João entrou na anchonete G e pediu hambúrgueres, suco de aranja e cocadas, gastando $,0. Na mesa ao ado, agumas pessoas pediram 8 hambúrgueres, sucos de aranja e cocadas, gastando $ 7,00. Sabendo-se que o preço de um hambúrguer, mais o de um suco de aranja, mais o de uma cocada totaiza $ 0,00, cacue o preço de cada um desses itens. Sejam x, y e z respectivamente os preços do hambúrguer, do suco e da cocada. ( 8) ( ) x y z 0,00 x y z,0 8x y z 7,00 x y z 0,00 x y z 0,00 y z 8,0 y z 8,0 y z,00 y z,00 ( ) x y z 0,00 x y z 0,00 y z 8,0 y z 8,0 y z,00 y,0 x,00 y,0 z,0 esposta: preço do hambúrguer é $,00, o do suco é $,0 e o da cocada é $,0. No triânguo, tem-se que >, e cos Ĉ. Sabendo-se que o ponto pertence ao 8 segmento e é ta que e 7, cacue a) a atura do triânguo reativa ao ado. b) a área do triânguo. h M h M, em que M é o ponto médio de, é a atura do triânguo isóscees, de base e também é a atura do triânguo reativa ao ado. e acordo com a figura e o enunciado, tem-se: ) M cos Ĉ ssim: M 8 M ) M ssim: ) ssim: 7 7 ) 7 7 7 ) M M ssim: h h h ) área S do triânguo é dada por: S.. h espostas: a) unidades de comprimento b) unidades de área Um poinômio de grau possui três raízes reais que, coocadas em ordem crescente, formam uma progressão aritmética em que a soma dos termos é igua a 9. diferença entre o quadrado da maior raiz e o quadrado da menor raiz é. Sabendo-se que o coeficiente do termo de maior grau do poinômio é, determine a) a progressão aritmética. b) o coeficiente do termo de grau desse poinômio. a) Sendo a r, a e a r as três raízes em progressão aritmética de razão r > 0, temos, de acordo com o enunciado, que: FUVST.ª fase (matemática) Jan./008
a r a a r 9 (a r) (a r) a r progressão aritmética é, portanto, 7, e b) Sendo P(x) a 0 x a x a x a com a 0, decorre das reações de Girard: 7. a a 7. 7 a 7. espostas: a) 7, e b) 7 círcuo, de raio, está inscrito no triânguo eqüiátero F. Um círcuo de raio r está no interior do triânguo F e é tangente externamente a e a dois ados do triânguo, conforme a figura. ssim, determine a) a razão entre e r. b) a área do triânguo F em função de r. a) a semehança entre os triânguos retânguos MF e NPF, tem-se: M PN F PF ssim: r r r r r r b) Sendo a medida do ado do triânguo eqüiátero F e S a sua área, tem-se: ). ssim: r ) S ssim: S ( r). espostas: a) b) 7 r r S 7 r medida x, em radianos, de um ânguo satisfaz π < x < π e verifica a equacão sen x sen x sen x 0. ssim, a) determine x. b) cacue cos x cos x cos x. π Se < x < π e satisfaz a equação sen x sen (x) sen (x) 0, temos: a) sen x sen (x) sen (x) 0 sen (x). sen x x. cos x x sen (x). sen (x). cos x 0 sen (x). [. cos x] 0 sen (x) 0 (impossíve) ou cos x 0 M r P r r r N F x π b) cos x cos (x) cos (x) cos (x). cos x x. cos x x FUVST.ª fase (matemática) Jan./008
cos (x). cos (x). cos x cos (x). [. cos x] Para x π, resuta: cos π.. cos... [ ] 0 π espostas: a) x π b) cos x cos (x) cos (x) 0 São dados, no pano cartesiano de origem, a circunferência de equação x y, o ponto P (, ) e a reta s que passa por P e é paraea ao eixo y. Seja o ponto de ordenada positiva em que a reta s intercepta a circunferência. ssim sendo, determine a) a reta tangente à circunferência no ponto. b) o ponto de encontro das aturas do triânguo P. y P x y 0 x y 0 0 a) equação da reta tangente à circunferência no ponto é x y 0 ) Se é um ponto da circunferência, então as coordenadas de são x e y ) coeficiente anguar da reta é m Δy Δx. coeficiente anguar da reta tangente à circunferência em é m m ) equação da reta tangente à circunferência em é y y m (x x ), ou seja, y (x ) x y 0 b) ponto de encontro das aturas do triânguo P é ( ; 0) ) coeficiente anguar da reta P é m Δy Δx. coeficiente anguar da reta que contém a atura do triânguo P e que passa por é m m ) equação da reta que contém a atura do triânguo P e que passa por é y y m (x x ), ou seja, y (x ) x y 0 ) ortocentro do triânguo P é o ponto de intersecção da reta de equação y 0 (atura do triânguo P que passa por ) e da reta de equação x y 0 ( atura do triânguo P que passa por ): y 0 x x y 0 y 0 espostas: a) x y 0 b) ( ; 0) 7 m um jogo entre Pedro e José, cada um dees ança, em cada rodada, um mesmo dado honesto uma única vez. dado é cúbico, e cada uma de suas faces estampa um único agarismo de maneira que todos os agarismos de a estejam representados nas faces do dado. Um participante vence, em uma certa rodada, se a diferença entre seus pontos e os pontos de seu adversário for, no mínimo, de duas unidades. Se nenhum dos participantes vencer, passa-se a uma nova rodada. essa forma, determine a probabiidade de a) Pedro vencer na primeira rodada. b) nenhum dos dois participantes vencer na primeira rodada. c) um dos participantes vencer até a quarta rodada. FUVST.ª fase (matemática) Jan./008
P Nessas condições, a) cacue P. b) cacue. J S É ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; Pedro ganha F P M José ganha a) os resutados possíveis, Pedro vencerá se for obtido um dos resutados assinaados na tabea como conjunto. essa forma, a probabiidade de Pedro vencer na primeira rodada é 0 8. b) possibiidade de José vencer na primeira rodada também é, e a de nenhum dos dois vencer na 8 primeira jogada é 8 8 9. c) possibiidade de nenhum dos dois vencer nas quatro primeiras rodadas é 9. 9. 9. 9 probaidade de um dos participantes vencer até a quarta rodada é 0. espostas: a) b) 8 9 8 Um poste vertica tem base quadrada de ado. Uma corda de comprimento está esticada e presa a um ponto P do poste, situado à atura do soo e distando da aresta atera. extremidade ivre da corda está no soo, conforme indicado na figura. corda é então enroada ao ongo c) 0 das faces e, mantendose esticada e com a extremidade no soo, até que a corda toque duas arestas da face em pontos e, conforme a figura. Vamos rebater a face em torno da aresta F até o pano da face. ) omo P e MP, tem-se M ) M M ssim: ) a semehança entre os triânguos retânguos MP e, tem-se: P M ssim: P P ) a semehança entre os triânguos retânguos MP e, tem-se: P ssim: M espostas: a) P b) 9 figura na página de respostas representa o número i ω no pano compexo, sendo i a unidade imaginária. Nessas condições, a) determine as partes rea e imaginária de ω e de ω. b) represente ω e ω na figura ao ado. c) determine as raízes compexas da equação z 0. FUVST.ª fase (matemática) Jan./008
i Se ω, então: ω i i. cos 0º i. sen 0º ssim: a) ω cos 0º i. sen 0º cos 0º i. sen 0º b) cos ( 0º) i. sen ( 0º) cos 0º i. sen 0º i ω cos (. 0º) i. sen (. 0º) cos 0º i. sen 0º ω ω Im (z) ω e (z) c) z 0 z cos 0º i. sen 0º s raízes da equação são as raízes cúbicas de e, portanto: z. (cos 0º i. sen 0º) ω z. (cos 0º i. sen 0º) i z. (cos 0º i. sen 0º) espostas: a) e i ω ; Im ω e (ω ) ; Im (ω ) 0 b) ver figura c) ; i ; i ω ω 0 Pedrinho, brincando com seu cubo mágico, coocou-o sobre um copo, de maneira que apenas um vértice do cubo ficasse no interior do copo, conforme iustra a foto; os pontos comuns ao cubo e ao copo determinassem um triânguo eqüiátero. Sabendo-se que o bordo do copo é uma circunferência de raio cm, determine o voume da parte do cubo que ficou no interior do copo. x x x parte do cubo mágico que fica no interior do copo constitui a pirâmide, cujas faces, e são triânguos retânguos isóscees de catetos medindo x e a face é um triânguo eqüiátero de ado. sse triânguo eqüiátero está inscrito no círcuo de raio cm, da boca do copo. ssim, em centímetros, temos: ) h h ) picando o Teorema de Pitágoras ao triânguo, temos x x x ) voume V, da pirâmide, em centímetros cúbicos, é: V ( ) 9 esposta: 9 cm x. x x x FUVST.ª fase (matemática) Jan./008