Facldade de Egeharia Mecâica Uiversidade Federal de Uberlâdia 18 e 19 de Novembro de 2015, Uberlâdia - MG MODELAGEM ESTOCÁSTICA DE ESTRUTURAS COMPÓSITAS CONTENDO SHUNT RESISTIVO PARA O CONTROLE PASSIVO DE VIBRAÇÕES Lorrae Pereira Ribiero, Uiversidade Federal de Uberlâdia, lorraemecaroica@gmail.com Aôio Marcos Goçalves de Lima, Uiversidade Federal de Uberlâdia, amglima@mecaica.f.br Resmo. Ese rabalho é dedicado à modelagem esocásica por elemeos fiios de ma esrra compósia coedo elemeo piezoelérico acoplado a m circio elérico sh resisivo com visas a obeção do corole passivo de vibrações. Faz-se ilização do Méodo dos Elemeos Fiios Esocásicos para modelagem das variáveis aleaórias como campos esocásicos homogêeos Gassiaos e, a discreização deses campos, realizada de acordo com o méodo de expasão em série de Karhe-Loève. Iervido-se direamee o processo de iegração, é eão possível ecorar as marizes exaas de massa e rigidez da esrra compósia. Palavras chave: modelagem esocásica, maeriais compósios, corole passivo de vibrações, circios sh, propagação de icerezas 1. INTRODUÇÃO Pela experiêcia em egeharia, observa-se qe a irodção de icerezas o modelo deermiísico radicioal de m sisema se ora cada vez mais ecessária ma vez qe esas icerezas ifleciam direamee o desempeho, drabilidade, segraça e cofiabilidade da esrra (Koroishi e al, 2012). Uma ferramea poderosa em mecâica compacioal esocásica é o Méodo dos Elemeos Fiios Esocásicos (SFEM), qe é ma exesão da abordagem clássica de elemeos fiios para o coexo esocásico, aravés da resolção de problemas esocásicos (esáica e diâmica) qe evolvem parâmeros aleaórios. Porao, o SFEM permie ma combiação da aálise clássica por elemeos fiios com aálise esaísica (De Lima, Rade e Bohaddi, 2010). Nese rabalho, aeção é dada à ilização de maeriais compósios, os qais são basae ilizados a egeharia em derimeo aos covecioais como aço e almíio, pricipalmee pela sperioridade das propriedades mecâicas qe podem ser alcaçadas qado se realiza a cocepção de ma esrra compósia. (Faria, 2006). Faz-se ambém a ilização de piezeléricos, os qais podem ser ilizados ao como sesores e aadores o corole de vibrações de esrras. O elemeo piezelérico é ilizado ese rabalho o corole passivo de vibração icorporado para iso m circio elérico exero, circio sh, em ses elerodos. A modelagem do problema eleromecâico foi realizada pela combiação de das eorias: Teoria da Deformação Cisalhae de Primeira Ordem (FSDT) para aproximação dos campos de deslocameos mecâicos e Teoria das Camadas Eqivalees Discreas para modelagem dos poeciais eléricos. Assim, cosidera-se o campo de deslocameos mecâicos cocebido de forma csada em ma úica camada eqivalee e o poecial elérico disribído por camadas (Reddy, 1997). O modelo eleromecâico deermiísico foi cocebido de forma paramerizada, de forma qe, as pricipais variáveis iceras, como espessra das camadas e direções das fibras foram faoradas de marizes de massa e rigidez. Tao esas variáveis aleaórias como a resisêcia circio resisivo são eão modeladas como campos esocásicos homogêeos Gassiaos. Para discreização deses campos esocásicos, faz-se a ilização do méodo de Expasão em Série de Karhe-Loève (KL), o qal cosise o acoplameo ere o desevolvimeo em série do campo aleaório com ma aálise especral para selecão dos ermos mais imporaes da série. Dese modo, iervém-se direamee o processo de iegração obedo-se as marizes exaas de massa e rigidez do sisema (Ghaem e Spaos, 1991). Assim, ora-se possível avaliar a variabilidade das resposas em virde da propagação de icerezas o modelo, ilizado-se da Simlação de Moe Carlo (MCS), combiada com a amosragem por HiperCbo Laio (LHC) como esocásico solver. 2. FORMUAÇÃO DO PROBLEMA ELETROMECÂNICO DETERMINÍSTICO A modelagem dos campos de deslocameos mecâicos foi realizada via eoria FSDT, a qal cosidera cico gras de liberdade a defiição do se campo de deslocameos (Reddy, 1997). Cosidero-se ambém m elemeo fiio da família Seredipiy o qal possi oio ós sem a preseça de ó ceral. Desa forma, cada elemeo fiio possi m oal de oio ós e cada ó possi cico gras de liberdade, oalizado qarea gras de liberdade por elemeo fiio (Faria, 2006). A mariz de massa elemear é obida por meio da eqação da eergia ciéica, como apreseado a primeira expressão da Eq. (1). Já a mariz de rigidez mecâica elemear é obida por meio da eergia poecial de deformação e dada a segda expressão da Eq. (1). O dealhameo deses procedimeos pode ser ecorado em Ribeiro (2015).
Lorrae Pereira Ribeiro e Aôio Marcos Goçalves de Lima Modelagem Esocásica de Esrras Compósias Coedo Sh Resisivo para o Corole Passivo de Vibrações 3 e T T i e T dv ; e i JdV e 1 V 1 i1 e Ve M N A A N M K B C B (1) é a desidade do maerial da -ésima camada, paramerizada, N são as fções de forma, mariz dos operadores difereciais, A é a mariz coedo a espessra z de cada camada V e é o volme do elemeo fiio, B Dz N (, ), sedo z D a C a mariz de propriedades mecâicas já cosiderado-se as direções das fibras das camadas do maerial compósio, i = z i -z i = i --1 i h i +1 com i=1...3 e h é a espessra de cada camada. Observa-se qe a mariz de massa foi modelada de forma paramerizada pela desidade e espessra das camadas. Já a mariz de rigidez mecâica elemear foi paramerizada em ermos das espessras e dos âglos das fibras das camadas e separada em ermos dos efeios de flexão-membraa, Eq. (2), e cisalhameo, Eq. (3), (Ribeiro, 2015): e i 4 2 3 2 2 c c s c s c s c b 1 bi 2 bi 3 bi 4 bi 5 bi 6 bi 1 i1 K K K K K K K (2) e i 2 2 c s c s s 1 si 2 si 3 bi 1 i1 K K K K (3) e e e K K K b s, c =cos θ e θ é o âglo de direção das fibras da -ésima camada. Para modelagem de esrras compósias lamiadas coedo piezeléricos a eoria FSDT é ilizada a aproximação dos deslocameos mecâicos e os poeciais eléricos disribídos ao logo das espessras das camadas. O poecial N ξ,η, das fções layerwise s =se θ, elérico da -ésima camada, Eq. (4), pode ser escrio em ermos das fções de forma, rasversais, L z, e dos poeciais eléricos odais, φ (Saravaos e Heyliger, 1995; Faria, 2006): e Φ ξ,η,z, = L z N ξ,η φ = N ξ,η,z φ (4) e e O campo elérico é dado pelo gradiee egaivo do poecial elérico (Faria, 2006): E N φ B φ (5),,z, Φ,,,,z e,,z e As marizes de rigidezes elemeares do sisema eleromecâico são obidas a parir da eqação da eergia de deformação do sisema evolvedo a coribição elérica, sedo qe, as marizes de rigidezes eleromecâica e elérica são dadas, respecivamee, a seqêcia (Faria, 2006): z 1 1 1 z 1 1 1 e T e T 1 zz 1 1 1 zz 1 1 Jdd dz; K B e B K B χb Jdd dz (6) e são as cosaes dieléricas e χ é a mariz de permissividade elérica, ambas levado-se em cosideração as direções das fibras do compósio lamiado. A mariz de rigidez mecâica paramerizada foi previamee mosrada as Eqs. (2) e (3). Já as marizes de rigidezes eleromecâica, Eq. (7), e elérica, Eq. (8), paramerizadas em ermos da espessra das camadas e dos âglos de direções das fibras do compósio lamiado são apreseadas a segir (Ribeiro, 2015): e 1 00 2 01 02 2 03 2 10 2 2 11 2 12 2 2 13 K K c K s c K s K K c K s c K s K (7) K e 00 2 01 02 2 03 2 2 11 2 12 2 2 13 3 2 21 1 K c K s c K s K c K s c K s K c K 2 3 22 3 2 23 s c s K K (8) A obeção das marizes de massa e rigidezes globais se dá por meio de procedimeos clássicos de moagem por elemeos fiios cohecedo-se a coecividade dos ós. A eqação do movimeo é eão dada a Eq. (9):
M 0 K K f 0 0 Φ K K Φ q (9) M, K, K e K são as marizes de massa e rigidezes mecâica, eleromecâica e elérica globais, respecivamee, K K, T os poeciais eléricos globais, é o veor coedo os gras de liberdade mecâicos globais, f é o veor dos esforços geeralizados e Φ é o veor coedo q é o veor das cargas eléricas geeralizadas. De posse das eqações do movimeo a ível global, faz-se a iclsão do circio elérico sh o modelo. Assim, a Z, é dada fção de resposa em freqêcia (FRF) do sisema, levado-se em cosideração a impedâcia do circio, a Eq. (10) (Ribeiro, 2015): 1 1 1 1 2 H K K K Z K M (10) j 3. FORMULAÇÃO POR ELEMENTOS FINITOS ESTOCÁSTICOS As icerezas são agora iseridas o modelo deermiísico paramerizado. Os parâmeros de projeo qe foram faorados das marizes e a resisêcia do circio, são agora omados como aleaórios. As variáveis aleaórias modeladas H xy,,, e a discreização deses campos dada pela expasão em série de Karhe-Loève como campos esocásicos, (KL). Pela ilização da expasão de KL é possível ecorar as marizes aleaórias elemeares de massa e rigidezes do sisema da esrra eleromecâica. Observa-se qe as marizes possem ma parcela deermiísica qe é calclada como mosrado a seção aerior e ma parcela esocásica qe é melhor dealhada os rabalhos de De Lima, Rade e Bohaddi (2010), Koroishi e al (2012) e Ribeiro (2015). e T e T H,, d α α λ λ f e r i j i j j fi dω dω x y 1 e 1 Ω y Ω x M x y N N M y x N N (11) e T e T H,, d α α λ λ e r i j i j f j fi dω dω x y 1 e 1 Ω y Ω x K x y B C B K y x B C B (12) e T e T H,, d α α λ λ f e r i j i j j fi dω dω x y 1 1 e Ωy Ωx K x y B e B K y x B e B (13) e T e T H,, d α α λ λ f e r i j i j j fi dω dω x y 1 1 e Ωy Ωx K x y B χ B K y x B χ B (14) é o úmero de camadas do compósio,,r N * r são as variáveis orogoais de medias zero, as fções deermiísicas dadas por i f x e f y e os valores escalares j i e j são, respecivamee, os aoveores e aovalores da fção de covariâcia. A resposa em freqêcia do sisema eleromecâico, de posse do circio elérico sh e cosiderado-se as marizes esocásicas globais é mosrada a Eq. (15): 1 1 1 2 H, K K K Z, K M (15) j Escolhedo-se primeiramee as fções de disribição de probabilidades das variáveis iceras, o problema esocásico dado pela Eq. (15) pode ser resolvido por meio do méodo MCS combiado com a amosragem por LHC. 1
Lorrae Pereira Ribeiro e Aôio Marcos Goçalves de Lima Modelagem Esocásica de Esrras Compósias Coedo Sh Resisivo para o Corole Passivo de Vibrações 4. SIMULAÇÕES As simlações foram realizadas com ma viga egasada livre de compósio coedo elemeo piezelérico acoplado de circio sh resisivo como mosrado a figra a segir. Observa-se pela figra qe a viga de 0,306m de comprimeo foi discreizada em seis elemeos fiios. Todas as dimesões são dadas em meros. A esrra compósia, a qal possi qaro camadas, odas com a mesma espessra, 0,002m, e ambém o PZT (Tiaao Zircoao de Chmbo), º º º º e a mesma largra, 0,0255m. A cofigração 0 /90 /90 /0 foi ivesigada para a direção das fibras do compósio. Figre 1. a) Viga de compósio em balaço acoplado de PZT coedo circio sh; b) Fção de resposa em freqêcia deermiísica do primeiro modo da viga em balaço As propriedades mecâicas e eléricas do compósio e do PZTG1195 ilizados podem ser ecorados o rabalho de Ribeiro (2015). O corole passivo de vibrações da esrra foi realizado a Fig 1b via sh resisivo. O valor do resisor foi calclado como sedo óimo de acordo com o rabalho de Hagood e vo Floow (1991), cjo valor obido foi de R 96907,00. Pode-se observar qe hove ma redção de aproximadamee 40dB o primeiro modo de vibrar da esrra ilizado-se do sh resisivo. Nese poo do rabalho as variáveis de projeo qe foram faoradas das marizes e o valor da resisêcia do circio foram modelados como campos esocásicos e discreizados via Karhe-Loève (KL). O domíio esocásico foi defiido como sedo as dimesões do elemeo fiio assim como vários rabalhos a lierara, como Ghaem e Spaos (1991), De Lima, Rade e Bohaddi (2010) e Koroishi e al (2012). Além disso, de acordo com a lierara, a parir de qaro ermos a expasão da série de KL já são sficiees para covergêcia. Dez ermos foram eão ilizados. As simlações foram divididas em dois cojos: o primeiro cojo de simlações cosidero apeas a resisêcia do circio sh como sedo ma variável aleaória. Desa forma, o parâmero resisivo foi cosiderado como icero, variado se valor omial, R 96907,00, em cico por ceo (Fig. 2a), dez por ceo (Fig. 2b), qize por ceo (Fig. 2c) e vie por ceo (Fig. 2d). Já o segdo cojo de simlações, cosidero ão somee a resisêcia como sedo ma variável aleaória, mas ambém, as espessras do compósio e do PZT e os âglos de direções das fibras. Desa forma, m maior úmero de variáveis foram omadas como iceras ese segdo cojo de simlações. Os valores omiais de cada ma dessas variáveis foram variados em cico por ceo (Fig. 2e), dez por ceo (Fig. 2f), qize por ceo (Fig. 2g) e vie por ceo (Fig. 2h). Em odas as simlações realizadas a Fig. 2 oa-se qe com o ameo do ível de dispersão dos parâmeros cosiderados como sedo iceros, amea-se ambém a variabilidade das FRFs, orado maior o evelope das fções de resposa em freqêcia esocásicas, ameado-se o iervalo de cofiaça. Além disso, observa-se qe a FRF média esocásica (cor azl) ecora-se, em odos os casos, dero do evelope formado pelas FRFs míimas (cor verde) e máximas esocásicas (cor vermelha). Figre 2. Evelopes de fções de resposa em freqêcia do sisema esocásico
Noa-se pelas simlações da Fig. 2 qe praicamee ão hove mdaças as resposas do sisema ao se adicioar as variáveis esrrais como sedo ambém aleaórias se comparadas com as simlações do primeiro cojo apeas a resisêcia foi cosiderada icera. Observa-se ambém qe o circio passivo coio a aear os íveis de vibrações mesmo os piores casos, se iseri o maior ídice de icerezas em ses parâmeros (Fig. 2d e Fig. 2h). 5. CONCLUSÕES Foi possível observar a grade capacidade de aeação passiva dos íveis de vibrações e rídos dos circios sh resisivos. Observo-se ambém qe a ilização do circio elérico sh resisivo acoplado a esrra desloca a freqêcia de ressoâcia, se assemelhado aos reslados obidos de sisemas amorecidos viscoelasicamee. No sisema esocásico, foi possível observar qe, dere as variáveis cosideradas como aleaórias, iferi-se qe as icerezas advidas da variabilidade da resisêcia do circio, possem maior iflêcia a variabilidade e coseqee ameo do iervalo de cofiaça das FRFs da esrra em comparação com as icerezas associadas a espessra das camadas e aos âglos de direções das fibras. A baixa relevâcia dos parâmeros da esrra a variabilidade das resposas do sisema amorecido passivamee via sh resisivo pode ser explicada pelas peqeas dimesões da viga se comparadas com a ordem de gradeza da resisêcia do circio. Saliea-se a robsez adicioada pelo circio resisivo ao ser acoplado a esrra mais PZT, ma vez qe, mesmo para os piores ceários, iserido-se a máxima dispersão o valor da resisêcia, ese circio coia a realizar a aeação dos íveis de vibração do primeiro modo de forma saisfaória. 6. REFERÊNCIAS De Lima, A.M.G., Rade, D.A. e Bohaddi, N., 2010. Sochasic Modelig of Srface Viscoelasic Treames Combied wih Model Csaio Procedres, Shoc ad Vibraio, Vol. 17, pp. 429-444. Faria, A. W., 2006. Modelagem por elemeos fiios de placas composas doadas de sesores e aadores piezoeléricos: implemeação compacioal e avaliação mérica. 152f. Disseração de Mesrado, Uiversidade Federal de Uberlâdia, Uberlâdia, MG. Ghaem, R.G. e Spaos, P.D., 1991. Sochasic Fiie Elemes A Specral Approach, Sprig Verlag. Hagood, N. W. e vo Floow, A., 1991. Dampig of Srcral Vibraios wih Piezoelecric Maerials ad Passive Elecrical Newors, Joral of Sod ad Vibraio, Vol. 146, Nº2, pp 243-268. Koroishi e al, 2012. Sochasic Modelig of Flexible Roors, J. Braz. Soc. Mech. Sci. & Eg. vol.34 o.spe2 Rio de Jaeiro. Reddy, J. N., 1997. Mechaics of Lamiaed Composie Plaes: Theory ad Aalysis. 2.ed. Florida: CRC Press. Ribeiro, L. P. Modelagem Esocásica de Esrras Compósias Icorporado Circios Sh para o Corole Passivo de Vibrações. 2015. 117f. Disseração de Mesrado, Uiversidade Federal de Uberlâdia, Uberlâdia. Saravaos, D. A. e Heyliger P. R. Copled Layerwise, 1995. Aalysis of Composie Beams wih Embedded Piezoelecric Sesors ad Acaors. Joral of Iellige Maerial Sysems ad Srcres, v. 6,.3, p. 350-363. 7. AGRADECIMENTOS À CAPES pela bolsa de esdos e aos órgãos de fomeo CNPq e FAPEMIG. 8. ABSTRACT This wor is devoed o he sochasic fiie eleme modelig of a composie srcre coaiig piezoelecric eleme copled wih a sh resisive circi wih he aim of passive vibraio aeaio. So, Sochasic Fiie Eleme Mehod is sed o model he cerai variables as Gassia sochasic homogeeos fields ad his fields are discreized i accordace wih he Karhe-Loève series expasio mehod. By ierveig direcly i he process of iegraio, was possible o fid he exac mass ad siffess marices of he composie srcre. 9. RESPONSABILIDADE PELAS INFORMAÇÕES Os aores são os úicos resposáveis pelas iformações iclídas ese rabalho.