Físca E º Semeste de 015 nsttuto de Físca Unvesdade de São Paulo Pofesso: uz Nagamne E-mal: nagamne@f.usp.b Fone: 091.6877 0, 04 e 09 de novembo
otação º Semeste de 015 Cnemátca otaconal Neste tópco, tataemos da otação em tono de um exo fxo no espaço, ou em tono de um exo que se move sem altea sua deção no espaço. Velocdade angula e aceleação angula Seja um copo ígdo de massa, que ga em tono de um exo fxo. Cada ponto deste copo desceve um cículo, cujo ao é a dstânca ente o ponto e o exo de otação. Quando o copo ga de um ângulo dθ, o ponto desceve um aco de compmento ds ds d A taxa de vaação do ângulo é a mesma paa todas as posções no copo e é chamada de velocdade angula ω. d dt 1 ds dt v
otação Cnemátca otaconal º Semeste de 015 Velocdade angula e aceleação angula Analogamente, a taxa de vaação da velocdade angula é a mesma paa todas as posções no copo e é chamada de aceleação angula α. d dt d dt Paa os valoes médos temos: med t med t Se α é constante: 0 t 1 0 0 t t 0
otação Exemplo º Semeste de 015 (a) Um CD ga, do epouso a até 500 pm, em 5,5 s. (a) Qual a aceleação angula suposta constante? (b) Quantas voltas o dsco dá em 5,5 s? (c) Qual a dstânca pecoda po um ponto a 6,0 cm do cento, nestes 5,5 s? 0 t 5,6 0 5,5 500pm 500 / 60 5,6 9,5ad / s (b) 0 0 0 1 0 t t 1 9,5(5,5) 14,7ad =,9 voltas (c) S 0,06 14,7 8, 6m
otação º Semeste de 015 Aceleações e velocdades angulaes Já vmos que: 1 ds dt v v Analogamente, paa a aceleação tangencal temos: a t dv dt t t d dt a t as, como o movmento é ccula, exste uma aceleação centípeta a c v t t t ( ) t ac t
otação º Semeste de 015 Enega Cnétca otaconal A enega cnétca de um copo ígdo que ga em tono de um exo fxo é a soma das enegas cnétcas das patículas ndvduas que consttuem o copo. Paa a esma patícula, de massa m e velocdade v, temos: K 1 m v Somando sobe todas as pates, obtemos a enega cnétca do copo: K 1 m v 1 1 m m Onde, o temo à deta ecebe o nome de momento de néca () do copo: m K 1
otação Exemplo º Semeste de 015 Um copo consste de 4 patículas pontuas, com massas m, lgadas po hastes sem massa, como na fgua ao lado. O sstema ga com velocdade angula ω em tono do cento do copo. (a) Detemne o momento de néca do copo. (b) Detemne a enega cnétca do copo. m 1 K 4ma K ma epet os cálculos paa a nova confguação ao lado. m 1 K m a 8ma K 4ma
otação º Semeste de 015 Cálculos do omento de néca Paa sstemas dscetos: m Copos contínuos Se subdvdmos o copo em pequenas poções, no lmte quando a massa de cada poção va a zeo, a somatóa acma se tanfoma na ntegal: dm Onde é a dstânca ao exo, de cada pacela dm do copo.
otação Cálculos do omento de néca º Semeste de 015 Calcule o momento de néca de uma baa fna de compmento e massa, em elação ao exo que passa po sua extemdade. dm Um pedaço dm da baa, stuado na posção x, ocupa uma extensão dx da baa. Consdeando a densdade lnea de massa λ. x dx 0 0 x dm dx dx x dx 0
otação º Semeste de 015 Cálculos do omento de néca epet o cálculo paa um exo no cento da baa. dm dx dx dm / / / / dx x dx x 1 / / / / / x
otação Cálculos do omento de néca º Semeste de 015 Calcule o momento de néca de um anel ccula de ao e massa, em elação ao exo que passa pependculamente po seu cento. dm Todos os pedaços dm do anel, estão stuados a uma mesma dstânca do exo. dm dm
otação Cálculos do omento de néca º Semeste de 015 Calcule o momento de néca de um dsco homogêneo de ao e massa, em elação ao exo que passa pependculamente po seu cento. dm Podemos subdvd o dsco em uma sée de anés concentcos. Cada anel tem uma massa dm, ao e espessua d. Consdeando a densdade supefcal de massa σ. d 0 0 dm da d d 4 4 0 4 4
otação Cálculos do omento de néca º Semeste de 015 Calcule o momento de néca de um clndo macço homogêneo de ao e massa, em elação ao seu exo. dm Podemos subdvd o clndo em uma sée de dscos paalelos. Como todos os dscos são equvalentes, podemos consdea o momento de néca do clndo como gual ao dos dscos.
otação Tabela de omentos de néca º Semeste de 015 cascas dm
otação Cálculos do omento de néca º Semeste de 015 Teoema dos Exos Paalelos Este teoema pemte que se calcule o momento de néca de um copo de massa em elação a um exo qualque, a pat do seu valo paa o cento de massa, sabendo-se a dstânca h ente os dos exos. dm cm h Exemplo: cm h 1 1
otação Cálculos do omento de néca º Semeste de 015 Demonstação do Teoema dos Exos Paalelos Vamos calcula a enega cnétca de otação paa o exo paalelo do copo de massa ao lado, quando gando com velocdade ω. K K 1 as, já vmos que a enega cnétca de um copo pode se escta como a enega cnétca de tanslação do cento de massa, mas a enega de otação em elação ao cento de massa. as, e 1 K ot K 1 1 1 cm tansl cm cm cm v v cm h 1 1 1 cm h cm cm h cm
otação Exemplo º Semeste de 015 Teoema dos Exos Paalelos Vamos calcula o momento de néca do copo ao lado. as ncalmente, calculaemos o momento de néca de uma espa de massa m e ao, atavés do exo que passa po seu cento de massa. m dm dl m d 4 / 0 ( cos ) m d m / 0 (cos ) d m cm as, se esta espa estve com seu exo a uma dstânca l do exo pncpal, ela contbuá paa o momento de néca total, com dm dl dl d dll d dm dml / / dl dll 1
otação Exemplo º Semeste de 015 Uma baa de compmento e massa, atculada em sua extemdade, é lagada do epouso, da posção hozontal. Detemne (a) a sua velocdade angula, na posção vetcal, (b) a foça execda pelo pvô sobe a baa, neste ntante e (c) a velocdade angula ncal necessáa paa a baa chega até uma posção vetcal supeo. Consdeando o sstema como sendo consttuído pela baa, pvô e a Tea, temos consevação da enega mecânca, então K U K f U f 1 0 gy 1 cm 0 g g F 0 g a c F 0 g g 5g K U K f U f 1 0 0 gy cm 1 g g
otação Exemplo º Semeste de 015 Um objeto de massa m está suspenso po um fo de massa m f que fo enolado na pola, que tem ao e massa m P. Suponha que toda a massa da pola esteja em sua boda e que no nstante ncal o copo esteja em epouso e o fo enolado. Detemne qual a velocdade do copo quando ele tve cado uma dstânca d. Consdeando o sstema como sendo consttuído pela copo, pola e a Tea, temos consevação da enega mecânca, então K U K f U f 0 1 1 m f v 1 mv mg( d) m * f g( d / ) m p v (m m ( m f f m m d) gd p ) d m * f m f
otação Toque º Semeste de 015 Já vmos a Segunda e de Newton, onde a esultante das foças extenas povoca a aceleação do cento de massa de sstemas. Poém, quando a lnha de ação das foças extenas não passa pelo cento de massa, temos um segundo efeto, que é a otação do sstema. Esta otação é aceleada. Assm, temos o equvalente à Segunda e de Newton, paa a otação. Consdee uma patícula de massa m, pesa a uma baa de compmento. Uma foça F é aplcada à patícula, como na fgua ao lado. Paa a componente tangencal da foça, temos: Ft ma t Onde, F t = FsnΦ Usando-se a t = α e multplcando a equação po, temos: F t m O poduto F t é o Toque em elação ao exo de otação A m
otação Toque º Semeste de 015 Um copo ígdo que ga em tono de um exo fxo é uma coleção de patículas, com as mesmas velocdade e aceleação angulaes. m Somando sobe todas as patículas do copo, temos: m ( m ) extes Segunda e de Newton paa a otação Paa otações, o que nos nteessa são as componentes tangencas da foça F t F sn Fsn Fl Onde, l é o baço de alavanca
otação Exemplo º Semeste de 015 Consdee um copo extenso de massa, apoado pelo exo A e submetdo à foça gavtaconal. O toque sobe cada patícula consttunte seá: F m gx O toque total sobe o copo seá a soma dos toques sobe todas as patículas consttuntes ext es m gx ( m x ) g x cm g Px cm
otação Exemplo º Semeste de 015 Uma bccleta egométca possu uma oda com gande massa (,4 kg) e ao = 5 cm. Aplca-se uma foça de 18 N a uma dstânca de 7 cm do exo da oda. Após 5 s, qual é a velocdade angula da oda? 0 t t F ext es F F F t 1ad / s
otação Exemplo º Semeste de 015 Uma baa de compmento e massa, atculada em sua extemdade, é lagada do epouso, da posção hozontal. Detemne (a) a sua aceleação angula, quando lagada e (b) a foça execda pelo pvô sobe a baa, neste ntante. O toque em elação ao exo de otação é dado apenas pela foça peso. g ext Px cm Fext a cm g( / ) (1/ ) g Px cm F 0 x cm F0 ( g xcm ) g / 4
otação Exemplo º Semeste de 015 Um objeto de massa m está suspenso po um fo leve que fo enolado na pola com momento de néca e ao. A pola é lagada do epouso. Detemne a tensão no fo e a aceleação do objeto. Vamos aplca a Segunda e de Newton à pola (otação) e ao objeto. (o peso e a nomal na pola, não geam toque) ext T Com a t mg T ma t mg T m a t T mg T m a t T 1 1 ( mg ( m / ) g / m )
otação Jogo de Snuca º Semeste de 015 Vamos aplca a Segunda e de Newton à bola (otação e tanslação). (o peso e a nomal na pola, não geam toque) Um taco atnge uma bola de blha em um ponto a uma dstânca d acma do cento da bola. Detemne o valo de d paa que a bola ole, sem deslza. ext F ma cm Fd Com a cm F m Fd d m (/ 5) m m d m 5