Alexandre N. Carvalho

Transcrição

1 Cálculo - Introdução lexandre N. Carvalo Marc 1, 2013

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3 Capter 1 Introdução 1.1 Porque Estudar Cálculo No que seue apresentamos aluns exemplos que pretendem demosntrar que a matemática desenvolvida até o final do ensino médio é insuficiente para atacar aluns problemas importantes com os quais nos deparamos. Começamos recordando um problema elementar de física do ensino médio. Exemplo (Lançamento Oblíquo de um Projétil). Imaine que, em uma batala, saibamos que os projéteis lançados pelos nossos canões tenam velocidade V 0 ao sair do canão e que o inimio situa-se a uma distância d de nossos canões. Qual é ânulo de disparo para que o alvo seja atinido? Qual é o alcance máximo de nossos canões? Qual é a altura máxima que o projétil alcançará? V 0 θ y x Solução: Em primeiro luar, para resolver este problema, é preciso encontrar um modelo matemático para o lançamento oblíquo de um projétil. Para encontrar este modelo fazemos alumas suposições: Suponamos que 3

4 4 CHPTER 1. INTRODUÇÃO a resistência do ar é desprezível, a aceleração da ravidade é constante, o ânulo de lançamento é θ (0, π 2 ), a altura do canão relativemente ao solo é desprezível e que a altitude seja constante no campo de batala. Seja m a massa do projétil. velocidade inicial V 0 do projétil pode ser decomposta em velocidade vertical e velocidade orizontal iniciais, isto é V v V 0 θ V Vv 0 V 0 = V 0 senθ, = V 0cosθ. Se denota a aceleração da ravidade a velocidade vertical depende do tempo através da relação V v (t) = V 0 senθ t (1.1.1) enquanto que a velocidade orizontal é constante ao lono do tempo. O projétil atinirá a altura máxima no instante t M tal que V v (T M ) = 0, ou seja t M = V 0 senθ. (1.1.2) Como obter a altura do projétil como função do tempo? Note que o ráfico da velocidade vertical como função do tempo é

5 1.1. PORQUE ESTUDR CÁLCULO 5 V V 0 sen θ t t i = t i t i 1 t i 1 t i t i t V 0 t sen θ = t M Se t > 0 e t 0 < t 1 < < t n = t é uma subdivisão do intervalo [0, t] e t i = t i t i 1. Como em cada intervalo [t i 1, t i ] a velocidade é aproximadamente iual a V v (t i 1 ) temos que neste intervalo o deslocamento vertical é aproximadamente iual a y i = y(t i ) y(t i 1 ) V v (t i 1 ) t i e o deslocamento vertical correspondente ao intervalo de tempo [0, t] é aproximadamente iual a n n y = y i V v (t i 1 ) t i i=1 i=1 onde por queremos espressar o fato que a medida que o comprimento dos intervalos [t i, t i 1 ] se aproxima de zero y se aproxima mais e mais da área sob o ráfico da velocidade no intervalo [0, t]. Como seue que = V 0 senθt 1 2 t2, y(t) = V 0 senθt 1 2 t2 (1.1.3) é o deslocamente vertical do projétil (altura do projétil depois de decorridos t unidades de tempo). O deslocamenteo orizontal ocorre com velocidade constante V = V 0 cos θ. Loo x(t) = V 0 cos θ t (1.1.4) De posse do modelo matemático para os deslocamentos orizontal e vertical estamos preparados para resolver o problema proposto: O projétil alcançará altura máxima em t = t M = V 0 senθ. Loo y M = y(t M ) = V 0 senθ t M 1 2 (t M) 2 = V 0 senθ V 0 senθ 1 V 0 2 sen 2 θ = V 2 0 sen2 θ

6 6 CHPTER 1. INTRODUÇÃO e y M = 1 2 V 2 0 sen2 θ. (1.1.5) O projétil atine o seu alvo quando y(t a ) = 0. Loo t a = 2 V 0 senθ o que implica e x a = x(t a ) = 2 V 0 2 senθ cos θ x a = V 0 2 sen2θ. (1.1.6) O alcance do projétil é máximo quando θ = π/4. O que voce observa sobre a matemática contida neste exemplo? 1. O procedimento para obtenção do deslocamento vertical é bastante convincente mas requer uma melor justificativa. O processo de fazer t i pequeno (tender a zero) exie uma melor formulação que é dada pela noção de limite. 2. Se a velocidade depende do tempo de uma forma mais complicada podemos não ser capazes de encontrar a área sob o ráfico de forma tão simples. Por exemplo, o projétil pode ser impulsionado durante o precurso (como ocorre no lançamento de fouetes). Deparamos então com o problema de calcular a área sob o ráfico de uma função V V (s) = deslocamento s t cuja resposta requer a introdução do conceito de interal. 3. Quando a massa do projétil depende do tempo a seunda lei de Newton precisa de uma outra formulação para sermos capazes de equacionar o movimento e mesmo a velocidade instantânea para ser obtida como função do deslocamento precisa da introdução do conceito de derivada.

7 1.1. PORQUE ESTUDR CÁLCULO 7 Exemplo Conecido o deslocamento como função do tempo determinar a velocidade instantânea para cada instante de tempo. x(t + ) x(t) deslocamento x(t + ) x(t) V Média = [t, t+] = inclinação do semento [(t, x(t)), (t +, x(t + ))] t t + tempo velocidade média V m no intervalo [t, t+] é dada por V m = x(t+) x(t) do semento [(t, x(t)), (t +, x(t + ))] e é a inclinação deslocamento x(s) (t, x(t)) V Instantânea = inclinação da reta tanente ao ráfico de x( ) em t = s s tempo x(t+) x(t) velocidade instantânea V i no instante t é dada por V i = lim 0 inclinação da reta tanente ao ráfico de x no instante t. e é a qui precisamos da noção de limite para definir a velocidade instantânea. O limite que define a velocidade instantânea é camado derivada de x no instante t. Vamos considerar os casos de Movimento Uniforme e Movimento Uniformemente Variado. Movimento Uniforme Se um corpo se move ao lono de uma reta deslocando-se seundo a equação x(t) = x 0 + v 0 t

8 8 CHPTER 1. INTRODUÇÃO então, a velocidade em cada instante t é obtida fazendo x(t + ) x(t) = v 0, > 0 pequeno e desta forma a velocidade em cada instante é v 0. Movimento Uniformemente Variado Se um corpo se move ao lono de uma reta deslocando-se seundo a equação x(t) = x 0 + v 0 t at2 então, a velocidade em cada instante t é obtida fazendo x(t + ) x(t) = v 0 + at + a, > 0 pequeno 2 loo, no instante t a velocidade v(t) é v(t) = v 0 + at. x(t + ) x(t) θ(t) t(θ(t))=v(t) t t + aceleração é obtida da velocidade da seuinte forma v(t + ) v(t) = a, > 0 pequeno então a aceleração em cada instante t é a. Observação: Quando o movimento tem expressões mais complicadas como determinar a velocidade e a aceleração? Novamente vamos precisar das noções de limite e derivada. Exemplo Cálculo do comprimento de uma curva dada como ráfico de uma função.

9 1.1. PORQUE ESTUDR CÁLCULO 9 x x = f(t) t Vamos considerar aluns casos particulares a b L { (t, f(t)) : t 1 t t 2 } L = (t 2 t 1 ) 2 + b 2 (t 2 t 1 ) 2 = 1 + b 2 (t 2 t 1 ) = 1 + b 2 t t 1 t 2 t Se, por outro lado, f tem uma polional por ráfico a 2 +b 2 t a 4 +b 4 t b i = f(t i) f(t i 1 ) t i t i 1 a 1 +b 1 t a 3 +b 3 t t 0 t 1 t 2 t 3 t4 t No caso eral L = n i=1 1 + b 2 i (t i t i 1 ).

10 10 CHPTER 1. INTRODUÇÃO f(t 2 ) f(t 1 ) f(t 0 ) t 0 =a t 1 t 2 t 3 t 4 n L = i=1 ( ) 2 (f(ti ) f(t i 1 ) 1 + (t i t i 1) t i t i 1 fornece uma aproximação para o comprimento da curva se (t i t i 1 ) é pequeno 1 i n. Para obter o valor exato vamos precisar introduzir as noções de limite, derivada e interal, L = b Exemplo área de uma circunferência. a 1 + f (t) 2 dt O quociente entre o comprimento de uma circunferência e o diâmetro é um número real denotado por π. L d r L = π d = 2π r Vamos determinar a área da circunferência de raio r. idéia de rcimedes ( a.c.) foi dividir a circunferência em setores de iual área e rearupá-los da seuinte forma 8 Setores

11 1.1. PORQUE ESTUDR CÁLCULO Setores πr r quanto maior o número de setores, na divisão acima, mais a área se aproxima de πr.r = πr 2. demonstração deste resultado envolve o conceito de limite. Se dividimos a circunferência em n setores iuais temos r π/n Se n é rande cos π/n 1 e senπ/n π/n 2n.rsen π n.r cos π n.1 2 πr2. senπ/n. cos π/n. π/n 1 (primeiro limite fundamental) e teremos = πr 2 é, portanto, fundamental entendermos o processo de passaem ao limite para encontrarmos soluções para problemas simples como o cálculo da área de um círculo. Exemplo Cuidado! Recorde a fórmula da soma de uma Proressão Geométrica de razão menor que um 1 + r + r r n = 1 rn+1, r < 1. 1 r Quanto maior o valor de n menor é o valor de r n+1 e mostraremos que r n+1 tende a zero quando n tende a infinito. Desta forma a soma 1 + r + r r n + = 1, r < 1. (1.1.7) 1 r

12 12 CHPTER 1. INTRODUÇÃO Isto sinifica que quando tomamos S n = 1 + r + r r n para n rande nos aproximamos do valor S = 1. Uma tentativa de estender a iualdade 1 r (1.1.7) para r = 1 parece conduzir a = 1 2 e de fato, matemáticos de peso como Euler, Leibniz e Bernoulli cearam a propor 1 2 como soma desta série (antes de existir o conceito de série converente). Bernoulli usava a seuinte justificativa S = S 1 = = S 2S = 1 e S = 1 2. No entanto as somas S n assumem os valores 0 e 1 alternadamente e não se aproximam de qualquer número real. Loo, as manipulações alébricas acima não fazem sentido. interpretação correta de (1.1.7) é dada pela noção de limite (noção de série converente) que expressa o fato que S n se aproxima de S. e tal limite não existe se r 1. lim n S n = S, para r < 1 Exemplo O volume da esfera e o Princípio de Cavalieri Idéia V = volumes das seções cilíndricas = = Se cada uma das seções tem mesma área, os volumes devem coincidir qui precisamos do processo de passaem ao limite para mostrar que o volume do sólido pode ser aproximado pela soma dos volumes das seçoes. Este resultado é axiomatizado no seuite princípio.

13 1.1. PORQUE ESTUDR CÁLCULO 13 Teorem (Princípio de Cavalieri). São dados dois sólidos e um plano. Se todo plano paralelo ao plano dado secciona os dois sólidos seundo fiuras de mesma área, então estes sólidos tem o mesmo volume. plicações: Volume de um prisma trianular V = Volume de uma pirâmide trianular Observe primeiramente que do Princípio de Cavalieri podemos mover livremente o vértice de uma pirâmide em um plano paralelo ao plano da base sem alterar o seu volume. S 1 = S 2 H S 1 S Lembrando que o volume de um prisma com área da base e altura é V =. e aplicando o resultado acima à fiura abaixo temos o volume de uma pirâmide trianular.

14 14 CHPTER 1. INTRODUÇÃO V Pirâmide = 1 3 V Prisma = 1 3 Volume de uma pirâmide qualquer O volume de uma pirâmide qualquer é obtido observando que uma pirâmide qualquer é a união de pirâmides trianulares. ssim V = = Volume de um cone e de um cilindro Para encontrar o volume de um cilíndro e o volume de um cone basta observar as fiuras abaixo V =

15 1.1. PORQUE ESTUDR CÁLCULO 15 V c = 1 3 = 1 3 π r2 r Volume da Esfera Para calcular o volume da esfera de raio R construimos um cilindro reto de raio da base R e altura 2R e retiramos dos mesmo os dois cones centrais formados pela união do centro do cilindro à borda da base e do topo do cilindro (veja fiura abaixo). Se apiamos a esfera no plano da base do cilindro e seccionamos ambos os sólidos por um plano paralelo ao plano da base do cilindro (conforme fiura) obtemos um anel (ao sectionar o cilindro sem o cone central) de área e uma circunferência de área. H=2R R R r R R Note que r 2 = R 2 2 e portanto = π(r 2 2 ) = πr 2 = Seue do Princípio de Cavalieri que o volume V E da esfera é iual ao volume do cilindro menos os cones centrais. ssim V E = πr 2.H πr2 H 2 = 2πR3 2 3 πr3 = 4 3 πr3 e portanto V E = 4 3 πr3.

16 16 CHPTER 1. INTRODUÇÃO Exemplo Quanta borraca é necessária para fazer uma câmara de ar com raio menor 10cm, raio maior 50cm e espessura 0, 1cm. Para resolver este problema introduzimos a noção de centro de massa de uma polional plana (c denota a densidade linear). Inicialmente definimos o ponto médio de um semento como o seu centro de massa. ssim o centro de massa de uma polional é dado por: y l 1 (x 1,y 1 ) (x 0,y 0 ) (x n,y n) l n x x c = c l 1 x c l n x n c l c l n = l 1 x l n x n l l n y c = c l 1 y c l n y n c l c l n = l 1 y l n y n l l n área lateral de um tronco de cone é obtida da seuinte forma r m T =? R m + = r m = R r x x = R+r 2 R m 2πr 2πR 2π(m + ) π(m 2 + ) 2 2πR E E = πr(m + ) I = πrm

17 1.1. PORQUE ESTUDR CÁLCULO 17 ssim a área lateral T do tronco de cone é dada por T = πr(m + ) πrm = πr + π(r r)m = π(r + r)m = 2π R + r 2 e desta forma T = 2πx onde x é a coordenada do centro de ravidade do semento ou a distância do centro de ravidade do semento ao eixo de rotação. Note ainda que 2πx é a distância que o centro de ravidade percorre ao irarmos o semento em torno do eixo de rotação para produzir o tronco de cone. Desta forma a área da superfície obtida ao irarmos um semento em torno de um eixo de rotação (tronco de cone) é o produto da distância percorrida pelo centro de massa do semento pelo comprimento do semento. Isto se eneraliza facilmente para a superfície erada pela revolução de uma polional plana em torno de um eixo de rotação pois esta superfície é formada pela justaposição de diversos troncos de cone x 1 l 1 x 2 l 2 x n l n = 2π x 1 l π x n l n = 2π (x 1l 1 + x 2 l x n l n ) l l n (l l n ) = 2π x c L, L = l l n Um processo de passaem (tomando mais e mais pontos sobre a curva) ao limite resulta no seuinte resultado Teorem (Teorema de Pappus). Se uma lina plana ira em torno de um eixo de seu plano a área da superfície erada é iual ao comprimento dessa lina multiplicado pelo comprimento da circunferência descrita por seu centro de massa. De volta ao problema da câmara de ar

18 18 CHPTER 1. INTRODUÇÃO R r c = 2πr 2πR = 4π 2 Rr O volume de borraca necessário para construir tal câmara é, aproximadamente, V = 4π 2.50cm Como prender Cálculo Não á uma receita de como aprender cálculo mas alumas dicas podem auxiliar o estudante: Não é possível ler e entender cálculo como se lê e entende um romance ou um jornal. Leia o texto atentamente e pacientemente procurando entender profundamente os conceitos e resultados apresentados. velocidade de leitura não é importante aqui. compane os exemplos passo a passo procurando desvendar o porque de cada passaem e tentando enxerar porque o autor adotou esta solução. Tente soluções alternativas Pratique os conceitos aprendidos fazendo as tarefas (listas de exercícios). aprende cálculo contemplativamente. É importante fazer muitos exercícios. Não se Também não se aprende cálculo apenas assistindo às aulas ou somente fazendo exercícios. É preciso assistir às aulas, estudar e refletir sobre os conceitos e fazer muitos exercícios. Procure discutir os conceitos desenvolvidos em sala de aula com os coleas. É muito importante frequentar as monitorias ainda que seja somente para inteirar-se das dúvidas dos coleas. Não desista de um exercício se a sua solução não é óbvia, insista e descubra o prazer de desvendar os pequenos mistérios do cálculo.