto, o totl de úmeros formdos ser 9 9 8 648 úmeros. EXEMPLO 5: De cordo com o exemlo terior, se desejássemos cotr detre os 648 úmeros de lgrismos distitos es os que são res (termidos em,, 4, 6 e 8), como deverímos roceder? Solução:

Mtemátic o Esio Médio Álgebr - IA / UERJ Profs. Ilydio Pereir de Sá e Gerldo Lis 44 O lgrismo ds uiddes ode ser escolhido de 5 modos (,, 4, 6 e 8). Se o zero foi usdo como último lgrismo, o rimeiro ode ser escolhido de 9 modos (ão odemos usr o lgrismo já emregdo últim cs). Se o zero ão foi usdo como último lgrismo, o rimeiro só ode ser escolhido de 8 modos (ão odemos usr o zero, em o lgrismo j emregdo últim cs). Pr vecer este imsse, temos três ltertivs: ) Decomor o roblem em csos (que é ltertiv mis turl). Cotr serdmete os úmeros que têm zero como último lgrismo (uidde ) e queles cujo último lgrismo é diferete de zero (uidde ). Termido em zero temos modo de escolher o último lgrismo, 9 modos de escolher o rimeiro e 8 modos de escolher o do meio (lgrismo d deze), um totl de 9 8 7 úmeros. Termido em um lgrismo diferete de zero temos 4 modos de escolher o último lgrismo (, 4, 6, ou 8), 8 modos de escolher o rimeiro lgrismo (ão odemos usr o zero, em o lgrismo já usdo últim cs) e 8 modos de escolher o lgrismo do meio (ão odemos usr os dois lgrismos já emregdos s css extrems). Logo, temos 4 8 8 56 úmeros termidos em um lgrismo diferete de zero. A resost é, ortto, 7 56 8 úmeros. b) Igorr um ds restrições (que é um ltertiv mis sofisticd). Igordo o fto de zero ão oder ocur cete, terímos 5 modos de escolher o último lgrismo, 9 modos de escolher o rimeiro e 8 modos de escolher o do meio, um totl 5 8 9 6 úmeros. Esses 6 úmeros icluem úmeros começdos or zero, que devem ser descotdos. Começdo em zero temos modo de escolher o rimeiro lgrismo (), 4 modos de escolher o último (, 4, 6 ou 8) e 8 modos de escolher o do meio ( o odemos usr os dois lgrismos já emregdos s css extrems), um totl de 4 8 úmeros. A resost é, ortto, 6-8 úmeros. c) Clro que tmbém oderímos ter resolvido o roblem determido todos os úmeros de lgrismos distitos (9 9 8 648 úmeros), como é o cso do Exemlo 4, e btedo os úmeros ímres de lgrismos distitos (5 últim cs, 8 rimeir e 8 segud), um totl de 5 8 8 úmeros. Assim, resost seri 648-8 úmeros. Fote: rof. Augusto Césr de Oliveir Morgdo o livro "Aálise Combitóri e Probbilidde" - IMPA/VITAE/99. EXEMPLO 6 As lcs de utomóveis erm tods formds or letrs (iclusive K, Y e W) seguids or 4 lgrismos. Hoje em di, s lcs dos crros estão sedo tods trocds e ssrm ter letrs seguids e 4 lgrismos. Quts lcs de cd tio odemos formr? Solução: No rimeiro cso:

Mtemátic o Esio Médio Álgebr - IA / UERJ Profs. Ilydio Pereir de Sá e Gerldo Lis 45 Como cd letr (L) ode ser escolhid de 6 meirs e cd lgrismo (N) de modos distitos, resost é: 6 6 6 76 No segudo cso 6 6 6 6 6 76 75 76 A ov form de idetificção de utomóveis ossibilit um vriedde 6 vezes mior. A difereç é de 69.., ou sej, 69 milhões de lcs diferetes mis do que teriormete. EXERCÍCIOS PROPOSTOS: Exercício. Num sl há 5 homes e 5 mulheres. De qutos modos é ossível selecior um csl homem-mulher? Exercício. ) Qutos úmeros turis de lgrismos distitos existem? b) Qutos destes úmeros são divisíveis or 5? Exercício. Quts lvrs cotedo letrs diferetes odem ser formds com um lfbeto de 6 letrs? Exercício 4. Qutos são os gbritos ossíveis r um teste de questões de múltil escolh, com 5 ltertivs or questão? Exercício: 5. Em um gruo existem 7 essos, etre els Roberto e A. Quts são s fils que odem ser formds, de modo que Roberto sej semre o rimeiro e A sej semre últim de cd fil? Exercício 6: O segredo de um cofre é formdo or um seqüêci de 4 úmeros distitos de dígitos (de 99). Um esso decide tetr brir o cofre sem sber formção do segredo (or exemlo: 5-6 - - 5). Se ess esso levr segudo r exerimetr cd combição ossível, trblhdo iiterrutmete e otdo cd tettiv já feit r ão reeti-l, qul ser o temo máximo que oderá levr r brir o cofre? Exercício 7: ) Quts são s lcs de utomóvel que odem ser formds o tul sistem de emlcmeto Brsileiro? b) O Sr.José Crlos Medeiros gostri de que lc de seu utomóvel tivesse s iiciis do seu ome ( ordem corret do ome). Quts lcs existem ests codições?

Mtemátic o Esio Médio Álgebr - IA / UERJ Profs. Ilydio Pereir de Sá e Gerldo Lis 46 Exercício 8: Um bdeir formd or 7 listrs que devem ser colorids usdo-se es s cores verde, zul e ciz. Se cd listr deve ter es um cor e ão odem ser usds cores iguis em listrs djcetes, de qutos modos se ode colorir bdeir? Exercício 9: Qutos divisores iteiros e ositivos ossui o úmero 6? Qutos desses divisores são res? Qutos são ímres? Qutos são qudrdos erfeitos? Exercício : Qutos subcojutos ossui um cojuto que tem elemetos? Exercício : De qutos modos odemos colocr 8 torres iguis em um tbuleiro 8 8, de modo que ão hj dus torres mesm lih ou mesm colu? Exercício : O cojuto A ossui 4 elemetos, e o cojuto B, 7 elemetos. Quts fuções f : A B existem? Quts dels são ijetivs? Exercício : Qutos são os grms d lvr PRATO, que começm or um cosote? Exercício 4: Formdo-se todos os úmeros ossíveis, de 5 lgrismos, ermutdo-se os dígitos,,, 4, 5 e escrevedo-os em ordem crescete, resod: ) Qul será osição ocud elo úmero 4 5? b) Qul será o vlor d som de todos esses úmeros formdos? Exercício 5: Quts sigls, de letrs distits, odem ser formds rtir d escolh detre s letrs: A, B, C, D, E, F? DESAFIE O SEU RACIOCÍNIO... ) PROVÃO MEC 999 A uidde de iformção os comutdores digitis é o bit (brevitur de biry digit, ou sej, dígito biário), que ode estr em dois estdos, idetificdos com os dígitos e. Usdo um seqüêci de bits, odem ser cridos códigos czes de reresetr úmeros, crcteres, figurs, etc. O chmdo código ASCII, or exemlo, utiliz um seqüêci de 7 bits r rmzer símbolos usdos escrit (letrs, siis de otução, lgrismos, etc). Com estes 7 bits, qutos símbolos diferetes o código ASCII ode reresetr? (A) 7! (B) 7 (C) 4 (D) 49 (E) 8

Mtemátic o Esio Médio Álgebr - IA / UERJ Profs. Ilydio Pereir de Sá e Gerldo Lis 47 ) PROVÃO MEC 998 Os clietes de um bco devem escolher um seh, formd or 4 lgrismos de 9, de tl form que ão hj lgrismos reetidos em osições cosecutivs ssim, seh é válid, ms 4 ão é). O úmero de sehs válids é: (A). (B) 9. (C) 7.6 (D) 7.9 (E) 8. GABARITO PARTE PRINCÍPIO MULTIPLICATIVO ) 5 Modos 9) ) 4 divisores b) 8 divisores res c) 4 divisores qudrdos ) A) 8 Números B) 7 Números ) subcojutos ) 5 6 lvrs ) 8! 4 modos 4) 9 765 65 gbritos ) ) 7 4 4 fuções b) 84 fuções ijetivs 5) fils ) 7 grms 6) 94 9 4 s os 4) 9ª osição 7) lcs 5) Sigls 8) 9 modos PROVÃO : E PROVÃO : D

Mtemátic o Esio Médio Álgebr - IA / UERJ Profs. Ilydio Pereir de Sá e Gerldo Lis 48 EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEM ) N extrção d Loteri Federl há um cocurso com 8 bilhetes, umerdos de 79 999. Qutos são esses bilhetes formdos or úmeros de lgrismos distitos etre si? ) Qutos úmeros, distitos etre si e meores que, têm extmete 5 lgrismos ão reetidos e ertecetes o cojuto {,,, 4, 5, 6}? ) Num cidete utomobilístico, ós se ouvirem váris testemuhs, cocluiu-se que o motorist culdo elo cidete dirigi o veículo cuj lc er costituíd de três vogis distits e qutro lgrismos diferetes, sedo que o lgrismo ds uiddes er, com certez o dígito. Qul qutidde de veículos suseitos? 4) Disomos de qutro cores diferetes etre si; tods els devem ser usds r itr s cico letrs d lvr FATEC, cd letr de um só cor, e de modo que s vogis sejm s úics letrs itds com mesm cor. De qutos modos isso oderá ser feito? 5) Um trem de ssgeiros é costituído de um locomotiv e 6 vgões distitos, sedo um deles resturte. Sbedo-se que locomotiv deve ir à frete e que o vgãoresturte ão ode ser colocdo imeditmete ós locomotiv, determir o úmero de modos diferetes de motr comosição. 6) Os úmeros dos telefoes de um cidde erm costituídos de 6 dígitos. Sbedose que o rimeiro dígito ess cidde uc ode ser o zero, determir o umeto ocorrido qutidde de ovos úmeros, qudo os úmeros telefôicos ssrm ser de 7 dígitos, ess cidde. 7) Um mágico se reset em úblico vestido clç e letó de cores diferetes. Pr que ele oss se resetr em 4 sessões com cojutos diferetes, determie qutidde míim de eçs que ele deverá ossuir (úmero de letós mis o úmero de clçs). 8) Se 5 moeds distiguíveis forem lçds simultemete, qul será o úmero de meirs distits dels círem? 9) Cosiderdo os grms d lvr ENIGMA, determir: ) o úmero totl de grms. b) O úmero de grms que começm com letr A c) O úmero de grms que começm or EN. d) O úmero de grms que começm or um vogl. ) Usdo os lgrismos,, 5, 7 e 9, determir qutidde de úmeros de 4 lgrismos, que odem ser formdos com eles, de form que o meos dois lgrismos sejm iguis. ) Qul qutidde de úmeros, formdos com lgrismos distitos, miores que 5 e meores que 9, e que são divisíveis or 5? ) Desej-se disor em fil 5 criçs: Mrcelo, Rogério, Regildo, Diele e Márci. Clcule o úmero de meirs distits que isso oderá ser feito de modo que Rogério e Márci fiquem semre vizihos.

Mtemátic o Esio Médio Álgebr - IA / UERJ Profs. Ilydio Pereir de Sá e Gerldo Lis 49 ) Seis essos A, B, C, D, E, F ficm de é, um o ldo d outr, r um fotogrfi. Determir o úmero de modos que els odem se disor, sbedo-se que A e B se recusm ficr ldo ldo e C e D isistem em recer semre um o ldo d outr. 4) Qutos são os múltilos de três, de qutro lgrismos distitos, que odem ser formdos com os lgrismos:,, 4, 6 e 9? 5) (Ess é r os FERAS ) Num cursiho esecilizdo em Ciêcis Exts há 5 rofessores; cd um deles se disõe de um ul seml e se ocu de um tem d Mtemátic ou d Físic ou d Químic. Os tems ds mtéris bordds são: Mtemátic: Álgebr, Geometri, Trigoometri, Geometri Alític e Aálise. Físic: Mecâic, Termologi, Oscilções, Ótic e Eletricidde. Químic: Atomístic, Químic Gerl, Físico-Químic, Químic Iorgâic e Químic Orgâic. No cursiho há três uls diáris, de segud sext, sedo um de Mtemátic, um de Físic e um de Químic. Com os omes dos 5 rofessores e seus resectivos tems, qutos são os horários diferetes que odem ser motdos r sem? GABARITO ) 4 9 bilhetes 6) 8 úmeros ) 5 úmeros ) 4 úmeros 7) eçs ) 48 modos ) 4 suseitos 8) modos ) 44 modos 4) 4 modos 9) ) 7 b) c) 4 d) 6 4) 7 úmeros 5) 6 modos ) 55 úmeros 5) 46 98 PARA DESCONTRAIR (COISAS DA SALA DE AULA) Sito que há um brço levtdo, ms cho que ão devo olhr r trás...

Mtemátic o Esio Médio Álgebr - IA / UERJ Profs. Ilydio Pereir de Sá e Gerldo Lis 5 ) Defiição: II) FATORIAL DE UM NÚMERO NATURAL Coforme já vimos em lgus roblems estuddos teriormete, em vários csos surgirm rodutos do tio: 5.4... ou 8.7.6.5.4... Pr estes csos é iteresste dotr-se lgum otção que simlifique este tio de roduto surge etão otção ftoril. Defiimos ftoril de um úmero turl como sedo o roduto de todos os úmeros turis de té usmos otção!. Logo:!. (-).(-).(-)... N, Defiimos tmbém, r os csos e, os vlores:! e! Exemlos: ) 4! 4... 4 b) 8! 8.7.6.5.4... 4 c) 6! 6.5.4.!!! Observção: cosideremos, or exemlo, o úmero 6!. Verificmos que 6! 6.5! ou 6.5.4! ou 6.5.4.!. Ou id, geerlizdo, temos que:!. (-)!.(-).(-)!. Tl rtifício de exsão com ftoriis ode ser útil em vários csos, ricilmete resolução de equções com ftoriis. Vejmos um exemlo: Resolv equção: ()! (-)! Desevolvedo o umerdor, teremos: ().(-)! ou id ().. (-)! Estmos dite d equção qudrátic, cujs rízes são 5 ou -6 (ão serve). ) Fução Ftoril D defiição de ftoril é imedito que, ddo um úmero turl, existe e é úico o úmero!. Dess form odemos defiir um fução f, de N em R, tl que f(x) x!. Ess fução é chmd fução ftoril, seu domíio de defiição é o cojuto dos úmeros turis. Fç um costrução do gráfico dest fução. El é cotíu? Verificmos que, r todo turl x, tem-se: f(x) x. f(x ) Exemlos e questões roosts: ) Qul o domíio de defiição d fução defiid or f(x) (x )!? Como sbemos que só está defiido ftoril de úmeros turis, teremos: x, ou x. Logo, o domíio edido será o cojuto: D(f) {x N x }.

Mtemátic o Esio Médio Álgebr - IA / UERJ Profs. Ilydio Pereir de Sá e Gerldo Lis 5 ) Resolv equção: x! 4. Observe que equções do tio x!, mesmo que sej um úmero turl, muits vezes terá solução vzi, já que fução f(x) x! ão é sobrejetor. No cso roosto, como 4 4!, teremos x! 4!, o que crret solução x 4. ) Será fução f(x) x! um fução ijetor? Justifique su resost. 4) Por que os otos obtidos o gráfico de f(x) x! ão form ligdos, formdo-se um curv? 5) Resolv equção: ()!! 7 ( )! 6) Determie o domíio de defiição d fução dd el seteç: f(x) (-x )! 7) Verifique se ftoril de um úmero turl ode ser defiido d seguite meir: Ddo um úmero, seu ftoril é o úmero f()!, defiido or: f(), se ou f().f( ), se é turl e. 8) Cosiderdo id fução defiid o exercício terior, mostre que: F( ) f( ) ( ). f( ) ( ). f(), r todo turl. ) PROBLEMAS DE CONTAGEM A) PERMUTAÇÕES SIMPLES Ddos objetos distitos:,,,..., cd ordeção obtid rtir desses objetos é deomid de um ermutção simles (orque todos são distitos) desses elemetos. Assim, como vimos teriormete os roblems de fils ou de grms, or exemlo, temos modos de escolh r o rimeiro lugr, modos de escolh r o segudo lugr,... modo de escolh r o último lugr, ou sej: O úmero de modos de order objetos distitos é igul!. Podemos reresetr o úmero de ermutções simles de objetos distitos or P. Logo, temos que: Exemlos: P! ) Qutos são os grms d lvr FLAMENGO: ) Sem quisquer restrições? - teremos este cso que determir o úmero de ermutções simles ds 8 letrs distits dess lvr, ou sej: P 8 8! 4 grms.

Mtemátic o Esio Médio Álgebr - IA / UERJ Profs. Ilydio Pereir de Sá e Gerldo Lis 5 b) Que comecem or um vogl e termiem or um cosote? teremos esse cso oções de escolh r rimeir letr d lvr, 5 oções de escolh r últim letr e P 6 6! 7 r s demis osições. Logo, licdo o ricíio fudmetl d cotgem, teremos um totl de. 5. 7 8 grms. c) Que tehm semre juts s letrs A M, em qulquer ordem? Nesse cso, esss dus letrs devem ser cosiderds como se fossem um úic, crretdo ermutção de 7 elemetos s dus juts e s 6 letrs resttes, ou sej 7! 54 grms. Ms como ordem ão foi dbefiid, els oderão tmbém ermutr etre si, gerdo! vrições. Logo, licdo ovmete o ricíio fudmetl d cotgem, teremos um totl de 5 4 x 8 grms. ) Robert, Adré e Berrdo fzem rte de um gruo de 7 migos. Obteh o úmero de fils que odemos formr com esses 7 migos, de modo que: ) Robert, Adré e Berrdo estejm semre jutos? Agor, de form álog o que vimos o exemlo terior, bst que cosideremos esses três migos como se ocussem um úic osição fil, teremos ssim ermutção de 5 elemetos os três jutos e os 4 resttes, ou sej 5! fils. Em seguid, como ordem deles ão foi defiid, multilicmos o resultdo obtido or! 6, que rereset s ossíveis vrições de osição etre eles. Logo, teremos um totl de. 6 7 fils s codições do roblem. b) Robert, Adré e Berrdo uc estejm (os três) jutos fil? Agor bst determirmos o tots de fils ossíveis e subtrir o resultdo obtido ergut terior (Por que?), teremos etão 7! 7 4 grms. ) De qutos modos odemos formr um rod com 5 criçs? Devemos tomr um certo cuiddo com esse tio de roblem, ois o resultdo ão é igul 5! rods, como oderímos esr ressdmete. Verifique que rod ABCDE, or exemlo, tem mesm cofigurção que rod EABCD, já que o que imort gor é osição reltiv ds criçs etre si. Dess form cd rod ode ser vird de 5 modos que reetem mesm cofigurção. Assim, o úmero de rods distits que odemos obter será igul : 5 4 rods. O exemlo cim é o que defiimos como sedo ermutções circulres de elemetos. Se reetirmos o mesmo rciocíio que usmos o exemlo terior, teremos que s ermutções circulres de elemetos distitos serão iguis : PC! ( )! 4) Qutos são os grms d lvr AMORA? Esse é outro cso que demd um certo cuiddo. A resost seri 5! grms, cso tods s letrs fossem distits. Como temos dus letrs A, é clro que um ermutção etre esss dus letrs ão gerri grms ovos. Assim sedo cd grm foi cotdo! vezes (que são s letrs reetids). Logo, o úmero correto de grms é : 6 grms. Problems como esse é o que deomimos de Permutções com lgus elemetos reetidos. No cso d lvr mor, idicrímos or:

Mtemátic o Esio Médio Álgebr - IA / UERJ Profs. Ilydio Pereir de Sá e Gerldo Lis 5 P 5 5! 6 grms.! Alogmete, odemos geerlizr r P,,...!.!.!...,,... reresetm qutidde de reetições de cd um dos elemetos reetidos. 5) Qutos são os grms d lvr POROROCA? Temos um licção diret d fórmul terior, ou sej:, P 8 8! 6 grms. (o idic s letrs O e o idic s letrs R).!.! 6) Ess é r você resolver. Qutos são os grms d lvr URUGUAI que começm or vogl? 7) A figur bixo rereset um seqüêci de 6 símbolos. ^ ^ ^ Quts são s ossíveis seqüêcis distits que odemos formr com esses símbolos? Perceb gor que estmos dite de ermutções com lgus elemetos reetidos, o cso, temos:, P 6 6! seqüêcis!.! B) ARRANJOS SIMPLES Ddos objetos distitos:,,,..., cd ordeção de objetos (<) obtid rtir desses objetos recebe deomição de rrjo simles de elemetos, tx ou rrjo de, (A, ). Você ode verificr que um rrjo simles é, de cert form, similr um ermutção simles, sedo que em cd grumeto formdo usmos es elemetos, dos distitos disoíveis. Exemlo: Cosideremos o cojuto A formdo els cico vogis. Os rrjos de três elemetos tomdos de A odem ser reresetdos d seguite meir: ei eo eu ie io iu oe oi ou ue ui uo ei eo eu ei eio eiu eo eoi eou eu eui euo ie io iu ie ieo ieu io ioe iou iu iue iuo oe oi ou oe oei oeu oi oie oiu ou oue oui ue ui uo ue uei ueo ui uie uio uo uoe uoi

Mtemátic o Esio Médio Álgebr - IA / UERJ Profs. Ilydio Pereir de Sá e Gerldo Lis 54 Observe que, r ocur o lugr d rimeir vogl, temos 5 ossibiliddes; or isso escrevemos 5 lihs horizotl. A segud vogl ode ser escolhid etre s 4 resttes; ortto, sermos qutro gruos em colus verticis. Por fim, r terceir vogl, odemos escolher qulquer um ds três resttes. Idicdo o úmero dos rrjos ds 5 vogis tomds or A 5, o totl, teremos: A 5, 5 X 4 X 6 Este resultdo cofirm o que já fzímos com o ricíio fudmetl d cotgem (ricíio multilictivo). Etedemos or rrjo os modos que odemos osicior os objetos em gruo. Um lterção ordem determirá um ovo grumeto. Exemlo : Quts sigls, de três letrs distits, odem ser formds rtir ds letrs: A, B, C, D, E, F e G? Observe que você oderi resolver esse roblem usdo o ricíio fudmetl d cotgem (multilictivo), e teri: 7 escolhs r rimeir letr d sigl, 6 escolhs r segud (já que são letrs distits) e 5 ossibiliddes de escolh r terceir letr d sigl. Pelo ricíio fudmetl d cotgem, terímos: 7. 6. 5 sigls. Observe que s sigls fossem com tods s 7 letrs, terímos um cso de ermutções simles e o resultdo seri 7!. Note que o resultdo obtido o rimeiro cso (rrjos simles), se for multilicdo or 4!, ssrá dr como resultdo o segudo cso (ermutções simles). Logo, odemos iferir que (A, ). ( )! P. Ou sej: A,!. ( )! Exemlo : Dez cvlos disutm um áreo o Jockei Clube. Qutos são os ossíveis trios r s três rimeirs colocções est corrid? Solução: Trt-se de um cso de rrjos simles, de elemetos, tx, ou rrjos de,. Pelo que mostrmos teriormete, teremos: A,!.9.8 7 ossíveis trios de resultdos. 7! EXERCÍCIOS: ) Será que o úmero de rrjos simles de elemetos distitos, tx, igul o úmero de ermutções simles, desses mesmos elemetos? Justifique su resost.

Mtemátic o Esio Médio Álgebr - IA / UERJ Profs. Ilydio Pereir de Sá e Gerldo Lis 55 ) De um totl de romces e dicioários devem-se tirr 4 romces e dicioário que serão rrumdos um rteleir de tl modo que o dicioário fique semre o meio. De qutos modos isso oderá ser feito? ) mulher e 5 homes devem setr-se um bco que ossui 5 lugres. De quts forms isso oderá ser feito se mulher deve semre estr setd em lgum lugr? 4) Qutos úmeros distitos com 4 lgrismos diferetes, odemos formr com os lgrismos:,,,,4,5,6,7,8 e 9? 5) Um cofre ossui um disco mrcdo com os dígitos,,,...,9. O segredo do cofre é mrcdo or um seqüêci de dígitos distitos. Se um esso tetr brir o cofre, quts tettivs deverá fzer(o máximo) r coseguir bri-lo? ) Sim, ois A,!!! ) 76 modos ) 6 modos 4) 4 56 úmeros 5) 7 tettivs GABARITO ARRANJOS COM REPETIÇÃO Sej C um cojuto com m elemetos distitos e cosidere elemetos escolhidos este cojuto em um ordem determid (reetidos ou ão). Cd um de tis escolhs é deomid um rrjo com reetição de m elemetos tomdos. Acotece que existem m ossibiliddes r colocção de cd elemeto, logo, o úmero totl de rrjos com reetição de m elemetos escolhidos é ddo or m. Idicmos isto or: Exemlos: AR m, m ) Quts são s sigls de três letrs, escolhids rtir ds letrs: A, B, C, D, E, F? Como disomos de 6 letrs, r escolher, teremos AR 6, 6 6 sigls. b) De quts meirs diferetes odemos resoder um rov de múltilescolh, com questões de 5 oções cd um? Como temos 5 oções de escolh, r cd um ds questões, teremos este cso AR 5, 5 c) Quts são s forms distits de se reecher um volte d loteri esortiv, somete com lites simles, sbedo-se que são jogos e oções de escolh r cd um?

Mtemátic o Esio Médio Álgebr - IA / UERJ Profs. Ilydio Pereir de Sá e Gerldo Lis 56 Agor temos oções de escolh, r cd um dos jogos, logo AR, d) A seh de cesso um jogo de comutdor cosiste em qutro crcteres lfbéticos ou uméricos, sedo o rimeiro ecessrimete lfbético. Qul o úmero de sehs ossíveis? Como o rimeiro crctere d seh é obrigtorimete um letr, teremos 6 oções de escolh. Pr cd um dos três seguites, teremos 6 oções de escolh (6 letrs lgrismos), Logo, resost é: 6 x AR 6, 6 x 6 C) COMBINAÇÕES SIMPLES Ddo um cojuto qulquer, com elemetos distitos, deomimos um combição simles com elemetos distitos, desses disoíveis, qulquer subcojuto com elemetos, do cojuto ddo. Idicmos esss combições, de elemetos tx, or C,, C ou (form biomil) Observe que dus combições são diferetes qudo ossuem elemetos distitos, ão imortdo ordem em que os elemetos são colocdos. Exemlo: No cojuto E {,b.c,d} odemos cosiderr: ) combições de tx : b, c, d,bc,bd, cd. b) combições de tx : bc, bd,cd,bcd. c) combições de tx 4: bcd. Observe que equto dois rrjos odem se distiguir el ordem ou el turez de seus elemetos, dus combições só se distiguem el turez de seus elemetos. Cotgem do Número de Combições Cosideremos o cojuto A {, b, c, d}. Vimos que s combições três três que se odem formr com os qutro elemetos de B são: bc, bd, cd, bcd. Permutdo de tods s forms ossíveis os três elemetos de cd combição, obtemos os rrjos simles de qutro elemetos três três, como idic o qudro: bc bd cd bcd bc bd cd bcd cb db dc bdc bc bd cd cdb bc bd cd cbd cb db dc dbc cb db dc dcb

Mtemátic o Esio Médio Álgebr - IA / UERJ Profs. Ilydio Pereir de Sá e Gerldo Lis 57 Cd combição ger, como vemos,! 6 rrjos. Portto, s qutro combições germ 4 x 6 4 rrjos. Nest iguldde, 4 é o úmero de combições e 4 é o úmero de rrjos. Idicdo or C4, o úmero de combições de 4 elemetos, vle, ortto, relção: C4,x! A 4, ou C4, Usdo esse mesmo rciocíio, oderemos geerlizr que: C A,,! A!! ( - )!.! Exemlo : Sete otos ertecem um círculo. Qutos triâgulos são defiidos or esses otos? 4, Solução: Vejmos um dos ossíveis triâgulos triâgulo AFB - Se trocrmos ordem de seus vértices, cosiderdo or exemlo o triâgulo FBA, otmos que trt-se do mesmo triâgulo, logo é um roblem de combições simles. Teremos etão C, 7! 7.6.5.4! 4!.! 4!.6 7 5 triâgulos Exemlo b: Qutos gruos de três essos odem ser seleciodos de um cojuto de oito essos? Solução: Tmbém esse cso, em qulquer gruo de três essos que formrmos, ordem ds essos ão ifluecirá formção do mesmo, tmbém teremos um cso de combições simles. Ou sej, C, 8! 5!.! 8.7.6.5! 5!.6 8 56 gruos Exemlo c: Num lo, mrcm-se doze otos dos quis seis estão em lih ret. Qutos triâgulos odem ser formdos uido-se três quisquer desses doze otos? Solução: É um questão semelhte do exemlo, tmbém de combições simles, sedo que, elo fto de termos seis otos lihdos, s combições desses seis otos, três três, ão defiirão triâgulos. Sedo ssim, oderemos clculr o totl de combições desses otos, três três e subtrir s que ão formm triâgulos, ou sej combição dos 6 otos lihdos, três três. Assim sedo, qutidde de triâgulos que oderão ser formdos com os otos será:! 6!...9! 6.5.4.! C, C6, - triâgulos 9!.!!.! 9!.!!.! Exemlo d: Qul o úmero de digois de um olígoo covexo de ldos? Solução: Aid esse cso, temos combições simles, já que digol AB, or exemlo, é mesm d digol BA. Verifique tmbém que teremos que fzer um subtrção, já que uido-se, dois dois, os vértices de um olígoo covexo, oderemos ter digois ou ldos desse olígoo. Como queremos obter qutidde de digois, vmos clculr o totl de segmetos ossíveis e subtrir qutidde de ldos. Logo, teremos:

Mtemátic o Esio Médio Álgebr - IA / UERJ Profs. Ilydio Pereir de Sá e Gerldo Lis 58 Solução:! C, ( )!.! -.( - ).( - )!.( ) ( )!.!.( ) digois OBS: VERIFIQUE QUE OBTIVEMOS EXATAMENTE A VELHA FÓRMULA QUE ENSINAMOS NA 7ª SÉRIE DO FUNDAMENTAL, PARA O CÁLCULO DA QUANTIDADE DE DIAGONAIS DE UM POLÍGONO CONVEXO. Exemlo e: Um ur cotém bols ds quis 7 são vermelhs e 5 são brcs. De qutos modos odem ser tirds 6 bols ds quis são brcs? Solução: Estmos ovmete dite de um cso de combições simles (verifique) e, como queremos retirr 6 bols, sedo brcs, é lógico que s outrs 4 deverão ser vermelhs. Teremos etão que retirr 4, ds 7 vermelhs disoíveis e retirr ds 5 brcs disoíveis. Como são ftos simultâeos, os dois resultdos deverão ser multilicdos (ricíio fudmetl d cotgem). 7! 5! 7,4x C5, x 5 x 5!.4!!.! C modos. EXERCÍCIOS PROPOSTOS (COMBINAÇÕES SIMPLES): ) De um gruo de 7 rofessores e luos quts comissões comosts de rofessores e 4 luos é ossível formr? ) Tomdo-se 8 otos sobre um circuferêci, qutos segmetos de ret, com extremiddes estes otos, ficm determidos? ) Num ssembléi de quret cietists, oito são físicos. Quts comissões de cico membros odem ser formds icluido o míimo um físico? 4) Prorieddes: Mostre que: ) C, b) C, c) C, C, - 5) Seis homes e três mulheres iscreverm-se r trblhr com meores cretes um rojeto d refeitur locl, ms serão escolhidos es 5 rticites. De quts forms odemos escolher equie de modo que hj semre, elo meos um mulher? 6) Quts rtids form disutds em um cmeoto de futebol, disutdo em um só turo (isto é, dois times se efretrm um úic vez), do qul rticim 6 times? 7) Um equie de iseção tem um chefe, escolhido etre 4 egeheiros e técicos, escolhidos etre 5 outros rofissiois. De quts meirs ode ser comost ess equie? 8) Qul o úmero de subcojutos com, ou 4 elemetos que tem um cojuto de 9 elemetos?

Mtemátic o Esio Médio Álgebr - IA / UERJ Profs. Ilydio Pereir de Sá e Gerldo Lis 59 9) É ddo um cojuto E, de elemetos. Qutos subcojutos de E ão são cojutos de 4 elemetos? ) Dus rets r e s são rlels. Existem 4 otos mrcdos sobre r e outros 5 otos, mrcdos sobre s. Qutos são os triâgulos que odem ser costruídos uido-se desses 9 otos? ) Com 7 crdiologists e 6 eurologists que trblhm um hositl, quer-se formr um jut médic de 5 elemetos. Quts juts odem ser formds se devem semre rticir crdiologists e eurologists? ) De qutos modos odemos escolher 6 essos, icluido elo meos dus mulheres, em um gruo de 7 homes e 4 mulheres? ) Quts slds, cotedo extmete 4 fruts odemos formr se disomos de fruts diferetes? GABARITO ) 44 ) 8 ) 456 6 4) Alicção diret d fórmul, lembrdo que! 5) 6) 7) 8) 46 9) 84 ) 7 ) 55 ) 7 ) ) COMPLEMENTOS DE ANÁLISE COMBINATÓRIA A) OS LEMAS DE KAPLANSKY Você vi estudr gor um ferrmet imortte do cálculo combitório e que ão costum estr resete miori dos textos sobre o ssuto. Observe s seguites questões... Provs de um cocurso devem ser relizds rimeir sem do o. De qutos modos é ossível escolher os dis de rovs, de modo que ão hj rovs em dis cosecutivos? Ddo um icoságoo, qutos são os triâgulos que odem ser costruídos, rtir de vértices ão cosecutivos desse icoságoo? Qutos são os grms d lvr rrqur que ão ossuem dus letrs cosecutivs? VOCÊ CONSEGUE PERCEBER AS SEMELHANÇAS EXISTENTES NAS TRÊS QUESTÕES PROPOSTAS ACIMA? Existem dois teorems (Lems de Klsky) que euciremos seguir e que os ermitirão resolver questões semelhtes que estão roosts. Lem ) De qutos modos é ossível formr um -subcojuto (isto é um subcojuto com elemetos), rtir do cojuto {,,,...,}, o qul ão hj úmeros cosecutivos?

Mtemátic o Esio Médio Álgebr - IA / UERJ Profs. Ilydio Pereir de Sá e Gerldo Lis 6 Por exemlo, se o cojuto fosse {,,, 4, 5, 6}, terímos 4 oções de formrmos - subcojutos ode ão existirim úmeros cosecutivos. Serim os seguites subcojutos: {,, 5} {,, 6} {, 4, 6} {, 4, 6} É lógico que este rocesso de eumerção é exustivo e d rático, etão, vmos demostrr que o úmero de -subcojutos, sem que hjm elemetos cosecutivos, rtir do cojuto {,,,...,} é: f (, ) C, Pr fcilitr o etedimeto d fórmul, vmos usr otção r os elemetos que frão rte do -subcojuto e otção r os que ão frão rte dele. Pr o exemlo ddo, com um cojuto de 6 elemetos e subcojutos de elemetos, terímos símbolos e símbolos e que, em cd subcojuto ão oderim estr seguidos. Pr o subcojuto {,, 5}, simbologi resectiv seri: Devemos erceber que, r 6 elemetos, ficm defiidos 7 osições ossíveis ( ), fixdo os lugres que serim reechidos elos elemetos que ão frão rte do - subcojuto, sobrrim 4 osições ( ) r serem escolhids r serem reechids elos que frão rte do -subcojuto. Note que, se temos elemetos que ão vão rticir do -subcojuto, temos ( ) osições r serem ocuds elos outros elemetos, que frão rte do subcojuto. Logo, em osso exemlo, temos um úic osição r os ão rticites () e C 4, r os rticites () do -subcojuto. Etão, geerlizdo, teremos fórmul resetd: f (, ) C, Etão, o eucido do Lem é: O úmero de -subcojutos de {,,,...,,} os quis ão há úmeros cosecutivos é: f, ) ( C, APLICAÇÕES: ) As três rovs de um vestibulr devem ser relizds rimeir sem do o. De qutos modos é ossível escolher os dis ds rovs, de modo que ão hj rovs em dis cosecutivos? Solução: O que se desej é qutidde de -subcojutos, rtir de um cojuto de 7 elemetos (os dis d sem) e de form que ão existm elemetos cosecutivos. É um licção imedit do º Lem de Klsky, e, licdo fórmul demostrd, teremos: f ( 7, ) C 5, ) Um fil de ciem tem 5 cdeirs e devem setr-se 5 luos de um Colégio. De qutos modos isso oderá ser feito, sbedo que os 5 rzes do gruo ão desejm estr em cdeirs cotígus? Solução: Em rimeiro lugr, devemos ferir os modos de escolh ds 5 cdeirs, sem que existm cdeirs cosecutivs r esses rzes. De cordo com o º Lem de Klsky,

Mtemátic o Esio Médio Álgebr - IA / UERJ Profs. Ilydio Pereir de Sá e Gerldo Lis 6 teremos: f ( 5, 5) C, 5 46. Escolhids s 5 cdeirs serem ocuds elos rzes, devemos desigr um homem r cd um dels, e isso oderá ser feito de 5! modos distitos. Logo, resost fil do roblem será: 46. 5! 55 44 modos distitos. ) Qutos são os grms d lvr MISSISSIPI os quis ão há dus letrs S cosecutivs? Solução: Esss letrs deverão ocur um ds css. Devemos gor escolher 4 css sem que hj css cosecutivs r colocr s letrs S, o que C 5 modos C 4 ode ser feito de f(,4) (Lem ) 4, 4 7,. Em seguid, devemos rrumr s 6 letrs resttes (4 I, M e P) s 6 css resttes, o que é um cso de 6! ermutções com elemetos reetidos P 4 6 modos. Logo, o úmero de 4! grms edido será igul 5 x 5 grms. Lem ) O úmero de -subcojutos de {,,,... } os quis ão há úmeros cosecutivos, cosiderdo que e são cosecutivos é: f (, ) C, Pr esse segudo cso, fic mis fácil imgir que os elemetos do cojuto estejm rrumdos em círculo, como figur bixo ( e serão cosecutivos) Fremos demostrção do segudo lem, cosiderdo o úmero totl de -subcojutos ode figure o, somdos com o úmero de -subcojutos ode ão figure o. Cso A) Número de subcojutos que icluem o Devemos este cso, escolher elemetos o cojuto {, 4, 5,..., }, ois, se o etr, ão etrrão o em o, r serem comheiros do, em cd subcojuto, sem que hjm elemetos cosecutivos. f (, -) C C Alicdo o Lem, teremos: ( ), -, Cso B) Número de subcojutos os quis o elemeto ão figur. Pr formá-los devemos escolher elemetos em {,, 4,..., }, ão odedo ser escolhidos elemetos cosecutivos. Alicdo ovmete o Lem, teremos: f (, ) C, C, Logo, o resultdo rocurdo será som ds dus resosts obtids (cofirme!), que os remete à fórmul do Lem : APLICAÇÃO: - f... (, ) C,

Mtemátic o Esio Médio Álgebr - IA / UERJ Profs. Ilydio Pereir de Sá e Gerldo Lis 6 ) A deve ter ul de têis três vezes or sem, durte um semestre. Qutos são os modos de escolher os dis de ul, se A ão desej ter uls em dis cosecutivos? Solução: A deve escolher dos elemetos do cojuto {domigo, segud-feir, terç-feir, qurt-feir, quit-feir, sext-feir, sábdo}, ão odedo escolher dois dis cosecutivos e sedo domigo e sábdo dis cosecutivos. De cordo com o Lem, teremos o seguite úmero de modos: f 7 ( 7, ) C7, 7 7. 4 4 7 B) COMBINAÇÕES COMPLETAS OU COM REPETIÇÃO Resod à ergut: De qutos modos é ossível comrr sorvetes em um loj que os oferece em 5 sbores? Normlmete somos levdos resoder que solução é C 5,. Est resost ão está corret. El estri cert cso ergut fosse: De qutos modos odemos escolher sorvetes diferetes, em um loj que os oferece em 5 sbores? Esss ossibiliddes reresetm s combições simles de 5 elemetos, tomdos. N questão resetd, resost corret seri CR 5,, que são s combições comlets de 5 elemetos, tomdos, ou sej, esse cso dmitirímos hiótese d esso escolher sbores reetidos. O cálculo ds combições comlets, que veremos seguir, seguirá um rciocíio que já vimos teriormete, o estudrmos s ermutções com elemetos reetidos. Pr que ossmos eteder melhor o osso roblem iicil, vmos suor que loj oferecesse os sbores: mg, bcxi, goib, cerej e limão. Ns combições simles, desses 5 sbores, tomdos, só terímos comosições do tio: mg, bcxi, goib ou goib, cerej, limão ou bcxi, goib, limão, etc...como se ode erceber, ess oção ds combições comlets drá um resultdo mior que rimeir, que gerou ossibiliddes de escolh. Podemos ecrr solução do roblem ds combições comlets d escolh de sbores (distitos ou ão), um loj que oferece 5 oções de escolh, como sedo s soluções iteirs e ão egtivs d equção: x x x x 4 x 5 Temos, ortto, 5 vriáveis que reresetm qutidde comrd, de cd um dos sbores oferecidos. Se você retorr à ági 7 de osso curso, verificrá que já mostrmos um solução r esse roblem, trvés de ermutções com lgus elemetos reetidos. N ocsião, vimos que qutidde de soluções iteirs e ão egtivs de um equção do, tio: x x x......x er ddo or P.,4 7! No osso exemlo d sorveteri, teremos etão CR5, P7 5.!.4!

Mtemátic o Esio Médio Álgebr - IA / UERJ Profs. Ilydio Pereir de Sá e Gerldo Lis 6 Podemos etão cocluir, sobre s combições comlets de elemetos,. CR, P, ( - )! ( )!.! Exemlos: ) De qutos modos odemos comrr 4 slgdihos em um lchoete que oferece 7 oções de escolh de slgdihos? Solução: Pelo que vimos teriormete, teremos que determir qutidde de soluções iteirs e ão egtivs de um equção do tio: x x x x x x 4. A solução, como mostrmos, será dd or: x 4 5 6 7 6,4! CR7, 4 P. 6!.4! ) Podedo escolher etre 5 tios de queijo e 4 mrcs de viho, de qutos modos é ossível fzer um edido um resturte, com dus quliddes de queijo e grrfs de viho? Solução: temos que escolher os dois tios de queijo, etre os 5 disoíveis (distitos 4, 6! ou ão). Isto será igul CR5, P6 5. Em seguid, temos que escolher 4!.!, 6! grrfs etre os 4 vihos disoíveis, ou sej, CR 4, P6. Logo, o!.! úmero de edidos de queijo e viho, d cordo como roosto questão, será ddo or 5 x. C) PRINCÍPIO DAS GAVETAS DIRICHLET N álise combitóri muits vezes somos levdos muito mis do que simlesmete cotr os elemetos de cojutos ou seqüêcis. Em lgums ocsiões o que se retede é verificr existêci, ou ão, de cojutos que stisfçm determids rorieddes. Um imortte ferrmet r esss situções é o ricíio ds gvets de Dirichlet (85 859, mtemático lemão). PRINCÍPIO DAS GAVETAS - Se disomos de objetos r colocr em, o máximo,, gvets, etão o meos um dels coterá elo meos dois objetos. Prov (or bsurdo) se cd um ds gvets cotiver, o máximo, objeto, o úmero totl de objetos colocdos será igul, o que cotrri hiótese de disormos de objetos. Logo, em um ds gvets elo meos teremos que colocr objetos, o meos. EXEMPLOS: ) Em um gruo de k essos, elo meos dus dels terão de iversrir o mesmo mês, de cordo com o ricíio ds gvets de Dirichlet, qul deve ser o meor vlor de k? Solução:

Mtemátic o Esio Médio Álgebr - IA / UERJ Profs. Ilydio Pereir de Sá e Gerldo Lis 64 Como são os meses do o e queremos o vlor míimo de k, teremos, elo ricíio ds gvets que k deverá ser igul. ) Quts essos devemos tomr, em um gruo, o míimo, de modo que ossmos grtir que dus dels scerm o mesmo di d sem? Solução: Alogmete o cso terior, como são 7 os dis d sem, devemos ter um míimo de oito essos o gruo (7 ) ) Quts essos devemos tomr, em um gruo, o míimo, de modo que ossmos grtir que três dels scerm o mesmo di d sem? Solução: Temos gor roost de que ossmos grtir que três desss essos scerm o mesmo di d sem. Teremos esse cso um míimo de 5 essos ( x 7 ) 4) Em um cix há meis brcs e meis rets. Quts meis devemos retirr, o cso, o míimo, r que ossmos grtir que retirmos um r de meis de mesm cor? Solução: As qutiddes de meis que estão registrds esse exemlo só servem r os cofudir, ois se queremos obter um r de meis de mesm cor, teremos que retirr o míimo três meis, já que só existem dus cores distits. 5) Qul o úmero míimo de essos que deve hver em um gruo r que ossmos grtir que ele hj, elo meos, 5 essos scids o mesmo mês? Solução: Devemos ter esse gruo um míimo de 49 essos, ois esse cso, té 48 essos id ão oderímos grtir que 5 dels terim scido o mesmo mês, meses x 4 48 essos. EXERCÍCIOS GERAIS MATEMÁTICA COMBINATÓRIA Até gor estudmos vários tóicos imorttes d Mtemátic Combitóri. Todos esses tóicos vierm comhdos de exemlos ilustrtivos e exercícios roostos. Vmos gor, tes de cotiurmos osso estudo, resolver um série de exercícios sobre todos os tóicos já estuddos, sber: Pricíio Fudmetl d Cotgem, Arrjos, Combições e Permutções Simles, Arrjos, Permutções e Combições com Reetição e Lems de Klsky. Todos os exercícios virão com os resectivos gbritos e você deve, semre que ecessário, recorrer à teori cotid ostil r tirr s sus dúvids. ) Dez estudtes restm um cocurso. De quts meirs ode ser comost list dos 4 rimeiros colocdos? ) Qutos são os subcojutos, com 5 elemetos, do cojuto {, b, c, d, e, f, g}, sedo que em cd subcojuto e b estejm semre resetes? ) Aid com relção o roblem terior, qutos são os subcojutos de 5 elemetos, do cojuto ddo, os quis ão erteçm os elemetos e b? 4) Sete essos, etre els José e Pedro, estão reuids r formr um ch com residete, secretário, segudo-secretário e tesoureiro r cocorrer às eleições de um clube. Determie em quts ds ossíveis chs: ) José é o residete e Pedro é o tesoureiro b) José ão é o residete e Pedro ão é o tesoureiro.

Mtemátic o Esio Médio Álgebr - IA / UERJ Profs. Ilydio Pereir de Sá e Gerldo Lis 65 5) Um deutdo quer covocr 5 etre 8 olíticos de seu gruo r um reuião. No etto, dois desses olíticos têm forte rix essol. De qutos modos ode ser feit covocção de meir que ão comreçm simultemete os dois citdos? 6) De quts meirs diferetes um fmíli de 4 essos ode edir lmoço (um rto r cd esso), em um resturte que oferece 8 tios de rtos? 7) Quts são s fuções ijetors que odemos defiir do cojuto A, com 5 elemetos, o cojuto B, com 8 elemetos? 8) Os cojutos E e F têm, resectivmete, 4 e elemetos. Quts são s fuções, de E em F, que ão são ijetors? 9) Escrevedo-se em ordem crescete list de todos os úmeros de 5 lgrismos distitos, formdos com os lgrismos 5, 6, 7, 8 e 9, que lugr ocu o úmero 78 695? ) Com os lgrismos,, 4, 5 e 6 formm-se todos os úmeros de 5 lgrismos distitos ossíveis. Determie som de todos esses úmeros. ) Qutos são os grms d lvr BUTANOL, que resetm sílb TO? ) Qutos são os grms d lvr BARBARIDADE? ) O digrm bixo rereset lgums rus de um cidde. De qutos modos um esso ode dirigir-se do oto A o oto B, utilizdo-se semre dos cmihos mis curtos (um uidde de qudrdiho de cd vez, horizotl ou verticl)? B A 4) Resolv equção: (x 4)! (x )!.[(x )]! 7 6 5) Quts são s soluções iteirs e ão egtivs d equção bixo? x y z w g 5 6) Qutos são os úmeros iteiros, miores que 4 e meores que 9, formdos or lgrismos distitos e que são múltilos de 5? 7) Aih deve freqüetr cdemi de musculção dus vezes or sem, durte todo o o. Qutos são os modos del escolher os dis de sus uls se ão desej ter uls em dis cosecutivos?

Mtemátic o Esio Médio Álgebr - IA / UERJ Profs. Ilydio Pereir de Sá e Gerldo Lis 66 8) Se os telefoes de um cert vil devem ter úmeros de 5 lgrismos, todos começdo com e todos múltilos de 5, etão o úmero máximo de telefoes que vil ode ter é: 9) rofessores, sedo 4 de mtemátic, 4 de geogrfi e 4 de iglês, rticim de um reuião com o objetivo de formr um comissão que teh 9 rofessores, sedo de cd discili. O úmero de forms distits de se comor ess comissão é: ) úmero turl 8. 5 k tem 4 divisores iteiros e ositivos. Determie o vlor de k. ) De quts meirs três mães e seus resectivos três filhos odem ocur um fil com seis cdeirs, de modo que cd mãe sete juto de seu filho? ) Quts são s meirs de um cietist escolher elo meos dus cobis, um gruo de seis cobis? ) Um feixe de 8 rets rlels itersect outro cojuto de 5 rets rlels. Qutos são os rlelogrmos determidos or esss rets? 4) Um csl e seus qutro filhos vão ser colocdos ldo ldo r tirr um foto. Se todos os filhos devem ficr etre os is, de qutos modos distitos os seis odem osr r foto? 5) Observe o código bixo, comosto or siis, de dois tios: e (cico de cd um). Qutos códigos distitos oderemos obter com esses símbolos? 6) Sejm dus rets rlels r e s. Tomm-se 5 otos distitos em r e 4 otos distitos em s. Qul rzão etre o úmero totl de qudriláteros covexos e o úmero totl de triâgulos que odem ser formdos com vértices esses otos? 7) Sobre um mes colocm se seis moeds em lih. De qutos modos odemos obter dus crs e qutro coros voltds r cim? 8) Qul qutidde de grms d lvr ERNESTO que começm e termim or cosotes? 9) Qutos são os úmeros iteiros ositivos, de cico lgrismos, em que dois lgrismos djcetes uc sejm iguis? ) Um rofessor roôs r um de sus turms um rov com 7 questões, ds quis cd luo deveri escolher extmete 5 questões r resoder. Sbese que ão houve dus escolhs ds mesms 5 questões etre todos os luos d turm. Determie o úmero máximo de luos que ess turm oderi ter. ) Ddo um decágoo, qutos são os triâgulos cujos vértices são vértices ão cosecutivos desse olígoo? ) Qutos são os grms d lvr ARARAQUARA que ão ossuem dus letrs cosecutivs?

Mtemátic o Esio Médio Álgebr - IA / UERJ Profs. Ilydio Pereir de Sá e Gerldo Lis 67 Gbrito (exercícios geris) ) 54 ) ) 4) ) 5) 6 b) 8 6) 66 7) 6 7 8) 4 96 9) 64º ) 5 8 ) 7 ) 8 6 ) 5 4) x - 5) 5 6) 54 7) 4 8) 9) 64 ) k 5 ) 48 ) 57 ) 8 4) 48 6) 6 / 7 7) 5 8) 7 9) 59 49 ) 5 ) 5) 5 ) 4) BINÔMIO DE NEWTON Um biômio é qulquer exressão d form x y, ou sej, é reresetção d som lgébric de dus qutiddes distits. Cosidere o roduto dos três biômios. m q r s mr ms mqr mqs r s qr ( )( )( ) qs Observe que cosiste de oito termos, cd um dos quis ossuido três letrs, sedo cd letr escolhid detre s dus, de cd um dos biômios. O ricíio multilictivo e roriedde distributiv os oferecem ossibilidde de cotr o úmero de termos de rodutos desse tio, ois se de cd um dos três rêteses vmos escolher um letr etre s dus existetes, temos que o úmero de termos do roduto será. Nturlmete que este rciocíio ode ser estedido r um roduto cotedo um úmero qulquer de biômios. Se o roduto for costituído de 4, 5 ou biômios o úmero de termos do 4 5 desevolvimeto será resectivmete, 6, ou Vmos tomr gor o roduto de seis biômios, todos iguis. Por exemlo: x x x x x x. ( )( )( )( )( )( )

Mtemátic o Esio Médio Álgebr - IA / UERJ Profs. Ilydio Pereir de Sá e Gerldo Lis 68 Como temos 64 meirs de seleciormos 6 letrs, um de cd biômio, e como todos os biômios são iguis ( x ) teremos termos reetidos. Por exemlo, se tomrmos letr os rimeiros e letr x os 4 últimos, teremos x 4, que irá recer tod vez que letr for escolhid em extmete dos 6 biômios e letr x os 4 resttes. Como isto ode ser feito de C6 meirs diferetes, firmmos que o termo x 4 irá recer este úmero de vezes, o que equivle dizer que o coeficiete de x 4 é igul C 6. Observdo que qulquer termo cosiste do roduto de 6 letrs, o termo gerl é d form x q, ode q 6, ou sej, cd termo é d form 6 x. Como esse termo rece C 6 vezes exsão cim, orgizd segudo s otêcis decrescetes de x, é dd or 6 6 ( x ) C 6 C 6 x 6 x C 6 6 x 5 C 6 x 4 C 6 5 4 4 5 6 x 6x 5 x x 5 x 6 x No cso gerl ( x ), cd termo será d form x. Note que o termo x irá recer r cd escolh d letr em dos ftores. Como tl escolh ode ser feit de C forms diferetes, temos: ( x ) ( ) ( x) ( x) C x C 6 x x C 4 6 4 x C 5 6 5 x C. Além disso, como, x, odemos cocluir que, ermutdo-se s letrs x e teremos,, e isto os grte o fto já cohecido de que 6 6 6 x C C, um vez que, elo rgumeto resetdo, o coeficiete de x é ddo or C ou, em outrs lvrs, que, exsão de ( x ), os coeficietes dos termos eqüidisttes dos extremos são iguis. N exsão de ( x ) C x Deotmos o termo gerl or T, o qul é ddo or Exemlo Clculr o qurto termo d exsão de ( k) 8. T C x. Solução: Temos qui, x, k, 8 e 4. Logo e 8 T T C k 56. 4 8 k x 5y Exemlo Clculr o sexto termo d exsão de ( ). Solução: Neste cso -5y,, 6 e 5. Portto, T 5 5 ( ) 5 6 C 5 xy T 5 5 5 5 5 ( 5) x y 787.5x. 5 6 C y Exemlo Demostrr seguite idetidde:

Mtemátic o Esio Médio Álgebr - IA / UERJ Profs. Ilydio Pereir de Sá e Gerldo Lis 69 Solução: Como ( x ) C x, o C C C C... C. é fácil ver que, r x, o ldo direito dest iguldde os dá som edid, que será igul. Este vlor rereset tmbém, o úmero de subcojutos de um cojuto cotedo elemetos. Observe que o exemlo os oferece um imortte roriedde ds combições e que será muito útil resolução de lgus roblems clássicos de Mtemátic Combitóri. Vmos ovmete destcr ess roriedde: C C C... C o Exemlo 4: Quts comissões, com o míimo dus essos, odemos formr rtir de um gruo de 5 essos. Solução: É fácil costtr que solução desse roblem será dd el som de váris combições, já que s comissões oderão ter de 5 essos, ou sej: C C C... C 4 5 5 5 5 5 Rere que, r ficrmos de cordo com roriedde mostrd teriormete, visdo fcilitr ossos cálculos, oderemos crescetr s combições que estão fltdo (são dus) e deois, subtrir d resost obtid o vlor que foi crescetdo. Logo, teremos: C... CC Ms, C 6 4 5 5 5 C5 C5 C5 5 5 5 C5 Dess form, resost rocurd será igul 5-6 75 comissões. Listmos bixo exsão de ( b) r lgus vlores de. ( b) ( b) b ( b) b b ( b) b b b 4 ( b) 4 4 b 6 b 4b 4 b 5 ( b) 5 4 5 b b b 4 5b 5 b 6 ( b) 6 5 4 6 b 5 b b 4 5 b 5 6b 6 b

Mtemátic o Esio Médio Álgebr - IA / UERJ Profs. Ilydio Pereir de Sá e Gerldo Lis 7 Coeficietes Biomiis Triâgulo de Pscl Chmmos Triâgulo de Pscl o triâgulo formdo elos coeficietes ds exsões cim, isto é, Os úmeros que surgem em cd lih do triâgulo de Pscl são extmete os mesmos coeficietes dos termos d exressão de ( b) Observe tmbém que som de dois termos cosecutivos de um mesm lih do triâgulo corresode o termo d lih imeditmete iferior, isto é, C C C. Est roriedde é cohecid como relção de Stifel Lih ª lih ª lih 4 6 4 5 5 6 5 5 6... col Eumermos s lihs deste triâgulo de cordo com o exoete d otêci d qul os coeficietes form retirdos, isto é, ª lih é ª e ssim sucessivmete. Eumermos s colus d mesm form, isto é, formd só de dígitos iguis é de úmero zero e ssim or dite. Observe que som dos elemetos d lih 5 é: 4 5 5 C 5 C5 C5 C5 5 CC 5. Pr somrmos os elemetos d -ésim lih, só recismos lembrr que C C C... C, rereset o úmero de subcojutos de um cojuto de elemetos e ssim, C C C... C. Já mostrmos que som dos elemetos d -ésim lih é igul e que um mesm lih termos eqüidisttes dos extremos são iguis. No exemlo 4 mostrremos que som dos rimeiros elemetos d colu é igul o -ésimo elemeto d colu ( ) ésim ª col ª col Cd elemeto do triâgulo de Pscl é um úmero biomil e su osição o triâgulo fic determid or um r ordedo que idic lih e colu ocud elo biomil. Se o

Mtemátic o Esio Médio Álgebr - IA / UERJ Profs. Ilydio Pereir de Sá e Gerldo Lis 7 biomil ocu lih e colu su reresetção será, ode é chmdo umerdor e é o deomidor do biomil. Devemos observr tmbém que C. Por um questão de comodidde iremos evitr otção de úmero biomil ddo referêci otção de combições or ser um ouco mis fmilir os estudtes que já comletrm um curso de álise combitóri. É clro que tods s rorieddes ds combições são turlmete legds os úmeros biomiis Vej que iteresste: Um outr justifictiv do método resetdo r o desevolvimeto dos ( ) termos de ( x ). x (x ). (x ), rocededo d seguite meir: Multilicdo cd termo de (x ) or x Multilicdo cd termo de (x ) or Somdo os termos obtidos e efetudo redução dos termos semelhtes. Você sbe que, odemos obter o desevolvimeto de ( ) Alogmete, ós obteção de ( x ) odemos obter os termos de ( x ) ( x ).( x ), rocededo d seguite meir: Multilicdo cd termo de ( x ) or x Multilicdo cd termo de ( ) x or Somdo os termos obtidos e efetudo redução dos termos semelhtes. Seguido dess mesm form, sucessivmete, odemos obter ( x ),( x ),... rciocíio roosto os coduz o seguite digrm: (x ) x x x x x x ( ) x x x ( x ) x x x x x x x ( x ) 4 x 4 4x 6 x 4 x 4... 4 5 O No digrm terior olhdo es os coeficietes dos termos, vemos clrmete formção do triâgulo de Pscl, com seus ldos semre começdo e termido or, tedo como miolo os úmeros biomiis que odem ser obtidos trvés d som dos úmeros vizihos d lih terior. (Idéi extríd do livro O que é mtemátic? de Court e Robbis). Exemlo 5 Demostrr seguite idetidde (teorem ds colus).

Mtemátic o Esio Médio Álgebr - IA / UERJ Profs. Ilydio Pereir de Sá e Gerldo Lis 7.... C C C C C A ricil roriedde do triâgulo de Pscl (Relção de Stifel) C C C Justific seqüêci de igulddes bixo: C C C C C C C C C C C C C C C...... Se somrmos membro membro ests igulddes (cceldo termo iguis), teremos,... C C C C C C que é iguldde edid, um vez que C. N figur bixo ilustrmos o que cbmos de demostrr. 4 6 4 5 5 6 5 5 6 7 5 5 7.................... Exemlo 6: Achr um fórmul r som dos rimeiros iteiros ositivos. Solução: Isto é decorrêci do exemlo terior, ois, ( )...... C C C C C Exemlo 7: Prove que ) (... C C C C C

Mtemátic o Esio Médio Álgebr - IA / UERJ Profs. Ilydio Pereir de Sá e Gerldo Lis 7 Devemos lembrr que ( x ) C x, ortto bst tomrmos x e -. Exemlo 8: Clcule o termo ideedete de x o desevolvimeto de x x Escrevemos iicilmete o termo gerl do desevolvimeto que é T C ( x ) ortto, T x 5 C x x C x. Como queremos que o termo ideed de x, devemos fzer 5. Logo 4 e ssim o termo rocurdo é o quito termo e seu 4 vlor é T C. 5 EXERCÍCIOS PROPOSTOS BINÔMIO DE NEWTON:. Determie o termo cetrl ou médio do desevolvimeto de: x x. Clcule os dois termos médios do desevolvimeto de: ( ) 7 x,. Clcule som dos coeficietes do desevolvimeto de x y 6 4. No desevolvimeto de ( ) Determie. x, os coeficietes do 4º e do 8º termos são iguis. 5. Determie o quito termo do desevolvimeto de x x 7. Suodo o desevolvimeto ordedo segudo s otêcis decrescetes d rimeir rcel. 6. Determie o termo ideedete de x o desevolvimeto de x x. 7. Determie o coeficiete de x o desevolvimeto de x 4 x. x y 4 x y 8. Clcule: ( ) ( ) 4

Mtemátic o Esio Médio Álgebr - IA / UERJ Profs. Ilydio Pereir de Sá e Gerldo Lis 74 9. Exlique orque ão existe termo ideedete de x o desevolvimeto de x. x m m m m. Clcule m sbedo que... 54. m ) GABARITO BINÔMIO DE NEWTON 6 5 T6 x 8 6) T 5 4 T4 68 x T 5 x 7) 48 ) 4 ) 5 5 6 8) 4) 4 9) 5) T 5 6 9 5 x ) m 8 4 y yx x, logo ñ seri turl 5.) Origem Históric É ossível qutificr o cso? 5) PROBABILIDADES Pr iicir, vmos cosiderr lgums hióteses: Rit eser siosmete o scimeto de seu filho, ms el id ão sbe qul será o sexo d criç. Em outro cso, tes do iício de um jogo de futebol, o juiz tir "cr ou coro" com um moed r defiir o time que ficrá com bol. Num terceir hiótese, tod sem, milhres de essos rriscm sorte loteri. Problems como os cim são, hoje, objeto de estudo ds robbiliddes. Os rimeiros estudos evolvedo robbiliddes form motivdos el álise de jogos de zr. Sbe-se que um dos rimeiros mtemáticos que se ocuou com o cálculo ds robbiliddes foi Crdo (5-576). Dt dess éoc ( obr Liber Ludo Ale) exressão que utilizmos té hoje r o cálculo d robbilidde de um eveto (úmero de csos fvoráveis dividido elo úmero de csos ossíveis). Posteriormete tl relção foi difudid e cohecid como relção de Llce. Com Fermt (6-665) e Pscl (6-66), teori ds robbiliddes começou evoluir e ghr mis cosistêci, ssdo ser utilizd em outros sectos d vid socil, como, or exemlo, uxilido descobert d vci cotr vríol o século XVIII.

Mtemátic o Esio Médio Álgebr - IA / UERJ Profs. Ilydio Pereir de Sá e Gerldo Lis 75 Llce foi, certmete, o que mis cotribuiu r teori ds robbiliddes. Seus iúmeros trblhos ess áre form reuidos o moumetl Trtdo Alítico ds Probbiliddes, ode são itroduzids técics odeross como ds fuções gerdors, que são roximções r robbiliddes com o uso do cálculo itegrl. Atulmete, teori ds robbiliddes é muito utilizd em outros rmos d Mtemátic (como o Cálculo e Esttístic), d Biologi (esecilmete os estudos d Geétic), d Físic (como Físic Nucler), d Ecoomi, d Sociologi, ds Ciêcis Aturiis, d Iformátic, etc. A rolet, um dos jogos de zr referidos elos ostdores os cssios, teve su origem Frç do século XVIII. É formd or 6 elemetos disostos em três colus de úmeros e um esço reservdo r o zero. As chmds osts simles são: sir r ou sir ímr, sir vermelho ou sir reto, e sir úmeros meores (de 8) ou sir úmeros miores (de 9 6) Exemlo: A robbilidde de o lçrmos um ddo sir um úmero ímr é /. Est defiição es ode ser usd qudo o cojuto dos csos é fiito sedo que todos têm mesm ossibilidde ocorrer (equirováveis)! 5.) Probbiliddes Discrets Defiições: Exerimeto Aletório: Dizemos que um exerimeto qulquer é letório qudo, se reetido diverss vezes s mesms codições, ode gerr resultdos diferetes. Exerimetos letórios cotecem todo mometo o osso cotidio erguts do tio: será que vi chover? Qul será o resultdo d rtid de futebol? Qutos serão os ghdores d Meg-Se d sem? São questões ssocids exerimetos letórios e que deedem do cso. Exerimetos letórios são os objetos de estudo do cálculo de robbiliddes. Esço Amostrl: (ou de csos ou resultdos): de um exeriêci é o cojuto de todos os resultdos ossíveis. Acotecimeto ou eveto: é qulquer subcojuto do esço mostrl. A robbilidde de um cotecimeto E, que é um subcojuto fiito de um esço mostrl S, de resultdos igulmete rováveis, é: (E) E ( ) S ( ) sedo (E) e (S) s qutiddes de elemetos de E e de S, resectivmete. Exemlo: ) Qul robbilidde de, o lçrmos dois ddos distitos, som dos dois úmeros ser 7? Solução: O Esço mostrl será qui reresetdo elos 6 res ordedos reresettivos ds otuções ossíveis desses dois ddos. Poderemos reresetá-lo or um tbel de dul etrd, vejmos:

Mtemátic o Esio Médio Álgebr - IA / UERJ Profs. Ilydio Pereir de Sá e Gerldo Lis 76 ddos 4 5 6 (,) (,) (,) (,4) (,5) (,6) (,) (,) (,) (,4) (,5) (,6) (,) (,) (,) (,4) (,5) (,6) 4 (4,) (4,) (4,) (4,4) (4,5) (4,6) 5 (5,) (5,) (5,) (5,4) (5,5) (5,6) 6 (6,) (6,) (6,) (6,4) (6,5) (6,6) Assilmos os res ordedos que tedem à codição roost (som 7), logo, 6 robbilidde edid será: 6,67 % 6 6 PROBABILIDADE X INTUIÇÃO Lce questão seguir r seus luos, logo s uls iiciis sobre robbiliddes e solicite que tetem estimr o resultdo, ituitivmete, tes de licr defiição ou qulquer rocesso de resolução. Num determido ís sbe-se que % d oulção está ifectd elo vírus do HIV. Sbe-se tmbém que, os exmes r detectr doeç, há 9% de certo r o gruo dos ifectdos e 8% de certo r os ão ifectdos. Determie :. A robbilidde de que um esso, cujo exme deu ositivo r doeç, estej relmete ifectd.. A robbilidde de que um esso, cujo exme deu egtivo r doeç, estej relmete sdi. Solução: Pr fcilitr, vmos suor que cidde tivesse um oulção de hbittes. De cordo com o texto, teremos que são ortdores do vírus HIV e 9 ão são ortdores. ) Totl de ortdores detectdos elo exme: 9 % de % de 9 7 essos. Logo, r resodermos à rimeir ergut, temos que 9 essos em 7 são relmete ortdores do vírus, ou robbilidde de 9 / 7,%. É or esse motivo que, ormlmete qudo um exme HIV tem resultdo ositivo, os médicos ormlmete recomedm que o mesmo sej reetido. ) Totl de ão ortdores detectdos elo exme: % de 8% de 9 7 essos, ds quis 7 são relmete ão ortdores desse vírus. Logo, temos robbilidde de 7 / 7 98,6 % de que um esso, cujo exme deu egtivo r doeç estej relmete sdi. COMENTÁRIO: Ess questão, que foi origilmete roost os cdidtos o Projeto Sies (Um esécie de vestibulr em ets, o Rio de Jeiro), roici trvés de um bordgem simles e ituitiv, o efoque de um questão tul e de iteresse de todos s uls de mtemátic e ode, deededo de ossos objetivos, roicir outrs discussões como robbilidde codiciol, or exemlo.

Mtemátic o Esio Médio Álgebr - IA / UERJ Profs. Ilydio Pereir de Sá e Gerldo Lis 77 5.) Combição de evetos Teorem: Sej E um eveto o esço mostrl S. A robbilidde do cotecimeto comlemetr, E, é dd or: ( E ) - (E) Teorem: Sejm E e E dois evetos do mesmo esço mostrl S. Etão: (E E) (E) (E) - (E E) Exemlo: Qul robbilidde de um úmero iteiro ositivo seleciodo letorimete do cojuto dos iteiros ositivos meores ou iguis ser divisível or ou or 5? Solução: Sbemos que o Uiverso dos iteiros ositivos, iferiores ou iguis ((S) ), qutidde de úmeros divisíveis or é 5 (os res) e qutidde dos úmeros divisíveis or 5 é (os termidos em zero ou em cico). Sedo que os que são divisíveis o mesmo temo or ou or 5 (os múltilos de ) são. Logo, teremos: 5 E ( ) E ( ) 5 E ( E) Logo, ( E E ) 6% 5 5 Vmos seguir resetr mis lgus csos de combição de evetos, rtir de lgus exemlos roostos elo rofessor Luiz Márcio Imees em ostil d Fudção Roberto Mriho. EXEMPLO Num gruo de joves estudtes robbilidde de que um jovem, escolhido o cso, teh médi cim de 7, é /5. Nesse mesmo gruo, robbilidde de que um jovem sib jogr futebol é 5/6. Qul robbilidde de escolhermos um jovem (o cso) que teh médi mior que 7, e sib jogr futebol? Solução: O fto de ter médi mior que 7, ão deede do fto de sber jogr futebol, e vice-vers. Qudo isso ocorre, dizemos que os evetos são ideedetes. Cosidere etão os evetos: A: ter médi cim de 7,. B: sber jogr futebol. A e B: ter médi cim de 7, e sber jogr futebol. Como queremos clculr P (A e B), ese o seguite: de todos os joves, /5 têm médi cim de 7, e 5/6 sbem jogr futebol. Or, 5/6 de /5 ou sej, 5/6. /5 /6 sbem jogr futebol e têm médi cim de 7,. Portto, P (A e B) /6. Rere que r ecotrrmos P (A e B) efetumos P (A) P (B). Etão, cocluímos que, qudo A e B são evetos ideedetes (ão têm d ver um com o outro):

Mtemátic o Esio Médio Álgebr - IA / UERJ Profs. Ilydio Pereir de Sá e Gerldo Lis 78 P (A e B) P (A) P (B) EXEMPLO Dos fucioários de um emres, são chotos e 5 vão de ôibus r o trblho. Escolhedo o cso um desses emregdos, qul robbilidde de que ele sej choto e vá de ôibus r o trblho? Cosidere os evetos: A : ser choto B : ir de Ôibus r o trblho Solução: Clro que A e B são evetos ideedetes, ortto um ão deede em d do outro. A robbilidde de os dois evetos (A e B) ocorrerem simultemete é clculd or P(A e B) P (A) P (B). Clculdo: P (A) / / P (B) 5/ 5/6 P (A e B) P (A) P (B) /. 5/6 5/8 A robbilidde de que ele sej choto e vá de ôibus r o trblho é de 5/8. EXEMPLO : Algus tlets rticim de um trithlo (rov formd or ets cosecutivs: (tção, corrid e ciclismo). A robbilidde de que um tlet escolhido o cso termie rimeir et (tção) é 4/7. Pr cotiur cometição com segud et (corrid) o tlet recis ter termido tção. Dos tlets que termim rimeir et, robbilidde de que um deles, escolhido o cso, termie segud é ¾. Qul robbilidde de que um tlet que iiciou rov, e sej escolhido o cso, termie rimeir e segud ets? A : termir et d rov (tção). B : termir et d rov (corrid), tedo termido. Note que A e B ão são evetos ideedetes, ois, r começr et é ecessário, tes, termir. Nesse cso dizemos que ocorrêci do eveto B deede (est codiciod) à ocorrêci do eveto A. Utilizmos etão otção B/A, que sigific deedêci dos evetos, ou melhor, que o eveto B/A deot ocorrêci do eveto B, sbedo que A já ocorreu. No cso deste exemlo, temos: B/A termir et (corrid), sbedo que o tlet termiou et (tção). E gor? Como clculr P (A e B)? Simles: o lugr de usrmos P(B) fórmul P(A e B) P(A) P(B), usremos P(B/A) já que ocorrêci de B deede d ocorrêci de A. O eucido deste roblem os diz que P(A) 4/7 e P B/A /4; ssim, P(A e B) P(A) P B/A 4/7. ¾ /7. A robbilidde de que um tlet, escolhido o cso, termie e ª ets é /7. Qudo A e B ão são evetos ideedetes robbilidde de ocorrêci de A e B é clculd or: P (A e B) P (A) P (B/A) ode P (B/A) é robbilidde de B, ddo que A já ocorreu (Probbilidde Codiciol). EXEMPLO 4

Mtemátic o Esio Médio Álgebr - IA / UERJ Profs. Ilydio Pereir de Sá e Gerldo Lis 79 No exme r tirr crteir de motorist, robbilidde de rovção rov escrit é 9/. Deois de ser rovdo rte teóric, há um rov rátic de direção r os que já ssrm o exme escrito, robbilidde de ssr ess rov rátic é /. Qul robbilidde de que, escolhido um cdidto o cso, ele sej rovdo em mbs s rovs escrit e rátic e tire crteir de motorist? Solução: Cosidere os evetos: A: rovção rov escrit. B: rovção rov rátic de direção. Os evetos A e B ão são ideedetes, ois é reciso ter rovção rov escrit r fzer rov rátic de direção. Como ocorrêci de B está codiciod à ocorrêci de A, crimos o eveto: B/A: ter rovção rov rátic de direção, sbedo que o cdidto foi rovdo rov escrit. Pr clculr P(A e B), usmos: P(A e B) P(A) P(B/A) Clculdo: P(A) 9/ P(B/A) / P(A e B) 9/. / /5 A robbilidde de ssr rov escrit e rov de direção é /5. EXEMPLO 5: Um ur cotém 4 bols brcs e vermelhs. Um bol é retird e, sem reosição, um segud bol é retird. Qul robbilidde de mbs serem brcs? Cosidere os evetos: A: retird d rimeir bol brc. B: retird d segud bol brc. Eles são deedetes, ois robbilidde de ocorrêci de B deede do que ocorreu retird d rimeir bol. Etão: P(A) Tedo sido retird um bol brc e ão hvedo reosição ur, restm 5 bols sedo brcs, logo, robbilidde de retirr-se outr bol brc é P(B\A) 5 Portto P(A B) P(A) P(B\A). 5 C OBS: Este resultdo oderi ser obtido diretmete d defiição P(A B) C 5 4, 6, 4. 6.5 5

Mtemátic o Esio Médio Álgebr - IA / UERJ Profs. Ilydio Pereir de Sá e Gerldo Lis 8 EXEMPLO 6: N Co Améric de 995, o Brsil jogou com Colômbi. No rimeiro temo, seleção brsileir cometeu flts, sedo que form cometids or Leordo e outrs or Adré Cruz. No itervlo, os melhores lces form rerisdos, detre os quis um flt cometid elo Brsil, escolhid o cso. Qul robbilidde de que flt escolhid sej de Leordo ou de Adré Cruz? Solução: Ds flts, form de Leordo e de Adré Cruz. Portto, os dois jutos cometerm 6 ds flts do Brsil. Assim, robbilidde de que um ds flts sej escolhid detre s é 6/ /5. Tmbém odemos resolver este roblem d seguite meir: Probbilidde de ser escolhid um flt do Leordo /. Probbilidde de ser escolhid um flt do Adré Cruz /. A robbilidde de ser escolhid um flt de um destes dois jogdores / / 6/ /5. Lembre-se de que qulquer um ds dus escolhs terá um resultdo fvorável. Se A e B são os evetos (escolher um flt de Leordo ou escolher um flt de Adré Cruz), estmos iteressdos robbilidde do eveto A ou B. Temos etão, r esse cso que: P(A ou B) P(A) P(B) Note que isso vle orque um flt ão ode ser cometid elos dois jogdores o mesmo temo, ou sej, o eveto A e B é imossível. 5.) Coceito de Probbilidde (geerlizção): Problem: Se eu tiver um moed vicid e lçr váris vezes o que osso eserr como resultdo? Defiição: Ddo um esço de mostrs S, de um exerimeto com um úmero fiito de resultdos ossíveis, chm-se robbilidde de um resultdo, (s), um vlor: s ( ), s S s s S Modelr um exeriêci deve ser medir freqüêci reltiv de um cotecimeto qudo o úmero de exeriêcis se tor muito grde. Exemlo: Qul robbilidde de sir crs ou coros um moed vicid em que chce de recer cr é dus vezes chce de recer coro. Solução: ) (CA) (CO) ) (CA) (CO), or defiição. ) (CO) (CO) (CO), de ) e ) (CO) / (CA) / Defiição: A robbilidde de um cotecimeto E é igul à som ds robbiliddes dos resultdos em E. (E) s s E Exemlo: Admit que tem um ddo vicido de modo que o úmero rece dus vezes mis que qulquer dos outros úmeros. Qul robbilidde de sir um úmero ímr qudo lçmos o ddo um vez? Solução: P() s

Mtemátic o Esio Médio Álgebr - IA / UERJ Profs. Ilydio Pereir de Sá e Gerldo Lis 8 P() () (4) (5) (6) s Logo, s 5 s ou s /7 Sej E o eveto eserdo (sir um úmero ímr), teremos: (E) () () (5) 4/7 Um tividde exlortóri: Um jogo de cico ddos Um bo exeriêci que ode ser feit em clsse e que, trvés do umeto do úmero de registros, odemos verificr roximção do resultdo obtido rátic, com o teórico. Lçm-se cico ddos. Pr ghrmos tem de sir o úmero 5 ms ão ode sir o 6. Qul é robbilidde de ghr? Num fse iicil do estudo ds robbiliddes, os luos id ão têm cohecimetos que lhes ermitm resoder à ergut com o vlor exto. No etto, odem obter exerimetlmete um roximção rzoável. Pr isso, cd gruo de luos deve ser distribuído um cojuto de 5 ddos (ou solicitr que eles trgm de cs), edimos que cd gruo fç um série de sorteios (5, or exemlo) e que registre os resultdos obtidos, destcdo de lgum form os csos que forem fvoráveis o eveto roosto. Cso hj codições, odemos té simulr tis sorteios um clculdor gráfic (TI-8, or exemlo). Sej, or exemlo os seguites resultdos que oderim ser obtidos or um gruo: 5 6 4 5 Verificmos fcilmete que dos três sorteios teriores, o úico que os é fvorável é o terceiro, ou sej, um uiverso de sorteios, obtivemos freqüêci reltiv de /, ou %. Se, um turm, cd gruo fizer us 5 sorteios, registrdo o úmero de exeriêcis e o úmero de vezes fvoráveis, fcilmete chegmos 5 resultdos. Podemos jutr os resultdos de dus turms, or exemlo e chegmos exeriêcis. Num dos Colégios em que fizemos exeriêci, em exeriêcis, otmos 76 sucessos, o que corresode um freqüêci reltiv de,76 ou 7,6%. Podemos etão rever que robbilidde de ghr um jogd vi ser róxim deste vlor, ão loge dos 8%. Clro que quts mis exeriêcis fizermos, mis cofiç oderemos ter os resultdos ( e isso devemos ssr ossos luos, exeriêci com grdes úmeros). Se coseguirmos jutr os resultdos de váris turms ( sorteios, or exemlo), verificremos que robbilidde de ocorrêci do eveto estrá erto de 7%. Em seguid veremos o resultdo exto dest robbilidde, com o uxílio d Aálise Combitóri. Cálculo d robbilidde Lçm-se cico ddos. Pr ghrmos tem de sir o úmero 5 ms ão ode sir o 6. Qul é robbilidde de ghr?

Mtemátic o Esio Médio Álgebr - IA / UERJ Profs. Ilydio Pereir de Sá e Gerldo Lis 8 Já vimos, exerimetlmete, que o resultdo rocurdo está róximo dos 7%. Agor vmos obter o resultdo exto. O úmero de csos ossíveis qudo lçmos 5 ddos são os rrjos com reetição dos 6 úmeros, ou, elo ricíio multilictivo: 6 x 6 x 6 x 6 x 6 6 5 7776 O úmero de csos fvoráveis (sir 5 ms ão sir 6) tem de ser feito em dus ets: Primeiro, ão ode sir 6: são os rrjos com reetição dos úmeros de 5. Csos em que ão si 6 AR 5,5 5 5 5 Segudo, ão ode sir 6 ms tem de sir 5. Etão, os 5 csos teriores temos de subtrir os csos em que tmbém ão si 5. Csos em que ão si 6 em 5 AR 4,5 4 5 4 Csos em que ão si 6 ms si 5 5 4 Logo: P(sir 5 ms ão sir 6) 7776 x,79 A robbilidde de ghr o jogo é rticmete igul 7%. Reremos que o vlor obtido exerimetlmete está bstte erto do vlor teórico. 5.4) AS LOTERIAS E AS PROBABILIDADES Probbiliddes e Meg Se Tudo elos milhões Prêmio d Meg-se será sortedo hoje O rêmio cumuldo de R$ milhões d Meg-se movimetou otem milhres de criocs, em fils itermiáveis s css lotérics. O rêmio está cumuldo há seis sems e, segudo Cix Ecoômic Federl, deverão ser feits 59 milhões de osts. O sorteio será relizdo hoje, às hors, cidde de Sto Atoio d Plti, o Prá. Otem, o Rio, css lotérics fizerm romoções, como d Novo México, se roodo trocr um mosquito Aedes Aegyti, or um bilhete com seis dezes. Outr romoção ess loj er troc de um bilhete d Meg-se r quem gsse cot de luz com bixo cosumo. Os ostdores estão cofites e já fzem los com o rêmio cumuldo. ''Teho fortes eserçs de ghr. Fço osts há dez os com os mesmos úmeros e dori metde do rêmio r um istituição de cridde'', disse o dmiistrdor de emress Jorge Luiz Cmos. As loteris dos shoigs e d Zo Sul ficrão berts té um hor tes do sorteio ds dezes. Em lgus sites d Iteret, é ossível ostr s 9h45. As reetids - Pr quem comh os sorteios d Meg-se existem lgums robbiliddes que oderão fzer lgum milioário o teste de logo mis. As dezes que mis recerm os resultdos té gor são: 4 (4 vezes), ( vezes), 4 e 4 ( vezes); 5, 7 e 5, que sírm 9 vezes. Jorl do Brsil sábdo, 4 de mrço de

INTRODUÇÃO Mtemátic o Esio Médio Álgebr - IA / UERJ Profs. Ilydio Pereir de Sá e Gerldo Lis 8 Etre tods s loteris existetes o Brsil, Meg Se é, o meos em determids ocsiões, que desert o mior iteresse oulção. Isso se deve o fto de que, els regrs do jogo, de vez em qudo, s qutis oferecids serem bstte reseitáveis. A mídi dá ml divulgção o fto, trtdo desde s chces de que lguém ghe o rêmio máximo té o que o ghdor oderi fzer com todo quele diheiro gho. Nós, rofessores de mtemátic, somos semre cosultdos sobre o fuciometo do jogo e esecilmete sobre existêci de lgum estrtégi que oss melhorr s ossibiliddes de vitóri. O resete rtigo fz um breve relto sobre o jogo, mostr resosts às erguts mis comus e, tem como mior cotribuição, o mérito do roveitmeto de um tem de iteresse de todos em osss uls de mtemátic do Esio Médio. O JOGO Fremos um breve relto do jogo r os que or ricíios ou or iteligêci uc se iteressrm elo mesmo. As osts odem ser feits escolhedo-se o míimo 6 e o máximo 5 dezes detre s 6 disoíveis, e eumerds de 6. Cd ost simles de 6 dezes cust rel e, se você mrc 8 dezes, or exemlo, terá de gr 8 reis (ois ests 8 dezes lhe ossibilitm cocorrer com 8 jogos simles, que é o resultdo de C 8,6 ). A Cix Ecoômic Federl, que dmiistr o jogo, sortei seis dezes distits e são remids s osts que cotêm 4 (qudr), 5 (qui) ou tods s seis (se) dezes sorteds. Se um determido cocurso iguém cert s seis dezes, o rêmio fic cumuldo r o cocurso seguite. Existem C 6,6 resultdos ossíveis r um sorteio. Esse úmero é suerior 5 milhões, mis recismete, ele é igul 5 6 86. Acho que todos cocordmos que só lguém muito otimist credit que vi ghr com um úic ost. VOCÊ SABIA? Que é mis fácil obter 5 crs em 5 lçmetos de um moed erfeit do que certr Meg Se com um úico jogo de 6 dezes? AS PROBABILIDADES DE SUCESSO NA MEGA-SENA O cálculo ds robbiliddes de que um ostdor ghe os rêmios oferecidos é um exercício simles e iteresste de Aálise Combitóri. Vmos, trvés de um exemlo, mostrr como ele é resolvido. Vmos suor que um ostdor fez um jogo com dezes e estrá, ortto, cocorredo com C,6 () jogos simles de 6 dezes. Verificmos que robbilidde de ghr se vle / 5 6 86, ou roximdmete,4 %. Pr que este ostdor ghe qudr, é ecessário que qutro ds seis dezes ostds estejm etre s dez s quis ele ostou e dus estejm etre s outrs 5. As qutro odem ser escolhids de C,4 meirs e s outrs dus de C 5, 5 meirs. Existem, ortto x 5 57 5 resultdos que drim o rêmio d qudr r o ostdor. De modo álogo mostr-se que existem 6 resultdos que drim o ostdor o rêmio d qui. Logo, os vlores roximdos ds robbiliddes de que um ostdor, que jogou dezes, ghe os rêmios d se, qui e qudr são, resectivmete iguis :,4%;,5 % e,54 %. Com rciocíio álogo são clculds s robbiliddes de osts com um úmero qulquer de dezes.

Mtemátic o Esio Médio Álgebr - IA / UERJ Profs. Ilydio Pereir de Sá e Gerldo Lis 84 A ACUMULAÇÃO PROGRAMADA Ns diverss loteris dmiistrds el Cix, semre que o rêmio mior ão sí e quti ele destid cumulv r o cocurso seguite, o iteresse dos ostdores cresci, resultdo um umeto cosiderável o úmero de osts. Embor ess situção fosse iteresste r Cix, o govero e os lotéricos, su ocorrêci deedi do cso. Com o objetivo de mter o iteresse dos ostdores e coseqüetemete umetr rrecdção, foi crid cumulção forçd que reserv um rte do rêmio (% do totl destido à Se) r ser crescetd o rteio dos cocursos cujos úmeros termim em zero. Assim, or exemlo, em cd um dos cocursos de úmeros,,... 9, vite or ceto do rêmio d Se ficm retidos r serem crescetdos o rêmio do cocurso. No segudo semestre de 999, reetids cumulções fizerm com que o rêmio suersse 6 milhões de reis. Esse vlor, em toro de milhões de dólres, está o ível dos rêmios de loteris do rimeiro mudo, ricilmete se levrmos em cot que, qui o Brsil, ele é iseto de imosto de red. PERGUNTAS MAIS FREQÜENTES. Ituitivmete o que sigific ter um chce em ciqüet milhões? Usulmete s essos solicitm que se fçm comrções etre ossibilidde de se ghr Meg Se, com outros evetos, como morrer de um desstre de vião, ser tigido or um rio ou mesmo morrer de câcer. A mior dificuldde em fzer tis comrções está o fto de que em todos os idivíduos d oulção têm mesm robbilidde de sofrer um desss desgrçs, equto que todos os que ostm 6 dezes, or exemlo, têm mesm chce de ghr. Fic mis fácil s essos etederem usdo exemlos urmete letórios. Por exemlo, o úmero de hbittes do Brsil é quse igul três vezes o úmero de resultdos ossíveis do sorteio. Se fosse relizdo um sorteio de três rêmios etre tods os brsileiros, su chce de ghr um desses rêmios seri rticmete igul à de ghr o rêmio máximo d Meg Se com um jogo míimo, de 6 dezes.. Existe lgum form de ostr que melhore s chces do ostdor? Ess ergut é gerlmete feit sl de ul or luos curiosos em sber se cohecemos lgum truque que os fcilite ghr o rêmio. A álise dos sorteios relizdos té hoje idic que tos s dezes são igulmete rováveis e que os resultdos de diferetes sorteios são ideedetes. Não existem elemetos cocretos que os ermitm costruir um sistem que melhore osss chces de vitóri (se existisse, rovvelmete ão estrímos ddo mis uls).. Se eu estiver disosto jogr 8 reis, é melhor fzer um úico jogo de 8 dezes ou vite e oito jogos de 6 dezes? Ess é um questão iteresste, ois, embor s dus forms de jogr sejm equivletes (suodo 8 jogos distitos de 6 dezes) o que diz reseito à se, isso ão é verdde com relção à qudr e à qui. De fto, com um úico jogo de 8 dezes existirão C 8,5. C 5, 9 resultdos ossíveis que drão o rêmio d qui o ostdor. Com um úico jogo de 6 dezes, o ostdor terá C 6,5. C 54, 4 resultdos cotedo um qui. Se os 8 jogos ão tiverem ehum qui em comum, o totl de resultdos fvoráveis será igul 8 x 4 97. A robbilidde de certrmos um qui com o segudo sistem é mis do que três vezes mior do que com o rimeiro. Ess difereç é, elo meos rcilmete, comesd elo fto de que, certdo um qui com o jogo de 8 dezes, receberemos três vezes o vlor do rêmio. 4. Vle e jogr?

Mtemátic o Esio Médio Álgebr - IA / UERJ Profs. Ilydio Pereir de Sá e Gerldo Lis 85 Do oto de vist teórico, é fácil ver que resost é ão. De fto, você estri colocdo diheiro um jogo que desti es 44% d rrecdção r os rêmios e o qul su robbilidde de ghr lgum cois que vlh e é muito eque. Pr queles que creditm sorte e gostm de rriscr de vez em qudo, vejm lgums sugestões: ) Nuc oste muito diheiro de fto, com ost de 5 dezes, que custrá 55 reis (verifique), su robbilidde de ghr o rêmio é roximdmete igul / ou,%. Portto, robbilidde de que você erc o seu diheiro é bem grde (99,99%). Se você é cz de erder cerc de 5 reis sem se imortr, é lógico que é um esso que ão recis de loteris. b) Aoste, de referêci os cocursos de fil zero Nesses cocursos você ão estrá cotribuido r o rêmio de futuros ghdores, estrá cocorredo um rêmio mior e ricilmete qutis que os outros já erderm. Pr justificr frquez de lgus em rriscr de vez em qudo, vej que, se você ode, sem scrifício disor de reis or sem e decidir licá-los um ivestimeto de cerc de % de juros o mês, teri, em vlores corrigidos, cerc de 678 reis ós um o e. coseqüetemete, cerc de 5 reis ós os. Com esse rocedimeto, su robbilidde de ficr rico é zero. Se você jogr reis or sem, robbilidde de que fique rico é quse zero, ms ão é zero...(oderemos coferir esses ddos o curso de Mtemátic Ficeir Básic). Adtdo d Revist do Professor de Mtemátic, º 4 - Flvio Wger Rodrigues (IME-USP) EXERCÍCIOS: ) DETERMINE AS PROBABILIDADES DE ACERTAR NA SENA, NA QUINA E NA QUADRA, DE UM CONCURSO DA MEGA SENA, PARA UM APOSTADOR QUE JOGOU DEZENAS. ) QUANTAS QUADRAS E QUINAS ACERTOU TAMBÉM UM JOGADOR QUE APOSTOU DEZENAS E ACERTOU A SENA? ) VAMOS CONFERIR, USANDO A ANÁLISE COMBINATÓRIA, TODOS OS DADOS CONTIDOS NAS TABELA DA MEGA-SENA APRESENTADA A SEGUIR: Vlor ds Probbilidde de Acerto ( em...) Jogds Aosts Se Qui Qudr 6, 5.6.86 54.58. 7 7, 7.5.98 44.98.8 8 8,.787.995 7.9 59 9 84, 595.998 7.79, 8.99.97 95 46, 8.6. 9 94, 54.8.7 9.76, 9.75 88 65 4., 6.67 544 48 5 5.5,. 7 7 5.5. VERIFIQUE QUE NÃO HÁ UM ÚNICO CAMINHO CORRETO... Um questão que se coloc muits vezes erte os roblems de Probbiliddes é o fto de que eles ormlmete ossibilitm váris forms distits de solução. Quse semre isso ocorre orque, erte situção descrit o roblem, odemos ecotrr diversos esços mostris, deededo d bordgem que se fç. Pr clculr robbilidde licdo defiição de Crdo/Llce, devemos dividir o úmero de csos fvoráveis elo úmero de csos ossíveis. Or, cd esço de resultdos irá

Mtemátic o Esio Médio Álgebr - IA / UERJ Profs. Ilydio Pereir de Sá e Gerldo Lis 86 corresoder um diferete úmero de csos ossíveis e, clro, um diferete úmero de csos fvoráveis. O ricil cuiddo ter é usr extmete o mesmo método cotgem dos csos fvoráveis e cotgem dos csos ossíveis, ou sej, ão mudr de esço de resultdos durte resolução. Vmos tomr como exemlo um roblem e os vários modos de resolvê-lo: Três bilhetes de ciem A rofessor de Históri resolveu levr os seus 5 luos r ver um filme. Como o ciem tem fils de recismete 5 cdeirs, comrou um fil iteir e distribuiu os bilhetes o cso elos luos. As lus A, Beth e Crl, or serem muito migs, gostrim de ficr juts e um ds extremiddes d fil. Qul robbilidde de que isso ocorr? Fzer um esquem jud, muits vezes, visulizr melhor o que se ss. As três migs querem ficr os lugres, e ou, 4 e 5. Existem elo meos qutro rocessos de resolver o roblem. º Processo Vmos esr es os três bilhetes destidos às três migs, ão os iteressdo ordem como els ocurão deois esses três lugres. O esço de resultdos é o cojuto dos teros ão ordedos. Por exemlo, um dos seus elemetos é o tero {5, 7, 5}, que corresode às três migs receberem os bilhetes 5, 7 e 5 embor ão sibmos o lugr exto em que cd um dels se vi setr. Os csos ossíveis são s diferetes meirs dels receberem os bilhetes de um cojuto de 5, ou sej, todos os teros ão ordedos formdos rtir do cojuto de 5 bilhetes. Csos Possíveis C 5, 455 Os csos fvoráveis são es : ou recebem os bilhetes -- ou os bilhetes -4-5. P(ficrem juts um ot) 455 º Processo Vmos esr os três bilhetes destidos às três migs, ms iteressdo-os gor ordem como els ocurão deois esses três lugres. Cotiumos igorr os outros bilhetes. O esço de resultdos é o cojuto dos teros ordedos. Por exemlo, um dos seus elemetos é o tero {5, 7, 5}, ou sej, A fic o lugr 5, Bel o 7 e Crl o 5. Os csos ossíveis são, ortto s diferetes meirs de els receberem bilhetes de um cojuto de 5, ms em que ordem or que recebem os bilhetes é imortte. Csos Possíveis A 5, 7 Se os bilhetes que els receberem forem, e, como ordem iteress, há seis meirs de els os ocurem (são s ermutções de ). O mesmo se ss r os bilhetes, 4 e 5. Logo, os csos fvoráveis são P, ou sej,. P(ficrem juts um ot) 7 455 º Processo Dest vez vmos cosiderr tods s meirs como os 5 luos odem setr-se os 5 lugres.

Mtemátic o Esio Médio Álgebr - IA / UERJ Profs. Ilydio Pereir de Sá e Gerldo Lis 87 O esço de resultdos é costituído or tods s ermutções dos 5 luos els cdeirs. Os csos ossíveis são, ortto s ermutções de 5. Csos Possíveis P 5 5! Se s três migs ficrem os lugres, e, odem ermutr etre si, e os outros luos tmbém. O mesmo se ss se ficrem os três últimos lugres. Etão: Csos Fvoráveis P P P(ficrem juts um ot) P P P 5 455 4º Processo Vmos clculr robbilidde edid dmitido que os bilhetes vão ser etregues um um às três migs. A rimeir vi receber o seu bilhete. Dos 5 lugres, há 6 que lhe servem (os três rimeiros e os três últimos). Chegou vez d segud. Há 4 bilhetes e el só servem os dois lugres que restm ot ode rimeir ficou. Filmete, terceir, dos bilhetes resttes, tem de receber o úico que sobr ot ode estão s migs. P(ficrem juts um ot) 6 5 4 7 455. 5.6) Probbilidde e Fvorbilidde: (Erros comus que são cometidos o cotidio) Trtremos gor de lgus sectos simles d Teori ds Probbiliddes e que ormlmete ão são exlordos em sl de ul. cofusão etre s dus medids usuis de chce ou cso: robbilidde e fvorbilidde (Chce) oção de vlor eserdo ou eserç mtemátic. ) Cofusão etre s medids usuis de chce ou cso Existem dus medids de chce: robbilidde e fvorbilidde. As dus são fcilmete relcioáveis, ms equto escol trt exclusivmete d robbilidde, muits são s situções do cotidio ode se us exclusivmete fvorbilidde, como é o cso dos jogos esortivos e s osts em jogos de zr. Além disso, oção de fvorbilidde está mis róxim d medid subjetiv de chce. Está ssim delied um situção que tede roduzir cofusões. Vle e recordrmos esses coceitos: A robbilidde de ocorrer um eveto é o quociete etre qutidde ou medid dos csos fvoráveis el qutidde ou medid de tods s ossibiliddes (fvoráveis ou desfvoráveis). Já fvorbilidde desse eveto é o quociete etre s qutidde ou medid de csos fvoráveis el dos csos desfvoráveis. No cso de um eveto com um úmero fiito de resultdos, b bos ou fvoráveis e r ruis ou desfvoráveis, temos que esss defiições odem ser escrits como: b / ( r b ) f b / r É imedito ver que o vlor de (d robbilidde) semre tem de estr etre e, e o vlor f (d fvorbilidde) etre e ifiito. As dus medids imlicm um modo diferete de esr. Por exemlo: em termos de robbilidde, um eveto tem mis chce de ocorrer do que de ão ocorrer qudo su robbilidde for mior do que.5 5%.

Mtemátic o Esio Médio Álgebr - IA / UERJ Profs. Ilydio Pereir de Sá e Gerldo Lis 88 em termos de fvorbilidde, um eveto tem mis chce de ocorrer do que de ão ocorrer qudo su fvorbilidde for mior do que um. Aesr dess difereç, s dus oções estão relciods. Com efeito, um ráid miulção lgébric os ermite exressr um em termos d outr: f / ( f ) f / ( - ) (VERIFIQUE) EXEMPLO Um micro-emresário cocluiu que há um chce de em que seu ovo egócio teh sucesso. Trduzir isso em termos de robbilidde. Solução: O emresário exressou-se d meir comum o cotidio. Trduzido isso r termiologi mtemátic, ele disse que fvorbilidde de seu egócio ter sucesso é f /,5, de modo que robbilidde de sucesso é,5/,5.6 6%. EXEMPLO Vejmos gor um situção mis roes cofusões: trtemos de exressr chce de tirrmos um o lçrmos um ddo. Se usrmos robbilidde como medid de chce, diremos que robbilidde de sucesso é / 6. Ms o jogdor refere dizer que fvorbilidde do sucesso é / 5. Clro que mior cofusão resultrá se o jogdor firmr que chce de sucesso é / 5. O ouvite oderá eteder que ele estv se referido à robbilidde. A ricil rzão dos ostdores referirem fvorbilidde, em vez de robbilidde, é que ess lhe ermite formulr diretmete sus osts. Com efeito, se ele ch que tem fvorbilidde / de ghr, ele está roto r ostr R$ cotr R$, ou R$ 5 cotr R$, etc. Isso lev outro secto iteresste. A miori dos jogdores escolhe su ost de um modo ituitivo e ssim, o dizer que ost R$ cotr $, em semre sigific que ele teh clculdo o verddeiro vlor d fvorbilidde e que mesm teh ddo f /. Cso isso efetivmete ocorr, dizemos que ost é hoest. EXEMPLO O time de José mtém um erformce de 8 vitóris or cd 9 rtids jogds e José, cofite, ost R$ cotr R$ 4 que seu time de futebol gh róxim rtid. Pergut-se: ess ost é hoest? Solução: Pr resoder, recismos clculr chce de vitóri de seu time. Poderemos dizer que 8/9 e que f 8/9 / ( - 8/9 ) 8. De modo que ost seri hoest se fosse R$ cotr R$ 4. Como são es R$ cotr os R$ 4, José está fzedo um ost desoest e que o fvorece.

Mtemátic o Esio Médio Álgebr - IA / UERJ Profs. Ilydio Pereir de Sá e Gerldo Lis 89 c) Eserç Mtemátic ou Vlor Eserdo Esse coceito surgiu tes d oção de robbilidde. Historicmete, foi itroduzido r qutificr o rovável gho de um jogdor, ms hoje é licdo s mis diverss situções. Como é muito ml etedido, vle e recordr su defiição: DEFINICÃO: Se um vriável letóri ssume vlores v, v,..., v cujs robbiliddes são, resectivmete:,,...,, sedo que..., etão o vlor eserdo dess vriável é: v v... v EXEMPLO O govero vli em %, 6%, 8% e 4% robbilidde de que ved d esttl XYZ red um lucro de R$ 5, R$ 5 e R$ 5, ou um rejuízo de R$ 5 (em milhres de reis). Qul o lucro eserdo? Solução: vlor eserdo 5*. 5*.6 5*.8-5*.4 6 milhres de reis. EXEMPLO Usdo oção de vlor eserdo, odemos fcilmete ver o quão equivocd é execttiv dos ostdores de jogos de cssio, jogo do bicho e loteris. Nesses jogos, em médi, o jogdor semre erde. Comecemos or um loteri simles e fácil de eteder: jogdores ostm $5 em um úmero de 999, recebedo $ 5 se o mesmo for sortedo. Iteressdo? Vejmos: s robbiliddes de certr e errr são:. e.999, de modo que, em cd ost, o jogdor em médi recebe: 5 *. - 5 *.999 -,495, ou sej: ele erde, em médi, $.5 cd vez que jogr. No cso d rolet mis comumete usd o Brsil: rod trz os úmeros de 6 e mis dus css eseciis deotds or e. N ost chmd "jogo o leo" o jogdor ost um desses 8 úmeros e o cssio g $6 or cd $ ostdo. Coseqüetemete, o gho eserdo do jogdor é: 6 * /8 - * 7/8 -.6 Ou sej, o jogdor erde, em médi, $.6 or cd $ jogdo. Observe que é mis lucrtivo ter cssio do que loteri. Procure verificr que o roubo id é mior se forem usds mis dus css, lu e mei-lu, e que fic meor o cso ds chmds rolets iterciois, que tem os úmeros de 6 e mis um cs. Deu r eteder or que tts "bos lms" querem leglizção dos cssios o Brsil? Probbilidde X Geétic 5.7) Alicções Áre Biomédic Geétic Um dos rmos de grde licbilidde do cálculo combitório e ds robbiliddes é Geétic. Vmos gor efocr os elemetos básicos r que um rofessor de mtemátic oss usr em sus uls, exemlos relciodos com biologi ou mesmo com medici. A) Elemetos de Geétic: Nos orgismos vivos existem dus rtes comoetes: o som e o gérmem. A segud rte é relciod com rerodução, que os imis corresode os gmets (óvulo e esermtozóide). Esses gmets, tto os msculios como os femiios, trsortm

Mtemátic o Esio Médio Álgebr - IA / UERJ Profs. Ilydio Pereir de Sá e Gerldo Lis 9 cromossoms que são estruturs em form de filmetos. Nos cromossoms é que estão cotidos os ges, que são os resosáveis el trsmissão dos crcteres hereditários. Qudo há fecudção (uião do esermtozóide o óvulo) form-se célul ovo ou zigoto, com 46 cromossoms, disostos os res é o iício de um ov vid. Os dois cromossoms que costituem cd r são deomidos cromossoms homólogos e os ges que se loclizm o mesmo lugr os cromossoms homólogos são os que chmmos de lelos. Os ges odem ser domites ou recessivos e costum-se idicr os domites or letrs miúsculs e os recessivos or letrs miúsculs, dess form, um r reresetdo or AA sigific dois ges domites. Qudo um orgismo tem dois lelos iguis r um determid crcterístic (AA, se dois domites ou, se dois recessivos) dizemos que os ges r esse cráter estão em homozigose e o orgismo, r ess crcterístic é homozigoto. Qudo os ges são diferetes (A, um domite e um recessivo), dizemos que há heterozigose e o orgismo é dito heterozigoto r ess crcterístic. O ge domite quer estej em homozigose ou em heterozigose mifest seu cráter. O ge recessivo só ode se exressr qudo estiver em homozigose (). B) Modelo Mtemático: Gerção retl (gmets 5% A e 5% ) A é domite e é recessivo. A x A A A AA A A 4 4 4 4 O qudro de ossibiliddes com sus resectivs robbiliddes é o seguite: A A AA A 4 4 A 4 4 APLICAÇÕES: ) Um csl heterozigoto com igmetção orml teve como rimogêito um criç lbi. Determir robbilidde de que seus dois róximos filhos sejm lbios, lembrdo que lbiismo é determido or um gee recessivo. SOLUÇÃO Se olhrmos tbel e o modelo mostrdos teriormete, otmos que, elo fto de ser um gee recessivo, ess crcterístic só se mifestrá o cso ( 4 ). Lembrmos tmbém que

Mtemátic o Esio Médio Álgebr - IA / UERJ Profs. Ilydio Pereir de Sá e Gerldo Lis 9 o fto d rimeir criç ter sido lbi ão ifluecirá, esse secto, o hereditriedde ds futurs criçs. Logo, robbilidde de scer um criç lbi será de, e de que os 4 dois róximos filhos sejm lbios será de. 6,5%. 4 4 6 ) A quertose (omli ele) é devid um gee domite Q. Um mulher com quertose, cujo i er orml, cs-se com um homem com quertose, cuj mãe er orml. Se esse csl tiver filhos, determie robbilidde de que os três resetem quertose. SOLUÇÃO: Mulher Homem Qq x Qq QQ Qq Qq qq Q é domite, logo 4 r cd filho scido com quertose. Como os evetos são ideedetes, teremos r os três scerem com omli, robbilidde de: 7.. 4,9% 4 4 4 64 5.8) DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL EM PROBABILIDADES Cosideremos um exerimeto com es dois resultdos ossíveis, que chmremos de sucesso e seu comlemetr, que chmremos de frcsso. Vmos reresetr or s, robbilidde de ocorrêci do sucesso e or f s, robbilidde de ocorrêci do frcsso. Por exemlo: Jogmos um ddo hoesto e cosidermos sucesso obteção do úmeros ou 4. O frcsso 4 será costituído dos resultdos:,, 5 ou 6. Teremos, esse cso, s e f. 6 6 Note, os dois exemlos resetdos que s f ou %. Temos o seguite teorem, deomido Teorem Biomil em Probbilidde: A robbilidde de ocorrerem extmete k sucessos em um seqüêci de rovs ideedetes, qul robbilidde de sucesso em cd rov é s e de frcsso é f k k - s, é igul C, s. f k. Vmos fixr d seguite form: obteção dos sucessos s k rimeirs rovs e dos frcssos, s k rovs seguites. Dess form, licdo o ricíio multilictivo, teremos k k robbilidde s.s.s... (k ftores). f.f.f.f... ( k) ftores, ou sej: s. f

Mtemátic o Esio Médio Álgebr - IA / UERJ Profs. Ilydio Pereir de Sá e Gerldo Lis 9 É clro que, em outr ordem, robbilidde seri mesm ois es ordem dos ftores se lterri. A robbilidde de obtermos k sucessos e k frcssos, em qulquer ordem é: k k s. f. Como temos C, k ordes ossíveis, teremos o resultdo eserdo:. k k C, k s. f APLICAÇÕES: ) Um luo mrc, o cso, s resosts em um teste de múltil-escolh, com questões e cico ltertivs r cd um, com es um cert. Qul robbilidde dele certr extmete 4 questões? Solução: Sbemos que s /5 ou, e que f 4/5 ou,8. Como queremos extmete 4 sucessos em rovs e os evetos são ideedetes, odemos licr o teorem biomil: 4 6 P C.,.,8,88 ou 8,8%, 4 ) Risco do efeito ftl Admitmos que robbilidde de que um esso ão morr, o rzo de um mês ós um determid oerção de câcer é 8%. Qul robbilidde de que três essos que fizerm tl oerção sobrevivm, ou sej, ão morrm em té um mês d cirurgi? Solução: Temos, este cso, s,8 e f,8. Estmos queredo que os três sobrevivm, ou sej, k, etão teremos: P C.,8.,8,554 ou 55,4%, EXERCÍCIOS RESOLVIDOS PROBABILIDADES Um moed é vicid, de form que s crs são três vezes mis rováveis de recer do que s coros. Determie robbilidde de um lçmeto sir coro. Solução: Sej k robbilidde de sir coro. Pelo eucido, robbilidde de sir cr é igul k. A som dests robbiliddes tem de ser igul. Logo, k k etão k /4. Portto, resost é /4,5 5%. Um ddo é vicido, de modo que cd úmero r tem dus vezes mis chces de recer um lçmeto, que qulquer úmero ímr. Determie robbilidde de um lçmeto recer um úmero rimo. Solução: Pelo eucido, odemos escrever: () (4) (6).().().(5). Sej () k. Poderemos escrever: () (4) (6) () () (5), ou sej: som ds robbiliddes dos evetos elemetres é igul.

Mtemátic o Esio Médio Álgebr - IA / UERJ Profs. Ilydio Pereir de Sá e Gerldo Lis 9 Etão, substituido, vem: k k k k/ k/ k/, logo, teremos k /9. Assim, temos: () (4) (6) /9 () () (5) /8 /9. O eveto sir úmero rimo corresode sir o, ou o ou o 5. Logo, () () (5) /9 /9 /9 4/9. Ds lus de um clsse, tem olhos zuis. Se dus dels são escolhids o cso, qul é robbilidde de mbs terem os olhos zuis? Solução: Existem C, ossibiliddes de se escolher dus essos etre e, existem C, ossibiliddes de escolher dus lus de olhos zuis etre s três. Logo, robbilidde rocurd será igul : P C, / C, /45 /5 4) Lç-se um ddo 8 vezes. Qul robbilidde de sir extmete 5 úmeros iguis? Solução: Sejm os evetos: Eveto A: sir o úmero ; Eveto comlemetr de A A : ão sir o úmero. Teremos: (A) /6 e (A ) /6 5/6 Portto, robbilidde rocurd, licdo-se o teorem biomil, será dd or:,4 ou,4% 5) UNESP - Num cidde com domicílios, domicílios recebem regulrmete o jorl d loj de eletrodomésticos X, 8 recebem regulrmete o jorl do suermercdo Y e metde do úmero de domicílios ão recebe ehum dos dois joris. Determie robbilidde de um domicílio d cidde, escolhido o cso, receber o jorl d loj de eletrodoméstico X e ão receber o jorl do suermercdo Y. SOLUÇÃO: Sej o úmero de essos que recebem os dois joris: Teremos: - 8-5 Logo,. Portto, domicílios recebem os dois joris.

Mtemátic o Esio Médio Álgebr - IA / UERJ Profs. Ilydio Pereir de Sá e Gerldo Lis 94 Dess form, teremos 7 domicílios que só recebem o jorl do suermercdo X. Logo, robbilidde rocurd será 7 /,, % EXERCÍCIOS GERAIS PROBABILIDADES QUESTÕES DE CONCURSOS )(Cocurso r Professores do Esio Médio Govero do Estdo do Rio de Jeiro 99) A tbel seguite forece, or sexo e or curso, o úmero de estudtes mtriculdos um colégio estdul. Homes Mulheres Form. Gerl 4 Form. De Professores 8 Escolhedo, o cso, um desses estudtes obteh s seguites robbiliddes: A) do elemeto escolhido ser homem ou ser do curso de formção gerl B) do elemeto escolhido ser mulher, ddo que é do curso de formção de rofessores. ) (Cocurso r Professores Mcé Esio Fudmetl) Um comissão de elemetos será escolhid etre os luos: Ari, Berrdo, Crlos, Dvid, Eurico, Ferdo e Gustvo. A robbilidde de Gustvo ertecer ess comissão é de, roximdmete: ) 4% b) 45% c) 47% d) 49% ) (Cocurso r Professores CEI RJ 996) Observe figur bixo. Est figur sugere um rolet de um rogrm de televisão. Gir-se o oteiro e otse o úmero que ele ot o rr; reete-se oerção. A robbilidde de que o roduto dos úmeros obtidos sej igul 6, é: ) /9 b) /6 c) ¼ d) / e) ½ 4) (Cocurso r Professores Esio Médio Rede Estdul RJ 997) Um jogo de loteri, cohecido como Qui d Felicidde, é comosto de um crtel umerd de 5 (,,...5). É cosiderdo vecedor o ostdor que coseguir certr qui (coleção de 5 úmeros) sorted detre os 5 úmeros. João fez es um jogo com dezes e Pedro fez 5 jogos distitos de 5 dezes. Quem tem mior robbilidde de vecer? Quis são esss robbiliddes? 5) (Cocurso r Professores Esio Fudmetl SME Vleç RJ 998) A turm 8 d Escol Eserç é costituíd de meis e 8 meios. Com o objetivo de orgizr um gic escol, desej-se selecior luos r reresettes de turm. Qul robbilidde roximd de que ess comissão de reresettes teh extmete meis e meio? 6) (Cocurso r Professores Esio Fudmetl SME de São Goçlo RJ 998) Dois ddos (cúbicos) distitos e hoestos são lçdos sobre um mes. A robbilidde d som dos vlores obtidos s fces sueriores ser igul 5 é de:

Mtemátic o Esio Médio Álgebr - IA / UERJ Profs. Ilydio Pereir de Sá e Gerldo Lis 95 ) / b) ¼ c) /5 d) /6 e) /9 7) (Cocurso r Professores Esio Médio FAETEC RJ 998) Num setor em que trblhm 6 homes e 4 mulheres, será escolhid, or sorteio, um comissão de reresettes desse setor. A robbilidde de que comissão veh ser formd somete or homes é de: ) ½ b) / c) ¼ d) /5 e) /6 8) (Cocurso r Professores Fudção Educciol de Brr Ms 998) Um cix cotém bols umerds de. Retirdo-se um dels o cso, robbilidde de que el estej umerd com um úmero múltilo de é de: ) 6,5% b) 7,% c) 7,5% d) 8,% e) 8,5% 9) (Cocurso de Professores SME do Rio de Jeiro 998) Teres desej comrr eriquitos um loj que tem igul úmero de mchos e fêmes. Se Teres escolhe o cso dois eriquitos, robbilidde de que el comre dos eriquitos mchos é: ) 5% b) 5% c) 75% d) 8% e) 85% 8) (Cocurso de Professores SME de Mesquit ) Retirdo-se 4 bols de um cix cotedo bols brcs, 4 bols vermelhs e 5 bols rets, robbilidde de que elo meos um ds 4 bols retirds sej brc é: ) 4/55 b) 4/55 c) 55/4 d) /55 ) (Cocurso r Professores Esio Médio Rede Estdul RJ ) Mrcos e Celi querem ter filhos. A chce de que o csl teh três filhs é de: ) % b),5% c),% d) 7,5% ) (Cocurso r Professores Esio Médio Rede Estdul RJ ) Oito otos sobre um circuferêci são os vértices de um octógoo regulr. Se 4 desses oito otos forem escolhidos letorimete, robbilidde de se obter um qudrdo é: ) /7 b) /5 c) /5 d) /7 4) (Cocurso r Professores Esio Fudmetl SME de Duque de Cxis ) Em um gruo de essos, robbilidde de que ele hj, elo meos, dus essos scids um mesmo mês é igul : ), b),6 c),8 d) e) 5/ 5) (Cocurso r Professores Esio Fudmetl SME de Niterói ) Dois ddos ão vicidos são lçdos simultemete. A robbilidde de sir som meor do que 5, s fces voltds r cim desses dois ddos, é: ) /8 b) 5/8 c) /9 d) /6 e) 5/9 ) ) 68% b) 8% GABARITO ) A ) A 4) João,9 e,4 5) 46 % 6) E 7) B 8) C 9) A ),98 % ) A ) B ) B 4) D 5) B Nem mesmo tod ciêci do homem lhe bstri r cohecer extesão d su igorâci." (Leoi Kseff)

Mtemátic o Esio Médio Álgebr - IA / UERJ Profs. Ilydio Pereir de Sá e Gerldo Lis 96 V) Mtrizes e Determites. Itrodução Qudo utilizmos rogrms gráficos os comutdores ão os dmos cot do que está or detrás ds oerções que efetumos, ms é bom que sibmos que ests oerções só são ossíveis orque tes mesmo de serem desevolvidos os comutdores, o homem já hvi desevolvido teori ds mtrizes. Progrms como o Word, o Excel e outros, ão oderim ser cridos se ão existissem s mtrizes. Cd movimeto executdo com um figur colocd tel de seu comutdor corresode um oerção de mtrizes. A gerção dos movimetos e deformções que vemos os efeitos eseciis de ciem, d televisão, dos gmes de comutdores e em iúmers simulções cietífics está bsed multilicção de mtrizes. Nests licções, osso roblem reside ridez com que recismos relizr s multilicções r que os resultdos reçm mis relísticos. É í, extmete que etr iformátic e quto mis ágeis forem os co-rocessdores de ossos comutdores, tto mis e melhores serão os beefícios que deles odemos usufruir. Problems que evolvem cmos elétricos, mgéticos, de tesões elástics, térmics, e etc, são reduzidos sistems de equções lieres com úmero excessivmete grde de equções e icógits cuj solução só é lusível com o uso de mtrizes. Só r termos um idéi de o quto s mtrizes fzem rte de osss vids, bst sber que distribuição de eergi elétric, de gás e outros serviços como telecomuicção serim bsolutmete iviáveis em grde escl, como s redes estduis, ão fosse o uso de mtrizes gigtescs oerds or comutdores. É bem comum o osso cotidio estrmos iteressdos em comrr medids ou sectos de diversos objetos. A form mis eficiete de fzermos isso é, trvés de um tbel de dul etrd ode, um ds etrds relciomos os objetos serem observdos e outr, s medids ou sectos que queremos comrr. Por exemlo, suoh que estmos recisdo comrr feijão, rroz, çúcr e cfé. Vmos esquisr os meores reços os suermercdos Brtão, Bom Demis e Pgue Pouco e r otrmos seus reços fzemos seguite tbel: Feijão(Kg) Arroz(Kg) Açúcr(Kg) Cfé(Kg) Brtão,98,,55 4, Bom Demis,,8,5,95 Pgue Pouco,8,4, 4,5 Um mtriz é extmete um tbel como que costruímos cim com úic difereç que ão eftizmos os sigificdos ds lihs e colus (tlvez or já estr exlícito).,98,,8,,8,4,55,5, 4, %,98,95 ou, 4,5 $,8,,8,4,55,5, 4,",95 4,5! Se o úmero de objetos serem observdos, for muito grde disosição em form de mtriz tor-se id mis eficiete. Nturlmete que o úmero de lihs e colus d mtriz, isto é, o tio de mtriz, deede exclusivmete do roblem que está sedo lisdo. Em gerl omemos s mtrizes com s letrs ltis miúsculs. Um mtriz A que ossui m lihs e colus ode ser reresetd or:

Mtemátic o Esio Médio Álgebr - IA / UERJ Profs. Ilydio Pereir de Sá e Gerldo Lis 97......... A mx................... m..... m ( ij ) mx Qulquer elemeto d mtriz A é d form ij, ode os ídices i e j servem es r idicr, resectivmete lih e colu do elemeto cosiderdo..tios Eseciis de Mtrizes. Mtriz lih É um mtriz d form x. Por exemlo: [ 7] B x. Mtriz Colu É um mtriz d form mx. Por exemlo :. Mtriz Nul C 5x % " 6 $ 4! È um mtriz de qulquer tio, cujos elemetos são todos ulos. Exemlo D x % " $!.4 Mtriz Qudrd % " É um mtriz que tem o mesmo úmero de lihs e colus. Ex E x. $ 5! Um mtriz qudrd de lihs e colus é deomid mtriz qudrd de ordem ou mtriz x. Existem dois cojutos de elemetos de um mtriz qudrd que merecem destque, e que são chmdos de Digol Pricil e Digol Secudári. Os elemetos de um mtriz qudrd A de ordem tis que i j, costituem Digol Pricil e os elemetos dess mesm mtriz A tis que i j, costituem Digol Secudári. Exemlo. % 4 6" Sej mtriz A $ 5 9! A Digol Pricil é o cojuto DP {,,9} e Digol Secudári é o cojuto DS { 6,,}.5 Mtriz Trigulr É um mtriz qudrd ode todos os elemetos cim ou todos os elemetos bixo d digol ricil são ulos.

Mtemátic o Esio Médio Álgebr - IA / UERJ Profs. Ilydio Pereir de Sá e Gerldo Lis 98 Ex M % $ 5 " 7! N % $ 5 " 4!.6 Mtriz Digol É um mtriz qudrd cujos elemetos for d digol ricil são todos ulos. % " Ex. 5 F $ 4!.7 Mtriz Idetidde É um mtriz digol qul todos os elemetos d digol ricil são iguis uidde. Abixo resetmos exemlos de mtrizes idetiddes de ª, ª e ª ordem. % " % " I [ ] I I $! $!.8 Mtriz Simétric É um mtriz qudrd ode se observ ij ji.9 Mtriz Ati-simétric É um mtriz qudrd ode se observ. Iguldde de Mtrizes ij Dus mtrizes A e B são iguis qudo são do mesmo tio mx e resetm elemetos que ocum mesm osição, iguis. A e B b, etão A B * ij bij Se ( ) ( ) ij mx ij mx 4.Mtriz Trsost Cosidere um mtriz M do tio mx, chmmos de mtriz trsost de M (reresetmos t or M ) mtriz do tio xm que se obtém trocdo ordedmete s lihs els % 7 " % 8 " t colus d mtriz M. Ex. M 8 6 trsost será mtriz M 7 6 4 $ 4! $! 5. Oerções de Mtrizes 5. Adição de mtrizes Dus mtrizes são coformes r dição se forem do mesmo tio, e isto sigific que se s mtrizes ão forem do mesmo tio ão estrá defiid dição etre els. Dds dus mtrizes do mesmo tio mx A ( )mx B, dição dests mtrizes tem como ij e ( b ij ) mx ji

Mtemátic o Esio Médio Álgebr - IA / UERJ Profs. Ilydio Pereir de Sá e Gerldo Lis 99 resultdo um outr mtriz do mesmo tio, digmos ( c ij ) mx todo i {,,,...m} e todo j {,,,...,} C tl que c ij ij r bij 5.. Prorieddes d Adição de Mtrizes A justifictiv r vlidde ds rorieddes bixo resetds decorre do fto de que dicior mtrizes imlic dicior elemetos (úmeros reis) que ocum s mesms osições s mtrizes. Como dição de úmeros reis reset ests rorieddes, els serão reservds r dição de mtrizes. A B B A Proriedde Comuttiv Proriedde Associtiv A ( B C ) ( A B ) C Existêci do Elemeto Neutro A A A O símbolo, qui usdo, rereset mtriz ul de mesmo tio que A Existêci do Elemeto Oosto A (-A) A mtriz oost reresetd elo símbolo A, é mtriz que se obtém qudo trocmos o sil de todos os elemetos d mtriz A. Trsost d Som t t (A B) A B t Covém eftizr que se A é um mtriz ti-simétric, etão A t A. Exemlo de um mtriz ti-simétric: - A. Observe que os elemetos d digol ricil são todos ulos. 6. Multilicção de um Mtriz or um Esclr Cosiderd um mtriz A do tio mx e um úmero rel, o roduto.a é mtriz do tio mx que se obtém multilicdo todos os elemetos de A or, ou sej, Se A e,.a., i e. ( ) ( ) j ij mx 6. Prorieddes d multilicção de mtriz or esclr ij mx Sejm A e B mtrizes do mesmo tio e e. A... A B.A.. A.A 6.. ( ) ( )A 6.. ( ).B 6.. ( ).B úmeros reis.

Mtemátic o Esio Médio Álgebr - IA / UERJ Profs. Ilydio Pereir de Sá e Gerldo Lis t 6..4 (. A).A. 6..5. A A. t 6. Multilicção de Mtrizes A Be b Sejm s mtrizes ( ij ) ( jk ) mx x. O roduto de A or B ( rereset-se A.B ou AB) é mtriz C ( c ik ) mx, ode qulquer elemeto c ik é som dos rodutos dos elemetos d i-ésim lih de A elos corresodetes elemetos d k-ésim colu de B. c ik i. b k i. bk i. bk... im.. bk. Observe que r defiir multilicção de mtrizes é codição sie qu o que s mtrizes tehm s seguites crcterístics: o úmero de colus d rimeir mtriz tem que ser igul o úmero de lihs d segud e mtriz resultte terá, or vi de coseqüêci, o úmero de lihs e colus resectivmete iguis o úmero de lihs d rimeir e o úmero de colus d segud mtriz. D defiição cim, decorre que multilicção de mtrizes ão é comuttiv, ou sej, se A e B são dus mtrizes é flso firmr que A.B B.A. Etretto se s mtrizes A e B forem qudrds e de mesm ordem ode cotecer de que A.B B.A. Neste cso, dizemos que s mtrizes A e B, comutm. Há um disositivo rático que fcilit sobremodo multilicção mtricil que - - ssremos exor. Cosidere s mtrizes A e B 5 O roduto 4 5 7 8 de A or B se obtém rmdo um disositivo semelhte um jogo d velh e escrevedose os elemetos ds mtrizes como mostrmos seguir:. - A.B 5 7 8-4 5 - -(-)..7.(- )..7 4(-) 5. (-).7 -..5.8..5.8 4. 5.5 (-).8 A som dos rodutos dos elemetos ds lihs d mtriz A elos elemetos ds colus d mtriz B são colocdos o 4º qudrte do jogo d velh. Assim, o resultdo rocurdo é 4 A.B 5 9 5 Covém otr que o roduto B.A sequer é ossível e mtriz A.B tem o mesmo úmero de lihs d mtriz A e o mesmo úmero de colus d mtriz B.

Mtemátic o Esio Médio Álgebr - IA / UERJ Profs. Ilydio Pereir de Sá e Gerldo Lis 6. Mtriz Ivers Dd um mtriz qudrd A, chmmos de mtriz ivers de A e reresetmos or - - mtriz que tede seguite codição A.A A.A I - A 6.4 Prorieddes do Produto de Mtrizes Associtiv A.(B.C) (A.B).C Distributiv à Direit em Relção à Adição (A B).C A.C B.C Distributiv à Esquerd em Relção à Adição A.(B C) A.B A.C Trsost do Produto t A.B t B.A ( ) t Ivers do Produto A. B. AB ( ) Tmbém é válid seguite roriedde : (A.B) (.A).B A.(.B),, A ij. Cosidere mtriz ( ) x Exercícios tl que / i j se i <, ij. Costru mtriz A. -i j se i. Cosidere seguite mtriz, qudrd de ordem : % 4 m...... " A m 8.... $ 6! Sedo A um mtriz ti-simétric, determie os termos e.,. Sej A um mtriz qudrd de ordem, mtriz ul de mesm ordem, e t A mtriz trsost de A.. A O Demostre que, se A t, etão A O. A ij 4. Sej ( ) x mtriz dos elemetos ij ( j), / cos se i j. i. Determie mtriz se, se i j - A.

Mtemátic o Esio Médio Álgebr - IA / UERJ Profs. Ilydio Pereir de Sá e Gerldo Lis 5. Cosidere s mtrizes: A % $ 5 "! e % " B. $ 4 7! ) determie o termo x b) determie o termo x d mtriz ( A.B). d mtriz (A.B). 6. Sejm s mtrizes A e B. - Determie mtriz X, tl que X A. B 7. Obter segud lih d mtriz A sbedo que: A % 6 $ " 8 7! 8. Clculr ( A A ), sbedo que A % $ 5 " 8! 9. Clculr ( A A )( ) AA sbedo que % A $ 8 " 7!. Clculr, suodo que exist, ivers d mtriz sobre, b, c, d r que exist A? % A $ c b". Qul é codição d! Resosts. A. 4; 8;. Tome um mtriz de 4 6 8 ª ordem qulquer, costru trsost efetue o roduto e use iguldde de mtrizes. 4. A 5. x 4 x 4 6. X 7. ; ; 8. 9. 88 7 88 88

Mtemátic o Esio Médio Álgebr - IA / UERJ Profs. Ilydio Pereir de Sá e Gerldo Lis. d b d bc d bc A e d bc c d bc d bc Testes de Vestibulres. (Ftec-SP) Sej A ( ij ) um mtriz qudrd de ordem tl que i j / r i < j ij.. Nests codições: - i r i j 4 8 8 ) A b) A c) A 8 5 5 6 5 5 8 d) A e) d. 5. (UFMT) Sejm s mtrizes ( ) x b ij i j e C ( c ij ) x tl que c ij ij A tl que ij j i ij ; B ( b ) x tl que. O elemeto de mior módulo detre os que formm digol ricil d mtriz P, ode P AB C, é: ) b) 9 c) d) - e) -5 8. (UFU-MG) Se A é um mtriz digol de ordem tl que A, etão A 7 é mtriz: ) b) c) d) e) 4. (UFRS) A mtriz C forece, em reis, o custo ds orções de rroz, cre e sld, usdos um resturte. A mtriz P forece o úmero de orções de rroz, cre e sld usdos comosição dos rtos tio P,, PP desse resturte. rroz cre sld rroz rto P C cre P rto P sld rto P A mtriz que forece o custo de rodução, em reis, dos rtos P, P, P é: ij ) 7 9 8 b) 4 4 4 c) 9 4 d) 6 8 e) 4

Mtemátic o Esio Médio Álgebr - IA / UERJ Profs. Ilydio Pereir de Sá e Gerldo Lis 4 5. (ITA-SP) Sedo A, etão o elemeto d terceir lih e rimeir colu de su ivers será igul : ) 8 5 b) 9 c) 6 d) e) 6. (UFU-MG) A solução d equção mtricil B X A t, ode t A B A e, é trsost de A, é: ) b) ( ) c) 6 d) e) ão existe mtriz X. 7. (MACKENZIE-SP) Com relção à mtriz A ltertiv corret é: ) 9 I A b) A A c) A A d) A A e) 8 I A 8. (CESGRANRIO) Pr que vlores de k existe um úic mtriz y x, tl que y x k k? ) k b) k c) k ou k d) k e k e) k e k

Mtemátic o Esio Médio Álgebr - IA / UERJ Profs. Ilydio Pereir de Sá e Gerldo Lis 5 9. (UNIRIO) Pr que mtriz se A se se cos cos, sej iversível, é ecessário que: ) k 4 b) k c) k d) k e) k ±. (UERJ) Cosidere s mtrizes % 994994 A $ 994994 994994" 994995! e % B $ "! Sej A A. A e B B. B. Determie mtriz C A B ( A B)( A B) ) % " $! b) % $ "! c) % " $! d) % $ "! % " e) $! Resosts dos Testes. c. d. 4. 5. b 6. d 7. e 8. e 9. c. 7. Determites Determite ssocido um mtriz qudrd, é o úmero rel obtido de form úic or meio de oerções efetuds com os elemetos de mtriz. Ates de drmos um defiição forml de determite de um mtriz qudrd qulquer, otmos or fzer um resetção homeoátic, mostrdo rimeirmete como clculr determites de mtrizes de ª, ª e ª ordes. N verdde esses determites são os mis usdos os roblems que são borddos o Esio Médio. Em seguid dremos um defiição gerl e costtremos que form como clculmos os determites té ª ordem está bsolutmete de cordo com est defiição 7. Determite de ª ordem O determite de um mtriz de ª ordem é igul o úico elemeto d mtriz. Portto, se A ( ), o seu determite será igul o elemeto, reresetmos esse fto escrevedo det A. 7. Determite de ª ordem O determite de um mtriz qudrd de ª ordem é igul o roduto dos elemetos d digol ricil meos o roduto dos elemetos d digol secudári. Se A, etão det A...

Mtemátic o Esio Médio Álgebr - IA / UERJ Profs. Ilydio Pereir de Sá e Gerldo Lis 6 7. Determite de ª ordem O determite ssocido um mtriz qudrd de ordem é obtido trvés d seguite seqüêci oerciol: Idic-se, r simlificr o rocesso, utilizção do disositivo de Srrus, que cosiste reetição orded ds dus rimeirs colus ós brr verticl direit e s multilicções (, recedids do sil ) dos elemetos situdos direção d digol ricil e ( multilicções, recedids do sil -) dos elemetos situdos direção d digol secudári. - - - 8. Prorieddes dos determites O cálculo do determite ssocido á um mtriz ode ser simlificdo trvés de certs rorieddes. A seguir serão descrits lgums desss rorieddes e, r tl, deve-se cosiderr: i) A e B mtrizes qudrds de ordem m ; e ii) um fil como sedo um lih ou um colu. Proriedde - o determite de um mtriz é igul o determite d su trsost t det A det( A ). Proriedde - se todos os elemetos de um fil de A forem ulos, etão det A. Proriedde - se dus fils rlels de A forem trocds de osição, será obtid um mtriz B, tl que det B - (deta). Proriedde 4 - se todos os elemetos de um fil de A forem multilicdos or úmero rel k, obter-se-á um mtriz B, tl que det B k(deta), k R. Proriedde 5 se dus fils rlels de A forem formds or elemetos resectivmete iguis, etão det A. Proriedde 6 - se dus fils rlels de A forem itegrds or elemetos resectivmete roorciois, etão det A. Proriedde 7 - Teorem de Jcobi diciodo à fil de A um outr fil rlel (revimete multilicd or k R ), obter-se-á um mtriz B, tl que: det B det A. Proriedde 8 - Teorem de Biet det (A.B) (deta).(det B) Proriedde 9 - se A é um mtriz trigulr (ver item.5), etão det A é igul o roduto dos elemetos d digol ricil de A. Proriedde - se um fil de A é comosição lier de outrs fils rlels, etão det A.

Mtemátic o Esio Médio Álgebr - IA / UERJ Profs. Ilydio Pereir de Sá e Gerldo Lis 7 Exemlo: A 7 4 5 4...4 ( ).5 ( ).( 4) 4 5 4 Observe que ª colu é combição lier d ª e d ª colus, e, ortto, det A. Proriedde - se mtriz A é iversível, etão det( A ). com det A. det A 9. MENOR COMPLEMENTAR E COFATOR de um elemeto ij qudrd A, o determite que se obtém elimido lih i e colu j d mtriz. Defiição : Chm-se Meor Comlemetr ( Dij ) Por exemlo, dd mtriz A 6 7, o meor comlemetr do 5 de um mtriz elemeto 7, de cordo com defiição cim seri o seguite determite: 7 D. De modo álogo odemos clculr D 4 ; 6 6 5 7 6 D ; D 8 ; D 9 ; D ; 5 6 5 5 D ; D 4 e filmete D 9 7 7 Defiição : Chm-se Coftor de um elemeto ij de um mtriz o úmero ij i j ( ) Dij C. Assim o coftor do elemeto d mtriz dd cim é : ( ). D 4 C. Defiição Gerl de Determites A defiição gerl r o determite de um mtriz x será dd elo seguite: Teorem de Llce O determite de um mtriz qudrd é igul à som dos rodutos dos elemetos de um fil ( lih ou colu)elos seus resectivos coftores. O teorem de Llce os ermite clculr o determite de um mtriz de qulquer ordem. Como já temos regrs rátics r o cálculo de determites de ª, ª e ª ordem, só recorremos esse teorem r o cálculo de determites de 4ª ordem em dite. Covém ressltr que o teorem de Llce os ossibilit bixr ordem do determite. Assim, su licção à um determite de 4ª ordem, imlicrá o cálculo de 4 determites de ª ordem. A est ltur, ode-se erceber que o cálculo de determites de 5ª ordem em dite, mesmo com licção do teorem de Llce, é um tref extremmete lborios e que justific lemete o uso de lilhs eletrôics, como or exemlo, o rogrm Lótus -- ou Excel. De qulquer modo, escolh de um fil com o mior úmero ossível de elemetos ulos fcilit, or rzões óbvis, licção deste teorem.

Mtemátic o Esio Médio Álgebr - IA / UERJ Profs. Ilydio Pereir de Sá e Gerldo Lis 8 - SOBRE MATRIZ INVERSA. Coforme foi observdo o item 6. d uidde sobre mtrizes, form de se obter, se existir, ivers de um mtriz evolve um rocesso ouco rático. No etto, se um mtriz é iversível de ordem, ode-se recorrer à um técic ltertiv r obteção de A. b se A d b A c d det A c N verdde, é ossível geerlizr o rocesso cim r ecotrr ivers de um mtriz de um ordem qulquer, r tto vmos defiir mtriz djut de um mtriz dd Defiição. Chm-se mtriz coftor de um mtriz A (rereset-se or cof A) mtriz que se obtém substituido-se cd elemeto d mtriz A elo seu resectivo coftor. Adj. A cof A, isto é, mtriz trsost d mtriz coftor d mtriz A dd. Agor é ossível ecotrr mtriz ivers de um mtriz A qulquer d seguite form: A Adj A, ou sej, devemos ecotrr mtriz djut d mtriz A e dividi-l elo det A determite de A. Defiição. Chm-se mtriz djut de um mtriz A, mtriz ( ) t.. Se A é um mtriz qudrd de ordem m, existirá A se, e somete se, det A.. Determite Esecil de Vdermode. Determite de Vdermode (ou de otêcis) é quele formdo com otêcis sucessivs de bses distits, b, c,..., k,. l 4 44 Exemlo b c...... k l D b c...... k l b c... k l O cálculo do determite de Vdermode se efetu segudo seguite exressão: D b c... l c b d b... k b l c... k j l j l k ( )( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )( )( ) Exercício. Desevolver o determite de Vdermode de bses 7, 4, 8,. Solução:

Mtemátic o Esio Médio Álgebr - IA / UERJ Profs. Ilydio Pereir de Sá e Gerldo Lis 9 7 Trt-se de um determite de 4ª ordem cuj mtriz é : 49 4 vlor D do seu determite será: 4 6 64 8 64 5. Etão o 9 8 D ( 4 7)( 8 7)( 7)( 8 4)( 4)( 8).. ( 4 ).4.( )(. 5) 4 Exercício. Clcule o determite de Vdermode de bse x, ( x), ( x). Solução: Chmdo de D o vlor do determite, temos: [( x) x].[( x) x].[( x) ( x) ] ( x)( x).x 6x 8x x D. Abixmeto d ordem de um Determite Regr de Chió Pr bixr ordem de um determite, usmos seguite regr tribuíd o mtemático Chio: i) Escolhe-se um elemeto igul (ão hvedo, use s rorieddes e tore um elemeto igul ) ii) Elimie lih e colu que se cruzm o elemeto escolhido, e obteh ssim o meor comlemetr deste elemeto. iii) Subtri de cd elemeto do meor comlemetr obtido, o roduto dos elemetos ds fils surimids que se cruzm esse elemeto. iv) O determite obtido et terior deve ser recedido do sil ( ) i j, ode i e j reresetm lih e colu que ertece o elemeto escolhido. Exemlo. Use regr de Chio r clculr o determite: 5 4. Solução Escolhemos o elemeto que ocu lih e colu, isto é, i e j. Portto temos: 5 4. 5.. ( ). ( ) ( )( 4 5) 54 4. 5 EXERCÍCIOS Série 4. Dê o vlor do determite bixo sob form de um roduto de ftores.

Mtemátic o Esio Médio Álgebr - IA / UERJ Profs. Ilydio Pereir de Sá e Gerldo Lis c b b b. Dd mtriz 4 5 6 A, clcule seu determite usdo regr de Srrus.. Usdo defiição gerl, clcule o determite d mtriz 5 8 7 A 4. Ecotre o vlor de k r que mtriz bixo sej iversível. 8 5 7 k. 5. Clcule 9 4 6. Clcule x de modo que x x 7. Clcule o vlor do determite : l b............... 8. Usdo iformção dd em 9., clcule ivers d mtriz A

Mtemátic o Esio Médio Álgebr - IA / UERJ Profs. Ilydio Pereir de Sá e Gerldo Lis 9. (FATEC-SP) Dê o cojuto X dos úmeros que stisfzem equção x x x. Clcule os seguites determites: ) 4 b) 4 4 Resosts Exercícios Série.. ( )( ) c b b. -. 9 4. 5 k 5. 6. x 7...b.c...l 8. A 9. X { -,, }. ) b) 4 EXERCÍCIOS Série. Usdo rorieddes de determites descubr quis detre s mtrizes bixo têm determite ulo.! " $ % 4 5 6 6 9 4 5 A! " $ % 5 5 8 9 6 9 B! " $ % 5 4 8 C! " $ % 5 4 6 8 6 4 D! " $ % 7 5 4 9 E! " $ % 5 8 6 5 4 5 5 4 F. Sedo! " $ % 5 5 A, clcule det A.. Use regr de Chio r bixr ordem e resolver o determite:

Mtemátic o Esio Médio Álgebr - IA / UERJ Profs. Ilydio Pereir de Sá e Gerldo Lis 5 4 6 5 4. Obter x de modo que se teh: 4 6 4 5 7 5 x x x x 5. Clcule o determite: 7 5 4 8 6 6. Prove que o determite 5 9 6 5 é múltilo de. 7. Clcule o vlor do determite 9 5 5 4 8. Dds s mtrizes! " $ %! " $ % 5 e 6 4 5 c b B c b A de determites ão ulos, r quisquer vlores de reis de, b e c, que relção deve existir etre os de termites de A e B. 9. Sej mtriz! " $ % 9 8 7 6 5 4 k k k k k k k k k M qul os elemetos 9...,,,, kk k k, formm um P.G., determie o vlor de det M.. Clcule o vlor de x, sbedo que o determite d mtriz! " $ % x x x 4 é igul 56 Resosts EXERCÍCIOS SÉRIE. A, B, D, E e F.. 4 4. 5. - 6. use roriedde 4 7. 6 8. det A.det B. 9. zero. 8

Mtemátic o Esio Médio Álgebr - IA / UERJ Profs. Ilydio Pereir de Sá e Gerldo Lis ) Itrodução: Sistems Lieres O que é um equção lier? E um sistem lier? Neste cítulo ão só resoderemos às erguts cim, como mostrremos diverss licções imorttes, o cotidio, relciods com esse tem. Mostrremos id como s mtrizes e os determites que, estudmos o cítulo terior estão tmbém relciods com esse tem. Exemlo: Um comhi de vegção tem três tios de reciietes A, B e C, que crreg crgs em cotiers de três tios I, II e III. As cciddes dos reciietes são dds el mtriz: Tio do Reciiete I II III A 4 B 5 C Quis são os úmeros de reciietes x, x e x de cd ctegori A, B e C, se comhi deve trsortr 4 cotiers do tio I, 7 do tio II e do tio III? Motgem do sistem lier (ou sistem do º gru) 4 x 5 x x 4 x x x 7 x x x Arthur Cyley (8-895): Mtemático iglês scido em Richmod, dilomou-se o Triity College de Cmbridge. N su vid, Cyley ecotrou rivis em Euler e Cuchy sedo eles três grdes rodutores de mteriis o cmo d Mtemátic. Em 858, Cyley resetou reresetções or mtrizes. Segudo ele, s mtrizes são desevolvids rtir d oção de determite, isto é, rtir do exme de sistems de equções, que ele deomiou: o sistem. Cyley desevolveu um Álgebr ds mtrizes qudrds em termos de trsformções lieres homogêes. Equção lier É um equção d form x x x... x b ode x, x,..., x são s icógits;

Mtemátic o Esio Médio Álgebr - IA / UERJ Profs. Ilydio Pereir de Sá e Gerldo Lis 4,,..., são os coeficietes (úmeros reis ou comlexos); b é o termo ideedete (úmero rel ou comlexo). Exemlos de equções lieres. 4 x y - z. x - y z - w -. x - x 5 x Exemlos de equções ão-lieres. x y x -4. x y 9. x y - z w 4. x y -9 Solução de um equção lier Um seqüêci de úmeros reis (r,r,r,r 4 ) é solução d equção lier x x x 4 x 4 b se trocrmos cd x i or r i equção e este fto imlicr que o membro d esquerd é ideticmete igul o membro d direit, isto é: r r r 4 r 4 b Exemlo: A seqüêci (5,6,7) é um solução d equção xy-z4 ois, tomdo x5, y6 e z7 equção dd, teremos: 5 6-7 4 Exercícios resolvidos: - Se o tero ordedo (, 5, ) é solução d equção lier 6x - 7y z 5, qul o vlor de? Solução: Teremos or simles substituição, observdo que x, y 5 e z, 6. -7.5. 5. Logo, - 5 5. Dí vem imeditmete que 8 e ortto, 4. - Escrev solução geéric r equção lier 5x - y z 4, sbedo que o tero ordedo (,, ) é solução.

Mtemátic o Esio Médio Álgebr - IA / UERJ Profs. Ilydio Pereir de Sá e Gerldo Lis 5 Solução: Podemos escrever: 5-4. Dí, tirmos: 4-5. Portto, solução geéric será o tero ordedo (,, 4-5 ). Observe que rbitrdo-se os vlores r e, terceir vriável ficrá determid em fução desses vlores. Por exemlo, fzedo-se,, teremos 4-5 4-5.. 5, ou sej, o tero (,, 5) é solução, e ssim, sucessivmete. Verificmos ois que existem ifiits soluções r equção lier dd, sedo o tero ordedo (,, 4-5 ) solução geéric. Agor resolv estes: - Qul o cojuto solução d equção lier x y z? Res : S - Determie o vlor de, sbedo-se que qudr orded (,, -, ) é solução d equção x 4y - 5z t. Res : - 7/6 ) Sistems de equções lieres Um sistem de equções lieres ou sistem lier é um cojuto formdo or dus ou mis equções lieres. Um sistem lier ode ser reresetdo form: ode x x... x b x x... x b............ m x m x... m x b x, x,..., x são s icógits;,,..., m são os coeficietes; b, b,..., b m são os termos ideedetes. ) Reresetção Mtricil de um Sistem de Equções Lieres: %... $ m m......... m % x " % b " " x b. x b......! $ x! $ bm!

Mtemátic o Esio Médio Álgebr - IA / UERJ Profs. Ilydio Pereir de Sá e Gerldo Lis 6 Pode-se semre usr reresetção mtricil de um sistem e simlificr su escrit, trblhdo direto com s mtrizes que o reresetm. OBS: %... $ m m......... m "! A mtriz o ldo é deomid de mtriz icomlet do sistem lier. %... $ m m......... m b b b m "! A mtriz o ldo é deomid de mtriz comlet do sistem lier. Solução de um sistem de equções lieres Um sequêci (r, r,...,r ) é solução do sistem lier: x x... x b x x... x b............ m x m x... m x b se stisfz ideticmete tods s equções desse sistem lier. Exemlo: O r ordedo (,) é um solução do sistem lier: x y 4 x y x 5y ois stisfz ideticmete tods s equções do mesmo, isto é, se substituirmos x e y, os dois membros de cd iguldde serão iguis em tods s equções. 4) Cosistêci de Sistems Lieres O úmero de soluções de um sistem lier determi su clssificção de dus meirs com relção à su cosistêci: Sistem ossível ou cosistete: Qudo tem elo meos um solução.

Mtemátic o Esio Médio Álgebr - IA / UERJ Profs. Ilydio Pereir de Sá e Gerldo Lis 7 () Se tem um úic solução, o sistem é determido. (b) Se tem mis que um solução, o sistem é idetermido. Sistem imossível ou icosistete: Se ão dmite qulquer solução. Exemlos de sistems com reseito às sus soluções. Sistem com um úic solução: As equções lieres bixo reresetm dus rets o lo crtesio que têm o oto (,-) como iterseção. x y - x - y 8. Sistem com ifiits soluções: As equções lieres reresetm rets rlels sobreosts o lo crtesio, logo existem ifiitos otos que stisfzem mbs s equções (ertecem mbs s rets). 4x y 8x 4y. Sistem que ão tem solução: As equções lieres reresetm rets rlels o lo crtesio, logo, ão existem otos que erteçm às dus rets. 5) Sistems equivletes x y 4 x y 5 Dois sistems são equivletes se dmitem mesm solução. Exemlo: São equivletes os sistems S e S idicdos bixo: S x 6y 4 x - 4y S x y 4 x - y 6 ois eles dmitem mesm solução x e y. Notção: Qudo dois sistems S e S são equivletes, usmos otção S~S. Exemlo: UEL - 84 (Uiversidde Estdul de Lodri) Se os sistems x y S : x - y -5 x by 5 S : y bx -

Mtemátic o Esio Médio Álgebr - IA / UERJ Profs. Ilydio Pereir de Sá e Gerldo Lis 8 são equivletes, etão o vlor de b é igul : ) b) 4 c) 5 d) 9 e) Solução: Como os sistems são equivletes, eles ossuem mesm solução. Vmos resolver o sistem S : x y x - y -5 Subtrido membro membro, vem: x - x y - (-y) - (-5). Logo, y 6 4 y. Portto, como xy, vem, substituido: x 4 x -. O cojuto solução é ortto S {(-, )}. Como os sistems são equivletes, solução cim é tmbém solução do sistem S. Logo, substituido em S os vlores de x e y ecotrdos r o sistem S, vem: (-) - b() 5 - - b 5 (I) () - b (-) - b - (II) Multilicdo mbos os membros d rimeir equção (I) or, fic: - - 4b Somdo membro membro est equção obtid com segud equção (II), fic: -b 9 4 b - Substituido o vlor ecotrdo r b equção (II) cim (oderi ser tmbém outr equção), teremos: (-) - 4. Portto, b (-) 9. Portto ltertiv corret é letr E. Exemlo : Determie o vlor de m de modo que o sistem de equções bixo, x - my x 5y 8, sej imossível. Solução: Teremos, exressdo x em fução de m, rimeir equção: x ( my) / Substituido o vlor de x segud equção, vem: [(my) / ] 5y 8 Multilicdo mbos os membros or, desevolvedo e simlificdo, vem: (my) y 6 my y 6 (m )y -4 y -4 / (m ) Or, r que ão exist o vlor de y e, em coseqüêci ão exist o vlor de x, deveremos ter o deomidor igul zero, já que, como sbemos, NÃO EXISTE DIVISÃO POR ZERO.

Mtemátic o Esio Médio Álgebr - IA / UERJ Profs. Ilydio Pereir de Sá e Gerldo Lis 9 Portto, m, de ode coclui-se: m -/, r que o sistem sej imossível, ou sej, ão ossu solução. Oerções elemetres sobre sistems lieres Existem três tios de oerções elemetres que odem ser relizds sobre um sistem lier de equções de form trsformá-lo em um outro sistem equivlete mis simles que o terior. N seqüêci trblhremos com um exemlo r mostrr como fuciom esss oerções elemetres sobre lihs. O segudo sistem (o que rece à direit) já mostr o resultdo d ção d oerção elemetr. Ns lihs iiciis de cd tbel, você ecotr oerção que foi relizd.. Troc de osição de dus equções do sistem Troc Lih com Lih x y - z x-yz 4x y - 5z 9 ~ 4x y - 5z 9 x-yz x y - z. Multilicção de um equção or um úmero ão ulo Multilic Lih elo úmero x y - z x-yz 4xy-5z9 ~ x 6y - z 6 x-yz 4xy-5z9 A equção resultte fic lih. Adição de dus equções do sistem Adição d Lih com Lih xy-z x -y z 4x y - 5z 9 ~ x6y-z6 x-yz 6x - y - z 9 A equção resultte fic lih 6) Resolução de sistems lieres or esclometo (Método de Guss) Com o uxílio ds três Oerções Elemetres sobre lihs, odemos resolver sistems lieres. Vmos mostrr como fucio este rocesso trvés de um exemlo. Exemlo: Cosideremos o sistem com equções e icógits. x y z x - y - z -5-4x y -5z -4 Observção: Usmos LiLj->Lj r idicr som d lih i com lih j com o resultdo lih j. Usmos k Li->Li, r idicr que multilicmos lih i el costte k e o resultdo ficou lih i.

Mtemátic o Esio Médio Álgebr - IA / UERJ Profs. Ilydio Pereir de Sá e Gerldo Lis x y z x - y - z -5-4xy-5z-4 x y z 5 x - y - z -5-4xy-5z-4 x y z 5 x-5y-5z-85-4x y - 5z -4 Psso : L-L->L ~ Psso : L-.L->L ~ Psso : L4.L->L ~ x y z 5 x-y-z-5-4xy-5z-4 xyz5 x - 5y - 5z -85-4xy-5z-4 xyz5 x-5y-5z-85 x 9y z 99 Psso 4:(-/5)L->L,(/)L->L xyz5 x - 5y - 5z -85 x 9y z 99 ~ xyz5 x y z 7 x y z xyz5 x y z 7 x y z xyz5 xyz7 x y - z -8 xyz5 x y z 7 x y z 9 x y z 5 x y z 8 x y z 9 Psso 5: L-.L->L ~ Psso 6: (-/)L->L ~ Psso 7: L-L->L Psso 8: L-.L-.L->L ~ ~ xyz5 xyz7 x y - z -8 xyz5 xyz7 x y z 9 xyz5 x y z 8 xyz9 x y z xyz8 xyz9 Psso 9: Simlificr coeficietes x y z x y z 8 x y z 9 ~ x y 8 z 9

Mtemátic o Esio Médio Álgebr - IA / UERJ Profs. Ilydio Pereir de Sá e Gerldo Lis Aós o esclometo, observmos que solução obtid é extmete forecid elo último sistem. Poderímos tmbém fzer tods esss oerções de trsformção de um sistem em outro, equivlete, esclodo, usdo es mtriz comlet do sistem, ão sedo ecessário escrever s vriáveis do sistem, o que fcilitri bstte oss escrit. Vejmos um exemlo: Resolv, or esclometo (método de Guss) o sistem: / x y z 7. x 7y z - x 5y z 8 Vmos reresetr mtriz comlet desse sistem: % $ - 7-5 7 " - 8! Vmos multilicr ª lih or - e somr com ª, e tmbém multilicr ª lih or e somr com ª teremos: % $ - 5 7 " 7! Vmos gor trocr de osição s dus últims lihs, com o roósito de que o coeficiete d vriável y sej igul ª equção. % $ 5-7 " 7! Vmos multilicr ª lih or - e somr com ª. % $ 7 " 5-6 -! Observe que o sistem já está esclodo e que ª lih corresode -6z -, ou z. A ª lih corresode : y 5z, ou y, ou y. A ª lih corresode : x y z 7, ou x 6 7, ou id x -. Logo, solução é: S {(-,, )}. OBSERVAÇÃO: Podemos discutir um sistem lier (X) trvés de seu equivlete esclodo, ou sej, el álise de su últim lih: Se todos os coeficietes obtidos forem iguis zero, o sistem será INDETERMINADO, ois corresoderá um equção do tio x y z..., que é verdde r quisquer vlores de x, y, z,... Se todos os coeficietes obtidos forem iguis zero, com exceção do último, o sistem será IMPOSSÍVEL, ois corresoderá um

Mtemátic o Esio Médio Álgebr - IA / UERJ Profs. Ilydio Pereir de Sá e Gerldo Lis equção do tio x y z... k G, que ão é stisfeit r quisquer vlores ds vriáveis. Nos demis csos o sistem será POSSÍVEL E DETERMINADO, dmitido es um solução. Problem de licção: UFB 995 A tbel bixo idic o cosumo efetudo um resturte, em três mess diferetes, esecificdo s orções cosumids de cd limeto e cot em reis. Sedo r reis cot d mes III, clcule r NÚMERO DE PORÇÕES CONSUMIDAS ARROZ FEIJÃO FRANGO REFRIGE RANTE VALOR DA CONTA R$ MESA I 4, MESA II 6, MESA III 6 5 9 r Solução: Sejm x, y e z os reços uitários (em reis), ds orções de rroz, feijão, frgo e w o reço uitário do refrigerte. Poderemos escrever o seguite sistem lier: x y z 4w x y z w 6 6x 5y 9z w r Temos etão, um sistem lier com equções e 4 icógits. Vmos resolver este sistem elo método de esclometo : De modo elimir x segud e terceir equções, vmos multilicr rimeir equção or ( - ) e segud equção or ( ), resultdo: 6x 4y 6z 8w 6x y z 6w 8 6x 5y 9z w r Vmos gor substituir s segud e terceir equções, el som dels com rimeir equção, resultdo: 6x 4y 6z 8w y z w 4 y z w r Somdo s segud e terceir equções cim, mtedo rimeir equção, fic:

Mtemátic o Esio Médio Álgebr - IA / UERJ Profs. Ilydio Pereir de Sá e Gerldo Lis 6x 4y 6z 8w y z w 6 r Dí vem imeditmete que - 6 r, de ode cocluímos ievitvelmete: r 6. Portto, deses d Mes III será igul 6 reis ( R$ 6, ). 7) Regr de Crmer Você, qudo er luo do curso fudmetl estudou váris técics r solução de um sistem do rimeiro gru: dição, substituição, comrção, método gráfico. Agor, você vi reder um regr que servirá r resolver sistems lieres ossíveis e determidos, trvés do uso de DETERMINANTES. Est regr é cohecid or REGRA DE CRAMER. Vmos, em rimeiro lugr, resetr solução r um sistem (x), ou sej, de dus equções e dus icógits. Em seguid, geerlizremos solução r um úmero mior de equções e de icógits. Sej o sistem: /. - fzímos 6ª série. x x y b y b vmos resolvê-lo elo método d dição, como /. - x x y b y b (. ) (. - ) - x x y b y b ( x b b ) (I)Somdo s equções obtids, teremos: obtivemos o vlor de x, trvés d elimição do y. /. - x x y b y b (. ) (. - ) - x x y b y b ( y b b ) (II) Somdo s equções obtids, teremos: obtivemos gor o vlor de y, trvés d elimição do x. Observe que, se formrmos mtrizes qudrds ssocids o sistem, e clculrmos seus determites, teremos:

Mtemátic o Esio Médio Álgebr - IA / UERJ Profs. Ilydio Pereir de Sá e Gerldo Lis 4 D b D b b x b D y b b b b Observe e resod. A rtir do sistem ddo, como form obtids s mtrizes D, Dx e Dy? Se você comrr os vlores ecotrdos r esses determites com os vlores obtidos r x e y qudo licmos o método d dição, ode cocluir que: x D D X com D Z. e y D y D o que só será válido r sistems ossíveis e determidos, ou sej, Exemlo: Resolv o sistem bixo, licdo regr de Crmer. / x 5y. -x y 6 Solução: D - 5 4 4 9 ( ) D x 6-5 4 8 76 D y Logo, x - 6 8 6 76 9 4 e y 8 9 Podemos gor, geerlizr esse rocesso r um sistem de equções e icógits. Sej um sistem lier com equções e icógits:

Mtemátic o Esio Médio Álgebr - IA / UERJ Profs. Ilydio Pereir de Sá e Gerldo Lis 5 x x... j x j... x b x x... j x j... x b............ x x... j x j... x b A este sistem odemos ssocir lgums mtrizes: Mtriz dos coeficietes (ou icomlet): Formd elos coeficietes ds icógits do sistem, qui idicd el letr A. Mtriz dos coeficietes... j...... j........................ j... Mtriz Aumetd do sistem (ou comlet): Formd todos os coeficietes ds icógits do sistem e tmbém elos termos ideedetes. Mtriz Aumetd... j... b... j... b..................... j... b Mtriz d icógit x j : É mtriz A j obtid o substituirmos colu j (<j<) d mtriz A, elos termos ideedetes ds equções do sistem. Mtriz d icógit x j... b...... b........................ b... Qudo s osições j,, estão relciods com x, x e x e substituíds els icógits x, y e z, é comum escrever A x, A y e A z. Se det(a) é diferete de zero, é ossível obter cd solução x j (j,...,), dividido det(a j ) or det(a), isto é: x j det(a j ) / det(a) Se det(a)z

Mtemátic o Esio Médio Álgebr - IA / UERJ Profs. Ilydio Pereir de Sá e Gerldo Lis 6 Exemlo : Sej o sistem x y 4z 7 x y z 5 x y 6z 4 A mtriz A e mtriz dos termos ideedetes do sistem estão idicdos bixo. 4-6 7 5 4 Como det(a)7, o sistem dmite um úic solução que deede dos determites ds mtrizes A x, A y e A z, e tis mtrizes são obtids el substituição ª., ª. e ª. colus d mtriz A elos termos ideedetes ds três equções, temos: 6x 7 4 5-6y 7 4 5 6z 7-5 4 6 4 6 4 Como det(a x )65, det(a y ) e det(a z )4, solução do sistem é dd or: Exemlo : x det(6x)/det(a) 65/7 y det(6y)/det(a) /7 z det(6z)/det(a) 4/7 Exemlo: Resolv o seguite sistem usdo regr de Crmer: x y - z x - y z 4x y - 5z 6 Teremos:

Mtemátic o Esio Médio Álgebr - IA / UERJ Profs. Ilydio Pereir de Sá e Gerldo Lis 7 Portto, el regr de Crmer, teremos: x 6 x / 6 / 4 5 x 6 x / 6 48 / 4 x 6 x / 6 96 / 4 4 Logo, o cojuto solução do sistem ddo é S { (5,, 4) }. Sistems lieres homogêeos Um sistem lier é homogêeo qudo os termos ideedetes de tods s equções são ulos. Todo sistem lier homogêeo dmite elo meos solução trivil, que é solução ideticmete ul. Assim, todo sistem lier homogêeo é ossível. Este tio de sistem oderá ser determido se dmitir somete solução trivil ou idetermido se dmitir outrs soluções lém d trivil. Exemlo: O sistem x - y z 4x y - z x - y z Pr esse tio de sistem bst clculr o determite ssocido à su mtriz icomlet. Cso ele sej diferete de zero, o sistem será ossível e determido, ou sej, dmite es solução trivil. Cso ele sej igul zero, o sistem será idetermido. No exemlo roosto, teremos: - 4-8 - - 6-8 - - Logo, como o determite é diferete de zero, o sistem é ossível e determido, dmitido es solução trivil

Mtemátic o Esio Médio Álgebr - IA / UERJ Profs. Ilydio Pereir de Sá e Gerldo Lis 8 EXERCÍCIOS PROPOSTOS ) Resolv o sistem: ) Discut o sistem: ) (UFR-PE) Pr que vlor de k o sistem ão ossui solução? 4) (FEI-SP) Pr quis codições de "" e "b" se tem o sistem idetermido? 5)Resolv os sistems bixo e clssifique quto o úmero de soluções licdo o esclometo.

Mtemátic o Esio Médio Álgebr - IA / UERJ Profs. Ilydio Pereir de Sá e Gerldo Lis 9 6)Resolv e clssifique os sistems quto o úmero de soluções, or esclometo. 7) Em um determido semestre, o rofessor de mtemátic licou três rovs em su vlição d redizgem. As questões vlim um oto cd um, ms os esos ds rovs erm diferetes. Ferdo que certou questões rimeir rov, 6 segud e 6 terceir obteve o fil 54 otos. Jorge obteve 6, 5 e 4 certos totlizdo 47 otos. A certou, 7 e 5 questões tigido 5 otos. Qul é o vlor dos esos de cd rov? 8) Resolv o sistem: / x z 4. y z -x 4y 6 elos métodos de Esclometo de Regr de Crmer. 9) Obteh o vlor de m, r que o sistem / x y. x y 8 -x my 6 teh um úic solução.

Mtemátic o Esio Médio Álgebr - IA / UERJ Profs. Ilydio Pereir de Sá e Gerldo Lis ) Qul o vlor d icógit w o sistem: / x y z x y w. x z w - y z w 4 Cosult os sites: Mtemátic Essecil htt://essol.sercomtel.com.br/mtemtic/idex.html Mtemátic do Cietífico o Vestibulr - htt://www.terr.com.br/mtemtic/ Livro de Referêci: DANTE, Luiz Roberto. Mtemátic, Cotexto e Alicções. São Pulo: Átic, 999. BIBLIOGRAFIA. BARBOSA, Ruy Mdser Combitóri e Probbiliddes SP, Ed. Nobel, 968. BATSCHELET, E. Itrodução à Mtemátic r Biocietists, SP, Iterciêci, 978. BRASIL Revist do Professor de Mtemátic, SBM, º 4 4. DANTE, L. Roberto Mtemátic, Cotexto e Alicções, RJ, Ed. Átic, 999 5. IEZZI, G ET ALLI Fudmetos de Mtemátic Elemetr. SP Ed. Atul, 997 6. IMENES, L. M, Telecurso Fudção Roberto Mriho Esio Médio 7. INTERNET www.cef.gov.br/loteri/robbiliddes - www.terrvist.t/esed/54/mt5.html - www.the.mt.ufrgs.br 8. LIMA, ELON ET ALLI A Mtemátic o Esio Médio, RJ, SBM, 998. 9. MORGADO, A. Césr e outros Aálise Combitóri e Probbiliddes im / SBM, 99. REVISTA: EDUCAÇÃO E MATEMÁTICA APM Associção dos Professores de Mtemátic de Portugl.. SIMON, G. & Freud J. Esttístic Alicd: Ecoomi, Admiistrção e Cotbilidde. Bookm, Porto Alegre -. TROTTA, F. Aálise Combitóri, Probbiliddes e Esttístic. São Pulo: Ed. Sciioe, 988