Cálculo II. Bioengenharia. César Silva. Departamento de Matemática Universidade da Beira Interior 2009/2010

Cálculo II Bioengenharia César Silva Departamento de Matemática Universidade da Beira Interior 2009/2010 César Silva (UBI) Cálculo II 2009/2010 1 / 460

Bibliografia Apostol, T.M., Cálculo, Vol. 1 e 2, Reverté, 1993 Azenha, A., Jerónimo, M. A., Elementos de Cálculo Diferencial e Integral em R e R n, McGraw-Hill, 1995 Dias Agudo, F.R., Análise Real, Vol. I, Escolar Editora, 1989 Demidovitch, B., Problemas e exercícios de Análise Matemática, McGrawHill, 1977 Lima, E. L., Curso de Análise, Vol. 1 e 2, Projecto Euclides, IMPA, 1989 Lima, E. L., Análise Real, Vol. 1 e 2, Colecção Matemática Universitária, IMPA, 2004 Mann, W. R., Taylor, A. E., Advanced Calculus, John Wiley and Sons, 1983 Sarrico, C., Análise Matemática Leituras e exercícios, Gradiva, 3 a Ed., 1999 Stewart, J., Calculus (International Metric Edition), Vol. 1 e 2, Brooks/Cole Publishing Company, 2008 Swokowski, E. W., Cálculo com Geometria Analítica, Vol. 1 e 2, McGrawHill, 1983 César Silva (UBI) Cálculo II 2009/2010 2 / 460

Índice 1 Sucessões e séries de números reais 2 Funções de R n em R m : limites e continuidade 3 Cálculo diferencial em R n 4 Cálculo integral em R n 5 Integrais de linha 6 Integrais de superfície César Silva (UBI) Cálculo II 2009/2010 3 / 460

Índice 1 Sucessões e séries de números reais Sucessões de números reais Séries de números reais Série de potências e série de Taylor 2 Funções de R n em R m : limites e continuidade 3 Cálculo diferencial em R n 4 Cálculo integral em R n 5 Integrais de linha 6 Integrais de superfície César Silva (UBI) Cálculo II 2009/2010 4 / 460

Índice 1 Sucessões e séries de números reais Sucessões de números reais Definição e exemplos Sucessões limitadas e sucessões monótonas Sucessões convergentes Subsucessões Infinitamente grandes Séries de números reais Série de potências e série de Taylor 2 Funções de R n em R m : limites e continuidade 3 Cálculo diferencial em R n 4 Cálculo integral em R n 5 Integrais de linha 6 Integrais de superfície César Silva (UBI) Cálculo II 2009/2010 5 / 460

1.1.1 Definição e exemplos Uma sucessão é uma correspondência que a cada número natural n faz corresponder um e um só número real. Assim, uma sucessão é uma função real de variável natural, ou seja, uma sucessão é uma função u: N R. Para designarmos o valor da função emncostuma usar-se a notação u n em vez deu(n). César Silva (UBI) Cálculo II 2009/2010 7 / 460

1.1.1 Definição e exemplos Aos valores u 1,u 2,...,u n,... chamamos termos da sucessão e ao valoru 1 chamamos termo de ordem 1 ou primeiro termo da sucessão; ao valoru 2 chamamos termo de ordem 2 ou segundo termo da sucessão; ao valoru 3 chamamos termo de ordem 3 ou terceiro termo da sucessão; etc À expressãou n chamamos termo geral da sucessão. César Silva (UBI) Cálculo II 2009/2010 8 / 460

1.1.1 Definição e exemplos Escreveremos (u 1,u 2,...,u n,...), ou (u n ) n N, ou simplesmente (u n ) para indicar a sucessão u. O conjunto u(n) ={u n :n N} designa-se por conjunto dos termos da sucessão (u n ) n N. César Silva (UBI) Cálculo II 2009/2010 9 / 460

1.1.1 Definição e exemplos Exemplos de sucessões a) Façamos isto é, u n = 1 para todo on N, (1, 1,..., 1,...) é a sucessão constante e igual a 1. Mais geralmente, dadoc R e fazendo v n =c para qualquern N, temos a sucessão constante e igual ac. Neste caso v(n) ={c}. César Silva (UBI) Cálculo II 2009/2010 10 / 460

1.1.1 Definição e exemplos Exemplos de sucessões (continuação) b) Consideremos a sucessão de termo geralu n = ( 1) n. O primeiro termo desta sucessão éu 1 = ( 1) 1 = 1. O segundo termo desta sucessão éu 2 = ( 1) 2 = 1. O terceiro termo desta sucessão éu 3 = ( 1) 3 = 1. O quarto termo desta sucessão éu 4 = ( 1) 4 = 1. E assim sucessivamente. Podemos concluir que os termos de ordem par são todos iguais a 1 e que os termos de ordem ímpar são todos iguais a 1. Assim, a lista que se segue dá-nos todos os termos da sucessão 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1,... e o conjunto dos termos desta sucessão é u(n) ={ 1, 1}. César Silva (UBI) Cálculo II 2009/2010 11 / 460

1.1.1 Definição e exemplos Exemplos de sucessões (continuação) c) Sejauasucessão definida por u n =n. Então u(n) = N. César Silva (UBI) Cálculo II 2009/2010 12 / 460

1.1.1 Definição e exemplos Exemplos de sucessões (continuação) d) Seja u n = 1 para todo on N. n Podemos escrever esta sucessão das seguintes formas: (1, 1 2, 1 3, 1 4,..., 1 ) n,..., ou ( ) 1 n ou ( 1 n Neste exemplo temos u(n) = n N ). { 1 n :n N }., César Silva (UBI) Cálculo II 2009/2010 13 / 460

1.1.1 Definição e exemplos Observação O exemploa) mostra que e (u n ) n N u(n) são coisas diferentes e que, por conseguinte, não devem ser confundidas. Neste exemplo tem-se enquanto que (u n ) = (1, 1, 1,..., 1,...), u(n) ={1}. Algo de semelhante acontece no exemplo b). César Silva (UBI) Cálculo II 2009/2010 14 / 460

1.1.2 Sucessões limitadas e sucessões monótonas Uma sucessão (u n ) n N diz-se limitada se existirem números reaisaeb tais que a u n b para todo on N; ou ainda, se existirem números reaisaebtais que u n [a,b] para todo on N. Como todo o intervalo [a,b] está contido num intervalo da forma [ c,c], para algumc R, uma sucessão (u n ) é limitada se existir um número realc>0 tal que u n [ c,c] para todo on N, o que é equivalente a existec>0 tal que u n c para todo on N. As sucessões que não são limitadas dizem-se ilimitadas. César Silva (UBI) Cálculo II 2009/2010 16 / 460

1.1.2 Sucessões limitadas e sucessões monótonas Exemplos a) A sucessão de termo geral { 3 senéímpar; u n = 4 + ( 1) 2 = 5 senépar; é limitada pois 3 u n 5 para qualquer número naturaln. César Silva (UBI) Cálculo II 2009/2010 17 / 460

1.1.2 Sucessões limitadas e sucessões monótonas Exemplos (continuação) b) Consideremos a sucessão de termo geral Como podemos concluir que n + 2 n u n = n + 2 n. = n n + 2 n = 1 + 2 n 1 u n 3 para cada número naturaln. Assim, esta sucessão é limitada. César Silva (UBI) Cálculo II 2009/2010 18 / 460

1.1.2 Sucessões limitadas e sucessões monótonas Exemplos (continuação) c) A sucessãou n =n 2 não é limitada. De facto, u 1 = 1;u 2 = 4;u 3 = 9;u 4 = 16;... pelo que a sucessão não é limitada superiormente. d) A sucessão de termo geralv n = n também não é limitada pois v 1 = 1;v 2 = 2;v 3 = 3;... ou seja, esta sucessão não é limitada inferiormente. César Silva (UBI) Cálculo II 2009/2010 19 / 460

1.1.2 Sucessões limitadas e sucessões monótonas Uma sucessão (u n ) n N diz-se crescente se u n+1 u n para todo on N e diz-se decrescente se u n+1 u n para todo on N. Equivalentemente, (u n ) n N é crescente se u n+1 u n 0 para todo on N e é decrescente se u n+1 u n 0 para todo on N. Uma sucessão diz-se monótona se for crescente ou se for decrescente. César Silva (UBI) Cálculo II 2009/2010 20 / 460

1.1.2 Sucessões limitadas e sucessões monótonas Exemplos de sucessões monótonas a) Consideremos a sucessão de termo geralu n = 2n 1 n + 1. Como u n+1 u n = 2(n + 1) 1 (n + 1) + 1 2n 1 n + 1 = 2n + 1 n + 2 2n 1 n + 1 = (2n + 1)(n + 1) (2n 1)(n + 2) (n + 1)(n + 2) = 2n2 + 2n +n+1 (2n 2 + 4n n 2) (n + 1)(n + 2) = 2n2 + 3n + 1 2n 2 3n + 2 (n + 1)(n + 2) = 3 (n + 1)(n + 2) 0 para qualquer número natural n, a sucessão é crescente. César Silva (UBI) Cálculo II 2009/2010 21 / 460

1.1.2 Sucessões limitadas e sucessões monótonas Exemplos de sucessões monótonas (continuação) b) Para a sucessão de termo geralu n = 2n + 1, temos n u n+1 u n = 2(n + 1) + 1 n + 1 = 2n + 3 n + 1 2n + 1 n = 2n + 1 n (2n + 3)n (2n + 1)(n + 1) n(n + 1) = 2n2 + 3n (2n 2 + 2n +n+1) n(n + 1) = 2n2 + 3n 2n 2 3n 1 n(n + 1) = 1 n(n + 1) 0 para qualquer número natural n. Logo a sucessão é decrescente. César Silva (UBI) Cálculo II 2009/2010 22 / 460

1.1.3 Sucessões convergentes Dados uma sucessão (u n ) n N e um número reala, dizemos que (u n ) converge ou tende paraase para qualquerε>0, existen N tal que u n a <ε para todo o número naturaln>n. A condição é equivalente às condições u n a <ε ε<u n a<ε, a ε<u n <a +ε e u n ]a ε,a +ε[. Assim, uma sucessão (u n ) converge ou tende para um número reala se para qualquerε>0, existen N tal que a ε<u n <a +ε para cada número naturaln>n; ou se para qualquerε>0, existen N tal que u n ]a ε,a +ε[ para cada número naturaln>n. César Silva (UBI) Cálculo II 2009/2010 24 / 460

1.1.3 Sucessões convergentes Geometricamente, uma sucessãou n tende paraase dadoε>0 todos os termos da sucessão estão na faixa limitada pela rectasy=a ε e y =a +ε a partir de determinada ordem. A figura seguinte ilustra esse facto. a +ε a a ε 1 2 3 4 N N + 1 N + 2 N + 3 N + 4 Interpretação geométrica do limite de uma sucessão César Silva (UBI) Cálculo II 2009/2010 25 / 460

1.1.3 Sucessões convergentes Qualquer uma das notações lim u n =a, n lim n u n =a, lim n u n =a, limu n =a, u n a é usada para exprimir o facto de que a sucessão (u n ) converge paraa. Uma sucessão (u n ) n N diz-se convergente se existe um número reala tal queu n a. As sucessões que não são convergentes dizem-se divergentes. César Silva (UBI) Cálculo II 2009/2010 26 / 460

1.1.3 Sucessões convergentes As sucessões constantes são convergentes. Seu n =c para qualquer número naturaln, temos u n c =0 para cadan N, pelo que, dado ε>0, tomandon = 1 vem Logo (u n ) converge parac. u n c <ε para qualquern>n. A sucessão de termo geralu n = 1 converge para zero. De facto, dado n ε>0, basta escolher um número naturaln tal quenε>1 e, por conseguinte, 1/N<ε. Assim, paran>n, temos o que prova queu n 0. u n 0 = 1/n<1/N<ε, César Silva (UBI) Cálculo II 2009/2010 27 / 460

1.1.3 Sucessões convergentes Unicidade do limite Sejam (u n ) uma sucessão eaebdois números reais. Se u n a eu n b, então a =b. César Silva (UBI) Cálculo II 2009/2010 28 / 460

1.1.3 Sucessões convergentes Dadas duas sucessõesu = (u n ) n N ev=(v n ) n N de números reais, define-se a soma deuev, e designa-se poru +v, a sucessão cujo termo de ordemnéu n +v n, isto é, (u +v) n =u n +v n. De modo análogo se define a diferença, o produto e o quociente de u ev (este último apenas na hipótese de se terv n 0 para todo o n N): (u v) n =u n v n, (uv) n =u n v n e, na hipótese dev n 0 para todo on N, ( u = v) u n. n v n César Silva (UBI) Cálculo II 2009/2010 29 / 460

1.1.3 Sucessões convergentes Assim, seuev são as sucessões dadas por ( ) 1, 4, 9,...,n 2,... e (1, 12, 13,..., 1n,... ), respectivamente, entãou +v é a sucessão dada por (1 + 1, 4 + 1 2, 9 + 1 3,...,n2 + 1 ) ( n,... = 2, 9 2, 28 ) + 1 3,...,n3 n,... e a diferença deuev,u v, é a sucessão (1 1, 4 1 2, 9 1 3,...,n2 1 ) ( n,... = 0, 7 2, 26 ) 1 3,...,n3 n,.... César Silva (UBI) Cálculo II 2009/2010 30 / 460

1.1.3 Sucessões convergentes Continuando a usar as sucessõesuev dadas por ( ) 1, 4, 9,...,n 2,... o produtouv é a sucessão (1.1, 4. 1 2, 9.1 3,...,n2. 1 n,... ) e (1, 1 2, 1 3,..., 1 n,... ), = (1, 2, 3,...,n,...) e o quociente u v é a sucessão ( ) 1 1, 4 1/2, 9 1/3,..., n 2 ( ) 1/n,... = 1, 8, 27,...,n 3,.... César Silva (UBI) Cálculo II 2009/2010 31 / 460

1.1.3 Sucessões convergentes As sucessões que convergem para zero designam-se por infinitésimos. O produto de um infinitésimo por uma sucessão limitada é um infinitésimo. Exemplo sen(nx) Para todo ox R, temos lim = 0. De facto, n n sen(nx) n = 1 n sen(nx) é o produto de um infinitésimo por uma sucessão limitada e, portanto, converge para zero. César Silva (UBI) Cálculo II 2009/2010 32 / 460

1.1.3 Sucessões convergentes Álgebra dos limites Sejam (u n ) e (v n ) sucessões tais que limu n =a e limv n =b. Então a) (u n +v n ) n N é convergente e b) (u n v n ) n N é convergente e c) (u n.v n ) n N é convergente e lim(u n +v n ) = limu n + limv n =a +b; lim(u n v n ) = limu n limv n =a b; lim(u n.v n ) = limu n. limv n =a.b; ( ) un d) seb 0 ev n 0 para todo on N, é convergente e lim ( un v n ) v n n N = limu n limv n = a b. César Silva (UBI) Cálculo II 2009/2010 33 / 460

1.1.3 Sucessões convergentes Suponhamos que u n a e que todos os termosu n pertencem ao domínio de uma funçãof. Sef é contínua ema, então f(u n ) f(a). Como consequência imediata temos a seguinte propriedade. Seja (u n ) uma sucessão convergente paraa R ep>0. Então a) seu n a, então (u n ) p a p ; b) seu n 0 para todo on N, então p u n p a. César Silva (UBI) Cálculo II 2009/2010 34 / 460

1.1.3 Sucessões convergentes Sejaf é um função com domínio contendo o conjunto dos números naturais. Se lim f(x) =a, x + então lim f(n) =a. n + Exemplo Como temos ( lim 1 + 1 x = e, x + x) ( lim 1 + 1 n = e. n + n) César Silva (UBI) Cálculo II 2009/2010 35 / 460

1.1.3 Sucessões convergentes Teorema da sucessão enquadrada Sejam (u n ), (v n ) e (w n ) sucessões e suponha-se que existe uma ordem p N tal que u n v n w n para todo o número naturaln>p. Seu n a ew n a, então v n a. César Silva (UBI) Cálculo II 2009/2010 36 / 460

1.1.3 Sucessões convergentes Exemplo de aplicação do teorema da sucessão enquadrada Vejamos que Como e 2 4 + 1n 2 4 + 1 n2 2. 4 + 4 1 n + ( 1 n) 2 = 2 + 1 n 2, ( 2 + 1 pelo teorema da sucessão enquadrada temos de ter 4 + 1 n2 2. n) 2 = 2 + 1 n César Silva (UBI) Cálculo II 2009/2010 37 / 460

1.1.3 Sucessões convergentes Toda a sucessão convergente é limitada. Observação O recíproco não é verdadeiro. A sucessão de termo geralu n = ( 1) n é limitada, mas não é convergente. Todas as sucessões ilimitadas são divergentes. Exemplo Já vimos que a sucessão de termo geralu n =n 2 não é limitada. Logo não é convergente. César Silva (UBI) Cálculo II 2009/2010 38 / 460

1.1.3 Sucessões convergentes As sucessões monótonas e limitadas são convergentes. César Silva (UBI) Cálculo II 2009/2010 39 / 460

1.1.4 Subsucessões Se (u n ) é uma sucessão e (n k ) é uma sucessão de números naturais estritamente crescente, isto é, a sucessão diz-se uma subsucessão de (u n ). n 1 <n 2 <...<n k <n k+1 <..., (u nk ) = (u n1,u n2,...,u nk,...) César Silva (UBI) Cálculo II 2009/2010 41 / 460

1.1.4 Subsucessões As subsucessões de uma sucessão convergente são convergentes para o mesmo limite da sucessão. Exemplo A sucessão de termo geral u n = ( 1) n é divergente pois tem duas subsucessões que convergem para valores diferentes. César Silva (UBI) Cálculo II 2009/2010 42 / 460

1.1.4 Subsucessões Teorema de Bolzano-Weierstrass Todas as sucessões limitadas têm subsucessões convergentes. César Silva (UBI) Cálculo II 2009/2010 43 / 460

1.1.5 Infinitamente grandes Existem sucessões divergentes que, pelas propriedades de que gozam, merecem ser estudadas. Essas sucessões designam-se por infinitamente grandes. Diz-se que uma sucessão (u n ) tende para mais infinito ou que é um infinitamente grande positivo, e escreve-se u n +, ou limu n = +, se para cadal>0, existep N tal que u n >L para qualquer naturalp>n. César Silva (UBI) Cálculo II 2009/2010 45 / 460

1.1.5 Infinitamente grandes Se u n + diz-se que (u n ) tende para menos infinito ou que a sucessão (u n ) é um infinitamente grande negativo e escreve-se u n, ou limu n =. Diz-se ainda que (u n ) tende para infinito ou que (u n ) é um infinitamente grande se u n + e escreve-se u n ou limu n =. César Silva (UBI) Cálculo II 2009/2010 46 / 460

1.1.5 Infinitamente grandes Exemplos A sucessão de termo geral u n =n tende para mais infinito, a sucessão de termo geral v n = n tende para menos infinito e a sucessão de termo geral w n = ( 1) n n tende para infinito. A sucessão (w n ) é um exemplo de um infinitamente grande que não é nem um infinitamente grande positivo, nem um infinitamente grande negativo. César Silva (UBI) Cálculo II 2009/2010 47 / 460

1.1.5 Infinitamente grandes Observações a) Os infinitamente grandes positivos e os infinitamente grandes negativos, são infinitamente grandes. A sucessão de termo geral w n = ( 1) n n mostra que o contrário nem sempre se verifica. b) Resulta imediatamente da definição que seu n +, então (u n ) é limitada inferiormente. c) Da definição resulta imediatamente que se (u n ) e (v n ) são duas sucessões tais que u n v n a partir de certa ordem eu n +, então v n +. César Silva (UBI) Cálculo II 2009/2010 48 / 460

1.1.5 Infinitamente grandes Sejam (u n ) e (v n ) duas sucessões de números reais. a) Seu n + e (v n ) tende paraa R ou para +, então (u n +v n ) +. b) Seu n e (v n ) tende paraa R ou para, então (u n +v n ). c) Seu n e (v n ) tende paraa R, então (u n +v n ). César Silva (UBI) Cálculo II 2009/2010 49 / 460

1.1.5 Infinitamente grandes Vê-se assim que pode usar-se a regra do limite da soma desde que se adoptem as convenções (+ ) +a = + =a + (+ ) ( ) +a = =a + ( ) +a = =a + (+ ) + (+ ) = + ( ) + ( ) = ondeaéum número real qualquer. César Silva (UBI) Cálculo II 2009/2010 50 / 460

1.1.5 Infinitamente grandes Observação Se u n + e v n, então nada se pode dizer sobre (u n +v n ) pois em alguns casos (u n +v n ) é convergente, noutros é divergente. Por isso, não fazemos nenhuma convenção para o símbolo (+ ) + ( ); este símbolo designa-se por símbolo de indeterminação. Algo de semelhante acontece com. César Silva (UBI) Cálculo II 2009/2010 51 / 460

1.1.5 Infinitamente grandes Sejam (u n ) e (v n ) duas sucessões de números reais. a) Seu n + e se (v n ) tende paraa>0 ou tende para +, então u n.v n +. b) Seu n + e se (v n ) tende paraa<0 ou tende para, então u n.v n. c) Seu n e se (v n ) tende paraa>0 ou tende para +, então u n.v n. d) Seu n e se (v n ) tende paraa<0 ou tende para, então u n.v n +. e) Seu n e (v n ) tende paraa R\{0} ou tende para, então u n.v n. César Silva (UBI) Cálculo II 2009/2010 52 / 460

1.1.5 Infinitamente grandes Adoptando as convenções que se seguem, vê-se que se pode usar a regra do limite do produto: (+ ) a = + =a (+ ) ondea R + ( ) a = =a ( ) ondea R + (+ ) a = =a (+ ) ondea R ( ) a = + =a ( ) ondea R a = =a ondea R\{0} (+ ) (+ ) = + = ( ) ( ) (+ ) ( ) = = ( ) (+ ) = César Silva (UBI) Cálculo II 2009/2010 53 / 460

1.1.5 Infinitamente grandes Observação Não se faz nenhuma convenção para os símbolos 0 (+ ), 0 ( ) e 0, pois são símbolos de indeterminação. César Silva (UBI) Cálculo II 2009/2010 54 / 460

1.1.5 Infinitamente grandes Seja (u n ) uma sucessão de termos não nulos. a) Seu n, então 1 0. u n b) Seu n 0, então 1. u n c) Seu n 0 eu n > 0 a partir de certa ordem, então 1 u n +. d) Seu n 0 eu n < 0 a partir de certa ordem, então 1 u n. César Silva (UBI) Cálculo II 2009/2010 55 / 460

1.1.5 Infinitamente grandes A regra do limite quociente pode manter-se desde que se adoptem as seguintes convenções onde 0 + significa que 1 = 0 1 0 = 1 0 + = + 1 0 = e 0 significa que u n 0 eu n > 0 a partir de certa ordem u n 0 eu n < 0 a partir de certa ordem. César Silva (UBI) Cálculo II 2009/2010 56 / 460

1.1.5 Infinitamente grandes Observação Os símbolos e são símbolos de indeterminação. 0 0 César Silva (UBI) Cálculo II 2009/2010 57 / 460

1.1.5 Infinitamente grandes Exemplo a) Dadoa R, consideremos a sucessão de termo geralu n =a n. Sea>1, então temosa n +. Quandoa = 1, entãou n = 1 n = 1 pelo que a sucessão tende para 1. Sea< 1, entãoa n. Paraa = 1 obtemos a sucessão ( 1) n que já vimos anteriormente. Esta sucessão é divergente. Se 1<a<1, entãoa n 0. César Silva (UBI) Cálculo II 2009/2010 58 / 460

1.1.5 Infinitamente grandes Exemplo (continuação) a) (continuação) Assim, lima n = + sea>1 1 sea = 1 0 se 1<a<1 não existe sea = 1 sea< 1 César Silva (UBI) Cálculo II 2009/2010 59 / 460

1.1.5 Infinitamente grandes Exemplo (continuação) b) Calculemos lim (3 n 2 n ). Como lim 3 n = + e lim 2 n = +, temos uma indeterminação do tipo. No entanto, pondo em evidência 3 n temos )] lim (3 n 2 n ) = lim [3 (1 n 2n 3 ( ( n 2 n )] = lim [3 n 1 3) = + (1 0) = + 1 = + César Silva (UBI) Cálculo II 2009/2010 60 / 460

1.1.5 Infinitamente grandes Exemplo (continuação) c) Calculemos lim 2n + 5 n+1 2 n+1. Temos uma indeterminação pois + 5n lim 2n + 5 n+1 + + (+ ) 2 n+1 = + 5n + + (+ ) = + +. Podemos levantar a indeterminação da seguinte forma 2 n lim 2n + 5 n+1 2 n+1 + 5 n = lim 2n + 5 n 5 2 n 2 + 5 n = lim 5 n + 5n 5 5 n 2 n 2 5 n + 5n 5 n ) n + 5 ( 2 5 = lim( ) 2 n 2 + 1 5 = 0 + 5 0 2+1 = 5 César Silva (UBI) Cálculo II 2009/2010 61 / 460

Índice 1 Sucessões e séries de números reais Sucessões de números reais Séries de números reais Definição e exemplos Séries de termos não negativos Critério de Leibniz; convergência absoluta Série de potências e série de Taylor 2 Funções de R n em R m : limites e continuidade 3 Cálculo diferencial em R n 4 Cálculo integral em R n 5 Integrais de linha 6 Integrais de superfície César Silva (UBI) Cálculo II 2009/2010 62 / 460

1.2.1 Definição e exemplos Paradoxo de Aquiles Numa corrida entre um atleta velocista (Aquiles) e uma tartaruga é dada uma vantagem inicial em termos de distância à tartaruga. Zenão defende que Aquiles jamais alcançará a tartaruga porque quando chegar ao ponto onde a tartaruga partiu, ela já terá percorrido uma nova distância; e quando Aquiles percorrer essa nova distância, a tartaruga já terá percorrido uma nova distância e assim sucessivamente. Este famoso paradoxo foi proposto por Zenão da Elea no século V a.c.. César Silva (UBI) Cálculo II 2009/2010 64 / 460

1.2.1 Definição e exemplos 200 m 40 m 8 m Suponhamos que a vantagem inicial que Aquiles dá à tartaruga é 200 m, que a velocidade de Aquiles é 5 m/s e que a velocidade da tartaruga é 1 m/s. Aquiles demora 200 = 40 s para chegar ao ponto de 5 onde a tartaruga partiu. Entretanto, a tartaruga percorreu 1 40 = 40 m. Em seguida, Aquiles demorou 40 = 8 s para chegar onde 5 a tartaruga estava e a tartaruga andou 1 8 = 8 m e assim sucessivamente... Será que Aquiles consegue alcançar a tartaruga? César Silva (UBI) Cálculo II 2009/2010 65 / 460

1.2.1 Definição e exemplos No primeiro ponto, o ponto inicial da tartaruga, Aquiles percorreu 200 metros; no ponto seguinte Aquiles percorreu (no total) 200 + 200 5 metros; no terceiro ponto Aquiles percorreu 200 + 200 5 + 200/5 = 200 + 200 5 5 + 200 5 2 metros; no quarto ponto Aquiles percorreu 200 + 200 5 + 200 5 2 + 200 5 3 metros; e assim sucessivamente. O paradoxo de Aquiles tem por detrás aquela que, provavelmente, foi a primeira série da história! César Silva (UBI) Cálculo II 2009/2010 66 / 460

1.2.1 Definição e exemplos Se (a n ) é uma sucessão de números reais, chamaremos série gerada por (a n ) à expressão a 1 +a 2 + +a n + obtida por adição (formal) dos termos da sucessão. A cada série fica associada uma sucessão (s n ), a que se chama sucessão das somas parciais de (a n ), definida por s 1 =a 1 s 2 =a 1 +a 2 s 3 =a 1 +a 2 +a 3. s n =a 1 +a 2 + +a n. César Silva (UBI) Cálculo II 2009/2010 67 / 460

1.2.1 Definição e exemplos A série diz-se convergente ou divergente conforme seja convergente ou divergente a sucessão das somas parciais (s n ). Quando a série é convergente, o limite da sucessão (s n ) designa-se por soma ou valor da série. Para representarmos a série (ou a sua soma, quando exista) usam-se os símbolos a 1 +a 2 + +a n + ; a n ; n=1 an e o contexto onde se usam estes símbolos indicará se estão a representar a série ou a sua soma. Dizemos que duas séries são da mesma natureza se são ambas convergentes ou ambas divergentes. César Silva (UBI) Cálculo II 2009/2010 68 / 460

1.2.1 Definição e exemplos Observação Em certos casos pode haver vantagem em que o primeiro valor que o índicentoma seja um inteiro diferente de um, o que não traz nenhuma dificuldade na teoria que irá ser exposta. Assim, n=2 1 n 1 e n=0 1 n + 1 designam a mesma série, enquanto que designa uma série diferente. n=6 1 n César Silva (UBI) Cálculo II 2009/2010 69 / 460

1.2.1 Definição e exemplos Exemplo 2 Para a série, representamos abaixo os primeiros termos da n(n + 1) n=1 2 sucessão de termo gerala n = n(n + 1) e da sucessão (s n) das somas parciais 2 s 3 s 4 s 5 s 6 s 7 s 8 s 9 s 10 s 2 a 1 s 1 1 a 2 2 a 3 3 a 4 4 a 5 5 a 6 6 a 7 7 a 8 8 a 9 9 a 10 10 Aparentemente a sucessão das somas parciais aproxima-se de 2... César Silva (UBI) Cálculo II 2009/2010 70 / 460

1.2.1 Definição e exemplos Exemplo (continuação) De facto, atendendo a que e portanto s n = = n k=1 n k=1 2 k(k + 1) = 2 k 2 conclui-se que k + 1 2 k(k + 1) 2 k 2 k + 1 = 2 2 2 + 2 2 2 3 + 2 3 2 4 + + 2 n 2 n + 1 = 2 2 n + 1 ( s = lims n = lim 2 2 ) = 2. n + 1 Conclui-se que a série converge e tem somas = 2. César Silva (UBI) Cálculo II 2009/2010 71 / 460

1.2.1 Definição e exemplos Série harmónica A série n=1 designa-se por série harmónica. Consideremos ainda a respectiva sucessão das somas parciais e tomemos a subsucessão dessa com termos com índice da forma 2 k, ou seja, a subsucessão (s 2 k): 1 n s 2 = 1 + 1 2 > 1 2 s 2 2 =s 2 + 1 3 + 1 4 > 1 2 + 2 1 4 = 2 1 2 s 2 3 =s 2 2 + 1 5 + 1 6 + 1 7 + 1 8 > 2 1 2 + 4 1 8 = 3 1 2 Em geral temoss 2 k> k 2. Como limk 2 = +, concluímos que lims n = + e, consequentemente, a série harmónica é divergente. César Silva (UBI) Cálculo II 2009/2010 72 / 460

1.2.1 Definição e exemplos Série geométrica Dador R, consideremos a série r n que habitualmente se designa n=0 por série geométrica. A sucessão (s n ) n N0 das somas parciais será, neste exemplo, dada por 1 r n+1 s n = 1 +r+ +r n ser 1 = 1 r n + 1 ser=1. Isto permite-nos concluir que a série geométrica é { convergente se r <1, divergente se r 1. Além disso, quando r <1 a sua soma é igual a 1 1 r. César Silva (UBI) Cálculo II 2009/2010 73 / 460

1.2.1 Definição e exemplos Sejam a n e b n duas séries convergentes cujas somas sãoaeb, respectivamente. Então a série (an +b n ) é convergente e a sua soma éa +B. Seja a n uma série convergente cuja soma éaesejaλum número real. Então a série (λan ) é convergente e a sua soma éλa. César Silva (UBI) Cálculo II 2009/2010 74 / 460

1.2.1 Definição e exemplos Se a n é uma série convergente e b n é uma série divergente, então (an +b n ) é uma série divergente. Note-se no entanto que, se a n e b n são duas séries divergentes, a série (an +b n ) pode ser convergente ou divergente. César Silva (UBI) Cálculo II 2009/2010 75 / 460

1.2.1 Definição e exemplos Exemplos a) A série + n=1 ( 1 n(n + 1) + 1 ) é convergente porque as séries 5 n 1 + n=1 1 n(n + 1) também são convergentes. Além disso, como + n=1 1 n(n + 1) = e + n=1 + n=1 1 5 n 1 1 2 2n(n + 1), podemos concluir que a sua soma é 1 pois já sabemos que soma da série + n=1 2 n(n + 1) é 2. Quanto à série + n=1 1 5 n 1 = + n=0 1 é uma série geométrica 5n de razão 1 5 e a sua soma é 1 1 1/5 = 5. Assim, a soma da série 4 + ( ) 1 n(n + 1) + 1 é 1 + 5 5 n 1 4 = 9 4. n=1 César Silva (UBI) Cálculo II 2009/2010 76 / 460

1.2.1 Definição e exemplos Exemplos (continuação) b) A série é divergente porque a série + n=1 + n=1 ( 7 3 n 1 + 1 ) n 7 + 3 n 1 = n=1 ( 1 n 1 7 3) é convergente e a série é divergente. + n=1 1 n César Silva (UBI) Cálculo II 2009/2010 77 / 460

1.2.1 Definição e exemplos Voltemos ao exemplo inicial de Aquiles e da tartaruga. A série envolvida neste exemplo é + 200 5 n = + [ 200 ( ) 1 n ]. 5 n=0 n=0 Como série geométrica de razão 1 5 é convergente pois 1 5 < 1 e a sua 1 soma é 1 1/5 = 5, o ponto onde Aquiles ultrapassa a tartaruga é 4 200 5 4 = 250m. César Silva (UBI) Cálculo II 2009/2010 78 / 460

1.2.1 Definição e exemplos Nem sempre é fácil calcular a soma de uma série convergente, não se conhecendo mesmo uma expressão para a soma de algumas séries bastante simples. Assim, no que se segue, vamos estudar critérios que nos permitem saber se uma série é ou não convergente, sem estarmos preocupados com a soma no caso da série ser convergente. César Silva (UBI) Cálculo II 2009/2010 79 / 460

1.2.1 Definição e exemplos Se a n é uma série convergente, então lima n = 0. Assim, se (a n ) não converge para 0, a série a n é divergente. Por exemplo, a série n n + 1 ( ) n é divergente porque a sucessão converge para um. n + 1 n N No entanto, o recíproco deste teorema não é válido pois a série harmónica 1 n ( ) 1 é divergente apesar da sucessão n n N convergir para zero. César Silva (UBI) Cálculo II 2009/2010 80 / 460

1.2.1 Definição e exemplos Sejam a n e b n duas séries. Suponhamos que existen N tal que a n =b n para qualquer número naturaln>n. Então an e b n são da mesma natureza. César Silva (UBI) Cálculo II 2009/2010 81 / 460

1.2.2 Séries de termos não negativos Nesta secção vamos estudar séries de números reais não negativos, ou seja, séries a n tais que a n 0 para cadan N. Obviamente, pelo que já vimos anteriormente, a teoria que vamos apresentar mantém-se válida se a n 0 a partir de certa ordem. César Silva (UBI) Cálculo II 2009/2010 83 / 460

1.2.2 Séries de termos não negativos Critério geral de comparação Sejam a n e b n séries de termos não negativos tais que a n b n a partir de certa ordem. a) Se b n é convergente, então a n também é convergente. b) Se a n é divergente, então b n também é divergente. César Silva (UBI) Cálculo II 2009/2010 84 / 460

1.2.2 Séries de termos não negativos Exemplos de aplicação do critério geral de comparação 1 a) Consideremos a série. Uma vez que n2 n=1 0 1 n 2 = 2 n(2n) 2 n(n + 1) e, como vimos anteriormente, a série n=1 para qualquer número naturaln 2 n(n + 1) é convergente, podemos afirmar que a série n=1 1 n 2 é convergente. César Silva (UBI) Cálculo II 2009/2010 85 / 460

1.2.2 Séries de termos não negativos Exemplos de aplicação do critério geral de comparação (continuação) b) Estudemos a série Como n=1 1 n α,α 2. 0 1 1 n α para qualquern N e qualquerα 2 n2 e a série 1 é convergente, a série n2 1 também é convergente quandoα 2. nα César Silva (UBI) Cálculo II 2009/2010 86 / 460

1.2.2 Séries de termos não negativos Exemplos de aplicação do critério geral de comparação (continuação) c) A série pois e a série é divergente. n=1 1 é divergente paraα 1 nα 0 1 n 1 para cadan N e para cadaα 1 nα 1 n César Silva (UBI) Cálculo II 2009/2010 87 / 460

1.2.2 Séries de termos não negativos Séries de Dirichlet As séries n=1 1 n α, comα R, designam-se por séries de Dirichlet. Nos exemplos anteriores já estudámos a natureza destas séries quandoα 1 eα 2. Quando 1<α<2, a série é convergente. Assim, + n=1 1 n α é { convergente seα>1, divergente se α 1. César Silva (UBI) Cálculo II 2009/2010 88 / 460

1.2.2 Séries de termos não negativos Critério do limite Sejam a n e b n séries de termos não negativos comb n 0 para cadan N. a) Se lim a n b n =l coml 0 el +, então as séries an e bn são da mesma natureza. b) Se lim a n b n = 0 e a série b n é convergente, então a série an também é convergente. c) Se lim a n b n = + e a série b n é divergente, então a série an também é divergente. César Silva (UBI) Cálculo II 2009/2010 89 / 460

1.2.2 Séries de termos não negativos Exemplos de aplicação do critério do limite 3n 2 + 4 a) A série 2n n=1 4 é convergente porque + 3n + 1 3n 2 + 4 2n 4 + 3n + 1 0 e 1 n2 0 para qualquern N, e lim 3n 2 + 4 2n 4 + 3n + 1 1 n 2 n=1 = lim 1 n 2 é convergente. 3n 4 + 4n 2 2n 4 + 3n + 1 = 3 2 César Silva (UBI) Cálculo II 2009/2010 90 / 460

1.2.2 Séries de termos não negativos Exemplos de aplicação do critério do limite (continuação) b) Consideremos a série sen 1. É óbvio que n n=1 Como e n=1 sen 1 n 0 e 1 0 para cadan N. n 1 n é divergente, n=1 lim sen 1 n sen 1 n 1 n = 1 também é divergente. César Silva (UBI) Cálculo II 2009/2010 91 / 460

1.2.2 Séries de termos não negativos Critério de D Alembert Seja a n uma série de termos positivos tal que lim a n+1 a n =λ. a) Seλ<1, então a n é convergente. b) Seλ>1, então a n é divergente. César Silva (UBI) Cálculo II 2009/2010 92 / 460

1.2.2 Séries de termos não negativos Exemplos de aplicação do critério de D Alembert a) Provemos que a série 2 n n! é convergente. É óbvio que nn Como 2 n n! > 0 qualquer que sejan N. nn lim 2 n+1 (n + 1)! (n + 1) n+1 2 n n! n n = lim 2n n (n + 1) n = lim 2 (1 + 1/n) n = 2 e < 1, pelo critério de D Alembert, a série 2 n n! n n é convergente. César Silva (UBI) Cálculo II 2009/2010 93 / 460

1.2.2 Séries de termos não negativos Exemplos de aplicação do critério de D Alembert (continuação) b) A série n3 n é divergente. Como n3 n > 0 para cadan N e (n + 1) 3n+1 lim n 3 n = lim 3 n + 1 n pelo critério de D Alembert a série = 3>1, n3 n é divergente. César Silva (UBI) Cálculo II 2009/2010 94 / 460

1.2.2 Séries de termos não negativos Critério de Cauchy Seja a n uma série de termos não negativos tal que lim n a n =λ. a) Seλ<1, então a n é convergente. b) Seλ>1, então a n é divergente. César Silva (UBI) Cálculo II 2009/2010 95 / 460

1.2.2 Séries de termos não negativos Exemplos de aplicação do critério de Cauchy a) Vejamos que a série é divergente. Como ( ) n + 1 n 2 n e ( n + 1 n ) n 2 (n ) + 1 n 2 lim n = lim n 0 qualquer que sejan N ( n + 1 n ) n = lim( 1 + 1 n) n =e>1, pelo critério de Cauchy, a série ( ) n + 1 n 2 n é divergente. César Silva (UBI) Cálculo II 2009/2010 96 / 460

1.2.2 Séries de termos não negativos Exemplos de aplicação do critério de Cauchy (continuação) b) À série n 3 n também podemos aplicar o critério de Cauchy. Como n 3 n 0 para cadan N e lim n n 3 n = lim 3 n n = 3, o critério de Cauchy garante-nos que n 3 n é divergente. César Silva (UBI) Cálculo II 2009/2010 97 / 460

1.2.3 Critério de Leibniz; convergência absoluta Critério de Leibniz Se (a n ) é uma sucessão decrescente convergente para zero, então a série é convergente. + n=1 ( 1) n a n César Silva (UBI) Cálculo II 2009/2010 99 / 460

1.2.3 Critério de Leibniz; convergência absoluta Observações a) Se (a n ) é uma sucessão decrescente convergente para zero, então a n 0 para qualquern N. b) As séries da forma + n=1 ( 1) n a n designam-se por séries alternadas. c) O critério de Leibniz também é válido para séries da forma + n=1 ( 1) n+1 a n ou da forma + n=k ( 1) n a n. César Silva (UBI) Cálculo II 2009/2010 100 / 460

1.2.3 Critério de Leibniz; convergência absoluta Exemplos a) A sucessão de termo gerala n = 1 n é decrescente pois a n+1 a n = 1 n + 1 1 + 1) =n (n = n n(n + 1) para qualquern N. Além disso, Pelo critério de Leibniz, a série lim a 1 n = lim n + n + n = 1 + = 0. 1 n(n + 1) 0 é convergente. + n=1 ( 1) n n César Silva (UBI) Cálculo II 2009/2010 101 / 460

1.2.3 Critério de Leibniz; convergência absoluta Exemplos (continuação) b) Estudemos a natureza da série + n=1 ( 1) n. Como n 2 1 1 (n + 1) 2 (n + 1) 2 n 2 =n2 n 2 (n + 1) 2 = n2 (n 2 + 2n + 1) n 2 (n + 1) 2 = 2n 1 n 2 (n + 1) 2 0 para qualquern N, ou seja, a sucessão de termo gerala n = 1 n 2 é decrescente, e lim n + 1 n 2 = 1 (+ ) 2 = 1 + = 0, o critério de Leibniz garante-nos que a série é convergente. + n=1 ( 1) n n 2 César Silva (UBI) Cálculo II 2009/2010 102 / 460

1.2.3 Critério de Leibniz; convergência absoluta Exemplos (continuação) c) Estudemos a natureza da série sucessão (a n ) é decrescente pois para qualquern N. + n=1 a n+1 a n = n + 2 n + 1 n + 1 n (n + 2)n (n + 1)2 = n(n + 1) ( 1) n a n coma n = n + 1 n. A = n2 + 2n (n 2 + 2n + 1) n(n + 1) 1 = n(n + 1) 0 César Silva (UBI) Cálculo II 2009/2010 103 / 460

1.2.3 Critério de Leibniz; convergência absoluta Exemplos (continuação) c) (continuação) No entanto, como lim a n = n + n + 1 n lim = lim n + n n + n + 1 n = lim 1 + 1 n + n = 1, não podemos aplicar o critério de Leibniz pois lima n 0. Mas se lima n = 1, a sucessão de termo geral ( 1) n a n é divergente pois a subsucessão dos termos de ordem par converge para 1 e a subsucessão dos termos de ordem ímpar converge para 1. Assim, a série + + ( 1) n a n = ( 1) nn + 1 é divergente. n n=1 n=1 César Silva (UBI) Cálculo II 2009/2010 104 / 460

1.2.3 Critério de Leibniz; convergência absoluta Uma série módulos + + n=1 n=1 a n diz-se absolutamente convergente se a série do a n é convergente. As séries absolutamente convergentes são convergentes, ou seja, se então + n=1 + n=1 a n é convergente, a n também é convergente. César Silva (UBI) Cálculo II 2009/2010 105 / 460

1.2.3 Critério de Leibniz; convergência absoluta Observação O recíproco do resultado anterior não se verifica. A série + n=1 ( 1) n é convergente, mas a sua série dos módulos + n=1 n ( 1) n + n = n=1 é a série harmónica que já vimos ser divergente. 1 n As séries convergentes cuja série dos módulos é divergente dizem-se simplesmente convergentes, semi-convergentes ou condicionalmente convergentes. César Silva (UBI) Cálculo II 2009/2010 106 / 460

1.2.3 Critério de Leibniz; convergência absoluta Exemplos a) Através do critério de Leibniz concluímos que a série + n=1 ( 1) n convergente. Uma outra forma de vermos que é convergente é através da série do módulos: + + n=1 ( 1) n + n 2 = 1 n 2. 1 Ora a série é uma série de Dirichlet comα = 2 e, portanto, é n2 n=1 convergente. Logo + n=1 ( 1) n n=1 é absolutamente convergente e, portanto, é convergente. n 2 n 2 é César Silva (UBI) Cálculo II 2009/2010 107 / 460

1.2.3 Critério de Leibniz; convergência absoluta Exemplos (continuação) b) Estudemos a natureza da série n N, se tem 0 cosn n 2 + 2n + 3 = + + n=1 cosn n 2. Como, para qualquer + 2n + 3 cosn n 2 + 2n + 3 = 1 n 2 + 2n + 3 1 n 2 1 e a série é convergente, pelo critério geral de comparação, a série n2 n=1 + cosn n 2 + 2n + 3 é convergente. Logo n=1 + n=1 cosn n 2 + 2n + 3 é absolutamente convergente e, por conseguinte, é convergente. César Silva (UBI) Cálculo II 2009/2010 108 / 460

1.2.3 Critério de Leibniz; convergência absoluta Exemplos (continuação) c) Consideremos a série e, como lim n + n + 1 n 2 + 2 1 n + n=1 + ( 1) n n + 1. A sua série dos módulos é n 2 + 2 n=1 n 2 +n = lim n + n 2 + 2 = pelo critério do limite, as série ( 1) n n + 1 = n 2 + 2 + n=1 + n=1 n + 1 n 2 + 2 lim n 2 (1 + 1/n) n + n 2 (1 + 2/n) = lim 1 + 1/n n + 1 + 2/n = 1, n + 1 + n 2 + 2 e 1, por serem séries de termos n positivos, são da mesma natureza. Como a série harmónica é divergente, a série + n=1 n + 1 também é divergente. n 2 + 2 n=1 César Silva (UBI) Cálculo II 2009/2010 109 / 460

1.2.3 Critério de Leibniz; convergência absoluta Exemplos (continuação) c) (continuação) Acabámos de ver que a série dos módulos de divergente. Vejamos, usando o critério de Leibniz, que a série convergente. Como e lim n + n + 1 n 2 + 2 = lim n + n(1 + 1/n) n 2 (1 + 2/n 2 ) = lim n + + n=1 + ( 1) n n + 1 n 2 + 2 é n=1 ( 1) n n + 1 n 2 + 2 é 1 + 1/n n(1 + 2/n 2 ) = 1 + 0 + (1 + 0) = 0 n + 2 (n + 1) 2 + 2 n + 1 n 2 + 2 = = n 2 + 3n 1 ((n + 1) 2 + 2)(n 2 + 1) 0 para qualquern N, pelo critério de Leibniz a série + n=1 ( 1) n n + 1 n 2 + 2 é convergente. Assim, esta série é simplesmente convergente. César Silva (UBI) Cálculo II 2009/2010 110 / 460

Índice 1 Sucessões e séries de números reais Sucessões de números reais Séries de números reais Série de potências e série de Taylor 2 Funções de R n em R m : limites e continuidade 3 Cálculo diferencial em R n 4 Cálculo integral em R n 5 Integrais de linha 6 Integrais de superfície César Silva (UBI) Cálculo II 2009/2010 111 / 460

1.3 Série de potências e série de Taylor Sejama 0,a 1,...,a n,... os termos de uma sucessão eaum número real. A série + n=0 a n (x a) n =a 0 +a 1 (x a) +a 2 (x a) 2 + +a n (x a) n + designa-se por série de potências dex a. Dizemos que a série está centrada emaeque os númerosa n são os coeficientes da série. As séries + n=0 x n + n!, n n 2 + 1 (x 2)n e n=0 + n=0 n(x π) n são séries de potências centradas, respectivamente, em 0, 2 e π. César Silva (UBI) Cálculo II 2009/2010 112 / 460

1.3 Série de potências e série de Taylor Observações a) Há séries de potências que não começam em zero. Por exemplo, a série + n=1 1 n xn = tem de começar em um. Obviamente, tudo o que vamos estudar nesta secção contínua válido para estas séries. b) Quandox =a en = 0 obtemos (x a) n = 0 0 que, apesar de não estar definido, no contexto das séries convencionamos ser igual a 1. c) Uma série de potências pode convergir para determinados valores de x e divergir para outros. d) Parax=a, tendo em conta a observaçãob), a série é sempre convergente. Aliás, sex =a temos + a n (x a) n =a 0. n=0 + n=1 x n n César Silva (UBI) Cálculo II 2009/2010 113 / 460

1.3 Série de potências e série de Taylor Exemplos de séries de potências x n a) Estudemos a série de potências. Aplicando o critério de n + 1 n=0 D Alembert à série dos módulos + x n + n + 1 = x n n + 1 n=0 + n=0 (que é obviamente uma série de termos positivos) temos lim n + x n+1 n + 2 x n n + 1 n + 1 1 + 1 = lim n + n + 2 x = lim n n + 1 + 2 x = 1. x = x n e, portanto, a série + n=0 x n é absolutamente convergente para x <1. n + 1 César Silva (UBI) Cálculo II 2009/2010 114 / 460

1.3 Série de potências e série de Taylor Exemplos de séries de potências (continuação) a) (continuação) Se x >1, temos e, portanto, lim n + x n+1 n + 2 x n n + 1 = x > 1 x n+1 n + 2 x n n + 1 a partir de certa ordem. Daqui concluímos que para x >1 a sucessão de x n termo geral não converge para zero e, consequentemente, a série n + 1 + n=0 x n é divergente quando x >1. n + 1 César Silva (UBI) Cálculo II 2009/2010 115 / 460

1.3 Série de potências e série de Taylor Exemplos de séries de potências (continuação) a) (continuação) Falta ver o que acontece quando x = 1. Sex = 1, então obtemos a série + 1 + n + 1 = 1 n, n=0 n=1 isto é, obtemos a série harmónica que já vimos ser divergente. Para x = 1, temos a série alternada n=0 ( 1) n n + 1 = n=1 ( 1) n+1 que é convergente (ver os exemplos do critério de Leibniz). Assim, esta série é convergente parax [ 1, 1[ e é divergente para x ], 1[ [1, + [. n César Silva (UBI) Cálculo II 2009/2010 116 / 460

1.3 Série de potências e série de Taylor Exemplos de séries de potências (continuação) b) Consideremos a série de potências + n=0 D Alembert à série dos módulos + x n + n! = n=0 x n. Aplicando o critério de n! n=0 x n n! (que é obviamente uma série de termos positivos) tem-se lim n + x n+1 (n + 1)! x n n! = lim n + o que permite concluir que a série para todo ox R. n! x = lim (n + 1)! n + + n=0 x n n! 1 x = 0. x = 0, n + 1 é absolutamente convergente César Silva (UBI) Cálculo II 2009/2010 117 / 460

1.3 Série de potências e série de Taylor Exemplos de séries de potências (continuação) c) Estudemos a natureza da série série dos módulos temos + n=0 + n=0 nx n = nx n. Aplicando o critério de Cauchy à + n=0 n x n n lim n x n = lim n n x = 1. x = x. n + n + Assim, a série é absolutamente convergente para x <1. Para x >1 a série é divergente. Para x = 1 a série também é divergente. Portanto, a série + n n x n n=0 converge sex ] 1, 1[ e diverge sex ], 1] [1, + [. César Silva (UBI) Cálculo II 2009/2010 118 / 460

1.3 Série de potências e série de Taylor Sejama 0,a 1,...,a n,... os termos de uma sucessão eaum número real. Então a) existe um número realr 0 tal que a série de potências + n=0 a n (x a) n converge absolutamente quando x a <r e diverge quando x a >r; ou b) a série de potências + n=0 a n (x a) n converge absolutamente para qualquer x R. César Silva (UBI) Cálculo II 2009/2010 119 / 460

1.3 Série de potências e série de Taylor O número r do resultado anterior designa-se por raio de convergência da série de potências + n=0 a n (x a) n. Se estivermos no caso da alíneab) costuma-se fazerr = +. O conjunto dosxpara os quais a série é convergente designa-se por intervalo de convergência da série de potências + n=0 a n (x a) n. Note-se que o intervalo de convergência de uma série de potências é um dos quatro intervalos seguintes: ]a r,a +r[, [a r,a +r[, ]a r,a +r] ou [a r,a +r]. César Silva (UBI) Cálculo II 2009/2010 120 / 460

1.3 Série de potências e série de Taylor Observações a) Do critério de D Alembert resulta que, se o limite existe, então r = lim n + a n a n+1 De facto, supondox a ea n 0 para qualquern N, como lim a n+1 (x a) n+1 n + a n (x a) n = lim a n+1 x a =λ x a, n + a n pelo critério de D Alembert, a série é absolutamente convergente se λ x a <1 x a <1/λ.Além disso, seλ x a >1 x a 1/λ,a série é divergente porque (a n (x a) n ) n N não converge para zero.. César Silva (UBI) Cálculo II 2009/2010 121 / 460

1.3 Série de potências e série de Taylor Observações (continuação) b) De forma análoga prova-se, usando o critério de Cauchy, que, se o limite existe, então r = lim n + 1. n a n César Silva (UBI) Cálculo II 2009/2010 122 / 460

1.3 Série de potências e série de Taylor Exemplos x n a) Já estudamos a natureza da série de potências n + 1 e n=0 provámos que o raio de convergência desta série ér=1 e que o seu intervalo de convergência é [ 1, 1[. b) Num exemplo anterior vimos o raio de convergência da série de + x n potências ér = + e, consequentemente, o seu intervalo de n! n=0 convergência é ], + [= R. c) Também já vimos que a série + n=0 + nx n tem como raio de convergênciar = 1 e o seu intervalo de convergência é ] 1, 1[. César Silva (UBI) Cálculo II 2009/2010 123 / 460

1.3 Série de potências e série de Taylor Exemplos (continuação) d) Estudemos a série de potências lim n + + n=1 (x 1) n n 2 2 n. Como 1 n 2 2 n (n + 1) 2 2 n+1 = lim 1 n + n 2 2 n = lim n + 2(1+1/n)2 = 2, (n + 1) 2 2 n+1 concluimos que a série é absolutamente convergente quando x 1 <2 x 1<2 x 1> 2 x ] 1, 3[ e é divergente quandox ], 1[ ]3, + [. Falta ver o que acontece quandox = 1 ex = 3. César Silva (UBI) Cálculo II 2009/2010 124 / 460

1.3 Série de potências e série de Taylor Exemplos (continuação) d) (continuação) Quando x = 3 temos n=0 + n=0 (3 1) n n 2 2 n = n=0 + n=0 2 n + n 2 2 n = 1 n 2 n=0 que é uma série de Dirichlet convergente. Quandox = 1 vem + ( 1 1) n + ( 2) n + n 2 2 n = n 2 2 n = ( 1) n 2 n + ( 1) n n 2 2 n = n 2, e esta série é convergente. Para vermos isso podemos usar o critério de Leibniz ou então ver que a sua série dos módulos + ( 1) n + n 2 = ( 1) n + 1 n 2 = n 2 n=0 n=0 n=0 n=0 é convergente. Assim, o raio de convergência da série e o seu intervalo de convergência é [ 1, 3]. n=0 + n=1 (x 1) n n 2 2 n ér= 2 César Silva (UBI) Cálculo II 2009/2010 125 / 460

1.3 Série de potências e série de Taylor Exemplos (continuação) e) Consideremos a série de potências Como lim + n=1 n n 2 + 1 n + 1 (n + 1) 2 + 1 n n 2 + 1 (x 2)n. = lim n3 + 2n 2 + 2n n 3 +n 2 +n+1 = 1 concluímos que, se x 2 <1, isto é, sex ]1, 3[, a série é absolutamente converge. Se x 2 >1 a série diverge. César Silva (UBI) Cálculo II 2009/2010 126 / 460

1.3 Série de potências e série de Taylor Exemplos (continuação) e) (continuação) Sex = 3, obtemos a série + n=1 n + n n 2 + 1 (3 2)n = n 2 + 1, n=1 que é uma série de termos positivos, pelo que estudaremos a sua natureza recorrendo ao critério do limite, fazendo a comparação com a série harmónica. Como lim n/(n2 + 1) 1/n = lim n2 n 2 + 1 = 1 concluímos que parax = 3 a série tem a mesma natureza da série harmónica e, portanto, diverge. César Silva (UBI) Cálculo II 2009/2010 127 / 460

1.3 Série de potências e série de Taylor Exemplos (continuação) e) (continuação) Além disso, sex = 1 obtemos a série ( 1) n n n 2 + 1. A n=1 sucessão de termo gerala n = n n 2 é decrescente visto que + 1 n + 1 (n + 1) 2 + 1 n n 2 + 1 = n 2 n+1 (n 2 + 2n + 2)(n 2 < 0 para todo on N. + 1) Por outro lado, uma vez que temos lim n + n n 2 + 1 = lim n + n n 2 (1 + 1/n 2 ) = lim n + + 1 n(1 + 1/n 2 ) = 1 + = 0 podemos concluir pelo critério de Leibniz que, parax = 1, a série converge. Assim, a série converge parax [1, 3[ e diverge para x ], 1[ [3 + [. César Silva (UBI) Cálculo II 2009/2010 128 / 460