Convolução, Série de Fourier e Transformada de Fourier contínuas Sílvia Mara da Costa Campos Victer Concurso: Matemática da Computação UERJ - Friburgo
Tópicos Sinais contínuos no tempo Função impulso Sistema lineares e invariantes sob translação (SLIT) Convolução Contínua Série de Fourier Contínua Transformada de Fourier Contínua Definição Propriedades Exemplos
Sinais contínuos Sinais contínuos Um sinal contínuo, denotado x(t), é uma função (real ou complexa) cujo domínio é o conjunto dos reais R. Função impulso unitário ou delta de Dirac (fundamental no estudo de sistemas lineares) Propriedade de filtragem
Sinais contínuos Propriedades da função impulso: Integral com impulso: Exemplos: Integral com impulso deslocado Integral com impulso escalonado
Sistemas contínuos Sistemas cujas entradas e saídas são funções escalares (sinais reais ou complexos) contínuas no tempo. Notação: Exemplo: Sistema integrador A relação entre uma entrada x(t) e a saída define um sistema contínuo (integrador)
Sistemas contínuos Definições Linearidade: um sistema é linear se satisfaz o princípio da superposição: Invariância no tempo: Um sistema é invariante no tempo se um deslocamento da entrada produz igual deslocamento na saída. Causalidade: um sistema é dito (ou não-antecipativo) quando a saída não depende de valores futuros da entrada. Estabilidade: a saída é estável para toda entrada limitada
Sistemas contínuos Resposta ao impulso: Saída do sistema quando a entrada é a função impulso e as condições iniciais são nulas (sistema em repouso), isto é A resposta impulso do integrador é
Convolução contínua Convolução é a operação: A convolução opera com duas funções ou com dois sinais, x(t) e h(t), para gerar uma terceira função ou sinal como resultado da operação, y(t). A interpretação para a função h(t), na engenharia - resposta impulsiva de um sistema linear e invariante no tempo, mas também é uma função matemática que descreve as características intrínsecas de um sistema.
Convolução Exemplo de operação da convolução para sinais contínuos infinitos, onde x(t) é o sinal de entrada e h(t) é a resposta impulsiva:
Convolução Resultado desta convolução: Sinal contínuo infinito x(t) h(t) y(t)
Exemplo de convolução Convolução de sinal contínuo finito com sinal contínuo infinito
Exemplo de convolução Resultado: sinal contínuo infinito
Convolução A Convolução é linear: Substituir x(t) = ax1(t) + bx2(t) A Convolução é invariante no tempo: Substituir x(t t0)
Convolução contínua Propriedades: O impulso é o elemento neutro da convolução Comutativa Associativa
Convolução contínua Distributiva em relação à soma Deslocamento no tempo: Convolução com a degrau: integração
Convolução com a Resposta ao Impulso de um sistema SLIT A saída de um sistema linear e invariante no tempo é a convolução da resposta ao impulso com a entrada, isto é Sendo Prova: a resposta ao impulso do sistema
Propriedade da representação da resposta ao impulso Conexão paralela de sistemas (propriedade distributiva)
Propriedade da representação da resposta ao impulso Conexão série de sistemas (propriedade associativa)
Propriedade da representação da resposta ao impulso Propriedade comutativa
Convolução contínua Sistemas inversíveis e desconvolução
Série de Fourier contínua Matemático francês Jean Baptiste Joseph Fourier (1768-1830) Qualquer função periódica pode ser representada como uma soma de senos e/ou cossenos de diferentes frequências, cada uma multiplicada por um coeficiente diferente (Série de Fourier) Funções não periódicas (porém tendo um valor finito de área sob a curva) podem também ser representadas por integrais de senos e/ou cossenos multiplicadas por uma função peso (Transformada de Fourier) Ambas representações podem ser reconstruídas completamente por um processo inverso sem perda de informação.
Série de Fourier contínua Funções periódicas: Qualquer função que satisfaça T : constante chamada de período da função Série de Fourier: Decomposição de um sinal periódico de entrada em componentes periódicas primitivas.
Série de Fourier contínua Encontrar o período da função deve ser um número racional A função não é periódica: pois não é um número racional
Série de Fourier contínua Encontrar o período da Função Menor T
Séries de Fourier Exemplo de uma sequência periódica: Propriedades das Representações de Fourier Sinais periódicos de tempo contínuo ou discreto têm uma representação por série de Fourier, dada pela soma ponderada de senóides complexas com frequências múltiplas inteiras da frequência fundamental. Desta forma, um conjunto discreto de frequências está envolvido em sua representação.
Séries de Fourier Síntese parte DC parte par parte ímpar T é um período de todos os sinais acima (Série trigonométrica de Fourier para sinais reais)
Série de Fourier Decomposição Frequência angular fundamental n-ésimo harmônico da função periódica
Séries de Fourier Funções ortogonais Para conjunto de funções ortogonais {Ф} em um intervalo a < t < b : Obs: A escolha de exponenciais complexas como uma base ortogonal é apropriada pois: sinais complexos são periódicos relativamente fáceis de manipular matematicamente o resultado tem interpretação física significativa
Séries de Fourier Conjunto ortogonal de funções senoidais
Série de Fourier Exemplo (onda quadrada) 1,5 1 0,5 0-0,5
Série de Fourier Amplitudes e ângulos de fase
Forma complexa da série de Fourier Exponenciais complexas
Forma complexa da série de Fourier
Forma complexa da série de Fourier Espectro de Frequência complexa
Trem de impulso Séries de Fourier: Forma complexa:
Série de Fourier Análise de Formas de onda periódicas: Simetria das formas de onda: Decomposição: Qualquer função f(t) pode ser expressa como a soma de uma função par e uma função ímpar:
Série de Fourier Exemplo: Para sinais reais: espectro de magnitude simetria par; espectro de fase simetria ímpar
Séries de Fourier contínua Exemplo: Trem de pulso retangular Sinal periódico com período fundamental T = 2 Simetria par Espectros de linha (de amplitude e de fase, respectivamente) Simetria ímpar
Série de Fourier contínua Condições de Dirichlet: Um Sinal periódico, tem uma série periódica se ele satisfaz as seguintes condições: 1. Ser absolutamente integrável sobre qualquer período: 2. ter apenas um número finito de máximos e mínimos em qualquer período. 3. ter apenas um número finito de descontinuidades em qualquer período.
Série de Fourier Contínua Representação de uma onda quadrada: com apenas 5 componentes já se consegue uma boa aproximação.
Teorema de Parseval
Fenômeno de Gibbs
Transformada de Fourier Descreve sinais periódicos e aperiódicos. Pulso retangular e um trem de pulso
Transformada de Fourier
Transformada de Fourier
Transformada de Fourier
Transformada de Fourier Exemplo de um sinal exponencial complexo: b>0
Transformada de Fourier Espectro de amplitude e de fase do sinal exponencial:
Transformada de Fourier Forma polar
Transformada de Fourier Se x(t) é um sinal real: do pulso retangular
Transformada Inversa de Fourier Dado um sinal x(t) com transformada de Fourier x(t) pode ser recalculado de pela transformada Inversa de Fourier Par de transformada
Transformada de Fourier Propriedades
Transformada de Fourier Propriedades
Transformada de Fourier Propriedades
Transformada de Fourier Propriedades
Transformada de Fourier Exemplo da propriedade da escala
Pares da Transformada de Fourier
Próxima aula: Escolher 4 pares da transformada de Fourier, provar a fórmula e desenhar o espectro de magnitude. Provar as fórmulas da convolução e multiplicação no tempo. Qualquer dúvida: silvia.victer@gmail.com Obrigada pela atenção