STE SESSÃO TÉCNICA ESPECIAL DE INTERFERÊNCIAS, COMPATIBILIDADE ELETROMAGNÉTICA E QUALIDADE DE ENERGIA

SCQ/2 2 a 26 de Outubro de 2 Campas - São Paulo - Brasl STE SESSÃO TÉCNICA ESPECIAL DE INTERFERÊNCIAS, COMPATIBILIDADE ELETROMAGNÉTICA E QUALIDADE DE ENERGIA ALOCAÇÃO ÓTIMA DE FILTROS, CAPACITORES E CARGAS NO CONTEXTO DA QUALIDADE DA ENERGIA ELÉTRICA José Rubes Macedo Jr. ESCELSA / ENERSUL José Wlso Resede, Ph.D. UFU RESUMO Este trabalho trata da alocação ótma de bacos de capactores e fltros harmôcos stozados (o que dz respeto à dstorção harmôca de tesão), bem como, da obteção de regões ótmas para a alocação de cargas sesíves aos afudametos de tesão de curta duração em uma rede de eerga elétrca. PALAVRAS-CHAVE: Alocação ótma, capactores, fltros harmôcos passvos.. CONSIDERAÇÕES GERAIS A motvação para o desevolvmeto deste trabalho decorre das segutes costatações: A alocação ótma de fltros stozados, mesmo os trabalhos mas recetes, utlzam téccas pouco satsfatóras - como, por exemplo, a técca elemetar de tetatva e erro empregada a referêca [] - a busca dos melhores barrametos de alocação dos equpametos; Em relação à alocação de bacos de capactores, o que cocere à frequêca fudametal, exstem dversas téccas de aálse, etretato, a grade maora delas evolve processos complcados e robustos de programação lear e ão-lear [2]; Falmete, em se tratado da alocação de cargas sesíves afudametos de tesão de curta duração, poucas são as téccas atualmete exstetes. Para solucoar estes problemas de uma maera mas obetva, adotou-se a Teora de Estruturas Aplcadas a Redes Elétrcas (TEARE). Desevolvda em 964 por M.A. Laughto [3], essa teora fo aplcada, com êxto, a solução de dversos problemas relacoados aos sstemas elétrcos de potêca. Em lhas geras, a TEARE evolve a reformulação da matrz admtâca de rede em termos de seus autovalores e autovetores. Baseada o domío da frequêca, essa teora, até o presete mometo, abordava tão somete a frequêca fudametal dos sstemas de eerga. Etretato, com o surgmeto de ovas tecologas verfcou-se a ecessdade de aálse dos sstemas elétrcos em frequêcas múltplas da fudametal (as chamadas frequêca harmôcas). A utlzação da Teora de Estruturas Ieretes a Redes Elétrcas a solução dos problemas assocados às frequêcas harmôcas somete fo vestgada recetemete através dos trabalhos de G. Carpell [4], os quas abordam estudos de alocação ótma de fltros harmôcos passvos stozados. O trabalho ora proposto, apresetará estudos de casos obtdos através de um programa computacoal, especfcamete desevolvdo para a mplemetação da Teora Ierete à Estrutura. Tal programa aborda ão somete a frequêca fudametal dos sstemas de eerga, como também as frequêcas harmôcas. Dessa forma, realzam-se os estudos de alocação ótma de fltros e capactores, assm como, a aálse das regões de vulerabldade quado da ocorêca de afudametos mometâeos de tesão os sstemas elétrcos. Os resultados foram comparados com outros obtdos através de metodologas de aálse atualmete exstetes e se mostraram grademete satsfatóros.

2 2. FUNDAMENTOS TEÓRICOS Os cálculos que evolvem tesões e corretes em sstemas elétrcos requerem, em geral, o cohecmeto da correspodete matrz admtâca da rede. A Teora de Estruturas Aplcadas a Redes Elétrcas utlza a matrz admtâca como prcpal elemeto de aálse. Bascamete, como doravate mecoado, a TEARE se resume a reestruturação da matrz admtâca da rede em termos de seus autovalores e autovetores. A matrz admtâca da rede é, como se sabe, costtuída das porções passvas do sstema. Nesse cotexto, vale a pea relembrar que qualquer perturbação a topologa de um sstema elétrco, como a serção de um ramo shut ou de uma ova lha, provocará alterações a matrz admtâca da rede. Com sso, os autovalores e autovetores correspodetes também sofrerão alterações e, por cosegute, dcarão modfcações a sesbldade dos barrametos do sstema elétrco. Na represetação da matrz de admtâcas da rede em termos de seus autovalores e autovetores, cosderase, para a frequêca fudametal, a matrz dcada a equação (). ( ).[ ] [ Y ] = [ P]. dag λ P () [Y] = Matrz admtâca da rede; dag(λ) = Matrz dagoal de autovalores da matrz [Y]; [P] = Matrz de trasção, cuas coluas são os autovetores correspodetes da matrz [Y]. A matrz de trasção [P] é represetada coforme a equação (2). ( θ, θ,, ) [ 2 P] θ θ = -ésmo autovetor da matrz [Y]. = (2) Partdo-se da equação (), pode-se escrever a matrz de mpedâcas da rede da segute forma: Com os equacoametos apresetados até o mometo, pode-se rescrever a equação lear tradcoal para estudos de curtos-crcutos e de peetração harmôca, dcada em (4), de modo a cotemplar a ova represetação da matrz de mpedâcas da rede. [ V ] = [ Z].[ I] (4) Substtudo-se a matrz de mpedâcas, dcada em (3), a equação (4), tem-se: [ V ] = [ P]. dag.[ P] λ.[ I] De acordo com [], a equação (5) pode ser reescrta como apresetado a segur: [ V ] = N = T.[ S].[ I] λ N = Número de barras do sstema elétrco em aálse; = -ésmo barrameto do sstema elétrco; [S] = Matrz de sesbldade de rede, represetada de acordo com a equação (7). [ S ] θ ] (5) (6) T = θ.[ (7) O sgfcado físco da matrz de sesbldade [S] fo verfcado por M.A. Laughto em 964, o qual demostrou em [6], a gualdade apresetada em (8). [ S] = θ.[ θ ] T λ y = λ y N λ y N λ N y NN (8) [ Z] = [ P]. dag.[ P] λ (3) Cada elemeto da matrz de sesbldade, dcada em (6), represeta o coefcete de sesbldade relacoado às modfcações -ésmo autovalor em relação ao elemetos y da matrz de admtâcas da rede. dag(/λ) = Matrz de autovalores versos, ode cada elemeto ão ulo é o recíproco dos elemetos da matrz dagoal de autovalores orgal. No tópco segute, estas formulações serão aplcadas a determação de potos de alocação ótma para fltros e capactores em sstemas elétrcos de potêca. 2

3 3. RESULTADOS DE SIMULAÇÃO A segur, utlzado-se um sstema radal típco dos sstemas de dstrbução, proceder-se-á ao estudo da otmzação da alocação de fltros stozados utlzado-se a TEARE. O sstema radal utlzado é costtuído de 9 barras, sedo que em duas delas estão coectadas cargas ão-leares, como pode ser observado pela fgura. As tesões omas do sstema são de 38/3,8 kv. dag ( λ ) 43,52 = 28,2 23,52 5,74 9,59,65 3,95 2,2 2,43 () Como á lustrado aterormete, cada autovalor apresetado em () será assocado ao seu autovetor correspodete. Por outro lado, a matrz de trasção [P], cuas coluas são compostas pelos autovetores da matrz admtâca, é apresetada em (). Fgura - Dagrama uflar do sstema elétrco para estudo de alocação de fltros stozados. Retorado-se à equação (5), tem-se que a mesma dca que a tesão em um determado barrameto de um sstema elétrco é depedete tato dos autovalores da matrz admtâca, quato de seus autovetores. Com o propósto de verfcar esta depedêca, retoremos ao sstema elétrco da fgura ou, mas especfcamete, à sua matrz admtâca para a frequêca de 3Hz, apresetada o aexo I. Os autovalores da matrz admtâca represetatva do sstema elétrco em estudo, cuos elemetos estão relacoados à frequêca de 3 Hz, foram calculados através de um programa computacoal especfcamete desevolvdo para este propósto. Os valores ecotrados são apresetados em o aexo II, equação (9), sob a forma de uma matrz dagoal. Observa-se que os autovalores são úmeros complexos, uma vez que os elemetos da matrz admtâca também o são. Etretato, a aplcação da Teora de Estruturas Ieretes a Redes Elétrcas, tato os autovalores quato os elemetos dos autovetores correspodetes, serão cosderados em módulo. Coforme á mecoado, a TEARE é capaz de formar se um determado barrameto é mas, ou meos, sesível em relação a alguma alteração a topologa da rede. Ou sea, a teora forece formações qualtatvas da rede. A matrz apresetada em (9), o aexo II, será, em seguda, escrta em termos dos módulos dos autovalores.,2,2,37,767 P =,297,54,386,49,27,7,248,436,6,2,37,576,595,82,6,437,563,233,537,22,23,277,8,5,266,34,323,559,4,238,42,34,37,356,43,32,4,38,538,248,549,7,324,339,35,355,358,357,36,365,276,597,425,84,226,556,2,52,29,779,552,257,34,66,3,47,9,99,292,46,459,34,7,28,32,42,492 () Um dos autovetores da matrz de trasção [P] assume um sgfcado de grade mportâca a TEARE. Trata-se do autovetor assocado ao autovalor de meor módulo. Para o caso em estudo, a matrz dagoal apresetada em () observa-se que o meor autovalor da matrz admtâca é o elemeto λ 6,6 com módulo gual a,65. Dessa forma, o autovetor assocado a este autovalor de meor módulo será o vetor correspodete à sexta colua da matrz de trasção [P], dcada em (). Para uma maor facldade de observação, apreseta-se este vetor, em (2), soladamete da matrz de trasção [P]. θ 6,7,324,339,35 =,355,358,357,36,365 (2) A grade partculardade deste autovetor é que a dfereça percetual etre o maor e o meor de seus elemetos é a míma ecotrada detre todos os outros autovetores. 3

4 Para exemplfcar este fato, realza-se em seguda o cálculo das dfereças percetuas etre o maor e o meor elemeto de cada autovetor. Este cálculo é realzado através da equação (3). % max θ mθ = m θ.% (3) ode: % = varação percetual etre os elemetos do -ésmo autovetor; θ = -ésmo autovetor. Os resultados obtdos para os autovetores apresetados a matrz () são mostrados a tabela (). Tabela Varação percetual etre os elemetos do -ésmo autovetor. AUTOVETOR MAIOR ELEMENTO DE Θι MAIOR ELEMENTO DEΘι % Θ,767,2 3825 Θ2,595,7 84 Θ3,537,6 3256 Θ 4,559,5 3627 Θ5,549,37 384 Θ6,365,7 24 Θ7,597,2 2885 Θ8,779,47 557 Θ9,552,9 2 Em termos prátcos, a cada barrameto do sstema de eerga pode ser assocado um autovalor correspodete. Desse modo, o elemeto λ, da matrz dagoal apresetada em () correspode ao barrameto do sstema, o elemeto λ 2,2 ao barrameto 2 e, assm, sucessvamete. Para os autovetores também é válda esta correspodêca, ou sea, o autovetor θ correspode à barra do sstema elétrco, o autovetor θ 2 à barra 2 e, assm, sucessvamete. Além dos autovetores propramete dtos, os elemetos de cada autovetor também podem ser assocados aos barrametos do sstema de eerga. Dessa forma, por exemplo, para o autovetor θ 6, o prmero elemeto correspode ao barrameto, o segudo elemeto ao barrameto 2 e, assm por date. Coforme mecoado aterormete, os elemetos do autovetor assocado ao autovalor de meor módulo, possu uma forte lgação com as tesões os barrametos da rede. Assm sedo, com o tuto de demostrar a correspodêca etre os autovetores da matrz admtâca e as tesões os barrametos do sstema mostrado a fgura, represetou-se, calmete, os módulos dos elemetos do autovetor θ 6 (de meor varação percetual etre seus elemetos) o gráfco lustrado a fgura 3.,4 Como observado a tabela, o autovetor θ 6 apreseta a meor varação percetual (24%) etre o maor e o meor de seus elemetos. Este fato também pode ser observado através do gráfco apresetado a fgura (2). VARIAÇÃO PERCENTUAL(%) 4 35 3 25 2 5 M ÓDULO DOS ELEMENTOS DO AUTOVETOR,35,3,25,2,5,,5, 2 3 4 5 6 7 8 9 BARRA Fgura 3 Módulos dos elemetos do autovetor θ 6. 5 2 3 4 AUTOVETOR 5 Fgura 2 Varação percetual etre o maor e o meor elemeto de cada autovetor. Como será vsto mas adate, o módulo dos elemetos do autovetor, que apreseta a meor varação percetual etre seus elemetos (correspodete ao autovalor de meor módulo) terá forte lgação com as tesões os barrametos do sstema de eerga. 6 7 8 9 Em seguda, calculou-se, através do programa de peetração harmôca deomado HARMFLOW, as tesões de 5 a ordem em todos as barras da mesma rede, a qual possu fotes harmôcas coectadas às barras 3 e 9. Em termos de 5 a harmôca, as corretes etadas pelas fotes estas barras foram de,276 4,79 o p.u. Os resultados obtdos para as tesões de 5 a harmôca, em módulo, os barrametos do sstema são mostrados a fgura 4. 4

5,6,5 TENSÃO DE ORDEM 5 (P.U.),4,3,2,, 2 3 4 5 6 7 8 9 BARRA Fgura 4 Tesões harmôcas de 5 a ordem as barras do sstema. Fgura 5 Elemeto shut coectado aos barrametos do sstema. Ode, R =,965 ohm; L = 33,47 mh e C = 8,49 µf. Comparado-se estas fguras, é fácl verfcar a grade smlardade o comportameto dos gráfcos das fguras 3 (relatvo ao módulo dos elemetos do autovetor θ 6) e 4 (relatvo às tesões as barras do sstema cosderado). Em outros termos, pode-se dzer que, o que se refere à 5 a harmôca, os módulos dos elemetos do autovetor θ 6 se comportam pratcamete da mesma forma que as tesões os barrametos da rede de eerga cosderada. Desse modo, o comportameto qualtatvo das tesões em um sstema elétrco pode, em geral, ser observado pela smples aálse dos autovetores da matrz admtâca da rede. Esta aálse é efetuada com equacoametos e cálculos computacoas muto mas smples que as metodologas tradcoas, que utlzam programas de fluxo de carga e/ou peetração harmôca. Na evetual ocorrêca de uma perturbação que cause alterações a topologa de um sstema, é bastate provável que as tesões as barras do referdo sstema de eerga sofram mudaças. Isso pode, também, ser verfcado qualtatvamete utlzado-se a TEARE. A aálse da correspodêca etre os autovalores da matrz admtâca (sem cosderar a exstêca de perturbação) e o comportameto das tesões do sstema elétrco está dretamete relacoada à sesbldade da rede. Através das aálses dos autovalores pode-se verfcar o quato um determado barrameto é sesível em relação a uma determada perturbação o mesmo. No presete caso (sstema elétrco mostrado a fgura ) cosderar-se-á a serção de um elemeto shut em uma barra do sstema. O elemeto shut cosderado para tal propósto será um arrao sére composto por uma resstêca, uma dutâca e uma capactâca, coforme mostrado a fgura 5. A mesma aálse podera ser realzada cosderado-se capactores de potêca. Alocado-se esse elemeto shut em todas as barras do sstema (uma vez em cada barra), ter-se-á dferetes varações as tesões de cada barra cosderada. Pode-se, assm, dagar: em qual barra, quado da ocorrêca da perturbação, as varações de tesão serão maores (ou meores)? As tesões de 5 a harmôca as barras, ates e depos da serção do ramo RLC, assm como, a varação percetual etre elas, estão dcadas a tabela 2. Tabela 2 Tesões de 5 a harmôca as barras do sstema ates e depos da serção do ramo RLC. BARRA DE ALOCAÇÃO TENSÃO DE 5 a. HARMÔNICA NA BARRA VARIAÇÃO DO RAMO RLC ANTES (p.u.) DEPOIS (p.u.) PERCENTUAL (%),44,99 56,89 2,454,224 268,798 3,4745,233 284,8337 4,4852,29 3,3234 5,4846,54 39,937 6,4839,8 348,556 7,4965,86 38,634 8,587,63 337,433 9,5276,3 335,673 O gráfco apresetado a fgura 6 mostra a varação percetual da tesão de 5 a ordem devdo à mudaça do local de serção do ramo RLC. Varação % da tesão de 5 a ordem 4 35 3 25 2 5 5 2 3 4 5 6 7 8 9 Barra de alocação do ramo RLC Fgura 6 Varação percetual da tesão de 5 a ordem de acordo com a varação da barra de alocação do ramo RLC. 5

6 Da aálse da fgura 6, verfca-se que, quado o ramo RLC é alocado a barra 6, a varação percetual da tesão de 5 a ordem é a maor observada. Em outras palavras, o barrameto de úmero 6, para o sstema elétrco da fgura, é o mas sesível para a perturbação cosderada. Buscado-se uma correspodêca etre estas varações e os autovalores da matrz admtâca orgal (sem a carga RLC), para o sstema elétrco cosderado, represetou-se, através de um gráfco, os módulos dos respectvos autovalores (fgura 7) da matrz admtâca. Módulo do autovalor 5 45 4 35 3 25 2 5 5 2 3 4 5 6 7 8 9 Barra de alocação do ramo RLC Fgura 7 Módulo dos autovalores da matrz admtâca. Da aálse dos gráfcos das fguras 6 e 7, observa-se claramete a correspodêca versa etre os mesmos. Em termos prátcos, pode-se dzer que a curva represetada a fgura 6 é a magem em espelho daquela apresetada a fgura 7. Em outras palavras, quato meor o módulo do autovalor assocado a uma determada barra, maor será a varação percetual da tesão de 5 a ordem a referda barra, quado da alocação do ramo RLC. Até o presete mometo, os fudametos prcpas da Teora de Estruturas Ieretes a Redes Elétrcas á foram apresetados. Etretato, ecessta-se ada de um equacoameto mas abragete, capaz de sstematzar as correspodêcas etre os autovalores e autovetores de uma matrz admtâca e a sesbldade de um sstema elétrco. Na busca deste equacoameto, M. A. Laugtho [4] desevolveu a matrz de sesbldade para autovalores. Os elemetos desta matrz são formados λ por dervadas parcas do tpo, ode λ é o - ésmo autovalor da matrz admtâca [Y] e y é um elemeto dessa mesma matrz. Desse modo, cada um desses elemetos, a partr da defção de dervadas parcas, dca o quato um determado autovalor que pode ser assocado a um determado barrameto de um sstema de eerga vara quado da varação de um elemeto da matrz admtâca. y O equacoameto ecessáro para a costrução da matrz de sesbldade para autovalores, coforme apresetada a seção 2 deste trabalho, é apresetada em maores detalhes a segur. A matrz de sesbldade para autovalores pode ser verfcada, calmete, através de algumas mapulações a equação (3), abaxo reproduzda como equação (4): Z = P λ ( P). dag.( ) (4) É possível, com algumas mapulações matemátcas reescrever a equação (4) sob a forma expadda, como dcado em (5). Z = N =. θ. λ ( θ ) T (5) N = úmero de barras do sstema elétrco; λ = -ésmo autovalor da matrz admtâca; θ = -ésmo autovetor da matrz admtâca ou, ada, -ésma colua da matrz P; (θ ) T = -ésmo autovetor, trasposto, da matrz admtâca. Fo exatamete através da aálse da equação (5) que M.A. Laugtho [6] desevolveu a matrz de sesbldade para autovalores. Essa matrz é costtuída pelo produto de dos dos fatores presetes a equação (5), como pode ser observado em (6). S ( θ ) T = θ. (6) O sgfcado físco da equação (6) fo verfcado por M.A. Laugtho em 964, o qual demostrou em [6], a gualdade apresetada em (7). S = θ. ( θ ) T λ y = λ y N λ yn λ y NN (7) S = matrz de sesbldade assocada ao autovetor ; λ = -ésmo autovalor; θ = -ésmo autovetor; y, = elemeto, da matrz de admtâcas. 6

7 Substtudo-se a equação (6) em (5), pode-se represetar a matrz de mpedâcas da rede em termos da matrz de sesbldade [S], coforme mostrado em (8). [ Z] = N =, N. S λ (8) Matrcalmete, S 6,3,345,36,345,53,99,36,99,47,374,39,89 =,378,52,23,38,62,23,38,58,29,385,72,224,388,83,235,374,39,89,233,247,258,253,268,28,378,52,23,247,262,272,268,283,295,38,62,23,258,272,283,279,294,36,38,58,29,,253,268,279,275,29,32,385,72,224,268,283,294,29,246,37,388,83,235,28,295,36,32,37,27 De posse de (8), a equação matrcal lear [V] = [Z].[I] pode agora ser rescrta em termos de autovalores e da matrz de sesbldade [S], coforme observado em (9). N [ V ] =, N = λ. S.[ I] (9) Verfca-se, assm, a depedêca etre as tesões os barrametos de um sstema elétrco e a matrz de sesbldade [S]. Pela observação da equação (7), ota-se que cada elemeto da matrz S represeta o coefcete de sesbldade etre o autovalor λ e o respectvo elemeto da matrz de admtâcas. Desse modo, quato maor for um determado elemeto S, a matrz de sesbldade, maor será a sesbldade do autovalor λ para modfcações o elemeto y, correspodete da matrz admtâca. Com o tuto de lustrar a aplcabldade da matrz de sesbldade, vamos retorar ao sstema elétrco da fgura. Pela aálse da equação (6), verfca-se que o úmero de matrzes de sesbldade será gual ao úmero de autovetores da matrz admtâca, ou ada, ao úmero de barras do sstema elétrco. Dessa forma, para o sstema da fgura, ter-se-á 9 (ove) matrzes de sesbldade. Porém, do mesmo modo como realzado para a verfcação da correspodêca etre autovetores e tesões do sstema, será cosderada apeas a matrz de sesbldade correspodete ao autovalor de meor módulo, ou sea, λ 6,6 =,65, pelas mesmas razões aterormete. Assm, tem-se para o sstema elétrco cosderado a matrz de sesbldade correspodete ao autovetor θ 6, que, por sua vez, está assocado ao autovalor de meor módulo. Para o cálculo da matrz de sesbldade S 6 utlza-se a equação (6). Dessa forma, tem-se: ( ) T S6 = θ 6. θ 6 (9) Como á se vu este trabalho, a alteração a topologa da rede, o caso a serção de um ramo shut em um determado barrameto de um sstema elétrco, rá causar apeas a varação do elemeto y, da dagoal prcpal da matrz admtâca da rede. Pode-se afrmar, gualmete, que a sesbldade do sstema pode ser observada pela smples aálse dos elemetos da dagoal prcpal da matrz de sesbldade [S]. Neste cotexto, quato maor for o valor de um determado elemeto da dagoal prcpal da matrz [S], ode s = λ y,, maor será a sesbldade do barrameto correspodete à uma determada perturbação [3]. A fgura 8 destaca os elemetos da dagoal prcpal da matrz de sesbldade (9), do sstema elétrco da fgura, em fução dos barrametos do sstema. MÓDULO DO ELEMENTO S,4,2,,8,6,4,2, 2 3 4 5 6 7 8 9 BARRA Fgura 8 Elemetos da dagoal prcpal da matrz de sesbldade relatva ao sstema elétrco da fgura Coforme pode ser verfcado pela fgura ateror, a barra úmero 6 apreseta o maor coefcete de sesbldade. Estes resultados, em comparação aos resultados aterormete obtdos por métodos tradcoas, dcam a barra 6 como a mas sesível sob o poto de vsta de tesão harmôca quado da ocorrêca de uma perturbação o sstema. Vale ressaltar que todo o procedmeto aqu realzado é gualmete aplcado para estudos de alocação ótma de capactores e cargas o cotexto da qualdade da eerga elétrca. 7

8 O elemeto básco de aálse para qualquer estudo é a matrz admtâca de rede do sstema elétrco cosderado. A dfereça exstete em cada tpo de aálse refere-se smplesmete à frequêca para qual a matrz admtâca fo motada. Para estudos de alocação ótma de capactores e cargas serão cosderados smplesmete admtâcas de frequêca fudametal. Para aálses o domío harmôco, as admtâcas serão cosderadas em frequêcas múltplas da fudametal. 4. CONCLUSÕES A aálse dos autovalores da matrz admtâca da rede dos sstemas elétrcos de potêca dcou o comportameto das tesões as barras. Tal estudo leva à possbldade da cração da matrz de sesbldade assocada a autovalores, a qual se mostrou ser efcete para estudos dos efetos de perturbações em um sstema elétrco. Proceedgs of the 7 th Iteratoal Coferece PEMC 96, Budapest, Hugary, September 996, pp. 333-338. [6] - M. A. LAUGHTON, The structure of power etwork voltage profles, Proceedgs of 7 th PSCC, Lausae, July 982, pp. 845-85. [7] PESONEN, M. A. et al., Harmocs, characterstc, parameters, methods of study, estmates of exstg values the etwork, Electra, No. 77, July 98. [8] - M. A. LAUGHTON, Sestvty dyamcal system aalyss, J. Electro. Cotrol, 964, 7, pp. 577-59. --------------- X ---------------- Neste setdo, a Teora de Estruturas Aplcadas a Redes Elétrcas pode ser largamete aplcada a aálse de alocação ótma de fltros, capactores e cargas, o cotexto da qualdade da eerga elétrca, em substtução a város métodos usuas, os quas a grade maora das vezes se mostram complexos e de dfícl aplcação 5. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS [] EMANUEL, A. E., PILEGI, D. J., GENTILE, Optmum placemet of sgle-tued shut flters dstrbuto feeders wth dspersed olear loads, Proc. of IEEE ICHPS VI, Bologa, September, 2-23, 994. [2] ERTEM, S., TUDOR, J. R., Optmal shut capactor allocato by olear programmmg, IEEE Tras. o Power Delvery, Vol. PWRD-2, No. 4, October 987. [3] LAUGTHON, M. A., EL ISKANDARANI, O the Iheret Network Structure, Proc. of 6 th PSCC, Darmstad, August 978, pp. 85-96. [4] CARPINELLI, G., RUSSO, M., RUSSO, A., VERDE, P., Iheret Structure Theory of etworks ad power system harmocs, IEE Proc. Geer. Trasm. Dstrb., Vol. 45, No. 2, March 998. [5] CARPINELLI, G., RUSSO, M., VERDE, P., O the optmum placemet of passve flters, 8

9 ANEXO I Matrz admtâca de rede do sstema elétrco da fgura = 9,9,99 6,6372,4425 6,543,4334 9,9,99 9,9,99 29,73 2,973 9,9,99 9,9,99 9,83,9827 9,9,99,659,997,7499,6,7499,6 2,3499,6 Y 6,5534,8742 6,552,8734 6,552,8734 6,465,866 9,9,99 9,9,99 9,875,9843 6,6465,445 6,6372,4425 9,9,99 ANEXO II Matrz dagoal de autovalores complexos ( ) = 2,42,7 2,2,96 3,94,3,64,2 9,53,3 5,67,47 23,42 2,24 28,5 2,92 43,3 4,3 dag λ (9)