27 a 30/09/05, Gramado, RS. Pesquisa Operacional e o Desenvolvimento Sustentável

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1 ALGORITMO DE GERAÇÃO DE COLUNAS PARA O PROBLEMA DE ROTEAMENTO DE VEÍCULOS COM FROTA HETEROGÊNEA E JANELAS DE TEMPO COM APLICAÇÃO NA DISTRIBUIÇÃO DE JORNAIS Fernanda Menezes Departamento de Engenhara Elétrca Pontfíca Unversdade Católca do Ro de Janero Rua Marquês de São Vcente, 225, Gávea, CEP: , Gávea, Ro de Janero - RJ fernanda.menezes@gmal.com Luz Cesar Nanc Eduardo Uchoa Departamente de Engenhara de Produção - Unversdade Federal Flumnense Rua Passo da Pátra, 56, São Domngos, CEP: , Nteró RJ. cnanc@predalnet.com.br uchoa@producao.uff.br RESUMO Este artgo apresenta um algortmo exato para uma varante complexa do problema do roteamento de veículos, nclundo janelas de tempo e uso de frota heterogênea. Fo utlzada a técnca de geração de colunas. Os subproblemas de prcng são resolvdos por programação dnâmca. Testes de domnânca de estados são usados para acelerar essa parte do códgo. O algortmo de branch-and-prce resultante fo aplcado a um problema real de dstrbução ntermuncpal de um grande jornal do estado do Ro de Janero. Os resultados obtdos ndcam a possbldade de sgnfcatvas melhoras, tanto em custo quanto em qualdade de servço, em relação ao planejamento das rotas manual. ABSTRACT Ths wor presents an exact algorthm for a complex varant of the vehcle routng problem, ncludng tme wndows and heterogeneous fleet, based on column generaton. The prcng subproblems are solved by dynamc programmng. State domnance tests are used to speed ths part of the code. The resultng branch-and-prce algorthm was appled to a real problem of newspaper dstrbuton n the state of Ro de Janero. The results obtaned show the possblty of sgnfcant mprovements, n monetary costs as well as n qualty of servce, when compared to the current routng plannng. INTRODUÇÃO Nas últmas décadas, nota-se um aumento no uso de técncas de otmzação baseadas em pesqusa operaconal e programação matemátca para a gestão efetva da dstrbução de bens e servços. Um grande número de aplcações reas já mostrou que a ntrodução dessas técncas no planejamento do processo de dstrbução traz reduções consderáves no custo total de transporte, geralmente entre 5% e 20% [Toth e Vgo, 2002]. É fácl perceber que o mpacto desta redução para a economa como um todo é sgnfcatva, já que o custo com transporte envolve váras etapas do processo produtvo e representa de 0% a 20% do custo fnal dos produtos. A tendênca de tercerzação dos servços logístcos mostra-se presente na ndústra braslera de jornas há mas de dez anos, quando os altos custos envolvdos com a operação de entrega domclar não justfcavam mas a manutenção do servço na estrutura das empresas de comuncação. Dentre os fatores que contrbuíram para o aumento no custo operaconal, podemos ctar as sucessvas crses e nstabldade econômca da década de 90, que resultaram no crescmento da dívda contraída em dólar para nvestmento em undades de produção, o alto custo assocado aos benefícos da mãode-obra empregada, os altos custos envolvdos na manutenção da frota de veículos e o aumento do nível de servço exgdo pelos clentes. Neste cenáro, entra a fgura do Operador Logístco, que são

2 empresas especalzadas em prover servços logístcos como armazenagem, transporte, consoldação de cargas, dentre outros, de forma especalzada ou ntegrada. A dstrbução de jornas apresenta característcas úncas, como o alto volume, a baxa varedade e a freqüênca dára de entregas. Além dsso, a janela de tempo da operação é restrta a ntervalos muto pequenos, nferores a ses horas. Tamanha partculardade exge especalzação, com o objetvo de aumentar a efcênca do servço e alcançar um volume de dstrbução cada vez maor, sem comprometer a qualdade exgda pelos clentes. Neste trabalho, abordou-se o problema da otmzação do transporte rodováro de jornas de um parque gráfco, onde ocorre a mpressão dos jornas, até os operadores logístcos, que realzam a entrega domclar propramente dta. Este problema leva a uma varante do Problema de Roteamento de Veículos (PRV) que ncorpora restrções de capacdade, janelas de tempo e frota heterogênea. Fo desenvolvdo um algortmo baseado na técnca de geração de colunas para sua resolução exata. Esse algortmo pode ser vsto como uma generalzação dos clásscos algortmos apresentados em [Desrosers et al., 984] [Desrochers et al., 992] para o caso de frota heterogênea. 2 DEFINIÇÃO DO PROBLEMA O Problema de Roteamento de Veículos com Frota Heterogênea (PRVFH) é a varante do PRV onde os veículos têm custos e capacdades dferentes. O objetvo é mnmzar o custo total, composto por um custo fxo de utlzação do veículo e um custo varável por dstânca vajada. A heterogenedade da frota aumenta consderavelmente a complexdade do PRV. Quando a frota é heterogênea, há de se decdr quas tpos de veículos devem ser utlzados e quantos de cada tpo. Em alguns problemas podem exstr lmtações quanto ao número de veículos de cada tpo que estão dsponíves para utlzação, além da eventual lmtação da frota como um todo. Esse objetvo pode ser alcançado encontrando o mx ótmo de veículos e determnando a rota para cada um deles, de forma a atender a todas as restrções do problema. O Problema de Roteamento de Veículos com Frota Heterogênea e Janela de Tempo (PRVFHJT) é uma extensão do PRVFH, onde são mpostas janelas de tempo no depósto e nos clentes. Apesar de boa parte das aplcações prátcas do PRV envolver frota heterogênea, a grande maora dos trabalhos acadêmcos anda supõe frota homogênea. O PRVFHJT pode ser defndo da segunte forma: Seja G = (V,A) um grafo onde V = N \ {0} é o conjunto de vértces e A = { (,j), j V, j }, onde N = {,..., n} é o conjunto de clentes e o nó 0 representa o depósto. Assocado a cada nó N uma demanda d e um tempo de servço s são conhecdos. Cada clente tem também uma janela de tempo [a,b ] que representa o ntervalo de tempo em que o veículo deve realzar o servço no clente. O veículo tem que chegar em antes de b. É permtdo chegar no clente antes de a, porém o veículo deverá fcar parado esperando a abertura da janela de tempo. O depósto tem uma janela de tempo [a 0, b 0 ]. Os veículos não podem sar do depósto antes de a 0 e devem retornar ao depósto antes de b 0. As matrzes de dstânca d j e a velocdade méda de cada tpo de veículo são conhecdas. Assummos que a frota é composta por K veículos, e para cada veículo da frota, =,..., K, estão defndos: um custo fxo F, um custo varável com a dstânca percorrda V, uma capacdade máxma C e uma velocdade méda S. Assummos que a demanda de cada clente é menor do que a capacdade do maor veículo. O objetvo do PRVFHJT é mnmzar a soma dos custos fxos de utlzação dos veículos e os custos das dstâncas percorrdas, tal que: Cada rota nce e termne no depósto 2 Cada clente em N seja vstado apenas uma vez 3 A demanda de todos os clentes atenddos por um mesmo veículo não pode exceder a capacdade do mesmo. 4 O servço em cada clente deve ser realzado dentro de suas janelas de tempo A formulação matemátca do problema compreende as seguntes varáves de decsão: 884

3 , se o veículo va do clente para o clente j X j = 0, caso contráro, e t que representa o nstante de tempo do níco do atendmento no clente. Z sujeto a : t + s + t PRVFTJT = mn j= 0 j N x K N + xj = j= N + x0 j j= 0 N + j x j j= N + xn + j= 0 M ( x N = 0 j= K N N + K V Vcj xj + = = 0 j= = j= N d j a j ) x x j j = = = = b t C j {0,} F x 0 j V, j V V, j V,, j V, () (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) A função objetvo () expressa o custo total. As restrções (2) mpõem que cada um dos clentes seja vstado uma únca vez e por um únco veículo; já as restrções (3) a (5) descrevem o fluxo no camnho que o veículo utlzar. Caso o veículo não seja utlzado, ele segue o camnho do arco dreto lgando a base de partda (nó 0) à base de chegada (nó N+). As restrções (6) mpõem que o horáro de níco de atendmento de cada nó ocorra dentro da sua respectva janela de tempo; já as restrções (7) defnem a contnudade e a compatbldade temporal dos horáros de níco de atendmento ao longo das rotas. As restrções de capacdade de carga dos veículos são dadas pela restrção (8). Por fm, as restrções (9) asseguram a ntegraldade da solução. O únco trabalho encontrado exatamente sobre essa varante do problema de roteamento de veículos é [Lu e Shen, 999], que apresenta heurístcas. 3 ALGORITMO DE BRANCH-AND-PRICE Algortmos baseados em geração de colunas [Dantzg e Wolfe, 960] tem sdo usados com sucesso em problemas de roteamento de veículos com janelas de tempo (com frota homogênea) [Desrosers et al., 984] [Desrochers et al., 992]. 3. Formulação com número exponencal de varáves Usando o conceto de q-rotas, uma formulação alternatva, com um número exponencal de varáves, pode ser obtda defnndo as varáves correspondentes a q-rotas sem 2-cclos (subcamnhos v v j v, v 0). Uma q-rota pode ser defnda como uma seqüênca {0,v,...,v r, 0} tal que r d C a s b v = e onde s é o nstante de tempo em que o servço é realzado no clente v, v 0 para cada em {,..., r} e r. Encontrar as q-rotas de custos reduzdos negatvos pode ser feto em tempo pseudo-polmal, O(n 2 CT). Essa restrção de q-rotas sem 2-cclos não altera a complexdade do subproblema de geração de colunas e melhora a formulação. 885

4 Seja Q uma matrz m x p(), onde as colunas são os vetores de ncdênca das p() possíves q-rotas realzadas pelo tpo de veículo. Cada varável λ j, j p() é assocada a uma das possíves e qj q-rotas de um veículo do tpo. Seja o coefcente assocado ao arco e na j-ésma coluna de Q, ou seja, o número de vezes que esse arco ocorre na j-ésma q-rota do tpo de veículo. Conforme é usual, defnmos δ - () como sendo o conjunto dos arcos que entra no vértce. Z DWM PRVFHJT sujeto a : K p( ) e qj = j = e δ ( ) = mn. λ j K = p( ) e = j= e A c q λ e j j V (0) λ j 0 j p( ), () 3.2 Geração de Colunas Em prncípo sera possível reforçar a formulação com número exponencal de varáves do problema permtndo apenas rotas elementares. Entretanto, nesse caso o subproblema de geração de colunas sera equvalente a um problema de camnho mas curto elementar com janela de tempo e restrção de capacdade, ou PCMCEJTRC, sto é, o camnho mas curto que sa do depósto e retorna ao depósto, vstando os clentes da rota apenas uma vez e que em momento algum vola as janelas de tempo e a restrção de capacdade. Infelzmente, não é conhecdo nenhum método efcente para resolver o PCMCEJTRC, que de fato é um problema fortemente NP-dfícl. Então, é necessáro relaxar o problema de forma a permtr cclos nas rotas, como especfcado na subseção anteror. O subproblema de geração de colunas nesse caso pode ser resolvdo como um problema de camnho mas curto com janela de tempo e restrção de capacdade, ou PCMCJTRC, que também é NP-Dfícl, porém pode ser resolvdo por programação dnâmca em tempo pseudopolnomal se t j >0. No PCMCJTRC, um camnho não elementar deve satsfazer as restrções de tempo e capacdade, porém os arcos podem ser utlzados mas de uma vez e os clentes podem aparecer em um mesmo camnho mas de uma vez. É possível elmnar os camnhos com 2- cclos sem aumentar a complexdade da programação dnâmca Programação Dnâmca A programação dnâmca desenvolvda por [Desrochers et al., 992] é geralmente utlzada para resolver problemas de camnho mas curto com recursos lmtados. No PCMCJTRC temos dos recursos: tempo e capacdade. O algortmo assume que o tempo e a capacdade são valores nteros e tempos de vagem postvos nos arcos. O algortmo então dscretza o tempo e a capacdade através do uso de rótulos de três dmensões (, t, d). Dado um rótulo (, t, d), é o últmo clente atenddo pelo camnho, t determna o tempo em que ele é atenddo e d a demanda acumulada deste camnho. O custo assocado a este camnho é dado por c(, t, d). A programação dnâmca ncalza com um rótulo ncal (0, 0, 0) e um custo c(0, 0, 0) gual a zero. A equação de recorrênca é dada por: c(, t, d) = mn c j + c(, t, d ) t + t j = t e d + d j = d A solução pode ser encontrada através de bactracng dos rótulos. Um lmte superor do número de rótulos é dado por: 886

5 Γ = N ( b a )( C ) Sabemos que Γ é muto grande, porém em grande parte dos casos, o rótulo não será vável ou então será domnado por algum outro e, portanto não precsa ser consderado. O conceto de domnânca será apresentado a segur. Os rótulos são tratados por ordem crescente de tempo. Quando um rótulo é tratado, ele é expanddo para todos nós do grafo de forma que a extensão seja vável e que o custo dmnua. O algortmo nca com apenas um rótulo e este número aumenta durante a execução do algortmo, porém este número nunca rá ultrapassar Γ Teste de Domnânca O tempo computaconal do algortmo de programação dnâmca pode ser reduzdo aplcando o crtéro de domnânca que dentfca os rótulos que não precsam ser consderados. Por exemplo, consdere os dos rótulos (, t, d ) e (, t 2, d 2 ) tal que:. c(, t, d ) c(, t 2, d 2 ) 2. t t 2 3. d d 2 Note que ambos os rótulos correspondem a camnhos que termnam no clente e que qualquer extensão vável do segundo rótulo também é vável para o prmero rótulo. E como o custo do prmero rótulo é sempre menor ou gual o do segundo, o prmero rótulo produzrá camnhos tão bons quanto o segundo rótulo. Assm, o segundo rótulo pode ser descartado e as suas possíves extensões gnoradas. Defnção : (, t, d ) domna (, t 2, d 2 ) se e somente se c(, t, d ) c(, t 2, d 2 ), t t 2 e d d 2. No caso das três relações serem guas, apenas um rótulo precsa ser consderado, mesmo a defnção não especfcando qual domna o outro. É possível que nenhum rótulo seja domnado por nenhum outro, porém expermentos computaconas mostraram que na prátca va ocorrer domnânca entre rótulos, permtndo uma redução no número de rótulos consderados. O crtéro de domnânca é aplcado no algortmo da segunte forma: Quando um novo rótulo é gerado é precso saber se este é domnado por algum outro rótulo já exstente, ou se o novo rótulo domna algum outro já exstente. Assm é necessáro comparar o novo rótulo com todos os outros já exstentes. Isto pode ser feto armazenando os conjuntos de rótulos em N lstas encadeadas, uma para cada nó. Com apenas uma percorrda na lsta do nó em questão todas as comparações necessáras para o teste de domnânca podem ser realzadas Elmnação de 2-cclos Os camnhos não elementares do espaço de soluções do PCMCJTRC são camnhos que contém cclos. O 2-cclo, [... - j -...], é o cclo mas comum encontrado em tas camnhos. Para reduzr o número de camnhos não elementares o algortmo pode ser modfcado de forma a elmnar os 2-cclos. A elmnação do 2-cclos nos algortmos de camnho mas curto é um procedmento padrão que fo apresentado pela prmera vez por Houc, Pcard, Queyranne e Vemugant. Para descrever o novo algortmo modfcado, precsaremos utlzar um novo rótulo de 4 dmensões (, t, d, pred), onde pred é o nó predecessor ao rótulo, sto é, o nó que precede no camnho correspondente ao rótulo. Precsaremos também das seguntes defnções: Defnção 2 : Um rótulo é dto fortemente domnante, se este não é domnado por nenhum outro rótulo e pelo menos uma das condções a segur são satsfetas:. t + t,pred > b pred 2. d + d pred > C O rótulo (, t, d, pred) é dto sem-fortemente domnante se ele não é domnado por nenhum outro e nenhuma das condções acma são satsfetas. 887

6 O rótulo (, t, d, pred) é dto fracamente domnante se ele é domnado apenas por rótulos fortemente domnantes (, t, d, pred ) com o mesmo predecessor pred e tal que pred pred. Um rótulo fortemente domnante mplca que este não pode ser estenddo ao seu predecessor. Um rótulo sem-fortemente domnante mplca que o rótulo pode ser estenddo ao seu predecessor, porém como estamos querendo elmnar o 2-cclo, este não é permtdo. Ao nvés dsso, guardamos um rótulo (domnado por um sem-fortemente domnante) com um predecessor dferente e que é possível extendê-lo ao predecessor do rótulo sem-fortemente domnante. Um rótulo fracamente domnante é domnado por outro sem-fortemente domnante e que pode ser estenddo apenas para o predecessor deste rótulo. Para cada estado (, t, d) pode exstr: nenhum rótulo 2 um rótulo fortemente domnante 3 um rótulo sem-fortemente domnante e possbldade de um rótulo fracamente domnante Agora, o total de rótulos é lmtado por 2.Γ e a ordem da complexdade computaconal não se altera. Como os rótulos não são necessaramente descartados por serem domnados por outros rótulos o segundo passo do algortmo se torna um pouco mas complcado. Se um novo rótulo é domnado por um rótulo antgo, este pode ser descartado nos seguntes casos: se o rótulo antgo é fortemente domnante 2 se o rótulo antgo é fracamente domnante 3 se o rótulo antgo e o novo têm o mesmo predecessor 4 se o rótulo novo não puder se extenddo ao predecessor do rótulo antgo 5 se o rótulo novo é domnado por dos ou mas rótulos de predecessores dferentes Rótulos antgos também podem ser descartados ou mudarem seus status de domnânca para fracamente domnantes, se forem domnados por rótulos novos. As regras para sso podem ser faclmente estabelecdas. 3.3 Regra de branchng Depos de resolvdo o programa lnear DW-PRVFHJT, caso exstam varáves λ fraconáras, é necessáro realzar um branchng. Escolhemos fazer branch sobre as arestas. Nos ramos esquerdos da árvore, uma certa aresta e é fxada a zero, ou seja, todas as colunas correspondendo rotas contendo e são elmnadas. Deve-se probr que a geração de colunas gere novas rotas usando essa aresta, o que é faclmente feto elmnando-se e na programação dnâmca. Nos ramos dretos da árvore, a aresta e é fxada em um. Isso exge a adção da segunte restrção ao programa DW-PRVFHJT: K p( ) e q j = j=.λ j = 4 ESTUDO DE CASO: DISTRIBUIÇÃO INTERMUNICIPAL DE JORNAIS O problema da dstrbução de jornas envolve o fluxo dos jornas desde as rotatvas (prensas), onde ocorre a mpressão até sua entrega ao clente fnal (assnante ou bancas). Podemos dvdr a operação em duas etapas dstntas, lustradas pela fgura. Prmero, volumes maores de jornas são transportados do parque gráfco até operadores logístcos em locas convenentes. A segur, é feta a entrega aos clentes fnas. Uma descrção detalhada desse processo é encontrada em [PICARD e 888

7 BRODY, 977]. O estudo de caso envolveu a prmera etapa do problema de dstrbução de um grande jornal dáro da cdade do Ro de Janero. No caso dos operadores logístcos que fcam dentro da regão metropoltana do Ro de Janero, o problema de roteamento não é muto nteressante do ponto de vsta econômco. Quase todas as rotas são curtas e têm um únco destno, partndo com o veículo cheo. Por outro lado, exstem 49 operadores logístcos localzados em cdades do nteror dos estados do Ro de Janero, Mnas Geras e São Paulo. Como a demanda desses operadores é pequena, um mesmo veículo costuma fazer longas rotas com város destnos. Nesses casos exste grande motvação econômca em melhorar as rotas utlzando um algortmo de roteamento. 4. Levantamento de dados 4.. Demanda A demanda é expressa em peso, uma vez que o peso untáro de cada edção do jornal vara ao longo da semana. Além dsso, os custos do transporte rodováro de cargas estão freqüentemente assocados ao peso transportado, o que faclta a estmatva de custos e comparação de resultados. É mportante notar que o peso do produto jornal é determnante da capacdade de seu transporte, já que suas dmensões (volume) são bem reduzdas (densdade méda = 9,85 g/m 3 ). Assm como o peso, a quantdade de jornas entregues também vara ao longo da semana, atngndo pcos nas edções de sábado e domngo. Este fato acentua anda mas a dferença de peso entre as edções de fm-de-semana e do resto da semana. A tabela exemplfca a demanda de operadores logístcos em ses cdades, bem como os totas por cada da de semana. Tabela Demanda em g por ponto de entrega para cada da da semana No. PONTOS DE ENTREGA SEG TER QUA QUI SEX SÁB DOM ANGRA DOS REIS ARARUAMA BUZIOS ARRAIAL DO CABO BARRA DE SÃO JOÃO BARRA DO PIRAI TOTAL

8 4..2 Dstâncas Para o cálculo das dstâncas entre os pontos de entrega, foram consderadas as dstâncas de centro a centro das cdades vstadas, uma vez que todas as paradas consderadas no estudo ocorrem nos respectvos centros urbanos das cdades. Construu-se uma matrz smétrca, com todas as dstâncas usadas no modelo, consderando as prncpas rodovas federas e estaduas da regão sudeste, e no caso de exstrem duas ou mas possíves rotas entre dos pontos de entrega, fo consderada a rota mas curta. O ste fo usado como base para extração destes dados. Por falta de dados mas precsos sobre os custos das vagens, tomamos a dstânca (em qulômetros) total das rotas como função objetvo Veículos utlzados Atualmente são usados três tpos de veículos de carga: camnhão tpo Truc, camnhão tpo Toco e carro tpo Furgão. As característcas desses veículos são dadas na tabela a segur. Tabela 2 - Característcas dos veículos utlzados Tpos de Veículos Capacdade Velocdade (em g) Méda (m/h) SPRINTER TOCO TRUCK A partr das dstâncas e das velocdades de cada veículo, pode-se estmar o tempo de deslocamento de cada veículo entre cada par de cdades. Como a dstrbução de jornas é feta de madrugada ou nas tardes de sábado (no caso da edção de domngo), horáros em que as estradas têm pouco movmento, as estmatvas obtdas são bastante razoáves, conforme meddo em três semanas de operações Tempo de descarga O tempo de descarga em cada ponto de entrega pode ser dvddo em duas partes: uma fxa, que representa o tempo de frenagem, abertura do baú e manobras do veículo, e outra varável, em função do peso descarregado no ponto. Para obter o tempo de descarga em cada ponto de entrega, foram meddos os tempos de descarga em cada ponto durante três semanas, nclundo as edções de sábado e domngo. Assumu-se a premssa de que todos os pontos de entrega oferecem condções semelhantes de entrega (rampas, clma, etc). A partr da base de dados levantada nesta pesqusa, utlzou-se o método de regressão geométrca para expressar o tempo de descarga em função do peso entregue no ponto, fornecdo pela equação: Onde: P é o peso dos jornas entregues no ponto; T é o tempo total de descarga. T = 0,4459P 4..5 Janela de Tempo O horáro lmte de entrega pode varar de acordo com as condções contratuas pré-defndas em concordânca com o nível de servço exgdo pelos clentes de determnada regão. Portanto, a janela de tempo de entrega para os operadores logístcos pode varar. Assumndo a premssa de que todas as rotas tem níco às 00:00hs, estmou-se a janela de tempo para cada ponto. As edções de domngo apresentam partculardades: não apenas as rotas partem nas 4:00hs de sábado, como város pontos têm suas janelas de tempo aumentadas em duas ou três horas. 0,

9 4..6 Rotas Atuas Foram levantadas as rotas atualmente utlzadas para possbltar comparações, em termos de custos e qualdade de servço, com as novas rotas propostas. Atualmente os 49 operadores logístcos são servdos por 3 rotas fxas, os veículos rodam um total de 7380 m por da. As rotas são fxas no sentdo que a mesma seqüênca de paradas é utlzada todos os das. Como a edção de domngo exge bem mas capacdade do que os demas das, essas rotas fxas foram cradas em função da demanda domncal. Uma descoberta nteressante fo o fato de que em 8 clentes as janelas de tempo estavam sendo daramente voladas. Na verdade, as janelas de tempo que foram nformadas pelos operadores revelam os horáros em que eles gostaram de ser atenddos, o que nem sempre corresponde ao que se pratca hoje na empresa. Dessa forma, para cada um dos 7 das da semana foram cradas 2 nstâncas do PRVJTFW: uma num cenáro com as janelas de tempo desejadas e outra num cenáro as janelas de tempo pratcadas atualmente. 4.2 Resultados Computaconas O algortmo exato de branch-and-prce fo rodado num processador Pentum 4 2,4GHz, com 52Mb de memóra RAM. O resolvedor de programação lnear usado fo o CPLEX 8.0. Os resultados obtdos para as 4 nstâncas são mostrados na tabela abaxo. A prmera coluna ndca o da da semana correspondente a cada nstânca. As nstâncas marcadas com usam as janelas de tempo desejadas (cenáro ), as nstâncas 2 as janelas de tempo mas largas usadas atualmente (cenáro 2). A coluna nó raz mostra o lmte nferor obtdo pela solução de DW-PRVFHJT, enquanto a coluna segunte mostra a solução ótma ntera. As colunas seguntes apesentam o tempo que o algortmo gasta em suas partes mas demoradas, resolução de programação lnear e geração de colunas. A coluna # nós ndca o número de nós explorados na árvore de branchand-bound. A colunas # cols é o número total de colunas geradas ao longo do algortmo. Fnalmente, temos o tempo total de execução. Instânca Nó raz Solução Tempo PL(s) Tempo GC(s) # nós # cols Tempo Total(s) Segunda 7053, ,94 962, ,00 Terça 722, ,67 78, ,47 Quarta 722, ,7 2082, ,63 Qunta 722, ,09 558, ,45 Sexta 79, ,07 709, ,99 Sábado 7597, ,3 2307, ,64 Domngo 7982, ,2 393, ,0 424,62 Segunda 2 560, ,80 239, ,09 Terça , ,6 294, ,78 Quarta 2 564, ,73 37, ,09 Qunta , ,94 3, ,8 Sexta 2 564, ,48 259, ,7 Sábado , ,89 688, ,39 Domngo , ,5 53, , Análse dos Resultados A tabela segunte compara as soluções atuas com as novas soluções propostas, nos dos cenáros. Lembrando que as soluções estão sendo avaladas pela total de qulômetros rodados, o que é consderado uma razoável aproxmação do custo das soluções. 89

10 Da da semana Solução Atual Solução cenáro Economa cenáro (%) Solução cenáro 2 Economa cenáro 2 (%) Segunda , ,22 Terça , ,34 Quarta , ,34 Qunta , ,34 Sexta , ,34 Sábado , ,69 Domngo , ,09 Total semana , ,48 No cenáro geralmente não há redução na qulometragem em relação à solução atual, em méda essa qulometragem aumenta lgeramente, em,9%. Entretanto as novas soluções propostas respetam todas as janelas de tempo desejadas. Por outro lado, no cenáro 2 houve sgnfcatva redução nas qulometragens, em méda 20,48%. Esses números exatos podem ser questonados devdo a algumas aproxmações fetas, mas a conclusão geral é a segunte: Ou pode-se melhorar sgnfcatvamente a qualdade de servço pratcamente sem alterar os custos (cenáro ); ou pode-se reduzr sgnfcatvamente os custos sem alterar a atual qualdade de servço (cenáro 2). Uma outra observação é que, nos dos cenáros, a solução ótma para os das de terça a sexta é a mesma. Isso ndca que é possível chegar a um bom compromsso entre a qualdade das soluções e a facldade de sua mplantação. É convenente, para a rotna da empresa, que rotas semelhantes sejam usadas em város das. 5. CONCLUSÕES Fo desenvolvdo um algortmo de branch-and-prce para uma varante complexa do problema de roteamento de veículos. Nas 4 nstâncas usadas para teste, correspondentes a um problema real de dstrbução de jornas, o algortmo apresentou bons desempenho, sendo capaz de resolvê-las todas de forma exata em tempo bastante acetável. Os resultados obtdos também ndcam boas possbldades de ganhos econômcos nesse partcular problema de dstrbução, que envolve quantas da ordem de 8 mlhões de reas por ano. Atualmente está sendo feto um novo trabalho de levantamento de dados, de modo a usar os custos mas realstas possíves como função objetvo do problema de otmzação. 892

11 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS PICARD,R.;BRODY,J.The Newspaper Publshng Industry. Allyn and Bacon, Boston, MA, 977. DESROCHERS, M.; DESROSIERS, J..; SOLOMON, M.. A new optmzaton algorthm for the vehcle routng problem wth tme wndows. Operatons Research, 40: , 992. LIU, F.; SHEN, S.. A method for vehcle routng problem wth multple vehcle types and tme wndows. Proc. Natl. Sc. Counc, 23: , 999. DANTZIG, G.B.; WOLFE, P.. Decomposton Prncple for Lnear Programs. Operatons Research 8:0-, 960. DESROSIERS, J.; SOUMIS, F.; DESROCHERS, M.. Routng wth tme wndows by column generaton. Networs, 4: , 984. TOTH, P.; VIGO, D.. The Vehcle Routng Problem. Monographs on Dscrete Mathematcs and Applcatons. SIAM,