Movimento de um projétil

Movimento de um projétil A equação de movimento para um projétil é muito simples quando desprezamos a resistência do ar ventos efeitos da pressão atmosférica com a altitude forma do projétil etc. Usando a seunda lei de Newton asta iualarmos a força peso do projétil de massa m à variação de momentum assim: dp = mẑ onde estou supondo proximidade com o solo considerado plano onde a aceleração da ravidade pode ser aproximada pela constante > e estou escolhendo o sistema de coordenadas com o eixo z apontando para cima. Supondo que o projétil não perde massa ao lono de sua trajetória podemos escrever isto é m d r = mẑ d r = ẑ. Tomando como conhecida a velocidade inicial v podemos interar amos os memros dessa equação e oter dr = v tẑ. Conhecendo a posição inicial r podemos interar amos os memros dessa equação tamém e oter a equação de movimento para o vetor posição do projétil: r = r + v t 1 t ẑ. Fácil não é mesmo? Bico! :wink: Como um exemplo vamos lançar o projétil da oriem de modo que r = e vamos impor uma velocidade inicial dada no plano xz : v = ˆxv x + ẑv z onde v x > e v z >. Com essas condições iniciais podemos escrever o vetor posição do projétil como r = ˆxv x t + ẑ v z t 1 t. 1

Em coordenadas cartesianas as componentes do vetor posição do projétil ficam x = v x t e y = z = v z t 1 t. Loo o movimento neste caso particular dar-se-á no plano xz e a equação da trajetória pode ser otida sustituindo t = x v x na equação para a coordenada z. Assim otemos x z = v z 1 x v x v x isto é z = v z v x x v x x que é a equação de uma paráola com concavidade voltada para aixo já que v x > por hipótese. O projétil sai de z = e volta a z = quando isto é v z v x x v x x = x = v zv x que é o alcance do projétil. A altura máxima é atinida quando isto é para o valor de x tal que v z v x dz dx = v x x =

ou seja x = v zv x que é o ponto exatamente a meio alcance. A altura máxima é otida sustituindo esse valor de x na ressão de z : isto é z máx = v z v x vz v x v x vz v x ou seja z máx = v z v z Resistência do ar z máx = v z. O que acontece se houver resistência do ar? Uma maneira simples de incluir fenomenoloicamente um termo de resistência do ar na equação de movimento é supor a existência de uma força que só apareça se o projétil estiver com velocidade relativa ao ar não nula. Uma força desse tipo em simples é dada por F res = dr onde > é uma constante e o sinal neativo implica que a força se opõe ao movimento do projétil já que é uma resistência. Pela seunda lei de Newton a força resultante é iual à variação do momentum do projétil e nesse caso a resultante de forças é a soma do peso do projétil com a resistência do ar. Loo a equação de movimento escreve-se isto é dp = mẑ dr d r = ẑ dr m. Como é que resolvemos essa equação? Não é difícil. Quer ver? Veja que tamém podemos escrever a equação acima assim: d r + dr m = ẑ 3

e portanto como /m não depende de t d dr + m r = ẑ. Se interarmos amos os memros dessa equação desde t = até um valor posterior qualquer t > otemos ds d dr s + ds ds m r s = dsẑ onde mudei a variável de interação para s para não confundi-la com o limite superior que estou denotando por t. Assim como a interal da derivada é fácil de fazer essa equação dá ou seja dr t dr s + t ds m r s + m r t dr s ds = tẑ r = tẑ. s= m Mas como a velocidade é dada por seue que drs ds v t = dr t nada mais é do que a velocidade inicial do projétil: s= v = Para simplificar a notação vou definir: e dr s ds r = r v = v.. s= Sendo assim a equação diferencial que ainda falta resolver fica dr t + m r t dr s = tẑ + ds + s= m r isto é dr + m r = tẑ + v + m r 4

onde como sempre escrevemos r = r t para simplificar a notação. Olhe aora para o que há entre parênteses no primeiro memro da equação diferencial acima: dr + m r. Viu? Tem a derivada de r e tem /m que é uma constante multiplicando r. Isso não lhe lemra de uma onencial sendo derivada? Por exemplo quanto dá a derivada do produto m t? Vamos calcular? Então lá vai: ] d dr m t = m t + r d ] m t não é mesmo? Mas como seue que d ] d m t ] m t = m m t dr = m t + r m m t ou seja colocando a onencial em evidência otemos ] d dr m t = m t + m r. Então dividindo amos os memros dessa equação pela onencial ficamos com dr + m r = ] d m t m t. Você se lemra que a equação que queremos resolver é assim: dr + m r = tẑ + v + m r não é mesmo? Então aora podemos escrevê-la deste outro jeito: ] d m t m t = tẑ + v + m r. 5

É ou não é? Tudo o que temos a fazer aora é mais uma interação simples. Quer ver? Multiplicando tudo pela onencial m t dá ] d m t = ẑt m t + v + m r m t. Fazendo a interal de amos os memros dessa equação desde t = até um tempo posterior qualquer t > otemos ] m t m t t= = ẑ Aora a interal da onencial é fácil: m s ds = m m t m. Resta fazermos a interal s m s ds s m s ds + v + m r m s ds. que parece ser mais complicada. Tem outro truque que dá para usarmos aqui e que vai ser muitíssimo útil na sua vida acadêmica futura. Considere a seuinte interal: αs ds = 1 α αt 1 α onde α é um parâmetro real. Faça a derivada parcial de amos os memros dessa equação com relação a α e veja o que dá: e α αs ds = 1 α α αt 1 ] α αs ds = α = ] 1 αt α α α s αs ds 1. α Então 1 α α αt 1 ] α = 1 α αt + 1 α t αt + 1 α. Iualando esses dois memros vem s αs ds = 1 α αt + 1 α t αt + 1 α. 6

Duvida? Derive o seundo memro com relação a t e veja o que é que dá: d 1α αt + 1α t αt + 1α ] = 1 d α αt] + 1 d t αt] α isto é d 1α αt + 1α t αt + 1α ] = 1 α α αt + 1 α αt + 1 tα αt α ou seja d 1α αt + 1α t αt + 1α ] = t αt que tem a mesma forma funcional do interando do primeiro memro. Juntando isso tudo na nossa solução acima isto é ] m t m t t= finalmente otemos m t r = ẑ onde já tomei + = ẑ m v + m r m t m α = m. s m s ds + v + m r m s ds + m ] m t t + m m t m ] Veja que tamém podemos reescrever essa solução assim: m t = r ẑ m m t + m ] m t t + m + v + m m r m t m ] Dividindo tudo po m t vem r = r m t ẑ m + m t + m m ] t + v + m m r m m ] t isto é r = r + ẑ m + m v 1 m ] t ẑ m t. 7

Como um exemplo vamos lançar o projétil da oriem de modo que r = e vamos impor uma velocidade inicial dada no plano xz : v = ˆxv x + ẑv z onde v x > e v z > exatamente como fizemos acima no caso sem resistência do ar. Com essas condições iniciais podemos escrever o vetor posição do projétil como r = ẑ m + ˆxm v x + ẑ m v z 1 m ] t ẑ m t isto é r = ˆx m v x 1 m ] { m t + ẑ + m v z 1 m ] t m } t. Em coordenadas cartesianas as componentes do vetor posição do projétil ficam x = m v x 1 m ] t e z = m + m v z y = 1 m ] t m t. Aqui tamém o movimento se dá no plano xz mas a equação da trajetória é mais complicada. Primeiro fazemos a sustituição de 1 m ] t x = mv x na ressão de z otendo m z = + m x v z m mv x t isto é z = Depois disso utilizamos 1 m ] t m + v z x m v x v x t. 8 = x mv x

para isolar t assim: m t = 1 x mv x isto é ln m ] t = ln 1 x mv x ou seja ou ainda Então a equação t = m ln 1 x mv x t = m ln mvx x. mv x t = m ln mvx mv x x sustituída na ressão para z dá m z = + v z x m mvx v x v x ln mv x x que não é uma paráola! Podemos recuperar o resultado anterior fazendo o limite em que vai a zero? Sim não só podemos como devemos! Tomemos a solução eral: r = r + ẑ m + m v 1 m t ] ẑ m t. Note que se fizermos = nessa ressão encontraremos diverências porque aparece nos denominadores. Temos que tomar cuidado para ver o caso em que não temos resistência do ar nessa equação. Portanto vamos com calma! Quando é muito pequeno podemos andir a onencial em série de potências e oter Loo r r + m t ẑ m + m v 1 1 + 1 m t + m t 9 3 6m 3 t3 m t m t + 3 6m 3 t3 ẑ m t

isto é r r + ẑ m + m v m t 1 m t + 6m t ẑ m t ou seja r r + ẑ m t + v t 1 m t + 6m t ẑ m t ou ainda r r + ẑ m t + v t + ẑ m t + v t m t + 6m t ẑ m t. Assim r r + v t + ẑ m t + v t m t + 6m t que pode ser simplificado ainda mais: isto é r r + v t m t ẑ m t + v t + 6m t ẑ m t + v t r r + v t ẑ 1 t v m t + ẑ 6m t3 + v 6m t3. No limite em que vai a zero essa equação torna-se r r + v t 1 t ẑ que é a mesma solução do caso sem resistência do ar! 1