Uso de rotas elementares na resolução do CVRP

Uso de rotas elementares na resolução do CVRP Dego Galndo Pecn Humberto Longo Insttuto de Informátca UFG, GoânaGO, Brasl degopecn@gmal.com longo@nf.ufg.br Resumo Este trabalho descreve o uso de um algortmo para o ESPPRC, como gerador de rotas elementares, em um algortmo BCP Robusto desenvolvdo para o CVRP. Os lmtes nferores obtdos, para algumas nstâncas de teste do CVRP, são comparados com os lmtes obtdos na versão orgnal desse algortmo BCP, que utlza rotas sem 3-cclos ou 4-cclos. Palavras-Chave: CVRP, ESPPRC, Camnhos Elementares. Abstract Ths work descrbe the use of an algorthm that solves the ESPPRC n a robust CVRP's Branch-and-Cut-and-Prce framework as the column generaton mechansm. The resultng BCP was used to obtan lower bounds to several CVRP's test nstances. These bounds are compared wth prevous ones obtaned wth the orgnal BCP, whch s based on k-cycle elmnaton. Keywords: CVRP, ESPPRC, Elementary Paths. 1 Introdução O Problema de Roteamento de Veículos com Restrção de Capacdade (CVRP Capactated Vehcle Routng Problem) refere-se à determnação de um conjunto de rotas ótmas para uma frota de veículos, a m de atender as demandas de um conjunto de clentes. As restrções do problema são: todos os veículos têm a mesma capacdade de carga e ncalmente estão posconados em um mesmo depósto central; todas as demandas são do mesmo tpo (todas de coleta ou todas de entrega); cada rota deve começar e termnar no depósto; a demanda de cada clente deve ser ntegralmente atendda por apenas uma rota e a soma das demandas atenddas por uma rota deve ser nferor à capacdade do veículo que a percorre. O objetvo é determnar rotas que atendam essas restrções e tas que o custo total para se percorrer todas elas seja mínmo. Este problema, proposto em Dantzg e Ramser (1959), pertence à classe NP-dfícl de problemas de Otmzação Combnatóra, já que generalza o Problema do Caxero Vajante (TSP Travelng Salesman Problem), que por sua vez também pertence à classe NP-dfícl, Garey e Johnson (1979). Técncas de geração de colunas e Branch-and-Prce fazem parte do conjunto de métodos exatos para a resolução do CVRP: Fukasawa et al. (2006), Rghn e Salan (2008), Salan (2006). Em geral, quando o problema lnear orgnal é decomposto (usando-se, por XLI SBPO 2009 - Pesqusa Operaconal na Gestão do Conhecmento Pág. 2922

exemplo, a decomposção de Dantzg-Wolfe), o subproblema de geração de colunas correspondente consste em encontrar uma rota elementar (coluna) que satsfaça a restrção de capacdade dos veículos e que seja de custo reduzdo mínmo. Este subproblema é um caso partcular do Problema do Camnho Elementar Mínmo com Restrções de Recursos (ESP- PRC Elementary Shortest Path Problem wth Resource Constrants). Neste caso, a únca restrção de recursos é a capacdade lmtada de carga dos veículos. Como o ESPPRC é um problema fortemente NP-Dfícl, Dror (1994), geralmente resolve-se uma relaxação deste subproblema. Ao nvés de se encontrar uma rota elementar mínma, procura-se por uma rota mínma não elementar, sto é, uma rota que satsfaça a restrção de capacdade dos veículos, porém esta pode conter cclos com uma quantdade de arestas superor a um parâmetro δ, Irnch e Vlleneuve (2006). Como um clente pode ser vstado mas de uma vez nesta versão relaxada, a cada vsta toda a sua demanda deve ser atendda. Embora resolver uma tal relaxação seja mas rápdo que resolver o problema em s, os lmtes obtdos com a elmnação de δ-cclos para valores pequenos de δ em geral são de qualdade nferor. O algortmo básco de correção de rótulos para a resolução do ESPPRC proposto em Fellet et al. (2004) e uma versão melhorada deste, apresentado em Rghn e Salan (2006), são aqu revstos. Este prmero é uma adaptação dreta do algortmo de correção de rótulos apresentado em Desrochers (1988), o qual resolve a versão relaxada do ESPPRC conhecda como Problema do Camnho Mínmo com Restrções de Recursos (SPPRC Shortest Path Problem wth Resource Constrants). Nessa versão relaxada, cclos são permtdos. Um dos mas bem suceddos algortmos propostos para o CVRP, Fukasawa et al. (2006), resolve o subproblema de geração de colunas baseando-se na resolução do SPPRC apresentada em Irnch e Vlleneuve (2006), onde δ-cclos são elmnados para a obtenção de melhores lmtes. O objetvo deste trabalho é explorar o mecansmo de geração de rotas elementares para a obtenção de bons lmtes para o CVRP. O algortmo nal proposto para o CVRP é uma modcação daquele apresentado em Fukasawa et al. (2006). Agora, o subproblema de geração de colunas resume-se a resolver um ESPPRC, o qual é resolvdo com o recente algortmo apresentado em Rghn e Salan (2006). A m de acelerar a etapa de geração de colunas deste novo algortmo para o CVRP, uma heurístca para o ESPPRC é proposta. Assm, a versão exata para o ESPPRC só é executada quando esta heurístca falha em encontrar rotas elementares de custo reduzdo negatvo. Para testar este novo algortmo foram usadas algumas nstâncas do CVRP conhecdas na lteratura. Os resultados obtdos (lmtes nferores e tempo de processamento) são comparados com a versão orgnal de Fukasawa et al. (2006), quando apenas δ-cclos são elmnados, para δ = 3 e δ = 4. O restante deste documento está organzado da segunte forma: a Seção 2 dene formalmente o problema CVRP e o subproblema típco obtdo quando a técnca de geração de colunas é usada na resolução do CVRP, a Seção 3 descreve um dos melhores algortmos já desenvolvdos para o CVRP, Fukasawa et al. (2006), a Seção 4 descreve o algortmo básco de correção de rótulos para a resolução do ESPPRC proposta em Fellet et al. (2004) e a versão aprmorada deste, apresentada em Rghn e Salan (2006), a Seção 5 apresenta detalhadamente o algortmo exato para o subproblema em questão e uma heurístca que acelera a etapa de geração de colunas do CVRP, a Seção 6 mostra resultados computaconas obtdos para algumas nstâncas de testes da lteratura para o CVRP e os comparam com resultados prevamente obtdos em Fukasawa et al. (2006) e a Seção 7 conclu o documento. 2 O subproblema de geração de colunas do CVRP O CVRP é dendo em um grafo não orentado G = (V, A ), onde V = {v 0, v 1,..., v n } e A = {(v, v j ) v, v j V, < j}. O vértce v 0 representa o depósto e os demas XLI SBPO 2009 - Pesqusa Operaconal na Gestão do Conhecmento Pág. 2923

representam os clentes (V + = {v 1,..., v n }). O depósto é a base de uma frota de K N veículos de dêntca capacdade C N. A cada arco (v, v j ) A assoca-se um custo m j > 0 de percorrê-lo e a cada vértce v V + assoca-se uma demanda r > 0 (para o depósto v 0, tem-se r 0 = 0). As restrções do problema são: cada vértce v V + deve ser vstado exatamente uma vez e o veículo que o vsta deve atender toda a sua demanda; todos os K veículos devem ser usados, ou seja, cada veículo deve atender pelo menos um vértce v V +; a rota desenvolvda por um veículo deve ncar e termnar no depósto v 0 ; e a demanda total atendda por cada veículo não deve exceder a sua capacdade C. O objetvo é encontrar um conjunto F de K rotas (camnhos fechados), com níco e térmno no depósto, tal que a soma dos custos das K rotas do conjunto F seja mínmo. Uma formulação para o CVRP, Laporte e Norbert (1983), representa por x j a quantdade de vezes que o arco (v, v j ) A é vstado por um veículo. Seja r(s) a soma das demandas de todos os vértces em S, onde S V +; θ(s) é o conjunto de arcos que possuem exatamente um extremo dentro do conjunto S. Dene-se, então, o poltopo P em R A : x e = 2 v V + (1) e θ({v }) x e = 2K (2) e θ({v 0 }) P = x e 2k(S) S V + (3) e θ(s) x e 1 e A \ θ({v 0 }) (4) x e 0 e A. As restrções (3) especcam que todo subconjunto de clentes S deve ser servdo por uma quantdade sucente de veículos (sto é, k(s) veículos). A quantdade k(s) é o valor de uma solução ótma para uma nstânca do Bn-Packng Problem e, portanto, encontrar k(s) é um problema NP-dfícl. Porém, na prátca, é usado o lmte nferor dado por r(s)/c. As demas restrções especcam que: (1) apenas um únco veículo deve atender a cada clente; (2) K veículos dexam e retornam ao depósto; (4) as aresta não ncdentes ao depósto podem ser percorrdas no máxmo uma vez (observe que rotas com apenas um clente são permtdas). Todas soluções váves para o CVRP são dendas no conjunto F = {x P }. Logo, a solução ótma, um vetor ntero x P, para o CVRP é dada pelo valor: C = mn x P e A m e x e. Quando o CVRP é resolvdo va geração de colunas e branch-and-prce, é comum que o subproblema a ser resolvdo na etapa de geração de colunas exja a computação de uma rota mínma que satsfaça à uma dada restrção de capacdade (sto é, uma restrção que lmta a quantdade total de demanda que pode ser atendda nos vértces vstados por esta rota) em um grafo cujos arcos podem possur custos negatvos assocados (pos estes podem representar custos reduzdos). Este subproblema é, normalmente, resolvdo através de programação dnâmca de duas formas possíves: gerando-se somente camnhos elementares ou permtndo-se camnhos com cclos. O subproblema aqu descrto refere-se ao problema de encontrar uma rota mínma elementar com restrção de capacdade. Assm, se o grafo não orentado G = (V, A ) dene uma nstânca do CVRP, o subproblema de geração de colunas correspondente a esta nstânca do CVRP pode ser modelada por um grafo não orentado G = (V, A), onde: V = V (V + = V +), e cada vértce v V tem uma demanda q = r assocada; XLI SBPO 2009 - Pesqusa Operaconal na Gestão do Conhecmento Pág. 2924

A = A, e cada arco (v, v j ) A tem um custo l j = m j m j assocado (m j é o custo reduzdo do arco (v, v j ) e seu valor depende do valor das varáves duas assocadas às restrções da formulação especíca para o CVRP em questão); e O vértce v 0 representa o vértce ncal e nal. O objetvo deste subproblema é encontrar uma rota elementar de custo mínmo que nce e termne no vértce orgem v 0, sendo que a soma das demandas dos vértces pertencentes a esta rota não exceda o lmte Q = C (observe que este problema é trval se o grafo possur apenas arcos com custos não negatvos). Este subproblema é um caso partcular do Problema do Camnho Elementar Mínmo com Restrção de Capacdade (ESPPCC Elementary Shortest Path Problem wth a Capacty Constrant): no ESPPCC o vértce ncal e nal não são necessaramente guas. O ESPPCC, por sua vez, é um caso partcular do ESPPRC quando a únca restrção de recurso é a de capacdade mposta ao camnho. 3 Um algortmo BCP para o CVRP O algortmo branch-and-cut-and-prce robusto para o CVRP utlzado neste trabalho fo orgnalmente apresentado em Fukasawa et al. (2006). A dea prncpal deste é combnar um algortmo branch-and-cut com rotas sem δ-cclos, as quas são nterpretadas como o subproblema de geração de colunas, para a obtenção de estmatvas para o valor da solução ótma. Uma rota sem δ-cclos é uma sequênca que nca no depósto, percorre um conjunto de clentes com demanda total máxma de C e retorna ao depósto (os clentes podem ser vstados mas de uma vez e a cada vez toda a sua demanda é contablzada). Em Fukasawa et al. (2006), cclos são elmnados para valores de δ = 3, 4 utlzando-se a abordagem apresentada em Irnch e Vlleneuve (2006) (a elmnação de cclos para valores de δ 5 mostrou-se mpratcável). A experênca computaconal revelou que esta abordagem obtém lmtes nferores consstentemente melhores que os dos algortmos anterormente propostos, permtndo que nstâncas da lteratura com até 135 vértces pudessem ser resolvdas em tempo hábl (18 dessas resolvdas pela prmera vez com o referdo algortmo). 4 Um algortmo de correção de rótulos para o ESPPRC O ESPPRC pode ser dendo por um grafo H = (N, E), onde E é o conjunto de arcos e N = {v 1,..., v n } é o conjunto de vértces, nclundo um vértce orgem s e um vértce destno t. Cada arco (v, v j ) tem um custo c j assocado. Seja L o número total de recursos e d l j 0 a quantdade do recurso l consumdo ao se percorrer o arco (v, v j ). Assumese que os valores d l j satsfazem a desgualdade trangular para cada recurso l, ou seja, d l j < dl k + dl kj, v, v j, v k N. Para cada vértce v e cada recurso l, assocam-se dos valores não negatvos a l e bl, tal que o consumo do recurso l ao longo do camnho de s para v deve pertencer ao ntervalo [a l, bl ]. Se o consumo do recurso l for menor que al quando v é alcançado, ele é dendo como a l. O objetvo é encontrar um camnho de custo mínmo que nce no vértce orgem s e termne no vértce destno t, respetando todas as restrções do problema ao longo de seu trajeto. No algortmo proposto em Fellet et al. (2004), para cada camnho X s do vértce orgem s para o vértce v assoca-se um rótulo R = (T 1,..., T L, p, V 1,..., V n, C ), composto da quantdade de cada recurso T l, 1 l L, usado ao longo do camnho, do número de vértces vstados 1 p, do vetor de vstação V k, 1 k n (V k = 1 se o camnho vsta o 1 A nformação da quantdade de vértces vstados é supérua nesta notação pos p = P n k=1 V k, e ela é mantda somente para a vercação ecente de domnânca entre rótulos. XLI SBPO 2009 - Pesqusa Operaconal na Gestão do Conhecmento Pág. 2925

vértce v k, 0 caso contráro), e de um custo C. Dados X s e X s, dos camnhos dstntos de s para v com rótulos assocados R e R, respectvamente, dz-se que o rótulo R domna o rótulo R se, e somente se, R R, T l T l, para l = 1,..., L, V k V k, para k = 1,..., n, e C C. A extensão de um rótulo R para um vértce v j (neste caso V j = 0), cra um novo rótulo R j = (T 1 + d 1 j,..., T L + d L j, p + 1, V 1,..., V j = 1,..., V n, C + c j ). Um rótulo R, assocado a um camnho X s, só pode ser estenddo a um vértce v j se o rótulo R j, resultante desta extensão, não for domnado por nenhum outro rótulo R j. Portanto, todos os rótulos não-domnados são extensões de algum rótulo não-domnado. A extensão de um rótulo domnado R ao vértce v j resulta em um rótulo R j que é domnado ou gual a algum rótulo R j, obtdo pela extensão do rótulo R, que domna R com o vértce v j. O algortmo básco de correção de rótulos para o ESPPRC, apresentado em Fellet et al. (2004), é um algortmo baseado em programação dnâmca que somente consdera rótulos não-domnados, já que o rótulo ótmo que representa o camnho de custo mínmo que parte da orgem s e termna em t só pode ser obtdo a partr de extensões de rótulos não-domnados. Quando o consumo de algum recurso é não negatvo e obedece à desgualdade trangular, a regra de domnânca pode ser reforçada, conforme observado em Fellet et al. (2004). A dea é dentcar vértces que não podem ser vstados em qualquer possível extensão de um determnado rótulo, devdo aos lmtes mpostos ao consumo de recursos. Estes vértces são chamados nacessíves. Quando um vértce j N é nacessível para um dado rótulo R, o valor de V j é ajustado para 1. Essa nova denção de domnânca entre rótulos potencalmente reduz o tempo de processamento do algortmo para o ESPPRC, pos ela permte dentcar um número maor de rótulos domnados e tas rótulos são descartados durante a execução do algortmo. O algortmo 1 determna todos os rótulos não-domnados que representam camnhos que ncam no vértce s e alcançam todos os vértces do grafo. A notação usada no algortmo é: Λ : Lsta de rótulos do vértce v. Suc(v ) : Conjunto de sucessores do vértce v. Y : Lsta de vértces anda não tratados. Estende(λ, v j ) : Função que retorna o rótulo resultante da extensão do rótulo λ Λ ao vértce v j caso esta extensão seja permtda. Do contráro, nada é retornado. F j : Conjunto de rótulos estenddos do vértce v ao vértce v j. RN D(Λ) : Procedmento que mantém somente rótulos não-domnados na lsta de rótulos Λ. Sabe-se que o ESPPRC é um problema fortemente NP-dfícl, Dror (1994). Portanto, espera-se que nenhum algortmo ecente (polnomal) para o mesmo seja encontrado. O algortmo 1 fo orgnalmente apresentado em Fellet et al. (2004), porém uma análse de complexdade precsa para este algortmo não fo feta no referdo trabalho. Contudo, Fellet et al. (2004) ressaltam que esta complexdade é fortemente dependente da nstânca do ESPPRC que se pretende resolver, sto é, do número de vértces, da estrutura do grafo e das restrções de recursos assocadas a esta nstânca. Recentemente, Rghn e Salan (2006) aprmoraram o algortmo básco para o ESPPRC apresentado em Fellet et al. (2004). Esta versão melhorada faz uso de programação dnâmca baseada em uma busca bdreconal lmtada pelas restrções de recursos especícas da nstânca do ESPPRC. Em programação dnâmca bdreconal, rótulos são estenddos tanto progressvamente, do vértce orgem s para seus sucessores, quanto regressvamente, do vértce destno t para seus predecessores (uma aplcação desta dea para o problema XLI SBPO 2009 - Pesqusa Operaconal na Gestão do Conhecmento Pág. 2926

do TSP com restrções pode ser encontrada em Mngozz et al. (1997)). Agora, para cada camnho X s do vértce orgem s para o vértce v assoca-se um rótulo R pg, assm como para cada camnho X t do vértce v para o vértce destno t assoca-se um rótulo R rg (ambos os rótulos R pg e R rg são compostos dos mesmos elementos anterormente dendos). Testes de domnânca para rótulos progressvos e regressvos são realzados conforme descrto anterormente e um camnho de s para t é detectado cada vez que um rótulo progressvo R pg pode ser undo a um rótulo regressvo R rg (sto ocorre somente se o conjunto de vértces vstados por R pg for dsjunto ao conjunto de vértces vstados por R rg e todas as restrções de recursos permanecerem satsfetas quando tas rótulos forem undos). Algortmo 1: Espprc(H, L, s, t) 1 2 3 4 5 6 Entrada: Instânca do ESPPRC. Saída: Todos os rótulos não-domnados. /* Incalzação. */ Λ s {(0,..., 0)}; para cada v N \ {s} faça Λ ; m Y = {s}; repta /* Explorando os sucessores de um vértce. */ 17 7 v v Y ; 8 para cada v j Suc(v ) faça 9 F j ; 10 para cada λ = (T 1, L,, V 1, n, ) Λ faça 11 se (V j = 0) então 12 F j F j {Estende(λ, v j )}; 13 m 14 m 15 Λ j Λ j; 16 Λ j RND(F j Λ j ); se (Λ j Λ j ) então 18 Y Y {v j }; 19 m 20 m 21 22 23 /* Redução de Y. */ Y Y \ {v }; até Y = ; retorna Λ; Como rótulos progressvos e regressvos gerados por um algortmo de programação dnâmca bdreconal são temporaramente undos, é crucal reduzr o número de unões destes rótulos o quanto possível. Para este propósto, Rghn e Salan (2006) sugerem a escolha de um recurso crítco, cujo consumo ao longo de camnhos é monotônco, e então rótulos não são estenddos se pelo menos metade da quantdade dsponível deste recurso já tver sdo consumda. Isto permte reduzr drastcamente o número de rótulos gerados e anda garante que a solução ótma será encontrada. XLI SBPO 2009 - Pesqusa Operaconal na Gestão do Conhecmento Pág. 2927

Resultados computaconas apresentados em Rghn e Salan (2006) mostraram que a combnação de programação dnâmca bdreconal com lmtes baseados em recursos melhora sgncatvamente o desempenho do algortmo básco para o ESPPRC apresentado no níco desta seção. 5 O subproblema do CVRP como um ESPPRC O subproblema de geração de colunas para o CVRP pode ser vsto como um ESPPRC dendo sobre um mesmo grafo não orentado G = (V, A) (este grafo está dendo na Seção 2). Neste caso, há uma únca restrção de recurso (ou seja, L = 1) para esta nstânca do ESPPRC. Tal restrção é representada denndo-se ntervalos [q, Q], em cada vértce v V +, onde Q = C, o valor da capacdade dos veículos do problema CVRP. A quantdade de recurso d l j (l = 1) consumda ao se percorrer o arco (v, v j ) é a demanda q j assocada ao vértce v j. Como são consumdas q k + q j undades de capacdade ao se percorrer os arcos (v, v k ) e (v k, v j ) em sequênca, a desgualdade trangular é satsfeta para este recurso, pos q j < q k + q j já que q k > 0. Neste caso, o objetvo é encontrar o camnho elementar mínmo que nce no vértce orgem v 0 e retorne para um cópa artcal deste vértce orgem (sto é, dene-se s = t = v 0 ) tal que este camnho satsfaça à restrção de capacdade Q = C. Para cada camnho X s do vértce orgem s para um vértce v V + assoca-se um rótulo R = (D, V 1,..., V n, C ), composto da quantdade de demanda D consumda ao longo do camnho, do vetor de vstação V k, 1 k n (V k = 1 se o camnho vsta o vértce v k, 0 caso contráro), e do custo C deste camnho. Dados X s e X s, dos camnhos dstntos de s para v com rótulos assocados R e R, respectvamente, dz-se que o rótulo R domna o rótulo R se, e somente se, V k V k para k = 1,..., n e C C. Note-se que se V k V k, para k = 1,..., n, então o camnho X s passa por todos os vértces que o camnho X s passa e, portanto, D D. Como a quantdade de capacdade consumda ao se percorrer um arco (v, v j ) A é não negatva e a desgualdade trangular é satsfeta para o recurso de capacdade, a denção de domnânca pode ser melhorada aplcando-se o conceto de vértces nacessíves (ver Seção 4): quando um rótulo R é estenddo ao vértce j, crando o novo rótulo R j, para cada vértce v k V tal que Vj k = 0, se D j + q k > Q, então Vj k é ajustado para 1. 5.1 O algortmo exato para o subproblema do CVRP Conforme vsto, o subproblema de geração de colunas para o CVRP (seção 2) consste em encontrar uma rota de custo reduzdo mínmo dentro de uma dada capacdade de carga máxma. O algortmo para a solução deste subproblema pode ser, portanto, o algortmo apresentado em Rghn e Salan (2006) para o ESPPRC quando a únca restrção de recurso é a restrção de capacdade dos veículos. O algortmo exato mplementado neste trabalho para este subproblema dvde-se em duas partes dstntas. A prmera é uma etapa de extensão de rótulos semelhante ao algortmo 1. Nesta etapa, rótulos são estenddos a menos que metade do recurso de capacdade dsponível para este rótulo já tenha sdo consumda. A segunda parte é uma etapa de junção de rótulos que permte obter camnhos s t completos (ressalta-se, novamente, que para o subproblema em estudo, tem-se que s = t = v 0 ). A estrutura de dados utlzada e outros detalhes de mplementação também são consderados nesta descrção. XLI SBPO 2009 - Pesqusa Operaconal na Gestão do Conhecmento Pág. 2928

A etapa de extensão de rótulos A estrutura de dados prncpal utlzada no algortmo é uma matrz M de dmensão Q n (onde Q é a capacdade dos veículos e n a quantdade de vértces clentes). Cada entrada M(q, ) desta matrz contém um repostóro que armazena todos os possíves rótulos não-domnados que representam camnhos parcas que partem do depósto s e termnam no vértce v, tendo consumdo uma demanda q q Q (q é a demanda assocada ao vértce v ). Cada rótulo R do repostóro M(q, ) mantém o custo C do camnho X s que ele representa e um vetor V que regstra quas vértces já foram vstados ao longo deste camnho X s (porém este rótulo R não guarda a ordem de vstação destes vértces) e quas vértces são nacessíves para o rótulo em questão. Além dsso, o rótulo contém agora duas nformações adconas: o vértce anteror ao vértce v corrente no camnho e um apontador para o rótulo que ele estendeu. A matrz M é preenchda, lnha por lnha, começando com q = 1 e ndo até q = Q. Para cada rótulo R, da entrada M(q, ), tal que q < Q/2, o algortmo percorre cada vznho v j de v e avala a extensão do rótulo R ao vértce v j. Se v j anda não fo vstado pelo rótulo R (e q + q j Q) e se o novo rótulo R j, resultante da extensão de R ao vértce v j, não for domnado por nenhum rótulo pertencente a qualquer um dos repostóros M(1, j), M(2, j),..., M(q + q j, j), a extensão é realzada e o novo rótulo R j é guardado no repostóro M(q + q j, j) (neste caso, o vetor de vértces nacessíves V j deve ser atualzado). Para facltar o entendmento de como são realzadas extensões de rótulos, consdere os seguntes exemplos: a) Consdere os rótulos R j, armazenado no repostóro M(q +q j, j), e R, armazenado no repostóro M(q, ), que representam os camnhos X sj : s u 1 v u 2 u 3 v j e X s : s u 3 u 1 u 2 v, respectvamente. Suponha que o rótulo R fosse estenddo ao vértce v j, crando o novo rótulo R j para representar o novo camnho X sj : s u 3 u 1 u 2 v v j. O vetor de vstação deste novo rótulo R j sera dêntco ao vetor de vstação do rótulo R j. Portanto, essa extensão só sera feta se C + c j < C j e então o novo rótulo R j substtura o rótulo R j no repostóro M(q + d j, j). b) Agora consdere o rótulo R, armazenado no repostóro M(q, ), que representa o camnho X s : s u 1 u 2 u 3 u 4 u 5 u 6 u 7 v e suponha que ele fosse estenddo ao vértce v j, crando o novo rótulo R j, a ser armazenado no repostóro M(q +d j, j), para representar o novo camnho X sj : s u 1 u 2 u 3 u 4 u 5 u 6 u 7 v v j. Porém, suponha que já exsta um rótulo R j, que representa o camnho X sj : s u 4 u 2 u 3 v j, armazenado no repostóro M(d, j), onde d = d u4 +d u2 +d u3 +d j. Neste caso, todos os vértces vstados pelo rótulo R j também teram sdo vstados pelo novo rótulo R j. Portanto, essa extensão só sera feta se C + c j < C j e então o novo rótulo R j sera armazenado no repostóro M(q + d j, j) e o rótulo R j sera mantdo no repostóro M(d, j) pos, neste caso, não havera relação de domnânca entre ambos os rótulos. A etapa de junção de rótulos Esta etapa toma todos os pares de rótulos gerados na etapa anteror e verca se os mesmos podem ser undos para formar camnhos s t completos. Um rótulo R só pode ser undo a um rótulo R j se D + D j Q e se V k + Vj k 1, 1 k n. XLI SBPO 2009 - Pesqusa Operaconal na Gestão do Conhecmento Pág. 2929

5.2 Uma heurístca para o subproblema do CVRP Quando o algortmo exato que resolve o subproblema do CVRP é embutdo em um mecansmo de geração de colunas, o mesmo necessta ser executado repetdas vezes, o que pode ser dspendoso. Portanto, por razões de desempenho, é nteressante que o algortmo exato seja executado poucas vezes durante o processo de geração de colunas do algortmo branch-and-cut-and-prce. Uma estratéga para dmnur o número de execuções do algortmo exato é usar heurístcas que conseguem rapdamente obter boas rotas (sto é, rotas que não são necessaramente ótmas) para o subproblema. Neste caso, o algortmo exato só é executado quando a heurístca falha em encontrar rotas com custo negatvo reduzdo. A heurístca proposta nesta seção é semelhante ao algortmo descrto na subseção 5.1. Novamente, usa-se uma matrz M de dmensão Q n em que cada entrada M (q, ) contém um repostóro lmtado, sto é, um repostóro que armazena apenas uma quantdade xa R de rótulos que representam camnhos que ncam no depósto s e termnam no vértce v e consomem uma demanda gual a 1 q Q. A matrz M é preenchda, lnha por lnha, começando com q = 1 e ndo até q = Q. Para cada entrada M (q+q j, j), escolhe-se R rótulos pertencentes a qualquer um dos repostóros M (q, ) (em cada repostóro M (q, ) há, no máxmo, R rótulos) que podem ser estenddos até v j. Esses R rótulos escolhdos devem ser os R rótulos que, quando estenddos até v j, resultem nos R rótulos R j de menor custo, dentre todos os rótulos que podem ser estenddos até v j (pode haver menos de R rótulos extensíves até v j ). Conforme anterormente, um rótulo R pertencente ao repostóro M (q, ) só pode ser estenddo até um vértce v j se este vértce v j não pertencer ao vetor de vstação de R (sto é, se V j = 0) e se o rótulo R j resultante dessa extensão não for domnado por nenhum rótulo pertencente a qualquer um dos repostóros M (1, j), M (2, j),..., M (q + q j, j) (na verdade, consderou-se o teste de domnânca somente para o repostóro M (q + q j, j)). Observe-se que pode haver perda de rótulos durante a execução do algortmo, especalmente para valores pequenos de R. A dea de se escolher os R rótulos de menor custo, dentre um conjunto de rótulos que podem ser estenddos até v j, é ntutva, pos supõe-se que a probabldade de um desses R rótulos fazer parte de algum rótulo ótmo no nal do processo é maor que a dos demas rótulos de custo superor descartados. Um vetor B de tamanho n é usado para armazenar os melhores resultados obtdos até o momento. No nal, o elemento B (), para cada vértce v V +, armazena o rótulo que representa o camnho mas curto encontrado pelo algortmo que parte do depósto s e alcança o vértce v, tendo consumdo uma demanda total dentro do ntervalo [q, Q]. Porém, não se tem a garanta de que este rótulo encontrado é, de fato, o rótulo ótmo (já que apenas uma quantdade xa R de rótulos são armazenadas para cada entrada M (q, )). Para obter-se as rotas correspondentes, todos os rótulos B () são estenddos até o depósto. Todas as rotas de custo negatvo encontradas são adconadas ao programa lnear. Na prátca, vercou-se que este algortmo obtém boas rotas (sto é, rotas cujo custo é próxmo do ótmo) e que o mesmo executa em um tempo razoavelmente baxo quando os valores escolhdos para R não são elevados (testou-se para valores de R 60). 6 Resultados Computaconas O algortmo descrto na Seção 5 fo usado para a geração de colunas no algortmo Branchand-Cut-and-Prce Robusto para o CVRP apresentado em Fukasawa et al. (2006). O novo algortmo BCP resultante, com o mecansmo de geração de colunas baseado em rotas elementares, fo testado em um Intel Core 2 Duo, 2.33 GHz, com 1 GB de RAM, com algumas nstâncas do CVRP, das séres A, B, E e P, dsponíves em Ralphs (2009). Programas lneares foram resolvdos usando-se CPLEX 9.0. Os lmtes nferores obtdos no nó raz por esse XLI SBPO 2009 - Pesqusa Operaconal na Gestão do Conhecmento Pág. 2930

algortmo são fornecdos na Tabela 1 e comparados com os lmtes obtdos pelo algortmo BCP robusto onde apenas δ-cclos são elmnados (para δ = 3, 4) na solução relaxada do subproblema de geração de colunas. As colunas BCP RE e T RE apresentam, respectvamente, os lmtes nferores obtdos no nó raz e o tempo (em segundos) para resolver a nstânca à otmaldade com o algortmo BCP que mplementa o subproblema de geração de colunas como um ESPPRC. As colunas BCP 3 e T 3 mostram os valores dos lmtes nferores e o tempo gasto para resolver a nstânca com o algortmo BCP que mplementa o subproblema de geração de colunas como um SPPRC, quando 3-cclos são elmnados. Analogamente, as colunas BCP 4 e T 4, fornecem os valores quando 4-cclos não são permtdos. Já a coluna C apresenta o valor ótmo das nstâncas. Tabela 1: Geração de rotas elementares para o CVRP. Instânca BCP RE T RE BCP 3 T 3 BCP 4 T 4 C A-n32-k5 784. 3.44 784. 1.06 784. 1.89 784 A-n33-k5 661. 1.09 661. 0.58 661. 10.84 661 A-n33-k6 740.25 7.36 737.3 6.96 740.25 14.29 742 A-n37-k5 667.5 30.06 666.792 18.20 667.118 26.23 669 A-n37-k6 940.468 80.87 932.531 76.56 934.857 107.86 949 A-n39-k5 819.168 137.03 816.496 25.22 817.801 35.85 822 A-n39-k6 825.152 18.72 822.8 23.62 824.513 45.46 831 A-n45-k6 942.519 520.20 938.112 87.14 940.097 72.72 944 A-n45-k7 1142.35 105.53 1139.27 43.90 1141.44 59.18 1146 A-n46-k7 914. 15.92 914. 3.78 914. 7.03 914 A-n48-k7 1072.03 699.31 1069.05 18.60 1071.34 21.44 1073 B-n38-k6 804.143 14.81 803.652 11.19 804.125 16.73 805 B-n41-k6 828.833 33.12 828.342 28.50 828.5 29.67 829 B-n44-k7 909. 48.64 909. 3.36 909. 5.81 909 B-n45-k5 751. 2879.84 749.923 25.55 750.003 46.22 751 B-n45-k6 678. 2259.95 677.384 29.75 677.513 54.78 678 B-n51-k7 1027.24 1809.30 1026.37 409.76 1026.56 592.27 1032 B-n52-k7 746.5 1078.33 746.375 32.82 746.375 41.56 747 B-n57-k9 1596.16 215.56 1595.79 70.18 1596. 67.90 1598 E-n30-k3 534. 132.90 534. 7.42 534. 19.62 534 E-n31-k7 378.5 4.06 378.5 1.81 378.5 4.32 379 E-n33-k4 835. 255.40 835. 5.17 835. 8.22 835 P-n40-k5 458. 8.65 457.667 7.09 457.667 12.05 458 P-n45-k5 507.312 103.19 506.511 98.00 506.889 92.42 510 P-n50-k7 552.002 49.71 551.413 19.28 551.832 45.84 554 P-n50-k10 689.58 90.87 689.323 97.59 689.58 136.58 696 P-n51-k10 736.075 44.31 734.783 115.67 735.277 85.32 741 P-n55-k8 580.97 811.02 580.048 229.31 580.484 434.64 588 P-n55-k10 681.836 1717.66 681.3 2451.08 681.313 2576.08 694 P-n55-k15 972.846 807.25 972.844 1391.58 972.846 1751.14 989 P-n60-k10 739.693 107.15 738.674 92.87 739.011 167.45 744 P-n65-k10 788.279 103.92 785.768 1367.09 786.931 214.14 792 Os lmtes nferores obtdos no nó raz na versão que consdera o subproblema de geração de colunas como um ESPPRC são sempre melhores (ou guas) aos obtdos pela versão relaxada. Tome-se, por exemplo, a nstânca A-n37-k6, onde chega a 5.577 undades a XLI SBPO 2009 - Pesqusa Operaconal na Gestão do Conhecmento Pág. 2931

dferença entre os lmtes obtdos com a geração de rotas elementares e com a elmnação de 4-cclos. Neste caso o gap é reduzdo em 40%. De um modo geral, os gaps entre os prmeros lmtes e os valores das soluções ótmas são sempre nferores àqueles calculados com os lmtes obtdos com o algortmo orgnal. Além dsso, em alguns casos a solução ótma é encontrada no nó raz apenas na nova versão, como ocorre para as nstâncas B-n45-k5, B-n45-k6 e P-n40-k5. Com relação ao tempo de processamento para encontrar a solução ótma, quatro classes de nstâncas podem ser observadas. Na prmera, composta pelo conjunto de nstâncas A- n32-k5, A-n33-k5, A-n33-k6, A-n37-k5, A-n37-k6, B-n38-k6, B-n41-k6, E-n31-k7, P-n40-k5, P-n45-k5, P-n50-k7 e P-n60-k10, observa-se que o aumento do tempo na nova versão, em relação à versão relaxada, é razoavelmente pequeno (para algumas delas, o tempo chega a ser nferor ao da versão que elmna 4-cclos). Na segunda, composta pelas nstâncas A-n39-k5, A-n45-k6, A-n45-k7, A-n46-k7, B-n51-k7, B-n57-k9 e P-n55-k8, o aumento já é mas sgncatvo, chegando a três, quatro ou até cnco vezes o tempo da versão que elmna 3-cclos. Na tercera, que nclu as nstâncas A-n48-k7, B-n44-k7, B-n45-k5, B-n45-k6, B- n52-k7, E-n30-k3 e E-n33-k4, o aumento obtdo é drástco, a ponto de tornar nvável o uso do novo algortmo. Em contrapartda, na quarta classe, composta pelas nstâncas A-n39- k6, P-n50-k10, P-n51-k10, P-n55-k10, P-n55-k15 e P-n65-k10, o tempo para a nova versão encontrar a solução ótma é menor que o melhor tempo obtdo pelas versões que elmnam 3 e 4-cclos. Um fator que aumenta consderavelmente o tempo de execução do algortmo exato para o ESPPRC, empregado nesta versão de rotas elementares, é o valor de capacdade dos veículos. Outros fatores que nuencam, como observado na seção 4, são relaconados ao número de vértces, a estrutura e a quantdade de cclos de custo negatvo do grafo em questão. 7 Conclusão O CVRP, quando resolvdo por branch-and-prce, geralmente requer que um subproblema, semelhante ao subproblema explorado neste trabalho, seja resolvdo na etapa de geração de colunas. Em geral, este subproblema envolve a computação de um camnho mínmo elementar com restrção de capacdade em grafos que possuem demandas não negatvas assocadas aos seus vértces e cclos de custo negatvo. Observou-se que este subproblema é um caso legítmo do conhecdo problema ESPPRC. Neste caso, o algortmo proposto em Rghn e Salan (2006) para a resolução do ESPPRC fo utlzado para resolver o referdo subproblema. No BCP Robusto para o CVRP, apresentado em Fukasawa et al. (2006), apenas δ- cclos são elmnados na geração de colunas (para valores de δ = 2, 3 e 4). Durante o desenvolvmento deste trabalho, observou-se que se somente rotas elementares são usadas na geração de colunas, os lmtes nferores obtdos para o CVRP são consstentemente melhores que os obtdos quando se consdera a relaxação que elmna δ-cclos. Assm, o algortmo proposto em Rghn e Salan (2006), para a resolução do ESPPRC, fo embutdo no códgo desse BCP Robusto, para que a geração de colunas zesse uso de rotas elementares. Em uma segunda etapa, pretende-se utlzar novas técncas recentemente propostas para a resolução do ESPPRC, Rghn e Salan (2008), para melhorar o tempo gasto na etapa de geração de colunas do algortmo BCP para o CVRP aqu proposto. XLI SBPO 2009 - Pesqusa Operaconal na Gestão do Conhecmento Pág. 2932

Referêncas Dantzg, G. B. e Ramser, J. H. (1959). The Truck Dspatchng Problem. Management Scence, 6(1):8091. Desrochers, M. (1988). An Algorthm for the Shortest Path Problem wth Resource Constrants. Techncal Report G-88-27, GERAD, Ecole des HEC, Canada. Dror, M. (1994). Note on the Complexty of the Shortest Path Models for Column Generaton n VRPTW. Operatons Research, 42:977978. Fellet, D., Dejax, P., Gendreau, M., e Gueguen, C. (2004). An Exact Algorthm for the Elementary Shortest Path Problem wth Resource Constrants: Applcaton to some Vehcle Routng Problems. Networks, 44(3):216229. Fukasawa, R., Longo, H., Lysgaard, J., de Aragão, M. P., Res, M., Uchoa, E., e Werneck, R. F. (2006). Robust Branch-and-Cut-and-Prce for the Capactated Vehcle Routng Problem. Mathematcal Programmng, 106(3):491511. Garey, M. R. e Johnson, D. S. (1979). Computers and Intractablty. A Gude to the Theory of NP-Completeness. W. H. Freeman and Company, New York. Irnch, S. e Vlleneuve, D. (2006). The Shortest-Path Problem wth Resource Constrants and k-cycle Elmnaton for k 3. INFORMS J. on Computng, 18(3):391406. Laporte, G. e Norbert, Y. (1983). A Branch-and-Bound Algorthm for the Capactated Vehcle Routng Problem. Operatons Research Spektrum, 5:7785. Mngozz, A., Banco, L., e Rccardell, S. (1997). Dynamc Programmng Strateges for the Travelng Salesman Problem wth Tme Wndow and Precedence Constrants. Operatons Research, 45(3):365377. Ralphs, T. (2009). Branch Cut and Prce Resource Web. www.branchandcut.org. Rghn, G. e Salan, M. (2006). Symmetry Helps: Bounded B-Drectonal Dynamc Programmng for the Elementary Shortest Path Problem wth Resource Constrants. Dscrete Optmzaton, 3(3):255273. Rghn, G. e Salan, M. (2008). New Dynamc Programmng Algorthms for the Resource Constraned Elementary Shortest Path Problem. Networks, 51(3):155170. Salan, M. (2006). Branch-and-Prce Algorthms for Vehcle Routng Problems. PhD thess, Unverstà degl Stud d Mlano. XLI SBPO 2009 - Pesqusa Operaconal na Gestão do Conhecmento Pág. 2933