Métodos Numércos Ajuste de Curv pelo Método dos Qudrdos Mímos-MQM Professor Volmr Eugêo Wlhelm Professor Mr Kle
Método dos Qudrdos Mímos Ajuste Ler Professor Volmr Eugêo Wlhelm Professor Mr Kle
Método dos Qudrdos Mímos Método dos Qudrdos Mímos Ajuste Ler Motvção Sej tbel de ddos -,0-0,75-0,6-0,5-0,3 0,0 0, 0,4 0,5 0,7,0 f(),0,7,5,4,0,0 4,0 3,8 4,0 5,0 4,5 6 5 4 3 Observ-se que os potos precem pertecer um ret. A pergut é: qul melhor ret que os promr? Qul ret y=m+b que melhor se just os ddos? 0 -,5 - -0,5 0 0,5,5 Professor Volmr Eugêo Wlhelm Professor Mr Kle 3
Método dos Qudrdos Mímos Método dos Qudrdos Mímos Ajuste Ler Dá lh de melhor juste pr um grupo de potos MQM procur mmzr pr todos os potos ddos s soms dos qudrdos ds dfereçs etre o vlor d fução e os vlores ddos. É ms tg form de regressão ler. Fote: Krste Buer, Reee Metzger, Holly Soper, Amd Uklesby Professor Volmr Eugêo Wlhelm Professor Mr Kle 4
Método dos Qudrdos Mímos Método dos Qudrdos Mímos Ajuste Ler Eemplo Sejm os potos (,y) ={(;,), (;,9), (5; 6,), (7; 8,3)}. Supohmos que ret y=m+b que melhor se just os potos é f() = 0,9 +,4. 9 8 7 6 5 (,y) y=f() 4 3 0 0 3 4 5 6 7 8 cotu... Professor Volmr Eugêo Wlhelm Professor Mr Kle 5
Método dos Qudrdos Mímos Método dos Qudrdos Mímos Ajuste Ler Eemplo... cotução Pode-se clculr o erro e etre o vlor observdo y e o vlor estmdo trvés d equção d ret, f( ). Erros o qudrdo: = y =, f()=,3 e = (,3,)² = 0,04 = y =,9 f()=3, e = (3,,9)² = 0,09 3 =5 y 3 =6, f(5)=5,9 e 3 = (5,9 6,)² = 0,04 4 =7 y 4 =8,3 f(7)=7,7 e 4 = (7,7 8,3)² = 0,36 Assm, o Erro Totl (somtóro dos qudrdos dos erros) é E = 0,04 + 0,09 + 0,04 + 0,36 = 0,53 Procurdo coefcetes ms proprdos pr um juste melhor d ret, esse erro pode ser mmzdo. Professor Volmr Eugêo Wlhelm Professor Mr Kle 6
Método dos Qudrdos Mímos Método dos Qudrdos Mímos Ajuste Ler Erros $300,00 $50,00 y e 5 $00,00 $50,00 e e 3 e 4 y = b + m $00,00 $50,00 e erros $- 0 50 00 50 00 50 E = (e ) + (e ) + (e 3 ) + (e 4 ) +(e 5 ) - Erro Totl Professor Volmr Eugêo Wlhelm Professor Mr Kle 7
Método dos Qudrdos Mímos Método dos Qudrdos Mímos Fórmul do Ajuste Ler Desej-se mmzr dstâc vertcl etre os potos e ret y=m+b e 4 e e e 3 Ecotrr equção d ret que mmz o Erro Totl E = (e ) + (e ) + (e ) + (e ) E = (e )² + (e )² + (e 3 )² + +(e )² pr potos ddos E = [f( ) y ]² + [f( ) y ]² + + [f( ) y ]² E = [m + b y ]² + [m + b y ]² + + [m + b y ]² E = (m + b y )² Professor Volmr Eugêo Wlhelm Professor Mr Kle 8
Método dos Qudrdos Mímos Método dos Qudrdos Mímos Fórmul do Ajuste Ler Questão: como mmzr o Erro Totl E = (m + b y )² (Erro totl) Como e y são costtes, será ecessáro ecotrr m e b que mmz o erro. E/m = 0 e E/b = 0 Vsto que epressão de E é som de qudrdos que uc são egtvos (é um prbolode vrdo pr cm), sbe-se que solução será um poto de mímo. Isto pode ser provdo usdo s dervds prcs de segud ordem. Professor Volmr Eugêo Wlhelm Professor Mr Kle 9
Método dos Qudrdos Mímos Método dos Qudrdos Mímos Fórmul do Ajuste Ler E = (m + b y )² é mmzdo qudo s dervds prcs em relção cd vrável são uls. I.e, E/m=0 e E/b = 0 E/b = (m + b y ) = 0 m + b = y ms + b = Sy E/m = (m + b y ) (m ² + b y ) = 0 m ² + b = y ms + bs = Sy Professor Volmr Eugêo Wlhelm Professor Mr Kle 0
Método dos Qudrdos Mímos Método dos Qudrdos Mímos Fórmul do Ajuste Ler Em segud deve-se resolver o sstem de equções em relção às vráves m e b ms bs Sy ms b Sy Resolvedo em relção m ms + bs = Sy mss + bs = SyS ms mss = Sy SyS m(s SS) = Sy SyS multplcdo por multplcdo por S subtrdo vrável m m Sy SyS S SS b SSy SyS S SS Professor Volmr Eugêo Wlhelm Professor Mr Kle
Método dos Qudrdos Mímos Método dos Qudrdos Mímos Fórmul do Ajuste Ler Outr form de escrever y m b m Σy b Σ Σy Σ Σ Σy Σ m Professor Volmr Eugêo Wlhelm Professor Mr Kle
Método dos Qudrdos Mímos Método dos Qudrdos Mímos Fórmul do Ajuste Ler Um medd de quão bom é o juste d ret os ddos é ddo pelo Coefcete de Correlção de Perso, gerlmete deomdo de r r y y/ / y y / O coefcete de correlção r mede o gru de relção etre dus vráves. A correlção está sempre etre - e. O vlor - correspode à correlção egtv perfet e o vlor + correspode correlção postv perfet. O coefcete de correlção (zero) dc que s dus vráves ão estão correlcods lermete. Professor Volmr Eugêo Wlhelm Professor Mr Kle 3
Método dos Qudrdos Mímos Método dos Qudrdos Mímos Ajuste Ler Eemplo Ache promção ler trvés dos mímos qudrdos pr os ddos: (,), (,4), (3,8) m Sy SyS S SS b SSy SyS S SS y m b S = ++3= 6 S = ²+²+3² = 4 Sy = +4+8 = 3 Sy = ()+(4)+3(8) = 33 = 3 (úmero de potos) m 333 63 34 66 7 4 3 33 6 b 34 66 y 7 8 3 8 3 Professor Volmr Eugêo Wlhelm Professor Mr Kle 4
Método dos Qudrdos Mímos Método dos Qudrdos Mímos Ajuste Ler Eemplo Ache promção ler trvés dos mímos qudrdos pr os ddos f() -,00,0-0,75,7-0,60,5-0,50,4-0,30,0 0,00,0 0,0 4,0 0,40 3,8 0,50 4,0 0,70 5,0,00 4,5 y =,99457,96346 Professor Volmr Eugêo Wlhelm Professor Mr Kle 5
Método dos Qudrdos Mímos Ajuste Qudrátco Professor Volmr Eugêo Wlhelm Professor Mr Kle 6
Método dos Qudrdos Mímos Método dos Qudrdos Mímos Ajuste Qudrátco Motvção Sej tbel de ddos f() -,00,0-0,75,5-0,60 0,50-0,50 0,40-0,30 0,50 0,00 0,00 0,0 0,0 0,40 0,60 0,50 0,5 0,70,0,00,0 Vemos que os potos precem um prábol. A pergut é: qul melhor prábol que os promr? cotu... Professor Volmr Eugêo Wlhelm Professor Mr Kle 7
Método dos Qudrdos Mímos Método dos Qudrdos Mímos Ajuste Qudrátco Motvção... cotução f() -,00,0-0,75,5-0,60 0,50-0,50 0,40-0,30 0,50 0,00 0,00 0,0 0,0 0,40 0,60 0,50 0,5 0,70,0,00,0 Professor Volmr Eugêo Wlhelm Professor Mr Kle 8
Método dos Qudrdos Mímos Método dos Qudrdos Mímos Ajuste Qudrátco Fórmul O método dos qudrdos mímos pode ser esteddo pr justr os ddos polômos de mor gru f() b c, Erro : E e (f( ) y ) (b c y ) m E,b,c b c y Codções ecessárs : E(,b,c) 0, E(,b,c) b 0, E(,b,c) c 0 Professor Volmr Eugêo Wlhelm Professor Mr Kle 9
0 Método dos Qudrdos Mímos Método dos Qudrdos Mímos Ajuste Qudrátco Fórmul 0 y c b c E(,b,c) 0 y c b b E(,b,c) 0 y c b E(,b,c) y c b,b,c m E 4 3 3 y c b y c b y c b Professor Volmr Eugêo Wlhelm Professor Mr Kle
Método dos Qudrdos Mímos Método dos Qudrdos Mímos Ajuste Qudrátco Eemplo Ajuste um polômo de segudo gru os segutes ddos 0 3 4 5 =5 y, 7,7 3,6 7, 40,9 6, =5,6 0 4 9 6 5 =55 3 0 8 7 64 5 5 4 0 6 8 56 65 =979 y 0 7,7 7, 8,6 63,6 305,5 =585,6 y 0 7,7 54,4 44,8 654,4 57,5 =488,8 cotu... Professor Volmr Eugêo Wlhelm Professor Mr Kle
Método dos Qudrdos Mímos Método dos Qudrdos Mímos Ajuste Qudrátco Eemplo... cotução 6 5 b 55 c 5,6 5 55 b 5 c 585,6 55 5 b 979 c 488,8 Resolvedo... f(),4786,3593,8607,4786, b,3593, c,8607 f(),4786,3593,8607 Professor Volmr Eugêo Wlhelm Professor Mr Kle
Método dos Qudrdos Mímos Ajuste Poloml Professor Volmr Eugêo Wlhelm Professor Mr Kle 3
4 Método dos Qudrdos Mímos Método dos Qudrdos Mímos Ajuste Poloml º) Clculr s dervds prcs d equção do Erro totl em relção cd um dos coefcetes descohecdos: p.e. dervd prcl em relção º) Ests equções são gulds zero pr mmzr o erro totl. 3º) Este cojuto de equções result em m+ equções que podem ser resolvds usdo elmção de Guss pr determr 0,,,..., m. 4º) Utlze os coefcetes 0,,,..., m pr escrever equção do polômo. ) ( totl Erro y... E m m 0 m m 0... p m m 0... y E Professor Volmr Eugêo Wlhelm Professor Mr Kle
Método dos Qudrdos Mímos Ajuste Gerl Professor Volmr Eugêo Wlhelm Professor Mr Kle 5
Método dos Qudrdos Mímos Método dos Qudrdos Mímos Ajuste Gerl Ajustr fução f(), tl que f f f... f 0 m m O Erro Totl é E f f... f y ( Erro ) 0 m m totl º) Clculr s dervds prcs d equção do Erro totl em relção cd um dos coefcetes descohecdos. º) Ests equções são gulds zero pr mmzr o erro totl. 3º) Este cojuto de equções result em m+ equções que podem ser resolvds usdo elmção de Guss pr determr 0,,,..., m. 4º) Utlze os coefcetes 0,,,..., m pr escrever equção do polômo. Professor Volmr Eugêo Wlhelm Professor Mr Kle 6
Método dos Qudrdos Mímos Método dos Qudrdos Mímos Ajuste Gerl Eemplo Ajustr fução f() = (l()) + bcos() + ce os ddos. y 0,4 0,3 0,65-0,3 0,95 -,0,4-0,45,73 0,7,0 0,0,3-0,9,5 0,4 Desej- seecotrr um fução d form: f() l() bcos() ce E(,b,c) Codções E(,b,c) E(,b,c) b E(,b,c) c (f( ) y ) 8 l( ) b cos() c e y 0 0 Equções Norms 0 pr justr os ddos. ecessárs pr obter o mímo : Professor Volmr Eugêo Wlhelm Professor Mr Kle cotu... 7
Método dos Qudrdos Mímos Método dos Qudrdos Mímos Ajuste Gerl Eemplo... cotução 4,55643 3,3547 b 5,9 c 0,06486 3,3547 3,6307 b 4,485 c 0,84854 5,9 4,485 b 35,388 c,9983 Resolvedos equções cm : 0,8885, b,074, c 0,0398 Portto, f() 0,8885 l(),074 cos() 0,0398 e cotu... Professor Volmr Eugêo Wlhelm Professor Mr Kle 8
Método dos Qudrdos Mímos Método dos Qudrdos Mímos Ajuste Gerl Eemplo... cotução f() 0,8885l( ),074 cos() 0,0398 e Professor Volmr Eugêo Wlhelm Professor Mr Kle 9