ESCOLA SECUNDÁRIA COM 3º CICLO D. DINIS º ANO DE ESCOLARIDADE DE MATEMÁTICA A Tema III Sucessões Reais Tarefa º 3. Aalisemos o problema do trabalho da Maria Rita: O Tobias vive a mesma rua, ode se situa a sua escola. Da porta da sua casa à porta da escola ele percorre 00 m. Esta mahã o Tobias saiu de casa atrasado, tiha uma aula às 8 h e m, mas só se pôs a camiho às 8 h e 7 m, por isso dirigiu-se para a escola a uma velocidade de m/seg. Mas a cada segudos ele olhava para o relógio e ao ver as horas resolvia aumetar em, vezes a sua velocidade. A que horas chegou o Tobias à escola? Qual foi a velocidade com que o Tobias chegou à escola? Qual foi a velocidade média de viagem do Tobias?.. Ecotre uma forma de respoder às questões que o Problema lhe põe... O problema traduz uma sucessão? Justifique..3. O problema traduz uma situação que pode levá-lo ao cohecimeto de vários termos de várias sucessões cosiderado que os objectos são os istates de paragem e que o mometo em que parte correspode à ª paragem. Idetifique-as e idique o termo geral de cada uma delas..4. Idique propriedades destas sucessões.. Resolva a tarefa "Sucessões Moótoas e Limitadas (II)" da págia 9
ESCOLA SECUNDÁRIA COM 3º CICLO D. DINIS º ANO DE ESCOLARIDADE DE MATEMÁTICA A Tema III Sucessões Reais Tarefa º 3 Proposta de resolução. Aalisemos o problema do trabalho da Maria Rita: O Tobias vive a mesma rua, ode se situa a sua escola. Da porta da sua casa à porta da escola ele percorre 00 m. Esta mahã o Tobias saiu de casa atrasado, tiha uma aula às 8 h e m, mas só se pôs a camiho às 8 h e 7 m, por isso dirigiu-se para a escola a uma velocidade de m/seg. Mas a cada segudos ele olhava para o relógio e ao ver as horas resolvia aumetar em, vezes a sua velocidade. A que horas chegou o Tobias à escola? Qual foi a velocidade com que o Tobias chegou à escola? Qual foi a velocidade média de viagem do Tobias?.. Ecotremos uma forma de respoder às questões que o Problema os põe: O Tobias parte às 8h e 7 m e ao fim de segudos adou 0 m Em seguida ele aumeta a velocidade para m/seg e às 8 h 7m e 0s tiha percorrido mais 0 + 3m Em seguida ele aumeta a velocidade para,m/seg e às 8 h 7m e s ele tiha adado mais 6,m um total de 97,m, aida lhe falta mais de metade do camiho. Decide aumetar a velocidade para 3,m/seg e se adasse mais segudos ele percorreria 6,m mais 3,7m ( 97, + 6, 00 3,7) do que precisa para chegar à escola. Etão já sabemos que o Tobias chega à escola à velocidade de 3,m/seg. Vamos saber a que horas chega à escola: 00 97, 0, 0, 3,8 3, + + + 3,8 8,8seg O Tobias demora 8,8 segudos a chegar à escola, logo chega às 8h 7m e 8,8 seg. 00 A velocidade média é 0,94m / seg 8,8.. O problema ão traduz uma sucessão, apeas se refere a algus termos de sucessões, refere-se por isso a sequêcias e ão a sucessões. Além de que os termos ão têm
ordes cosecutivas. Só alguma giástica a defiição os pode sugerir termos cosecutivos de uma sucessão..3. O problema traduz uma situação que pode levar-os ao cohecimeto de vários termos de várias sucessões cosiderado que os objectos são os istates de paragem e que o mometo em que parte correspode à ª paragem. Idetifiquemo-las e idiquemos o termo geral de cada uma delas. Sucessão dos tempos de duração da viagem: 0 s, s, 0 s, s, t Sucessão das velocidades: m/s, m/s,,m/s, 3,m/s..4. A sucessão ( t ) é: moótoa crescete: ( ) ( ) t t 0, > + v, t t + + + + uma progressão aritmética de razão : t t + um ifiitamete grade positivo (porque tede para + ), os seus termos represetam-se graficamete sobre uma recta de declive positivo. A sucessão ( v ) é: moótoa crescete: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) + + v v,,,, 3, v v 0, > + uma progressão geométrica de razão,: v+,, v, um ifiitamete grade positivo (porque tede para + ). Vamos agora sitetizar o que já apredemos das propriedades das sucessões: ) é crescete se cada termo for maior que o aterior ou seja:, u > u, u u > 0 + ou seja + ) é decrescete se cada termo for meor que o aterior ou seja:, u < u, u u < 0 + ou seja + Uma sucessão é moótoa se for crescete ou decrescete ) é progressão aritmética se: u u cos ta te,, a costate chama-se razão da progressão + Termo geral de ( u ) progressão aritmética de razão r u u + ( ) r 3
) é progressão geométrica se: u+ cos ta te,, a costate chama-se razão da progressão u Termo geral de ( u ) progressão geométrica de razão r u u r 3. Resolva a tarefa "Sucessões Moótoas e Limitadas (II)" da págia 9. Cosideremos as sucessões ( u ) e ( ) a. ( u ) é decrescete porque: u u + 7 v cujos termos gerais são: v 7 ( + ) ( + )( + ) ( ) ( ) ( ) + 8 + 7 8 7 + 8 7 7 7 u + + + + u u< 0, IN ( v ) é crescete porque: v ( + ) ( + )( ) ( ) ( ) ( ) 7 + 7 7 7 7 + 7 + 7 + v + + + + v v> 0, IN b. ( u ) tede para porque os seus termos estão sobre um ramo de hipérbole de equação y + 7 cujo gráfico tem uma assímptota horizotal de equação y. x ( v ) tede para 7 porque os seus termos estão sobre um ramo de hipérbole de equação y 7 cujo gráfico tem uma assímptota horizotal de equação y 7. x c. ( u ) é limitada porque sedo decrescete o seu maior termo é o primeiro dode o meor dos majorates é 8 e porque tede para ele será o maior dos miorates. Cocluímos que < u 8, IN. v 7, IN porque sedo ( ) d. < v v crescete o meor dos seus termos é o primeiro, que é o maior dos miorates e como tede para 7 este será o meor dos majorates. e. O úmero é majorate das duas sucessões por ser maior que todos os termos de qualquer das sucessões. f. Zero é miorate das duas sucessões por ser meor que os termos de qualquer uma delas.. Vamos ecotrar valores para a e para de modo que: 4
a. A sucessão de termo geral t a+ seja decrescete e que 0 < t <, IN. Por a sucessão ser decrescete ficamos a saber que o primeiro termo é o maior e é positivo e 0 é o miorate. Etão 0 pode ser o valor para que tede a sucessão será o valor de a. Se fizermos o primeiro termo igual a 4 será t 0+ t 4 4 0 4. b. A sucessão de termo geral w a+ seja crescete e que < w < 0 IN. Por a sucessão ser crescete ficamos a saber que o primeiro termo é o meor e é egativo e 0 é o majorate. Etão 0 pode ser o valor para que tede a sucessão será o valor de a. Se fizermos o primeiro termo igual a 6 será w 0+ w 6 6 0 4. 3. Vamos aalisar as seguites sucessões para ver se são moótoas e limitadas: a. a 0. Esta sucessão tem os termos sobre uma parábola com a cocavidade voltada para cima pelo que o cojuto dos seus termos ão tem majorate. E ão é moótoa porque a4 4, a e a6 4 o que sigifica ser a4 > a mas a < a 6. ( a ) ão é moótoa em limitada. b. Esta sucessão ão é moótoa porque os termos são alteradamete b. ( ) egativos e positivos. Usemos a calculadora para calcularmos algus termos Observado os termos podemos ver que a sucessão dos termos de ordem par são positivos e dimiuem e os de ordem ímpar são egativos e crescem com a ordem. Vamos defiir a sucessão por ramos: b par impar par ( b ) e ( b, ) está etre 0 e, e é decrescete
impar está etre - e 0 e é crescete. b,, IN logo ( ) b é limitada mas ão é moótoa. c. c c + + 8 4 + 4 4 4 4 4 4 c + + + + ( ) ( ) 9 c+ c< 0, IN c 9 < c, IN ( c ) é moótoa e limitada. d. d + + ( + ) + + ( ) ( ) d+ d + + + + + + + d + d > 0, IN Os termos desta sucessão estão sobre um ramo de uma fução racioal cujo gráfico tem uma assímptota oblíqua de equação y x + o que sigifica que o cojuto dos termos da sucessão ão tem majorate ( d ) é moótoa mas ão é limitada. e. e + 0 + + 0 0 0 0 e+ e ( + ) + + + + + + + e+ e< 0, IN ( ) ( ) O cojuto dos termos da sucessão tem e como majorate mas ão tem miorate por os potos que represetam os termos estarem sobre o gráfico de uma racioal com assímptota oblíqua de equação y x. Daí eles dimiuírem idefiidamete. ( e ) é moótoa mas ão é limitada. 6