Modelagem de Sistemas de Controle por Espaço de Estados

Modelagem de Sistemas de Controle por Espaço de Estados A modelagem por espaço de estados possui diversas vantagens. Introduz a teoria conhecida como Controle Moderno ; Adequada para sistemas de múltiplas entradas e múltiplas saídas (MIMO); Possibilita o projeto de controladores usando técnicas avançadas. 1 of 42

Modelagem de Sistemas de Controle por Espaço de Estados Algumas definições: Estado: O estado de um sistema dinâmico é o menor conjunto de variáveis (chamadas variáveis de estado) tal que o conhecimento destas variáveis para t = t 0,juntamente com a entrada para t t 0, determina completamente o comportamento do sistema para qualquer instante t t 0. Variáveis de estado: As variáveis de estado de um sistema dinâmico são o menor conjunto de variáveis que determinam o estado do sistema dinâmico. Se pelo menos n variáveis x 1 (t), x 2 (t),..., x n (t) são necessárias para descrever completamente o comportamento de um sistema dinâmico (tal que uma vez dada a entrada para t t 0 e o estado inicial em t = t 0, o estado futuro do sistema está completamente determinado), então as tais n variáveis x 1 (t), x 2 (t),..., x n (t) são um conjunto de variáveis de estado. 2 of 42

Modelagem de Sistemas de Controle por Espaço de Estados Se n variáveis de estado são necessárias para descrever completamente o comportamento de um sistema, então estas n variáveis de estado podem ser consideradas como as n componentes de um vetor x(t). Tal vetor é chamado de vetor de estados. O espaço n dimensional cujo eixos de coordenadas são x 1, x 2,..., x n, é chamado espaço de estados. Qualquer estado pode ser representado por um ponto no espaço de estados. 3 of 42

Modelagem de Sistemas de Controle por Espaço de Estados Trabalhamos nesse curso com o sistema linear na forma ẋ(t) = Ax(t) + Bu(t) (1) y(t) = Cx(t)+Du(t), (2) onde A é chamada de matriz de estado, B matriz de entrada, C matriz de saída e D matriz de transição direta. Uma representação do diagrama de blocos deste sistema de equações lineares pode ser representado em diagrama de blocos, como mostrado na Figura 1. 4 of 42

Figura: Diagrama de blocos de um sistema linear de tempo contínuo representado no espaço de estados. 5 of 42

Exemplo Representar circuito RLC na forma ẋ(t) = Ax(t) + Bu(t) y(t) = Cx(t)+Du(t) 6 of 42

Relembrando a lei da tensões de Kirchhoff: L di(t) dt +Ri(t)+e o (t) = e i (t) e Cde o (t) dt = i(t) Denomine x 1 (t) = i(t) [corrente no Indutor], x 2 (t) = e o (t) [tensão no Capacitor], u(t) = e i (t) [entrada de tensão] para escrever as duas equações: Lẋ 1 (t)+rx 1 (t)+x 2 (t) = u(t) Cẋ 2 (t) = x 1 (t) 7 of 42

Podemos reescrever as duas equações anteriores de modo equivalente a: ] [ [ẋ1 (t) R ][ ] 1 = L L x1 (t) 1 +[ L ẋ 2 (t) x 2 (t) 0 0 1 C Se consideramos e o (t) a saída, então y(t) = [0 1] [ ] x1 (t). x 2 (t) ] u(t) (3) 8 of 42

Circuitos RLC Para um circuito elétrico RLC, pode-se empregar o seguinte procedimento para obtenção da representação em espaço de estados: 1. Escolha cada tensão independente de capacitores e toda corrente independente de indutor como variáveis de estado; 2. Encontre um conjunto de correntes de malha e expresse as variáveis de estado e suas respectivas derivadas primeiras em termos das correntes de malha; 3. Escreva as equações de malha e elimine todas as variáveis, exceto as de estado e suas primeiras derivadas, das equações encontradas nos passos anteriores. 9 of 42

Circuitos RLC Exemplo Obtenha uma representação em espaço de estados para o circuito da Figura abaixo. 10 of 42

Passo 1: Há um capacitor e um indutor no circuito. Assim a corrente x 1 no indutor e a tensão x 2 no capacitor serão escolhidas como variáveis de estado. Passo 2: A relação entre as correntes de malha e as variáveis de estado são dadas por: Passo 3: As equações de malha são: B. A. Angelico, P. R. Scalassara, A. N. Vargas, UTFPR, Brasil x 1 = i 2 (4) 1 = i 2 i 3 2ẋ2 (5) 4i 1 2i 2 = v (6) 2(i 2 i 1 )+ẋ 1 +x 2 = 0 (7) x 2 +3i 3 = 0 (8) Eliminando i 1, i 2 e i 3 das equações anteriores, segue que: ẋ 1 = 2( i 2 +i 1 ) x 2 = x 1 + 1 2 v x 2, (9) 11 of 42

E Portanto, ẋ 2 = 2x 1 2 3 x 2. (10) [ ] [ ][ ] ẋ1 1 1 x1 = ẋ 2 2 2/3 x 2 }{{}}{{}}{{} x A x [ 1/2 + 0 }{{} B ] v. (11) Considere que a saída seja a tensão no resistor de 2Ω da malha mais à direita, ou seja, ou seja, y = 2i 3 = 2 3 x 2, (12) y = [ 0 2/3 ] [ ] x1 + }{{} x 2 }{{} 0 v. (13) C }{{} D x Vale lembrar que a forma de representação em espaço de estados não é única. 12 of 42

Representação em Espaço de Estados de Sistemas de EDO Lineares com derivadas na entrada Considere um sistema dinâmico descrito pela equação diferencial (n) (n 1) (n) (n 1) y +a 1 y + a n 1 ẏ +a n y = b 0 u +b 1 u + +b n 1 u +b n u, (14) ou, equivalentemente, pela função de transferência T(s) = Y(s) U(s) = b 0s n +b 1 s n 1 + +b n 1 s +b n s n +a 1 s n 1 + +a n 1 s +a n (15) 13 of 42

Uma das possíveis representações em espaço de estados que pode ser obtida, neste caso, consiste em definir as n variáveis de estado da seguinte forma: x 1 = y β 0 u x 2 = ẋ 1 β 1 u x 3 = ẋ 2 β 2 u onde,. x n = ẋ n 1 β n 1 u β 0 = b 0 β 1 = b 1 a 1 b 0 β 2 = b 2 a 1 β 1 a 2 b 0. β n = b n a 1 β n 1 a n 1 β 1 a n b 0 14 of 42

Com tal escolha, pode-se mostrar que: ẋ 1 = x 2 +β 1 u ẋ 2 = x 3 +β 2 u. ẋ n 1 = x n +β n 1 u ẋ n = a n x 1 a n 1 x 2 a 1 x n +β n u Em termos de vetor e matriz, tem-se: ẋ 1 ẋ 2. ẋ n 1 ẋ n }{{} x B. A. Angelico, P. R. Scalassara, A. N. Vargas, UTFPR, Brasil 0 1 0 0 0 0 1 0 =..... 0 0 0 1 a n a n 1 a n 2 a 1 }{{} A x 1 x 2. x n 1 x n }{{} x + β 1 β 2. β n 1 β n u }{{} B (16) 15 of 42

y = [ 1 0... 0 ] x 1 x 2. x n +β 0u (17) Em seguida serão vistas algumas outras formas de representação da Equação (14) no espaço de estados. 16 of 42

Sistemas lineares No espaço de estados, é possivel determinar G(s) = Y(s) U(s). Note que ẋ(t) = Ax(t)+Bu(t) (18) y(t) = Cx(t)+Du(t) (19) Aplicando a transformada de Laplace na equação anterior e considerando condições iniciais nulas, tem-se que sx(s) = AX(s) + BU(s) (20) Y(s) = CX(s)+DU(s) (21) 17 of 42

Da primeira equação, tem-se que (si A)X(s) = BU(s) X(s) = (si A) 1 BU(s) (22) Substituindo X(s) na segunda equação, tem-se que Portanto, B. A. Angelico, P. R. Scalassara, A. N. Vargas, UTFPR, Brasil Y(s) = [ C(sI A) 1 B+D ] U(s) (23) Y(s) U(s) = C(sI A) 1 B+D = G(s) (24) Como o termo (si A) 1 aparece na expressão de G(s), verifica-se que G(s) = Q(s) det(si A), (25) onde Q(s) é um polinômio em s e det( ) é o determinante de uma matriz. Note que os polos de G(s) são os autovalores de matriz A. 18 of 42

Solução de Equações de Estado Homogêneas A solução de uma equação diferencial homogênea do tipo é dada por ẋ(t) = ax(t), (26) x(t) = e at x(0) (27) Analogamente para uma equação de estado homogênea do tipo tem-se a seguinte solução: ẋ(t) = Ax(t), (28) x(t) = e At x(0) (29) 19 of 42

O termo e At é chamado de matriz exponencial. Pode-se mostrar que e At = k=0 A k t k k! Algumas propriedades: d dt eat = Ae At ; e At e At = e A(t t) = I; e (A+B)t = e At e Bt, se AB = BA; e (A+B)t e At e Bt, se AB BA; e A(t+τ) = e At e Aτ. A solução da equação de estados homogênea também pode ser feita utilizando a transformada de Laplace. Aplicando-se a transformada na equação ẋ = Ax, verifica-se que (30) Portanto, 20 of 42 sx(s) x(0) = AX(s) (si A)X(s) = x(0) (31) X(s) = (si A) 1 x(0) (32)

Aplicando a transformada inversa de Laplace, tem-se: Portanto, tem-se que: Exemplo Considere o sistema linear ] [ẋ1 (t) ẋ 2 (t) x(t) = L 1[ (si A) 1] x(0) (33) L 1[ (si A) 1] = e At (34) = [ ][ ] 0 1 x1 (t) 1 2 x 2 (t) com condições iniciais x 0 = [1 1]. Determine x(t). Solução: B. A. Angelico, P. R. Scalassara, A. N. Vargas, UTFPR, Brasil Precisamos determinar e At para usar a expressão x(t) = e At x 0. 21 of 42

Note que (si A) 1 = [ ] 1 s 1 = 1 s +2 1 (s +1) 2 [ ] s +2 1 1 s Aplicando técnica de expansão por frações parciais chega-se a: [ ] [ ] 1 s +2 1 (1+t)exp( t) texp( t) (s +1) 2 exp(at) = 1 s texp( t) (1 t)exp( t) Então [ ] [ ] x1 (t) (1+t)exp( t) texp( t) 1 = = x 2 (t) texp( t) (1 t)exp( t)][ 1 [ ] exp( t) exp( t) 22 of 42

Solução do Sistema Linear Considere o sistema linear ẋ(t) = Ax(t)+Bu(t), t 0. Dada a condição inicial x(0) e a entrada u(t) para todo o instante de tempo t 0, a solução do sistema é: Homework: Considere o sistema linear ] [ẋ1 (t) = ẋ 2 (t) t x(t) = e At x(0)+ e A(t τ) Bu(τ)dτ 0 [ 0 1 1 2 ][ ] x1 (t) x 2 (t) [ 1 + u(t) 0] com condições x 0 = [1 1] e u(t) = 1, t 0. Determine x(t). 23 of 42

Realimentação completa de estados Considere o sistema a controlar representado no espaço de estados por: ẋ(t) = Ax(t)+Bu(t) (35) Supondo a existência de sensores ou medidores de todas as variáveis de estado em x(t) = [x 1 (t),...,x n (t)], podemos então usar elementos x 1 (t),...,x n (t) para implementar a realimentação de estados. A saída y(t) = Cx(t) pode ser reescrita com C igual a matriz identidade. Isso significa que y(t) = x(t). Se cada uma das variáveis de estado x i (t) for empregada no controle através de um ganho k i, haverá n ganhos k i, representados pelo vetor K = [k 1 k n ] que podem ser ajustados para produzir os valores desejados dos polos de malha fechada através da formula u(t) = Kx(t)+r(t), no qual r(t) representa a entrada de referencia (pode ser degrau, rampa, senoide, ou outra entrada qualquer). 24 of 42

Com a realimentação estados, tem-se que: ẋ = Ax+B(Kx+r) = (A+BK)x+Br (36) 25 of 42

No problema de rastreamento consideramos r(t) 0 qualquer (degrau, rampa, etc). No problema de regulação consideramos r(t) = 0 (sempre nulo). Vamos supor que desejamos trabalhar a regulação. Disto a equação característica do sistema descrito em (36) é dada por det(si [A+BK]) (37) Suponha que desejamos alocar os pólos da malha fechada em p 1,...,p n. Então p c (s) = (s p 1 ) (s p 2 ) (s p n ), (38) e por isso o vetor K pode ser obtido como det(si [A+BK]) = (s p 1 ) (s p 2 ) (s p n ) (39) Se o sistema dinâmico ẋ(t) = Ax(t)+Bu(t) é controlável, então sempre existe K = [k 1 k 2 k n ], tal que det(si [A+BK]) = p c (s) para qualquer polinômio p c (s) de grau n especificado. 26 of 42

Controlabilidade Conceito importante: Controlabilidade. Dizemos que um sistema linear ẋ(t) = Ax(t)+Bu(t) é controlável se a matriz C = [ B AB A 2 B A n 1 B ] possui rank(c)=n. Isso significa que todas as linhas de C obrigatoriamente devem ser linearmente independentes entre si. Exemplo Considere o sistema descrito por ẋ(t) = 0 1 0 0 0 1 x(t)+ 1 0 u(t) 1 5 6 1 É possível alocar os polos de malha fechada do sistema controlado em s = 2+j4, s = 2 j4 e s = 10? Se sim determine K tal que u(t) = Kx(t) realiza essa tarefa. 27 of 42 B. A. Angelico, P. R. Scalassara, A. N. Vargas, UTFPR, Brasil

Solução: O Sistema é controlável pois n = 3, C = 1 0 1 0 1 7 1 7 37 e o rank(c)=3 pois todas as linhas de C são linearmente independentes. Portanto a resposta é sim. Projeto do controle: defina K = [k 1 k 2 k 3 ] k 1 k 2 +1 k3 A+BK = 0 0 1 k 1 1 k2 5 k3 6 tem-se que: 28 of 42 B. A. Angelico, P. R. Scalassara, A. N. Vargas, UTFPR, Brasil det(si [A+BK]) = s 1 0 0 s 1 1 k 1 5 k 2 s +6 k 3 = k 2 6k 1 +5s 6k 1 s k 2 s +k 3 s k 1 s 2 k 3 s 2 +6s 2 +s 3 +1 = s 3 +(6 k 1 k 3 )s 2 +(5 6k 1 +k 3 k 2 )s +(1+k 2 6k 1 )

Usando os polos em s = 2+j4, s = 2 j4 e s = 10 podemos escrever (s ( 2+j4))(s ( 2 j4))(s +10) = s 3 +14s 2 +60s +200 Logo, s 3 +(6 k 1 k 3 )s 2 +(5 6k 1 +k 3 k 2 )s +(1+k 2 6k 1 ) = s 3 +14s 2 +60s +200 Da igualdade acima obtemos (Homework: determine k 1, k 2, k 3 ) K = [k 1 k 2 k 3 ] 29 of 42

Realimentação de saída Considere o sistema a controlar representado no espaço de estados por: ẋ(t) = Ax(t)+Bu(t) (40) Suponha que exista somente alguns sensores ou medidores disponíveis. Isso quer dizer que não temos sensores simultaneamente para x 1 (t),...,x n (t). Equivalentemente, a matriz C é deitada, ou seja, rank(c) é menor que n. Adotamos u(t) = Fy(t) = FCx(t) Problema: determinar F = [f 1,...,f q ] de modo que os polos de malha fechada de A + BFC satisfaçam especificações de projeto 30 of 42

Realimentação de saída Homework Considere o sistema linear descrito por ẋ = 4 2 4 1 0 0 x + 1 0 u 0 1 0 0 [ ] 1 0 1 y = x 0 1 0 (a) Encontre (se possível; se não for possível, justifique) uma realimentação de estados u = Kx, K R 1 3, que aloque os autovalores do sistema em malha fechada A+BK em 1, 2, 3. (b) Encontre (se possível; se não for possível, justifique) uma realimentação de saída u = Fy, F R 1 2, que aloque os autovalores do sistema em malha fechada A+BFC em 1, 2, 3. 31 of 42

Conversor DC-DC buck Conversor DC-DC buck Este conversor é muitíssimo utilizado em aplicações de Eletrônica. Sua característica básica é prover na saída (ou seja em v o (t)) uma tensão inferior aquela da entrada v g (t). Determine a representação em Espaço de Estados. 32 of 42

Conversor DC-DC buck Solução O conversor DC-DC opera em dois modos: ON ou OFF. Note na Figura que o Driver envia ao MOSFET um sinal PWM que liga-desliga o MOSFET. Tal comportamento faz o MOSFET atuar como uma chave fechada ou aberta. 33 of 42

Conversor DC-DC buck CASO 1: MOSFET no modo ON: MOSFET se comporta como chave fechada e o diodo não conduz. Então o circuito do conversor DC-DC buck pode ser reescrito na forma da figura acima. [Considere sempre i inj (t) = 0]. Escreva R ON = R L +R t 34 of 42

Conversor DC-DC buck 35 of 42

Conversor DC-DC buck CASO 2: MOSFET no modo OFF: MOSFET se comporta como chave aberta e o diodo conduz. Então o circuito do conversor DC-DC buck pode ser reescrito na forma da figura acima. [Considere sempre i inj (t) = 0]. Escreva R off = R L +R d Observação: Neste Caso 2 as equações são as mesmas docaso1, excetoquedevese fazer aĺı v g (t) = 0 e trocar R ON por R off para recuperar as expressões exatas para o Caso 2. 36 of 42

Conversor DC-DC buck Importante Observe que obtemos dois sistemas distintos, o primeiro válido para ON e o segundo para OFF. Qual deles devemos adotar? 37 of 42

Conversor DC-DC buck Qual dos sistemas devemos adotar? Resposta: Sistema médio obtido como combinação linear de ambos. Fato: Quando a frequência do PWM é superior a 10 KHz, a representação média apresenta-se muito adequada para capturar o comportamento real do conversor buck. 0 δ(t) 1 δ(t) representa a porcentagem do tempo ON do Duty-cycle do PWM. 38 of 42

Conversor DC-DC buck Representar média do Conversor DC-DC buck O sistema médio do conversor buck é dx(t) dt = δ(t)[a 1 x(t)+b 1 u(t)]+(1 δ(t))[a 2 x(t)+b 2 u(t)] Lembrando que i inj (t) = 0 e que A 1 = A 2 temos dx(t) = A 1 x(t)+b 1 V g (t)δ(t) dt y(t) = C 1 x(t) Normalmente supomos a entrada V g (t) um valor constante, então δ(t) passa a ser a entrada de controle restrita a assumir valores somente no intervalo [0,1]. 39 of 42

Exercício do conversor DC-DC buck Exercício Considere o conversor buck da figura acima e adote valores abaixo: R t = R L = R C = 1mΩ L = 20mH C = 100µF R = 10Ω V g(t) = 25V 1. Determine a equação de espaço de estados do conversor. 2. Determine se o sistema é controlável. 3. Determine o ganho K = [k 1 k 2 ] de modo que a matriz do sistema em malha fechada A+BK seja estável. 40 of 42

Exercício do conversor DC-DC buck Exercício Considere o conversor buck da figura acima e adote valores abaixo: R t = R L = R C = 0 L = 2H C = 1F R = 2Ω V g(t) = 4V (a) Determine a solução de x(t) considerando x(0) = [0 0] e δ(t) = 0.5, t 0. (b) Determine a corrente e tensão do conversor quando o tempo tende a infinito. 41 of 42

Dica de atividades Dica 1. Fazer os Exercícios apresentados no livro K. OGATA, Engenharia de Controle Moderno. 42 of 42